2. IL NUMERO È LA SOSTANZA
DELLE COSE
Pitagora
…L’UNIVERSO… È SCRITTO
IN LINGUA MATEMATICA
Galilei
3. IL PRESTITO DIVENTA
RIPORTO (Matteo, 10 anni)
Da ventiseimilanove a
CONFUSIONE TRA PROCEDURE
DI SOTTRAZIONE E ADDIZIONE
(Giuseppe, 11 anni)
NEI QUADERNI
DI
MATEMATICA…
ERRORE DI TRANSCODIFICA
(Fabio, 11 anni)
ERRATA APPLICAZIONE
DELLA STRATEGIA
(Giuseppe, 11 anni)
31-19: Io in mente li metto in colonna: 1 - 9
che non si può fare, poi si prende l’1
dall’altro numero che diventa 12, poi prendo
un numero dall’altro numero e faccio la
sottrazione, cioè, vedi, è un po’ complicato
(Chiara, I anno Istituto Psicopedagogico)
ASSENZA DI
MONITORAGGIO:
il risultato della
sottrazione è
superiore al
valore di partenza
(Marco, 11 anni)
4. CALCOLARE…
…in termini di apprendimento e di processi cognitivi coinvolti…
LEGGERE I NUMERI
?
COMPRENDERE LA NUMEROSIT Á (qual è il
numero
più grande tra 2)
RECUPERARE LE TABELLINE E ALTRI FATTI
NUMERICI
APPLICARE LE PROCEDURE DI CALCOLO
(addizione, sottrazione…)
Un’addizione con numeri interi… una divisione con numeri
decimali
Calcolo a mente… calcolo scritto… calcolo con sussidi
5. Apprendere la matematica…
…sviluppare la CONOSCENZA CONCETTUALE
COMPRENSIONE
dei
principi
che
governano un determinato dominio e delle
correlazioni tra aree di conoscenza e il
dominio stesso
INTELLIGENZA
6. CONOSCENZA
(INTELLIGENZA) NUMERICA
INTELLIGERE (capire, pensare) IL MONDO IN
TERMINI NUMERICI
Abilità innata e
condivisa da uomo
e animali
Competenze elementari legate alla
RAPPRESENTAZIONE NUMERICA
PROCESSI PREVERBALI
PROCESSI DI CONTEGGIO
7. NUMEROSITÁ (CARDINALITÁ)
Il numero di elementi che costituisce un insieme
dalla nascita
DISCRIMINARE IL NUMERO DI
OGGETTI DI INSIEMI PRESENTATI
VISIVAMENTE
Il neonato non sa determinare il numero di elementi di un insieme
MA
COME?
• percepisce come differenti insiemi con
numerosità distinte
• distingue i cambiamenti di numerosità
provocati dall’aggiunta/sottrazione di oggetti
(possiede aspettative aritmetiche)
SUBITIZING
Processo specializzato di percezione visiva che
consente di determinare la numerosità di un
insieme visivo di oggetti (fino ad un massimo di
circa 4) in modo immediato, senza contare
8. MODULO NUMERICO (Butterworth, 1999)
CIRCUITI CEREBRALI SPECIALIZZATI PER CATEGORIZZARE
IL MONDO IN TERMINI DI NUMEROSITÁ
(piccoli insiemi di oggetti, fino a 4-5 elementi)
abilità matematiche di base
(RAPPRESENTARE LA NUMEROSIT Á)
geneticamente codificate e presenti fin dalla
nascita: non è necessario apprenderle
DIFFERENZE
Capacità più avanzate riconducibili all’istruzione:
INDIVIDUALI
STRUMENTI CONCETTUALI FORNITI DALLA
CULTURA DI APPARTENENZA
COMPETENZ 3…
- 1, 2,
E
- uno, due, tre…
LINGUISTICO
-SIMBOLICHE
9. PROCESSI DI CONTEGGIO
Quanti sono?
dai 2 ai 6-8 anni
Apprendimento basato sul
concetto di NUMEROSITÁ
I PRINCIPI DEL “COME CONTARE”
Gelman e Gallistel, 1978
CONOSCENZE INNATE basate sulla
COMPETENZA NUMERICA VERBALE
ORDINE STABILE: produrre le parole-numero ordinate
in una sequenza fissa e inalterabile FINO A 100 A 6-8 ANNI
CORRISPONDENZA BIUNIVOCA: a ogni elemento
dell’insieme contato deve corrispondere una sola parolanumero e viceversa 5 ANNI
CARDINALITÁ: l’ultima parola numero usata nel
conteggio rappresenta la numerosità dell’insieme 4 ANNI
10. ABILITÁ DI CONTEGGIO
Primo collegamento tra la competenza numerica innata
e quella acquisita dall’interazione con l’ambiente
LETTURA e SCRITTURA DEI NUMERI
LETTURA
evolve, prima della scrittura,
gradualmente, da acquisizione del
nome dei numeri a riconoscimento
dei simboli arabici:
3-4 a.: identificazione errata
(non attribuisce il nome corretto e
può confondere il segno grafico con
lettere o altri numeri)
4-5 a.: lettura dei numeri più
semplici e frequenti
5-6 a.: lettura corretta entro 10
SCRITTURA
evolve gradualmente:
- 3-4 a.: notazione con grado
informativo nullo per osservatore
esterno, ma con significato
personale per bambino
(
FORMATO PITTORICO-FIGURATIVO)
- 4-5 a.: notazione basata sulla
corrispondenza biunivoca
(SEGNI PIÚ O MENO ASTRATTI)
- 5-6 a.: notazione convenzionale
(FORMATO NUMERALE)
11. Le tipologie di notazione numerica dai 3 ai 5 anni:
ALCUNI ESEMPI
12. Apprendere la matematica…
…sviluppare la CONOSCENZA
PROCEDURALE di azioni per risolvere ciascun
La sequenza
problema: ALGORITMI, ABILITÁ,
STRATEGIE
PROCEDURE DI
CALCOLO
13. CAPACITÁ DI CALCOLO
INSIEME DEI PROCESSI CHE CONSENTONO DI
OPERARE SUI NUMERI TRAMITE OPERAZIONI
ARITMETICHE
Anche 1+3
1
fenomeno cognitivo complesso
che richiede l’attivazione di diversi processi
mentali
I SEGNI DELLE OPERAZIONI
Per stabilire la natura dell’operazione
Per accedere ai FATTI NUMERICI
qualora l’operazione lo consenta
RISULTATI DI PROBLEMI ELEMENTARI (tabelline,
addizioni semplici) ARCHIVIATI IN MLT
14. Nell’esecuzione di un compito aritmetico
possono agire 2 TIPI DI STRATEGIE
FATTI
NUMERICI
RISULTAT
O
CALCOLO
VS
RECUPERATO
DALLA
MEMORIA
*TIPO DI OPERAZIONE
*ETÁ
*FAMILIARITÁ DELL’ESERCIZIO
RISULTAT
O
UTILIZZO DI
PROCEDURE
E STRATEGIE
da LENTE PROCEDURE DI
CONTEGGIO all’UTILIZZO
DI UNA SERIE DI REGOLE
APPLICATE IN MODO
SEMPRE PI AUTOMATICO
15. LA CONOSCENZA PROCEDURALE NEL…
CALCOLO A MENTE: opera scomposizioni sui numeri
per ottenere operazioni intermedie più semplici
UTILIZZA ed
ESERCITA
STRATEGIE
COSTRUTTIVE
*n + 1
*raggruppamenti
*scomposizioni
*arrotondamenti a 10
*recupero fatti numerici
CALCOLO SCRITTO: determina…
- la forma grafica della specifica operazione
- l’incolonnamento dei numeri
- la direzione spazio-temporale delle azioni (l’ordine di
recupero delle operazioni parziali dalla memoria)
- il modo di utilizzare le operazioni parziali tramite le regole
vere e proprie
UTILIZZA ed
ESERCITA
APPLICAZIONE DI PROCEDURE
PIÚ O MENO AUTOMATIZZATE
16. *CONOSCENZA NUMERICA
*ABILITÁ DI CALCOLO
I meccanismi di calcolo e manipolazione
del sistema numerico
possono avere origine solo quando
I MECCANISMI PREVERBALI DI
RICONOSCIMENTO DELLA QUANTITÁ
si sono sviluppati
si sono integrati con gli apprendimenti relativi
ai sistemi di CONTEGGIO, LETTURA e
SCRITTURA
MA
Come si integrano tali competenze?
17. IL MODELLO MODULARE
MECCANISMI DI CALCOLO
MECCANISMI DI PRODUZIONE DEI NUMERI
MECCANISMI DI COMPRENSIONE DEI NUMERI
McCloskey et al., 1985
18. Il SISTEMA DI COMPRENSIONE trasforma la struttura
superficiale dei numeri (diversa a seconda del codice, verbale o
arabo) in una rappresentazione astratta di quantità
Il SISTEMA DI CALCOLO assume questa rappresentazione come
INPUT e la manipola attraverso il funzionamento di 3 componenti:
- i segni delle operazioni
- i fatti aritmetici o operazioni di base
- le procedure di calcolo
Il SISTEMA DI PRODUZIONE fornisce le risposte numeriche,
l’OUTPUT del sistema del calcolo
MODELLO SEMANTICO
VIA SEMANTICA = unico accesso alla produzione
numerica
L’elaborazione di un numero comporta sempre
una RAPPRESENTAZIONE CONCETTUALE
comprensione della
3=
19. I 3 SISTEMI…
…adoperano i codici UDITIVO (fonologico) e VISIVO
(arabico e grafemico)
…funzionano in base a…
MECCANISMI
LESSICALI
MECCANISMI
SEMANTICI
3=
Regolano la comprensione della quantità
1 11
Regolano il nome del numero
MECCANISMI SINTATTICI
Grammatica interna = valore posizionale delle cifre
da U
1
3
3
1
LA POSIZIONE
cambia
NOME e SEMANTE
21. LA DISCALCULIA EVOLUTIVA
Sintomi delle difficoltà nell’elaborazione del numero
(ICD-10 e DSM-IV)
• incapacità di comprendere i concetti di base di particolari operazioni
• mancanza di comprensione dei termini o dei segni matematici
• mancato riconoscimento dei simboli numerici
• difficoltà ad attuare le manipolazioni aritmetiche standard
• difficoltà nel comprendere quali numeri sono pertinenti al problema
aritmetico che si sta considerando
• difficoltà ad allineare correttamente i numeri o a inserire decimali o
simboli durante i calcoli
• scorretta organizzazione spaziale dei calcoli
• incapacità ad apprendere in modo soddisfacente le tabelline della
moltiplicazione
22. Raccomandazioni per la pratica clinica sui DSA
Consensus Conference (2007)
1
2
2 PROFILI DISTINTI DI DISCALCULIA
Debolezza nella strutturazione cognitiva delle componenti di
COGNIZIONE NUMERICA = intelligenza numerica
basale
- subitizing
CECITÁ PER I
- meccanismi di quantificazione
NUMERI
- comparazione
Incapacità di comprendere
- seriazione
e manipolare le numerosità
- strategie di calcolo a mente
Butterworth, 2005
Difficoltà nell’acquisizione delle PROCEDURE ESECUTIVE
(lettura, scrittura e messa in colonna dei numeri) e degli
ALGORITMI DEL CALCOLO (recupero dei fatti numerici e
algoritmi del calcolo scritto).
23. Perché questa distinzione?
In Italia segnalati con difficoltà di calcolo
5 bambini per classe (~ 25 alunni)
20% della popolazione scolastica
MA DATI IARLD (International Academy for Research in
Learning Disabilities)
- DIFFICOLTÁ NELLA COGNIZIONE NUMERICA IN
COMORBILITÁ CON ALTRI DISTURBI: 2,5% della
popolazione scolastica
- DISTURBO DEL CALCOLO (DISCALCULIA): 0,5-1% della
popolazione scolastica
~ 90% delle segnalazioni FALSI POSITIVI = casi di
generale difficoltà di apprendimento non di disturbo
specifico del calcolo
24. DISTURBO vs DIFFICOLTÁ
RESISTENZA
AL CAMBIAMENTO
DISTURBO DI CALCOLO
ESITO
INTERVENTO
- base neurologica
- comorbilità: dislessia, disortografia e disgrafia;
difficoltà nella soluzione di problemi
- specificità: abilità generali e apprendimento in altri
ambiti adeguati
DIFFICOLTÁ DI
CALCOLO:
profilo simile al disturbo
BUONI
RISULTATI IN
POCO TEMPO
25. Perché si riscontrano con una certa frequenza
FORME DI DISAGIO GENERALIZZATO?
PROFILI DI APPRENDIMENTO DEL CALCOLO SIMILI
A QUELLI DEI SOGGETTI DISCALCULICI, IN
ASSENZA DI TALE DEFICIT COGNITIVO
Studenti che non dovrebbero affatto incontrare
difficoltà di apprendimento così consistenti
ATTEGGIAMENTO EMOTIVO-MOTIVAZIONALE:
ansia, resistenza al ragionamento matematico, timore di
I DIVERSI ASPETTI DELL’APPRENDIMENTO
sbagliare
MATEMATICO S’INTERSECANO:
- la rappresentazione della quantità è sottesa a tutte le aree della
matematica
- soluzione di problemi e geometria richiedono operazioni di
calcolo
- il calcolo richiede la comprensione dell’operazione
…
26. DAL MODELLO
DI McCLOSKEY
ANALISI DEGLI ERRORI
*SISTEMA DEI NUMERI
*SISTEMA DI CALCOLO
ERRORI NEL SISTEMA DEI NUMERI
in
COMPRENSIONE e
PRODUZIONE
MECCANISMI LESSICALI
MECCANISMI SINTATTICI
27. ERRORI LESSICALI (nel dire il NOME del numero)
In base al nome…
- NUMERI PRIMITIVI
Posizione
Classe
UNITÁ
0
1^
2^
3^
4^
5^
6^
uno
due
tre
quattro
TEENS
dieci
undici
dodici
tredici
quattordici
quindici
sedici
diciassette
diciotto
diciannove
cinque
sei
sette
- ELEMENTI MISCELLANEI
otto
9^
-milioni…): nove
7^
8^
DECINE
venti
trenta
quaranta
cinquanta
sessanta
settanta
ottanta
novanta
INCAPACITÁ DI
TROVARE
L’ETICHETTA VERBALE
ADEGUATA PUR
INDIVIDUANDO
CORRETTAMENTE LA
CLASSE
DIRE “cinque” PER “sette”
LEGGERE “316” PER “319”
(-cento; -mila;
28. ERRORI SINTATTICI
INCAPACITÁ DI STABILIRE I RAPPORTI TRA LE CIFRE IN
UNA STRUTTURA SINTATTICA CORRETTA, pur rimanendo
integra la capacità di codificare le singole cifre
ERRORI DI TRANSCODIFICA dal codice arabico a
quello verbale e viceversa: 13 PER 31; 154 PER 145
Errori di conteggio dovuti al mancato controllo della struttura
sintattica: 1, 2, 3, 4, 15, 15, 17…; 13, 14, 40, 41, 42…
Mancato riconoscimento del valore dello 0 nella transcodifica da
codice verbale ad arabico:
DETTATO “centoquarantasette” SCRIVE 1047
DETTATO “ventiseimilanove” SCRIVE 2609
Gli elementi miscellanei vengono uniti ai primitivi come potenze di 10
oppure con relazioni additive:
RELAZIONI MOLTIPLICATIVE RESE ADDITIVE:
“trecento”: 103; “tremilasettanta”:1073
RELAZIONI ADDITIVE RESE MOLTIPLICATIVE:
“centocinque”: 500; “centotrentadue”: 3200
29. ERRORI NEL
SISTEMA DI CALCOLO
ERRORI NEL RECUPERO DI FATTI ARITMETICI
ERRORI NEL MANTENIMENTO E NEL RECUPERO DI
PROCEDURE E STRATEGIE
ERRORI NELL’APPLICAZIONE DELLE PROCEDURE
ERRORI DOVUTI ALLE DIFFICOLTÁ VISUOSPAZIALI
30. ERRORI NEL SISTEMA DI
CALCOLO
ERRORI NEL RECUPERO
DI FATTI ARITMETICI
SISTEMA DEI NUMERI rappresentato in MLT come
rete di informazioni
Aschcraft, 1982
Il compito attiva i nodi genitori
interessati fino ad attivare il nodo di
intersezione tra i due (il risultato di
operazioni elementari)
MA
!
possono essere attivati anche I
NODI CONTIGUI = risposte molto
vicine a quella cercata ma scorrette
FAR RIPETERE ESERCIZI
IN CUI SI SONO
Ogni risposta numerica
VERIFICATI ERRORI
prodotta (corretta o sbagliata)
automatizzo l’esercizio
registrata in memoria
ma anche l’errore
ASSOCIAZIONE TRA
OPERAZIONE
PROPOSTA E
RISULTATO
Aumenta la probabilità di comparsa
31. ERRORI NEL SISTEMA DI
CALCOLO
ERRORI NEL RECUPERO
DI FATTI ARITMETICI
Nelle TABELLINE…
• ERRORI DI CONFINE, inappropriata attivazione di tabelline
confinanti: 6 x 3 = 21
• ERRORI DI SLITTAMENTO, in cui una cifra è corretta e l’altra
sbagliata: 4 x 3 = 11
Effetto CONFUSIONE tra il recupero di fatti aritmetici di addizione e
moltiplicazione: 3 + 3 = 9
Effetto INFERENZA: la semplice presentazione di 2 cifre produce
un’attivazione automatica della somma: 2 e 4 6
Effetto INTERFERENZA, dovuti al lavoro parallelo dei due
27 x
meccanismi di attivazione indispensabili per il recupero diretto: 15 =
da parte dei due operatori e dell’operazione nel suo complesso 55
32. ERRORI NEL SISTEMA DI
CALCOLO
ERRORI NEL MANTENIMENTO
E NEL RECUPERO
DI PROCEDURE E
STRATEGIE
Non utilizzo delle procedure di conteggio facilitanti:
3 + 5 partire a contare da 5 per aggiungere 3
Confusione tra semplici regole di accesso rapido
nx0=0 e n+0=n
REGOLE DI
ACCESSO
RAPIDO AL
RISULTATO
Incapacità di tenere a mente i risultati parziali
DETERMINANO
SOVRACCARICO DEL SISTEMA DI
MEMORIA:
dispendio di energia e accumulo di
informazioni in memoria
decadimento mnestico
33. ERRORI NEL SISTEMA DI
CALCOLO
ERRORI NELL’APPLICAZIONE
DELLE PROCEDURE
Difficoltà nella scelta delle prime cose da fare per affrontare una delle
quattro operazioni:incolonnamento o meno, posizione dei numeri…
Difficoltà nella condotta da seguire per la specifica operazione e nel
suo mantenimento fino alla risoluzione
75 – 6 = 71 dimenticata regola direzione
Difficoltà nell’applicazione delle regole di prestito e riporto:
75 – unità: 5 – 8 = 0
58 =
decine: 7 – 5 = 2
20
Difficoltà nel passaggio ad una nuova operazione:
perseverazione nel ragionamento precedente
Difficoltà nella progettazione e verifica:
immediato svolgimento dell’operazione senza soffermarsi ad
individuare difficoltà e strategie da utilizzare
34. ERRORI NEL SISTEMA DI
CALCOLO
ERRORI VISUOSPAZIALI
Difficoltà nel riconoscimento dei segni di operazione
Difficoltà nell’incolonnamento dei numeri
Difficoltà nel seguire la direzione procedurale
35. SPUNTI DI LAVORO
Il quaderno delle regole
Co-costruzione di schemi fruibili dal ragazzo
USO DEGLI STRUMENTI COMPENSATIVI
Tabella pitagorica
Calcolatrice
Formulario
…E DISPENSATIVI
Tempi di lavoro più lunghi
Riduzione del carico di lavoro
38. ?
PROBLEM SOLVING
Le difficoltà nella soluzione dei problemi matematici…
* dipendono dalle difficoltà di calcolo?
* richiedono abilità diverse e specifiche?
STUDENTI CHE PUR NON AVENDO PROBLEMI
PARTICOLARMENTE ACCENTUATI NEL
CALCOLO NON RIESCONO A RISOLVERE I
PROBLEMI
!
Raccomandazioni per la pratica clinica sui DSA
Consensus Conference (2007):
NON INCLUDE SOLUZIONE DI PROBLEMI
CAUSATO DA
CATTIVA EDUCAZIONE DELLA
PRASSI DI SOLUZIONE DEI
PROBLEMI
39. RISOLVERE UN PROBLEMA
PROCESSO DINAMICO DI PENSIERO
FLUSSO COGNITIVO
CHE TRASFORMA IL TESTO VERBALE IN
UNA STRUTTURA LOGICA MATEMATICA
DIFFICOLTÁ?
NO DISTURBO SPECIFICO…MA …
* DISTURBO SECONDARIO dovuto a deficit nelle
competenze generali (INTELLIGENZA, MEMORIA, ATTENZIONE…)
* “QUESTIONE DI FLUSSO DI APPRENDIMENTO”
dovuto a inciampo in una delle componenti del flusso
educabile
40. Quali sono le componenti che garantiscono
IL FLUSSO COGNITIVO?
COMPRENSIO
NE
CATEGORIZZAZIO
NE
PRODUZIONE
CAPIRE
UN PROBLEMA
=
RISOLVERE
UN PROBLEMA
ancorata a COMPRENSIONE
ma non implicita in
essa
41. LE COMPONENTI DEL FLUSSO COGNITIVO
FLUSSO DI
COMPRENSIONE
COMPRENSIONE DEL
TESTO
MATEMATICO
RAPPRESENTAZIONE
DEL MODELLO DEL
PROBLEMA
CATEGORIZZAZIONE
FLUSSO DI SOLUZIONE
42. LE COMPONENTI DEL FLUSSO COGNITIVO
COMPRENSIONE DEL TESTO
MATEMATICO (non verbale): identificazione dei
dati in relazione alla logica della domanda
Marco ha 3 biglie più di Andrea e 7 meno di Giovanni, che ne ha 11.
- Chi ne ha di più? M = 3 + A; M = G – 7; G = 11
- Quante biglie hanno in tutto? (M + A + G)
DOMANDA riorganizza il testo verbale (“3 bambini giocano
a biglie”) e lo trasforma in una struttura matematica
!
CATTIVI SOLUTORI
restano sulle informazioni verbali del testo
RAPPRESENTAZIONE DEL MODELLO
DEL
PROBLEMA, cioè dello schema in cui è traducibile
43. LE COMPONENTI DEL FLUSSO COGNITIVO
CATEGORIZZAZIONE: identificazione dello schema
matematico di soluzione
riconosco la struttura matematica profonda del
problema come simile a quella di altri problemi,
indipendentemente dalle differenze a livello
verbale
!
BUONI SOLUTORI
riuniscono i problemi con la stessa struttura profonda
VS
CATTIVI SOLUTORI
no perché restano sulle informazioni verbali del testo
44. LE COMPONENTI DEL FLUSSO COGNITIVO
FLUSSO DI
COMPRENSIONE
FLUSSO DI SOLUZIONE:
processi strategici
e metacognitivi
PIANIFICAZIONE
MONITORAGGIO
VALUTAZIONE
45. LE COMPONENTI DEL FLUSSO COGNITIVO
PIANIFICAZIONE (fase principale del flusso di
soluzione): riorganizza la relazione tra i dati in modo da
farla corrispondere alla successione corretta di operazioni
di calcolo
Marco ha 3 biglie più di Andrea e 7 meno di Giovanni, che ne ha 11.
Quante biglie hanno in tutto?
(M + A + G)
SCHEMA
MATEMATICO
Da…
sostiuisco alla struttura
1) G (11)
matematica profonda le
…trovo…
operazioni di calcolo
2) M (11-7 = 4)
nell’ordine che le rende
…trovo…
matematicamente possibili
3) A (4 + 3 = 7)
46. LE COMPONENTI DEL FLUSSO COGNITIVO
MONITORAGGIO: sistema di controllo durante lo
svolgersi del flusso
VALUTAZIONE: sistema di controllo del flusso a
soluzioni ottenute
CONSENTE DI
STABILIZZARE L’APPRENDIMENTO DEL FLUSSO
!
Apprendimento del flusso è innaturale
(VS comprensione verbale)
va educato
FARLO RIFARE MENTALMENTE
COME PROCESSO DI CONTROLLO
