base para la probabilidad

1. Ecuación de la Recta Tangente de las ecuaciones paramétricas
Para calcular la ecuación de la recta tangente, dadas las ecuaciones paramétricas y un parámetro
𝑡, se obtiene mediante la ecuación de la recta:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
Ejemplo: Si tenemos las ecuaciones paramétricas y el parámetro 𝑡:
𝑥 = 2𝑡2
+ 𝑡 𝑦 = 𝑡4
𝑡 = −1
Para calcular 𝑥1 y 𝑦1 hay que sustituir el valor del parámetro 𝑡 en las ecuaciones:
𝑥(𝑡) = 2(−1)2
+ (−1) 𝑦(𝑡) = (−1)4
Evaluamos en cada ecuación:
𝑥(𝑡) = 2(1) − 1 𝑦(𝑡) = 1
𝑥(𝑡) = 2 − 1 = 1 𝑦(𝑡) = 1
Donde
𝑥1 = 𝑥(𝑡), 𝑦1 = 𝑦(𝑡)
𝑥1 = 1, 𝑦1 = 1
Valores que corresponden a las coordenadas de un punto en el plano cartesiano:
(𝑥1, 𝑦1) = (1, 1)
Que se sustituyen en la ecuación de la recta:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 1 = 𝑚(𝑥 − 1)

2. Para calcular 𝑚 que es la pendiente, debemos derivar a las ecuaciones paramétricas y evaluar en
el punto (1, 1):
𝑥 = 2𝑡2
+ 𝑡 𝑦 = 𝑡4
Fórmula para calcular la derivada que es
igual a la pendiente 𝑚
Derivada de las ecuaciones paramétricas
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑚 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝑡4)
𝑑
𝑑𝑡
(2𝑡2 + 𝑡)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
4𝑡3
4𝑡 + 1
Sustituimos el valor de parámetro 𝑡 en
𝑦′(𝑡) =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑦′(𝑡) =
4(−1)3
4(−1) + 1
𝑦′(𝑡) =
4(−1)
−4 + 1
=
−4
−3
Por lo tanto la pendiente 𝑚 es la derivada:
𝑚 = 𝑦′(𝑡) =
4
3
Sustituyendo los valores (𝑥1, 𝑦1) = (1, 1) y de 𝑚 =
4
3
en la ecuación de la recta:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 1 =
4
3
(𝑥 − 1)
𝑦 =
4
3
(𝑥 − 1) + 1
𝑦 =
4𝑥
3
−
4
3
+ 1
𝑦 =
4𝑥
3
−
1
3
La ecuación de la recta tangente en el punto es:
𝑦 =
4
3
𝑥 −
1
3