1. Ο μαγικόσ κόςμοσ των φρακταλ
Τι είναι φρακταλ;
Με τον διεκνι όρο φράκταλ ςτα Μακθματικά, τθ Φυςικι αλλά και ςε πολλζσ
επιςτιμεσ ονομάηεται ζνα γεωμετρικό ςχιμα που επαναλαμβάνεται αυτοφςιο ςε
άπειρο βακμό μεγζκυνςθσ, κι ζτςι ςυχνά αναφζρεται ςαν "απείρωσ περίπλοκο". Το
φράκταλ παρουςιάηεται ωσ "μαγικι εικόνα" που όςεσ φορζσ και να μεγεκυνκεί
οποιοδιποτε τμιμα του κα ςυνεχίηει να παρουςιάηει ζνα εξίςου περίπλοκο ςχζδιο
με μερικι ι ολικι επανάλθψθ του αρχικοφ. Χαρακτθριςτικό επομζνωσ των
φράκταλ είναι θ λεγόμενθ αυτο-ομοιότητα ςε κάποιεσ δομζσ τουσ, θ οποία
εμφανίηεται ςε διαφορετικά επίπεδα μεγζκυνςθσ.

2. Johann Sebastian Bach
Η μοσσική τοσ Johann
Sebastian
Bach, περιλαμβάνει επίσης
μερικές fractal γραυικές
παραστάσεις.

3. Ιστορική αναδρομή
Η λζξθ fractal, χρθςιμοποιικθκε για πρϊτθ φορά από τον
Benoit Mandelbrot ςτθ δεκαετία του '70.
Εκείνοσ, χρονολόγθςε τθν προζλευςθ τθσ «Fractal
γεωμετρίασ» από το 1975 αλλά ζδειξε ότι τα αντικείμενα
που κεωροφνται τϊρα fractal υπιρξαν πολφ πριν από
εκείνθ τθν δεκαετία. Πολλά φυςικά αντικείμενα, όπωσ τα
δζντρα, οι ακτζσ ι τα ςφννεφα, κεωροφνται τϊρα ότι
ζχουν fractal ιδιότθτεσ και ζνα μεγάλο μζροσ του
τρζχοντοσ ενδιαφζροντοσ οφείλεται ςτισ προςπάκειεσ να
μιμθκοφμε τζτοια φυςικά φαινόμενα με τθ χριςθ
υπολογιςτϊν. Άλλεσ περιςςότερο αφθρθμζνεσ μορφζσ
αντικειμζνων fractal επινοικθκαν από τουσ καλλιτζχνεσ
και τουσ μακθματικοφσ.
Οι παρατθριςεισ των fractal αντικειμζνων είναι ςτθν
πραγματικότθτα προςεγγίςεισ ςε μια ιδανικι
κατάςταςθ, κακϊσ ςε κάποια φάςθ τθσ υποδιαίρεςθσ θ
λεπτομζρεια χάνεται αναπόφευκτα.

4. Maurits Escher (1902-1972)
Το άρκρο του Mandelbrot αναφζρει
διάφορα ιςτορικά παραδείγματα
αντικειμζνων fractal που αναπτφχκθκαν
από τουσ μακθματικοφσ τα πρϊτα ζτθ
αυτοφ του αιϊνα. Ζνασ καλλιτζχνθσ που
αξίηει πρόςκετθ προςοχι είναι Ολλανδόσ
Maurits Escher (1902-1972), του οποίου
τα ςχιματα που απεικονίηονται ςτα ζργα
του φαίνονται διαιςκθτικά ότι ζχουν
κάποια fractal μορφι.

5. Albrecht Dürer (1471-1528)
Ο πρϊτοσ καλλιτζχνθσ που παριγαγε
ζνα fractal αντικείμενο βαςιςμζνο ςτα
κανονικά Πεντάγωνα ιταν ο Albrecht
Dürer (1471-1528).

6. Cantor
Κατά τθ διάρκεια του φςτερου δζκατου ζνατου αιϊνα αναπτυςςόταν θ κεωρία των
ςυνόλων. Οι μακθματικοί, ευχαριςτιόνταν με τθν παραγωγι ςυνόλων με όλο και
περιςςότερεσ παράξενεσ ιδιότθτεσ, πολλά από αυτά αναγνωρίςτθκαν τϊρα ότι
είναι fractal. Ζνα από αυτά, είναι το ςφνολο που επινοικθκε από το Georg Cantor
(1845-1918). Η καταςκευι του είναι ςχετικά απλι και μπορεί να παραςτακεί με
τθν κτζνα του Cantor.

7. Sierpinski
Ο Waclaw Sierpinski (γεννθκείσ το 1882) ζδωςε το όνομά του ςε διάφορα αντικείμενα
fractal, όπωσ τθν κεφαλι βζλουσ Sierpinski (ι το τρίγωνο ι ςτολίδι) και το χαλί
Sierpinski, τα οποία είναι απεικονιςμζνα ςτο διςδιάςτατο χϊρο, αλλά και το τετράεδρο
Sierpinski και το ομϊνυμο ςφουγγάρι, που απεικονίηονται ςτο τριςδιάςτατο χϊρο.
Το τρίγωνο του Sierpinski

8. Το χαλί(ι ςφουγγάρι) του Sierpinski

9. Το Δζντρο του Πυκαγόρα
Τα περιςςότερα ςχολικά βιβλία κειμζνων ςτα μακθματικά περιζχουν μια
απεικόνιςθ που μάλλον κυμίηει ζναν τετραγωνικό κορμό δζντρων με δφο
κλάδουσ για να επεξθγιςουν τθν απόδειξθ του Πυκαγόρειου κεωριματοσ. Αν
και το κεϊρθμα αποδίδεται ςτον Πυκαγόρα και ιταν ενδεχομζνωσ
αποδεδειγμζνο από αυτόν, θ απόδειξθ είναι βαςιςμζνθ ςε αυτό το ςχιμα που
εμφανίηεται ςτο βιβλίο 1 των ςτοιχείων του Ευκλείδθ από τθν Αλεξάνδρεια. Το
ςχιμα αυτό, χρθςιμοποιείται για να δθμιουργιςει μια δομι fractal που τϊρα
αποκαλοφμε ϊσ δζντρο του Πυκαγόρα. Τα αντίγραφα τθσ δομισ
ςμικρφνονται, περιςτρζφονται και μεταφζρονται για να δθμιουργιςουν τουσ
κλάδουσ του αρχικοφ κορμοφ, δθμιουργϊντασ μετά από διάφορεσ
επαναλιψεισ δεντροειδείσ δομζσ παρόμοιεσ με διακλαδιηόμενα fractals του
Jaap Kaandorp . Ενϊ το κοινό όνομα αυτισ τθσ fractal δομισ προχποκζτει μια
μακρά προϊςτορία, θ υποψία είναι ότι θ μορφι είναι ςχετικά πρόςφατθ, το
όνομα που προκφπτει μόνο από τθν ομοιότθτα με το διάγραμμα των ςχολικϊν
βιβλίων που χρθςιμοποιικθκε ςτθν απόδειξθ του Πυκαγόρειου κεωριματοσ .