Una lezione di approfondimento per le classi quinte del Liceo Socio Psico Pedagogico "G. Carducci" di San Miniato (PI). Maggio 2013.

1. Appunti sulla crisi dei
fondamenti della matematica
Gli “Elementi” di Euclide (300 a.C.)
(13 volumi, 465 proposizioni, 372 teoremi, 93 problemi)
Concetti primitivi: es. “Il punto è ciò che non ha parti”; “la linea
retta è una lunghezza senza larghezza che giace ugualmente
tra i suoi punti”
Assiomi: es “Cose uguali ad una terza sono uguali tra loro”; “Il
tutto è maggiore di una parte”
Postulati: es “Per due punti distinti passa una e una sola retta”
Teoremi: es “La somma degli angoli di un triangolo misura due
angoli retti”
Il quinto postulato: “Per un punto esterno ad una retta, passa
un’unica retta parallela alla retta data”.
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2. Verso un’altra geometria
Si può dimostrare il V postulato a partire dagli altri postulati? NO.
Nel tentativo di dimostrare le assurde conseguenze della negazione del
quinto postulato, Girolamo Saccheri (“Euclides ab omni naevo
vindicatus”, 1733) pone inconsapevolmente le basi della futura
geometria non euclidea.
Il quinto postulato dunque è indipendente dagli altri postulati:
Gauss riconosce la possibilità di formulare geometrie alternative, ma non
pubblica le sue idee per non sentire “..le stride dei beoti” (1829).
Kant (“Critica della ragion pura”,1781): “Lo spazio non è un concetto
empirico, ricavato da esperienze esterne (…), è una rappresentazione
necessaria a priori, la quale serve di fondamento a tutte le intuizioni
esterne”.
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3. Negare il V postulato (1 parte)
Lobacevski (1835) e Bòlyai (1832): geometria iperbolica
Concetti primitivi: “la linea retta è il cammino più breve”
Postulati: “Per un punto esterno ad una retta, passano infinite rette
parallele alla retta data”
Teoremi: “La somma degli angoli interni di un triangolo è minore di
due angoli retti”
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4. Negare il V postulato (2 p.)
Riemann (1857): geometria ellittica
Concetti primitivi: “la linea retta è il cammino più breve”
Postulati: “Per un punto esterno ad una retta, non esistono rette
parallele alla retta data”
Teoremi: “La somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore
di due angoli retti”
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5. Geometria e realtà
Su piccola scala, le geometrie sono equivalenti.
Su grande scala si osservano le differenze.
Nella teoria della relatività generale di Einstein (1816) lo spaziotempo ha la geometria di Riemann.
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6. In cerca di nuovi fondamenti
Coerenza: nella teoria dedotta dagli assiomi non si possono
dimostrare risultati in contraddizione tra loro.
Completezza: gli assiomi sono sufficienti a dimostrare ogni
teorema.
Geometria classica: evidenza ⇒ (verità) ⇒ coerenza
Formalismo: arbitrarietà ⇔ coerenza
Hilbert (1901): programma di ottenere una teoria completa e
coerente di tutta la matematica, basata sull’ aritmetica, in modo
puramente formale, definendo i simboli, le regole di formazione
degli enunciati e le regole con cui, date certe premesse, si
ottengono certe conclusioni.
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7. Un’amara sorpresa
Gödel (1931): teorema di incompletezza
In una teoria che contenga l’ aritmetica si ha un enunciato che
afferma: “l’ enunciato G è indimostrabile”
Se tale enunciato è vero, la teoria è incompleta;
Se tale enunciato è falso, la teoria è incoerente.
In aritmetica esistono enunciati che non sono né dimostrabili né
refutabili.
La coerenza di una teoria non si può ottenere dal suo interno.
Il teorema di Gödel è in realtà… un successo del formalismo!
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8. Non solo matematica
La crisi dei fondamenti della matematica condivide il periodo
storico con altre “crisi”:
la fisica classica, ad opera della teoria della relatività e della
meccanica quantistica;
la filosofia positivista con la perdita delle certezze nel campo
dell’ epistemologia;
la psicologia con l’ avvento della psicoanalisi;
in campo artistico con movimenti di rottura come il cubismo
nell’ arte, la dodecafonia nella musica, il decadentismo nella
letteratura.
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9. Che cosa è la matematica dopo
la crisi dei fondamenti?
Platonismo, logicismo, intuizionismo, formalismo, costruttivismo
sociale, quasi-empirismo, etica, estetica, linguaggio …
Oppure (Wigner, 1960) “l’ irragionevole efficacia della matematica
nelle scienze naturali”… semplicemente, funziona!
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10. Che cosa è la matematica dopo
la crisi dei fondamenti?
Platonismo, logicismo, intuizionismo, formalismo, costruttivismo
sociale, quasi-empirismo, etica, estetica, linguaggio …
Oppure (Wigner, 1960) “l’ irragionevole efficacia della matematica
nelle scienze naturali”… semplicemente, funziona!
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