Lecture notes on basics of analog-digital conversion and digital data acquisition

1. Ψηφιακά Συστήματα Συλλογής Δεδομένων
Πειραματικές Μέθοδοι και Μετρητική Τεχνολογία
Ε. Κωνσταντινίδης, Αναπληρωτής Καθηγητής
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

2. Αναλογικά και Ψηφιακά Συστήματα
• Τα όργανα μετρήσεων και τα αποτελέσματα μετρήσεων
μπορούν να έχουν είτε αναλογική ή ψηφιακή μορφή
• Συχνά αναφερόμαστε σε αναλογικά και ψηφιακά δεδομένα
(analog and digital data)
• Σε αυτό το μάθημα θα ασχοληθούμε με τα ψηφιακά
δεδομένα, πως μπορούν τα αναλογικά δεδομένα να
μετατραπούν σε ψηφιακά και τις συνέπειες έχει η μετατροπή
αυτή

3. Αναλογικά και Ψηφιακά Συστήματα
• Παλαιότερα, η πλειοψηφία
των συστημάτων ήταν
αναλογικά και η
επεξεργασία τους γινόταν
από κατάλληλα
ηλεκτρονικά κυκλώματα
• Πλέον, η μετατροπή σε
ψηφιακό σήμα (ακόμη και
πριν την επεξεργασία από
το μετρητικό σύστημα)
είναι συνηθισμένη

4. Δυαδικοί αριθμοί
• Οι αριθμητικές πράξεις που εκτελούν
οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές και πολλά
ηλεκτρονικά όργανα βασίζονται στους
δυαδικούς αριθμούς παρόλο ότι
είμαστε συνηθισμένοι στους
δεκαδικούς αριθμούς
• Οι δεκαδικοί αριθμοί (δηλαδή με βάση
το 10) περιέχουν τα ψηφία από το 0
έως και το 9 ενώ οι δυαδικοί (δηλαδή
με βάση το 2) περιλαμβάνουν μόνο τα
ψηφία 1 και 2
• Ορισμένα κομπιουτεράκια μπορούν να
κάνουν εύκολα τη μετατροπή από το
ένα σύστημα στο άλλο

5. Μετατροπή από δεκαδικό σε δυαδικό
• Έστω ότι θέλουμε να γράψουμε τον δεκαδικό αριθμό 29 σε
δυαδική μορφή
• Ο δυαδικός είναι 11101
Διαβάζουμε
ανάποδα από
κάτω προς τα
πάνω

6. Μετατροπή από δυαδικό σε δεκαδικό
• Έστω τώρα ότι θέλουμε να μετατρέψουμε τον δυαδικό αριθμό
11101 πίσω σε δεκαδική μορφή
• Αθροίζουμε την τελευταία στήλη
• Αποτέλεσμα: 1+0+4+8+16 = 29
Άθροισμα

7. Αριθμός ψηφίων (bits)
• Οι δυαδικοί αριθμοί όπως και οι δεκαδικοί μπορούν να
περιέχουν οποιοδήποτε αριθμό ψηφίων (bits)
• Π.χ. ας γράψουμε τον αριθμό 4 ψηφιακή μορφή με τέσσερα
ψηφία (4-bit) ή οκτώ ψηφία (8-bit)
• Το αποτέλεσμα είναι 100 αλλά μπορούμε να προσθέσουμε
μηδενικά από μπροστά, οπότε το αποτέλεσμα είναι
– 0100 (4-bit)
– 00000100 (8 bit = 1 byte)

8. Δυαδικοί αριθμοί
Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων στον κόσμο: αυτοί που κατανοούν
τους δυαδικούς αριθμούς και αυτοί που δεν τους κατανοούν

9. Αποθήκευση ψηφιακών αριθμών
• Ακέραιοι αριθμοί
– Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί μπορούν να αντιπροσωπευθούν ακριβώς στο δυαδικό
σύστημα
– Μέγιστος ακέραιος αριθμός που μπορεί να γραφεί σε δυαδική μορφή με
διαθέσιμα n bits
– 2^16 = 65536 είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος με διαθέσιμα 16 bit
– Το εύρος των ακέραιων αριθμών που μπορούν να αποθηκευτούν με 16 bit είναι
στο διάστημα [−32768, 32767]
– Με 32 bit διαθέσιμα αυξάνεται σημαντικά το εύρος των ακέραιων αριθμών

10. Αποθήκευση ψηφιακών αριθμών
• Προφανώς, σε έναν Η/Υ οι αριθμοί μπορούν να αποθηκευτούν στη
μνήμη του με πεπερασμένο αριθμό bits
• Όσο μεγαλύτερος ο αριθμός των διαθέσιμων bits τόσο μεγαλύτεροι
και περισσότεροι αριθμοί μπορούν να αποθηκευτούν στη μνήμη
του Η/Υ
• Οι αριθμοί αποθηκεύονται σε Η/Υ με το σύστημα κινητής
υποδιαστολής (floating point numbers)
Εκθέτης (Exponent)
(καθορίζει το εύρος τιμών )
Μέρος σταθερής
υποδιαστολής
(καθορίζει την ακρίβεια)

11. Αποθήκευση ψηφιακών αριθμών
• Οι Η/Υ διαθέτουν συγκεκριμένα bits για το σταθερό μέρος και
τον εκθέτη
• Συνήθως
• Ένας αριθμός μπορεί να παρασταθεί με διπλή ακρίβεια 64-bit

12. Αποθήκευση ψηφιακών αριθμών
• Στους Η/Υ το μέρος σταθερής υποδιαστολής εκφράζεται σε
δυαδική μορφή με βάση το ½
• Διαφέρει η δυαδική μορφή σε σχέση με βάση το 2!

13. Υπολογιστικά Σφάλματα (Η/Υ)
• Παράδειγμα matLab
>> format long e % για εμφάνιση πολλών ψηφίων
>> 2.6 + 0.2
ans =2.800000000000000e+00
>> ans + 0.2
ans =3.000000000000000e+00
>> ans + 0.2
ans =3.200000000000001e+00
>> 2.6 + 0.6
ans =3.200000000000000e+00
Γιατί εμφανίζεται αυτό το
μη-μηδενικό ψηφίο εδώ;
Ενώ εδώ δεν εμφανίζεται;

14. Αποθήκευση ψηφιακών αριθμών
• Ακόμη και με το σύστημα κινητής υποδιαστολής δεν μπορούν
να αντιπροσωπευθούν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί ακριβώς
– Ο αριθμός 0.8125 μπορεί είναι σε δυαδική μορφή ως 1101 ακριβώς
– Όμως ο 0.1 δεν μπορεί να γραφεί ακριβώς σε δυαδική μορφή
>> a=29/1300;
>> 29-1300*a
ans =
3.5527e-15

15. Αποθήκευση ψηφιακών αριθμών
• Το σύνολο των αριθμών που μπορούν να αντιπροσωπευθούν
ακριβώς στην μνήμη Η/Υ είναι πεπερασμένο (υποσύνολο των
πραγματικών αριθμών)
• Το σφάλμα αποκοπής (truncation errors) μπορεί να εκτιμηθεί
από το ε (machine precision) για το οποίο
epsilon = 1;
it = 0;
maxit = 100;
while it < maxit
epsilon = epsilon/2;
b = 1 + epsilon;
if b == 1, break;
end
it = it + 1;
End
epsilon = 2.2204e-16

16. Αναλογικοί/Ψηφιακοί Μετατροπείς
• Τα περισσότερα ηλεκτρονικά όργανα και συσκευές όπως
πολύμετρα, παλμογράφοι, κάρτες συλλογής δεδομένων,
κινητά τηλέφωνα, κλπ., είναι πλέον ψηφιακά
• Σε αυτές τις περιπτώσεις το αρχικά αναλογικό σήμα
μετατρέπεται σε ψηφιακό μέσω μιας ηλεκτρονικής διάταξης
που ονομάζεται Αναλογικός/Ψηφιακός Μετατροπέας ή ΑΨΜ
σε συντομία (στα αγγλικά analog-to-digital converter ή ADC)
• Με αυτή τη διάταξη μετατρέπεται η ηλεκτρική τάση του
αναλογικού σήματος σε μια ακολουθία αριθμών σε δυαδική
μορφή

17. Αναλογικοί/Ψηφιακοί Μετατροπείς
Κάθε ΑΨΜ χαρακτηρίζεται από
 το εύρος των τάσεων που δέχεται στην είσοδο του,
π.χ. Ε = 0 έως 5 volt (μονοπολικός) ή -2 έως 2 volt (διπολικός), κλπ.
 τον αριθμό των ψηφίων (Ν-bit) των δυαδικών αριθμών που παράγει,
π.χ. ένας ΑΨΜ 8-bit αποδίδει στην έξοδο του δυαδικούς αριθμούς με
8 ψηφία (1 byte)
 τη διακριτική του ικανότητα (που σημαίνει με ποια ακρίβεια
αναπαριστά την κάθε τάση που διαβάζει στην είσοδο του)
ή διαφορετικά το σφάλμα διακριτοποίησης (ή σφάλμα
κβαντοποίησης)
max min
2 2
FSR
N N
E E E
E

  
max min
1
1
2 2N
E E
E 

   

18. Αναλογικοί/Ψηφιακοί Μετατροπείς
• Σφάλμα κορεσμού όταν
– η τάση εισόδου είναι μικρότερη από την ελάχιστη, ή
– η τάση εισόδου είναι μεγαλύτερη από τη μέγιστη αποδεκτή

19. Αναλογικοί/Ψηφιακοί Μετατροπείς
• Π.χ. έστω ένας ΑΨΜ 2-bit με εύρος εισόδου από -5 έως 5 volt
• Παρατηρούμε ότι ο εν λόγω ΑΨΜ μπορεί να δώσει μόνο 4 επίπεδα τιμών
• Στο παράδειγμα το αποτέλεσμα λαμβάνεται ως η μέση τιμή μεταξύ της ελάχιστης και της μέγιστης
τιμής που αντιστοιχεί σε κάθε επίπεδο (μη μοναδικός τρόπος)
• Η διακριτική ικανότητα του ΑΨΜ είναι
• Το σφάλμα κβαντοποίησης είναι
• Δεν μπορούμε να διακρίνουμε τάσεις μεταξύ 2.6 και 4.9 volt, π.χ. μια τιμή 2.73 V θα μας δώσει
στην έξοδο 3.75 V, το οποίο σύμφωνα με όσα έχουμε πει διαβάζεται
2
5 ( 5)
2.5 V
2
E
 
  
1 1
2.5 1.25 V
2 2
E
     
3.75 1.25 V


20. Αναλογικοί/Ψηφιακοί Μετατροπείς
• Έστω ένας ΑΨΜ 12-bit με εύρος εισόδου από -5 έως 5 volt
• Τώρα υπάρχουν 212 = 4096 επίπεδα διακριτοποίησης
• Διακριτική ικανότητα = 10/212 = 0.00244141 V

21. Αναλογικοί/Ψηφιακοί Μετατροπείς
• Ένας άλλος τρόπος για να χαρακτηρίσουμε έναν ΑΨΜ είναι το
δυναμικό του εύρος που αντιπροσωπεύει το λόγο της
μεγαλύτερης προς τη μικρότερη διαφορά τάσης που μπορεί
να μετρήσει ή ο λόγος σήματος προς θόρυβο κβαντοποίησης
(SQNR) και εκφράζεται σε dB:
– Μονοπολικός
– Διπολικός
 
10
20log 2N
SQNR 
 
1
10
20log 2N
SQNR 


22. Δειγματοληψία
• Η κύρια διαφορά μεταξύ αναλογικών και ψηφιακών σημάτων είναι ότι τα δεύτερα είναι ασυνεχή ή διακριτά
• Το συνεχές σήμα από κάποιο μετρητικό μετατρέπεται σε ασυνεχές κατά τη διαδικασία της δειγματοληψίας
• Με τη διαδικασία της δειγματοληψίας δημιουργείται μια ακολουθία μετρήσεων σε τακτά χρονικά διαστήματα
• Οποιαδήποτε πληροφορία ανάμεσα στα διακριτά σημεία *χάνεται*
• Από μαθηματική σκοπιά η δειγματοληψία ενός συνεχούς σήματος E(t) μπορεί να παρασταθεί ως ένας τελεστής
{...} τέτοιος ώστε να προκύψουν Ν διακριτές τιμές
όπου n = 1, 2, … , Ν είναι η ακολουθία των ακέραιων αριθμών
 
( ) ( )
E t E t n t
  

23. Δειγματοληψία
• Υπάρχουν διάφοροι τρόποι δειγματοληψίας
ενός συνεχούς σήματος
• Συνήθως χρησιμοποιείται για πρακτικούς
λόγους (εάν είναι εφικτό) η περιοδική ή
ομοιόμορφη δειγματοληψία ανά τακτά
χρονικά διαστήματα Δt
• Η συχνότητα (ρυθμός) δειγματοληψίας
δίνεται από τη σχέση
• Προσοχή: η δειγματοληψία επηρεάζει
σημαντικά τις πληροφορίες που αντλούμε
από το σήμα Για το παραπάνω παράδειγμα,
δt = 0.1 s
fS = 1/0.1 = 10 Hz
1
S
f
t



24. Δειγματοληψία
• Ένα από τα προβλήματα της
δειγματοληψίας μέσω ΑΨΜ που
ήδη σημειώθηκε είναι ο
κορεσμός
• Δίπλα βλέπουμε ένα παράδειγμα
αλλοίωσης του σήματος λόγω
κορεσμού όπου όλες οι τάσεις
εισόδου > 5 V δίνουν 4.096 V
στην έξοδο ενός ADC 12-bit
• Συχνά δε γνωρίζουμε ότι το σήμα
είναι κορεσμένο (αν και κάποια
συστήματα δίνουν σήμα
προειδοποίησης)

25. Επίδραση ρυθμού δειγματοληψίας
• Έστω το συνεχές σήμα περιγράφεται από αρμονική μεταβολή της αναλογικής
τάσης
όπου
μέση τιμή = 3 V (dc offset)
πλάτος ταλάντωσης = 3 V
γωνιακή συχνότητα, ω = 20π rad/s
συχνότητα , fS = ω/2π = 10 Hz
περίοδος, Τ = 1/10 = 0.1 s
διαφορά φάσης, φ = π/2 rad
• Ας δούμε στη συνέχεια πως επηρεάζεται η συχνότητα που λαμβάνουμε στο
διακριτό σήμα αν χρησιμοποιήσουμε διαφορετικούς ρυθμούς δειγματοληψίας
 
( ) 3 3sin 20 / 2
E t t
 
  

26. Επίδραση ρυθμού δειγματοληψίας
• fS = 15 Hz
Το παραγόμενο διακριτό
σήμα παρουσιάζει
τραπεζοειδή διακύμανση με
περίοδο 0.2 s ή φαινόμενη
συχνότητα f = 1/0.2 = 5 Hz
• fS = 11 Hz
Το παραγόμενο διακριτό
σήμα παρουσιάζει
ημιτονοειδή διακύμανση με
περίοδο 1.0 s ή φαινόμενη
συχνότητα f = 1/1.0 = 1 Hz
fS = 15 Hz (Δt = 0.6666 s)
fS = 11 Hz (Δt = 0.0909 s)

27. Επίδραση ρυθμού δειγματοληψίας
• fs = 9 Hz
Το παραγόμενο διακριτό σήμα
παρουσιάζει τραπεζοειδή
διακύμανση με φαινόμενη
συχνότητα
f = 1/1.0 = 1 Hz (πάλι)
• Γενικά, αποδεικνύεται ότι
εάν 2/3f < fs < 2f , τότε
εμφανίζεται φαινόμενη
συχνότητα
fS = 9 Hz (Δt = 0.111 s)
A s
f f f
 
Στο εδώ παράδειγμα,
f = 10 Hz, fs = 9 Hz
2/3 < fs/f = 10/9 < 2
fA= |10 – 9| = 1 Hz

28. Επίδραση ρυθμού δειγματοληψίας
• Συμπέρασμα: εάν ο ρυθμός δειγματοληψίας δεν είναι αρκετά
μεγάλος τότε εμφανίζονται ψευδοσυχνότητες στο διακριτό
σήμα. Στα αγγλικά χρησιμοποιείται ο όρος aliasing

29. Θεωρία δειγματοληψίας Nyquist
Έστω ένα συνεχές σήμα με χαρακτηριστική συχνότητα
f το οποίο μετατρέπεται σε διακριτό με συχνότητα
δειγματοληψίας fs
• Εάν fs > 2f τότε δεν εμφανίζονται
ψευδοσυχνότητες στο διακριτό σήμα. Αυτό είναι
γνωστό ως κριτήριο Nyquist και ορίζει τη
συχνότητα Nyquist, fN = fs/2
• Εάν fs < 2f τότε εμφανίζονται ψευδοσυχνότητες
στο διακριτό σήμα
όπου ΝΙΝΤ είναι ο πλησιέστερος ακέραιος
αριθμός
Shaparenko, B. and Cimbala, J. M., Int. J. Mech. Engr
Education, Vol. 39, No. 3, pp. 195-199, 2012
• Αναδίπλωση συχνοτήτων
A s
s
f
f f f NINT
f
 
    
 

30. Αναδίπλωση συχνοτήτων
Παράδειγμα
Έστω ένα συνεχές σήμα με συχνότητα, f = 10 Hz, το
οποίο συλλέγεται με ρυθμό fs = 6 Hz.
fs / f = 6/10 = 0.6 < 2, άρα έχουμε αναδίπλωση.
Η ψευδοσυχνότητα του διακριτού σήματος μπορεί
να υπολογιστεί είτε από το διπλανό γενικευμένο
διάγραμμα για f /fΝ = 10/3 = 0.333
είτε από τη σχέση που δόθηκε προηγουμένως, ήτοι
10
10 6 10 6 2 2 Hz
6
A
f NINT
 
      
 
 
 
6
0.666 2 Hz
2
A
A N
N
f
f f
f
 
  
 
 

31. Δειγματοληψία στην πράξη
Για την απαλοιφή ψευδοσυχνοτήτων χρησιμοποιούμε
• Γνωστό σήμα
– Επιλογή ρυθμού δειγματοληψίας με βάση τη μέγιστη συχνότητα του σήματος f έτσι
ώστε fs > 2f
• Άγνωστο σήμα
– Χρήση πάρα πολύ υψηλού ρυθμού δειγματοληψίας (αυξάνει σημαντικά τον
απαιτούμενο χώρο αποθήκευσης)
• Επιλογή συχνότητας δειγματοληψίας με βάση τη μέγιστη δυνατή ή τη
συχνότητα ενδιαφέροντος και εφαρμογή φίλτρου χαμηλού περάσματος
(anti-aliasing filter) με συχνότητα αποκοπής ίση με τη συχνότητα Nyquist
• Έλεγχος
– Δοκιμές για διαφορετικούς ρυθμούς δειγματοληψίας με έλεγχο χρονοσειρών του
σήματος και του φάσματος συχνοτήτων

32. Εξομάλυνση σήματος
• Ενίσχυση
Ασθενή σήματα (μερικά μικροβόλτ) χρειάζονται ενίσχυση πριν την
ανάλυση. Χρησιμοποιούνται προ-ενισχυτές που δεν παραμορφώνουν
το σήμα εισόδου και διαφόρων τύπων ενισχυτές
• Φιλτράρισμα
Χρησιμοποιούνται για την αφαίρεση μη-επιθυμητών συχνοτήτων και
κυρίως του θορύβου στο σήμα
• Γραμμικοποίηση

33. Συστήματα συλλογής δεδομένων
• Συχνά το σήμα από διάφορα αισθητήρια (συνήθως η τάση)
είναι αρκετά ασθενής και προηγείται εξομάλυνση του πριν την
τροφοδοσία σε ένα σύστημα συλλογής δεδομένων
Αίσθηση -> Εξομάλυνση -> Μετατροπή -> Αποθήκευση/Προβολή

35. Σύστημα συλλογής δεδομένων
Ο ρυθμός δειγματοληψίας κάθε καναλιού είναι αντιστρόφως ανάλογος
του αριθμού των καναλιών που χρησιμοποιούνται

36. Κάρτες συλλογής δεδομένων
Τυπική διάταξη
Φωτογραφία
Μετατρέπουν το αναλογικό σήμα σε ψηφιακό
που μπορεί να αποθηκευτεί στον Η/Υ

37. Ανακατασκευή σήματος
• Έως τώρα είδαμε την περίπτωση που ένα συνεχές σήμα το
μετατρέπουμε σε ψηφιακό μέσω της δειγματοληψίας
• Μπορούμε να κάνουμε το αντίστροφο;
• Η αντίστροφη διαδικασία ονομάζεται ανακατασκευή του
συνεχούς σήματος (Signal Reconstruction)
• Έχει σημαντική εφαρμογή στις τηλεπικοινωνίες
• Θα δούμε στη συνέχεια μία μέθοδο ανακατασκευής και
μοναδική που ονομάζεται Cardinal series

38. Ανακατασκευή σήματος
• Έστω ένα συνεχές σήμα Ε(t) από το οποίο έχει μετατραπεί σε
διακριτό, Εd(t=nδt) όπου n =1, 2,…,N
• Με την προϋπόθεση ότι το κριτήριο Nyquist ισχύει, το συνεχές
σήμα μπορεί να αναδημιουργηθεί μέσω της ακόλουθης
σειράς Cardinal
• Αποδεικνύεται ότι εάν υπάρχουν διαθέσιμα άπειρα δεδομένα
τότε η παραπάνω σειρά αναπαριστά ακριβώς την
κυματομορφή του αρχικού σήματος
 
1
0
sin ( / )
1
( ) ( )
/
N
d
n
t t n
E t E n t
t t n
 

 







39. Ανακατασκευή σήματος
   
( ) sin 20 0.2sin 12
f t t t
 
 
fs = 25 Hz
Ν =16
ανακατασκευή
Εδώ για την παρουσίαση απλά χρησιμοποιούμε ένα ανακατασκευασμένο σήμα με πολύ
μεγαλύτερη συχνότητα δειγματοληψίας σε σχέση με το αρχικώς διακριτοποιημένο