Η εργασία των Μάριος Σταμάτης, Δημήτρης Μασούρας

1. ΑΠΑΓΩΓΗ ΣΕ ΑΤΟΠΟ &
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΜΑΣΟΥΡΑΣ
ΜΑΡΙΟΣ ΣΤΑΜΑΤΗΣ

2. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
 ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΤΟΠΟΥ (διαφάνεια 3-5)
 ΕΤΥΜΟΛΟΓΙΑ (διαφάνεια 6)
 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΑΓΩΓΗΣ (διαφάνεια 7)
 ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΠΑΓΩΓΗΣ (διαφάνεια 8)
 ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ (διαφάνεια 9-12)
 ΣΧΕΤΙΚΟ ΒΙΝΤΕΟ (διαφάνεια 13)
 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ (διαφάνεια 14)

3. ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΤΟΠΟΥ
 Το άτοπο (εκ του τοπάζω = εικάζω, υποθέτω) είναι
αυτό που δεν μπορεί να υποθέσει κανείς, επειδή
δεν «κρατιέται» υποστηρίζεται / τεκμηριώνεται
από κάποιο λόγο και συνειρμό.
 Ετυμολογία:
 άτοπο < ἄτοπον στην καθαρεύουσα και στην
αρχαία ελληνική < από το ουδέτερο του επιθέτου
ἄτοπος πίσης
απαγωγός < αρχαία ελληνική ἀπαγωγός < ἀπάγω
< ἀπό + ἄγω
απαγωγή θηλυκό

4. ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΤΟΠΟΥ
(συνέχεια…)
 Στα μαθηματικά αυτό που είναι παράλογο και
δεν μπορεί να ευσταθεί, άρα καθώς αποκλείεται
μαζί με άλλα ως αδύνατον, αφήνει ως λύση την
μόνη απομένουσα ως δυνατή (συλλογιστική
επίλυσης με μέθοδο την "εις άτοπον απαγωγή"
ή "την εις αδύνατον απαγωγή" και "αναγωγή",
φράση που διεθνοποιήθηκε από το λατινικό
reductio ad absurdum αλλά που είχε προέλθει
από λατινική μετάφραση των ελληνικών όρων
του Αριστοτέλη και του Ευκλείδη)

5.  H απαγωγή σε άτοπο δεν εφαρμόζεται
αποκλειστικά στα μαθηματικά και στην τυπική
λογική, αλλά συνιστά ευρύτερα τη συλλογιστική
μέθοδο κατά την οποία αποδεικνύεται η αλήθεια
μιας πρότασης με βάση το γεγονός ότι η
αντίθετή της είναι ψευδής ή λανθασμένη
 Για να αποδείξουμε την συνεπαγωγή των
προτάσεων P ⇒ Q αρκεί να αποδείξουμε ότι η
υπόθεση { P αληθής και Q αναληθής }
συνεπάγεται μια αντίφαση (῾῾ ἄτοπον ᾿᾿)

6. ΕΤΥΜΟΛΟΓΙΑ
 Η μαθηματική επαγωγή, ή διαφορετικά τέλεια
επαγωγή, είναι μια μέθοδος μαθηματικής
απόδειξης που συνήθως χρησιμοποιείται για
να αποδειχτεί ότι μια πρόταση ισχύει για
όλους τους φυσικούς αριθμούς.

7. ΕΤΥΜΟΛΟΓΙΑ & ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΕΠΑΓΩΓΗΣ
 Η μαθηματική
επαγωγή, ή
διαφορετικά τέλεια
επαγωγή, είναι μια
μέθοδος μαθηματικής
απόδειξης που
συνήθως
χρησιμοποιείται για να
αποδειχτεί ότι μια
πρόταση ισχύει για
όλους τους φυσικούς
αριθμούς.

8. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΠΑΓΩΓΗΣ ΣΕ ΑΤΟΠΟ

9.  Η επαγωγή αποτελεί αντικείμενο αντιπαράθεσης για το αν μία επαγωγική λογική θα ήταν ποτέ εφικτή. Σε αντίθεση με τον
απαγωγικό λογισμό, ο επαγωγικός λογισμός δεν μας οδηγεί απαραιτήτως σε συμπεράσματα τα οποία είναι εξίσου βέβαια
όσο και οι προκείμενες προτάσεις.
 Η επαγωγική λογική είναι παραγωγικά άκυρη. (Στην τυπική λογική, ένα επιχείρημα είναι έγκυρο εάν και μόνο εάν είναι
αδύνατον για τις προτάσεις του επιχειρήματος να είναι αληθείς ενώ το συμπέρασμα να είναι ψευδές).
 Στην επαγωγή υπάρχει μεγάλος αριθμός επιχειρημάτων που είναι δυνατόν να σχετίζονται με κάποιες προτάσεις. Οι
επαγωγές είναι ανοιχτές - οι απαγωγές κλειστές.

10. Ο πρώτος που εισήγαγε
την απόδειξη στα
μαθηματικά για να
εγκυροποιήσει τους
μαθηματικούς
συλλογισμούς του ήταν ο
Θαλής το 600 π.Χ
περίπου.

11.  Στη συνέχεια οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι
προχώρησαν την αποδεικτική διαδικασία για
να τελειοποιηθεί στην Ακαδημία Πλάτωνος
και να φτάσει στα σημερινά επίπεδα.

12. Η απόδειξη είναι ένα
αποκλειστικά ελληνικό
δημιούργημα που
χρειάστηκε περίπου 250
χρόνια για να
ολοκληρωθεί ως
διαδικασία.

13. ΣΧΕΤΙΚΟ ΒΙΝΤΕΟ
«Έννοια άρρητων αριθμών»

14. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
 http://ebooks.edu.gr/ebooks/v/html/8547/2656/Algebra_A-
Lykeiou_html-empl/index2.html
 https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%95%CE%B9%CF%82_%CE%AC
%CF%84%CE%BF%CF%80%CE%BF%CE%BD_%CE%B1%CF%8
0%CE%B1%CE%B3%CF%89%CE%B3%CE%AE
 https://www.aristotelianphilosophy.com/ti-einai-to-atopo-kai-pws-exei/
 https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9C%CE%B1%CE%B8%CE%B7%
CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B5
%CF%80%CE%B1%CE%B3%CF%89%CE%B3%CE%AE

15. ΕΥΧΑΡΙΣΤΟΥΜΕ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΑΣ