Cong nghe cadcam

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
******************************
GIÁO TRÌNH
CÔNG NGHỆ CAD/CAM
Số tiết: 45 tiết
Số Tín chỉ: 3
Phục vụ cho Sinh viên các ngành Cơ khí chế tạo, Cơ Điện tử, Sản xuất Tự động
Biên soạn: GVC NGUYỄN THẾ TRANH
Nội dung:
Chương 1: TỔNG QUAN VỀ CÔNG NGHỆ CAD/CAM
Chương 2: CƠ SỞ CỦA MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC
Chương 3: MÔ HÌNH HOÁ CÁC THỰC THỂ HÌNH HỌC
Chương 4: CƠ SỞ CỦA CAD
Chương 5: PHẦN CỨNG VÀ PHẦN MỀM TRONG CAD
Chương 6: GIỚI THIỆU PHẦN MỀM Pro/ENGINEER Wildfire
Chương 7: KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN SỐ
VÀ CÔNG NGHỆ GIA CÔNG ĐIỀU KHIỂN SỐ CNC
Phương pháp:
Các nội dung lý thuyết cơ sở được giới thiệu trên lớp có trình chiếu minh
hoạ.
Thực hiện các bài học trực tiếp trên phần mềm Pro/ENGINEER Wildfire.
ĐÀ NẴNG 2007

C1 CAD-CAM> TONGQUAN 1 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
Chương 1.
TỔNG QUAN VỀ CAD/CAM
1.1 VAI TRÒ VÀ CHỨC NĂNG CỦA CAD/CAM
TRONG NỀN SX HIỆN ĐẠI.
1.1.1 Giới thiệu về CAD/CAM hay CAO/FAO.
Thiết kế và chế tạo có sự tham gia của máy vi tính (CAD/CAM hay
CAO/FAO) thường được trình bày gắn liền với nhau. Thật vậy, hai lĩnh vực ứng
dụng tin học trong ngành cơ khí chế tạo này có nhiều điểm giống nhau bởi
chúng đều dựa trên cùng các chi tiết cơ khí và sử dụng dữ liệu tin học chung: đó
là các nguồn đồ thị hiển thị và dữ liệu quản lý.
Thực tế, CAD và CAM tương ứng với các hoạt động của hai quá trình hỗ
trợ cho phép biến một ý tưởng trừu tượng thành một vật thể thật. Hai quá trình
này thể hiện rõ trong công việc nghiên cứu (bureau d’étude) và triển khai chế
tạo (bureau des méthodes).
Xuất phát từ nhu cầu cho trước, việc nghiên cứu đảm nhận thiết kế một
mô hình mẫu cho đến khi thể hiện trên bản vẽ biễu diễn chi tiết. Từ bản vẽ chi
tiết, việc triển khai chế tạo đảm nhận lập ra quá trình chế tạo các chi tiết cùng
các vấn đề liên quan đến dụng cụ và phương pháp thực hiện.
Hai lĩnh vực hoạt động lớn này trong ngành chế tạo máy được thực hiện
liên tiếp nhau và được phân biệt bởi kết quả của nó.
* Kết quả của CAD là một bản vẽ xác định, một sự biểu diễn nhiều hình chiếu
khác nhau của một chi tiết cơ khí với các đặc trưng hình học và chức năng. Các
phần mềm CAD là các dụng cụ tin học đặc thù cho việc nghiên cứu và được
chia thành hai loại: Các phần mềm thiết kế và các phần mềm vẽ.
* Kết quả của CAM là cụ thể, đó là chi tiết cơ khí. Trong CAM không truyền đạt
một sự biểu diễn của thực thể mà thực hiện một cách cụ thể công việc. Việc chế
tạo bao gồm các vấn đề liên quan đến vật thể, cắt gọt vật liệu, công suất của
trang thiết bị, các điều kiện sản xuất khác nhau có giá thành nhỏ nhất, với việc
tối ưu hoá đồ gá và dụng cụ cắt nhằm đảm bảo các yêu cầu kỹ thuật của chi tiết
cơ khí.
Nhằm khai thác các công cụ hữu ích, những ứng dụng tin học trong chế
tạo không chỉ hạn chế trong các phần mềm đồ hoạ hiển thị và quản lý mà còn sử
dụng việc lập trình và điều khiển các máy công cụ điều khiển số, do vậy đòi hỏi
khi thực hiện phải nắm vững các kiến thức về kỹ thuật gia công.

Trong chế tạo, việc sử dụng các dữ liệu tin học phải lưu ý đến nhiều mối
quan hệ ràng buộc. Các ràng buộc này nhiều hơn trong thiết kế. Việc cắt gọt vật
liệu trên một máy công cụ điều khiển số hay một máy công cụ vạn năng thông
thường là như nhau, trong hai trường hợp vật liệu không thay đổi về tính chất.
Trong khi đó các dữ liệu tin học có trong môi trường công nghiệp cũng có
trong các xưởng gia công. Các nguồn dữ liệu này cải thiện kỹ thuật chế tạo,
chuyển đổi phương pháp và dẫn đến thay đổi quan trọng trong các công việc
hoàn thành khi lập qui trình công nghệ cũng như trên vị trí làm việc. Ngoài công
việc cho phép điều khiển số các nguyên công gia công, việc thiết lập các dữ liệu
tin học mang lại nhiều sự cải thiện về kết cấu liên quan đến cấu trúc máy và đồ
gá, các phương pháp chế tạo và kiểm tra sản phẩm, thiết kế dụng cụ cắt và các
cơ cấu tự động khác. Mặt khác, các ứng dụng tin học này cũng cho phép khai
thác tốt hơn các khả năng mới của máy và dụng cụ.
Ngày nay việc chuyển biến từ một ý tưởng trừu tượng thành một sản
phẩm thực tế có thể theo một quá trình hoàn toàn được chi phối bởi máy tính
điện tử, như sơ đồ hình 1.1 đã chỉ rõ.
BUREAUTIQUE
ET COMMUNICATION
CONCEPTION, MODELISATION,
ANALYSE ET INGENIERIE ASSISTE PAR
ORDINATEUR (CAO - IAO)
DESSIN ASSISTE PAR
ORDINATEUR (DAO)
PROCEDES, SIMULATION, PROGRAMMATION
MOCN ROBOTAUTOMATMOCN
CAO
FAO
CONTRÔLE DE QUALITÉ
INVENTAIRE ET MANUTENTION
FABRICATION
INTEGREE
SUR
ORDINATEUR
(FIO)
ADMINISTRATION
ET GESTION
BUREAU
D’ETUDE
BUREAU
DE
METHODES
ADMINISTRATION ET
GESTION
Hình 1.1 - Sơ đồ CAO - FAO - FIO

Ta phân biệt hai loại dụng cụ tin học trong nghiên cứu thiết kế:
- Các phần mềm vẽ có sự tham gia của máy tính điện tử
(Dessin Assisté par Ordinateur-DAO hay Computer Aided Drawing - CAD).
- Các phần mềm thiết kế có sự tham gia của máy tính điện tử
(Conception Assistée par Ordinateur-CAO hay Computer Aided Design-CAD).
Trong tiếng Anh ta sử dụng từ CAD chung cho cả hai phần mềm này.
Trong triển khai chế tạo ra sản phẩm từ bản vẽ thiết kế, ngày nay có các phần
mềm ứng dụng đó là các phần mềm chế tạo có sự tham gia của máy tính điện tử
( Fabrication Assistée par Ordinateur - FAO
hay Computer Aided Manufacturing - CAM)
Khi sự tích hợp trên máy tính điện tử cho các hoạt động thiết kế và chế
tạo được thực hiện, tức là khi việc thực hiện có thể trực tiếp dựa vào các dữ liệu
số được tạo ra bởi việc thiết kế, tập hợp các hoạt động đặc trưng của CAD/CAM
được mô tả dưới khái niệm chế tạo được tích hợp bởi máy tính điện tử
( Fabrication Intégrée par Ordinateur - FIO
hay Computer integrated Manufacturing - CIM).
Do vậy CIM biểu diễn các hoạt động tương ứng với thiết kế, vẽ, chế tạo
và kiểm tra chất lượng của một sản phẩm cơ khí.
1.1.2 Đối tượng phục vụ của CAD/CAM.
Xu thế phát triển chung của các ngành công nghiệp chế tạo theo công
nghệ tiên tiến là liên kết các thành phần của qui trình sản xuất trong một hệ
thống tích hợp điều khiển bởi máy tính điện tử (Computer Integrated
Manufacturing - CIM).
Các thành phần của hệ thống CIM được quản lý và điều hành dựa trên cơ
sở dữ liệu trung tâm với thành phần quan trọng là các dữ liệu từ quá trình CAD.
Kết quả của quá trình CAD không chỉ là cơ sở dữ liệu để thực hiện phân
tích kỹ thuật, lập qui trình chế tạo, gia công điều khiển số mà chính là dữ liệu
điều khiển thiết bị sản xuất điều khiển số như các loại máy công cụ, người máy,
tay máy công nghiệp và các thiết bị phụ trợ khác.
Công việc chuẩn bị sản xuất có vai trò quan trọng trong việc hình thành
bất kỳ một sản phẩm cơ khí nào.

Công việc này bao gồm:
- Chuẩn bị thiết kế ( thiết kế kết cấu sản phẩm, các bản vẽ lắp chung
của sản phẩm, các cụm máy.v.v...)
- Chuẩn bị công nghệ (đảm bảo tính năng công nghệ của kết cấu,
thiết lập qui trình công nghệ)
- Thiết kế và chế tạo các trang bị công nghệ và dụng cụ phụ v.v...
- Kế hoạch hoá quá trình sản xuất và chế tạo sản phẩm trong thời
gian yêu cầu.
Hiện nay, qua phân tích tình hình thiết kế ta thấy rằng 90% thời lượng
thiết kế là để tra cứu số liệu cần thiết mà chỉ có 10% thời gian dành cho lao động
sáng tạo và quyết định phương án, do vậy các công việc trên có thể thực hiện
bằng máy tính điện tử để vừa tiết kiệm thời gian vừa đảm bảo độ chính xác và
chất lượng.
CAD/CAM là lĩnh vực nghiên cứu nhằm tạo ra các hệ thống tự động thiết
kế và chế tạo trong đó máy tính điện tử được sử dụng để thực hiện một số
chức năng nhất định.
CAD/CAM tạo ra mối quan hệ mật thiết giữa hai dạng hoạt động: Thiết
kế và Chế tạo.
Tự động hoá thiết kế là dùng các hệ thống và phương tiện tính toán giúp
người kỹ sư thiết kế, mô phỏng, phân tích và tối ưu hoá các giải pháp thiết kế.
Tự động hoá chế tạo là dùng máy tính điện tử để kế hoạch hoá, điều
khiển và kiểm tra các nguyên công gia công.
1.1.3 Vai trò của CAD/CAM trong chu kỳ sản xuất.
Khái niệm
SP mới
Vẽ
chi tiết
Lập
biểu đồ SX
Sản xuất
sản phẩm
Kiểm tra
chất lượng
Nhu cầu
thị trường
Thiết kế
sản phẩm
Nhu cầu
TTB mới
Kế hoạch hoá
QTSX
Hình 1.2- Sơ đồ chu kỳ sản xuất

Rõ ràng rằng CAD/CAM chi phối hầu hết các dạng hoạt động và chức
năng của chu kỳ sản xuất. Ở các nhà máy hiện đại, trong công đoạn thiết kế và
chế tạo, kỹ thuật tính toán ngày càng phát huy tác dụng và là nhu cầu không thể
thiếu được.
1.1.4 Chức năng của CAD.
Khác biệt cơ bản với qui trình thiết kế theo công nghệ truyền thống, CAD
cho phép quản lý đối tượng thiết kế dưới dạng mô hình hình học số trong cơ sở
dữ liệu trung tâm, do vậy CAD có khả năng hỗ trợ các chức năng kỹ thuật ngay
từ giai đoạn phát triển sản phẩm cho đến giai đoạn cuối của quá trình sản xuất,
tức là hỗ trợ điều khiển các thiết bị sản xuất bằng điều khiển số.
Hệ thống CAD được đánh giá có đủ khả năng để thực hiện chức năng yêu
cầu hay không, phụ thuộc chủ yếu vào chức năng xử lý của các phần mềm thiết
kế. Ngày nay những bộ phần mềm CAD/CAM chuyên nghiệp phục vụ thiết kế
và gia công khuôn mẫu có khả năng thực hiện được các chức năng cơ bản sau:
TĐH
thiết kế
Vẽ bằng
MTĐT
Nhu cầu
TTB mới
Nhu cầu
thị trường
Vẽ chi tiếtThiết kế
SP
Khái niệm
SP mới
Sản xuất
sản phẩm
Kiểm tra
chất lượng
TĐH KHH
QTSX
KHH
QTSX
TB ĐK bằng
MTĐT
TĐH
KTCL
Lập biểu đồ
SX
Vẽ BĐ, lập nhu cầu
NVL KT
Hình 1.3 - Sơ đồ chu kỳ sản xuất khi dùng CAD/CAM

- Thiết kế mô phỏng hình học 3 chiều (3D) những hình dạng phức tạp.
- Giao tiếp với các thiết bị đo, quét toạ độ 3D thực hiện nhanh chóng các
chức năng mô phỏng hình học từ dữ liệu số.
- Phân tích và liên kết dữ liệu: tạo mặt phân khuôn, tách khuôn, quản lý
kết cấu lắp ghép...
- Tạo bản vẽ và ghi kích thước tự động: có khả năng liên kết các bản vẽ
2D với mô hình 3D và ngược lại.
- Liên kết với các chương trình tính toán thực hiện các chức năng phân
tích kỹ thuật: tính biến dạng khuôn, mô phỏng dòng chảy vật liệu,
trường áp suất, trường nhiệt độ, độ co rút vật liệu,...
- Nội suy hình học, biên dịch các kiểu đường chạy dao chính xác cho
công nghệ gia công điều khiển số.
- Giao tiếp dữ liệu theo các định dạng đồ hoạ chuẩn.
- Xuất dữ liệu đồ hoạ 3D dưới dạng tập tin STL để giao tiếp với các
thiết bị tạo mẫu nhanh theo công nghệ tạo hình lập thể.
Những ứng dụng của CAD trong ngành chế tạo máy:
• Tạo mẫu nhanh thông qua giao tiếp dữ liệu với thiết bị tạo mẫu
nhanh theo công nghệ tạo hình lập thể (đo quét toạ độ)
• Giảm đáng kể thời gian mô phỏng hình học bằng cách tạo mô
hình hình học theo cấu trúc mặt cong từ dữ liệu số.
• Chức năng mô phỏng hình học mạnh, có khả năng mô tả những
hình dáng phức tạp nhất.
• Khả năng mô hình hoá cao cho các phương pháp phân tích, cho
phép lựa chọn giải pháp kỹ thuật tối ưu.
1.2 THIẾT KẾ VÀ GIA CÔNG TẠO HÌNH.
Theo lịch sử hình thành và phát triển ta có thể phân biệt công nghệ thiết kế và
gia công tạo hình như sau:
- Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ truyền thống.
- Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ CAD/CAM
- Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ tích hợp CIM
1.2.1 Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ truyền thống.
Trong công nghệ truyền thống, các mặt cong 3D phức tạp được gia công trên
máy vạn năng theo phương pháp chép hình sử dụng mẫu hoặc dưỡng. Do vậy
qui trình thiết kế và gia công bao gồm có 4 giai đoan phân biệt (Hình 1.4):
1. Tạo mẫu sản phẩm,
2. Lập bản vẽ kỹ thuật,
3. Tạo mẫu chép hình,
4. Gia công chép hình.
Qui trình này có những hạn chế:

- Khó đạt được độ chính xác gia công, chủ yếu do quá trình chép hình,
- Dễ dàng làm sai do nhầm lẫn hay hiểu sai vì phải xử lý một số lớn dữ
liệu,
- Năng suất thấp do mẫu được thiết kế theo phương pháp thủ công và
qui trình được thực hiện tuần tự: tạo mẫu sản phẩm - lập bản vẽ chi tiết
- tạo mẫu chép hình - phay chép hình.
1.2.2 Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ CAD/CAM.
Sự phát triển của phương pháp mô hình hoá hình học cùng với thanh tựu
của công nghệ thông tin, công nghệ điện tử, kỹ thuật điều khiển số đã có những
ảnh hưởng trực tiếp đến công nghệ thiết kế và gia công tạo hình (Hình 1.5):
- Bản vẽ kỹ thuật được tạo từ hệ thống vẽ và tạo bản vẽ với sự trợ giúp
của máy vi tính.
- Tạo mẫu thủ công được thay thế bằng mô hình hoá hình học trực tiếp
từ giá trị lấy mẫu 3D.
- Mẫu chép hình được thay thế bằng mô hình toán học - mô hình hình
học lưu trữ trong bộ nhớ máy vi tính và ánh xạ trên màn hình dưới
dạng mô hình khung lưới.
- Gia công chép hình được thay thế bằng gia công điều khiển số (CAM).
Về công nghệ, khác biệt cơ bản giữa gia công tạo hình theo công nghệ
truyền thống và công nghệ CAD/CAM là thay thế tạo hình theo mẫu bằng mô
hình hoá hình học.
Ý TƯỞNG
VẼ & THIẾT KẾ
BẢN VẼ KỸ THUẬT
TẠO MẪU CHÉP HÌNH
GIA CÔNG CHÉP HÌNH
MẪU
CHÉP HÌNH
MẪU
SẢN PHẨM
Hình 1.4 - Qui trình thiết kế và gia công tạo hình
theo công nghệ truyền thống
Hiệu chỉnh
Lấy mẫu

Kết quả là mẫu chép hình và công nghệ gia công chép hình được thay thế
bằng mô hình hình học số (Computational Geometric Model - CGM) và gia
công điều khiển số. Mặt khác khả năng kiểm tra kích thước trực tiếp và khả
năng lựa chọn chế độ gia công thích hợp (gia công thô, bán tinh và tinh).
Theo công nghệ CAD/CAM phần lớn các khó khăn của quá trình thiết kế
và gia công tạo hình theo công nghệ truyền thống được khắc phục vì rằng:
• Bề mặt gia công đạt được chính xác và tinh xảo hơn.
• Khả năng nhầm lẫn do chủ quan bị hạn chế đáng kể.
• Giảm được nhiều tổng thời gian thực hiện qui trình thiết kế và gia
công tạo hình.
1.2.3 Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ tích hợp (CIM).
Từ công nghệ CAD/CAM ta dễ dàng thực hiện ý tưởng liên kết mọi thành
phần trong một hệ thống tích hợp (Hình 1.6). Theo công nghệ tích hợp, công
việc mô hình hoá hình học - vẽ - tạo bản vẽ được tích hợp trong CAD; kết quả
mọi thông tin về hình dáng được lưu lại dưới dạng CGM, lưu trữ trong cơ sở dữ
liệu trung tâm. Công nghệ tiên tiến nhất có khả năng hỗ trợ thực hiện toàn bộ qui
trình thiết kế và chế tạo theo công nghệ tích hợp:
• Cho phép thiết lập mô hình hình học số CGM trực tiếp từ ý tưởng
về hình dáng.
• Được trợ giúp bởi thiết bị đồ hoạ mạnh và công nghệ tô màu, tạo
bóng hiện đại.
Ý TƯỞNG
VẼ & TẠO BẢN VẼ
(CADD)
BẢN VẼ KỸ THUẬT
MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC
GIA CÔNG ĐIỀU KHIỂN SỐ
(CAM)
MÔ HÌNH
HÌNH HỌC SỐ (CGM)
MẪU
SẢN PHẨM
Hình 1.5 - Qui trình thiết kế và gia công tạo hình
theo công nghệ CAD/CAM
Lấy mẫu, số hoá
Hiệu chỉnh

• Có khả năng thực hiện các chức năng phân tích kỹ thuật; liên kết
với các thiết bị tạo mẫu nhanh theo công nghệ tạo hình lập thể; lập
trình chế tạo; điều khiển quá trình gia công điều khiển số; lập qui
trình lắp ráp; tạo phôi,...
1.3 MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC.
Mô hình hoá hình học là mô tả đối tượng hình học bởi
mô hình toán học - mô hình hình học số.
Khái niệm mô hình hình học được sử dụng cho thực thể hình học có
thể mô tả được, đó là những thực thể hình học cơ sở, được sử dụng trên bản vẽ
kỹ thuật hay trên màn hình, đó là:
- Điểm,
- Đường cong, bao gồm cả đoạn thẳng,
- Mặt cong, bao gồm cả mặt phẳng,
- Khối (cấu trúc đặc).
Mô hình hình học được diễn giải bởi con người nhưng hình thức mô tả
chúng phải thích hợp, rõ ràng sao cho có thể chuyển đổi thành mô hình hình
học số duy nhất. Tức là yêu cầu mô hình hình học phải được mô tả bởi các giá
trị số chính xác:
BẢN VẼ
KỸ THUẬT
Ý TƯỞNG
CAD
CAPP
Computer Aided Process Planning
MÔ HÌNH
HÌNH HỌC SỐ (CGM)
MÔ HÌNH
FEM
MÀN HÌNH
ĐỒ HOẠ
MẪU
SẢN PHẨM
CAM
Hình 1. 6 - Qui trình thiết kế và gia công tạo hình
theo công nghê tích hợp

- Điểm có thể mô tả bởi giá trị toạ độ,
- Đường cong có thể được mô tả bởi chuỗi điểm hoặc phương trình,
- Mặt cong có thể được mô tả bởi tập hợp điểm hoặc lưới đường cong,
hoặc phương trình,
- Khối có thể được định nghĩa bởi các mặt cong bao quanh nó.
1.3.1 Phương pháp mô tả đường cong.
1. Đường cong 2D được mô tả bởi 2 phương pháp:
a. Sử dụng các đường cong 2D cơ sở.
b. Như là chuỗi điểm trên mặt phẳng.
2. Đường cong 3D được mô tả bởi một trong các cách sau:
a. Chuỗi điểm 3D
b. Giao tuyến giữa 2 mặt cong.
c. Hình chiếu của đường cong 2D lên mặt cong 3D.
d. Tập đường cong 2D trên các mặt phẳng hình chiếu trục đo.
3. Phương pháp đơn giản mô tả đường cong 2D.
Người ta sử dụng họ đường cong bậc hai conic, bao gồm: đoạn thẳng,
đường tròn, đường êlip, đường Parabol, đường Hyperbol. Chúng được xác định
rõ ràng bởi thông số của chúng như: toạ độ tâm, bán kính, tiêu điểm.
Ta có thể gọi họ đường cong conic là đường cong cơ sở tạo nên đường
cong đa hợp bằng cách nối kết liên tục theo chuỗi, có thể sử dụng góc lượn tại vị
trí yêu cầu để đạt độ trơn láng.
4. Phương pháp phổ biến nhất để mô tả đường cong tự do 2D và 3D.
Đây là phương pháp xác định chuỗi điểm đường cong đi qua, phương
pháp gián tiếp để mô tả đường cong 3D là xác định giao tuyến giữa 2 mặt cong.
Trong trường hợp này ta không thể xác định đường cong một cách chính
xác. Phương pháp phổ biến xác định dường cong 3D trong vẽ kỹ thuật là xác
định hình chiếu 2D của chúng, sau đó xác định hình chiếu trên mặt cong, đây
chính là phép chiếu ngược.
1.3.2 Phương pháp mô tả mặt cong.
Ta không thể vẽ mặt cong hình học, nhưng có thể mô tả chúng trên bản vẽ
dưới dạng mô hình:
- Mặt hình học cơ sở,
- Mặt nội suy lưới đường cong,
- Mặt quét hình đường mặt cắt,
- Mặt nội suy điểm,
- Mặt kết nối hình.
Tương ứng đó là:
• Sử dụng các mặt cong cơ sở.
• Mô tả mặt cong bởi mô hình lưới đường cong.

• Mô tả mặt cong bởi phép quét hình.
• Mặt cong nội suy điểm.
• Mô hình mặt cong kết nối.
1.3.3 Phương pháp mô tả khối hình học.
Khác biệt cơ bản với mô hình mặt cong, ngoài dữ liệu hình học thuộc mặt
bao, phương pháp mô hình hoá theo cấu trúc khối, cho phép quản lý dữ liệu
thuộc miền không gian bên trong thực thể hình học.
Về phương pháp tạo hình, phương pháp mô hình hoá hình học theo cấu
trúc khối sử dụng thuật toán BOOL (phép toán về tập hợp) trên các khối hình
học cơ sở. Khối hình học cơ sở có thể là:
- Khối cơ sở bậc hai.
- Khối quét hình: hình thành trên cơ sở quét hình mặt giới hạn bởi
đường viền 2D khép kín theo đường định hình.
1.3.4 Phương pháp mô hình hoá hình học.
Theo phương pháp mô tả điểm, đường cong, mặt cong, khối hình học đã
đề cập ở trên, ta có thể xây dựng giải thuật mô hình hoá hình học theo cấu trúc
mặt cong và cấu trúc khối theo qui tắc chung như sau:
• Thực thể hình học được mô tả như cấu trúc thể hiện mối
tương quan giữa các thực thể hình học cơ sở cùng loại hoặc
khác loại.
• Mặt cong được mô tả bởi phép nội suy điểm; nội suy lưới
đường cong; phép quét hình đường mặt cắt; mặt cong cơ sở
bậc hai.
• Khối hình học được mô tả bởi phép quét hình mặt cắt; khối
cơ sở bậc 2.
Trong trường hợp tổng quát, thực thể hình học được xác dịnh từ những
thực thể cơ sở cấp thấp hơn. Ví dụ như đường cong được thiết lập từ điểm, mặt
cong từ điểm và đường cong, khối từ các bề mặt bao,...
Các thực thể hình học cấp thấp và tham số thiết kế được gọi là yếu tố điều
khiển hình học, có thể hiệu chỉnh được để thay đổi hình dáng và kích thước.

C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 1 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
Chương 2
CƠ SỞ CỦA MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC
Trong chương này trình bày tóm tắt các kết quả cơ bản của hình học vi phân và
phép biến đổi toạ độ sử dụng trong mô hình hoá hình học.
2.1 HÌNH HỌC ĐƯỜNG CONG.
Về mặt trực quan, đường cong được định nghĩa như là quĩ đạo điểm thoả mãn
một số điều kiện.
2.1.1 Biểu diễn đường cong.
Về toán học, đường cong có thể dược biểu diễn dưới các dạng:
- Phương trình ẩn.
- Phương trình tường minh.
- Phương trình tham số.
Xét đường tròn đơn vị trên mặt phẳng (x - y), có tâm trùng với gốc hệ toạ độ
trên hình 2.1. Mối quan hệ giữa các toạ độ x và y được mô tả bởi phương trình:
01),( 22
=−+= yxyxf : Phương trình ẩn (2.1)
Nếu chỉ xét phần nửa trên của đường tròn, phương trình biểu diễn là:
2/1
)1()( xxgy −== : Phương trình tường minh (2.2)
Nếu đặt góc θ giữa đoạn thẳng PO và trục x là tham số của đường tròn, ta có:
θθ cos)( == xx ; θθ sin)( == yy : Phương trình tham số (2.3)
Trường hợp đặt góc α tạo bởi PQ và trục x là tham số, thì )1/( +== xytgt α
Kết hợp với phương trình (2.1) ta có:
)1/()1()( 22
tttxx +−== ; )1/(2)( 2
tttyy +== (2.4)
Đây cũng là phương trình tham số của đường tròn và được gọi là phương trình
tham số đa thức hữu tỷ. Quá trình thiết lập phương trình tham số hữu tỷ của đường
cong và mặt cong từ phương trình đa thức ẩn được gọi là tham số hoá.
Nên biểu diễn đường cong 3D thích hợp dưới dạng phương trình tham số:
)(txx = ; )(tyy = ; )(tzz =
hay dưới dạng vectơ: )](),(),([)( tztytxtr =
y
x
y
P(x,y)
o
θ
o
y
x
y
P(x,y)
o
α
Q
Hình 2.1 : Tham số hoá đường tròn đơn vị

Theo dạng phương trình tham số, đường cong được định nghĩa một cách dễ
dàng bằng cách xác định miền giới hạn của tham số. Không thể xác định đường cong
3D bởi phương trình ẩn hay tường minh, bởi vì phương trình ẩn g(x,y,z)=0 biểu diễn
mặt cong, do đó cần hai phương trình để xác định đường cong 3D. Trong trường hợp
này, đường cong được định nghĩa như giao tuyến giữa hai mặt cong.
2.1.2 Đặc tính của đường cong.
Trong phần này để biểu diễn đường cong, ta sử dụng phương trình tham số
chuẩn tắc: )](),(),([)( tztytxtrr ==
Đặc tính cơ bản của đường cong, bao gồm:
a. Độ chảy của đường cong.
b. Vectơ tiếp tuyến đơn vị.
c. Vectơ pháp tuyến chính.
d. Độ cong và bán kính cong.
1. Độ chảy:
Độ lớn của vectơ đạo hàm )(tr& được gọi là độ chảy của đường cong:
)()( trts && = (2.5)
Hãy tưởng tượng đường cong là con đường và tham số t tượng trưng cho thời
gian. Như vậy, độ chảy của đường cong tương ứng với tốc độ chạy xe. Đại lượng này
được sử dụng trong thuật toán nội suy hình học theo phương pháp quét hình.
Nếu đặt quãng đường đi được là tham số s, phương trình đường cong dạng r(s)
trở thành phương trình tham số tự nhiên với độ chảy bằng 1. Độ chảy của đường cong
không phải là đặc tính riêng của đường cong, đó là kết quả của phép tham số hoá.
2. Vectơ tiếp tuyến đơn vị:
Cho s là tham số tự nhiên của đường cong r(t), sao cho:
dttrs ∫=
θ
0
)(&
Vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t) được định nghĩa như sau:
dsdrT /= (2.6)
hay dưới dạng vi phân: )(/)( trtrT &&= (2.7)
3. Vectơ pháp tuyến chính:
Lấy đạo hàm vectơ tiếp tuyến đơn vị T theo t và chuẩn hoá giá trị, chúng ta có
vectơ đơn vị N, được gọi là vectơ pháp tuyến chính của đường cong:
dsdTdsdTdtdtdtdTN //)/(//)/( ≡= (2.8)
Vì T là vectơ đơn vị (T.T=1), do đó
vectơ N vuông góc với vectơ T (Hình 2.2).
Mặt phẳng định nghĩa bởi vectơ T
và N được gọi là mặt phẳng mật tiếp. Vectơ
B vuông góc với vectơ N và T được gọi là
vectơ pháp tuyến đôi xác định bởi quan hệ:
B = TxN
T
N
Đường tròn mật tiếp
Hình 2.2 : Vectơ pháp tuyến chính
và đường tròn mật tiếp

4. Độ cong và bán kính cong:
Hãy cho s là tham số tự hiên và T là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong
r(t). Độ cong được định nghĩa như sau:
dsdTk /= (2.9)
hay dưới dạng vi phân:
3
r
rr
k
&
&&&×
= (2.10)
trong đó: dtrdrdttdrr /;/)( &&&& ≡≡ . Đối với đường cong 2D dạng phương trình tường
minh y = y(x), phương trình trên có dạng:
2/32
)1/( yyk &&& +=
trong đó: dxdyy /≡& ; dxydy /&&& ≡
Hãy xét đường tròn trên mặt phẳng mật tiếp (Hình 2.2), đi qua điểm hiện thời
r(t) và độ cong của nó bằng chính độ cong của đường cong tại điểm này. Đường tròn
này được gọi là đường tròn mật tiếp, bán kính của đường tròn mật tiếp được gọi là bán
kính cong và được xác định bởi:
k/1=ρ (2.11)
5. Độ xoắn của đường cong:
Độ xoắn của đường cong 3D được định nghĩa như sau:
NdsdB )./(−=τ
trong đó N là vectơ pháp tuyến chính; B là vectơ pháp tuyến đôi. Phương trình cơ bản
mô tả đặc tính của đường cong 3D được gọi là phương trình Serret-Frenet:
;/ Tdsdr = kNdsdT =/
kTBdsdN −=τ/ ; 1
/ −
−= NdsdB τ (2.12)
2.2 HÌNH HỌC MẶT CONG.
2.2.1 Phương pháp biểu diễn mặt cong:
1. Mô hình mặt cong cong dạng phương trình ẩn.
Hãy xét mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc toạ độ Đề các. Các điểm phía trong mặt
cầu thoả bất đẳng thức: 01222
<−++ zyx
và phương trình: 01222
=−++ zyx (2.13)
biểu diễn các điểm thuộc mặt cầu.
Xét một cách tổng quát, phương trình ẩn g(x,y,z) = 0 biểu diễn mặt cong giới
hạn bởi hai nửa không gian g(x,y,z) > 0 và g(x,y,z) < 0.
2. Mô hình mặt cong dạng phương trình tham số.
Theo hình học vi phân, mặt cong được định nghĩa như là ảnh của phép ánh xạ
chính qui tập hợp điểm trong không gian 2D vào không gian 3D và được biểu diễn bởi
phương trình:
)],(),,(),,([),( vuzvuyvuxvur = (2.14)
trong đó: u và v là tham số của mặt cong.
Đối với hình cầu đơn vị, ta có thể dễ dàng tham số hoá phương trình (2.13)
bằng cách đặt tham số u là vĩ tuyến và tham số v là kinh tuyến của mặt cầu:
)sin,sincos,cos(cos),( vuvuvvur = (2.15)

với: π20 ≤≤ u và 2/2/ ππ ≤≤− v
Tương tự như đường tròn đơn vị có thể tham số hoá phương trình mặt cầu dưới
hình thức khác, bằng cách sử dụng đa thức hữu tỷ.
3. Mô hình mặt cong dạng phương trình phi tham số.
Khi miền xác định của mặt cong là mặt phẳng x-y của hệ toạ độ Descarte
),( yvxu ≡≡ , mô hình tham số (2.14) trở thành phi tham số:
)),(,,(),( vuzvuvur = hay ),( yxzz = (2.16)
Nếu chỉ xét bán cầu trên của mặt cầu đơn vị thì phương trình (2.13) được biểu
diễn dưới dạng tường minh:
2/122
)1( yxz −−= với 1)( 22
≤+ yx (2.17)
2.2.2 Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong.
Xét đường cong tham số 2D: q(t) trên miền (u,v) của mặt cong tham số r(u,v)
(Hình 2.4):
T
tvtutq )](),([)( = (2.18)
Hãy cho đường cong r(t) là hình chiếu của đường cong q(t) trên mặt cong
r(u,v), sao cho:
r(t) = r(u(t), v(t))
= (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))) (2.19)
Hình học mặt cong
được minh hoạ trên hình
2.3. Ta thường gọi phần
mặt cong trong miền tham
số giới hạn là mặt lưới. Các
mặt lưới liên kết theo điều
kiện kết nối liên tục tạo
thành mặt cong phức hợp.
u
(u=0,v=0)
v điểm gốc
đường
biên
(u=1,v=1)
đường sinh phương v
đường sinh
phương u
mặt lưới
·
·
·
Hình 2.3 : Hình học mặt cong
q(t)
v
u
ru
r(u,v)
r(t)
rv
r&
u
v
Hình 2.4 - Đường cong trên mặt cong
và mặt phẳng tiếp tuyến
Trường hợp đặc
biệt của (2.19) là đường
cong đẳng tham số:
ttvuu
ttuvv
==
==
)(,
)(,
*
*

Vectơ tiếp tuyến.
Đạo hàm riêng của mặt cong r(u,v) được định nghĩa như sau:
urru ∂∂= / ; vrrv ∂∂= / ; vurruv ∂∂∂= /2
(2.20)
Lấy đạo hàm phương trình (2.19) theo t, ta có:
vrur
dt
dv
v
r
dt
du
u
r
dt
dr
r vu
&&& +=
∂
∂
+
∂
∂
== (2.21)
trong đó: r& là vectơ tiếp tuyến của đường cong r(t); ru và rv là vectơ tiếp tuyến của
đường cong đẳng tham số u = u*
, v = v*
. Ba vectơ tiếp tuyến r& , ru, rv xác định mặt
phẳng tiếp tuyến với mặt cong (Hình 2.4).
Vectơ pháp tuyến.
Vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt phẳng tiếp tuyến được gọi là vectơ pháp
tuyến đơn vị của mặt cong tại điểm cho trước và được xác định bởi:
vuvu rrrrn ××= /)( (2.22)
Vectơ pháp tuyến đơn vị rất cần thiết trong các phép khảo sát mặt cong.
Ma trận cơ sở thứ nhất.
Vectơ tiếp tuyến (2.21) có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận:
qvrurr vu
&&&& Λ=+= (2.23)
trong đó: vu rr ,=Λ ; T
vudtdvdtdudttdqq ][)/,/(/)( &&& === . Giá trị vectơ tiếp tuyến
được tính như sau:
qGqqqrrr TTTT
&&&&&&& =ΛΛ== )()(
2
(2.24)
trong đó: ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=ΛΛ=
vvvu
vuuuT
rrrr
rrrr
G
..
..
: Ma trận cơ sở thứ nhất. (2.25)
Do đó, vectơ tiếp tuyến đơn vị T được biểu diễn theo G như sau:
2/1
)/()(/ qGqqrrT T
&&&&& Λ== (2.26)
Áp dụng ma trận cơ sở thứ nhất, ta có thể tính diện tích mặt cong và diện tích
mặt cắt theo công thức đơn giản sau:
dudvGdudvrrS vu
2/1
∫∫∫∫ =×= (2.27)
2.2.3 Độ cong.
Ma trận cơ sở thứ hai.
Xét đường cong r(t) trên mặt cong r(u,v) (Hình 2.4). từ (2.21), đạo hàm bậc hai
của r(t) theo t có giá trị như sau:
vuvvvuuvuu rvrurvvrurvruur &&&&&&&&&&&& +++++= )()( (2.28)
Thực hiện phép nhân vô hướng với vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong với
chú ý rằng ru.n = rv.n = 0, ta có:
qDqnrvnrvunrunr T
vvuvuu
&&&&&&&& =++= .)(.2.)(. 22
(2.29a)
trong đó: ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
v
u
q
&
&
& ; và ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
nrnr
nrnr
D
vvuv
uvuu
..
..
: ma trận cơ sở thứ hai.

Độ cong pháp tuyến.
Từ phương trình (2.12), đạo hàm bậc hai của r(t) được tính như sau:
)(
)(
kNssTsTsTs
dt
Tsd
dt
rd
r &&&&&&&&
&&
&& +=+===
Thực hiện phép nhân vô hướng một lần nữa với vectơ n và chú ya rằng:T.n = 0:
nkNsnr .)(. 2
&&& = (2.29b)
Giá trị kN.n ở biểu thức trên được gọi là độ cong pháp tuyến kn. Từ các công
thức (2.29) và (2.25), chú ý rằng rs && = , độ cong pháp tuyến được xác dịnh bởi công
thức sau:
qGq
qDq
s
qDq
s
nr
nkNk T
TT
n
&&
&&
&
&&
&
&&
===≡ 22
)()(
.
. (2.30)
Ý nghĩa vật lý của độ cong pháp tuyến như sau:
Tại điểm hiện thời r(u(t),v(t)) trên mặt cong r(u,v), dựng mặt phẳng π đi qua
vectơ tiếp tuyến đơn vị T và vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong. Độ cong của
đường cong với mặt phẳng π là độ cong pháp tuyến của mặt cong tại điểm r(t) theo
phương vectơ q& .
Độ cong chính.
Độ cong pháp tuyến (2.30) là hàm của q& :
qGq
qDq
qk T
T
n
&&
&&
& =)(
Do đó có thể tính giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến từ biểu thức:
022 =−=
∂
∂
qGkqD
q
k
n
n
&&
&
(2.31)
Giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến được gọi là độ cong chính và được xxác
định từ (2.30) như sau:
a
acbb
kn
2/12
1
)( −+
= ;
a
acbb
kn
2/12
2
)( −−
= (2.32)
trong đó: ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==
2
1
gh
hg
Ga ; ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==
2
1
de
ed
Dc ; eh
dgdg
b −
+
=
2
1221
Với: g1, g2, h, d1, d2, e là các số hạng tương ứng của ma trận cơ sở G và D.
Tích giá trị hai độ cong chính được gọi là độ cong Gauss được sử dụng để biểu
diễn độ trơn láng của mặt cong.

2.3 PHÉP BIẾN ĐỔI TOẠ ĐỘ.
Mọi phép biến hình trong đồ hoạ điện toán và mô hình hoá hình học đều dựa
trên 3 hình thức biến đổi toạ độ cơ bản là dịch chuyển tịnh tiến, lấy tỷ lệ và quay.
2.3.1 Phép biến đổi toạ độ 2D.
Giả sử điểm P’(x’,y’) là vị trí của điểm P(x,y) sau phép biến đổi toạ độ. Toạ độ
(x’,y’) của điểm P’ tương ứng với vectơ dịch chuyển t (tx,ty) (Hình 2.5a); hệ số tỷ lệ s
(sx,sy) (Hình 2.5b); góc xoay θ ngược chiều quya kim đồng hồ (Hình 2.5c) được xác
định như sau:
x’ = x + tx ; y’ = y + ty (2.33)
x’ = sx.x ; y’ = sy.y (2.34)
x’ = xcosθ - ysinθ ; y’ = xsinθ + ycosθ (2.35)
Phép biến đổi đồng nhất.
Biểu diễn điểm dưới dạng toạ độ đồng nhất cho phép đơn giản hoá và thống
nhất hoá biểu diễn các phép biến đổi hình học như phép nhân ma trận.
Theo toạ độ đồng nhất, điểm trong không gian n chiều được ánh xạ vào không
gian (n+1) chiều.
Thí dụ điểm P(x,y) trong hệ toạ độ Đề các 3 chiều được biểu diễn dưới dạng toạ
độ đồng nhất 4 chiều P’(x’,y’,z’,h) theo mối quan hệ:
x = x’/h ; y = y’/h ; z = z’/h (2.36)
trong đó: h ≠ 0: hệ số vô hướng.
Môi quan hệ (2.36) dựa trên thực tế, nếu toạ độ Đè các của điểm P được nhân
với hệ số h, điểm P sẽ được di chuyển tới vị trí mới P’(x’,y’,z’) theo phép lấy tỷ lệ với
hệ số h.
Tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi 2D tuyến tính (2.33), (2.34), (2.35)
dưới dạng ma trận bởi vectơ toạ độ đồng nhất (chuẩn tắc) Ph, P’h và ma trận biến đổi
đồng nhất M:
P’h = PhM (2.37)
trong đó: Ph = (x y 1) ; P’h = (x’ y’ 1)
x
tyP(x,y)
y
P’(x’,y’)
tx
o
a)
x
P(x,y)
y
P’(x’,y’)
o
b)
x
r
P(x,y)
y
P’(x’,y’)
α
o
c)
r
θ
Hình 2.5 - Phép biến đổi toạ độ 2D

Ma trận biến đổi toạ độ M tương ứng với phép dịch chuyển (T), phép lấy tỷ lệ
(S) và phép quay (R) có giá trị như sau:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
010
001
yx tt
T ;
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
100
00
00
y
x
s
s
S ;
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
100
0cossin
0sincos
θθ
θθ
R
2.3.2 Phép biến đổi toạ độ 3D.
Phép biến đổi toạ độ 3D là mở rộng của phép biến đổi toạ độ 2D. Toạ độ
(x’,y’,z’) của điểm P(x,y,z) sau phép biến đổi toạ độ, tương ứng với vectơ dịch chuyển
t (tx, ty, tx); hệ số tỷ lệ s (sx, sy, sz) được xác định như sau:
x’ = x + tx ; y’ = y + ty ; z’ = z + tz (2.38)
x’ = sx.x ; y’ = sy.y ; z’ = sz.z (2.39)
Tương tự như đối với trường hợp biến đổi 2D, có thể biểu diễn phép dịch
chuyển 3D (2.38) và phép lấy tỷ lệ (2.39) dưới hình thức tích ma trận bởi vectơ toạ độ
đồng nhất Ph, P’h, ma trận biến đổi T(S):
P’h = PhT (2.40a)
P’h = PhS (2.40b)
trong đó: Ph = (x y z 1) ; P’h = (x’ y’ z’ 1)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
0100
0010
0001
zyx ttt
T ;
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1000
000
000
000
z
y
x
s
s
s
S
Bởi vì rất khó xác định phép quay quanh trục bất kỳ trong không gian 3D, phép
quay quanh trục bất kỳ thường được qui về các phép quay cơ bản quanh các trục hệ toạ
độ, về cơ bản là phép quya 2D (bảng 2.1).
Bảng 2.1
Phép quay cơ bản X’ Y’ Z’
quanh trục x x’ = x y’ = ycosθ - zsinθ z’ = ysinθ + zcosθ
quanh trục y x’ = zsinθ + xcosθ y’ = y z’ = zcosθ + xsinθ
quanh trục z ĩn’ = xcosθ + ysinθ y’ = xsinθ + ycosθ z’ = z
Có thể thấy rằng ma trận biến đổi đồng nhất đối với phép quay (Bảng 2.1) có
giá trị như sau (C = cosθ ; S = sinθ):
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
1000
00
00
0001
),(
CS
SC
xR θ ;
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
=
1000
00
0010
00
),(
CS
SC
yR θ ;
S 0 0
0 0
( , )
0 0 0
0 0 0 1
C
S C
R z
C
θ
⎡ ⎤
⎢ ⎥−⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(2.41)

Một cách tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi toạ độ 3D (chỉ gồm phép
dịch chuyển t và phép quay cơ bản R) bởi ma trận biến đổi đồng nhất H như sau:
(x’ y’ z’ 1) = (x y z 1)H (2.42)
trong đó:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
0
0
0
1
0
0
0
333231
232221
131211
t
R
ttt
rrr
rrr
rrr
H
zyx
hay biểu diễn dưới dạng khác:
(x’ y’ z’) = (x y z)R + t (2.43)
Ta thấy rằng ma trận xoay R (2.41) là ma trận trực giao, tức là nếu định nghĩa
các vectơ hàng của R:
n = (r11 r12 r13); o = (r21 r22 r23); a = (r31 r32 r33) (2.44)
thành phần của các vectơ này chính là cosin chỉ hướng của vectơ đơn vị i, j, k và thoả
điều kiện:
n x o = a; o x a = n; a x n = o và 1=== aon (2.45)
2.3.3 Phép ánh xạ.
Ta đã xét các phép biến đổi toạ độ trong cùng một hệ toạ độ mà hoàn toàn
không có sự thay đổi hệ toạ độ tham chiếu về vị trí cũng như phương chiều.
Trong phần này ta sẽ xét tới phép ánh xạ đối tượng hình học giữa 2 hệ toạ độ
khác nhau.
Phép ánh xạ đối tượng hình học từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai được
định nghĩa như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học từ hệ toạ độ thứ nhất sang hệ toạ
độ thứ hai. Do đó, không có sự thay đổi về vị trí và phương chiều của đối tượng hình
học so với cả 2 hệ toạ độ.
Phép ánh xạ này tương đương với phép biến đổi hệ toạ độ thứ nhất sang hệ toạ
độ thứ hai và được sử dụng rất phổ biến trong thiết kế.
Thông thường, người ta sử dụng định nghĩa hệ toạ độ làm việc (còn được gọi
là hệ toạ độ địa phương hay hệ toạ độ đối tượng) gắn liền với đối tượng thiết kế để đơn
giản hoá việc thiết lập và nhập dữ liệu hình học.
Phần mềm thiết kế sẽ ánh xạ (chuyển đổi) toạ độ được đo trong hệ toạ độ làm
việc sang hệ toạ độ hệ thống trước khi lưu trữ trong hệ cơ sở dữ liệu hệ thống.
Phép ánh xạ đóng vai trò quan trọng đối với cấu trục lắp ghép, khi mỗi đối
tượng ( chi tiết hay bộ phận) được định nghĩa theo hệ toạ độ hệ thống riêng và chúng
cần được kết nối và quản lý trong hệ toạ độ hệ thống chủ.

Ví dụ, có thể đặt bài toán ánh xạ điểm từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai
như sau: Cho trước toạ độ của điểm P xác định theo hệ toạ độ (X, Y, Z), hãy xác định
toạ độ của điểm P theo hệ toạ độ (X’, Y’, Z’), sao cho thoả điều kiện:
P’ = f(P, thông số ánh xạ) hay P’ = P.H
trong đó:
P : Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (X, Y, Z)
P’: Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (X’, Y’, Z’)
H : Ma trận ánh xạ (2.42) mô tả vị trí tương đối của hệ toạ độ (X, Y, Z)
so với hệ toạ độ (X’, Y’, Z’).
2.3.4 Khung toạ độ.
Trên đây ta đã đề cập tới phép ánh xạ như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học
từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai. Bây giờ ta sẽ đề cập đến phép ánh xạ như sự
thay đổi hệ toạ độ.
Có thể mô tả phép biến đổi toạ độ (2.42) dưới hình thức hệ toạ độ chuyển động
(Hình 2.6). Cho ih, jh và kh là các vectơ chỉ hướng đồng nhất của hệ toạ độ tham chiếu:
ih = (1 0 0 1) ; jh = (0 1 0 1) ; kh = (0 0 1 1) (2.46)
Áp dụng phép biến đổi (2.4) với các vectơ đồng nhất:
i’h = ih H = (1 0 0 1) H = (n 1) (2.47a)
j’h = jhH = (0 1 0 1) H = (o 1) (2.47b)
k’h= khH = (0 0 1 1) H = (a 1) (2.47c)
Kết quả trên nói lên rằng các vectơ trực giao n, o, a của ma trận biến đổi đồng
nhất H trở thành vectơ trục của hệ toạ độ chuyển động (Hình 2.6) biến đổi theo (2.42).
Gốc hệ toạ độ chuyển động được xác định tương tự:
P’h = (0 0 0 1) H = (tx ty tz 1) = (t 1) (2.48)
Vì lý do này, ma trận biến đổi đồng nhất H được gọi là khung toạ độ.
Như vậy, phép biến đổi (2.42) chính là phép ánh xạ từ hệ toạ độ làm việc (hệ
toạ độ địa phương hay hệ toạ độ chuyển động) sang hệ toạ độ hệ thống ( hệ toạ độ cố
định).
r’ = rH
i
z
y
n
a
o
H
t
j
k
Hình 2.6 - Phép biến đổi toạ độ dưới hình thức
hệ toạ độ chuyển động
r’
P
r
Viết lại biểu thức (2.42)
ta có:
P’h = Ph H
hay:
Ph = P’h H-1

trong đó:
Ph = (r 1) = (x y z 1)
P’h = (r’ 1) = (x’ y’ z’ 1)
r(x, y, z): vectơ toạ độ tương đối của điểm P so với hệ toạ độ làm việc.
r’(x’, y’, z’); vectơ toạ độ tuyệt đối của điểm P so với hệ toạ độ tham chiếu (hệ
toạ độ hệ thống).
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
0
0
0
zyx
zyx
zyx
zx
ttt
aaa
ooo
nnn
H
y
;
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−−−
=−
1...
0
0
0
1
tatotn
aon
aon
aon
H
zyz
yyy
xxx
n = (nx ny nz) ; o = (ox oy oz) ; a = (ax ay az) ; t = (tx ty tz)
Tóm lại:
Biểu diễn đường cong và mặt cong dưới dạng phương trình tham số thực chất
là biểu diễn dưới dạng phương trình vectơ. Hình thức biểu diễn này đảm bảo phương
thức biểu diễn hợp lý, chặt chẽ; phương thức truy nhập thống nhất đối với cả 2 dạng
đường cong 2D và 3D, nhằm đạt được phương trình biểu diễn đơn giản, thích hợp cho
lập trình.
Từ các kết quả trên ta có thể rút ra kết luận:
Các đặc tính cơ bản của mặt cong tham số đều được biểu diễn bởi đạo hàm
riêng ru, rv của mặt cong. Tức là có thể quản lý hình học mặt cong - được coi là đối
tượng hình học phức tạp- bằng phương thức đơn giản là quản lý hai lưới đường
cong đẳng tham số của mặt cong.

C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 1 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
Chương 3.
MÔ HÌNH HOÁ CÁC THỰC THỂ HÌNH HỌC
3.1. MÔ HÌNH ĐƯỜNG CONG
Về mặt lý thuyết có thể sử dụng phương trình toán học bất kỳ để định nghĩa
đường cong. Tuy nhiên, mô hình toán học dưới dạng phương trình đa thức được sử
dụng phổ biến nhất do có đặc tính dễ dàng xử lý, đủ linh hoạt để mô tả phần lớn các
loại đường cong sử dụng trong kỹ thuật.
3.1.1. PHÂN LOẠI ĐƯỜNG CONG ĐA THỨC.
Mô hình toán học biểu diễn đường cong có thể dưới dạng phương trình ẩn,
phương trình tường minh hoặc phương trình tham số. Phương trình ẩn và phương trình
tường minh chỉ được sử dụng cho đường cong 2D. Đường cong đa thức tương ứng với
các dạng phương trình toán học được trình bày dưới dạng tổng quát sau:
Phương trình đa thức ẩn.
0),(
0 0
== ∑∑= =
m
i
n
j
ji
ij
yxcyxg
Phương trình đa thức tường minh.
...)( 2
+++== cxbxaxfy (theo toạ độ Đề các)
...)( 2
+++== γθβθαθhr (theo toạ độ cực)
Phương trình đa thức tham số.
...))(),(),(()( 2
+++=≡ ctbtatztytxtr
Các dạng đường cong đa thức tham số được sử dụng phổ biến nhất bao gồm:
1, Đường cong đa thức chuẩn tắc,
2, Đường cong Ferguson,
3, Đường cong Bezier,
4, Đường cong B-spline đều,
5, Đường cong B-spline không đều.
3.1.2. ĐƯỜNG CONG 2D.
Đường cong 2D được sử dụng như các đối tượng hình học cơ sở trên các bản vẽ
kỹ thuật truyền thống để mô tả hình thể 3D.
1. Mô hình đường cong dưới dạng phương trình đa thức ẩn.
Phương trình ẩn g(x,y) = 0 biểu diễn đường cong trên mặt phẳng x-y, ví dụ như
đường tròn và đường thẳng được biểu diễn bởi phương trình:

0)()( 222
=−−+− rbyax ; 0=++ cbyax
Mô hình này có ưu điểm:
- Dễ dàng xác định vectơ tiếp tuyến và pháp tuyến,
- Dễ dàng xác định vị trí tương đối giữa điểm với đường cong.
Phương trình đa thức bậc 2 g(x,y) = 0 biểu diễn họ đường cong conic là giao
tuyến giữa mặt cắt phẳng và mặt nón trụ. Tuỳ theo vị trí tương đối giữa mặt phẳng cắt
và mặt nón, đường cong conic có thể là:
1, Elip : 012
2
2
2
=−+
b
y
a
x
2, Parabôn : 042
=− axy
3, Hyperbôn : 012
2
2
2
=−−
b
y
a
x
Nhược điểm chính của mô hình đường cong dưới dạng phương trình ẩn là khó
thực hiện đồ hình tuần tự, đây là chức năng quan trọng trong đồ hoạ điện toán. Do vậy
trong mô hình hoá hình học, đường cong conic dưới dạng phương trình tham số được
sử dụng phổ biến hơn cả. Thực tế mô hình dạng phương trình đa thức ẩn có bậc cao
hơn 2 rất ít được sử dụng.
2. Mô hình đường cong dưới dạng phương trình đa thức tường minh.
Phương trình tường minh dạng : y = f(x) = a + bx + cx2
+ ... mô tả đường
cong trên mặt phẳng x-y. Nếu f(x) là đa thức bậc 2, đường cong là Parabol.
Đặc tính tiêu biểu của đa thức tường minh là có thể chuyển đổi thành phương
trình ẩn hoặc phương trình tham số. Nếu y = f(x), trong đó f(x) là đa thức của x, tức
là:
0)(),( =−≡ xfyyxg hoặc x(t) = t ; y(t) = f(t) (3.1)
Do vậy phương trình đa thức tường minh có ưu điểm của phương trình ẩn và
phương trình tham số, đó là:
- Dễ dàng xác định vectơ tiếp tuyến và pháp tuyến.
- Dễ dàng xác định vị trí tương quan giữa điểm với đường cong.
- Dễ dàng thực hiện đồ hình tuần tự.
Nhược điểm chính của dạng phương trình tường minh là không thể điều khiển
đường cong khép kín hoặc đường thẳng đứng. Dạng phương trình (3.1) còn được gọi
là dạng phi tham số.

3.1.3. ĐƯỜNG CONG ĐA THỨC THAM SỐ.
Khảo sát việc thiết lập đường cong với điều kiện biên cho trước bao gồm toạ độ
và tiếp tuyến tại 2 điểm đầu và cuối: P0, P1, t0, t1. Vì rằng đường cong được định nghĩa
bởi 2 vectơ vị trí và 2 vectơ tiếp tuyến có thể biểu diễn chúng dưới dạng phương trình
đa thức vectơ bậc 3. Đa thức bậc 3 được sử dụng rất phổ biến, bởi vì đó là bậc tối
thiểu, đủ để dựng các loại đường cong trong không gian 3D.
1. Mô hình đường cong dưới dạng phương trình đa thức chuẩn tắc.
Đặc tính của mô hình đa thức chuẩn tắc là dễ dàng xác định.
Xét phương trình đa thức vectơ bậc 3:
r(u) = (x(u), y(u), z(u)) = a + bu + cu2
+ du3
Có thể biểu diễn phương trình đa thức này dưới dạng ma trận theo vectơ cơ sở
U và vectơ hệ số A như sau:
[ ] UA
d
c
b
a
uuuur =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
= 32
1)( với 10 ≤≤ u (3.2)
Phương trình đa thức bậc 3 (3.2) không thể hiện được ý nghĩa hình học, nhưng
có thể được sử dụng để thiết lập đường cong trơn láng đi qua 4 điểm dữ liệu { Pi: i =
1,...,4} theo phương pháp sau:
Đặt di là chiều dài cát tuyến giữa điểm Pi và Pi+1:
iii
PPd −= +1
với i = 0, 1, 2
Từ đó giá trị tham số ui tại các điểm Pi được xác định như sau:
00
=u ; ∑= i
ddu /01
; ∑+= i
dddu /)( 102
; 13
=u
Đường cong bậc 3 (3.2) đi qua các điểm dữ liệu phải thoả điều kiện:
ii
Pur =)( ; với i = 1,...,4
Tổng quát, đường cong đa thức bậc n đi qua (n+1) điểm dữ liệu được biểu diễn
bởi phương trình đa thức:
∑=
=
n
i
i
i
uaur
0
)(
2. Đường cong Ferguson.
Ferguson giới thiệu một
phương pháp khác sử dụng phương
trình (3.2). Theo đó đường cong
được thiết lập bởi (Hình 3.1):
a. Hai điểm đầu cuối P0 và P1.
b. Tiếp tuyến đầu cuối t0 và t1.
r(u)t0
t1
P0
P1
Hình 3.1 - Đường cong Ferguson

Đường cong bậc 3 (3.2) thoả điều kiện biên P0, P1, t0, t1 chúng phải đảm bảo:
dcbrt
brt
dcbarP
arP
32)1(
)0(
)1(
)0(
1
0
1
0
++==
==
+++==
==
&
&
(3.3)
Sau các phép biến đổi, hệ số PT đa thức được xác định theo biểu thức:
CS
t
t
P
P
d
c
b
a
A ≡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
0
1
0
1122
1233
0100
0001
(3.4)
Kết hợp biểu thức (3.2) và (3.4), đường cong Ferguson r(u) theo điều kiện biên
như trên được biểu diễn bởi ma trận hệ số Ferguson C và vectơ điều kiện biên
Ferguson S như sau:
S)( UCUAur == , với 10 ≤≤ u (3.5)
Thực tế dễ dàng xác định được độ lớn của vectơ tiếp tuyến, do đó độ lớn của
vectơ được chọn bằng chiều dài cát tuyến 0110
PPtt −== . Sự lựa chọn này thoả
yêu cầu về hình dáng.
Phương trình (3.2) và (3.5) đều được biểu diễn dưới dạng ma trận cơ sở. Có thể
biểu diễn (3.5) dưới dạng khác:
r(u) = (U C) S
= (1- 3u2
+2u3
)P0 + (3u2
- 2u3
)P1 + (u - 2u2
+ u3
)t0 + (-u2
+ u3
)t1 (3.6)
= 1
3
31
3
20
3
10
3
0
)()()()()()( PuHutuHutuHPuH +++
trong đó: )231()( 323
0
uuuH +−= ; )2()( 323
1
uuuuH +−=
)()( 323
2
uuuH +−= ; )23()( 323
3
uuuH −=
)(3
uHi
là hàm kết nối Hermite bậc 3 thoả điều kiện biên tại u = 0, 1 như sau:
0)0()1()0()1(
1)1()0()1()0(
3
2
3
1
3
3
3
0
3
2
3
1
3
3
3
0
====
====
HHHH
HHHH
&&
&&
0)()()()( 3
2
3
1
3
2
3
1
==== jHjHjHjH && với mọi j = 0,1
Dễ dàng xác nhận rằng phương trình (3.6) thoả điều kiện biên (3.3).
Phương trình (3.6) là định nghĩa chuẩn về đường cong kết nối Hermite.

3. Đường cong Bezier
Đường cong Bezier được định nghĩa bằng nhiều phương pháp.
Hãy xét phương pháp xây dựng đường cong Bezier bậc 3 từ phương trình
đường cong Ferguson (3.5).
Bốn đỉnh điều khiển Bezier V0, V1, V2, V3 (hình 3.2a) thoả điều kiện:
V0 là điểm đầu của đường cong,
V1 là vị trí 1/3 chiều dài trên vectơ tiếp tuyến đầu,
V2 là vị trí 2/3 chiều dài trên vectơ tiếp tuyến cuối,
V3 là điểm cuối của đường cong.
Đỉnh điều khiển Bezier được biểu diễn theo điều kiện Ferguson như sau:
V0 = P0 ; V1 = (V0 + t0/3) ; V2 = (V3 - t1/3) ; V3 = P1
Ngược lại, điều kiện biên Ferguson được biểu diễn theo đỉnh điều khiển Bezier
Vi là:
P0 = V0 ; P1 = V3 ; t0 = 3(V1-V0) ; t1 = 3(V3-V2)
hay dưới dạng ma trận:
LR
V
V
V
V
t
t
P
P
S ≡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
≡
3
2
1
0
1
0
1
0
3300
0033
1000
0001
(3.7)
Cuối cùng ta thay thế kết quả (3.7) vào phương trình đường cong Ferguson
(3.5) để đạt được phương trình đường cong Bezier bậc 3 biểu diễn bởi ma trận hệ số
Bezier M và vectơ đỉnh điều khiển R:
r(u) = U C S = U C (L R) = U (C L) R
= U M R , với 10 ≤≤ u (3.8)
trong đó:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
1331
0363
0133
0001
M ;
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
3
2
1
0
V
V
V
V
R
Đặc tính tiêu biểu của đường cong Bezier là hình dáng của đường cong phụ
thuộc vào đa tuyến lồi giới hạn bởi các đỉnh điều khiển ( Hình 3.2) . Tương tự như
V0=P0
V3=P1
V2
V1
t1t0
a,
V3
V0
V1
V2
r(u)
r(u)
b,
V0
V1
V2
V3
r(u)
c,
Hình 3.2 - Đường cong Bezier bậc 3

đường cong Ferguson có thể biểu diễn đường cong Bezier (3.8) dưới dạng phương
trình đa thức:
∑=
=
+++=
=
3
0
3
3
3
32
3
21
3
10
3
0
)(
)()()()(
)()(
i
ii
VuB
VuBVuBVuBVuB
RUMur
(3.9)
trong đó:
33
0
)1()( uuB −= ;
23
1
)1(3)( uuuB −=
)1(3)( 23
2
uuuB −= ;
33
3
)( uuB = là đa thức Bernstein bậc 3.
Đa thức Bernstein bậc n có dạng :
inin
i
uu
in
n
uB −
−
−
= )1(
!)!1(
!
)( (3.10a)
Đa thức Bernstein được gọi là hàm cơ sở Bezier sử dụng để định nghĩa đường
cong Bezier bậc n bằng cách kết nối (n+1) đỉnh điều khiển:
∑=
=
n
i
i
n
i
VuBur
0
)()( , với 10 ≤≤ u (3.10b)
Đường cong Bezier bậc n thoả điều kiện biên sau:
r(0) = V0 ; r(1) = V1 ;
)()0( 01
VVnr −=& ; )()1( 1−
−= nn
VVnr& (3.11)
Định nghĩa chuẩn về đường cong Bezier theo hàm cơ sở Bezier (3.10b) thể hiện
tính chất hình học của đường cong tốt hơn so với biểu diễn dưới dạng ma trận (3.8), ví
dụ như có thể chia nhỏ hoặc tăng bậc cho đường cong. Ngược mại dạng ma trận có ưu
điểm là dễ dàng xử lý dữ liệu.
4. Đường cong B-spline đều.
Mô hình toán học của đường cong B-spline là phương trình đại số. Ta sẽ nghiên
cứu phép dựng hình để hiểu rõ tính chất hình học của dạng mô hình này.
Xét 4 đỉnh điều khiển V0,...,V3 và các điểm M0, M1, P0, P1 với tính chất như
sau: (Hình 3.3).
M0 là điểm giữa của đoạn thẳng V0V2 : M0= (V0+V2)/2
M1 là điểm giữa của đoạn thẳng V1V3 : M1= (V1+V3)/2
P0 là điểm 1/3 của đoạn thẳng V1M0 : P0= (2V1+M0)/3
P1 là điểm 1/3 của đoạn thẳng V2M1 : P1= (2V2+M1)/3
Cần thiết lập đường cong bậc 3 r(u) thoả điều kiện:
1. Đường cong bắt đầu từ điểm P0 và kết thúc tại điểm P1,
2. Vectơ tiếp tuyến tại điểm P0 có giá trị bằng (M0-V0),
3. Vectơ tiếp tuyến tại điểm P1 có giá trị bằng (M1-V1).
Như vậy ta có thể biểu diễn điểm biên P0, P1 và tiếp tuyến t0, t1 theo đỉnh điều
khiển như sau:

P0 ≡r(0) = [4V1+(V0+V2) ]/6 (3.12a)
P1 ≡r(1) = [4V2+(V1+V3) ]/6 (3.12b)
t0 ≡ r&(0) = (V2 - V0) /2 (3.12c)
t1 ≡ r&(0) = (V3 - V1) /2 (3.12d)
hay dưới dạng ma trận:
KR
V
V
V
V
t
t
P
P
S ≡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
≡
3
2
1
0
1
0
1
0
3030
0303
1410
0141
6
1
Thay kết quả trên vào phương trình đường cong Ferguson (3.5) để đạt được
phương trình đường cong B-spline đều bậc 3 biểu diễn bởi ma trận hệ số B-spline
đều N và vectơ đỉnh điều khiển R:
r(u) = U C S
= U C (K R)
= U (C K) R
= U N R với 10 ≤≤ u
trong đó:
C là ma trận Ferguson
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
1331
0363
0303
0141
6
1
N
Tương tự như đường cong Bezier ta có thể biểu diễn đường cong B-spline đều
bậc 3 bởi hàm kết nối B-spline đều )(3
uNi
:
∑=
==
3
0
3
)()()(
i
ii
VuNRUNur (3.14)
trong đó: 6/)331()( 323
0
uuuuN −+−= ; 6/)364()( 323
1
uuuN +−=
6/)3331()( 323
2
uuuuN −++= ; 6/)( 33
3
uuN =
3.1.4. ĐƯỜNG CONG B-SPLINE KHÔNG ĐỀU (NURBS)
NURBS – Non-Uniform Rational B-Spline
Phần này sẽ cung cấp định nghĩa toán học về đường cong B-spline không đều
và chỉ ra rằng đường cong Bezier và B-spline đều là trường hợp đặc biệt của NURBS.
V1
V2
V3
V0
M1
M0
P0 P1
r(u) t1
t0
Hình 3.3 - Đường cong B-spline đều bậc 3

1. Hàm cơ sở B-spline.
Xét hàm vô hướng đệ qui )(tLn
i
được định nghĩa theo chuỗi điểm không giảm
{ti}:
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)( 1
1
1
11
1
tL
tt
tt
tL
tt
tt
tL n
i
ini
in
i
ini
in
i
−
+
++
+−
−+
−
−
+
−
−
= (3.15)
trong đó:
kháctcác
],,[
,0
,1
)( 11 +
∈
⎩
⎨
⎧
= ii
i
ttt
tL 1+
< ii
tt
Hàm đệ qui (3.15) được gọi là hàm đệ qui Cox-deBoor là phương pháp chuẩn
định nghĩa hàm cơ sở B-spline (bậc n-1).
Ta sẽ khảo sát hàm này để hiểu rõ tính chất hình học của chúng.
Xét n = 2:
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)( 1
1
12
11
1
2
tL
tt
tt
tL
tt
tt
tL i
ii
i
i
ii
i
i +
++
+
+
−
−
+
−
−
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∈
∈
−−
−−
= ++
+
+++
+
kháctcác
],[
],[
,0
),/()(
),/()(
21
1
122
1
ii
ii
iii
iii
ttt
ttt
tttt
tttt
Để đơn giản các phép tính đại số ta sử dụng toán tử vi phân ∇ để biểu diễn khoảng
cách giữa các điểm nút:
)( 1 iii
tt −=∇ +
(3.16a)
)(... 1 ikikii
k
i
tt −+∇++∇=∇ +−+
(3.16b)
Sử dụng toán tử vi phân ∇, hàm Cox-deBoor với n = 2 có giá trị:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∈
∈
∇−
∇−
== ++
+
++
kháctcác
],[
],[
,0
,/)(
,/)(
)( 21
1
12
2
ii
ii
ii
ii
i
ttt
ttt
tt
tt
tL
Với n = 3, ta có:
)(
)(
)(
)(
)( 2
12
32
2
3
tL
tt
tL
tt
tL i
i
i
i
i
i
i +
+
∇
−
+
∇
−
=
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∇∇−
∇∇∇−∇−∇∇−
∇∇−
=
+++
+++
0
),/()(
),/()()/()(
),/()(
2
2
1
2
3
1
2
1
2
1
322
22
iii
iiiiiiii
iii
tt
tttt
tt
],[
],[
],[
32
21
1
++
++
+
∈
∈
∈
ii
ii
ii
ttt
ttt
ttt
(3.17)

Biểu thức (3.17) là hàm cơ sở B-spline bậc 2.
Hình dáng chức năng của hàm cơ sở B-spline bậc nhỏ hơn 4 được thể hiện trên
hình 3.4. Vì hàm cơ sở B-spline có hình dạng khác biệt trên từng miền tham số, hàm
cơ sở trong khoảng thứ k được phân biệt bởi chỉ số thứ hai [k]:
)()(][
tLtL n
i
n
ki
≡ với nkttt kiki
,...,2,1:],[ 1
=∈ +−+
(3.18)
Theo qui ước trên thì hàm cơ sở B-spline (3.17) trên miền tham số đầu tiên
],[ 1+
∈ ii
ttt được trình bày lại như sau:
)()( 33
]1[
tLtL ii
≡ với )/()(],[ 22
1 iiikiki
ttttt ∇∇−=∈ +−+
Hãy định nghĩa phép chuyển đổi tuyến tính giữa tham số u và t như sau:
u = (t - ti)/(ti+1 - ti) = (t - ti)/∇i (3.19)
Như được minh họa trên hình 3.5 chỉ có 3 hàm cơ sở B-spline bậc 2 có giá trị
khác không trên miền ],[ 1+
∈ ii
ttt , bao gồm )(3
]3[2
tLi−
, )(3
]2[1
tLi−
, )(3
]1[
tLi−
.
)./()()( 2
1
2
1
3
]3[2 iiiii
tttL ∇∇−= −+−
)/()/2()/( 2
1
22
1
2
1 −−−
∇∇+∇∇−+∇∇= iiiiii
uu (3.20a)
)(2
0
uN≡ với 10 ≤≤ u
t
t
t
t
)(1
tLi
)(2
tLi
)(3
tLi
)(4
tLi
ti ti+1 ti+2 ti+3 ti+4
Hình 3.4 - Hàm cơ sở B-spline không đều

)/()()./()()( 1
223
11
2
1
2
1
3
]2[1 −−−−−−
∇∇∇−∇−∇∇−= iiiiiiiii
tttttL
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∇
∇
−
∇
∇
∇
∇
+∇∇+∇∇= −
−−
−−− 2
3
1
2
11
22
1
2
11
)/()/(
i
i
i
i
i
i
iiii
uu (3.20b)
)(2
1
)./()()( 223
]1[ iiii
tttL ∇∇−=−
)./()( 22
iii
u ∇∇∇= (3.20c)
)(2
2
2. Đường cong B-spline không đều.
Với chuỗi điểm 3D cho trước {Pj} và hàm cơ sở B-spline (bậc 2) )(3
tLj
(3.17)
trên miền tham số ],[ 1+
∈ ii
ttt , ta thiết lập hàm vectơ:
∑−=
+
∈=
i
ij
iijj
ttttLPtr
2
1
3
],[:)()( (3.21)
Như đã minh hoạ trên hình 3.5, hàm kết nối (3.21) có giá trị khác 0 chỉ khi j=i-
2, i-1, i. Ta đặt:
V0 = Pi-2; V1 = Pi-1; V2 = Pi
từ (3.17) và (3.20) hàm vectơ (3.21) được biểu diễn bởi:
∑−=
=
i
ij
jj
tLPtr
2
3
)()( với ],[ 1+
∈ ii
ttt
)()()( 33
11
3
22
tLPtLPtLP iiiiii
++= −−−−
với ],[ 1+
∈ ii
ttt (3.22)
)()()( 3
]1[2
3
]2[11
3
]3[20
tLVtLVtLV iii
++= −−
)()()( 2
22
2
11
2
00
uNVuNVuNV ++=
)(urRUNq
≡= với ]1,0[∈u
trong đó: [ ]2
1 uuU = ; [ ]T
VVVR 210
=
ti-2 ti+1ti-1 ti ti+2
3
1+i
L
ti+3
3
]2[1−i
L 3
]1[i
L3
]3−i
L 3
]3[2−i
L
Hình 3.5 - Hàm cơ sở B-spline bậc 2 khác 0 trên miền [ti, ti+1][2]
t

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∇
∇
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∇
∇
−
∇
∇
∇
∇
∇∇
∇∇∇∇−
∇∇∇∇
=
−
−−
−
−−
−−−
22
3
1
2
11
2
1
2
1
2
1
2
11
2
1
)/(
0)/2()/2(
0)/()/(
i
i
i
i
i
i
i
i
ii
iiii
iiii
q
N :
)( 1 iii
tt −=∇ +
; ,...1
2
+
∇+∇=∇ iii
và đường cong (3.22) được gọi là đường cong NUBRS bậc 2.
Khảo sát giá trị của hàm kết nối B-spline không đều bậc 2, ta có thể rút ra kết
luận: đường cong NURBS bậc 2 được hỗ trợ bởi 6 điểm nút ti-2 đến ti+3, ngay cả khi
miền tham số xác định là [ti, ti+1] (Hình 3.5). Tuy nhiên các điểm biên ti-2 và ti+3 không
cần thiết bởi vì dữ liệu này không được sử dụng để xác định đường cong. Do đó đường
cong NURBS bậc 2 hoàn toàn được xác định bởi 3 giá trị bước nút 11
,, +−
∇∇∇ iii
và 3
đỉnh điều khiển V0, V1, V2.
Tương tự ta có đường cong NURBS bậc 3 có dạng như sau:
∑−=
=
i
ij
jj
tLPtr
3
4
)()( với ],[ 1+
∈ ii
ttt (3.23)
r(u)R ≡= c
UN với ]1,0[∈u
3. Trường hợp đặc biệt của đường cong NURBS.
Qua khảo sát ta thấy rằng đường cong NURBS bậc 3 (3.23) có dạng tương tự
như đường cong B-spline đều bậc 3 (3.13), nhưng ma trận hệ số Nc không phụ thuộc
vào khoảng cách giữa các điểm nút. Do vậy với cùng tập hợp đỉnh điều khiển, ta có thể
đạt được hình dáng đường cong khác nhau bằng cách thay đổi khởng cách giữa các
điểm nút.
Khi tất cả điểm nút {ti} được xác định trên miền số nguyên liên tục và khoảng
cách giữa chúng đều nhau, nếu đặt ∇i = 1, với mọi i và từ đó 22
=∇i
,..., ma trận hệ
số Nc của đường cong NURBS (3.23) trở thành ma trận N của đường cong B-spline
đều bậc 3 (3.13).
Như vậy đường cong B-spline đều bậc 3 (3.13) là trường hợp đặc biệt của
đường cong NURBS khi khoảng cách giữa các điểm nút đều nhau.
Tương tự, đường cong NURBS có thể trở thành đường cong Bezier nếu đặt các
giá trị:
ti-2 = ti-1 = ti = 0; ti+1 = ti+2 = ti+3 = 1
Từ đó ta có khoảng cách giữa các điểm nút tương ứng có giá trị như sau:
∇i = 1; ∇j = 0, với mọi ij ≠
Điều này làm cho ma trận hệ số B-spline không đều bậc 3 Nc (3.23) biến đổi
thành ma trận hệ số M của đường cong Bezier bậc 3 (3.8).
Ma trận hệ
số B-spline
không đều
bậc 2

Vậy cả 2 đường cong B-spline đều và Bezier chỉ là trường hợp đặc biệt của
dường cong NURBS.
3.1.5. ĐƯỜNG CONG HỮU TỶ.
Hàm hữu tỷ được định nghĩa như là tỷ số của 2 hàm đa thức. Đường cong hữu
tỷ có độ linh hoạt về hình dáng cao hơn so với các dạng đường cong đa thức chuẩn tắc
khác. Đường cong hữu tỷ sẽ có dạng đa thức chuẩn tắc nếu như được biểu diễn theo hệ
toạ độ đồng nhất. Ta sẽ khảo sát dạng hữu tỷ của mô hình đường cong Bezier.
1. Toạ độ đồng nhất.
Ta đã biết phương trình tham số của đường tròn đơn vị như sau:
r(u) = (x(u), y(u), z(u))
= ((1-u2
)/(1+u2
), 2u/(1+u2
), 0/(1+u2
))
Vì mỗi tyhành phần của vectơ 3D trên có cùng mẫu số, nên ta có thể chuyển
chúng thành vectơ đồng nhất 4 thành phần R(u) với 3 thành phần đầu tiên ứng với tử
số và thành phần thứ 4 ứng với mẫu số chung:
R(u) = ((1-u2
), 2u, 0, (1+u2
)) = (X(u), Y(u), Z(u), h(u))
Vectơ R(u) được gọi là vectơ đồng nhất và thành phần của chúng trở thành toạ
độ đồng nhất của điểm 3D (r(u)). Ta có thể chuyển đổi (X, Y, Z, h) thành (X/h, Y/h,
Z/h, 1) tức là thành (x, y, z, 1). Sự chuyển đổi này gọi là sự chuẩn hoá. Ý nghĩa hình
học của sự chuẩn hoá là vectơ 4D được chiếu lên mặt phẳng h = 1 trong không gian 4
chiều.
Như vậy vectơ đồng nhất (x, y, z, 1) và (hx. hy, hz, h) biểu diễn cùng một điểm
3D (x, y, z) nếu 0≠h . Theo mô hình hữu tỷ mõi dỉnh điều khiển Vi(xi, yi, zi) được
định nghĩa như đỉnh điều khiển đồng nhất:
Hi = (wixi, wiyi, wizi, wi )
trọng số wi làm tăng tính linh hoạt về hình dáng.
Biểu diễn toạ độ Đề các dưới dạng đồng nhất được sử dụng rộng rãi trong các
phép biến đổi tạo độ ứng dụng trong đồ hoạ cũng như Robot học.
2. Đường cong hữu tỷ bậc 2.
Nếu vectơ đỉnh điều khiển Bezier chuẩn tắc được thay thế bởi vectơ đồng nhất
tưong ứng ta sẽ đạt được đường cong Bezier hữu tỷ.
Đường cong Bezier bậc 2 có dạng:
∑=
==
2
0
2
)())(),(),(()(
i
ii
VuBuzuyuxur , với 10 ≤≤ u (3.10b)
đặt : )1,,,( iii
h
i
zyxV = ,với i = 0, 1, 2.
Ta chuyển đổi đường cong Bezier bậc 2 này thành dạng hữu tỷ.

Sử dụng Hi để biểu diển đỉnh điều khiển đồng nhất của Vi, sao cho:
),,,( iiiiiii
h
iii
wzwywxwVwH == ; 0≠i
w (3.25)
Toạ độ Đề các của đỉnh điều khiển đồng nhất Hi trên biểu thức (3.25) tương
đương với đỉnh điều khiển Vi, không phụ thuộc vào trọng số wi.
Do vậy đường cong Bezier hữu tỷ bậc 2 được biểu diễn dưới dạng:
∑=
==
2
0
2
)())(),(),(),(()(
i
ii
HuBuhuZuYuXuR (3.26)
Ta sẽ khảo sát hình dánh đường cong đồng nhất này. Điều kiện biên của đường
cong hữu tỷ được xác định bằng cách tính biểu thức (3.26) và đạo hàm của chúng tại u
= 0 và u = 1.
Đặt rh
(u) là phương trình đồng nhất chuẩn tắc như sau:
rh
(u) = R(u)/h(u) = (x(u), y(u), z(u), 1) (3.27)
Lấy đạo hàm phương trình trên theo u ta có:
)(/)())(/())()(()( 2
uhuRuhuhuRurh &&& −−= (3.28)
Cụ thể đối với đường cong Bezier bậc 2 ta có:
0
1
01
).(2)0(
w
w
VVr hhh
−=& ;
2
1
12
).(2)1(
w
w
VVr hhh
−=&
Kết quả trên chứng tỏ rằng tiếp tuyến của đường cong Bezier đồng nhất (3.26)
và đường cong Bezier chuẩn tắc (3.24) tại các điểm biên có cùng phương với nhau
nhưng độ lớn của chúng thay đổi theo tỷ lệ w1/w0 và w1/w2 (Hình 3.6).
Phương trình Bezier đồng nhất (3.26) được biểu diễn dưới dạng thành phần
đồng nhất như sau:
))(),(),(),(()( uhuZuYuXuR =
( )∑ ∑∑∑= ===
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
22
)(,)(,)(,)(
i i
ii
i
iii
i
iiiiii
wuBzwuBywuBxwuB
t1=2(V2-V1)
t0=2(V1-V0)
V0
V2
V1
r(u)
a.
t1=2(w1/w2)((V2-V1)
V0
V2
V1
r(u)
b.
t0=2(w1/w0)(V1-V0)
Hình 3.6 - Tính chất của đường cong Bezier hữu tỷ
- Đường cong Bezier chuẩn tắc.
- Đường cong Bezier hữu tỷ bậc 2.

Và phương trình Bezier được biểu diễn ngắn gọn hơn dưới dạng hữu tỷ:
))(),(),(()( uzuyuxur =
2
21
2
0
2
2
2110
2
0
)1(2)1(
)1(2)1(
uwuuwuw
VuwVuuwVuw
+−+−
+−+−
= (3.30)
( ) ( )∑∑ ==
2
0
2
2
0
2
)(/)(
i
ii
i
iii
wuBVwuB
trong đó: Vi = (xi, yi, zi) : đỉnh điều khiển Bezier, wi : trọng số.
Như vậy ta đã chỉ ra rằng có thể biểu diễn đường cong Bezier hữu tỷ hoặc dưới
dạng đồng nhất (3.26) hoặc dưới dạng hữu tỷ (3.30) và đường cong Bezier hữu tỷ bậc
2 được chuyển đổi thành đường cong chuẩn tắc khi wi = 1 với mọi i.
Mô hình đường cong hữu tỷ bậc 2 được sử dụng rất phổ biến trong phép tham
số hoá đường cong mặt cắt cônic.
3. Đường cong hữu tỷ bậc 3.
Ta có thể dễ dàng xác định mô hình hữu tỷ cho đường cong Bezier và B-spline
bậc cao hơn. Đường cong Bezier bậc 3 hữu tỷ có dạng đồng nhất tương tự như đường
cong Bezier chuẩn tắc (3.7):
R(u) = (X(u), Y(u), Z(u), h(u)) = U M H (3.31)
trong đó: [ ]32
1 uuuU = ; Hi = (wixi, wiyi, wizi, wi)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
1331
0363
0033
0001
M ;
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
3
2
1
0
H
H
H
H
H
Vi(xi,yi,zi) : đỉnh điều khiển, wi : trọng số.
Dạng dồng nhất trên tương đương với dạng hữu tỷ sau:
( ) ( )∑∑ ==
=
3
0
3
3
0
3
)(/)()(
i
ii
i
iii
wuBVwuBur
Mô hình đường cong hữu tỷ có bậc tự do cao hơn dùng để định nghĩa hình
dáng. Sử dụng các giá trị trọng số khác nhau có thể điều khiển hình dáng đường cong
hữu tỷ trong miền giới hạn bởi đa tuyến đặc tính. Nhưng quá nhiều bậc tự do thường
không phải là tốt, thực tế rất ít khi sử dụng bậc cao hơn 2.
3.2. ĐƯỜNG CONG PHỨC HỢP
Trong các bài toán dựng hình, phần lớn dữ liệu cho trước ở dạng dữ liệu điểm.
Dữ liệu điểm có thể là dữ liệu thực nghiệm từ các phép đo bằng dụng cụ thông thường
hay bằng máy quét toạ độ. Vấn đề cần giải quyết trong các bài toán này là thiết lập
đường cong tham số trơn láng r(t) từ chuỗi điểm {Pi: i = 0,...,n}. Với cấu hình dữ liệu
điểm này, ta thường sử dụng mô hình đường cong phức hợp từ các đoạn cong liên kết
theo chuỗi.

Về mặt lý thuyết, để dựng đường cong phức hợp có thể sử dụng mô hình đường
cong bất kỳ như chương trước đã đề cập. Tuy nhiên mô hình đường cong Ferguson và
B-spline được sử dụng phổ biến nhất do các đặc điểm:
• Dễ sử dụng,
• Có hiệu suất tính toán cao,
• Có tính liên tục về toán học,
• Đạt được độ trơn láng thẫm mỹ và độ đồng đều của đường cong.
Về cơ bản, giải quyết vấn đề dựng đường cong phức hợp là giải hệ phương
trình tuyến tính. Bằng cách đặt điều kiện liên tục bậc 2 tại mỗi điểm Pi, chúng ta thiết
lập được hệ phương trình tuyến tính với các ẩn số là hệ số của phương trình đường
cong. Do vậy, để dựng đường cong phức hợp cần thiết phải có các điều kiện liên tục
thích hợp và giải được hệ phương trình tuyến tính.
Ở đây ta sẽ khảo sát phương pháp dựng hình theo các dạng mô hình sau:
a. Mô hình cấu hình dữ liệu điểm cách đều:
- Đường cong bậc 3,
- Đường cong B-spline đều.
b. Mô hình cấu hình dữ liệu điểm không cách đều:
- Đường cong cát tuyến,
- Đường cong B-spline không đều.
c. Mô hình đường cong 2D:
- Theo cấu trúc cung đôi,
- Theo đường mặt cắt conic.
3.2.1. DỰNG ĐƯỜNG CONG TỪ CHUỖI ĐIỂM CÁCH ĐỀU.
1. Điều kiện liên tục tham số.
Xét 2 đoạn đường cong ra
(u) và rb
(u) (Hình 3.7) trên miền tham số ]1,0[∈u .
Để 2 đoạn đường cong kết nối với nhau, chúng phải thoả điều kiện liên tục vị
trí: ra
(1) = P1 = rb
(0) (3.32a)
Đường cong phức hợp được gọi là liên tục bậc nhất (C1
) nếu đạo hàm bậc nhất
của 2 đoạn đường cong tại điểm kết nối có giá trị như nhau:
)0()1( 1
ba
rtr && == (3.32b)
Đường cong phức hợp được gọi là liên tục bậc 2 nếu:
)0()1( ba
rr &&&& = (3.32c)
Các điều kiện (3.32) được gọi chung là điều kiện liên tục tham số C2
.
Giả thiết đường cong phức hợp đi qua 3
điểm cho trước P0, P1, P2 với tiếp tuyến đầu
cuối t0, t2 (Hình 3.7). Nếu vectơ tiếp tuyến t1 tại
điểm kết nối cũng được cho trước ta có thể mô
tả mỗi đoạn đường cong như đường Ferguson.
Vì vậy ta sẽ xác định t1 sao cho 2 đoạn đường
cong thoả điều kiện liên tục tham số C2
tại
điểm kết nối P1, tức là cần xác định t1 từ dữ liệu
cho trước (P0, P1, P2, t0, t2) và điều kiện liên tục
tham số C2
.
P0
t0
P2
P1
t1
rb
(u)
ra
(u)
Hình 3.7 - Điều kiện liên tục
tham số tại điểm kết nối
t2
.
..

2. Dựng đường cong phức hợp bậc 3.
Đầu tiên ta sẽ xác định tiếp tuyến chung t1 của 2 đoạn đường cong ra
(u) và rb
(u)
sao cho thoả điều kiện liên tục tham số C2
(3.32).
Phương trình Ferguson cho 2 đoạn đường cong được biểu diễn như sau:
ra
(u) = U C Sa
; rb
(u) = U C Sb
(3.33)
trong đó: [ ]32
1 uuuU = ;
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−−
=
1122
1233
0100
0001
C
[ ]Ta
ttPPS 1010
= ; [ ]Tb
ttPPS 2121
=
Ta có:
[ ] 10101
a
42666200S)1( ttPPCSCUr a
u
a
++−=== =
&&&& (3.34a)
[ ] 21210
b
24660200S)0( ttPPCSCUr b
u
b
−−+−=== =
&&&& (3.34b)
Kết hợp với điều kiện C2
, ta có: t1 =(3P2-3P0-t0-t2)/4 (3.35)
Xét trường hợp tổng quát, dựng đường cong liên tục C2
đi qua chuỗi (n+1) điểm
{Pi} (hình 3.8). Giả thiết tiếp tuyến đầu cuối t0, tn được cho trước. Đặt vectơ tiếp tuyến
tại điểm kết nối Pi là ti, khi đó mỗi cặp đường cong kế cận ri-1
(u) và ri
(u) thoả phương
trình tuyến tính (3.36):
)(34 1111 −++−
−=++ iiiii
PPttt i=1,...,n-1 (3.36)
Ta có thể biểu diễn hệ phương trình trên dưới dạng ma trận:
A X = B
trong đó: A là ma trận hệ số cấp (n+1)x(n+1); X là vectơ ẩn của phương trình.
Sau khi sắp xếp các phương trình (3.36), ta có:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
−
n
nn
nn
n
n
n
t
PP
PP
PP
PP
t
t
t
t
t
t
t
)(3
)(3
.
.
)(3
)(3
.
.
1100
1110
0111
........
........
1110
0111
0011
2
31
13
02
0
1
2
2
1
0
(3.37)
t0 tn
P0
P1
P2 Pn-2
Pn-1
Pn
Hình 3.8 - Chuỗi điểm cần nội suy

Với vectơ tiếp tuyến ti, đường cong Ferguson ri
(u) trên miền [Pi, Pi+1] được xác
định bởi:
ri
(u) = U C Si
, với i = 0, 1,...,n-1 (3.38)
trong đó: Si
= [Pi, Pi+1, ti, ti+1]T
U và C được định nghĩa theo (4.2).
Trong thực tế, hầu hết các trường hợp tiếp tuyến đầu cuối t0, tn không được cho
trước. Do vậy ta có thể xác định tiếp tuyến đầu cuối theo một trong các điều kiện sau:
a. Điều kiện biên tiếp tuyến đường tròn.
b. Điều kiện biên đa thức.
c. Điều kiện biên tự do.
Điều kiện biên tiếp tuyến vòng tròn.
Có thể nhận thấy rằng vectơ chưa biết r = Q-P0 được xác định bởi:
)c}/(2)()(a{
222
acbcbr ×+×= (3.40)
Điều kiện biên đa thức.
Tiếp tuyến đầu cuối t0, tn được xác định bằng cách dựng đường cong đa thức
chuẩn tắc qua các điểm biên ( 3 hoặc 4 điểm). Tiếp tuyến )0(0
rt &= .
Điều kiện biên tự do.
Giả thiết rằng độ cong tại các điểm P0, Pn bằng 0. Điều kiện này tương ứng với
trạng thái khi đường cong phức hợp không bị ảnh hưởng bởi điều kiện ngoại vi nào tại
các điểm biên:
0)0( =r&& ; 0)1(1
=−n
r&&
Theo điều kiện biên tự do, biểu thức (4.3a) và (4.3b) được biến đổi thành:
)(32 0110
PPtt −=+ ; )(32 11 −−
−=+ nnnn
PPtt
Hai phương trình tuyến tính này bổ sung vào hệ phương trình (3.37) để tạo
thành hệ (n+1) phương trình tuyến tính với (n+1) ẩn số: t0,...,tn:
Q
t0
P0
P2
P1
r
a
b
Hình 3.9 - Tiếp tuyến đường tròn
Dựng đường tròn qua 3 điểm đầu.
Đặt :
Q là tâm đường tròn cần dựng,
r là bán kính: r = Q-P0,
a=P1-P0, b=P2-P0, c = a x b.
Phương của tiếp tuyến t0 sẽ vuông
góc với đoạn thẳng r = Q-P0 và vectơ
c = a x b , ta có:
crcrat ××= /)(0
(3.39)

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−
−
)(3
)(3
)(3
.
.
)(3
)(3
)(3
.
.
2100
1410
0141
........
........
1410
0141
0012
1
2
31
13
02
01
1
2
2
1
0
nn
nn
nn
n
n
n
PP
PP
PP
PP
PP
PP
t
t
t
t
t
t
(3.41)
Kết luận: Đối với phương pháp dựng hình này, không phụ thuộc vào điều
kiện biên, đường cong phức hợp bậc 3 bao gồm các đoạn đường cong
Ferguson và có thể chuyển đổi dễ dàng thành đường cong Bezier bậc 3.
3. Dựng đường cong phức hợp B-spline đều.
Xét phương pháp dựng đường cong phức hợp trơn láng đi qua chuỗi điểm {Pi :
i=0,...,n} sử dụng mô hình đường cong B-spline đều (3.13). Đường cong kết quả bao
gồm nhiều đoạn đường cong B-spline đều bậc 3 kết nối theo điều kiện liên tục C2
.
Ví dụ nếu gán thêm điểm điều khiển
b
V3
cho đoạn đường cong B-spline đều trên
Hình 3.3, chúng ta sẽ có đoạn đường cong mới (Hình 3.10). Phương trình của 2 đường
cong có dạng:
ra
(u) = U N Ra
; rb
(u) = U N Rb
(3.42)
trong đó: U = [1 u u2
u3
]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
1331
0363
0303
0141
6
1
N ;
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
a
a
a
a
a
V
V
V
V
R
3
2
1
0
;
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
b
b
b
b
b
V
V
V
V
R
3
2
1
0
ba
VV 01
=
ba
VV 12
=
ba
VV 23
=
a
V0
M1
M0
P0
ra
(u)
b
V3
t0
Hình 3.10 - Dựng đường cong B-spline đều phức hợp
rb
(u)

Ta thấy rằng các đỉnh điều khiển của 2 đường cong trùng nhau:
ab
VV 10
≡ ;
ab
VV 21
≡ ;
ab
VV 32
≡
Bằng cách xây dựng đường cong theo biểu thức (4.11), dễ dàng thấy rằng:
6/)4()0(6/)4()1( 210321
bbbbaaaa
VVVrVVVr ++=≡++= (3.43)
và các đạo hàm của chúng sự bằng nhau.
Theo điều kiện liên tục C2
, ta có:
)1()0( ab
rr = ; )1()0( ab
rr && = ; )1()0( ab
rr &&&& = (3.44)
Như vậy vấn đề dựng đường cong B-spline đều phức hợp từ chuỗi (n+1) điểm
{Pi : i=0,1,...,n} tương đương với việc xác định (n+3) đỉnh điều khiển {Vi :
i=0,1,...,n+2}. Từ điều kiện liên tục vị trí (4.12) ta có:
Vi+4Vi+1+Vi+2 = 6Pi , với i = 0,1,...,n (3.45)
• Khi tiếp tuyến đầu cuối được cho trước ta có thêm 2 phương trình:
)1(22
)0(22
1
2
0
002
−
+
≡=−
≡=−
n
nnn
rtVV
rtVV
&
&
(3.46)
Giải hệ phương trình (4.14) và (4.15) để xác định các đỉnh điều khiển Vi. Hệ
phương trình tuyến tính theo điều kiện biên được biểu diễn dưới dạng ma trận:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
+
+
n
n
n
n
n
n
t
P
P
P
P
t
V
V
V
V
V
V
2
6
6
.
.
6
6
2
.
.
1010
1410
0141
........
........
1410
0141
0101
1
1
0
0
2
1
2
1
0
(3.47)
• Nếu tiếp tuyến đầu cuối không được cho trước ta có thể xác định theo
điều kiện biên tiếp tuyến đường tròn hoặc điều kiện biên đa thức. Theo điều kiện biên
tự do để đơn giản ta có thể cho độ cong tại 2 điểm biên của đường cong phức hợp bằng
0, nên ta nhận được hệ phương trình tuyến tính với (n+3) ẩn số:

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
+
+
0
6
6
.
.
6
6
0
.
.
1100
1410
0141
........
........
1410
0141
0011
1
1
0
2
1
2
1
0
n
n
n
n
n
P
P
P
P
V
V
V
V
V
V
(3.48)
Khi đỉnh điều khiển Vi đã được xác định, đường cong B-spline đều bậc 3 qua
điểm {Pi,Pi+1} được biểu diễn bởi:
ri
(u) = U N Ri
, với i = 0,1,...,n-1 (3.49)
trong đó: [ ]T
iiii
i
VVVVR 321 +++
=
Như vậy đường cong phức hợp bao gồm n đoạn đường cong xác định bởi (n+3)
đỉnh điều khiển {Vi : i = 0,1,...,n+2}.
Trong cả 2 phép dựng hình chúng ta đều sử dụng điều kiện liên tục tham số C2
,
tức là tại điểm kết nối Pi ta sử dụng chung một vectơ tiếp tuyến ti cho cả 2 đoạn đường
cong:
)0()1( 1
1 ii
rtr && ==−
Do vậy ta có thể suy ra rằng: đường cong phức hợp có thể là phẳng hoặc lồi khi
khoảng cách vật lý giữa các điểm dữ liệu không bằng nhau. Như thế nếu khoảng cách
vật lý không bằng nhau chúng ta phải sử dụng phương pháp khác.
3.2.2. DỰNG ĐƯỜNG CONG TỪ CHUỖI ĐIỂM KHÔNG CÁCH ĐỀU.
Khảo sát theo 2 dạng mô hình:
- Đường cong cát tuyến: dùng phương pháp dựng đường cong bậc 3
với hiệu chỉnh sao cho chiều dài cát tuyến được tính đến khi xác định
vectơ tiếp tuyến ti.
- Đường cong B-spline không đều: dùng phương pháp cho chiều dài
cát tuyến như là khoảng cách giữa các điểm nút.
Hai phương pháp này đều thích hợp trong việc dựng các đường cong phức hợp
trơn láng đi qua chuỗi điểm phân bố không đều.
1. Điều kiện liên tục hình học.
Hai đoạn đường cong kế cận ra
(u) và rb
(u) thoả điều kiện ra
(1) = rb
(0), được gọi
là liên tục tiếp tuyến, nếu thoả:
Trrrr bbaa
== )0(/)0()1(/)1( &&&& (3.50a)
trong đó: T là vectơ tiếp tuyến đơn vị tại điểm kết nối.

Mối quan hệ trên được gọi là điều kiện hình học C1
, hay được gọi tắt là điều kiện G1
.
Nếu đặt :
1
)1( tra
=& ; α=)1(a
r&
β=)0(b
r& ; αβω /=
thì (4.19a) trở thành:
1
)1( tra
=& ; 1
)0( trb
ω=& (3.50b)
Cho r(u) là đường cong tham số chuẩn tắc. Đạo hàm của r(u) được tính như sau:
TdusddudTsdurdr
sTdudsdsdrdudrr
)/()/(/
)//()/(/
&&&&&
&&
+==
≡==
TskNsTsdsdTs &&&&&& +=+= 22
)/(
Thực hiện tích vectơ với 2 đạo hàm trên:
kBrNTkskNsTsrr
332
)( &&&&&&& ≡×=×=×
trong đó: B = T x N là vectơ pháp tuyến đôi của đường cong.
Do đó có thể biểu diễn độ cong của đường cong tham số r(u) bởi:
3
/)( rrrkB &&&&×= (3.51a)
Đường cong ra
(u) và rb
(u) liên tục theo độ cong tại điểm ra
(1) = rb
(0), nếu thoả
điều kiện:
33
)0(
)0()0(
)1(
)1()1(
b
bb
a
aa
r
rr
r
rr
&
&&&
&
&&& ×
=
×
(3.51b)
Suy ra: ))1(()/()0( 2 ab
rTrT &&&& ×=× αβ
Nghiệm của phương trình vectơ là:
)1()/()0( 2 ab
rr &&&& ωβ= (3.52)
Mối quan hệ giữa các đạo hàm bậc 2 này được gọi là điều kiện liên tục hình học
C2
hay được gọi tắt là điều kiện G2
.
2. Dựng đường cong cát tuyến.
Cho ra
(u) và rb
(u) là 2 đợn đường cong Ferguson. Việc cần giải quyết là xác
định vectơ tiếp tuyến t1 chưa biết tại điểm kết nối.
Giả sử t1 là vectơ tiếp tuyến tại điểm cuối của đoạn cong ra
(u):
)1(1
a
rt &= (3.53a)
Điều kiện liên tục G2
yêu cầu vectơ tiếp tuyến tại điểm đầu của đoạn cong rb
(u)
thoả điều kiện:
t0
t1
t2
P0 P2
P1
β
α
rb
(u)
ra
(u)
Hình 3.10-Đường cong cát tuyến
Ví dụ ta dựng đường cong
phức hợp trơn láng qua 3 điểm P0,
P1, P2 với vectơ tiếp tuyến đầu cuối
t0, t2 (Hình 3.10) theo mô hình
Ferguson và điều kiện G2
.

1
)0( trb
ω=& (3.53b)
Theo phương pháp dựng đường cong cát tuyến, độ lớn của vectơ tiếp tuyến tại
điểm kết nối được đặt bằng chiều dài cát tuyến:
01
PP −=α ; 12
PP −=β
Do vậy tỷ số độ lớn của các vectơ trở thành tỷ số chiều dài cát tuyến. Điều kiện
G2
được viết lại như sau:
)1()0( 2 ab
rr &&&& ω= (3.54)
trong đó: 0112
/ PPPP −−=ω
Viết lại phương trình Ferguson cho đường cong ra
(u) và rb
(u) :
ra
(u) = U C Sa
(3.55a)
rb
(u) = U C Sb
(3.55b)
trong đó:
[ ]32
1 uuuU = ;
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−−
=
1122
1233
0100
0001
C
[ ]Ta
ttPPS 1010
= ; [ ]Tb
ttPPS 1021
ω=
Sau khi tính đạo hàm bậc 2 của các biểu thức (3.55) ta có thể xác định được t1
theo điều kiện G2
:
)4266()2466( 1010
2
2121
ttPPttPP ++−=−−+− ωω (3.56)
Xét trường hợp tổng quát: dựng đường cong đi qua (n+1) điểm thoả điều kiện G2
.
Cho trước:
Chuỗi điểm 3D : {Pi : i = 0,1,...,n}
Vectơ tiếp tuyến biên : t0, tn
Xác định:
Hệ số tỷ lệ cát tuyến: }1,...,2,1:
1
/
1i
{ −=
−
−−
+
= ni
i
P
i
P
i
P
i
Pω với ω0 = 1.
Tiếp tuyến : {ti : i = 1,2,...,n-1}
Cho ri
(u) là đoạn dường cong Ferguson trên miền [Pi, Pi+1], được biểu diến:
ri
(u) = U C Si
(3.57)
trong đó:
[ ]T
iiiii
i
ttPPS 11 ++
= ω
1,...,2,1:
1
/
1i
,1
0
−=
−
−−
+
== ni
i
P
i
P
i
P
i
Pωω
Tại mỗi điểm kết nối Pi, điều kiện G2
được biểu diễn bởi:
)1()()0( 12 −
= i
i
i
rr &&&& ω
Ta có thể suy ra được (n-1) phương trình tuyến tính dạng:

})1(3{P})1(2{ 1
22
1i11
2
1-i −++−
−−+=+++ iiiiiiiiii
PPttt ωωωωωω (3.58)
Giả thiết rằng biết trước t0 và tn, hệ phương trình trên có thể biểu diễn dưới
dạng ma trận:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
−−+−−−
+
+
nt
nb
b
b
t
nt
nt
t
t
t
nnnn 1
.
2
1
0
1
.
2
1
0
100.....
12
12122
12.....
........
....12
22222
210
....012
12122
1
....0001
ωωωω
ωωωω
ωωω
Trong đó: })1({P3 1
22
1i −+
−−+= iiiii
PPb ωω
Phương trình trên có thể biến đổi thành phương trình bậc 3 (3.37) khi ωi = 1
hay một cách khác đường cong cát tuyến trở thành đường cong bậc 3 nếu như tất cả
cát tuyến bằng nhau.
3. Dựng đường cong phức hợp B-spline không đều.
Xét phương pháp dựng đường cong NUBS trơn láng đi qua chuỗi điểm 3 D.
Trên hình (4.6) minh hoạ đường cong phức hợp tạo bởi n đoạn đường cong NUBS bậc
3 { ri
(u) : i = 0,1,...,n-1} định nghĩa bởi:
a. (n+3) đỉnh điều khiển,
b. (n+4) bước nút.
Ta có bài toán dựng hình:
Cho trước:
Chuỗi điểm 3D : {Pi : i = 0,1,...,n}
Vectơ tiếp tuyến biên : t0, tn
Hãy xác định:
Bước nút : {∇i : i = -2, -1,...,n+1}
Đỉnh điều khiển : {Vi : i = 0,1,...,n+2}
Giải thuật bài toán tương tự như giải thuật dựng đường cong B-spline đều.
Bước đầu tiên cần thực hiện là xác định bước nút ∇i.
Có n giá trị bước nút hỗ trợ ∇0,...,∇n-1 (Hình 4.6) có thể được được lựa chọn
bằng chiều dài cát tuyến tương ứng:
iii
PP −=∇ +1
: i = 0,...,n-1 (3.59a)
những giá trị còn lại được gọi là bước nút mở rộng, chúng không ảnh hưởng tới chất
lượng của đường cong có thể đặt bằng 0 hoặc lấy giá trị như nhau:
∇-2 = ∇-1 = ∇n+1 = ∇n = 0 (3.59b)
∇-2 = ∇-1 = ∇0; ∇n+1 = ∇n = ∇n-1 (3.59c)
Bước tiếp theo là thiết lập hệ phương trình tuyến tính cho các đỉnh điều khiển
chưa biết. Ta thiết lập phương trình cho mỗi đoạn cong (Hình 4.6) theo dạng đường
cong NURBS bậc 3:

i
R)( i
c
i
UNur = 10 ≤≤ u ; i=0,1,...,n-1 (3.60)
trong đó: Ri
= [Vi Vi+1 Vi+2 Vi+3]T
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∇∇
∇
−−−
∇∇
∇
+−
∇∇
∇∇
−−
∇∇
∇
−−
∇∇
∇
=
−−
−−
−
−−
−
−−
23
2
4344431111
2
1
3
1
2
331111
2
1
3
1
1
231111
2
1
3
1
2
1
13112
2
2
1
2
)(
)(
0
)(3
)3(3
0
3
)3(3
0
)(
1
)(
ii
i
ii
i
ii
ii
ii
i
ii
i
i
c
nnnnn
nnn
nnn
nn
N
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∇∇∇++−= −
)/()(
3
1 3
1
22
443343 iii
nnn
nij : phần tử hàng thứ i, cột thứ j. 11
... −++
∇++∇+∇=∇ kiii
k
i
Nếu đặt: hi = (1- fi - gi) ; )/()( 3
2
2
1
2
−−
∇∇∇= iiii
f ; )/()( 3
1
2
1
2
1 −−−
∇∇∇= iiii
g
Qua các điều kiện ta có thể rút ra được hệ phương trình tuyến tính của đường cong
NURBS như sau:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
+
+
−−−
n
n
n
n
n
nnnn
t
P
P
P
P
t
V
V
V
V
V
V
ghf
ghf
1
1
0
0
2
1
2
1
0
111
111
.
.
.
.
330.
100.
.
........
........
0
0001
0033
(3.61)
3.3. MÔ HÌNH MẶT LƯỚI
Về hình học, nói chung mặt tạo hình của các loại hình thể có cấu trúc đa hợp
hình thành bởi sự liên kết các mặt tạo hình cơ sở.
Mỗi dạng mặt cơ sở được thiết lập theo qui luật riêng nhưng có cùng đặc điểm
chung là có cấu trúc phức hợp từ các phần tử hình học dạng ô lưới mà ta gọi qui ước là
mặt lưới.

Cong nghe cadcam

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (9)

Similar to Cong nghe cadcam

Similar to Cong nghe cadcam (20)

More from Tình Nguyện

More from Tình Nguyện (8)

Cong nghe cadcam