1. 平面图的Dunbar猜想

2. •学号：PB06001074
•姓名：王晶
•年级：06级
•系别：数学系
•完成日期：2010年6月
•指导教师：徐俊明

3. 致谢
首先我要感谢我的导师徐俊明教授，在大四上
学期结束时，徐老师就已经给我确定了论文题
目，这给了我充分的时间来完成该文章。
与此同时，我要感谢我的同学，他们与我共同探讨问题， 一起解决论文中遇到的困难，同时给予我支持和鼓励， 让我在大学时光的最后时刻依然体会到同学的友谊与温 馨。
最后，我想感谢的时在 与本论文相关领域做出 贡献的大师和教授。

4. 目录
•摘要 2
•Abstract 3
•第一章 绪论 4
• 1.1 背景知识 4
• 1.2 本文主要内容 5
•第二章 与束缚数有关的研究成果 6
• 2.1 some lemmas 6
•第三章 主要的证明和猜想以及本文应用 8
•3.1 主要证明 8
•3.2 猜想 12
•3.3 本文应用 12
•参考文献 14

5. 对一个非空图G（graph）， 如果G中的每一个顶点都在D 中或者与G的顶点相连，那么 D就被称为非空图的控制集 （dominating set），最小的 控制数（dominating number） 我们就用γ（G）表示。设E为 为G的一个边的集合，如果G- E的控制数大于G的控制数， 那么最小的集合E中边的数目 就称为束缚数b（G） （bondage number）。
摘要
Kang 和 Yuan 曾证明 过对任意联通的平面图 G来说 b(G)≤8。 Carlson 和 Develin 提 供过一个简单，原始的 证明：当G为平面图时 b(G)≤ min{8, △(G)+2}。 在本文中，我们将尝试 证明Dunbar的著名猜想 b(G) ≤ △+1；由于证明 本身困难，我们将先考 虑部分情况，就是连通 平面图，与此同时，我 们将只考虑△≤3的特殊 情况。

6. 关键词：束缚数（bondage number），控制数 （domination number），连通的平面图 （connected planar graph），度（degree），顶 点（vertex）
Abstract:
Given a nonempty graph G, a set D of its vertices is a dominating set if every vertex of G is in D or adjacent to a vertex in D. The dominating number γ(G) of a graph G is defined t be the minumum size of a dominating set of G. If E is a edge set of G, the bondage number b(G) of a nonempty graph is defined to be the cardinality of the smallest set E of edges of G such that the graph G-E has domination number greater than that of G.
Kang and Yuan proved b(G)≤8 for every connected planar graph G. Carlson and Develin presented a simple, intuitive proof that b(G)≤ min{8, △(G)+2}for all planar graphs G. In this paper, we conject that b(G) ≤ △+1 when 3≤△≤6. Since it is not very easy, we will consider △≤3 first especially for a connected planar graph.

7. 第一章 绪论
•1.1背景知识
对一个非空图G而言，V（G）和E（G）分别用来表示G 的顶点的集合（vertex set）和边的集合（edge set）。 而的d（G）则通常用来表示G中顶点u的顶点度（vertex degree）定点度定义为G中于x关联边的数目（一条边要 计算两次）。
G中顶点集的最大（maximum）和最小（minimum） 顶点度分别被表示为△（G）和δ（G）：
 △（G）=max{d（x）：x V（G）},
 δ（G）=min{d（x）：x V（G）},

8. 设x，y V（G），从x到y的最短长度称为从 x到y的距离（distance），记为d（x，y）。 同样，对有向图而言，则为从x到y的有向图 的最短长度。
对一个非空图G，如果G中的每一个顶点都在D 中或者与G的顶点相连，那么D就被称为非空图 的控制集，最小的控制数我们就用γ（G）表示。 束缚数最初由bauer et al.[1]在1983年提出。 Fink et al.[3]在1900曾介绍过图的控制数。所 谓束缚数是满足γ（G-E）>γ(G)的的E的最小数 目，其中E为G的边的子集。

9. Conjectore 1 (Dunbar et al.[2]). 如果G 是一个平面图，那么b(G) ≤ △+1.
Conjecture 2 (Teschner[9]).对任意的图， b（G）《3/2△(G).
下面是有关束缚数的最主要的 两个猜想(conjecture)：
在文献[3]中，最初提出了猜想1符合所有的图。 这个结论被Teschner[8]和Hartnell以及Rall[6] 独立举出了反例。
不过也导致了猜想2的成立

10. 1.2本 文 主 要 内 容
第一章主要介绍的是本文的背景知识，以 及关于束缚数的研究历程和与之相关的部 分文献，以及现在的研究现状。
第二章回顾了与束缚数有关的研究成果， 主要结论的列举，以及本文可能用的的 部分主要结论。
第三章则为本文涉及的主要证明以及猜想和本文可能的 应用

11. 第二章 与束缚数有关研究成果
2.1 some lemmas
Lemma 1 (Euler’s formula). 如果G可以嵌入有向 平面类g的表面，同时假设G是连通的图，那么
∣V(G)∣-∣E(G)∣+∣F(G)∣=2-2g
其中F（G）为在类g嵌入图G的表面集。
我们可以很容易的意识到这么一个问题，当G为连通平面 图时，Euler’s formula 可以化为
∣V(G)∣-∣E(G)∣+∣F(G)∣=2。

12. Lemma 2(Hartnell and Tall[6]). 如果G是一个图，
u和v 是图G中相邻的一对顶点集，那么我么可以得到
b(G)≤d(u)+d(v)-1-∣N(u)∩N(v)∣.
更进一步，这暗示着b(G)≤δ(G)+△(G)-1.
Lemma3(Fischermann et al.[4]).如果G是一个平面图，
3≤g（G）≤∞,同时c（G）为截边集，那么
( )( ( ) 2) ( )
( )
( ) 2
g G n G c G
m G
g G
 


13. 如果F1是一个图，它的顶点集为{u1,u2,u3,u4}边集为 {uui∣i=1,2,3}∪{u1u2};F2为另一个图，它的顶点集为 {v1,v2,v3.v4.v}边集为{vvi∣i=1,2,3,4}∪{v1v2,v3v4}.进一步而言， 对每一个正整数t，假设H2,t是从完全双边图K2,t中获得的， 其中K2,t是加入边xy的集合{x，y}和{w1,w2,w3,……wt}.
我们可以定义ζ={C4,C5,F1,F2}∪{H2,t∣t≥1},其中C4,C5分别为 长4和5的环。
如果G是连通的平面图，3≤g（G）≤∞，如果G ζ那么：
3Φ(G)≤2m(G)-n2(G)-n1(G)

14. Lemma4(Lovasz and Plummer[12])假设G 是一个双边平面图，而且顶点数n≥3，那么：
∣E(G)∣≤2n-4
Lemma5（Bondy and Murty[13]）如果G 为平面图，顶点数n≥3，那么：
δ(G)≤5而且
∣E(G)∣≤3n-6
Lemma6（Kang and Yuan[7]） 如果G为连通平面图，那么：
b(G)≤△(G)+2

15. Lemma 7 (Bauer et al. [1], Teschner [10]). 如 果一个图的两个顶点为u，v，且d(u,v)≤2, 那么
b（G）≤d（u）+d（v）-1

16. 证明1：
如果G为连通的平面图，而且没有顶点的的度大于 5，那么：
b(G)≤7.
第三章 主要的证明，猜想，本 文应用
3.1 主 要 的 证 明
证明：假设b(G) ≥8,令X={v∈V(G)∣d(v)≤4}
同时假设X={v1,v2,……vk}，我们可以得到对任意两个 独立的顶点x,y∈,那么
d（x,y）≥3
定义H=G
1,1iiiHHFik

17. 当 为 的子集，那么 还是一个平面集，而且 当d（vi）≥3。
现在，我们可以知道对任意x∈X，y∈N(x)，
（1）如果d（x）≤2，那么d(y)≥7，而且y在Hk中的 最小度为7
（2）如果d（x）≥3而且∣N(x)∩N(y)∣≤1，那么d（y） ≥6而且而且y在Hk中的最小度为7
（3）如果d（x）≥3而且∣N(x)∩N(y)∣≥2，那么d（y） ≥7而且而且y在Hk中的最小度为7
通过对Hk的构造，我们知道Hk为平面图。但是Hk- X是一个最小度为6的平面图，这与假设矛盾，问题 得证。 1iiHF

18. 证明2：
如果G为连通平面图，那么
b(G)≤△(G)+2
证明：当△(G)≥6时，显然成立
当△(G)≤3时，结果可由lemma2直接得到
当△(G)=4而且δ(G)≤3，那么结果也可以由lemma2直接得 到
当G为4规则平面图，由平面图中著名Euler‘s Formula，G 中至少有一个三角。通过应用lemma2对G中三角的顶点，结 果就可得到。
现在假设G为平面图而且△(G)=5。如果δ（G）≤3，那么由 lemma2，我们可以得到
b(G)≤δ(G)+△(G)-1)≤△(G)+2。

19. 如果G的一个子集为K4-e的同构（i.e两个有共同边的三角形），那么明显 又G中相邻的顶点u，v，满足∣N(u)∩N(v)∣≥2。通过lemma2，我们可以进一 步得到
b(G)≤d(u)+d(v)-1-∣N(u)∩N(v)∣≤5+5-1-2=△(G)+2。
我们可以假设δ（G）≥4（这暗示着G中肯定有三角形）对任意两个独立三 角形C1和C2，E(C1)∩E(C2)为空集，定义
A={C∣C为G中三角形}
B={u∈V(G)∣d（u）=4}
T={u∈V（G）∣u在G里面的三角形上}
S={e∈E(G)∣e在G的三角形上}
令F(G)为G中集合的面的集合
由Euler‘s formula
∣V(G)∣-∣E(G)∣+∣F(G)∣=2。
通过计算G中边的数目，我们可以得到
2∣E(G)∣=4∣B∣+5（∣V(G)∣-∣B∣）=5∣V(G)∣-∣B∣
而且
2∣E(G)∣≥3∣A∣+4∣F(G)∣-∣A∣=4 F(G)- ∣A∣

20. 进一步可得
∣A∣+∣B∣≥V(G)+8
令H为G的子集，V(G)=T，E(H)=S。因为△(G)=5，我们一定可得△(H)≤5（事实上我们可以证明△(H)≤4，但是△(H)≤也是足够的）
那么我们可得
3∣A∣=∣S∣=∣E(H)∣≤1/2△(H) ∣V(H)∣=1/2△(H) ∣T∣≤∣T∣
因此 ∣T∣≥6/5∣A∣≥∣A∣
∣A∣+∣B∣>∣V(G)∣+8>∣V(G)∣
这表明T∩B为空集。因此一定有一个G中的三角形C，C中包含一个G中度数 为4的顶点。假设v是C中另一个顶点，那么uv∩E(G)
而且∣N(u)∩N（v）∣≥1，通过lemma2，
b（G）≤d（u）+d（v）-1-∣N(u)∩N（v）∣
≤4+5-1-1
=△（G）+2
此次证明结束。

21. 证明3：
如果G为连通平面图，那么吧b（G）≤8。
证明：如果我们有b（G）≥9，我们根据lemma2，每一条xy 边需要满足d（x）+d（y）≥10。与前面相同，对每一条边ei， 它的曲率为vi+fi-1；在计算fi，在决定面的边的时候，我们忽 略垂直边。例如，我们将要考虑的是有三个面的有垂直边的 三角形，而不是有5个的。如果ei只有一个顶点度为1，我们 就可得到a1=a2=∞而且fi=0。
因为lemma2，那唯一的四倍组成部分（d（x），d（y）， a1，a2），它的曲率为正（up to interchange of x and y and a1 and a2）结果如下：;;
(1,k,∞,∞), where k 9, and ;

22. (2,k,3,4), where k 9, and ;
(3,k,3,3), where k 9, and ;
(3,k,3,4), where k=8,9,10, or 11, and ;
(4,k,3,3), where k=8,9,10, or 11, and ;
and(5,7,3,3), where .
我们称这样的边为问题边，设G中的问题边的的集合为 P(G)。对每一个顶点x，我们定义：
()() ()() ()(1)1/2(1) iiiiiiexyPGexyPGdxdyxVfvf   

23. 现在，我们应用Euler‘s Formula，我们能够得到
无论如何，我们称每个顶点的和α（x）为非正的。如果一个顶点
没有问题边，那么α（x）≤0。当一个顶点有一个问题边符合它，那
么d（x）≥7。
如果d（x）=7，哪么每一个问题边的形式为(5,7,3,30并且 。通过
lemma2，边xu和xv分享两个相邻顶点u，v。边xu和xv有价值 ，因
此每个对α(x)贡献至多-1/42.因为每一个问题边至少有一个这样的边，
我们可以得到α（x）<0
如果d（x）≥8，因为每一个问题边有一个至多度为4的顶点，两个
这样顶点的距离表明b（G）≤，那么我们有至少一条问题边。
如果x有一个度为1,3，或者4的相邻顶点，那么它有至少7个相邻顶
点度数为6。因为d（x）=8，d(y)≥6,而且a1，a2≥3，那么每一个x
和高度数顶点之间
的边满足 .
( ) ( )
( ) ( 1) 2
i
i i
v V G e E G
 v v f
 
     
1 1/ 24 i i v  f  

24. 因为他们之中没有一个问题边，那么它们每一 个对α（x）贡献价值的一半。我们的问题边对α（x）贡献至多1/9，那么我们可以获得
α(x)≤1/9-7/48<0.
如果我们问题边有一个端点y的度为2，那么d（x）≥9。应用lemma7，那么它至少有8个度数 为8的相邻点。每一个相关联的边向α（x）贡献 至多-7/144，而xy贡献至多7/36。因此
α(x)≤7/36-7/18<0.

25. 证明4：
如果图G的形式是G=H K1. 那么 b(G)=δ(H)+1
证明：如果{ui}是H的顶点{vi}是以冠的形式加在上面的顶点，从另一方 面来说，就是vi是通过边ei与ui相连的顶点。那么我们可以得到 γ(G)=|G|/2=|H|.特别要指出的是，所有G最小控制集合的形式是以以下 的形式存在的：对H中任何顶点ui，集合一定包含顶点ui和vi中的某一个 顶点。
为了表明b(G) δ(H)+1,，我们就必须证明如果我们去掉任意的δ（H） 边，那么G的控制集的数目是不变的。假设我们去掉k的垂直边e1,…,ek 和H中 δ(H)-k的边。考虑集合S={v1,…,vk,uk+1,…,u|H|}. 整个集合中有 γ(G)=|H|,我们可以称这就是经我们改变后图的的控制集。非常明显vis 是在N[S]中的, 因为 v1,…,vk 是在 S 中，而且 vj 是与uj S相临的，j>k. 同理, uj S，j>k，那么我们唯一需要验证的是与S中元素相邻的uj，其中 j≤k。那么无论如何uj在H中至少有δ(H)的度，而且只有H中k≤δ(H)元素 从S中丢失，其中的一个一定是uj。因此，uj有一些在S中的相邻顶点， 它们也在H中。

26. 为了证明b(G) δ(H)+1,我们仅需要表明在G中一个系 列δ(H)+1，它们的去除增加了图中控制数的大小。我 们会很容易的发现下面的集合是成立的：对H中任何 极小集的度的顶点，可以去掉此顶点的垂直边。
证明5:
假设Kn是在n个顶点上的完全有向图，假设 Gn=Kn×Kn. 那 么我们可以得到 b(Gn)=4(n-1)+1=Δ(Gn)+1.
证明：通过以上的证明，我们已经表明
b(Gn)≤4（n-1）+1。
为了表明对任何集合S， S E(Gn) 而且 |S|=4(n-1), 这里一定有一些大小为n的 控制集Gn-S。我们称集合{I,k}对常数i和对Gn中ith行的变量k，{k，j}对常量j 和Gn中jth列的变量k。我们把Gn分为列的边集和行的边集，其中列的边集连 接了同列中两个元素，行的边集连接了同行中的两个元素。对一个给定的集 合S而言，我们称顶点v控制了它的行，如果没有任何行的边从S中的v去除； 同理可以定义v控制了它的列。如果一个行没有顶点控制它，那么我们称它为 问题行，同理可以定义问题列。在S中，每一个在此行或列中顶点有至少一 个行或列的边从它上面去掉；那么每一个问题行或列一定有n个连接行或列 的边集。

27. 固定S，使得|S|=4(n-1). 不失一般性我们我们可以假设S中包含至多 2（n-1）列边。对每一个有控制顶点的列而言，我们可以取出一个 集合来形成大小为n的Gn-S 的控制集合。否则，S一定有一个问题 列；不失一般性，我们假设它为0th列。
现在，当∣S∣<2n时，这里存在一个从S中它去掉的仅一个边集的 （k，0）。不失一般性，我们可以假设此边是从（1,0）到（0,0） 的。如果这儿存在j对它而言（0，j）既有到（0,0）的边又能控制 它的列，我们可以取出集合{（1,0），（0，j），vt}，其中vt控制列 t，t≠0。这个集合可以控制Gn-S 而且大小为n。我们可以假设对任 意的j，要么是从（0，j）到（0，0）的边，要么是从S中去除（0， j）的列边。这表明了S中额外的n-1条边。我们现在可以考虑去除 （0，0）的列。

28. 证明6:
假设有在S中从（0,0）中去除 的m列边，我们假设{ki}为行的 集合，而且它包含这些边中一 条边的终点。那么下面的两条 性质中一定有一条是成立的：
（i） 我们可以发现S中n-m条 边，对行i≠0，那么要么是列边， 要么存在于行i中，其中端点为 （i，0）
（ii） 我们可以发现ji≠0 而且 (ki,ji) 既有一条到(k1,0)的边，又 能控制Gn-S.中它的列。
证明：如果m=1，那么除非（ii）是成立 的，对任何一个j，我们从(k1,j) 要么是到 (k1,0)的一条边，要么在S中一条列边。因 为这一定符合形式1≤j≤n-1，我们可以获得 n-1条边，它们要么都是列边，要么包含在 行k1中。
如果m>1，我们可以应用到这些边的前m- 1条边。我们可以发现n-m+1条边满足问题 的限制，那么我们一定可以发现n-m条满足 此情形的边。如果（ii）是成立的，那么考 虑所有j≠0, j1,…,jm-1. 如果任何j控制它的列 而且有一条到(km,0)的边，我们可以设 jm=j 而且他是满足条件（II）的。如果情况不是 这样的，那么对任意的j，便要么从(km,j) 到 (km,0)，是在S中的，要么是一些在S中的 包含(km,j)的列边，与此同时我们可以从S 中取出一个包含所有这些边的子集。这个 集合有n-m个元素，而且它仅包含一个列边， 活着边是端点在(km,0) 的行km，因此这个 边的集合一定符合条件（I），问题得证。

29. 证明7：
对连通平面图，Dunbar的著名猜想是成立 的，即b(G) ≤ △+1；△≤3。
证明：
当△=1时，显然是成立的，因为此时每个顶点与其他顶点最多 有一条边相连，去掉任何一条边，b(G)就是增大的，此时 b(G)=1,显然是小于2的，证明成立。
当△=2时，由lemma2b(G)≤δ(G)+△(G)-1.而δ(G)≤△(G)≤2， 那么b(G)≤2+2-1=3≤2+1，定理得证。
当△=3时，由前面证明可以得到结果。

30. 3.2 猜想
当图G是连通平面图时Dunbar的著名猜想 是成立的，即b(G) ≤ △+1；△≤3，而kelli carlson 和Mike Develin 在2006年证明 Dunbar猜想在有向图中是成立的。虽然近 年来这方面的研究成果不少，但最终结果 还是没有得到证明，但此猜想在△≤5的情 况下应该肯定是成立的。

31. 应用图论（Graph Theory）的产生和发展经历了二百多年的历史， 到现在已经有广泛的应用。而Bondage number作为图论中的一个 猜想，虽然从提出到现在不到30年，但它的应用领域几乎涉及方方 面面，尤其是生产管理，军事，交通运输，计算机和通讯网络方面， 因为他们需要涉及大量的离散性问题。
Bondage number 及其相关问题将在物理，化学，运筹学，计算机 科学，电子学，信息论，控制论，网络理论，社会科学及经济管理 等几乎所有学科领域中各方面应用的研究都得到“爆炸性发展”。 本文与Bondage number 有关的结果也会有很大的应用。
3.3 本文应用

32. [1] D. Bauer, F. Harry, J. Nieminen and C.L. Suffel, Domination alteration sets in graphs, Discrete Math. 47 (1983), pp. 153–161. Article | PDF (737 K) | MathSciNet | View Record in Scopus | Cited By in Scopus (24)
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参考文献

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[13]J.A. Bondy, U.S.R. Murty, Graph Theory with Applications, Elsevier , Amsterdam, 1976

34. Thank you！