1. Alloy
~川渡り問題~
@ichigo_o_re

2. 川渡り問題
• 川岸にいる一団を対岸に渡す。
• 川を渡る手段は小船だけであり、小さいので数人しか乗
れない。
• 特定の組み合わせがどちらかの岸にできてはいけない。
• とかいうものっ
• 今回は３つを解いてみました。

3. 川渡り問題①

4. 大人と子供
• 1人の大人と2人の子供が岸にいる。ボートが1台あるが
大人1人か子供2人までしか乗れない。全員が川を渡るに
はどうすればよいか?
船
大人 子供 (※画像はイメージです。)

5. 制約としてまとめる

6. 大人と子供
• 1人の大人と2人の子供が岸にいる。ボートが1台あるが
大人1人か子供2人までしか乗れない。全員が川を渡るに
はどうすればよいか?

7. 制約としてまとめる
• 大人1人

8. 大人と子供
• 1人の大人と2人の子供が岸にいる。ボートが1台あるが
大人1人か子供2人までしか乗れない。全員が川を渡るに
はどうすればよいか?

9. 制約としてまとめる
• 大人1人
• 子供2人

10. 大人と子供
• 1人の大人と2人の子供が岸にいる。ボートが1台あるが
大人1人か子供2人までしか乗れない。全員が川を渡るに
はどうすればよいか?

11. 制約としてまとめる
• 大人1人
• 子供2人
• すべての人間が最初は左側の岸にいる

12. 大人と子供
• 1人の大人と2人の子供が岸にいる。ボートが1台あるが
大人1人か子供2人までしか乗れない。全員が川を渡るに
はどうすればよいか?

13. 制約としてまとめる
• 大人1人
• 子供2人
• すべての人間が最初は左側の岸にいる
• ボートは1台

14. 大人と子供
• 1人の大人と2人の子供が岸にいる。ボートが1台あるが
大人1人か子供2人までしか乗れない。全員が川を渡るに
はどうすればよいか?

15. 制約としてまとめる
• 大人1人
• 子供2人
• すべての人間が最初は左側の岸にいる
• ボートは1台
• ボートに乗れるのは
o 子供2人
o 子供1人
o 大人1人

16. 大人と子供
• 1人の大人と2人の子供が岸にいる。ボートが1台あるが
大人1人か子供2人までしか乗れない。全員が川を渡るに
はどうすればよいか?

17. 制約としてまとめる
• 大人1人
• 子供2人
• すべての人間が最初は左側の岸にいる
• ボートは1台
• ボートに乗れるのは
o 子供2人
o 子供1人
o 大人1人
• 全員が右側の岸につくと完成

18. Alloy
• ①それぞれの人間、島、船を宣言する
enum 岸{左,右} //岸を継承した左、右
abstract sig 物体{} //抽象的な物体
one sig 船 extends 物体{} //物体を継承した船
abstract sig 人 extends 物体{} //物体を継承した人
one sig 大人 extends 人{} //人を継承した大人
sig 子供 extends 人{} //人を継承した子供
fact { #子供 = 2 } //子供は２人である
sig State {l: 物体 -> one 岸} //物体がどの岸にいるか

20. Alloy
• 一番最初には全ての物体は左にある
pred init(s: State){s.l = 物体 -> 左}
//sという状態において､物体は左側にある

21. Alloy
• 動き方を指定する
pred move(s, s': State, b: 船){
(one p: 人 |
(p.(s.l) = b.(s.l)) and
s‘.l = s.l - b -> b.(s.l) - p -> p.(s.l)
+ b -> (岸 - b.(s.l)) + p -> (岸 - p.(s.l)))
or
(some p, p': 人 |
(p.(s.l) + p'.(s.l)) = b.(s.l) and
(p + p') in 子供 and
s'.l = s.l - b -> b.(s.l) - p -> p.(s.l) - p' -> p'.(s.l)
+ b -> (岸 - b.(s.l)) + p -> (岸 - p.(s.l)) + p' -> (岸 - p'.(s.l)))
}

22. Alloy
• 動き方を指定する
pred move(s, s': State, b: 船){
(one p: 人 |
(p.(s.l) = b.(s.l)) and
s‘.l = s.l - b -> b.(s.l) - p -> p.(s.l)
+ b -> (岸 - b.(s.l)) + p -> (岸 - p.(s.l)))
or
(some p, p': 人 |
(p.(s.l) + p'.(s.l)) = b.(s.l) and
(p + p') in 子供 and
s'.l = s.l - b -> b.(s.l) - p -> p.(s.l) - p' -> p'.(s.l)
+ b -> (岸 - b.(s.l)) + p -> (岸 - p.(s.l)) + p' -> (岸 - p'.(s.l)))
}
ある一人の人(大人or子供)に対して
その人のいる岸と船のある岸が同じだったら
新しい関係(s’.l)は今までの関係(s.l)から動かす人と岸、船と岸をなくして、新しい岸との関係を足したもの
としています

23. • 新しい関係は今までの関係から動かす人と岸、船と岸を
なくして、新しい岸との関係を足したものとしています
• (大人と船を動かす場合)

24. Alloy
• 動き方を指定する
pred move(s, s': State, b: 船){
(one p: 人 |
(p.(s.l) = b.(s.l)) and
s‘.l = s.l - b -> b.(s.l) - p -> p.(s.l)
+ b -> (岸 - b.(s.l)) + p -> (岸 - p.(s.l)))
or
(some p, p': 人 |
(p.(s.l) + p'.(s.l)) = b.(s.l) and
(p + p') in 子供 and
s'.l = s.l - b -> b.(s.l) - p -> p.(s.l) - p' -> p'.(s.l)
+ b -> (岸 - b.(s.l)) + p -> (岸 - p.(s.l)) + p' -> (岸 - p'.(s.l)))
}
ある二人の人(大人or子供)に対して
その人たちのいる岸と船のある岸が同じで、
二人とも子供だったら
s’.lは今までの関係から動かす人と岸、船と岸をなくして、新しい岸との関係を足したものとしています

25. ぐるぐるぽ～ん！
(実際にやる)

26. 川渡り問題②

27. 宣教師と先住民
川のこちら側に３人の宣教師と３人の先住民がいます。こ
ちらの川岸に２人乗りのボートが1台あり、これを使って
６人全員を対岸に移したいのですが、一時的に も宣教師の
数が先住民の数より少なくなると先住民は宣教師を食べて
しまいます。無事に全員を対岸まで渡らせる手順を考えて
下さい。
宣教師 先住民 船
(※画像はイメージです。)

28. 制約としてまとめる
• 宣教師が3人
• 先住民が3人
• 2人乗りのボートが1台
• 先住民の数が宣教師の数を上回ってはいけない。
• 無事に全員を対岸まで渡らせる

29. 制約としてまとめる
• 宣教師が3人
• 先住民が3人
• 2人乗りのボートが1台
• 先住民の数が宣教師の数を上回ってはいけない。
• 無事に全員を対岸まで渡らせる
ここが変わっただけ！

30. Alloyでぐるぐるぽ～ん

31. 川渡り問題③

32. 危険な家族 船
(※画像はイメージです。)
• ある家族がいます。
この家族は舟を使って川の向こう岸へわたろうとしています。
舟は1台しかなく、１度に２人まで乗ることができます。
家族は父、母、息子2人、娘2人、犬、メイドの８人(犬も１人と数えます)
でありまたこの舟をこげるのは父か母かメイドの３人だけです。
• さぁ、そしてこの家族、ぢつは！とっても危険な家族なんです。 メイド
まず父は、母がいないと娘を殺してしまいます。
また母は、父がいないと息子を殺してしまいます。
そしてきわめつけ。
犬は、メイドがいないと家族をみんな殺してしまいます。
• 誰も死ぬことなく川をわたりきるにはどうすればよいでしょうか？
父母 娘2人,息子2人 犬

33. 制約としてまとめる
• 母1人
• 父1人
• 息子2人
• 娘2人
• メイド1人
• ボート1台
• 犬1人
• 犬はメイドがいないと、同じ岸の人間を食べる
• 父は母がいないと同じ岸の娘を殺す
• 母は父がいないと同じ岸の息子を殺す
• ボートをこげるのは、メイドと父と母だけ！

34. 制約としてまとめる
• 母1人
• 父1人
• 息子2人
• 娘2人
• メイド1人
• ボート1台
• 犬1人
• 犬はメイドがいないと、同じ岸の人間を食べる
• 父は母がいないと同じ岸の娘を殺す
• 母は父がいないと同じ岸の息子を殺す
• ボートをこげるのは、メイドと父と母だけ！

35. Alloyでぐるぐるぽ～ん

36. Alloyを高速化！
• 検索のスコープをしぼる
(run xx for xx but xx, xx)
run show for 6 → run show for 6 but 4 Object
• 一つだけの要素はone sigで宣言する
(one sig 大人)
• これらを行えばより速く探し出せます。

37. • そのまま
o Executing "Run show for 18"
o Solver=sat4j Bitwidth=0 MaxSeq=0 SkolemDepth=1 Symmetry=20
o 569162 vars. 774 primary vars. 2891145 clauses. 29311ms.
o . found. Predicate is consistent. 84805ms.
• スコープを絞る
o Executing "Run show for 12 but 18 State"
o Solver=sat4j Bitwidth=0 MaxSeq=0 SkolemDepth=1 Symmetry=20
o 176946 vars. 516 primary vars. 761597 clauses. 6240ms.
o . found. Predicate is consistent. 22715ms.
• 個数が1のものはonesigで宣言する
o Executing "Run show for 12 but 18 State"
o Solver=sat4j Bitwidth=0 MaxSeq=0 SkolemDepth=1 Symmetry=20
o 21371 vars. 446 primary vars. 49658 clauses. 524ms.
o . found. Predicate is consistent. 1415ms.

38. まとめ
• 川渡り問題を解くことでAlloyが実際に”制約”を書くだけで
それを満たす解を探しだしてくれることがわかりました。
• “制約”は他の論理パズルやソフトウェア等にも出てくるの
でAlloyを使えば自分の設計したものの制約が正しいかを
チェックすることができます！！