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Fondazione point-free della matematica
una introduzione al ragionamento senza punti




                               Dr M Benini

                                   DiSTA
                     Università degli Studi dell’Insubria

                              19 aprile 2013
Introduzione




In questo seminario si vuole introdurre una possibilità alternativa nel
concepire la fondazione della matematica, usando un insieme di idee che
traggono ispirazione dai recenti sviluppi nella topologia formale.

   Una breve introduzione alla fondazione della matematica
   L’idea della topologia formale
   Una fondazione ‘priva di punti’
   Qualche spunto di discussione




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Fondazione della matematica




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Fondazione della matematica



Nella metà del ’800, a seguito della scoperta delle geometrie non-euclidee, e
con lo sviluppo di alcuni esempi di funzione apparentemente paradossali
nell’ambito dell’analisi matematica, ci si pose la domanda:

                          La matematica è corretta?
Non viene richiesto se un risultato è corretto, o se una teoria abbia senso,
ma se tutto l’edificio della matematica, nel suo complesso, sia dotato di
significato coerente.
In particolare, si inizia a chiedersi se sia possibile ridurre tutta la matematica
ad un principio primo, ad una teoria universale che permetta di descriverla
tutta e di ridurne tutte le questioni in un ambito comune.




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Frege


Il primo tentativo di fornire una fondazione alla matematica fu fatto da
Gottlob Frege.
                                Basandosi sulla logica classica e sulla teoria
                                degli insiemi, e utilizzando per primo una
                                consistente forma di quantificazione, riuscì a
                                iniziare l’opera di riduzione della matematica,
                                in particolare dell’aritmetica, alla pura logica.
                                Tuttavia, il suo lavoro, per quanto
                                interessante, risulta oggi fuori dal tempo, sia
                                per l’uso ‘ingenuo’ della teoria degli insiemi,
                                sia per l’adozione di una notazione veramente
                                complessa e poco agile.




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Russell

Il lavoro di Frege fu stroncato da Bertrand
Russell, il quale, con il suo famoso paradosso,
fece vedere come la teoria degli insiemi
utilizzata da Frege fosse contraddittoria,
rendendo la sua fondazione vacua.
Russell, con il collega Whitehead, si propose
di ripensare il progetto di Frege eliminando il
problema creato dal proprio paradosso.
Questo lavoro, immenso e complesso, è
contenuto nei Principia Mathematica.
In esso, attraverso una stratificazione degli insiemi, e un uso più agile della
logica, il paradosso viene evitato e gran parte della matematica corrente
viene effettivamente formalizzata.
Tuttavia, i Principia risultano di notazione piuttosto pesante e la
stratificazione degli insiemi è anti-intuitiva e di difficile utilizzo.

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Hilbert

Altri matematici si occuparono di fondazione, con ispirazioni differenti. Ad
esempio, David Hilbert introdusse il suo programma, in cui chiariva in che
cosa dovesse consistere una fondazione accettabile.
   Linguaggio: un formalismo dotato di un
   insieme prefissato di regole, che permetta
   di esprimere tutta la matematica
   Completezza: una prova che tutti i fatti
   veri possano essere dimostrati
   Consistenza: una prova ‘finitistica’ che il
   sistema sia non contraddittorio
   Decidibilità: un algoritmo che, presa una
   affermazione matematica, stabilisca se
   essa sia vera o falsa
   Conservazione: una prova che ogni risultato riguardante ‘oggetti reali’
   ottenuto usando ‘oggetti ideali’, possa essere riformulato senza il ricorso
   ad essi
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Brouwer

Nello stesso periodo, L.E.J. Brouwer mise in dubbio la validità della logica
classica, in particolare del principio del terzo escluso, fornendo degli esempi
che mettevano in crisi l’aderenza della deduzione con il senso comune.
Citando Kleene, Introduction to
Metamathematics, p. 46:
   . . . Brouwer, in a paper entitled “The
   untrustworthiness of the principles of
   logic”, challenged the belief that the rules
   of the classical logic, which have come
   down to us essentially from Aristotle
   (384–322 B.C.) have an absolute validity,
   independent of the subject matter to
   which they are applied”.

Nasce un differente tipo di logica: la logica intuizionista, che si riferisce
idealmente al ragionamento come inteso da Brouwer.

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Gödel


                               Nel 1929, Kurt Gödel dimostrò che la logica
                               classica al primo ordine era completa. Nel
                               1931, egli dimostrò che l’aritmetica di Peano
                               era incompleta così come ogni sistema
                               formale sufficientemente potente.
                               Il secondo risultato, lievemente esteso da
                               Rosser, vale la pena enunciarlo
                               esplicitamente: Ogni sistema formale che sia
                               (1) consistente, (2) effettivo, e
                               (3) sufficientemente potente da rappresentare
                               l’aritmetica, è necessariamente incompleto.
Il risultato di incompletezza pose fine alla ricerca sulla fondazione della
matematica, così come concepita fino ad allora, in quanto impossibile da
realizzare.


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Fondazione della matematica

Tuttavia, il filone di ricerca sui fondamenti non si è esaurito. Anzi, il risultato
di Gödel ha moltiplicato gli approcci e i risultati, pur nella consapevolezza
dell’impossibilità di realizzare compiutamente il progetto iniziale.
Oggi, si evidenziano tre linee principali:
    fondazione classica, basata su una formalizzazione della teoria degli
    insiemi accoppiata alla logica classica. Nonostante l’incompletezza e la
    mancanza di decidibilità, è il contesto di riferimento per la maggioranza
    dei matematici.
    fondazione categoriale, basata sulla teoria delle categorie, è il contesto
    favorito per accoppiare logiche non-classiche, in primis, quella
    intuizionista, con opportune generalizzazioni della teoria degli insiemi. Di
    particolare rilievo la teoria dei topos, che costituisce ad oggi il contesto
    più usato per la ricerca matematica di punta.
    fondazione effettiva, che usa una restrizione della teoria degli insiemi o
    delle categorie, accoppiata al richiedere la presenza di procedure di
    decisione. Sebbene il suo scopo non sia comprendere l’intero spettro della
    matematica in uso, essa enfatizza gli aspetti calcolabili e di tali si occupa.
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Fondazione categoriale

La fondazione categoriale procede dal concetto di categoria, una
generalizzazione radicale della nozione di insieme.
Il mondo categoriale permette di costruire al proprio interno la logica, come
dimostrato da William Lawvere.
Nel mondo categoriale, esistono ‘universi’ ove
è possibile modellare tutta la matematica
comune, i topos, speciali categorie che
godono di proprietà profonde di simmetria,
dotate di una propria logica e di un concetto
di insieme interno.
In un certo senso, la fondazione categoriale è
una concezione algebrica della matematica, in
cui il sistema di ragionamento e la
rappresentazione di una teoria T viene
generata dalla struttura algebrica
dell’universo, il topos, da cui osserviamo T .

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Fondazione effettiva

Un approccio fondazionale differente, ma sulla falsariga di quello categoriale,
è dato dalla teoria dei tipi, che rientra tra i metodi di fondazione ‘effettivi’.
Già attorno al 1935, con l’introduzione del λ-calcolo, nacque l’idea che la
computazione fosse descrivibile in termini puramente astratti. Successivi
sviluppi di questa teoria, passando per l’introduzione dei tipi, portarono alla
scoperta che esiste una identità tra dimostrazioni nella logica intuizionista e
funzioni calcolabili, espresse come λ-termini.
                                 Estremizzando questo fatto, e definendo una
                                 teoria degli insiemi che avesse profonde
                                 caratteristiche di costruibilità, Per Martin-Löf
                                 introdusse la teoria dei tipi che porta il suo
                                 nome.
                                 Essa permette di costruire al suo interno una
                                 logica, essenzialmente intuizionista, e genera
                                 gli oggetti di cui una teoria parla, quando
                                 questa è sviluppata nel suo linguaggio e
                                 seguendo alcuni canoni sintattici.
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Topologia formale




(13 of 33)
Topologia

                                 Una delle conseguenze della scoperta delle
                                 geometrie non-euclidee fu la questione della
                                 ‘natura’ dello spazio matematico. Una
                                 risposta venne dal lavoro di numerosi
                                 matematici, che culminò nella costruzione di
                                 una nuova disciplina, la topologia.
                                 Tra essi, spicca la figura di Henri Poincaré, il
                                 primo a formalizzare l’idea di spazio
                                 topologico in tutta la sua generalità, nel 1894.
Uno spazio topologico è dato da una coppia 〈S , T 〉, con S un insieme e T
una topologia, ovvero una famiglia di sottoinsiemi di S tali che
       ∈T e S ∈T
    se A, B ∈ T allora anche A ∩ B ∈ T
    se {Ai }i ∈I è una famiglia di elementi di T , indicizzata da un qualche
    insieme I , allora anche i ∈I Ai ∈ T

(14 of 33)
Topologia



L’idea soggiacente alla definizione è sottile: dato uno spazio topologico
〈S , T 〉, i sottoinsiemi in T sono detti aperti.
L’idea di spazio è quella di un insieme S di ‘punti’ i quali siano tra loro
incollati opportunamente. La ‘colla’ viene descritta indirettamente dalla
topologia T , elencando gli aggregati di punti, gli aperti, che lo spazio
pretende siano incollati assieme.
Non tutte le aggregazioni di punti permettono di interpretare un insieme S
come uno spazio, ovvero definire i concetti e dedurre le proprietà che siamo
soliti associare ad uno spazio. Gli assiomi di spazio topologico identificano in
modo semplice ed elegante quali topologie diano adito ad uno spazio avente
S come punti.




(15 of 33)
Senza punti


Già Alfred Whitehead notò che la definizione
di topologia è indiretta, evitando una esplicita
descrizione della ‘colla’, e preferendo il
concetto ausiliario di insieme aperto.
Introducendo un concetto lievemente più
esteso, quello di ricoprimento aperto (open
cover in inglese), egli notò come la definizione
assumesse un carattere più astratto, in cui
l’insieme S non aveva, di fatto, alcun ruolo
diretto.
In altri termini, i ‘punti’ non sembravano indispensabili per definire la
nozione di spazio topologico, che poi divenne il concetto standard di spazio
della matematica del XX secolo. Solo in applicazioni concrete e in alcuni
particolari teoremi, il ricorso ai punti sembrava essere inevitabile.


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Grothendieck

Tralasciando i numerosi sviluppi intermedi, il passo successivo verso la
formalizzazione di una nozione di spazio generalizzato che non avesse i punti
come concetto fondante, è stato compiuto da Alexandre Grothendieck.
                               Egli, definendo il concetto di topos di
                               Grothendieck come una categoria di fasci su
                               un sito, fornisce una nozione di spazio
                               altamente astratta. La nozione di fascio è
                               determinata in relazione ad una opportuna
                               topologia, che generalizza gli spazi topologici
                               usuali, e che non usa il concetto di punto.
                               Vi sono varie specializzazioni dell’approccio di
                               Grothendieck alla definizione di spazi, come,
                               ad esempio, la nozione di locale, che sono, a
                               tutti gli effetti spazi privi di punti.
Vale la pena rammentare che i topos di Grothendieck costituiscono anche
una classe di universi atti alla fondazione della matematica, legando
intimamente la nozione di spazio al ragionamento logico-matematico.
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Sambin

Procedendo su una linea molto distante, il concetto di topologia formale
nell’ambito costruttivo è stato introdotto da Giovanni Sambin.
Basandosi sulla teoria dei tipi di Martin-Löf,
egli ha avviato la propria ricerca di una
topologia costruttiva e predicativa, arrivando
a definire in modo compiuto un concetto di
spazio in cui i punti, quando presenti, sono
una nozione non primitiva.
Data la natura costruttiva della topologia
formale come sviluppata dalla scuola di
Sambin, essa presenta un carattere
computazionale intrinseco, che la differenzia
profondamente dall’approccio categoriale.
Essa si lega allo studio dei fondamenti, mostrando come lo sviluppo
costruttivo della matematica fornisca una interpretazione più fine della
disciplina, suggerendo, in ultima analisi, che la preservazione
dell’informazione sia quanto determina la ‘struttura’ della matematica.
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Topologia formale

Tra i numerosi studiosi della topologia formale contemporanea, una
posizione di spicco è occupata da Thierry Coquand.
                                 Egli ha mostrato come numerosi risultati della
                                 topologia classica siano dimostrabili
                                 nell’impianto ben più debole della topologia
                                 formale di Sambin. Inoltre, le sue tecniche di
                                 ricostruzione illustrano una profonda
                                 connessione tra la possibilità di ragionare
                                 senza i punti, e l’esistenza di procedure di
                                 calcolo per le entità di cui si prova l’esistenza.
                                 E’ dovuta essenzialmente al suo lavoro la
                                 chiarificazione della relazione tra i locale e le
                                 topologie formali.
Attualmente, Coquand è impegnato nello sviluppo della teoria omotopica dei
tipi, in collaborazione con Vladimir Voevodosky, medaglia Fields nel 2002
per i contributi alla topologia algebrica.

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Fondazione point-free




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La domanda fondamentale




Riassumendo sommariamente le idee esposte finora in forma di domanda,
             E’ possibile immaginare una fondazione priva di punti?

In termini concreti, possiamo pensare di dare significato alla matematica
‘comune’, senza presupporre l’esistenza di un qualche universo in cui
interpretare gli oggetti di cui intendiamo trattare in una teoria matematica?
Ad esempio, è possibile dare un senso all’aritmetica prescindendo
dall’esistenza dei numeri interi?




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Un mondo senza punti?



Sia T una teoria, ovvero un insieme di assiomi, scritta in un linguaggio
fissato L nella logica intuizionista al primo ordine.

    se assumiamo anche che T e L siano effettivi, ci stiamo ponendo nella
    condizione di considerare tutta la ‘matematica comune’
    senza imporre ulteriori condizioni, possiamo ottenere la logica classica
    richiedendo che T contenga tutte le istanze del principio del terzo
    escluso, e questo non modifica l’effettività di T

L’idea è fornire un mondo dove T possa essere interpretata adeguatamente e
che sia ‘privo di punti’.




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Categorie logicamente distributive


Sia C una categoria e M una mappa dalle formule di L agli oggetti di C.
Possiamo immaginare C come un insieme i
cui elementi sono chiamati oggetti; alcuni tra
essi denotano formule.
Inoltre, gli oggetti di C non sono isolati come
in un insieme, ma sono posti in relazione da
frecce. Nel nostro caso, intuitivamente, una
freccia π : M ψ → M φ indica una prova di φ a
partire dall’assunzione ψ.
Imponiamo che la coppia 〈C, M 〉 soddisfi un insieme di condizioni. Quando
queste condizioni sono soddisfatte diciamo che 〈C, M 〉 è una categoria
logicamente distributiva.
Il ‘mondo’ in cui andremo a interpretare T è la collezione delle categorie
logicamente distributive.


(23 of 33)
Categorie logicamente distributive


Le condizioni imposte su 〈C, M 〉 sono:
1. C ha tutti i prodotti finiti
2. C ha tutti i co-prodotti finiti
3. C ha esponenziazione
4. C è distributiva
5. le sottocategorie C∀x : s . A e C∃x : s . A hanno rispettivamente, oggetto
   terminale e iniziale
6. esiste un’unica freccia MA × M(∃x : s . B) → M(∃x : s . A ∧ B) in C∀x : s . A ,
   per ogni coppia di formule A e B tali che x : s ∈ FV(A)
7. M( ) = 1, M(⊥) = 0, M(A ∧ B) = MA × MB, M(A ∨ B) = MA + MB,
   M(A ⊃ B) = MB MA , M(∀x : s . A) = 1C∀x : s . A e M(∃x : s . A) = 0C∃x : s . A




(24 of 33)
Prodotto e congiunzione

Le condizioni sono espresse nel linguaggio della teoria delle categorie e
risultano piuttosto tecniche. Per fornire un’idea di come operino, forniamo
un semplice esempio.

                                 Il prodotto categoriale binario di MA e MB è
                                 definito come un oggetto MA × MB di C con
                                 una coppia di frecce π1 e π2 tali che, per ogni
                                 altro oggetto simile, ovvero Γ con le frecce α
                                 e β, come in figura, esiste un’unica freccia
                                 !: Γ → MA × MB.

Seguendo l’interpretazione accennata in precedenza,
    le frecce π1 e π2 rappresentano le istanze delle regole di inferenza di
    eliminazione di ∧
    la freccia ! null’altro è se non la regola di introduzione di ∧


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La quantificazione universale


L’interpretazione dei quantificatori diverge dalle linee tracciate da Lawvere
ed è originale. Per semplicità ci limitero a illustrare il caso di ‘per ogni’.
La sottocategoria C∀x : s . A è formata
    dagli oggetti MB con B formula tale che x : s ∈ FV(B) e che da B si
    possa dimostrare A[t/x] per ogni termine t di tipo opportuno
    dalle frecce da M(∀x : s . A) a MB, per ogni oggetto MB della
    sottocategoria
Richiedere che C∀x : s . A abbia un oggetto terminale e che esso sia
M(∀x : s . A) significa dire che esiste un’unica freccia da MB a M(∀x : s . A)
per ogni formula B come sopra.
Interpretando, si ottiene che le frecce da ∀x : s . A a A[t/x] corrispondono
alle istanze della regole di eliminazione di ‘per ogni’, mentre l’unica freccia
della condizione diviene l’istanza della regola di introduzione.


(26 of 33)
Correttezza e completezza


Diremo che una formula A è vera in 〈C, M 〉, una categoria logicamente
distributiva, quando esiste una freccia 1 → MA.
E’ possibile dimostrare che:
    per ogni teoria T , se A è dimostrabile da T , allora A è vera in ogni
    categoria 〈C, M 〉 logicamente distributiva che renda veri tutti gli assiomi
    in T
    per ogni teoria T , se A è vera in tutte le categorie 〈C, M 〉 logicamente
    distributive che rendano veri tutti gli assiomi in T , allora A è dimostrabile
    da T
In altri termini, il nostro ‘mondo’ offre una interpretazione corretta e
completa di tutte le teorie esprimibili al primo ordine.




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Il ruolo dei termini


Come vengono interpretati i termini?

    Le variabili determinano quali siano le sottocategorie C∀x : s . A e C∃x : s . A
    Le variabili determinano anche il modo in cui le sostituzioni possano
    evere luogo
    I termini, in combinazione con le variabili, contribuiscono all’operazione
    di sostituzione, completandone la definizione

Le sostituzioni, a loro volta, hanno lo scopo di ‘legare’ opportunamente le
formule nelle sottocategorie C∀x : s . A e C∃x : s . A .
E’ chiara l’ispirazione topologica della costruzione. In particolare, è evidente
che i termini non vengono interpretati in un qualche universo, e la loro
funzione è unicamente di ‘incollare’ le formule nelle sottocategorie che
controllano l’interpretazione dei quantificatori.


(28 of 33)
Considerazioni conclusive




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Modelli di teorie inconsistenti




Ma le teorie non consistenti hanno un modello!

Si. Le teorie contradditorie hanno come modelli esattamente le categorie
logicamente distributive in cui l’oggetto terminale e iniziale coincidono.
Ovvero, in termini logici, i modelli di una teoria contradditoria sono quelli in
cui il vero e il falso sono identificati.

Incidentalmente, questi modelli rendono vera qualunque teoria sul linguaggio
su cui sono costruiti.




(30 of 33)
Incompletezza

Quindi l’aritmetica è completa. E il teorema di Gödel?

Il primo teorema di incompletezza di Gödel continua a valere, e quindi anche
il secondo.
Ma la parola ‘completo’ nel suo enunciato deve essere letta in modo
corretto: esso dice che esiste almeno un enunciato che non può essere
dimostrato pur essendo vero sul modello standard dei numeri naturali.
Quindi, se ne deduce che esistono più modelli, e, in particolare, due
categorie logicamente distributive distinte, una nella quale esiste una freccia
1 → G e un’altra nella quale tale freccia è assente. Entrambe le categorie
fungono da modelli per l’aritmetica.
Pertanto l’enunciato G , indimostrabile, non è vero in tutti i modelli e non è
nemmeno falso in tutti i modelli. Esattamente come accade nei modelli
insiemistici classici, con la semantica di Alfred Tarski. Quindi al prim’ordine
è impossibile scrivere una teoria che individui esattamente i numeri naturali e
le usuali operazioni aritmetiche.

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Una fondazione effettiva?


Un fatto che non si è volutamente rimarcato nella presentazione, è che, oltre
a fornire una semantica per le teorie logiche al primo ordine, le categorie
logicamente distributive danno anche significato al λ-calcolo associato.
Infatti, ad ogni teoria a base intuizionista, è possibile associare un ‘sistema
di calcolo’ che opera sulle dimostrazioni, normalizzandole. Non sempre
questo sistema è effettivo, ma esso è sempre interpretabile in una categoria
logicamente distributiva, anzi, la sua interpretazione è strettamente correlata
al significato delle formule e delle prove.
Quindi, in senso lato, una fondazione basata sulle categorie logicamente
distributive è effettiva, nel limitato senso di fornire uno strumento di calcolo
sulle dimostrazioni che permette di dimostrare la non-contradditorietà della
teoria. E’ opportuno rimarcare che questo non è necessariamente un modo
‘finitista’ di procedere.



(32 of 33)
Conclusione


Il lavoro presentato in questo seminario è ancora in corso.
Sebbene i risultati esposti siano tutti provati e verificati, la ricerca
nell’ambito della fondazione priva di punti è ancora alle fasi iniziali.

Ogni suggerimento, spunto o critica è benvenuta.


Per informazioni o documentazione, scrivete a
                       marco.benini@uninsubria.it




                                                                   C
                                                    CC   BY:   $       Marco Benini 2013




                                                               
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Fondazione point-free della matematica

  • 1. Fondazione point-free della matematica una introduzione al ragionamento senza punti Dr M Benini DiSTA Università degli Studi dell’Insubria 19 aprile 2013
  • 2. Introduzione In questo seminario si vuole introdurre una possibilità alternativa nel concepire la fondazione della matematica, usando un insieme di idee che traggono ispirazione dai recenti sviluppi nella topologia formale. Una breve introduzione alla fondazione della matematica L’idea della topologia formale Una fondazione ‘priva di punti’ Qualche spunto di discussione (2 of 33)
  • 4. Fondazione della matematica Nella metà del ’800, a seguito della scoperta delle geometrie non-euclidee, e con lo sviluppo di alcuni esempi di funzione apparentemente paradossali nell’ambito dell’analisi matematica, ci si pose la domanda: La matematica è corretta? Non viene richiesto se un risultato è corretto, o se una teoria abbia senso, ma se tutto l’edificio della matematica, nel suo complesso, sia dotato di significato coerente. In particolare, si inizia a chiedersi se sia possibile ridurre tutta la matematica ad un principio primo, ad una teoria universale che permetta di descriverla tutta e di ridurne tutte le questioni in un ambito comune. (4 of 33)
  • 5. Frege Il primo tentativo di fornire una fondazione alla matematica fu fatto da Gottlob Frege. Basandosi sulla logica classica e sulla teoria degli insiemi, e utilizzando per primo una consistente forma di quantificazione, riuscì a iniziare l’opera di riduzione della matematica, in particolare dell’aritmetica, alla pura logica. Tuttavia, il suo lavoro, per quanto interessante, risulta oggi fuori dal tempo, sia per l’uso ‘ingenuo’ della teoria degli insiemi, sia per l’adozione di una notazione veramente complessa e poco agile. (5 of 33)
  • 6. Russell Il lavoro di Frege fu stroncato da Bertrand Russell, il quale, con il suo famoso paradosso, fece vedere come la teoria degli insiemi utilizzata da Frege fosse contraddittoria, rendendo la sua fondazione vacua. Russell, con il collega Whitehead, si propose di ripensare il progetto di Frege eliminando il problema creato dal proprio paradosso. Questo lavoro, immenso e complesso, è contenuto nei Principia Mathematica. In esso, attraverso una stratificazione degli insiemi, e un uso più agile della logica, il paradosso viene evitato e gran parte della matematica corrente viene effettivamente formalizzata. Tuttavia, i Principia risultano di notazione piuttosto pesante e la stratificazione degli insiemi è anti-intuitiva e di difficile utilizzo. (6 of 33)
  • 7. Hilbert Altri matematici si occuparono di fondazione, con ispirazioni differenti. Ad esempio, David Hilbert introdusse il suo programma, in cui chiariva in che cosa dovesse consistere una fondazione accettabile. Linguaggio: un formalismo dotato di un insieme prefissato di regole, che permetta di esprimere tutta la matematica Completezza: una prova che tutti i fatti veri possano essere dimostrati Consistenza: una prova ‘finitistica’ che il sistema sia non contraddittorio Decidibilità: un algoritmo che, presa una affermazione matematica, stabilisca se essa sia vera o falsa Conservazione: una prova che ogni risultato riguardante ‘oggetti reali’ ottenuto usando ‘oggetti ideali’, possa essere riformulato senza il ricorso ad essi (7 of 33)
  • 8. Brouwer Nello stesso periodo, L.E.J. Brouwer mise in dubbio la validità della logica classica, in particolare del principio del terzo escluso, fornendo degli esempi che mettevano in crisi l’aderenza della deduzione con il senso comune. Citando Kleene, Introduction to Metamathematics, p. 46: . . . Brouwer, in a paper entitled “The untrustworthiness of the principles of logic”, challenged the belief that the rules of the classical logic, which have come down to us essentially from Aristotle (384–322 B.C.) have an absolute validity, independent of the subject matter to which they are applied”. Nasce un differente tipo di logica: la logica intuizionista, che si riferisce idealmente al ragionamento come inteso da Brouwer. (8 of 33)
  • 9. Gödel Nel 1929, Kurt Gödel dimostrò che la logica classica al primo ordine era completa. Nel 1931, egli dimostrò che l’aritmetica di Peano era incompleta così come ogni sistema formale sufficientemente potente. Il secondo risultato, lievemente esteso da Rosser, vale la pena enunciarlo esplicitamente: Ogni sistema formale che sia (1) consistente, (2) effettivo, e (3) sufficientemente potente da rappresentare l’aritmetica, è necessariamente incompleto. Il risultato di incompletezza pose fine alla ricerca sulla fondazione della matematica, così come concepita fino ad allora, in quanto impossibile da realizzare. (9 of 33)
  • 10. Fondazione della matematica Tuttavia, il filone di ricerca sui fondamenti non si è esaurito. Anzi, il risultato di Gödel ha moltiplicato gli approcci e i risultati, pur nella consapevolezza dell’impossibilità di realizzare compiutamente il progetto iniziale. Oggi, si evidenziano tre linee principali: fondazione classica, basata su una formalizzazione della teoria degli insiemi accoppiata alla logica classica. Nonostante l’incompletezza e la mancanza di decidibilità, è il contesto di riferimento per la maggioranza dei matematici. fondazione categoriale, basata sulla teoria delle categorie, è il contesto favorito per accoppiare logiche non-classiche, in primis, quella intuizionista, con opportune generalizzazioni della teoria degli insiemi. Di particolare rilievo la teoria dei topos, che costituisce ad oggi il contesto più usato per la ricerca matematica di punta. fondazione effettiva, che usa una restrizione della teoria degli insiemi o delle categorie, accoppiata al richiedere la presenza di procedure di decisione. Sebbene il suo scopo non sia comprendere l’intero spettro della matematica in uso, essa enfatizza gli aspetti calcolabili e di tali si occupa. (10 of 33)
  • 11. Fondazione categoriale La fondazione categoriale procede dal concetto di categoria, una generalizzazione radicale della nozione di insieme. Il mondo categoriale permette di costruire al proprio interno la logica, come dimostrato da William Lawvere. Nel mondo categoriale, esistono ‘universi’ ove è possibile modellare tutta la matematica comune, i topos, speciali categorie che godono di proprietà profonde di simmetria, dotate di una propria logica e di un concetto di insieme interno. In un certo senso, la fondazione categoriale è una concezione algebrica della matematica, in cui il sistema di ragionamento e la rappresentazione di una teoria T viene generata dalla struttura algebrica dell’universo, il topos, da cui osserviamo T . (11 of 33)
  • 12. Fondazione effettiva Un approccio fondazionale differente, ma sulla falsariga di quello categoriale, è dato dalla teoria dei tipi, che rientra tra i metodi di fondazione ‘effettivi’. Già attorno al 1935, con l’introduzione del λ-calcolo, nacque l’idea che la computazione fosse descrivibile in termini puramente astratti. Successivi sviluppi di questa teoria, passando per l’introduzione dei tipi, portarono alla scoperta che esiste una identità tra dimostrazioni nella logica intuizionista e funzioni calcolabili, espresse come λ-termini. Estremizzando questo fatto, e definendo una teoria degli insiemi che avesse profonde caratteristiche di costruibilità, Per Martin-Löf introdusse la teoria dei tipi che porta il suo nome. Essa permette di costruire al suo interno una logica, essenzialmente intuizionista, e genera gli oggetti di cui una teoria parla, quando questa è sviluppata nel suo linguaggio e seguendo alcuni canoni sintattici. (12 of 33)
  • 14. Topologia Una delle conseguenze della scoperta delle geometrie non-euclidee fu la questione della ‘natura’ dello spazio matematico. Una risposta venne dal lavoro di numerosi matematici, che culminò nella costruzione di una nuova disciplina, la topologia. Tra essi, spicca la figura di Henri Poincaré, il primo a formalizzare l’idea di spazio topologico in tutta la sua generalità, nel 1894. Uno spazio topologico è dato da una coppia 〈S , T 〉, con S un insieme e T una topologia, ovvero una famiglia di sottoinsiemi di S tali che ∈T e S ∈T se A, B ∈ T allora anche A ∩ B ∈ T se {Ai }i ∈I è una famiglia di elementi di T , indicizzata da un qualche insieme I , allora anche i ∈I Ai ∈ T (14 of 33)
  • 15. Topologia L’idea soggiacente alla definizione è sottile: dato uno spazio topologico 〈S , T 〉, i sottoinsiemi in T sono detti aperti. L’idea di spazio è quella di un insieme S di ‘punti’ i quali siano tra loro incollati opportunamente. La ‘colla’ viene descritta indirettamente dalla topologia T , elencando gli aggregati di punti, gli aperti, che lo spazio pretende siano incollati assieme. Non tutte le aggregazioni di punti permettono di interpretare un insieme S come uno spazio, ovvero definire i concetti e dedurre le proprietà che siamo soliti associare ad uno spazio. Gli assiomi di spazio topologico identificano in modo semplice ed elegante quali topologie diano adito ad uno spazio avente S come punti. (15 of 33)
  • 16. Senza punti Già Alfred Whitehead notò che la definizione di topologia è indiretta, evitando una esplicita descrizione della ‘colla’, e preferendo il concetto ausiliario di insieme aperto. Introducendo un concetto lievemente più esteso, quello di ricoprimento aperto (open cover in inglese), egli notò come la definizione assumesse un carattere più astratto, in cui l’insieme S non aveva, di fatto, alcun ruolo diretto. In altri termini, i ‘punti’ non sembravano indispensabili per definire la nozione di spazio topologico, che poi divenne il concetto standard di spazio della matematica del XX secolo. Solo in applicazioni concrete e in alcuni particolari teoremi, il ricorso ai punti sembrava essere inevitabile. (16 of 33)
  • 17. Grothendieck Tralasciando i numerosi sviluppi intermedi, il passo successivo verso la formalizzazione di una nozione di spazio generalizzato che non avesse i punti come concetto fondante, è stato compiuto da Alexandre Grothendieck. Egli, definendo il concetto di topos di Grothendieck come una categoria di fasci su un sito, fornisce una nozione di spazio altamente astratta. La nozione di fascio è determinata in relazione ad una opportuna topologia, che generalizza gli spazi topologici usuali, e che non usa il concetto di punto. Vi sono varie specializzazioni dell’approccio di Grothendieck alla definizione di spazi, come, ad esempio, la nozione di locale, che sono, a tutti gli effetti spazi privi di punti. Vale la pena rammentare che i topos di Grothendieck costituiscono anche una classe di universi atti alla fondazione della matematica, legando intimamente la nozione di spazio al ragionamento logico-matematico. (17 of 33)
  • 18. Sambin Procedendo su una linea molto distante, il concetto di topologia formale nell’ambito costruttivo è stato introdotto da Giovanni Sambin. Basandosi sulla teoria dei tipi di Martin-Löf, egli ha avviato la propria ricerca di una topologia costruttiva e predicativa, arrivando a definire in modo compiuto un concetto di spazio in cui i punti, quando presenti, sono una nozione non primitiva. Data la natura costruttiva della topologia formale come sviluppata dalla scuola di Sambin, essa presenta un carattere computazionale intrinseco, che la differenzia profondamente dall’approccio categoriale. Essa si lega allo studio dei fondamenti, mostrando come lo sviluppo costruttivo della matematica fornisca una interpretazione più fine della disciplina, suggerendo, in ultima analisi, che la preservazione dell’informazione sia quanto determina la ‘struttura’ della matematica. (18 of 33)
  • 19. Topologia formale Tra i numerosi studiosi della topologia formale contemporanea, una posizione di spicco è occupata da Thierry Coquand. Egli ha mostrato come numerosi risultati della topologia classica siano dimostrabili nell’impianto ben più debole della topologia formale di Sambin. Inoltre, le sue tecniche di ricostruzione illustrano una profonda connessione tra la possibilità di ragionare senza i punti, e l’esistenza di procedure di calcolo per le entità di cui si prova l’esistenza. E’ dovuta essenzialmente al suo lavoro la chiarificazione della relazione tra i locale e le topologie formali. Attualmente, Coquand è impegnato nello sviluppo della teoria omotopica dei tipi, in collaborazione con Vladimir Voevodosky, medaglia Fields nel 2002 per i contributi alla topologia algebrica. (19 of 33)
  • 21. La domanda fondamentale Riassumendo sommariamente le idee esposte finora in forma di domanda, E’ possibile immaginare una fondazione priva di punti? In termini concreti, possiamo pensare di dare significato alla matematica ‘comune’, senza presupporre l’esistenza di un qualche universo in cui interpretare gli oggetti di cui intendiamo trattare in una teoria matematica? Ad esempio, è possibile dare un senso all’aritmetica prescindendo dall’esistenza dei numeri interi? (21 of 33)
  • 22. Un mondo senza punti? Sia T una teoria, ovvero un insieme di assiomi, scritta in un linguaggio fissato L nella logica intuizionista al primo ordine. se assumiamo anche che T e L siano effettivi, ci stiamo ponendo nella condizione di considerare tutta la ‘matematica comune’ senza imporre ulteriori condizioni, possiamo ottenere la logica classica richiedendo che T contenga tutte le istanze del principio del terzo escluso, e questo non modifica l’effettività di T L’idea è fornire un mondo dove T possa essere interpretata adeguatamente e che sia ‘privo di punti’. (22 of 33)
  • 23. Categorie logicamente distributive Sia C una categoria e M una mappa dalle formule di L agli oggetti di C. Possiamo immaginare C come un insieme i cui elementi sono chiamati oggetti; alcuni tra essi denotano formule. Inoltre, gli oggetti di C non sono isolati come in un insieme, ma sono posti in relazione da frecce. Nel nostro caso, intuitivamente, una freccia π : M ψ → M φ indica una prova di φ a partire dall’assunzione ψ. Imponiamo che la coppia 〈C, M 〉 soddisfi un insieme di condizioni. Quando queste condizioni sono soddisfatte diciamo che 〈C, M 〉 è una categoria logicamente distributiva. Il ‘mondo’ in cui andremo a interpretare T è la collezione delle categorie logicamente distributive. (23 of 33)
  • 24. Categorie logicamente distributive Le condizioni imposte su 〈C, M 〉 sono: 1. C ha tutti i prodotti finiti 2. C ha tutti i co-prodotti finiti 3. C ha esponenziazione 4. C è distributiva 5. le sottocategorie C∀x : s . A e C∃x : s . A hanno rispettivamente, oggetto terminale e iniziale 6. esiste un’unica freccia MA × M(∃x : s . B) → M(∃x : s . A ∧ B) in C∀x : s . A , per ogni coppia di formule A e B tali che x : s ∈ FV(A) 7. M( ) = 1, M(⊥) = 0, M(A ∧ B) = MA × MB, M(A ∨ B) = MA + MB, M(A ⊃ B) = MB MA , M(∀x : s . A) = 1C∀x : s . A e M(∃x : s . A) = 0C∃x : s . A (24 of 33)
  • 25. Prodotto e congiunzione Le condizioni sono espresse nel linguaggio della teoria delle categorie e risultano piuttosto tecniche. Per fornire un’idea di come operino, forniamo un semplice esempio. Il prodotto categoriale binario di MA e MB è definito come un oggetto MA × MB di C con una coppia di frecce π1 e π2 tali che, per ogni altro oggetto simile, ovvero Γ con le frecce α e β, come in figura, esiste un’unica freccia !: Γ → MA × MB. Seguendo l’interpretazione accennata in precedenza, le frecce π1 e π2 rappresentano le istanze delle regole di inferenza di eliminazione di ∧ la freccia ! null’altro è se non la regola di introduzione di ∧ (25 of 33)
  • 26. La quantificazione universale L’interpretazione dei quantificatori diverge dalle linee tracciate da Lawvere ed è originale. Per semplicità ci limitero a illustrare il caso di ‘per ogni’. La sottocategoria C∀x : s . A è formata dagli oggetti MB con B formula tale che x : s ∈ FV(B) e che da B si possa dimostrare A[t/x] per ogni termine t di tipo opportuno dalle frecce da M(∀x : s . A) a MB, per ogni oggetto MB della sottocategoria Richiedere che C∀x : s . A abbia un oggetto terminale e che esso sia M(∀x : s . A) significa dire che esiste un’unica freccia da MB a M(∀x : s . A) per ogni formula B come sopra. Interpretando, si ottiene che le frecce da ∀x : s . A a A[t/x] corrispondono alle istanze della regole di eliminazione di ‘per ogni’, mentre l’unica freccia della condizione diviene l’istanza della regola di introduzione. (26 of 33)
  • 27. Correttezza e completezza Diremo che una formula A è vera in 〈C, M 〉, una categoria logicamente distributiva, quando esiste una freccia 1 → MA. E’ possibile dimostrare che: per ogni teoria T , se A è dimostrabile da T , allora A è vera in ogni categoria 〈C, M 〉 logicamente distributiva che renda veri tutti gli assiomi in T per ogni teoria T , se A è vera in tutte le categorie 〈C, M 〉 logicamente distributive che rendano veri tutti gli assiomi in T , allora A è dimostrabile da T In altri termini, il nostro ‘mondo’ offre una interpretazione corretta e completa di tutte le teorie esprimibili al primo ordine. (27 of 33)
  • 28. Il ruolo dei termini Come vengono interpretati i termini? Le variabili determinano quali siano le sottocategorie C∀x : s . A e C∃x : s . A Le variabili determinano anche il modo in cui le sostituzioni possano evere luogo I termini, in combinazione con le variabili, contribuiscono all’operazione di sostituzione, completandone la definizione Le sostituzioni, a loro volta, hanno lo scopo di ‘legare’ opportunamente le formule nelle sottocategorie C∀x : s . A e C∃x : s . A . E’ chiara l’ispirazione topologica della costruzione. In particolare, è evidente che i termini non vengono interpretati in un qualche universo, e la loro funzione è unicamente di ‘incollare’ le formule nelle sottocategorie che controllano l’interpretazione dei quantificatori. (28 of 33)
  • 30. Modelli di teorie inconsistenti Ma le teorie non consistenti hanno un modello! Si. Le teorie contradditorie hanno come modelli esattamente le categorie logicamente distributive in cui l’oggetto terminale e iniziale coincidono. Ovvero, in termini logici, i modelli di una teoria contradditoria sono quelli in cui il vero e il falso sono identificati. Incidentalmente, questi modelli rendono vera qualunque teoria sul linguaggio su cui sono costruiti. (30 of 33)
  • 31. Incompletezza Quindi l’aritmetica è completa. E il teorema di Gödel? Il primo teorema di incompletezza di Gödel continua a valere, e quindi anche il secondo. Ma la parola ‘completo’ nel suo enunciato deve essere letta in modo corretto: esso dice che esiste almeno un enunciato che non può essere dimostrato pur essendo vero sul modello standard dei numeri naturali. Quindi, se ne deduce che esistono più modelli, e, in particolare, due categorie logicamente distributive distinte, una nella quale esiste una freccia 1 → G e un’altra nella quale tale freccia è assente. Entrambe le categorie fungono da modelli per l’aritmetica. Pertanto l’enunciato G , indimostrabile, non è vero in tutti i modelli e non è nemmeno falso in tutti i modelli. Esattamente come accade nei modelli insiemistici classici, con la semantica di Alfred Tarski. Quindi al prim’ordine è impossibile scrivere una teoria che individui esattamente i numeri naturali e le usuali operazioni aritmetiche. (31 of 33)
  • 32. Una fondazione effettiva? Un fatto che non si è volutamente rimarcato nella presentazione, è che, oltre a fornire una semantica per le teorie logiche al primo ordine, le categorie logicamente distributive danno anche significato al λ-calcolo associato. Infatti, ad ogni teoria a base intuizionista, è possibile associare un ‘sistema di calcolo’ che opera sulle dimostrazioni, normalizzandole. Non sempre questo sistema è effettivo, ma esso è sempre interpretabile in una categoria logicamente distributiva, anzi, la sua interpretazione è strettamente correlata al significato delle formule e delle prove. Quindi, in senso lato, una fondazione basata sulle categorie logicamente distributive è effettiva, nel limitato senso di fornire uno strumento di calcolo sulle dimostrazioni che permette di dimostrare la non-contradditorietà della teoria. E’ opportuno rimarcare che questo non è necessariamente un modo ‘finitista’ di procedere. (32 of 33)
  • 33. Conclusione Il lavoro presentato in questo seminario è ancora in corso. Sebbene i risultati esposti siano tutti provati e verificati, la ricerca nell’ambito della fondazione priva di punti è ancora alle fasi iniziali. Ogni suggerimento, spunto o critica è benvenuta. Per informazioni o documentazione, scrivete a marco.benini@uninsubria.it C CC BY: $ Marco Benini 2013 (33 of 33)