cơ nhiệt

1. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 81
Chöông 3
ÑOÄNG LÖÏC HOÏC VAÄT RAÉN
Chöông naøy nghieân cöùu caùc phöông trình ñoäng löïc hoïc cuûa vaät raén, ñaëc bieät
laø chuyeån ñoäng quay cuûa vaät raén quanh moät truïc coá ñònh.
§3.1 – VAÄT RAÉN
1 – Khaùi nieäm veà vaät raén:
Heä chaát ñieåm laø moät heä goàm nhieàu vaät maø moãi vaät ñeàu coi laø moät chaát ñieåm.
Caùc chaát ñieåm trong heä coù theå töông taùc laãn nhau, caùc löïc töông taùc ñoù goïi laø noäi
löïc; ñoàng thôøi coù theå töông taùc vôùi caùc vaät beân ngoaøi heä, caùc löïc töông taùc naøy goïi laø
ngoaïi löïc.
Vaät raén laø moät heä chaát ñieåm phaân boá lieân tuïc (theo goùc ñoä vó moâ) trong moät
mieàn khoâng gian naøo ñaáy maø khoaûng caùch giöõa hai chaát ñieåm baát kyø khoâng thay
ñoåi.
Nhö vaäy, vaät raén luoân coù hình daïng, kích thöôùc vaø theå tích nhaát ñònh. Treân
thöïc teá, khoâng coù vaät raén tuyeät ñoái. Bôûi leõ, döôùi aûnh höôûng cuûa caùc ñieàu kieän beân
ngoaøi nhö: nhieät ñoä, aùp suaát, löïc taùc duïng, … thì khoaûng caùch giöõa caùc phaàn töû trong
vaät coù thay ñoåi ñoâi chuùt. Tuy nhieân, trong phaïm vi khaûo saùt, neáu söï thay ñoåi ñoù laø
khoâng ñaùng keå thì ta coi vaät ñoù laø vaät raén.
2 – Tính khoái löôïng cuûa moät vaät raén:
Trong chöông 2, ta ñaõ bieát khoái löôïng laø ñaïi löôïng ñaëc tröng cho möùc quaùn
tính vaø möùc haáp daãn cuûa vaät. Trong phaïm vi giôùi haïn cuûa Cô hoïc coå ñieån, khoái
löôïng laø ñaïi löôïng baát bieán. Do ñoù khoái löôïng cuûa moät heä coâ laäp luoân baûo toaøn.
Khoái löôïng m cuûa moät heä chaát ñieåm baèng toång khoái löôïng caùc phaàn töû taïo
neân heä: 
i
imm (3.1)
Vaät raén laø moät heä chaát ñieåm phaân boá lieân tuïc trong mieàn  neân khoái löôïng cuûa vaät
raén ñöôïc tính bôûi: 
 dmm (3.2)
vôùi dm laø vi phaân cuûa khoái löôïng m (chính laø khoái löôïng cuûa phaàn töû nhoû beù caáu taïo
neân vaät raén).

2. 82 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện
Tröôøng hôïp vaät raén phaân boá lieân tuïc trong theå tích V (hình 3.1), taïi moãi
ñieåm khaûo saùt M, ta laáy moät yeáu toá theå tích dV bao quanh M, goïi dm laø khoái löôïng
cuûa vaät chaát chöùa trong yeáu toá dV, ta ñònh nghóa maät ñoä khoái löôïng khoái :
(M) =
dV
dm
(3.3)
Khi ñoù, dm = (M)dV  
V
dV)M(m (3.4)
Neáu vaät raén laø ñoàng nhaát (hay thuaàn nhaát) thì  = const (luùc naøy  chính laø khoái
löôïng rieâng cuûa chaát lieäu caáu taïo neân vaät raén). Khi ñoù (3.4) trôû thaønh:
m = V (3.5)
Töông töï, neáu heä phaân boá lieân tuïc treân beà maët (S) (hình 3.2), thì ta ñònh
nghóa maät ñoä khoái löôïng maët:
dS
dm
)M(  (3.6)
vôùi dm laø khoái löôïng vaät chaát chöùa treân yeáu toá dieän tích dS.
 dm = (M)dS  
S
dS)M(m (3.7)
Vaø neáu heä phaân boá lieân tuïc treân chieàu daøi  (hình 3.3), ta ñònh nghóa maät ñoä khoái
löôïng daøi:  =
d
dm
(3.8)
vôùi dm laø khoái löôïng vaät chaát chöùa treân yeáu toá chieàu daøi d  .
 dm = d  

d)M(m (3.9)
Neáu heä thuaàn nhaát thì töø (3.7), (3.9) ta coù: m = S =  (3.10)
M
dV
a) Yeáu toá theå tích
dV bao quanh M
M
dS
b) Yeáu toá dieän tích
dS bao quanh M
c) Yeáu toá chieàu daøi
d  bao quanh M
M
d 
Hình 3.1

3. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 83
Moät heä phöùc taïp coù theå chia thaønh nhieàu phaàn, khoái löôïng cuûa moãi phaàn
thuoäc veà moät trong nhöõng daïng ñònh nghóa treân. Vaø khoái löôïng cuûa heä laø toång khoái
löôïng cuûa caùc phaàn ñoù.
§3.2 KHOÁI TAÂM
Khi nghieân cöùu chuyeån ñoäng cuûa moät heä chaát ñieåm hay chuyeån ñoäng cuûa
vaät raén, trong moät soá tröôøng hôïp coù theå ruùt goïn veà chuyeån ñoäng cuûa moät ñieåm ñaëc
tröng cho heä ñoù. Ñieåm ñaëc bieät naøy chính laø khoái taâm cuûa heä.
1 – Ñònh nghóa khoái taâm:
Khoái taâm ñöôïc ñònh nghóa xuaát phaùt töø
baøi toaùn tìm troïng taâm (ñieåm ñaët cuûa troïng löïc)
cuûa heä 2 chaát ñieåm. Xeùt hai chaát ñieåm M1 vaø
M2 coù khoái löôïng m1 vaø m2. Troïng löïc taùc duïng
leân 2 chaát ñieåm ñoù laø 1P

vaø 2P

. Hôïp löïc cuûa
1P

vaø 2P

laø

P coù ñieåm ñaët taïi G sao cho:
1
2
1
2
2
1
m
m
P
P
GM
GM

 m1.M1G – m2.M2G = 0 hay 0GM.mGM.m 2211 

(3.11)
Ñieåm G thoûa maõn (3.11) ñöôïc goïi laø khoái taâm cuûa heä 2 chaát ñieåm M1 vaø M2.
Tröôøng hôïp toång quaùt, heä coù n chaát ñieåm coù khoái löôïng laàn löôït laø m1, m2, …,
mn ñaët töông öùng taïi caùc ñieåm M1 , M2 , … , Mn , ta ñònh nghóa khoái taâm cuûa heä laø
moät ñieåm G thoaû maõn: 0GMm...GMmGMm nn2211 

hay: 0m
n
i 

1i
iGM (3.12)
Vôùi vaät raén, khoái taâm laø ñieåm G thoûa maõn:
0dVMGdmMG  

Vaät raénVaät raén
(3.13)
trong ñoù M laø ñieåm baát kì treân vaät raén, dV laø yeáu toá theå tích bao quanh M (hình 3.1)
Khoái taâm G ñöôïc ñònh nghóa theo (3.12) vaø (3.13) laø moät ñieåm ñaëc tröng
cho heä, chæ phuï thuoäc vaøo vò trí töông ñoái vaø phaân boá khoái löôïng giöõa caùc phaàn töû
trong heä, khoâng phuï thuoäc vaøo caùc yeáu toá beân ngoaøi. Caùc keát quaû tính toaùn cho
M1
M2 G

1P

2P

P
Hình 3.2: Khoái taâm cuûa heä 2
chaát ñieåm

4. 84 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện
thaáy, neáu heä coù moät yeáu toá ñoái xöùng (taâm ñoái xöùng, truïc ñoái xöùng, maët ñoái xöùng) thì
khoái taâm cuûa moät heä naèm treân yeáu toá ñoái xöùng ñoù. Nhö vaäy, neáu heä coù nhieàu yeáu toá
ñoái xöùng thì khoái taâm G thuoäc veà giao cuûa caùc yeáu toá ñoái xöùng ñoù.
Ví duï, khoái taâm cuûa ñóa troøn ñoàng chaát, phaân boá ñeàu chính laø taâm cuûa ñóa
(giao ñieåm cuûa hai ñöôøng kính); khoái taâm cuûa mieáng saét moûng, hình chöõ nhaät chính
laø giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng cheùo, …
Caàn phaân bieät hai thuaät ngöõ “khoái taâm” vaø “troïng taâm”! Troïng taâm G’ cuûa
heä laø ñieåm ñaët cuûa troïng löïc taùc duïng vaøo heä, nghóa laø vò trí cuûa G’ khoâng nhöõng
phuï thuoäc vaøo vò trí, khoái löôïng cuûa caùc phaàn töû caáu taïo neân heä maø coøn phuï thuoäc
vaøo gia toác troïng tröôøng. Trong khi ñoù vò trí khoái taâm G khoâng phuï thuoäc vaøo gia toác
troïng tröôøng.
Treân thöïc teá, haàu heát kích thöôùc caùc heä vaät lí maø ta khaûo saùt laø khoâng lôùn,
do ñoù gia toác troïng tröôøng haàu nhö khoâng ñoåi taïi moïi ñieåm vaø G’ truøng vôùi G. Vieäc
phaân bieät vò trí cuûa G’ vaø G laø khoâng caàn thieát!
Ví duï 3.1: Heä ba chaát ñieåm coù khoái löôïng baèng nhau, ñaët taïi ba ñænh cuûa tam giaùc
ABC. Xaùc ñònh khoái taâm cuûa heä.
Giaûi
Theo ñònh nghóa, khoái taâm G thoûa: 0CGmBGmAGm 221 

Vì m1 = m2 = m3 = m neân: 0CGBGAG 

Ñieåm G thoûa phöông trình treân chính laø troïng taâm (giao ñieåm cuûa ba trung tuyeán)
cuûa tam giac ABC.
2 – Toaï ñoä cuûa khoái taâm:
Trong kyõ thuaät, vieäc xaùc ñònh chính xaùc khoái taâm cuûa vaät raén laø heát söùc
quan troïng, nhaát laø ñoái vôùi caùc vaät raén coù chuyeån ñoäng quay. Xaùc ñònh khoái taâm G
theo ñònh nghóa (3.12) vaø (3.13) laø raát phöùc taïp. Trong thöïc haønh, ta coù theå xaùc ñònh
G baèng caùch tìm giao ñieåm cuûa caùc truïc ñoái xöùng. Phöông phaùp naøy ñaëc bieät tieän lôïi
ñoái vôùi caùc vaät phaúng ñoàng nhaát.
Trong lí thuyeát, ta duøng phöông phaùp toïa ñoä. Choïn ñieåm O laøm goác toïa ñoä,
vò trí cuûa khoái taâm G ñöôïc xaùc ñònh bôûi vectô baùn kính

 OGrG . Aùp duïng “qui taéc
3 ñieåm” ñoái vôùi 3 ñieåm O, G vaø Mi baát kì, ta coù:

 GMOMOG ii .
Nhaân hai veá phöông trình naøy vôùi mi roài laáy toång theo i, ta coù:

 GMmOMmOGm iiiii

5. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 85
 






n
1i
ii
n
1i
ii
n
1i
i GMmOMmOGm
 






n
1i
ii
n
1i
ii
n
1i
i GMmrmmOG
Maø theo ñònh nghóa (3.12), ta coù: 0GM
1i
i 
n
im .
Vaäy: rG






 n
1i
i
n
1i
ii
m
rm
OG (3.14)
Trong heä toaï ñoä Descartes, vectô

ir coù toïa ñoä )z,y,x( iii neân khoái taâm G cuûa heä
coù toïa ñoä: G
























n
1i
i
n
1i
ii
n
1i
i
n
1i
ii
n
1i
i
n
1i
ii
m
zm
;
m
ym
;
m
xm
(3.15)
Vôùi vaät raén thì toïa ñoä cuûa G laø:







m
zdm
z;
m
ydm
y;
m
xdm
x GGG
vaät raénvaät raénvaät raén
(3.16)
Trong ñoù (x,y,z) laø toïa ñoä cuûa yeáu toá khoái löôïng dm; m laø khoái löôïng cuûa vaät raén.
Ví duï 3.2: Coù ba chaát ñieåm khoái löôïng m1 = m2 = 2mo, m3 = 6mo ñaët taïi ba ñænh A,
B, C cuûa tam giaùc ñeàu, caïnh a. Xaùc ñònh khoái taâm G cuûa heä. Phaûi taêng hay giaûm
khoái löôïng cuûa m3 ñi bao nhieâu ñeå khoái taâm G truøng vôùi troïng taâm ABC?
Giaûi
Deã thaáy, heä ñoái xöùng qua ñöôøng cao OC, neân G
naèm treân OC. Choïn truïc Ox nhö hình veõ. Theo
(3.15), ta coù:
321
332211
G
mmm
xmxmxm
x



Deã thaáy: x1 = xA = 0; x2 = xB = 0;
x3 = xC = a 3 /2.
O
B
G
C
x
A
m1
m2
m3
Hình 3.3

6. 86 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện

10
3a3
m10
2/3am600
x
o
o
G 


Ñeå G truøng vôùi troïng taâm ABC thì :
6
3a
3
xxx
x CBA
G 


6
3a
mm2m2
2/3am00
3oo
3



  m3 = 2mo
Vaäy phaûi giaûm khoái löôïng vaät m3 moät löôïng m = 4mo
Ví duï 3.3: Xaùc ñònh khoái taâm cuûa moät vaät theå hình
cung troøn ñoàng nhaát, baùn kính R, chaén goùc ôû taâm 2.
Giaûi
Choïn truïc Ox laø ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc ôû taâm nhö hình (3.4). Deã thaáy Ox chính laø
truïc ñoái xöùng cuûa heä. Suy ra khoái taâm G phaûi naèm treân Ox.
Xeùt moät yeáu toá daøi d chaén goùc ôû taâm d. Hoaønh ñoä cuûa yeáu toá naøy laø: x = Rcos;
khoái löôïng chöùa trong d laø dm =  d = Rd. Theo (3.16), ta coù:










 sinR
2.R
cosR
m
Rd.cosR
m
xdm
x
2
LL
G (3.17)
trong ñoù  laø maät ñoä khoái löôïng daøi cuûa cung troøn; m = R.2 laø khoái löôïng cuûa
cung troøn.
Vaäy khoái taâm cuûa vaät theå hình cung troøn ñoàng nhaát naèm treân phaân giaùc cuûa goùc ôû
ñænh, caùch taâm moät ñoaïn xG ñöôïc xaùc ñònh bôûi (3.17).
Ví duï 3.4: Xaùc ñònh khoái taâm cuûa moät vaät theå
hình quaït troøn ñoàng nhaát, baùn kính R, chaén goùc
ôû taâm 2.
Giaûi
Töông töï nhö ví duï 3 ta cuõng suy ra khoái taâm G
cuûa hình quaït ñoàng nhaát naèm treân truïc ñoái xöùng
Ox (ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc ôû taâm).
Xeùt moät yeáu toá dieän tích dS. Trong heä toïa ñoä
cöïc, ta coù dS = r.dr.d. Khoái löôïng chöùa trong
dS laø dm = dS; hoaønh ñoä cuûa dS laø x = r.cos.
Hoaønh ñoä cuûa khoái taâm G laø:
Hình 3.4:
 Rdd
O x
R
-

x

Hình 3.5
O
r
R
d

x

dr
dS = r.dr.d

7. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 87
m
dS.cos.r
m
xdm
x SS
G
 

m
d.dr.r..cos.r
S
 










3
sinR2
R.
dcos.drr
x 2
R
0
2
G (3.18)
Trong ñoù, m = .S = .R2
laø khoái löôïng cuûa hình quaït
Vaäy khoái taâm cuûa vaät theå hình quaït ñoàng nhaát naèm treân phaân giaùc cuûa goùc ôû ñænh,
caùch taâm moät ñoaïn xG ñöôïc xaùc ñònh bôûi (3.18).
Ví duï 3.5:
Xaùc ñònh
khoái taâm cuûa
moät vaät theå
hình noùn
ñoàng nhaát,
ñöôøng cao h.
Giaûi
Chia hình
noùn thaønh
nhöõng phaàn
nhoû, coù daïng
ñóa troøn baùn
kính r, beà daøy dx (hình 3.6). Ta coù:










vaät raén
vaät raén
vaät raén
vaät raénvaät raén
m dx.r
dx.rx
dV
dVxdm.x
x 2
2
G
4
h
dx.)xh(
dx.)xh(x
dx.tg.)xh(
dx.tg.)xh(x
x h
0
2
h
0
2
22
22
G 










vaät raén
vaät raén
Vaäy, khoái taâm cuûa khoái hình noùn ñoàng nhaát naèm treân truïc hình noùn, caùch ñaùy moät
khoaûng:
4
h
xG  (3.19)
dx
O
h
4
h
r
G

O
x
x
h – x
Hình 3.6: Khoái taâm cuûa vaät hình noùn

8. 88 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện
3 – Chuyeån ñoäng cuûa khoái taâm:
Vaän toác cuûa khoái taâm:
1i

















 n
1i
i
n
ii
n
1i
i
n
1i
i
i
n
1i
i
n
1i
ii
G
G
m
vm
m
dt
rd
m
m
rm
dt
d
dt
rd
v (3.20)
Töông töï, gia toác cuûa khoái taâm: aG







 n
1i
i
n
1i
ii
G
m
am
dt
vd
(3.21)
Goïi

ifaøvFi laø toång caùc ngoaïi löïc vaø noäi löïc taùc duïng leân chaát ñieåm thöù i;
m =  im laø khoái löôïng cuûa toaøn heä. Theo (2.6) ta coù :

 iiii amfF .
Suy ra:
m
fF
a
ii
G
 

 
 .
Maø theo ñònh luaät III Newton, caùc vaät trong heä töông taùc nhau baèng caùc löïc tröïc ñoái,
neân toång caùc noäi löïc 

if = 0.
Vaäy: 
 


 iG
i
G Famhay
m
F
a (3.22)
(3.22) chính laø phöông trình chuyeån ñoäng cuûa khoái taâm. Töø ñoù ta thaáy raèng, khoái
taâm cuûa heä chuyeån ñoäng nhö moät chaát ñieåm coù khoái löôïng baèng toång khoái löôïng caùc
vaät trong heä.
Ví duï: Khi ta neùm caùi rìu leân trôøi thì noù vöøa bay, vöøa xoay. Tuy vaän toác vaø quõi ñaïo
cuûa moãi ñieåm treân caùi rìu laø hoaøn toaøn khaùc nhau vaø raát phöùc taïp, nhöng quõi ñaïo
cuûa khoái taâm chaéc chaén phaûi laø ñöôøng Parabol nhö chuyeån ñoäng neùm xieân cuûa moät
chaát ñieåm (boû qua söùc caûn khoâng khí).

9. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 89
§ 3.3 CHUYEÅN ÑOÄNG CUÛA VAÄT RAÉN
Trong chöông 1, chuùng ta ñaõ nghieân cöùu tính chaát caùc chuyeån ñoäng cuûa chaát
ñieåm. Vaät raén coù nhöõng chuyeån ñoäng rieâng vaø trong moãi daïng chuyeån ñoäng, coù nhöõng
tính chaát ñaëc tröng rieâng. Giaùo trình naøy chæ nghieân cöùu chuyeån ñoäng song phaúng
cuûa vaät raén, nghóa laø trong quaù trình chuyeån ñoäng, moãi ñieåm treân vaät raén luoân coù quõi
ñaïo naèm trong moät maët phaúng song song vôùi moät maët phaúng coá ñònh.
1 – Vaät raén tònh tieán:
Chuyeån ñoäng cuûa vaät raén ñöôïc goïi laø tònh tieán neáu moät ñoaïn thaúng noái hai
ñieåm baát kì treân vaät raén luoân song song vôùi chính noù (coù phöông khoâng ñoåi).
Xeùt ñieåm M baát kyø treân vaät raén vaø khoái
taâm G cuûa vaät raén. Choïn ñieåm O laøm goác toïa ñoä,
theo qui taéc 3 ñieåm ta coù:

 GMOGOM
hay

 GMrr GM

dt
GMd
dt
rd
dt
rd GM


Vì vaät raén tònh tieán neân vectô

GM khoâng ñoåi. Do ñoù 0

dt
GMd
.
Vaäy: vvhay GM



dt
rd
dt
rd GM
(3.23)
Khi vaät raén tònh tieán thì moïi ñieåm trong vaät raén ñeàu vaïch ra caùc quõi ñaïo
gioáng nhau vôùi cuøng moät vaän toác baèng vôùi vaän toác cuûa khoái taâm. Do ñoù chuyeån ñoäng
cuûa vaät raén trong tröôøng hôïp naøy ñöôïc qui veà chuyeån ñoäng cuûa khoái taâm. Noùi caùch
khaùc, toaøn boä vaät raén ñöôïc coi nhö moät chaát ñieåm coù khoái löôïng baèng khoái löôïng
toaøn vaät raén, ñaët taïi khoái taâm G.
2 – Vaät raén quay quanh moät truïc coá ñònh:
Khi vaät raén quay quanh truïc coá ñònh () vôùi vaän toác goùc  thì moïi ñieåm cuûa
vaät raén seõ vaïch ra nhöõng ñöôøng troøn ñoàng truïc , vôùi cuøng moät vaän toác goùc

.
M
G G
M
Hình 3.7: Chuyeån ñoäng
tònh tieán cuûa vaät raén.

10. 90 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện
Xeùt moät ñieåm M baát kì treân vaät raén, goïi

R laø vectô baùn kính
quó ñaïo cuûa M, ta coù:
- Vaän toác daøi:

 Rxv (3.24)
 v = R (3.25)
- Gia toác tieáp tuyeán:

 Rxat (3.26)
 at = R (3.27)
- Gia toác phaùp tuyeán: Ra 2
n  (3.28)
- Gia toác toaøn phaàn:

 nt aaa (3.29)

2
n
2
t aaa  (3.30)
Ví duï 3.6: Moät daây cuaroa truyeàn ñoäng, voøng qua voâlaêng I vaø baùnh xe II. Baùn kính
voâlaêng laø R1 = 10cm; baùnh xe laø R2 = 50cm. Voâlaêng ñang quay vôùi vaän toác 720
voøng/phuùt thì bò ngaét ñieän, noù quay chaäm daàn ñeàu, sau ñoù 30 giaây vaän toác chæ coøn
180 voøng/phuùt. Tính vaän toác quay cuûa baùnh xe tröôùc khi ngaét ñieän, soá voøng quay
cuûa voâlaêng vaø baùnh xe trong khoaûng trôøi gian treân. Sau bao laâu, keå töø luùc ngaét ñieän,
heä thoáng seõ döøng? Tính vaän toác goùc trung bình cuûa voâlaêng vaø baùnh xe trong khoaûng
thôøi gian töø luùc ngaét ñieän ñeán luùc döøng (daây cuaroa khoâng bò tröôït treân voâlaêng vaø
baùnh xe).
Giaûi
Goïi 1 vaø 2 laø vaän toác goùc cuûa
voâlaêng vaø baùnh xe; 01 vaø 02 laø caùc
vaän toác goùc ban ñaàu cuûa chuùng. Ta coù:
01 = 720 voøng/phuùt = 24 rad/s.
t1 = 30s; 1 = 180 voøng/phuùt = 6
rad/s. Vì daây cuaroa khoâng bò tröôït
treân voâlaêng vaø baùnh xe neân caùc ñieåm tieáp xuùc giöõa voâlaêng – daây cuaroa, baùnh xe –
daây cuaroa luoân coù cuøng vaän toác daøi  1R1 = 2R2 ; 01R1 = 02R2
Vaäy vaän toác quay cuûa baùnh xe tröôùc khi ngaét ñieän laø:
144720.
50
10
R
R
1o
2
1
2o  voøng/phuùt = 4,8 rad/s.
R1
R2
Hình 3.9


R


Hình 3.8: Chuyeån
ñoäng quay cuûa
vaät raén quanh
truïc coá ñònh.
M

11. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 91
Gia toác goùc cuûa voâlaêng: 



 6,0
30
246
t1
1o1
1 rad/s2
.
Goùc maø voâlaêng ñaõ quay trong thôøi gian t1 = 30s:
 45030.3,030.24t
2
1
t 22
1111o1 rad.
 Voâlaêng ñaõ quay ñöôïc N1 = 250 voøng.
 Soá voøng quay cuûa baùnh xe trong thôøi gian t1 = 30s: N2 = 1
2
1
N
R
R
= 50 voøng.
Ta coù: t11o1  . Khi döøng: 1 = 0  t = s40t
1
1o




Vaäy, heä thoáng seõ döøng laïi sau 40s keå töø luùc ngaét ñieän.
Goùc maø voâlaêng ñaõ quay trong thôøi gian t = 40s:
 91240.3,040.24t
2
1
t 22
11o rad
Vaän toác goùc trung bình cuûa voâlaêng: 



 8,22
40
912
t
tb1 rad/s.
Vaän toác goùc trung bình cuûa baùnh xe:  56,4
R
R
tb1
2
1
tb2 rad/s.
3 – Chuyeån ñoäng phöùc taïp cuûa vaät raén:
Khi vaät raén coù chuyeån ñoäng phöùc taïp baát kyø (nhöng vaãn laø song phaúng), ta
coù theå phaân tích thaønh hai chuyeån ñoäng ñoàng thôøi: tònh tieán vaø quay. Ñeå chöùng minh
ñieàu naøy, ta xeùt 2 ñieåm baát kyø M vaø N treân vaät raén vaø choïn ñieåm O laøm goác toïa ñoä.
Theo qui taéc 3 ñieåm ta coù:

 NMrrhayNMONOM NM . Laáy ñaïo haøm
hai veá theo thôøi gian, ta coù:
dt
NMd
vv NM



Vectô

NM coù ñoä lôùn khoâng ñoåi, nhöng coù phöông thay ñoåi, neân ta coù theå tìm ñöôïc
truïc quay () töùc thôøi sao cho

NM quay quanh N vôùi vectô vaän toác goùc

 thoûa
maõn phöông trình:


 NMRx
dt
NMd
Rvôùi (3.31)

12. 92 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện
Do ñoù ta coù theå vieát:

 Rxvv NM (3.32)
Nhö vaäy: Neáu choïn ñieåm N laø ñieåm cô baûn thì chuyeån ñoäng cuûa ñieåm M (laø moät
ñieåm baát kyø treân vaät raén) bao goàm hai chuyeån ñoäng:
- Tònh tieán cuøng vôùi ñieåm cô baûn vôùi vaän toác

Nv ;
- Quay quanh ñieåm cô baûn vôùi vaän toác goùc

.
Khi choïn ñieåm cô baûn khaùc nhau thì vaän toác tònh tieán cuûa ñieåm M cuõng khaùc nhau
nhöng vaän toác goùc

 khoâng thay ñoåi. Trong caùc baøi toaùn, ta thöôøng choïn ñieåm cô
baûn laø khoái taâm cuûa vaät raén. Khi ñoù (3.32) trôû thaønh:

 Rxvv GM vôùi

 GMR (3.33)
Toùm laïi: Chuyeån ñoäng baát kyø cuûa vaät raén luoân coù theå phaân tích thaønh hai chuyeån
ñoäng ñoàng thôøi: tònh tieán cuûa ñieåm cô baûn vaø quay quanh truïc ñi qua ñieåm cô baûn ñoù.
Thoâng thöôøng, ta choïn ñieåm cô baûn laø khoái taâm G cuûa vaät raén.
Ví duï 3.7: Baùnh xe hình ñóa troøn, laên khoâng tröôït treân ñöôøng naèm ngang vôùi vaän toác
tònh tieán vo. Xaùc ñònh vectô vaän toác, quõi ñaïo vaø quaõng ñöôøng ñi (sau hai laàn lieân
tieáp tieáp xuùc vôùi maët ñöôøng) cuûa moät ñieåm baát kì treân vaønh baùnh xe.
Giaûi
Xeùt ñieåm
M treân
vaønh
baùnh xe.
Choïn heä
truïc toaï
ñoä Oxy
nhö hình
3.10. Goác
toaï ñoä vaø
goác thôøi gian taïi vò trí vaø thôøi ñieåm M tieáp xuùc vôùi maët ñöôøng.
Do baùnh xe laên khoâng tröôït neân vaän toác daøi cuûa ñieåm M coù ñoä lôùn baèng vôùi vaän toác
tònh tieán cuûa baùnh xe: vM = R = vG = vo.
Vaän toác cuûa ñieåm M:

 Rxvv GM =

 Rxvo (*)
Chieáu (*) leân caùc truïc toïa ñoä Ox, Oy ta coù:
O x
y
M
A
D
G
ov


Mv

 Rx
Hình 3.10: Quõi ñaïo, vaän toác cuûa ñieåm M treân vaønh baùnh xe.
Ñöôøng
cong
cycloid

13. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 93





tsinvsinR0v
)tcos1(vtcosvvcosRvv
oy
oooox
(3.34)
trong ñoù  = AGM

= t : laø goùc maø ñieåm M ñaõ quay ñöôïc trong thôøi gian t.
 Ñoä lôùn vaän toác cuûa ñieåm M:
|
2
t
sin|v)tcos1(2vvvv oo
2
y
2
xM

 (3.35)
Neáu ta choïn ñieåm cô baûn laø ñieåm A thì

 AMxvM 

 AMvM .
Vaäy: phöông cuûa

Mv luoân ñi qua ñænh D cuûa baùnh xe.
(3.34) suy ra phöông trình chuyeån ñoäng cuûa M:













)tcos1(Rdtvy
tsinRtv)tsin
1
t(vdtvx
t
0
y
oo
t
0
x
(3.36)
(3.36) bieåu dieãn ñöôøng cong cycloid. Vaäy quó ñaïo cuûa M laø ñöôøng cong cycloid.
Khoaûng thôøi gian giöõa hai laàn lieân tieáp ñieåm M tieáp xuùc vôùi maët ñöôøng
chính laø chu kì quay quanh khoái taâm: T =

2
. Trong khoaûng thôøi gian naøy, ñieåm M
ñaõ ñi ñöôïc quaõng ñöôøng: 


 T
o
o
T
0
M dt|
2
t
sin|vdt|v|s = 8R. (3.37)
§ 3.4 PHÖÔNG TRÌNH ÑOÄNG LÖÏC HOÏC VAÄT RAÉN
1 – Toång quaùt:
Chuyeån ñoäng phöùc taïp cuûa vaät raén ñöôïc phaân tích thaønh hai chuyeån ñoäng
ñoàng thôøi. Vì theá, moâ taû chuyeån ñoäng cuûa vaät raén veà maët ñoäng löïc hoïc, ta cuõng coù
hai phöông trình:
 Phöông trình moâ taû chuyeån ñoäng tònh tieán cuûa khoái taâm G:


 F
dt
pd
hay

 Fam (3.38)

14. 94 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện
Vôùi: 

 iFF laø toång caùc ngoaïi löïc taùc duïng leân vaät raén;


 Gii vmvmp laø ñoäng löôïng cuûa vaät raén;

a laø gia toác tònh tieán cuûa vaät raén (gia toác cuûa khoái taâm).
 Phöông trình moâ taû chuyeån ñoäng quay quanh truïc  ñi qua khoái taâm G:
dt
Ld

=

M (3.39)
Vôùi: 


vaät raén
dL laø moâ men ñoäng löôïng cuûa vaät raén;

M = 

)Fxr( ii laø toång momen ngoaïi löïc ñoái vôùi truïc .
Hai phöông trình (3.38) vaø (3.39) moâ taû chuyeån ñoäng baát kyø cuûa vaät raén. Neáu xeùt
trong heä truïc Oxyz ta coù 6 phöông trình vi phaân. Tuy nhieân, trong phaïm vi giaùo trình
naøy, ta chæ khaûo saùt caùc chuyeån ñoäng ñaëc bieät cuûa vaät raén, neân vieäc giaûi caùc phöông
trình treân seõ ñôn giaûn hôn.
Tröôùc heát, neáu chuyeån ñoäng cuûa vaät raén chæ laø tònh tieán thì töø (3.38) ta thaáy,
chuyeån ñoäng aáy ñöôïc qui veà chuyeån ñoäng cuûa khoái taâm G vaø vieäc khaûo saùt gioáng
nhö chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm G coù khoái löôïng m.
Döôùi daây ta seõ khaûo saùt chi tieát hôn veà chuyeån ñoäng quay cuûa vaät raén quanh
truïc coá ñònh .
2 – Phöông trình ñoäng löïc hoïc cuûa vaät raén quay quanh truïc coá ñònh:
Xeùt vaät raén quay quanh truïc coá ñònh  vôùi vaän toác goùc . Theo (2.57) ta coù
moâmen ñoäng löôïng cuûa vaät raén laø:



  IdIdIdL
vaät raénvaät raénvaät raén
 (3.40)
Vôùi:  
vaät raénvaät raén
dmrdII 2
(3.41)
laø moâmen quaùn tính cuûa vaät raén ñoái vôùi truïc quay .
Chieáu (3.40) leân truïc , ta coù: L = I (3.42)
 



 

I
dt
d
I
dt
)I(d
dt
dL
(3.43)

15. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 95
Chieáu (3.39) leân truïc  vaø keát hôïp (3.43), ta coù:   MI (3.44)
(3.44) laø phöông trình ñoäng löïc hoïc cuûa vaät raén quay quanh truïc  coá ñònh. Trong
ñoù:  laø gia toác goùc; M laø toång ñaïi soá caùc moâmen ngoaïi löïc ñoái vôùi truïc quay ; I
laø moâmen quaùn tính cuûa vaät raén ñoái vôùi truïc . Veà hình thöùc, (3.44) gioáng nhö
phöông trình cô baûn (2.6) cuûa ñoäng löïc hoïc chaát ñieåm, trong ñoù, moâmen quaùn tính I
ñoùng vai troø gioáng nhö khoái löôïng m. Vì khoái löôïng ñaëc tröng cho möùc quaùn tính
neân moâmen quaùn tính cuõng ñaëc tröng cho möùc quaùn tính trong chuyeån ñoäng quay. Do
ñoù, ngöôøi ta coøn goïi moâmen quaùn tính I laø quaùn tính quay.
Ñeå giaûi ñöôïc (3.44), ta caàn tính ñöôïc moâmen cuûa caùc ngoaïi löïc vaø moâmen
quaùn tính ñoái vôùi truïc .
3 – Tính moâmen löïc ñoái vôùi truïc :
Ñeå tìm hieåu roõ taùc duïng laøm quay vaät raén quanh truïc  cuûa ngoaïi löïc

F , ta
phaân tích

F thaønh caùc thaønh phaàn (xem hình 3.11):



 tn//// FFFFFF (3.45)
 Thaønh phaàn

//F coù phöông song song vôùi truïc , neân coù taùc duïng laøm vaät raén
tröôït theo truïc . Thaønh phaàn naøy seõ ñöôïc caân baèng bôûi phaûn löïc cuûa truïc .
 Thaønh phaàn 

F naèm trong maët phaúng vuoâng goùc vôùi truïc quay, laïi ñöôïc phaân
tích thaønh hai thaønh phaàn:

nF vaø

tF .
 Thaønh phaàn

nF naèm treân phaùp
tuyeán quõi ñaïo cuûa ñieåm M, coù taùc
duïng keùo vaät chuyeån ñoäng vuoâng
goùc vôùi truïc . Thaønh phaàn naøy
cuõng ñöôïc caân baèng bôûi phaûn löïc
cuûa truïc quay .
 Thaønh phaàn

tF höôùng theo tieáp
tuyeán quõi ñaïo cuûa ñieåm M, chính
thaønh phaàn naøy môùi thöïc söï laøm vaät
raén quay quanh truïc .
Vaäy, chæ coù thaønh phaàn tieáp tuyeán cuûa
löïc môùi thöïc söï gaây ra taùc duïng laøm
quay vaät raén.


M

//F 
F

F
tF


nF

Hình 3.11: Chæ coù thaønh phaàn
tieáp tuyeán cuûa löïc môùi gaây ra
taùc duïng laøm quay vaät.

16. 96 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện
Suy ra moâmen cuûa ngoaïi löïc

F ñoái vôùi truïc quay  (goïi taét laø moâmen quay) laø:
tFxRM



    sinR.Fd.FR.FM t (3.46)
vôùi R laø baùn kính quó ñaïo cuûa ñieåm M (ñieåm ñaët cuûa ngoaïi löïc); d = Rsin  laø caùnh
tay ñoøn;  laø goùc giöõa

R vaø thaønh phaàn 

F (xem hình 3.12).
Töø (3.46) suy ra, moâmen quay seõ lôùn nhaát khi löïc

F naèm vuoâng goùc vôùi
truïc quay vaø vuoâng goùc vôùi vectô baùn kính

R .
Neáu coù nhieàu ngoaïi löïc taùc duïng vaøo vaät raén thì toång moâmen cuûa ngoaïi löïc
laø: 




i
tii )FxR(M  
i
iit R.FM (3.47)
Ví duï 3.8: Löïc F = 10N taùc duïng vaøo vaät
raén coù truïc quay coá ñònh. Bieát

F naèm
trong maët phaúng vuoâng goùc vôùi truïc
quay, coù ñieåm ñaët caùch truïc quay 20cm
vaø taïo vôùi baùn kính R moät goùc 30o
. Tính
moâmen quay cuûa löïc.
Giaûi
Moâmen quay cuûa löïc laø:
M = F.R.sin = 10.0,2.sin30o
= 1(Nm) .
Ví duï 3.9: Tính moâmen cuûa löïc ñeå môû caùnh
cöûa hình chöõ nhaät, bieát löïc taùc duïng vaøo tay
naém (nuùm cöûa) vuoâng goùc vôùi maët caùnh cöûa, coù
ñoä lôùn 5N vaø tay naém ôû caùch baûn leà 80cm. Neáu
ñieåm ñaët cuûa löïc khoâng phaûi ôû nuùm cöûa maø chæ
caùch baûn leà 50cm thì ñoä lôùn cuûa löïc phaûi laø bao
nhieâu ñeå coù moâmen treân?
Giaûi
Moâmen löïc khi ñaët taïi nuùm cöûa: Mo = F.d = 5.0,8 = 4(Nm)
Neáu ñieåm ñaët cuûa löïc chæ caùch baûn leà 50cm thì ñoä lôùn cuûa löïc laø:
F’ = Mo/d’ = 4/0,5 = 8 (N).
O

F ’
M

F
Hình 3.13: Moâmen laøm
quay caùnh cöûa
N
O
H
d
R M
Hình 3.12



F

17. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 97
4 – Tính moâmen quaùn tính ñoái vôùi truïc :
a) Nhaéc laïi caùc coâng thöùc ñònh nghóa veà moâmen quaùn tính:
Moâmen quaùn tính ñoái vôùi truïc quay  cuûa:
 Moät chaát ñieåm: I = mr2
(3.48)
vôùi r laø khoaûng caùch töø chaát ñieåm ñeán truïc quay; m laø khoái löôïng cuûa chaát ñieåm.
 Heä chaát ñieåm: 
 
n
1i
2
iirmI (3.49)
vôùi mi laø khoái löôïng cuûa chaát ñieåm thöù i; ri laø khoaûng caùch töø chaát ñieåm thöù i
ñeán truïc .
 Vaät raén: 
vaät raén
dmrI 2
(3.50)
vôùi r laø khoaûng caùch töø yeáu toá khoái löôïng dm ñeán truïc . Tuøy theo phaân boá cuûa
vaät raén maø dm coù theå tính theo (3.4), (3.7) hay (3.9).
b) Moâmen quaùn tính cuûa moät soá vaät raén ñoàng chaát, khoái löôïng phaân boá ñeàu ñoái
vôùi truïc quay  ñi qua khoái taâm G:
Ví duï 3.10: Tính moâmen quaùn tính cuûa hình truï roãng,
thaønh moûng hay vaønh troøn ñoàng chaát, khoái löôïng phaân boá
ñeàu ñoái vôùi truïc cuûa noù.
Giaûi
Chia beà maët hình truï laøm nhieàu phaàn, coù daïng
hình chöõ nhaät, moãi phaàn coù chieàu roäng d  = Rd. Goïi 
laø maät ñoä khoái löôïng phaân boá treân maët truï, ta coù:
dm =  dS =  h.d = hRd
 dI = dm. R2
=  hR3
d
Vì khoái löôïng phaân boá ñeàu neân  = const
 I = 


2
0
33
dhRdhRdI
truïmaëttruïmaët
= 2 hR3
= mR2
vôùi m = 2hR laø khoái löôïng hình truï.
Laøm töông töï ñoái vôùi vaønh troøn (truïc quay laø truïc cuûa vaønh troøn), ta cuõng coù:
I = mR2
.
d
h
R
d
Hình 3.14

18. 98 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện
Vaäy: Moâmen quaùn tính ñoái vôùi truïc cuûa hình truï roãng, hay vaønh troøn ñoàng chaát, khoái
löôïng phaân boá ñeàu laø: I = mR2
(3.50)
vôùi m vaø R laø khoái löôïng vaø baùn kính hình truï, hay vaønh troøn.
Ví duï 3.11: Tính moâmen quaùn tính cuûa khoái truï ñaëc hay ñiaõ
troøn ñoàng chaát, khoái löôïng phaân boá ñeàu ñoái vôùi truïc cuûa noù.
Giaûi
Chia khoái truï ñaëc thaønh nhieàu lôùp moûng, coù beà daøy
dr. Moãi lôùp ñöôïc coi nhö moât hình truï roãng, neân coù moâmen
quaùn tính laø: dI = dm.r2
= dV.r2
vôùi  laø khoái löôïng rieâng cuûa khoái truï.
Maø dV = dS.h = [(r + dr)2
- r2
].h  2hrdr
 dI = 2hr3
dr
 24
R
0
3
mR
2
1
hR
2
1
drrh2dII   truïkhoáitoaøn
Töông töï, ñoái vôùi ñóa troøn ta cuõng thu ñöôïc keát quaû treân.
Vaäy: Moâmen quaùn tính ñoái vôùi truïc ñoái xöùng cuûa khoái truï
ñaëc hay ñiaõ troøn ñoàng chaát, khoái löôïng phaân boá ñeàu laø: 2
mR
2
1
I  (3.51)
vôùi m vaø R laø khoái löôïng vaø baùn kính cuûa khoái truï hay ñóa troøn.
Ví duï 3.12: Tính moâmen quaùn tính cuûa
thanh ñoàng chaát, khoái löôïng phaân boá ñeàu
ñoái vôùi truïc  vuoâng goùc vôùi thanh.
Giaûi
Chia chieàu daøi thanh thaønh caùc
phaàn töû nhoû coù beà daøy dx. Khoái löôïng cuûa
moãi phaàn ñoù laø dm =  dx , vôùi  laø maät ñoä
khoái löôïng phaân boá theo chieàu daøi cuûa thanh. Vì khoái löôïng phaân boá ñeàu neân  =
const. Ta coù dI = dm.x2
=  dx.x2
=  x2
dx
 I = 


2
2
2
dxxdI

thanhtoaøn
= 23
m
12
1
12
1
  (3.52)
vôùi m =  laø khoái löôïng cuûa thanh;  laø chieàu daøi cuûa thanh.
Hình 3.15
dr
h
r
dr
dx
x
2

2
O
Hình 3.16

19. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 99
Ví duï 3.13: Tính moâmen quaùn tính cuûa khoái caàu ñaëc, ñoàng chaát, khoái löôïng phaân boá
ñeàu ñoái vôùi truïc quay chöùa ñöôøng kính.
Giaûi
Moâmen quaùn tính ñoái vôùi truïc Oz (hình 3.17):
  
caàuoái caàukhoáicaàukhoái kh
222
zz dm)yx(dmrdII
Töông töï ñoái vôùi truïc Ox, Oy ta cuõng coù:
 
caàukhoái
dm)zy(I 22
x ;
 
caàukhoái
dm)xz(I 22
y .
Do tính ñoái xöùng caàu neân Ix = Iy = Iz = I =
3
III zyx 
 I   
caàukhoái caàukhoái
dVr
3
2
dm)zyx(
3
2 2222
Maø theå tích hình caàu laø V =
3
4
r3
 dV = 4r2
dr
 I = 5
R
0
422
R
15
8
drr
3
8
drr4r
3
2 
 caàukhoái
= 2
mR
5
2
(3.53)
vôùi R, m = V =
3
4
R3
 laø baùn kính, khoái löôïng cuûa khoái caàu.
Ví duï 3.14: Tính moâmen quaùn tính cuûa khoái caàu roãng, thaønh moûng ñoàng chaát, khoái
löôïng phaân boá ñeàu ñoái vôùi truïc quay chöùa ñöôøng kính.
Giaûi
Xeùt ñieåm M treân maët caàu, ta coù: x2
+ y2
+ z2
= R2
= const . Laøm töông töï ví duï 6, ta
cuõng coù: 22222
mR
3
2
dmR
3
2
dm)zyx(
3
2
I   caàumaët caàumaët
(3.54)
c) Ñònh lí Huygens – Steiner:
Caùc coâng thöùc (3.50) ñeán (3.54) chæ cho pheùp tính moâmen quaùn tính cuûa vaät
raén ñoái vôùi truïc quay G ñi qua khoái taâm G. Trong tröôøng hôïp, truïc  khoâng ñi qua
G nhöng song song vôùi G, ta coù theå vaän duïng ñònh lí Huygens – Steiner ñeå tính:
x
x
y
z
z
M
yO
r
Hình 3.17

20. 100 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện
I = IG + md2
(3.55)
vôùi m laø khoái löôïng cuûa vaät raén vaø d laø khoaûng caùch giöõa hai truïc quay  vaø G.
Chöùng minh:
Xeùt moät yeáu toá khoái löôïng dm, caùc
truïc G moät ñoaïn x vaø caùch truïc  moät
khoaûng (x + d) (xem hình minh hoïa 3.18).
Moâmen quaùn tính cuûa vaät raén ñoái vôùi truïc
G laø: 
VR
2
G dmxI vaø ñoái vôùi truïc  laø:
 
VR
22
VR
2
dm)ddx2x(dm)dx(I
  
VR
2
VRVR
2
dmdxdmd2dmxI (*)
Soá haïng thöù nhaát ôû veá phaûi cuûa (*) chính laø moâmen quaùn tính ñoái vôùi truïc G; soá
haïng thöù hai luoân trieät tieâu, vì haøm döôùi daáu tích phaân laø haøm leû theo x vaø mieàn tính
tích phaân ñoái xöùng quanh truïc G cuûa vaät raén (noùi caùch khaùc neáu coù yeáu toá dm ôû toïa
ñoä x thì toàn taïi yeáu toá dm ôû toïa ñoä (– x) neân tích phaân thöù hai baèng khoâng); Soá haïng
thöù ba chính laø md2
. Vaäy: I = IG + md2
(ñpcm).
Ví duï 3.15: Tính moâmen quaùn tính cuûa thanh ñoàng chaát ñoái vôùi truïc quay ñi qua moät
ñaàu vaø vuoâng goùc vôùi thanh.
Giaûi
Aùp duïng ñònh lí Huygen – steiner:
I = IG + md2
= 222
m
3
1
)
2
(mm
12
1


  (3.56)
§ 3.5 PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI BAØI TOAÙN
ÑOÄNG LÖÏC HOÏC VAÄT RAÉN
Töông töï nhö Ñoäng Löïc Hoïc chaát ñieåm, trong Ñoäng Löïc Hoïc vaät raén cuõng coù
hai daïng baøi toaùn: thuaän vaø nghòch. Baøi toaùn cho bieát caùc löïc, tìm gia toác – goïi laø baøi
toaùn thuaän; baøi toaùn cho gi a toác tìm caùc löïc, moâmen löïc – goïi laø baøi toaùn nghòch.
Phöông phaùp giaûi caùc daïng baøi toaùn naøy ñeàu tuaân theo trình töï sau:
1 – Caùc böôùc:
G
O
Hình 3.18: Chöùng minh ñònh
lí Huygens - Steiner

d
x
dm
x

21. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 101
 Böôùc 1: Phaân tích caùc löïc taùc duïng leân vaät raén.
 Böôùc 2: Vieát các phöông trình ñoäng löïc hoïc:

 amF (1) cho chuyeån ñoäng
tònh tieán và phöông trình    .IM (2) cho chuyeån ñoäng quay (neáu coù).
 Böôùc 3: Chieáu phöông trình (1) leân caùc truïc toaï ñoä caàn thieát.
 Böôùc 4: Giaûi heä phöông trình vaø bieän luaän keát quaû.
Chuù yù: - Khi chieáu moät vectô leân truïc toaï ñoä, neáu vectô ñoù ñaõ xaùc ñònh thì hình
chieáu cuûa noù seõ coù daáu xaùc ñònh tuøy theo noù theo chieàu döông hay aâm cuûa truïc toaï
ñoä. Neáu vectô ñoù chöa xaùc ñònh (thöôøng laø vectô gia toác vaø caùc löïc lieân keát) thì hình
chieáu cuûa noù seõ coù giaù trò ñaïi soá.
- Khi tính toång caùc moâmen löïc, caàn choïn moät chieàu quay döông (thöôøng laø
chieàu quay cuûa vaät, hoaëc chieàu kim ñoàng hoà). Neáu löïc naøo laøm vaät quay theo chieàu
ñoù thì moâmen cuûa noù seõ döông; traùi laïi laø moâmen aâm.
2 – Caùc ví duï maãu:
Ví duï 3.16: Moät baùnh xe (coi nhö hình truï ñaëc ñoàng nhaát), baùn kính R baét ñaàu laên
khoâng tröôït töø ñænh moät caùi doác coù ñoä cao h, nghieâng moät goùc  so vôùi phöông
ngang xuoáng chaân doác. Boû qua ma saùt caûn laên. Tính gia toác vaø vaän toác cuûa khoái taâm
baùnh xe ôû chaân doác.
Giaûi
Böôùc 1: Löïc taùc duïng leân baùnh xe goàm:
- Troïng löïc

P (coù giaù qua khoái taâm G);
- Phaûn löïc phaùp tuyeán

N (coù giaù qua khoái taâm G);
- Löïc ma saùt nghæ msnf

(tieáp tuyeán vôùi maët tieáp xuùc).
Chuù yù: Neáu hoaøn toaøn khoâng coù ma saùt, baùnh xe seõ tröôït maø khoâng quay, vì

P vaø

N
ñeàu coù giaù qua G neân khoâng taïo moâmen quay. Do ñoù phaûi coù ma saùt nghæ taïo moâmen
quay. Löïc naøy ñoùng vai troø laø löïc phaùt ñoäng, khoâng phaûi löïc caûn (boû qua ma saùt caûn
laên). Ñeå hieåu roõ theâm veà löïc ma saùt trong chuyeån ñoäng laên, xin ñoïc § 3.6.
Böôùc 2: Chuyeån ñoäng cuûa baùnh xe bao goàm hai chuyeån ñoäng ñoàng thôøi: Tònh tieán
cuûa khoái taâm G vaø quay quanh truïc ñi qua G, neân ta coù hai phöông trình:
Aùp duïng (3.54), ta coù:

N +

P + msnf

= m

a (1)
Aùp duïng (3.56), ta coù: fmsn.R = I. (2)

22. 102 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện
Chuù yù: chæ coù löïc ma saùt laø taïo moâmen quay, coøn caùc löïc khaùc ñi qua khoái taâm G
neân khoâng taïo moâmen quay.
Bước 3: Chieáu (1) leân phöông maët phaúng nghieâng, chieàu döông höôùng xuoáng chaân
doác, ta coù: Psin - fmsn = ma (3)
Do laên khoâng tröôït neân a = at = .R   = a/R (4)
Bước 4: Thay (4) vaøo (2) vaø keát hôïp (3), ta coù gia toác cuûa khoái taâm baùnh xe laø:






 sing
3
2
m
2
1
m
sinm
g
R
I
m
sinm
ga
2
(3.57)
Tôùi chaân doác, khoái taâm G cuûa baùnh xe coøn caùch maët ñöôøng moät ñoïan R, neân quaõng
ñöôøng maø khoái taâm ñaõ ñi laø: s = (h – R)/sin. Vaäy vaän toác cuûa G ôû chaân doác laø:
3
)Rh(g4
sin
Rh
a2as2v




 (3.58)
Ví duï 3.17: Moät ñoäng cô ñieän khôûi ñoäng nhanh daàn ñeàu trong thôøi gian 3 giaây, vaø
ñaït vaän toác oån ñònh laø 720 voøng/phuùt. Coi rotor coù daïng hình truï ñaëc ñoàng nhaát, baùn
kính R = 10cm, khoái löôïng m = 5 kg vaø coi löïc töø coù phöông tieáp xuùc vôùi beà maët
rotor, haõy tính moâmen khôûi ñoäng cuûa löïc töø vaø ñoä lôùn cuûa löïc töø. Boû qua moâmen caûn
ôû truïc rotor.
Giaûi
Löïc taùc duïng leân rotor goàm troïng löïc

P , phaûn löïc phaùp tuyeán

N cuûa voøng
ñôõ, löïc töø

F (khi quaán ñoäng cô, ngöôøi ta tính toaùn sao cho

F coù phöông tieáp tuyeán

v
h


N
msnf


P
Hình 3.19

23. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 103
ñeå taïo moâmen lôùn nhaát). Deã thaáy

N caân baèng vôùi troïng löïc

P vaø chæ coù löïc töø taïo
moâmen laøm quay ñoäng cô.
Moâmen khôûi ñoäng cuûa löïc töø:
M = I. =
t
I o
Vôùi 2
mR
2
1
I  =
2
1
.6.0,12
= 0,03kgm2
;
o = 0 rad/s;  = 720 voøng/phuùt = 24 rad/s
 M = 0,03.24/3 = 0,72  2,26 Nm.
Ñoä lôùn cuûa löïc töø:
M = F.R  N6,22
1,0
26,2
R
M
F  
.
Ví duï 3.18: Cho cô heä nhö hình 3.21. Khoái
löôïng vaät A, con laên B vaø roøng roïc C laø m1, m2
vaø mo. Baùn kính roøng roïc laø r, baùn kính con laên
laø R. Moâmen caûn ôû truïc roøng roïc laø Mc, heä soá
ma saùt laên giöõa con laên vaø maët baøn laø ’ (coù thöù
nguyeân laø meùt). Boû qua moâmen caûn ôû truïc con
laên, coi daây khoâng giaõn vaø khoâng tröôït treân
roøng roïc. Tính gia toác cuûa vaät A.
Giaûi
Phaân tích löïc:
 Löïc taùc duïng leân vaät A goàm: troïng löïc

1P , löïc caêng daây

1T
 Löïc taùc duïng leân con laên B goàm: troïng löïc

2P , phaûn löïc phaùp tuyeán

2N , löïc
caêng daây

2T , löïc ma saùt msF

.
 Löïc taùc duïng leân ròng rọc C goàm: troïng löïc

0P , phaûn löïc lieân keát cuûa truïc quay

R , löïc caêng daây

3T ,

4T .
Vieát caùc phöông trình ñoäng löïc hoïc cho A, B, C:
A:

 1111 amTP (1)
B:

 22ms222 amFTNP (2)
vaø: 22G/ IM  (3)
A
B
C
H 3.21
Hình 3.20

F

24. 104 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện
C: 00G/ IM  (4)
Chieáu (1) leân Ox  P1 – T1 = m1a1 (5)
Chieáu (2) leân Ox  T2 – Fms = m2a2 (6)
Chieáu (2) leân Oy  P2 – N2 = 0 (7)
Choïn chieàu quay döông laø chieàu kim ñoàng hoà.
 Ñoái vôùi con laên B, caùc löïc

2P vaø

2T khoâng gaây ra moâmen quay, vì giaù cuûa
chuùng ñi qua truïc quay; chæ coù löïc ma saùt msF

vaø phaûn löïc phaùp tuyeán

2N laø gaây ra moâmen quay. Moâmen cuûa löïc ma saùt laø moâmen phaùt ñoäng laøm
con laên quay theo chieàu kim ñoàng hoà: Mms = Fms.R ; coøn moâmen cuûa phaûn
löïc phaùp tuyeán laø moâmen caûn laên (xem § 3.6): MN = – ’.N2. Do ñoù (3) trôû
thaønh:
Fms.R – ’.N2 = I2. (8)
 Töông töï ñoái vôùi roøng roïc C, (4) trôû thaønh:
T4 .r – T3 .r – Mc = I0.0 (9)
Ngoaøi ra ta coù caùc ñieàu kieän:
- Daây khoâng giaõn  a1 = a2 = a (10)
- Daây khoâng khoái löôïng  T1 = T4 = T; T2 = T3 = T’ (11)
A
B
C
H 3.22

2P

2N
msF


0P

R

2T 3T

4T


1P
1T

O
x
y

25. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 105
- Daây khoâng tröôït treân roøng roïc  a = at = 0. r = 2.R (12)
Giaûi heä phöông trình: thay (10), (11), (12) vaøo (5), (6), (7), (8), (9), ta coù:
(5)  m1g – T = m1a (5’)
(6)  T’ – Fms = m2a (6’)
(8)  am
2
1
R
a
Igm
R
'
F 2222ms 

 (8’)
(9)  T – T’ am
2
1
r
a
.
r
I
r
M
0
0c
 (9’)
Coäng veá vôùi veá caùc phöông trình (5’), (6’), (8’) vaø (9’), ta thu ñöôïc gia toác cuûa vaät:
o21
c
21
m
2
1
m
2
3
m
gr
M
m
R
'
m
ga




 (3.59)
3 – Con laéc vaät lyù:
Con laéc vaät lyù laø moät vaät raén khoái löôïng m,
coù theå quay quanh truïc coá ñònh, naèm ngang.
Goïi G laø khoái taâm cuûa con laéc, d laø khoaûng
caùch töø G ñeán truïc quay O;  laø goùc löôïng giaùc taïo
bôûi phöông thaúng ñöùng vaø ñöôøng OG. Boû qua ma
saùt thì löïc taùc duïng leân con laéc goàm troïng löïc

P (coù
ñieåm ñaët taïi khoái taâm) vaø phaûn löïc

R cuûa truïc quay
(coù ñieåm ñaët taïi truïc quay). Suy ra, chæ coù troïng löïc
gaây ra moâmen quay, coøn phaûn löïc khoâng taïo
moâmen quay (vì coù giaù ñi qua truïc quay).
Phöông trình chuyeån ñoäng quay cuûa con laéc quanh
truïc O laø: d.sinmgd.sinPM
dt
d
I
O/P
2
2


 (3.60)
vôùi I laø momen quaùn tính cuûa con laéc ñoái vôùi truïc quay; d laø khoaûng caùch töø khoái
taâm G ñeán truïc quay; chieàu quay döông laø chieàu ngöôïc kim ñoàng hoà.
Xeùt tröôøng hôïp con laéc dao ñoäng vôùi bieân ñoä goùc o nhoû thì sin  . (3.60) trôû
thaønh: 0.
I
mgd
dt
d
2
2


. Ñaët
2
o
I
mgd
  0
dt
d 2
o2
2


(3.61)

G
Hình 3.23: Con laéc vaät lyù

P

26. 106 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện
Ñaây laø phöông trình vi phaân cuûa con laéc vaät lyù. Nghieäm cuûa phöông trình naøy coù
daïng:  = osin(ot + ). (3.62)
Vaäy, vôùi bieân ñoä goùc nhoû (o < 10o
), dao ñoäng cuûa con laéc vaät lyù laø dao ñoäng ñieàu
hoaø töï do, coù :
 Taàn soá goùc rieâng:
I
mgd
o  (3.63)
 Chu kì rieâng:
mgd
I
2
2
T
o
o 


 (3.64)
Tröôøng hôïp ñaëc bieät, vaät raén laø moät chaát ñieåm ñaët taïi G, khi ñoù I = md2
vaø ta coù:
g
2Thay
g
d
2T oo

 (3.65)
con laéc vaät lyù trôû thaønh con laéc toaùn hoïc (con laéc ñôn).
Neáu moät con laéc ñôn vaø moät con laéc vaät lyù coù cuøng chu kì thì ta noùi chuùng laø hai con
laéc ñoàng boä.
§ 3.6 MA SAÙT TRONG CHUYEÅN ÑOÄNG LAÊN CUÛA VAÄT RAÉN
Trong sinh hoaït haøng ngaøy, ta thöôøng gaëp chuyeån ñoäng laên cuûa caùc vaät hình
truï treân maët phaúng ngang. Ta cuõng thaáy raèng, coù luùc baùnh xe quay raát nhanh maø
khoâng tieán leân ñöôïc (xe bò luùn sình); hoaëc baùnh xe tröôït maø khoâng laên; hoaëc vöøa laên,
vöøa tröôït, …. Nguyeân nhaân cuûa caùc hieän töôïng treân laø do ma saùt. Baøi naøy cung caáp
theâm thoâng tin veà ñaëc ñieåm cuûa ma saùt laên; vai troø cuûa ma saùt trong caùc chuyeån ñoäng
laên khoâng tröôït cuûa caùc vaät raén coù daïng hình truï. Noùi chung, ma saùt trong chuyeån
ñoäng laên raát phöùc taïp. Coù luùc ma saùt ñoùng vai troø laø löïc phaùt ñoäng, nhöng cuõng coù
luùc laïi caûn trôû chuyeån ñoäng. Sau ñaây chuùng ta khaûo saùt aûnh höôûng cuûa ma saùt ñoái vôùi
chuyeån ñoäng laên cuûa khoái truï trong caùc tröôøng hôïp cuï theå.
1 – Tröôøng hôïp 1: ôû thôøi ñieåm to = 0, khoái truï coù chuyeån ñoäng tònh tieán vôùi vaän
toác ov

:
Neáu giöõa maët ngang vaø khoái truï hoaøn toaøn khoâng coù ma saùt thì phaûn löïc

N
vaø troïng löïc

P trieät tieâu nhau (hình 3.24). Do ñoù khoái truï tröôït theo quaùn tính vôùi
vaän toác ov

khoâng ñoåi (ñieåm tieáp xuùc A cuõng tröôït vôùi vaän toác ov

, vì khoâng coù löïc
taïo moâmen quay).

27. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 107
Thöïc teá luoân coù ma saùt taùc duïng leân khoái truï
vaø löïc ma saùt coù hai taùc duïng (hình 3.25):
 Caûn trôû chuyeån ñoäng tònh tieán theo phöông trình:
msf
dt
dv
m  (3.66)
 Taïo moâmen laøm quay vaät raén theo phöông trình:
R.f
dt
d
I ms

(3.67)
trong ñoù: v laø vaän toác tònh tieán cuûa khoái taâm;  laø
vaän toác goùc vaø I laø moâmen quaùn tính ñoái vôùi truïc
quay qua khoái taâm.
Luùc naøy, vaän toác tröôït cuûa ñieåm tieáp xuùc A laø:
vtr = v – R (3.68)
Vaän toác tònh tieán v caøng luùc caøng giaûm coøn vaän toác
goùc  caøng luùc caøng taêng. Do ñoù, sau moät khoaûng
thôøi gian t1 thì vtr = 0. Luùc ñoù ñieåm tieáp xuùc A khoâng
coøn tröôït nöõa, ta noùi khoái truï laên khoâng tröôït treân
maët phaúng ngang vôùi vaän toác goùc 1 vaø vaän toác tònh
tieán v1 ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:

1t
0
mso1
ms
ms dtf
m
1
vvdt
m
f
dvf
dt
dv
m (*)

 1t
0
mso1msms dtf
I
R
dtf
I
R
dR.f
dt
d
I (**)
Khöû tích phaân trong (*) vaø (**) roài keát hôïp vôùi ñieàu kieän laên khoâng tröôït: v1 = 1R,
ta coù:













2
o
1
o
1
mR
I
1
v
v
mR
I
R
v
(3.69)

N

P
O
A
ov


R
msf

Hình 3.25

P

N
O
A
ov

Hình 3.24

28. 108 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện
Treân lyù thuyeát, khoái truï laên khoâng tröôït vôùi vaän toác goùc 1, nhöng treân thöïc teá, keå töø
luùc t1 trôû ñi, khoái truï laïi chuyeån ñoäng chaäm daàn vaø döøng laïi. Ñieàu ñoù chöùng toû giöõa
khoái truï vaø maët phaúng ngang xuaát hieän moät löïc caûn môùi (seõ khaûo saùt trong muïc 3).
2 – Tröôøng hôïp 2: ôû thôøi ñieåm to = 0, khoái truï coù chuyeån ñoäng quay vôùi vaän toác
goùc o:
Cho khoái truï quay quanh truïc cuûa noù vôùi vaän
toác goùc o roài ñaët nheï xuoáng maët phaúng ngang. Neáu
giöõa hình truï vaø maët phaúng ngang khoâng coù ma saùt
thì toång moâmen caùc ngoaïi löïc baèng khoâng (vì troïng
löïc vaø phaûn löïc khoâng taïo moâmen quay) neân moâmen
ñoäng löôïng ñöôïc baûo toaøn vaø vaät tieáp tuïc quay taïi choã
vôùi vaän toác goùc o khoâng ñoåi.
Neáu giöõa hình truï vaø maët phaúng ngang coù ma
saùt thì taïi ñieåm tieáp xuùc A xuaát hieän löïc ma saùt msf

coù khuynh höôùng giöõ chaët
ñieåm A laïi (hình 3.26). msf

coù hai taùc duïng:
 Caûn trôû chuyeån ñoäng quay theo phöông trình: R.f
dt
d
I ms

 Keùo hình truï chuyeån ñoäng sang phaûi vôùi phöông trình: msf
dt
dv
m 
Vaän toác tröôït cuûa ñieåm tieáp xuùc A: vtr = R – v.
Vaän toác tònh tieán v caøng luùc caøng taêng coøn vaän toác goùc  caøng luùc caøng giaûm. Do
ñoù, sau moät khoaûng thôøi gian t1 thì vtr = 0. Luùc ñoù ñieåm tieáp xuùc A khoâng coøn tröôït
nöõa, ta noùi khoái truï laên khoâng tröôït treân maët phaúng ngang vôùi vaän toác goùc 1 vaø vaän
toác tònh tieán v1 ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:

1t
0
ms1
ms
ms dtf
m
1
vdt
m
f
dvf
dt
dv
m (*)

 1t
0
mso1msms dtf
I
R
dtf
I
R
dR.f
dt
d
I (**)
Khöû tích phaân trong (*) vaø (**) roài keát hôïp vôùi ñieàu kieän laên khoâng tröôït: v1 = 1R,
ta coù:
O
A
msf


Hình 3.26

29. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 109















I
mR
1
R
v
I
mR
1
2
o
1
2
o
1
(3.70)
Treân lyù thuyeát, khoái truï laên khoâng tröôït vôùi vaän toác goùc 1, nhöng treân thöïc teá, keå töø
luùc t1 trôû ñi, khoái truï laïi chuyeån ñoäng chaäm daàn vaø döøng laïi. Ñieàu ñoù chöùng toû giöõa
khoái truï vaø maët phaúng ngang xuaát hieän moät löïc caûn môùi (seõ khaûo saùt trong muïc 3).
3 – Chuyeån ñoäng laên khoâng tröôït cuûa khoái truï – ma saùt laên:
Trong caùc muïc 1 vaø 2, ta thaáy, sau thôøi
ñieåm t1, muoán duy trì chuyeån ñoäng cuûa khoái truï thì
phaûi taùc duïng löïc

F vaøo khoái truï. Ñieàu ñoù chöùng toû
giöõa hình truï vaø maët phaúng ngang xuaát hieän moät
löïc caûn môùi. Nguyeân nhaân cuûa löïc caûn naøy laø do
khoái truï tieáp xuùc vôùi maët phaúng ngang khoâng phaûi
taïi moät ñieåm A maø caû moät maët, moät cung AB. Khi
khoái truï laên sang phaûi, troïng löôïng cuûa noù haàu nhö
ñaët taïi B, nghóa laø phaûn löïc

N ñaët taïi B, leäch ra
phía tröôùc moät khoaûng nhoû L' so vôùi khoái taâm
(hình 3.27). Troïng löïc

P vaø phaûn löïc phaùp tuyeán

N taïo thaønh moät ngaãu löïc, caûn trôû söï quay, do ñoù
khoái truï seõ laên chaäm daàn. Muoán cho khoái truï tieáp tuïc laên, ta phaûi taùc duïng vaøo khoái
truï moät löïc

F sao cho moâmen cuûa caëp löïc (

F , msf

) phaûi lôùn hôn moâmen cuûa caëp
löïc (

P ,

N ): L'NFR   N
R
'
F L
 (3.71)
Vaäy, giôùi haïn cuûa löïc F ñeå khoái truï laên ñeàu laø: N
R
'
F L
min

 (3.72)
Khi ñoù, löïc ma saùt laên laø: fms = N
R
'
F L
min

 (3.73)
Trong ñoù: L' coù thöù nguyeân chieàu daøi, ñöôïc goïi laø “heä soá ma saùt laên” (ôû chöông 2,
ta ñaõ kí hieäu heä soá naøy laø ’L). Ñaët
R
'L
= L laø hö soá (khoâng thöù nguyeân) thì ta coù
fmslaên = LN, gioáng nhö tröôøng hôïp ma saùt tröôït: fmst = N. Vì theá, ñoâi khi ta cuõng goïi
L laø heä soá ma saùt laên.

P

N
O
B
A
msf


F
Hình 3.27


30. 110 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện
Ñeå thoáng nhaát caùch goïi, trong giaùo trình naøy, ta qui öôùc heä soá ma saùt laên laø
’L (coù thöù nguyeân laø meùt).
4 – Phaân bieät ma saùt nghæ vaø ma saùt laên:
Trong chuyeån ñoäng laên cuûa khoái truï thì löïc ma saùt nghæ luoân coù xu höôùng
giöõ chaët ñieåm tieáp xuùc A, ngaên khoâng cho noù tröôït veà phía sau. Chính löïc naøy ñoùng
vai troø löïc phaùt ñoäng laøm cho ñieåm tieáp xuùc A chuyeån ñoäng ñi tôùi.
Khi khoái truï laên, thì xuaát hieän löïc ma saùt laên, caûn trôû chuyeån ñoäng laên cuûa
khoái truï. Löïc naøy gaây ra moâmen caûn trôû chuyeån ñoäng quay cuûa khoái truï.
Ñeå hình dung vai troø cuûa ma saùt nghæ ñoái vôùi chuyeån ñoäng laên, ta xeùt
chuyeån ñoäng cuûa baùnh xe sau cuûa xe moâtoâ (baùnh phaùt ñoäng). Khi noå maùy vaø vaøo soá,
nhôø coù heä thoáng nhoâng, seân, ñóa, noäi löïc laøm cho baùnh xe coù khuynh höôùng quay vaø
ñieåm tieáp xuùc A coù khuynh höôùng tröôït veà phía sau. Khi ñoù xuaát hieän löïc ma saùt
nghæ (chính laø ngoaïi löïc) coù khuynh höôùng giöõ chaët ñieåm tieáp xuùc A. Löïc ma saùt
nghæ coù ñoä lôùn taêng daàn, cuoái cuøng keùo ñieåm tieáp xuùc A ñi tôùi, nhôø ñoù toaøn boä xe vaø
ngöôøi chuyeån ñoäng. Khi baùnh xe laên, xuaát hieän löïc ma saùt laên caûn trôû chuyeån ñoäng
laên. Neáu löïc ma saùt nghæ caân baèng vôùi ma saùt laên thì xe chuyeån ñoäng ñeàu.
Nhö vaäy, trong chuyeån ñoäng cuûa oâtoâ noùi rieâng vaø caùc vaät raén khaùc noùi
chung, löïc ma saùt nghæ ñoùng vai troø laø ngoaïi löïc phaùt ñoäng. Vì löïc ma saùt nghæ coù giaù
trò lôùn nhaát laø N (baèng ma saùt tröôït), neân khi löïc ma saùt nghæ ñaït ñeán giaù trò cöïc
ñaïi, duø coâng suaát cuûa ñoäng cô ñoát trong coù taêng ñeán maáy cuõng khoâng theå laøm cho xe
chuyeån ñoäng nhanh hôn ñöôïc!
Ñoái vôùi baùnh xe tröôùc, luùc t = 0, noù nhaän ñöôïc vaän toác tònh tieán vo vaø ñieåm
tieáp xuùc bò tröôït tôùi. Chính löïc ma saùt nghæ ñaõ laøm cho noù coù chuyeån ñoäng quay.
Vaäy, trong caùc löïc ma saùt thì ma saùt nghæ ñoùng vai troø tích cöïc, höõu ích trong
moïi chuyeån ñoäng laên cuûa vaät.
5 – Ma saùt cuûa daây quaán vaøo khoái truï:
Moät daây vaét leân khoái truï, baùn kính R, phaàn
tieáp xuùc vôùi khoái truï laø moät cung troøn . Heä soá ma
saùt giöõa daây vaø khoái truï laø . Ñaët vaøo moät ñaàu daây
moät löïc P, ta chöùng minh ñöôïc, daây seõ caân baèng neáu
ñaët vaøo ñaàu kia moät löïc: Q = P.e - 
(3.74)
 coù theå lôùn hôn 2.
Neáu daây quaán hôn moät voøng, Q << P.

Q

P

R
Hình 3.28

31. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 111
Ñeå chöùng minh (3.74), ta xeùt moät maåu daây chaén goùc ôû taâm d. Löïc taùc duïng
leân maåu daây naøy goàm: löïc caêng daây

T vaø

T ’; löïc ma saùt msf

; phaûn löïc
phaùp tuyeán

N cuûa khoái truï.
Töø ñieàu kieän caân baèng cuûa maåu daây,
ta coù:

T +

T ’+ msf

+

N = 0 (*)
Chieáu (*) leân phöông tieáp tuyeán vôùi
maët truï: T – T’ – fms = 0
Hay: dT = T’ – T = – fms = – N (**)
Chieáu (*) leân phöông phaùp tuyeán cuûa maët truï vaø löu yù T’  T, ta coù:
N = T.d  dT = – Td   d
T
dT
 
Q
P
T
dT
 )
P
Q
ln(  Q = Pe- 
(ñpcm).
Ví duï 3.19: Moät ngöôøi keùo chieác saølan vaø quaán noù vaøo moät truï treân bôø caûng. Neáu
löïc giöõ ñaàu daây lôùn nhaát laø 200N coøn doøng nöôùc chaûy, ñaåy saølan laøm caêng ñaàu daây
kia moät löïc 20000N. Hoûi ngöôøi ñoù phaûi quaán maáy voøng daây vaøo truï ñeå coù theå giöõ
ñöôïc saølan? Bieát heä soá ma saùt giöõa daây vaø coät truï laø  = 0,5.
Giaûi
Theo (3.80), ta coù Q =Pe- 
 


5,0
)20000/200ln()P/Qln(
9,21rad  1,5 voøng.
Vaäy ngöôøi ñoù chæ caàn quaán moät voøng röôõi laø coù theå giöõa ñöôïc saølan.
BAØI TAÄP CHÖÔNG 3
3.1 Tính khoái löôïng cuûa moät taám phaúng hình troøn, baùn kính R, bieát raèng maät ñoä khoái
löôïng phaân boá treân beà maët giaûm theo qui luaät haøm muõ: rk
oe
 , vôùi k, o laø
caùc heä soá döông; r laø khoaûng caùch töø taâm ñóa ñeán ñieåm khaûo saùt. Aùp duïng soá: o
= 5kg/m2
; k = 10g/cm; R = 50cm.
d

T
'T


N

N

T
'T

Hình 3.29

msf

32. 112 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện
3.2 Khoái baùn caàu baùn kính R, coù maät ñoä khoái löôïng taêng tuyeán tính theo chieàu cao:
 = ah + b, vôùi a, b laø caùc haèng soá; h laø khoaûng caùch töø maët ñaùy baùn caàu ñeán
ñieåm khaûo saùt. Tính khoái löôïng cuûa khoái baùn caàu. Aùp duïng soá: R = 50cm; a =
20000 kg/m4
; b = 0.
3.3 Moät thuøng ñöïng röôïu thaønh moûng, coù daïng Elíp troøn xoay quanh truïc lôùn 2a,
nhöng bò caét boû ôû hai ñaàu sao cho khoaûng caùch töø taâm ñeán hai maët ñaùy baèng baùn
truïc nhoû b cuûa Elíp. Tính dung tích cuûa thuøng vaø khoái löôïng röôïu maø thuøng coù
theå chöùa, bieát khoái löôïng rieâng cuûa röôïu laø . Aùp duïng soá: a = 0,8m; b = 0,5m; 
= 800kg/m3
.
3.4 Quan saùt chuyeån ñoäng quay cuûa caùc quaït traàn hoaëc quaït baøn, ta thaáy coù caùi quay
raát “eâm”, nhöng coù caùi laéc raát maïnh. Haõy tìm ra nguyeân nhaân vaø ñöa ra höôùng
khaéc phuïc.
3.5 Xaùc ñònh khoái taâm cuûa heä ba chaát ñieåm coù khoái löôïng laàn löôït laø: m, 2m, 2m ñaët
taïi ba ñænh A, B, C cuûa tam giaùc ñeàu, caïnh a. Caàn phaûi taêng hay giaûm khoái
löôïng cuûa chaát ñieåm taïi ñænh A ñi bao nhieâu ñeå khoái taâm cuûa heä truøng vôùi trung
ñieåm cuûa ñöôøng cao AH?
3.6 Xaùc ñònh khoái taâm cuûa heä boán chaát ñieåm coù khoái löôïng laàn löôït laø: m, 2m, 3m,
4m ñaët taïi boán ñænh O, A, B, C cuûa hình vuoâng caïnh a.
3.7 Xaùc ñònh khoái taâm cuûa caùc vaät phaúng ñoàng nhaát coù daïng nöûa hình troøn; ¼ hình
troøn baùn kính R.
3.8 Xaùc ñònh khoái taâm cuûa vaät phaúng ñoàng nhaát coù daïng nöûa elíp: 1
b
y
a
x
2
2
2
2
 ; vôùi
a laø baùn truïc lôùn, b laø baùn truïc nhoû. Xeùt hai tröôøng hôïp: a) nöûa elíp coù x  0;
b) nöûa elíp coù y  0.
3.9 Xaùc ñònh khoái taâm cuûa khoái baùn caàu
ñoàng nhaát, baùn kính R.
3.10 Xaùc ñònh khoái taâm cuûa vaät phaúng
ñoàng nhaát coù daïng hình troøn, baùn kính R
bò khoeùt moät loã cuõng coù daïng hình troøn,
baùn kính r. Bieát taâm cuûa loã caùch taâm
hình troøn lôùn moät ñoaïn a. Suy ra tröôøng
hôïp r = a =
2
R
.
3.11 Xaùc ñònh khoái taâm cuûa khoái caàu
ñoàng nhaát baùn kính R, bò khoeùt moät loã
cuõng coù daïng hình caàu baùn kính r. Bieát
a
a
c
b
Hình 3.30

33. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 113
taâm cuûa loã caùch taâm khoái caàu lôùn moät ñoaïn a. Suy ra tröôøng hôïp r = a =
2
R
.
3.12 Moät thöôùc deït ñoàng nhaát coù daïng hình chöõ T
(hình 3.30) Haõy xaùc ñònh khoái taâm cuûa thöôùc. Xeùt
tröôøng hôïp ñaëc bieät c = b.
3.13 Moät vaät theå ñaëc, ñoàng nhaát goàm moät phaàn hình
truï, chieàu cao h vaø moät baùn caàu baùn kính R (hình
3.31). Xaùc ñònh h theo R ñeå khoái taâm cuûa vaät naèm
ôû phaàn baùn caàu.
3.14 Moät baùnh xe baùn kính R laên khoâng tröôït treân
ñöôøng thaúng vôùi vaän toác ov

(hình 3.32). Haõy
xaùc ñònh:
a) Vaän toác taïi caùc ñieåm A, B, C, D. Töø ñoù suy
ra, muoán baùnh sau xe ñaïp khoâng vaêng buøn ñaát
leân ngöôøi thì caùi chaén buøn (deø xe) phaûi phuû nhö
theá naøo?
b) Quó ñaïo, vaän toác, gia toác cuûa moät ñieåm M baát kì treân vaønh baùnh xe.
c) Quaõng ñöôøng maø ñieåm M ñi ñöôïc giöõa 5 laàn lieân tieáp tieáp xuùc vôùi maët
ñöôøng.
3.15 Moät daây cuaroa truyeàn ñoäng, voøng qua khoái truï I vaø baùnh xe II. Baùn kính
khoái truï r1 = 30cm, baùnh xe r2 = 75cm. Baùnh xe baét ñaàu quay vôùi gia toác goùc
0,4rad/s2
. Hoûi sau bao laâu, khoái truï I seõ quay vôùi vaän toác goùc 300 voøng/phuùt?
(daây cuaroa khoâng tröôït treân khoái truï vaø baùnh xe).
3.16 Moät caùi ñóa chia thaønh n hình quaït ñeàu nhau, quay chaäm daàn ñeàu. Moät kim
chæ thò gaén ôû ngoaøi, gaàn meùp ñóa (gioáng nhö chieác noùn kì dieäu). Hình quaït thöù
nhaát ñi qua kim trong thôøi gia t1 = 4s, hình quaït thöù hai trong thôøi gian t2 = 5s;
sau ñoù ñóa quay theâm ñöôïc goùc  = 0,75 thì döøng laïi. Tính gia toác cuûa ñóa.
3.17 Quaû caàu baùn kính R = 3cm, laên ñeàu, khoâng tröôït treân hai thanh
ray song song caùch nhau d = 4cm. Sau 2s, noù ñi ñöôïc 120cm. Xaùc
ñònh vaän toác cuûa ñieåm cao nhaát, thaáp nhaát cuûa quaû caàu (hình 3.33).
3.18 Moät hình truï baùn kính R, ñaët giöõa 2 taám vaùn phaúng chuyeån
ñoäng song song vôùi vaän toác 1v

vaø 2v

(H 3.34). Giaû söû 2 taám vaùn
khoâng tröôït ñoái vôùi hình truï. Tính vaän toác goùc cuûa hình truï vaø vaän
toác tònh tieán cuûa truïc hình truï trong hai tröôøng hôïp:
h
Hình 3.31
O
ov

A
D
B
C
Hình 3.32
d
H 3.33

34. 114 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện
a) 1v

vaø 2v

cuøng chieàu.
b) 1v

vaø 2v

ngöôïc chieàu.
3.19 Trong thôøi gian ñaïp moät voøng baøn
ñaïp thì xe ñaïp ñi ñöôïc maáy meùt? Bieát soá
raêng cuûa ñóa gaáp ñoâi soá raêng cuûa líp vaø
ñöôøng kính loáp xe laø 700mm. Suy ra muoán xe ñi ñöôïc 10km thì phaûi ñaïp maáy
voøng? Neáu vaän toác xe laø v = 20km/h thì vaän toác ñaïp laø bao nhieâu voøng/phuùt?
3.20 Chieàu daøi ñuøi peâñan (gioø dóa) xe ñaïp laø 20cm; chaân ngöôøi taùc duïng moät löïc
F = 100N höôùng thaúng ñöùng xuoáng döôùi. Tính ñoä lôùn cuûa moâmen quay ñoái vôùi
truïc gioø dóa khi gioø dóa laøm vôùi ñöôøng thaúng ñöùng moät goùc 30o
; 60o
; 90o
; 180o
?
3.21 Tính moâmen cuûa caùc löïc 21 F;F

ñoái vôùi
ñieåm O trong hình 3.35, bieát F1 = 20N; F2 =
15N;  = 150o
;  = 120o
; OA = 20cm; OB =
10cm. Suy ra toång moâmen laøm vaät raén quay
quanh O? Vaät seõ quay theo chieàu naøo?
3.22 Trong maët phaúng Oxy, löïc

F = (6;8)N
ñaët taïi ñieåm A(-20;50) cm. Haõy tính ñoä lôùn
moâmen cuûa löïc

F ñoái vôùi goác O.
3.23 Tính moâmen quaùn tính cuûa khoái truï roãng, ñoàng nhaát ñoái vôùi truïc cuûa khoái
truï. Bieát khoái truï coù khoái löôïng m, baùn kính thaønh ngoaøi R1 thaønh trong R2
3.24 Tính moâmen quaùn tính cuûa khoái hình noùn ñoàng nhaát ñoái vôùi truïc quay laø
truïc hình noùn. Bieát noù coù khoái löôïng m, baùn kính ñaùy laø R. Töông töï vôùi hình
noùn cuït, baùn kính R, r.
3.25 Tính moâmen quaùn tính cuûa ñóa ñaëc phaúng, hình troøn ñoàng nhaát, khoái löôïng
m, baùn kính R ñoái vôùi truïc quay chöùa ñöôøng kính ñóa vaø ñoái vôùi truïc quay ñi qua
meùp ñóa, vuoâng goùc maët phaúng ñóa.
3.26 Tính moâmen quaùn tính cuûa vaønh troøn, ñoàng nhaát, khoái löôïng m, baùn kính R
ñoái vôùi truïc quay chöùa ñöôøng kính vaønh troøn.
3.27 Moät ñóa ñaëc, phaúng, hình troøn, ñoàng nhaát, baùn kính R bò khoeùt moät phaàn
cuõng coù daïng hình troøn, baùn kính r, taâm phaàn khoeùt caùch taâm ñóa moät ñoaïn d.
Khoái löôïng phaàn coøn laïi laø m. Tính moâmen quaùn tính cuûa phaàn coøn laïi ñoái vôùi
truïc quay : a) ñi qua hai taâm cuûa hai hình troøn; b) ñi qua taâm hình troøn lôùn vaø
vuoâng goùc vôùi maët ñóa. Suy ra tröôøng hôïp r = d = R/2.
1v

2v

H 3.34
O
A
B
1F

2F



Hình 3.35

35. Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 115
3.28 Tính moâmen quaùn tính cuûa khoái caàu ñaëc, ñoàng nhaát, khoái löôïng m, baùn kính
R bò khoeùt moät phaàn cuõng coù daïng hình caàu, baùn kính r, ñoái vôùi truïc quay ñi
qua hai taâm cuûa hai hình caàu. Suy ra tröôøng hôïp ñaëc bieät r = R/2.
3.29 Tính moâmen quaùn tính cuûa caùnh cöûa phaúng hình chöõ nhaät ñoàng nhaát khoái
löôïng m, chieàu roäng a, chieàu daøi b ñoái vôùi truïc quay:
a) chöùa baûn leà; b) vuoâng goùc vôùi maët caùnh cöûa taïi taâm hình chöõ nhaät.
3.30 Moät truïc khuyûu coù daïng moät thanh nhoû ñoàng nhaát, chieàu daøi  , khoái löôïng
m coù theå quay quanh truïc vuoäng goùc vôùi thanh vaø ñi qua moät ñaàu cuûa thanh.
Tính moâmen quaùn tính cuûa truïc khuyûu ñoái vôùi truïc quay naøy.
3.31 Coù 4 vieân bi nhoû, khoái löôïng moãi vieân laø m ñöôïc ñaët taïi 4 ñænh cuûa moät
hình thoi maø ñoä daøi hai ñöôøng cheùo laø 2a vaø 2b. Tìm khoái taâm cuûa heä vaø tính
moâmen quaùn tính cuûa heä ñoái vôùi truïc quay ñi qua khoái taâm vaø: a) vuoâng goùc maët
phaúng hình thoi; b) chöùa ñöôøng cheùo 2a; c) chöùa ñöôøng cheùo 2b.
3.32 Coù 4 vieân bi nhoû, khoái löôïng moãi vieân laø m ñöôïc ñaët taïi 4 ñænh cuûa moät
hình vuoâng, caïnh a. Tính moâmen quaùn tính cuûa heä ñoái vôùi truïc quay: a) ñi qua
khoái taâm vaø vuoâng goùc maët phaúng hình vuoâng; b) chöùa ñöôøng cheùo; c) chöùa
moät caïnh; d) ñi qua moät ñænh vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng hình vuoâng.
3.33 Moät cuoän daây ñieän (daây ñoàng raát maûnh) coù
baùn kính hình truï ngoaøi laø R vaø loõi coù quaán daây
ñieän, taïo thaønh hình truï trong coù baùn kính r.
Cuoän daây seõ chuyeån ñoäng theo chieàu naøo, gia
toác cuûa truïc hình truï laø bao nhieâu, neáu keùo ñaàu
daây baèng löïc

F (H 3.36)? Cho bieát khoái löôïng
vaø moâmen quaùn tính cuûa cuoän daây laø m vaø I; boû
qua ma saùt caûn laên.
3.34 Tính gia toác cuûa vaät vaø löïc caêng daây quaán
vaøo roøng roïc trong caùc cô heä hình 3.37; 3.38. Bieát
khoái löôïng vaät vaø roøng roïc laø m vaø mo; daây nheï,
khoâng co giaõn vaø khoâng tröôït treân roøng roïc; boû
qua ma saùt ôû truïc roøng roïc.
3.35 Tính gia toác cuûa caùc vaät vaø löïc caêng caùc daây
trong caùc cô heä hình 3.39; 3.40. Bieát khoái löôïng
caùc vaät vaø roøng roïc laø m1, m2 vaø mo; daây nheï,
khoâng co giaõn vaø khoâng tröôït treân roøng roïc; boû
qua ma saùt ôû truïc roøng roïc; heä soá ma saùt giöõa vaät
vaø maët nghieâng laø .
O r
R
H 3.36

F
H 3.37 H 3.38

36. 116 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện
3.36 Moät khoái truï ñaëc khoái löôïng m laên khoâng tröôït treân maët phaúng ngang döôùi
taùc duïng cuûa löïc keùo ñaët taïi taâm nhö hình 3.41. Tính
gia toác cuûa khoái truï, boû qua ma saùt laên.
3.37 Moät voâ laêng ñang quay vôùi vaän toác goùc o thì bò
haõm bôûi moät löïc coù moâmen tæ leä vôùi caên baäc hai cuûa
vaän toác goùc cuûa voâ laêng. Tính vaän toác goùc trung bình cuûa voâ laêng trong suoát thôøi
gian haõm.
3.38 Baùnh maøi cuûa maùy maøi hình ñóa, khoái löôïng 500g, baùn kính R = 20cm ñang
quay vôùi vaän toác 480 voøng/phuùt thì bò haõm ñeàu laïi. Tính moâmen haõm ñeå:
a) baùnh maøi döøng laïi sau 50 giaây
b) baùnh maøi quay theâm 100 voøng thì döøng.
3.39 Moät thanh ñoàng chaát, daøi 1m, khoái löôïng 3 kg coù theå quay quanh truïc  ñi
qua khoái taâm vaø vuoâng goùc vôùi thanh. Taùc duïng vaøo ñaàu thanh moät löïc F = 10N
theo höôùng hôïp vôùi thanh moät goùc 60o
(

F naèm trong maët phaúng vuoâng goùc vôùi
truïc quay), trong thôøi gian 2 giaây. Tính vaän toác goùc maø thanh ñaït ñöôïc.
3.40 Moät voâ laêng hình ñóa troøn coù khoái löôïng m, baùn kính R ñang quay vôùi vaän
toác goùc o thì bò haõm vaø döøng laïi sau t giaây. Tính moâmen cuûa löïc haõm.

F
Hình 3.41
H 3. 39
m1
m2
mo
m
m2
mo

H 3.40