990430促進學生主動思考(林福來)

林福來 2010/04/30 台師大數學系 [email_address]

第一冊第一章：整數的運算第二章：分數的運算第三章：一元一次方程式

第二冊第一章：二元一次聯立方程式第二章：平面直角坐標系第三章：比例第四章：函數及其圖形第五章：一元一次不等式

第三冊第一章：乘法公式與多項式第二章：平方根與勾股定理第三章：因式分解第四章：一元二次方程式

第四冊第一章：數列與等差級數第二章：簡單幾何圖形第三章：三角形的性質第四章：平行與四邊形

第五冊第一章：比例線段與相似形第二章：圓的性質第三章：幾何證明

第六冊第一章：二次函數第二章：資料的整理與分析第三章：機率與抽樣

臆測活動設計策略 (2) 學生可能形成臆測的思考歷程 (Cañadas, et al. , 2007) 2-1 從有限離散的案例歸納所得的臆測 2-2 從動態的案例歸納所得的臆測 2-3 從原有系統類比到新系統所得的臆測 2-4 從結果回溯發生前題所得的臆測 2-5 從知覺經驗所得的臆測

2-1 有限離散案例歸納說明：學生觀察幾個例子後，形成一般例子的規律性、共通性、差異性 … 等特徵的臆測。例子：學生進行偶數的加法分解時，從幾個分解結果中發現均有一組質數的和，如「 4=2+2; 6=3+3; 8=2+5; 10=3+7 」，於是提出「任何偶數都可以寫成兩個質數之和」的臆測。

2-1 有限離散案例歸納認知行為觀察：包含觀察的對象（資料表徵）、轉換（表徵轉換）及目標（規律、通性、差異）。表達：將觀察結果透過語言、文字、圖表或肢體動作 … 等表達出來。檢測：再以新的資料表徵檢驗所提出觀點是否合理，如以「 12=5+7 」確認臆測。

2-1 活動案例 (1) 規律性：正五邊形上的黑點數第 4 個圖形是什麼？會有幾個黑點？第 5 個圖形會有幾個黑點？第 10 個圖形會有幾個黑點呢？ …

2-1 活動案例 (2) 共通性：格子點上的多邊形面積上圖的多邊形上有 10 個格子點，而多邊形內有 2 個格子點，面積是 6 。

2-1 活動案例 (2) 試著圍出長方形，並記錄長方形邊上和內部的格子點數以及面積。再多圍幾個長方形並觀察這三組數字有沒有什麼關係？再圍出一個長方形，檢查看看邊上和內部的格子點數及面積是不是符合觀察出的關係？另外，試著圍出三角形、五邊形或是其他多邊形，看是不是符合這樣的關係？ …

2-2 動態案例歸納說明：學生觀察動態連續的案例或一系列例子後，形成一般例子的不變性、特殊性、…等特徵的臆測。

2-2 動態案例歸納例子：學生使用動態幾何軟體，如 GSP 或 GeoGebra 的拖曳功能探索「四邊形相鄰兩頂角的角平分線互相垂直」的特殊性，發現平行四邊形具有這樣的特徵，於是提出「平行四邊形相鄰兩頂角的角平分線互相垂直」的臆測。認知行為：類似有限離散案例歸納，包含觀察、表達與檢測。

2-2 活動案例 (1) 不變性：平行四邊形各頂角的角平分線圍出的區域形狀以滑鼠拖曳各頂點，四邊形 ABCD 是否仍為平行四邊形？各頂角角平分線所為出的四邊形區域 EFGH 形狀為何？再拖曳各頂點，檢查看看你的臆測是否合理？ …

2-2 活動案例 (2) 特殊性：四邊形兩對角線互相垂直以滑鼠拖曳四邊形頂點使對角線互相垂直，會是什麼樣的四邊形？再拖曳各頂點，檢查看看你的臆測是否合理？ …

2-3 類比說明：學生利用某個已知的系統及其性質，類比到新的案例上，並猜測新案例也具有類似的性質。例子：學生將已知的「三角形的三中線交於一點」性質，類比到分割線 (1:2) 的情形，並猜測三條 1:2 的分割線也會「交於一點」。

2-3 類比認知行為新系統元素的概念化與屬性建立類比由原系統性質推論新系統性質

2-3 活動案例已知性質：平面上三角形的內角和 180° 平面上的四邊形內角和也是 180° 嗎？五邊形的內角和是 180° 嗎？ … 平面上的三角形外角和也是 180° 嗎？四邊形的外角和是 180° 嗎？ … 空間中的正四面體的內角 (*) 和也是 180° 嗎？正六面體的內角和是 180° 嗎？空間中的正四面體的外角 (*) 和也是 180° 嗎？正六面體的外角和是 180° 嗎？

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