Mathematical Induction for student

1. 臺北市立蘭雅國民中學
科 別：數學科
報告主題：數學歸納法
報告者：郭妙霓 2018/11/05
如
何
製
作
簡
報

2. 介紹報告
主題並舉
例說明
數學歸納法是義大利數學家皮亞諾
(Peano, 1858~1932)所提出關於自然
數性質的五個公設，後人稱為皮亞諾
公設。
對一系列命題P(n)，n為正整數，若
P(n)滿足下列兩條件：
(1)P(1)成立，
(2)對正整數k，假設P(k)成立，則
P(k+1)跟著成立，則對任意正整數n，
P(n)恆成立。

3. 文獻探討1：
探討質數間的
規律，或是合
數間的規律，
並提出分析討
論。
 找出所有的正整數n，使 𝟓 × 𝟐 𝒏
+ 4 是7的倍數，
並證明之。
討論1：
令 f(n)= 𝟓 × 𝟐 𝒏+4 ，
n=1，f(1)=𝟓 × 𝟐 𝟏
+4 =14=𝟕 × 𝟐 𝟏
n=2，f(2)=𝟓 × 𝟐 𝟐
+4 =24
n=3，f(3)=𝟓 × 𝟐 𝟑
+4 =44
n=4，f(4)=𝟓 × 𝟐 𝟒
+4 =84=𝟕 × 𝟐 𝟐
× 𝟑
n=5，f(5)=𝟓 × 𝟐 𝟓
+4 =164
n=6，f(6)=𝟓 × 𝟐 𝟔+4 =324
n=7，f(7)=𝟓 × 𝟐 𝟕+4 =644 =𝟕 × 𝟐 𝟐 × 𝟐𝟑
n=8，f(8)=𝟓 × 𝟐 𝟖+4 =1284
當n=1, 4, 7, …時，即 n=3m−2，m為正整數，𝟓 × 𝟐 𝒏
+ 4 是7的
倍數。因而猜測對任意正整數m，𝟓 × 𝟐 𝒏
+4 是7的倍數，再用
數學歸納法加以證實。

4. 文獻探討2：
探討質數間的
規律，或是合
數間的規律，
並提出分析討
論。
 找出所有的正整數n，使 𝟓 × 𝟐 𝒏 + 4 是7的倍數，
並證明之。
討論2：
(1)當m=1時，𝟓 × 𝟐 𝟏
+ 4 =14是7的倍數，
(2)當m=k 時命題成立，即𝟓 × 𝟐 𝟑𝒌−𝟐
+ 4 =𝟕𝒒，
q 是整數，則當m=k+1時，即
3m − 2=3(k+1) − 2=3k + 1，
𝟓 × 𝟐 𝟑𝒌+𝟏 + 4 =𝟐 𝟑 × 𝟓 × 𝟐 𝟑𝒌−𝟐 + 4
=𝟖 × 𝟕𝒒 − 𝟒 + 4 = 𝟓𝟔𝒒 − 𝟐𝟖 =𝟕 × 𝟖𝒒 − 𝟒
故m=k+1時的命題隨著m=k時的命題成立而成立，
由數學歸納法得證，對任意正整數m，則
5 × 23𝑚−2+4 是7的倍數。

5. 文獻探討3：
探討質數間的
規律，或是合
數間的規律，
並提出分析討
論。
 找出所有的正整數n，使 𝟓 × 𝟐 𝒏 + 4 是7的倍數，
並證明之。
討論3：
設𝟓 × 𝟐 𝟑𝒎−𝟐 + 4 =𝟕𝒒，q 是整數，
則𝟓 × 𝟐 𝟑𝒎−𝟐
=𝟕𝒒 − 𝟒 ，
代入得出𝟓 × 𝟐 𝟑𝒎 + 4 =𝟒 × 𝟓 × 𝟐 𝟑𝒎−𝟐 +4
=𝟒 × 𝟕𝒒 − 𝟒 +4 = 𝟐𝟖𝒒 − 𝟏𝟐
𝟓 × 𝟐 𝟑𝒎−𝟏
+ 4 =𝟐 × 𝟓 × 𝟐 𝟑𝒎−𝟐
+4
=𝟐 × 𝟕𝒒 − 𝟒 +4 = 𝟏𝟒𝒒 − 𝟒
兩者都不是7的倍數，所求n是1, 4, 7, …, 3m − 2, …, 即
首項為1且公差為3的等差數列。

6. 參考與主題有
關書籍，請註
明作者、年代，
及出版商；搜
尋網路資料，
請註明文章名
稱、網站名稱
及網址。
 書籍
1. 亞瑟·班傑明(Arthur Benjamin)著，王君儒譯。
(2017)。數學大觀念，從數字到微積分，全面
理解數學的12大觀念。台北：貓頭鷹。
2. 翰林版普通高級中學(2011)數學2一下用書。
 網路：
1.康昌明(2002)。數學傳播。第六卷第四期、第
七卷第一期。
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_06_4_
01/page2.html

7. 練習題(1)
1. 對所有正整數n，請檢驗下列各式是否成立？
(1) n2
+n+1恆為質數。 (2) 2 𝑛
+1恆為3的倍數。
2. 設n為正整數，試證𝑛3
+ 2𝑛 是3的倍數。
3. 對所有正整數n，證明：8 𝑛
+6恆為7的倍數。
4. 對任意正整數n，試證：3 × 52𝑛+1
+23𝑛+1
是17的倍數。

8. 練習題(2)
5. 不論n為任意正整數， 2 𝑛+2
+ 32𝑛+1
恆為質數P的倍數。
(1)試求此質數P。 (2)並以數學歸納法證明之。
6. 不論n為任意正整數，則42𝑛+1
+3 𝑛+2
恆為某一質數P
的倍數，找出此質數並證明之。
7. 設n為正整數，則3 × 42𝑛+1
+23𝑛+1
恆為某個質數的倍
數，(1)找出此質數，(2)並證明之。