CODE FESTIVAL 予選B 解説

1. CODE FESTIVAL 2014 予選B
解説
AtCoder株式会社代表取締役
高橋直大
2014/10/26 1

2. A問題あるピアニスト
©AtCoder Inc. All rights reserved. 2
2014/10/26

3. A問題
• 問題概要
– 2つの整数A,Bが与えられる。
– 大きい方を出力してください。
• 解説
– 比較演算子とif文を使って場合分けする
– 諸言語で予め実装されているmax関数等を使う
2014/10/26 3

4. ©AtCoder Inc. All rights reserved. 4
B問題歩く人
2014/10/26

5. B問題問題概要
• 要素数Nの数列Aが与えられる。
• A[ 1]～A[i]の総和がKを超える最小のiを求めよ。
• 制約
– 1 ≦ N ≦ 100,000
– 1 ≦ A[i] ≦ 100,000
– 1 ≦ K ≦ 1,000,000,000
2014/10/26 5

6. B問題アルゴリズム
• 毎日、その日までに累計で何歩歩いたか求める。
– 累計歩数を保存しておく別の変数を用意してそれ
に次々A[i]を足していけば良い。
• 各日について累計K歩を達成できたか求める。
– 簡単なif文
• 初めて累計K歩を達成した日を出力すれば良い。
2014/10/26 6

7. ©AtCoder Inc. All rights reserved. 7
C問題錬金術士
2014/10/26

8. C問題問題概要
• 2N( Nは整数) 文字の文字列S1, S2,S3がある
• S1の半分とS2の半分を取ってきて並び替えることで
S3が構成可能か判断せよ。
• 制約
– 2 ≦ 2 N ≦ 100,000
– S1,S2,S3は大文字アルファベットのみから構成される
2014/10/26 8

9. C問題アルゴリズム
• 構成する際に並び替えることができるので、S1,S2,S3
の文字列の順番は答えに影響しない
– 各アルファベットを何個ずつ含むかだけが必要
• まずはN文字ずつ取り出すという制約を無視する
– 取り出し方をアルファベットごとに独立して考えることが出
来る
– 例えば「'A'をS1から何個取り出すか」と「'B'をS1から何個
取り出すか」は全く影響しあわない
2014/10/26 9

10. C問題アルゴリズム
• 各アルファベットについてS1から取り出すことが出
来る文字数の範囲を求める
• S1から取り出す文字数が少なすぎると、S2から取り
出す文字数にかかわらず、S3を構成するのに足り
なくなる
– 例：S1='AABB' S2='AAAB' S3='ABBB'のときS1から' B 'を
1つしか取り出さないとすると、S３を構成できなくなる
2014/10/26 10

11. C問題アルゴリズム
• 各アルファベットについてS1から取り出すことが出
来る文字数の範囲を求める
• S1から取り出す文字数が多すぎると、S2から取り出
す文字数にかかわらず、S3を構成するのに余ってし
まう
– 例：S1=‘AAAB’ S2=‘AABB’ S3=‘ABBB’のときS1から
‘ A’を3つも取り出すとすると、S３を構成するのに余って
しまう
2014/10/26 11

12. C問題アルゴリズム
• 各アルファベットについてS1から取り出すことが出
来る文字数の範囲を求める
• あるアルファベットがS1,S2,S3にそれぞれC1,C2,C3
文字ずつ含まれていたとすると、S1から取り出すこ
とが出来る文字数の範囲は
– max(0, C3-C2) ～ min(C1, C3)
– この間の値は全てとれる
2014/10/26 12

13. C問題アルゴリズム
• 各アルファベットについてこの範囲をもとめて、うまく
総和がN/2にすることが出来るか判断すれば良い
• できるだけ少なくS1から取り出した時の文字数と、で
きるだけ多くS1から取り出した時の文字数の間に
N/２があるかどうか判断する。
– それぞれさきほどのmax(0,. C3-C2) ～ min(C1, C3) の
総和を取れば求めることが出来る
2014/10/26 13

14. ©AtCoder Inc. All rights reserved. 14
D問題登山家
1. 問題概要
2. アルゴリズム
2014/10/26

15. D問題問題概要
• 要素数Nの数列Aが与えられる。
• 各i( 1≦i≦N)に対してiとjの間の全てのk( jも含む)に
ついてA[k]≦ A[ i]であるようなjの個数を求めよ。
• 制約
– 1≦N≦ 100,000
– 1≦A[i]≦100,000
2014/10/26 15

16. D問題アルゴリズム
• 図示
2014/10/26 16

17. D問題アルゴリズム
• 山小屋iから見える範囲
2014/10/26 17

18. D問題アルゴリズム
• 山小屋iから見える範囲
• これはiを含むある区間である
• iに一番近いh[i]より高い山小屋が両端となる
2014/10/26 18

19. D問題アルゴリズム
• 山小屋iから見える範囲
• これはiを含むある区間である
• iに一番近いh[i]より高い山小屋が両端となる
• 両端をどう求めるか？
– 全探索
– DP
– stackをつかう
– 二分探索
2014/10/26 19

20. D問題アルゴリズム
• 山小屋iから見える範囲
• これはiを含むある区間である
• iに一番近いh[i]より高い山小屋が両端となる
• 両端をどう求めるか？
– 全探索
– DP
– stackをつかう
– 二分探索
2014/10/26 20

21. D問題アルゴリズム
• 山小屋iがそれより東の山小屋をどこまで見る
ことが出来るかを求める
– 山小屋iから東向きに順番に調べていき、初めて
見えなくなった山小屋の一つ前まで見える
2014/10/26 21

22. D問題アルゴリズム
• 例
2014/10/26 22

23. D問題アルゴリズム
• OK
2014/10/26 23

24. D問題アルゴリズム
• OK
2014/10/26 24

25. D問題アルゴリズム
• OK
2014/10/26 25

26. D問題アルゴリズム
• NG
2014/10/26 26

27. D問題アルゴリズム
• 3つまで見える
2014/10/26 27

28. D問題アルゴリズム
• 西側についても同様に求めて最後に足し合
わせる
• 各iについてO(N)かかる
– 合計でO(N^2)
– 部分点(30点)が得られる
2014/10/26 28

29. D問題アルゴリズム
• 山小屋iから見える範囲
• これはiを含むある区間である
• iに一番近いh[i]より高い山小屋が両端となる
• 両端をどう求めるか？
– 全探索
– DP
– stackをつかう
– 二分探索
2014/10/26 29

30. D問題アルゴリズム
• dp[i] = 山小屋iの東側で見えない山小屋の中で最
も西にあるもの
• 先ほどの例でNGにあたる山小屋
2014/10/26 30

31. D問題アルゴリズム
• NG
2014/10/26 31

32. D問題アルゴリズム
• 東から順番にdp[i]の値を埋めていく
• dp[i] = i+1
• h[dp[i]] > h[i]になるまでdp[i] = dp[dp[i]]という代入
をしつづける
2014/10/26 32

33. D問題アルゴリズム
• 例
2014/10/26 33

34. D問題アルゴリズム
• 一番東に無限に高いhをもつ番兵をつくると実装し
やすい
2014/10/26 34

35. D問題アルゴリズム
• dp[i] = i+1から開始
2014/10/26 35

36. D問題アルゴリズム
• dp[i] = i+1から開始
2014/10/26 36

37. D問題アルゴリズム
• h[i] ≧ h[dp[i]]なのでdp[i] をdp[dp[ i]]に更新する
2014/10/26 37

38. D問題アルゴリズム
• dp[i] = i+1から開始
2014/10/26 38

39. D問題アルゴリズム
• dp[i] = i+1から開始
2014/10/26 39

40. D問題アルゴリズム
• h[i] ≧ h[dp[i]]なのでdp[i] をdp[dp[ i]]に更新する
2014/10/26 40

41. D問題アルゴリズム
• dp[i] =i +1から開始
2014/10/26 41

42. D問題アルゴリズム
• dp[i] =i +1から開始
2014/10/26 42

43. D問題アルゴリズム
• h[i] ≧ h[dp[i]]なのでdp[i] をdp[dp[ i]]に更新する
2014/10/26 43

44. D問題アルゴリズム
• h[i] ≧ h[dp[i]]なのでdp[i] をdp[dp[ i]]に更新する
2014/10/26 44

45. D問題アルゴリズム
• dp[i] =i +1から開始
2014/10/26 45

46. D問題アルゴリズム
• dp[i] =i +1から開始
2014/10/26 46

47. D問題アルゴリズム
• h[i] ≧ h[dp[i]]なのでdp[i] をdp[dp[ i]]に更新する
2014/10/26 47

48. D問題アルゴリズム
• h[i] ≧ h[dp[i]]なのでdp[i] をdp[dp[ i]]に更新する
2014/10/26 48

49. D問題アルゴリズム
• h[i] ≧ h[dp[i]]なのでdp[i] をdp[dp[ i]]に更新する
2014/10/26 49

50. D問題アルゴリズム
• dp[i] =i +1から開始
2014/10/26 50

51. D問題アルゴリズム
• h[i] ≧ h[dp[i]]なのでdp[i] をdp[dp[ i]]に更新する
2014/10/26 51

52. D問題アルゴリズム
• h[i] ≧ h[dp[i]]なのでdp[i] をdp[dp[ i]]に更新する
2014/10/26 52

53. D問題アルゴリズム
• dp[i] = dp[dp[i]]という操作を最悪でO(N)回するので
総計算量はO(N^2)？
– 実はO(N)
• dp[i] = dp[dp[i]]という操作（先ほどの例では黒い矢
印をたどること）は各矢印についてたかだか1回しか
行われない
– 矢印はO(N)個しかないので総計算量はO(N)
• 満点が得られる
2014/10/26 53

54. D問題アルゴリズム
• dp[i] = dp[dp[i]]という操作を最悪でO(N)回するので
総計算量はO(N^2)？
– 実はO(N)
• dp[i] = dp[dp[i]]という操作（先ほどの例では黒い矢
印をたどること）は各矢印についてたかだか1回しか
行われない
– 矢印はO(N)個しかないので総計算量はO(N)
• 満点が得られる
2014/10/26 54

55. D問題アルゴリズム
• 山小屋iから見える範囲
• これはiを含むある区間である
• iに一番近いh[i]より高い山小屋が両端となる
• 両端をどう求めるか？
– 全探索
– DP
– stackをつかう
– 二分探索
2014/10/26 55

56. D問題アルゴリズム
• stackを用意する
• 東から順番に
– h[i] がh[ stackの先頭]より大きい限りstackの先頭をpop
し続ける
– dp[ i] = stackの先頭
– iをstackの先頭にpushする
• というふうにやると先ほどと同じdp[i]が得られる
• 実質やっていることはDP解と同じ
– こちらのほうがO(N)であることがわかりやすい
2014/10/26 56

57. D問題アルゴリズム
• 山小屋iから見える範囲
• これはiを含むある区間である
• iに一番近いh[i]より高い山小屋が両端となる
• 両端をどう求めるか？
– 全探索
– DP
– stackをつかう
– 二分探索
2014/10/26 57

58. D問題アルゴリズム
• iについて、h[i]より高い山小屋の位置が全てわかっ
ていれば、二分探索(Successor)で見える範囲の両
端を求めることが出来る
• 高い順に山小屋を追加していき、毎回二分探索す
れば良い
2014/10/26 58

59. D問題アルゴリズム
• 例
2014/10/26 59

60. D問題アルゴリズム
• 例
2014/10/26 60

61. D問題アルゴリズム
• 例
2014/10/26 61

62. D問題アルゴリズム
• 例
2014/10/26 62

63. D問題アルゴリズム
• 例
2014/10/26 63

64. D問題アルゴリズム
• 例
2014/10/26 64

65. D問題アルゴリズム
• 例
2014/10/26 65

66. D問題アルゴリズム
• 例
2014/10/26 66

67. D問題アルゴリズム
• 例
2014/10/26 67

68. D問題アルゴリズム
• 例
2014/10/26 68

69. D問題アルゴリズム
• 例
2014/10/26 69

70. D問題アルゴリズム
• h[i]が大きい順にiをset等のデータ構造に追加して
いく
• 追加する前にiのupper_boundとその前を調べる
• 高さが同じ山小屋が複数あるときは、すべてについ
て二分探索をした後にsetに追加する
• 総計算量は
– O(NlogN)
2014/10/26 70

71. D問題アルゴリズム
• この解法を思いつく人が一番多いと予想される
• しかし、挿入と探索が効率的にできるデータ構造を
実装するのはコンテスト時間内では慣れていないと
難しい
– set等が予め用意されていない言語だと、この解法は実装
しづらい
– そういう時は先程のDPやstackを使った解法を実装すれ
ば良い
2014/10/26 71