1. 1
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
А.И. Григорьев
С.О. Ширяева
А.Н. Жаров
Нелинейные осцилляции
заряженной капли
Ярославль 2006
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2. 2
УДК 532.59:534.1
ББК В 253.322я73
Г 83
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве научного издания. План 2006 года
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, А.С. Голованов;
кафедра прикладной математики и вычислительной техники
Ярославского государственного технического университета
Г 83
Григорьев, А.И. Нелинейные осцилляции заряженной капли :
моногр. / А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, А.Н. Жаров; Яросл. гос.
ун-т. им. П.Г. Демидова. – Ярославль: ЯрГУ, 2006. – 280 с.
ISBN 5-8397-0464-4
В монографии с единой точки зрения в рамках аналитического
асимптотического моделирования рассмотрены нелинейные
осцилляции заряженной капли идеальной несжимаемой жидкости
как в вакууме, так и при наличии внешней несжимаемой
диэлектрической среды ламинарно обтекающего каплю потока и
осложняющего влияния внешних силовых полей и вязкости
жидкости.
Книга издана при финансовой поддержке грантов Президента
РФ № МК-2946-2004-1 и МК-2209-2006-1, а также грантов РФФИ
№ 03-01-00760 и №06-01-00066-а.
УДК 532.59:534.1
ББК В 253.322я73
ISBN 5-8397-0464-4
 Ярославский государственный
университет, 2006
 А.И. Григорьев, С.О. Ширяева,
А.Н. Жаров, 2006
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

3. 3
1. Введение
Совсем недавно, два с половиной десятилетия назад (первая
теоретическая статья [1] появилась 1983 году), начались регуляр-
ные исследования нелинейных осцилляций капель [1 – 33]. И хотя
самая первая публикация [1] была посвящена исследованию нели-
нейных осцилляций незаряженной капли, во всех последующих
работах [2 – 33] рассматривалась именно заряженная капля. Сле-
дует отметить, что экспериментальные и теоретические исследо-
вания устойчивости и динамики колебаний заряженных капель
жидкости в линейном по амплитуде осцилляций приближении
проводятся уже почти полтора столетия. Интерес к заряженной
капле объясняется тем, что она является ключевым объектом в са-
мых разнообразных академических, геофизических, технических и
технологических явлениях и процессах. Например, с ней прихо-
дится встречаться при электростатическом распыливании жидких
топлив, инсектицидов, лакокрасочных материалов, в устройствах
электрокаплеструйной печати, при исследовании проблем грозо-
вого электричества, в капельной модели ядра атома, в жидкоме-
таллических источниках ионов, в ионных коллоидных реактивных
двигателях, при жидкометаллической литографии и эпитаксии,
при получении порошков тугоплавких металлов и т.п. (см., на-
пример, обзоры [34 – 46] и указанную в них литературу).
Начало теоретического изучения капиллярных колебаний и
устойчивости заряженной капли в линейном приближении по ам-
плитуде осцилляций связано с именем Рэлея [47 – 48] и относится
к концу девятнадцатого века. Он представил каплю как колеба-
тельную систему с бесконечным набором собственных частот ко-
лебаний. В качестве отдельных мод осесимметричных колебаний
поверхности рассматривались колебания, описываемые соответст-
вующими полиномами Лежандра, при этом номер моды соответ-
ствовал числу выпуклостей (или впадин) на поверхности капли.
Рэлей рассчитал частоты капиллярных колебаний и нашел крити-
ческие условия потери устойчивости сильно заряженной капли.
Наименее устойчивой оказалась основная (вторая) мода капилляр-
ных колебаний, критические условия потери устойчивости кото-
рой и определяют устойчивость всей капли. Величину заряда на
капле фиксированного радиуса с заданным коэффициентом по-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

4. 4
верхностного натяжения, при которой теряет устойчивость основ-
ная мода, принято называть Рэлеевским пределом устойчивости
заряженной капли. При превышении зарядом Рэлеевского предела
капля неустойчива и у нее не существует равновесных сфериче-
ских форм. Со времени появления работы Рэлея проделана масса
исследований линейной устойчивости капель в различных услож-
няющих вариантах, количество же публикаций, посвященных ли-
нейным исследованиям, измеряется сотнями (см., например, обзо-
ры [34 – 46] и указанную в них литературу).
В нижеследующем изложении сосредоточимся на исследова-
ниях нелинейных осцилляций заряженных капель [2 – 32, 49 –
51]. Можно выделить три основных направления проведенных
исследований: 1) нелинейный анализ эволюции амплитуды ка-
пиллярных осцилляций поверхности капли в рамках методов тео-
рии возмущений; 2) расчет равновесных форм заряженных ка-
пель вблизи Рэлеевского предела и анализ характера бифуркаций
решений, имеющих место в окрестности критического значения
заряда; 3) исследование нелинейного взаимодействия между от-
дельными модами колебаний заряженной капли.
Впервые классические методы теории возмущений (метод
Линштедта-Пуанкаре) к исследованию осесимметричных капил-
лярных колебаний конечной амплитуды, совершаемых поверхно-
стью незаряженной капли несжимаемой невязкой жидкости, бы-
ли применены в [1]. Это позволило получить квадратичные по
амплитуде начальной деформации поправки к форме поверхно-
сти капли, потенциалам скоростей и в третьем порядке малости к
частотам колебаний. Расчеты проводились для трех типов на-
чальных условий, определявшихся заданием начальной деформа-
ции капли в виде виртуального возмущения n-й моды осцилляций
для n = 2, 3, 4. При проведении экспериментальных исследований
сдвига частоты при нелинейных колебаниях капли в условиях от-
сутствия силы тяжести [32] получено хорошее согласие данных
измерений с теоретическими предсказаниями работы [1].
В работе [29] на основе более подходящего для исследования
многочастотных колебаний метода многих масштабов были ис-
следованы осцилляции конечной амплитуды заряженной капли
идеальной несжимаемой жидкости, вызванные начальным воз-
буждением первых трех мод (n = 2, 3, 4), в ситуации когда заряд
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

5. 5
капли не достигает Рэлеевского предела. Однако выяснилось, что
при увеличении заряда до некоторого порогового зависящего от
амплитуды осцилляций значения *Q , меньшего критической по
Рэлею величины, найденные в [29] поправки к амплитудам гар-
монических колебаний становятся несправедливыми, т.к. неогра-
ниченно нарастают при Q ≥ *Q . Для устранения таких расходи-
мостей в [32] на основе анализа асимптотического поведения ре-
шений, полученных в [29], малый параметр масштабирования
вводился таким образом, чтобы он характеризовал соотношение
между амплитудой деформации и отклонением величины заряда
на капле Q от критического ∗Q . Это позволило авторам [32] про-
анализировать нелинейную динамику осесимметричных осцил-
ляций поверхности невязкой заряженной капли вблизи Рэлеев-
ского предела и получить с точностью до второго порядка мало-
сти по величине решения, описывающие эволюцию формы
капли, поля скоростей и электрического поля при начальном воз-
буждении основной моды колебаний поверхности.
Нелинейный анализ неосесимметричных колебаний капли,
несущей заряд, мало отличающийся от Рэлеевского предела, ма-
тематическими методами, использованными в [32], предпринят и в
[24], где получены динамические уравнения для амплитуд неосе-
симметричных мод, описываемых сферическими функциями вто-
рого порядка. Решения выведенных в [24] уравнений в зависимо-
сти от величины начальной деформации капли и близости заряда к
критическому значению проявляют тенденцию к стохастичности.
Нелинейная структура и устойчивость осесимметричных ста-
тических форм поверхности идеально проводящей заряженной
невязкой капли с зарядом, близким к Рэлеевскому пределу, при
начальном возбуждении основной (n=2) моды рассматривались в
[32]. В частности было показано, что Рэлеевский предел соответ-
ствует точке транскритической бифуркации семейства статиче-
ских сферических форм капли на семейства осесимметричных
вытянутых и сплюснутых сфероидальных форм (этот результат
был подтвержден численными расчетами [51]). Вытянутые фор-
мы существуют при значениях заряда, меньших критического, и
неустойчивы по отношению к малоамплитудным возмущениям
поверхности. Сплюснутые статические формы согласно прове-
денному анализу существуют при зарядах, больших Рэлеевского
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

6. 6
предела (что стразу вызвало сомнение и впоследствии было оп-
ровергнуто [24, 49 – 50]), причем cплюснутые статические формы
оказались устойчивыми по отношению к малым осесимметрич-
ным возмущениям. Кроме того, выяснилось, что при значениях
заряда, немного меньших критического, устойчивость исходной
сферической формы капли может быть нарушена колебаниями
конечной амплитуды. Причем величина заряда, на которую сни-
жается его критическое значение, пропорциональна амплитуде
начального удлинения капли. Результаты аналитических вычис-
лений в [32] подтверждаются численными расчетами статических
форм поверхности капли при возбуждении первых трех мод.
Численный анализ осесимметричных статических форм заряжен-
ной капли вблизи Рэлеевского предела был продолжен в [25] с
использованием интегральной формы уравнения Лапласа. В
квадратичном по амплитудам мод приближении обнаружены не-
симметричные относительно экваториальной плоскости формы
капель, неустойчивые в линейном приближении. В работе [24]
при анализе неосесимметричных колебаний капли получено, что
сплюснутые сфероидальные формы капли, существующие со-
гласно [32] и численным расчетам [51] при Q > *Q неустойчивы
по отношению к неосесимметричным возмущениям (позднее
аналогичный результат получен и в линейном анализе [49-50]).
Таким образом, Рэлеевский предел соответствует точке абсолют-
ной неустойчивости заряженной капли, совершающей осцилля-
ции бесконечно малой амплитуды. Начальная стадия реализации
неустойчивости заряженной капли проходит через последова-
тельность удлиняющихся вытянутых сфероидов. При осцилляци-
ях большой амплитуды критическая величина заряда, при кото-
рой капля теряет устойчивость, снижается.
В [1, 12] был также подтвержден ранее отмеченный в [26 –
28] факт временной асимметрии осцилляций: при начальном воз-
буждении основной моды, когда форма капли осциллирует меж-
ду вытянутым и сплюснутым сфероидами, время нахождения ка-
пли (пузыря) в состоянии вытянутого сфероида превышает время
ее нахождения в сплюснутом состоянии, и эта тенденция усили-
вается с увеличением амплитуды осцилляций. Но констатацией
этого факта Тсамопулос и Браун и ограничились. Истолкование
же ему дано в [52], где показано, что при нелинейных осцилляци-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

7. 7
ях капля совершает колебания не возле сферической формы, как
было в линейном случае, но в окрестности фигуры, близкой к вы-
тянутому сфероиду.
Вопросы взаимодействия различных мод капиллярных ос-
цилляций заряженной поверхности капли рассматривались в ра-
ботах [2, 29]. Найденные в [29] в расчетах второго порядка мало-
сти квадратичные по малому параметру компоненты решений
(деформации формы капли, потенциала поля скоростей течения
жидкости в ней и электростатического потенциала в окрестности
капли), а также поправки к частотам осцилляций, определяемые в
расчетах третьего порядка малости, содержали в знаменателях
множители вида ( )222
nm j ωω ⋅− , где mω и nω – частоты различных мод
осцилляций капли, j – целое число. В некоторых ситуациях (при
определенных значениях собственного заряда капли Q, ее радиу-
са и величины коэффициента поверхностного натяжения) может
выполниться соотношение ( ) 0222
=⋅− nm j ωω . Такие ситуации по ана-
логии с возникающими при анализе вынужденных колебаний
принято называть резонансными, поскольку в точках резонансов
решения расходятся. В теории возмущений отработаны процеду-
ры отыскания аналитических решений как в окрестностях, так и в
самих точках резонансов [53 –55] путем введения параметра рас-
стройки, величина которого может непрерывно изменяться. В
физических задачах параметры расстройки вводятся на основе
изменения физических параметров задачи, которые ранее прини-
мались фиксированными. В итоге резонансные компоненты ре-
шения сводятся к секулярным слагаемым, которые в свою оче-
редь обрабатываются в стандартных математических процедурах.
В [29] в расчетах второго порядка малости был обнаружен
резонанс между четвертой (n=4) и шестой (n=6) модами при за-
ряде капли rQ , докритическом в смысле линейной устойчивости
капли по отношению к собственному заряду (в смысле анализа
устойчивости, проведенного Рэлеем), rQ < *Q , здесь *Q – критиче-
ский заряд, при котором теряет устойчивость основная мода
(n=2). Тсамопулос и Браун [29] ввели параметр расстройки на ос-
нове варьирования заряда капли Q в малой окрестности rQ и по-
строили решение, справедливое в самой точке резонанса и в его
окрестности. Они показали, что в точке резонанса энергия полно-
стью перекачивается из изначально возбужденной четвертой мо-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

8. 8
ды в шестую меньше чем за три периода осцилляций четвертой
моды. Выяснилось, что максимальная амплитуда шестой моды
достигается в положении точного резонанса (при равной нулю
величине параметра расстройки) и что амплитуда шестой моды
убывает по гиперболическому закону при увеличении абсолют-
ной величины параметра расстройки.
В [29] также показано, что резонансное взаимодействие мод
осцилляций реализуется и для незаряженной капли. В частности,
такое взаимодействие для основной (n=2) и четвертой (n=4) мод
обнаруживается в расчетах третьего порядка малости. Указанная
степень малости приводит к существенному увеличению (на по-
рядок) характерного времени обмена энергией между резонансно
взаимодействующими модами.
Нелинейное резонансное взаимодействие пятой (n=5) и
восьмой (n=8), а также десятой (n=10) и шестнадцатой (n=16)
мод в незаряженной капле идеальной несжимаемой жидкости
рассмотрено Натараньяном и Брауном в [3]. Само исследование
проведено в рамках Лагранжева подхода, ранее использованного
при изучении капиллярно гравитационных волн на поверхности
воды. В выписываемый лагранжиан вводились в соответствии с
идеей метода разных временных масштабов быстрое (характери-
зующее решения первого порядка малости) и медленное (харак-
теризующее решения второго порядка малости и в том числе не-
линейное взаимодействие мод) времена. Начальная деформация
задавалась суперпозицией пары взаимодействующих мод: 5-й и
8-й или 10-й и 16-й. Затем лагранжиан усреднялся по быстрому
времени. Уравнения Эйлера-Лагража, соответствующие остав-
шейся после усреднения части Лагранжиана, содержали лишь
медленное время и описывали квадратичное по малому парамет-
ру взаимодействие мод, определяющих начальную деформацию.
Выяснилось, что параметры резонансного обмена энергией меж-
ду взаимодействующими модами зависят от парциального вклада
взаимодействующих мод в начальную деформацию.
В [3] показано, что если не ограничивать рассмотрение осе-
симметричными модами осцилляций, то следует учесть, что с m-й
осесимметричной модой связаны 2m+1 неосесимметричных мод
с одинаковыми частотами и близкими величинами энергии их
возбуждения. Оказалось, что осесимметричные моды неустойчи-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

9. 9
вы в смысле передачи своей энергии в связанные с ними неосе-
симметричные моды. В итоге энергия, изначально заключенная в
виртуально возбужденной в начальный момент времени в осе-
симметричной m-й моде, «размазывается» по 2m+1 неосесиммет-
ричным модам. При возбуждении в начальный момент двух ре-
зонансно взаимодействующих мод с высокими номерами, коли-
чество связанных с ними неосесимметричных мод оказывается
весьма большим и обмен энергией между взаимодействующими
неосесимметричными модами носит стохастический характер.
Внутреннее нелинейное резонансное взаимодействие мод,
реализующееся в третьем порядке малости, выполненное с ис-
пользованием Лагранжева формализма, изучено Натараньяном и
Брауном в [4]. В экспериментах Тринча и Ванга [5], которые ис-
следовали возбуждаемые акустическим полем осцилляции боль-
шой амплитуды капель, подвешенных в акустическом подвесе,
оказалось, что осцилляции большой амплитуды весьма трудно
возбудить вследствие появления на поверхности капли неосе-
симметричной бегущей волны, которая в конце концов приводи-
ла к вращению капли как целого. Такой же эффект проявлялся и в
экспериментах Якоби и др. [6] со свободно висящими в условиях
невесомости каплями, осцилляции которых генерировались аку-
стическим полем. Натараньян и Браун предположили, что такое
поведение акустически возбуждаемых левитирующих капель свя-
зано с реализацией в каплях резонанса третьего порядка с участи-
ем неосесиметричных мод. Они указали, что, кроме резонанса
третьего порядка между второй (n=2) и четвертой (n=4) модами,
для которых выполняется условие 4 23 0ω ± ⋅ω = , о котором со-
общалось ранее в [29], существуют резонансы третьего порядка
между (2m+1) неосесиммтеричными модами, связанными с m-ой
осесимметричной модой. Возбуждение таких резонансов и может
привести к вращению капли как целого. В [4] в рамках Лагранже-
ва метода исследованы резонансные взаимодействия между не-
осесиммтеричными модами, связанными с третьей модой (m=3),
а также между второй (n=2) и четвертой (n=4) модами с учетом
влияния связанных с ними неосесимметричных мод. Показано,
что при начальном возбуждении третьей осесимметричной моды
(n=3, m=0) неосесимметричная тессеральная мода ∼ 2
3 ( , )P θ ϕ ,
(т.е. n=3, m=2) претерпевает неустойчивость, что в итоге может
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

10. 10
привести к вращению капли как целого. Для ситуации начального
возбуждения второй (n=2) и четвертой (n=4) мод, резонансно
между собой взаимодействующих, претерпевает неустойчивость
неосесимметричная тессеральная мода ∼ ),(2
4 ϕθP , (т.е. n=4, m=2),
что также может привести к вращению капли как целого. Тем не
менее результаты [4] вызывают сомнение, поскольку нелинейная
поправка к частоте третьей моды, полученная в [4], отличается от
найденной ранее в строгом гидродинамическом анализе [29], и
сами авторы [4] говорят, что результаты их последнего расчета
нуждаются в независимой проверке на предмет наличия ошибок.
Сама идея возможности перекачки без постороннего силового
воздействия энергии из осесимметричных мод капли в неосесим-
метричные, сопровождающаяся понижением порядка симметрии
реализующихся осцилляций, представляется сомнительной. Тем
не менее для системы взаимодействующих точечных осциллято-
ров (а также для многомодовых вторичных комбинационных ре-
зонансов между модами осцилляций заряженной капли) перекач-
ка энергии из высоких мод в низкие имеет место, и этот
фен6омен даже получил специальное название «распадная неус-
тойчивость». В экспериментах [5 – 6] направленное силовое воз-
действие на каплю со стороны акустического поля имело место, и
возникновение в итоге вращения капли как целого не представля-
ется необычным, чего нельзя сказать о проводимом в [4] анализе.
Следует отметить, что сама идея возможности внутреннего
резонансного взаимодействия мод осцилляций с различной сим-
метрией не вызывает никаких возражений. Тщательного рассмот-
рения требует вопрос о направлении перекачки энергии при реа-
лизации внутреннего резонансного взаимодействия. Во всех вы-
ше цитированных работах при упоминании о нелинейном
внутреннем резонансном взаимодействии мод речь шла о так на-
зываемом «вырожденном» трехмодовом резонансе, когда одна
мода дважды взаимодействует с другой, но только лишь о факте
существования такого взаимодействия. В реальности вырожден-
ное внутреннее нелинейное резонансное взаимодействие мод об-
ладает асимметрией и энергия, запасенная в модах, определяю-
щих начальную деформацию капли, перекачивается только из
мод с малыми номерами в моды с большими номерами. Обратная
перекачка энергии из высоких мод в низкие идет лишь в рамках
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

11. 11
той доли энергии, которая поступила из низких мод в высокие.
Если же в реальности взаимодействуют три моды с различными
номерами, то говорят уже о вторичном комбинационном резо-
нансе, при котором возможна перекачка энергии из определяю-
щих начальную деформацию капли мод с высокими номерами в
моду с низким номером, отсутствующую в спектре мод, опреде-
ляющих начальную деформацию.
Вопрос о направлении перекачки энергии между резонансно
взаимодействующими модами осцилляций капли с различной
симметрией до настоящего времени не исследовался, но такое ис-
следование выполнено для волн на поверхности заряженной
струи идеальной несжимаемой жидкости [30]. Выяснилось, что
перекачка энергии из неосесимметричной моды в осесимметрич-
ную может иметь место, но обратный перенос, соответствующий
распадной неустойчивости, не реализуется, что совершенно не-
понятно. Примерно таково же положение дел для резонансного
обмена энергией между модами нелинейно-осциллирующей кап-
ли, движущейся относительно среды [31]: распадная неустойчи-
вость не имеет места.
Все аналитические исследования [2, 24 – 33] нелинейной ди-
намики поверхности капли проводились в рамках модели идеаль-
ной жидкости. Лишь в работе [23, 56] при расчетах численными
методами было учтено влияние вязкости жидкости на осцилля-
ции формы капли. В [23] получено, что даже наличие малой вяз-
кости существенным образом сказывается на резонансном взаи-
модействии отдельных мод колебаний. В [56] проведено деталь-
ное численное исследование нелинейных осцилляций капли
жидкости с произвольной вязкостью. Большая часть результатов,
полученных в [56], была предсказуема из общефизических сооб-
ражений. Широкому применению результатов численных анали-
зов, как обычно, препятствует их малая общность, и вопрос о не-
обходимости проведения аналитических расчетов нелинейных
осцилляций заряженных капель остается на повестке дня.
Одним из интереснейших явлений, тесно связанных с осцил-
ляциями и неустойчивостью заряженных капель, является воз-
никновение огней св. Эльма (ОСЭ). В 93% случаев это зажигание
ОСЭ обусловлено неустойчивостью капель и пленок воды в элек-
трическом поле [57 – 58]. На нелинейной стадии этой неустойчи-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

12. 12
вости с поверхности жидкости начинается эмиссия сильно заря-
женных высокодисперсных капелек, в окрестности которых за-
жигается самоподдерживающийся за счет фотоионизации корон-
ный разряд, что и объясняет наблюдающееся свечение. Интерес-
но, что появление ОСЭ на самолетах, летящих в облаках, всегда
сопровождается интенсивными радиопомехами. Из общефизиче-
ских соображений можно выделить два источника радиоизлуче-
ния ОСЭ: коронный разряд в окрестности эмиттированных ка-
пель и капиллярные осцилляции капелек, несущих электрический
заряд [59 –60]. Радиоизлучение коронного разряда изучено хоро-
шо. Достаточно подробно разработана и теория электромагнит-
ного излучения от линейно осциллирующей капли [60]. Поэтому
в настоящем исследовании основное внимание будет уделено
оценке интенсивности радиоизлучения, связанного с нелинейны-
ми колебаниями заряженных капель.
Другой примечательный пример применения теории колеба-
ний заряженной капли связан с исследованием взаимодействия
звуковых волн с жидко-капельными системами. В этом случае,
как правило, пренебрегают наличием у капель внутренних степе-
ней свободы, связанных с капиллярными колебаниями капель,
хотя хорошо известно, что частоты капиллярных колебаний ка-
пель с размерами, характерными для жидко-капельных систем
естественного происхождения (туманов, облаков, дождя), прихо-
дятся на диапазоны частот звуковых волн и длинноволновых
ультразвуковых (см., например, [45, 61 –62] и указанную в них
литературу). Наличие на каплях электрического заряда, отклоне-
ние формы капель от сферической, движение капель относитель-
но внешней среды, учет их вязкости приводят к смещению спек-
тра капиллярных колебаний в область более низких значений [45,
65 – 66], т.е. в область звуковых волн, воспринимаемых слухом.
Подводя итог вышесказанному, отметим, что, несмотря на
обилие теоретических и экспериментальных исследований нели-
нейных осцилляций заряженных капель, многие вопросы, с ними
связанные, остались слабо освещенными. В этой связи представ-
ляется необходимым и своевременным более детальное ознаком-
ление с характерными постановками задач и математическими
методами, используемыми при анализе нелинейных осцилляций
заряженных капель.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

13. 13
2. Анализ нелинейных осцилляций
заряженной капли идеальной жидкости
во втором порядке малости
по амплитуде исходной деформации
2.1. Нелинейные осцилляции деформированной
в начальный момент времени заряженной капли
1. Пусть в начальный момент времени t=0 равновесная сфе-
рическая с радиусом R капля идеальной, несжимаемой идеально
проводящей жидкости с плотностью ρ, коэффициентом поверх-
ностного натяжения γ и электрическим зарядом Q, распределен-
ным по ее поверхности, претерпевает виртуальное осесиммет-
ричное возмущение фиксированной амплитуды, меньшей радиу-
са капли. Зададимся целью исследовать эволюцию во времени
формы поверхности такой капли, которая при t > 0 будет со-
вершать нелинейные осцилляции в окрестности равновесной
сферической формы.
Очевидно, что капля будет осесимметричной как в началь-
ный, так и во все последующие моменты времени и уравнение,
описывающее ее поверхность в сферической системе координат с
началом в центре масс капли в безразмерных переменных, в ко-
торых R 1ρ = = γ = , можно записать в виде
( ) ( )r ,t 1 ,tθ = + ξ θ ; | | 1ξ << . (1)
Движение жидкости в капле будем полагать потенциальным
с потенциалом поля скоростей движения жидкости в капле
( ),ψ

r t ; само поле скоростей ( ),
 
V r t при этом определяется через
градиент потенциала ( ) ( )( ), ,= ψ
  
V r t grad r t . Принимая, что ско-
рости гидродинамических движений жидкости в капле много
меньше скорости распространения электромагнитных взаимодей-
ствий, электрическое поле заряда Q в окрестности капли будем
считать электростатическим [59] и станем описывать его с помо-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

14. 14
щью потенциала ( ),Φ

r t , с которым напряженность поля

E свя-
зана известным соотношением ( )= − Φ

E grad .
Математическая формулировка решаемой задачи имеет вид:
Δψ ( t,r

)= 0; )t,r(

ΔΦ ; (2)
r→0: ψ ( t,r

) → 0; (3)
r → ∞: ( )( )| , | 0grad Φ r t →

; (4)
r=1 + ξ(θ, t): 2
1
;
t r r
∂ ∂ ∂
= −
∂ ∂ ∂
ξ ψ ψ
θ
(5)
;ndiv)(
8
1
)(
2
1
t
p 22 
=∇+∇−
∂
∂
− Φ
π
ψ
ψ
Δ (6)
Φ(r, θ, t) = const; (7)

v
,ddsindrr πϕθθ
3
42
=
v =[ ]πϕπθθξ 20010 ≤≤≤≤+≤≤ ,),t,(r (8)
0sin3
= ϕθθ dddrre
V
r

; (9)
[ ]
1
( ) , 1 ( , ), 0 , 0 2 ;
4 s
n ds Q s r tξ θ θ π ϕ π
π
− ⋅∇Φ = = = + ≤ ≤ ≤ ≤

 (10)
t=0: 
∈
++=
Ξ
μεμξμξθξ
i
ii1100 );(Ph)(P)(P)( 
∈
=
Ξi
i ;1h
( , )
0
t
t
∂
=
∂
ξ θ
; cos=μ θ . (11)
Поскольку условия (8) – (9) должны выполняться в любой
момент времени, в том числе и в начальный, то при t=0 они опре-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

15. 15
деляют амплитуды нулевой и первой мод в разложении началь-
ного возмущения равновесной сферической формы поверхности
капли ( )θξ в ряд по полиномам Лежандра, т.е. амплитуды нуле-
вой и первой мод не могут быть произвольны, но будут зависеть
от вида начальной деформации.
В выражениях (6)-(11) введены обозначения: pΔ – перепад
постоянных давлений внутри и вне капли в состоянии равнове-
сия; n

– единичный вектор нормали к поверхности (1); ε – без-
размерная амплитуда начального возмущения формы поверхно-
сти капли, являющаяся малым параметром задачи; ( )μiP – поли-
номы Лежандра порядка i; ih – коэффициенты, определяющие
парциальный вклад i-ой колебательной моды в суммарное на-
чальное возмущение; Ξ – множество значений номеров изна-
чально возбужденных колебательных мод; 0ξ и 1ξ – константы,
определяемые из условий (8) и (9) в начальный момент времени и
с точностью до слагаемых второго порядка малости по ε , равные:
( )
( )3
1
2
2
0
12
εεξ O
i
h
m
i
+
+
−≈ 
∞
=
;
( )( )
( )
Ξ∈
−
+
+−
−≈
i
ii
O
ii
hhi 312
1
1212
9
εεξ . (12)
2. Для отыскания решения поставленной задачи воспользу-
емся методом многих масштабов, как это делалось в задачах это-
го типа в [1,32]. Искомые функции ( )t,θξ , ( )tr,

ψ , ( )tr,

Φ предста-
вим в виде рядов по степеням малого параметра ε и будем счи-
тать зависящими не просто от времени t, а от разных его
масштабов, определенных через малый параметр ε : tm
m ε≡Τ :
( ) ( )
( )
∞
=
=
1
10 ,...,,,
m
mm
TTt θξεθξ ; ( ) ( )
( )
∞
=
=
1
10 ,...,,,,
m
mm
TTrtr θψεψ

;
( ) ( )
( )
∞
=
Φ=Φ
0
10 ,...,,,,
m
mm
TTrtr θε

. (13)
Ограничимся рассмотрением поставленной задачи в квадра-
тичном по ε приближении, в рамках которого можно опреде-
лить зависимость искомых величин от двух временных масшта-
бов Т0 и Т1.
Подставляя разложения (13) в систему (2) – (11) и приравни-
вая слагаемые, содержащие одинаковую степень параметра ε ,
получим набор краевых задач для определения функций ( )m
ξ , ( )m
ψ ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

16. 16
( )m
Φ . Очевидно, что линейным уравнениям (2) должна удовлетво-
рять каждая из функций ( )m
ψ , ( )m
Φ .
В нулевом порядке малости несложно найти выражение для
электростатического потенциала в окрестности равновесной сфе-
рической капли, обладающей зарядом Q :
( )
rQ/0
=Φ .
Решения уравнений (2) для функций первого и второго по-
рядков малости, удовлетворяющие условиям ограниченности (3),
(4), запишем в виде
( )
( ) ( )
( ) ( )
∞
=
⋅⋅=
1
010 1
,,,,
n
n
nm
n
m
PrTTDTTr μθψ , ( )2;1=m ;
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
∞
=
+−
⋅⋅=Φ
0
1
010 1
,,,,
n
n
nm
n
m
PrTTFTTr μθ . (14)
Последовательные поправки к равновесной поверхности кап-
ли также представим в виде разложений по полиномам Лежанд-
ра:
( )
( ) ( )
( ) ( )
∞
=
⋅=
0
010 1
,,,
n
n
m
n
m
PTTMTT μθξ ; ( )2,1=m . (15)
Подставляя решения (14), (15) при 1=m в систему граничных
условий первого порядка малости, полученную из (5) – (7) после
соответствующих преобразований, получим дифференциальные
уравнения относительно коэффициентов ( )
( )10
1
,TTMn :
( )
( ) ( )
( ) 0,
,
10
12
2
0
10
12
=+
∂
∂
TTM
T
TTM
nn
n
ω ; ( )( )Wnnnn −+−= )2(12
ω ;
π4
2
Q
W = . (16)
Решением уравнений (16) являются гармонические функции
с коэффициентами, зависящими от времени 1T :
( ) ( ) ( ) .;.exp, 01
1
10
)1(
скTiTATTM nnn +⋅⋅⋅= ω )2( ≥n (17)
( ) ( ) ( )
( )( )1
1
1
)1(
1
1
exp TbiTaTA nnn ⋅⋅= .
Здесь и далее аббревиатура "к.с." обозначает слагаемые, ком-
плексно сопряженные к выписанным; ( )1
)1(
Tan и ( )1
1
Tbn – вещест-
венные функции, зависимость которых от времени 1T может быть
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

17. 17
определена только при рассмотрении задачи следующего порядка
малости.
Из условий (9), (10), записанных в линейном по малой вели-
чине ε приближении, следует, что
( )
( ) 0, 10
1
0 =TTM ; ( )
( ) 0, 10
1
1 =TTM (18)
Отметим, что формально выражения (18) не противоречат
уравнениям (16) для n=0 и n=1.
Удовлетворяя начальным условиям (11) в первом приближе-
нии по ε , получим
( ) ii ha
2
1
0)1(
= ; ( ) 00)1(
=ib ; ( )Ξ∈i ;
( ) 00)1(
=na ; ( ) 00)1(
=nb ; ( )Ξ∉n . (19)
Решения первого порядка (17), (18) и решения (14), (15) при
m=2 подставим в найденную из (5) – (7) систему граничных ус-
ловий второго порядка малости и после громоздких преобразова-
ний получим уравнение относительно коэффициентов ( )
( )10
2
,TTMn :
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )+⋅⋅⋅⋅⋅−=+
∂
∂
0
1
1
1
10
12
2
0
10
22
exp2,
,
Ti
dT
TdA
iTTM
T
TTM
n
n
nn
n
ωωω
( ) ( ) ( ) ( )( )
∞
=
∞
= 


++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
1 2
01
1
1
1
exp
l m
mlmlmnlmlmnl TiTATA ωωηωωγ
( ) ( ) ( ) ( )( )



+−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−+ ..exp 01
1
1
1
скTiTATA mlmlmnlmlmnl ωωηωωγ ; (20)
+



++−−++−+++−=
2
W
n)3)7n2i2(i)1i(j()1)1j(j(n2)1in(K 2
iijnijn ωγ
+ ;
2
W
n
i
1 2
iijn 



+ωα ;
2
1
1
1
2 





++





+−=
j
n
i
i
n
K ijnijnijn αη
[ ] ;CK
20n
0j0iijjn = .)1()1( 0
1)1(
0
00
n
ji
n
jiijjn CCjjii −++−=α
Здесь 0
1)1(
0
00
n
ji
n
ji CC − – коэффициенты Клебша – Гордана [64].
Они отличны от нуля, только если нижние индексы удовлетво-
ряют следующим соотношениям:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

18. 18
( )jinji +≤≤− || ; ( ) gnji 2=++ . (21)
Поэтому во втором порядке малости будут возбуждаться ко-
лебания мод, номера которых удовлетворяют (21).
3. Из вида правой части (20) можно заметить, что если для
каких либо трех мод колебаний поверхности капли с номерами
kqp ,, выполняется одно из соотношений
kqp ωωω =+ ; kqp ωωω =− , (22)
то в соответствии с общей идеологией метода многих масштабов
эти моды вступают в резонансное взаимодействие, при этом го-
ворят о вторичном (поскольку проявляется лишь во втором по-
рядке малости) комбинационном резонансе.
Заметим, что согласно (16) значения частот собственных ко-
лебаний поверхности капли nω зависят от величины заряда на ка-
пле (от параметра W). Причем при значении Wcr = 4 частота коле-
баний основной моды (с n=2) обращается в ноль, дальнейшее же
увеличение W приводит к тому, что поверхность капли становит-
ся неустойчивой по отношению к собственному заряду. Поэтому
вторичные резонансы оказывают влияние на нелинейные осцил-
ляции капли, и их имеет смысл исследовать только в том случае,
если соотношения (22) выполняются при W < Wcr. В работе [29]
был обнаружен один резонанс подобного типа, для случая когда
46 2ωω = , а в [65 – 66] показано, что общее количество резонансов
при W < 4 весьма велико, и при 100,, <kqp их количество измеря-
ется сотнями.
Пусть индекс n нумерует моды, возбуждающиеся за счет не-
линейного взаимодействия во втором порядке малости, а индексы
qpk ,, нумеруют моды, связанные резонансным взаимодействием.
Рассмотрим вначале случай qpkn ,,≠ , т.е. когда мода n не
связана никаким резонансным соотношением, а условие исклю-
чения секулярных членов и членов с малыми знаменателями из
решения уравнения (20) имеет простой вид:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

19. 19
( )1
1
0ndA T
dt
= .
Из этого равенства, используя выражение для ( )1
1
TAn через
скалярные функции ( )1
)1(
Tan и ( )1
)1(
Tbn (см. (18)) и требуя обращения
в ноль действительной и мнимой частей, несложно получить
( ) ( ) 01
)1(
1
)1(
==
dt
Tdb
dt
Tda nn
.
Эти равенства означают, что ( )1
)1(
Tan и ( )1
)1(
Tbn не зависят от
медленного времени T1 и в рамках рассмотрения задачи с учетом
лишь второго порядка малости их можно считать константами,
равными своим начальным значениям (19). Выражение (17) для
коэффициентов первого порядка малости ( )tMn
)1(
в разложении
возмущения формы равновесной поверхности ( )
( )t,1
θξ в ряд по
полиномам Лежандра (15) примет вид
( ) ( )thtM iiinn ⋅⋅⋅= ωδ cos,
)1(
; qpkni ,,; ≠Ξ∈ , (23)
in,δ – дельта-символ Кронекера. Амплитуды поправок второ-
го порядка малости, получаемые при решении уравнения (19), в
рассматриваемой ситуации примут вид
( )
( ) ( )
( ) ( ) +









⋅+−⋅





⋅++⋅⋅= 
Ξ∈ Ξ∈
+
i j
jinjinnjijin tthhtM ωωωωωωλ
2
1
sin
2
1
sin2
( )
( ) ( )









⋅+−⋅





⋅−+⋅+ −
tt jinjinnji ωωωωωωλ
2
1
sin
2
1
sin ;
( )2; , ,n n p q k≥ ≠
( )
( ) ( )( )
122
i j n i j n i j i j n n i j
−
±
≡ ± ⋅ ⋅ ⋅ − ±λ γ ω ω η ω ω ω (24)
Заметим, что из соотношений для ( )±
njiλ следует, что выраже-
ние для амплитуды добавки второго порядка малости ( )
( )tMn
2
при
выполнении условия
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

20. 20
( )
22
0n i j− ± =ω ω ω (22a)
будет содержать малые знаменатели. Считая, что 0>nω , несложно
увидеть, что это равенство эквивалентно (22), т.е. условию реали-
зации внутреннего трехмодового комбинационного резонанса.
4. Выражения (23), (24), подставленные в (15), дают закон
эволюции поверхности заряженной капли во времени, если ха-
рактер взаимодействия между изначально возбужденными мода-
ми не резонансный:
 
Ξ∈
∞
=
Ο+++=
j n
nnjj PMPMtr
0
3)2(2)1(
)()()(1),( εμεμεθ ;
);tcos(hM ii
)1(
i ω= ));t2cos(1(
)1i2(
h
2
1
M i
i
i)2(
0 ω
Ξ
+
+
−= 
∈
);tcos()tcos(
)1i2)(1i2(
hih9
M 1ii
i
i1i)2(
1 −
∈
−
 +−
−= ωω
Ξ
[ ];)tcos()(N)t(NM nnn
)(
n ω02
−= n > 2;
( ) ( )
,
1
( ) cos(( ) ) cos(( ) )
2
n i j ijn i j ijn i j
i j
N t h h t t+ −
∈Ξ
 = + + −  λ ω ω λ ω ω .
Анализ полученных соотношений показывает, что начальное
возмущение (четной либо нечетной) одиночной моды m капил-
лярных колебаний приводит к возбуждению во втором порядке
малости только четных мод с номерами, лежащими в диапазоне
[0; m]. Численный анализ по (24) показывает, что в противоречии
с предсказаниями линейной теории независимо от вида началь-
ной деформации равновесной сферической формы капли, несу-
щей заряд, близкий к критическому, но меньший его, неустойчи-
вость по отношению к собственному заряду может быть реализо-
вана через быстрое нарастание амплитуды основной моды (n=2),
возбуждающейся во втором порядке малости за счет нелинейного
взаимодействия, даже если основная мода не входит в спектр
мод, определяющих начальную деформацию. Этот вывод качест-
венно согласуется с данными работы [51], посвященной числен-
ному расчету нелинейных осцилляций заряженной капли. Когда
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

21. 21
начальная деформация капли определена пятой модой, имеется и
количественное согласие полученных выше временных зависи-
мостей амплитуд мод, возбужденных во втором порядке малости
с работой [2].
Расчеты показывают, что скорость увеличения амплитуды
основной моды увеличивается с ростом номера моды, опреде-
ляющей начальную деформацию. С увеличением номера моды,
начальное возмущение которой определяет исходное возмущение
равновесной сферической формы, растет и количество мод ка-
пиллярных осцилляций заряженной капли, возбуждающихся за
счет взаимодействия.
Когда начальное возмущение равновесной формы определе-
но четными полиномами Лежандра, то образующая формы капли
в любой момент времени строится из четных же полиномов Ле-
жандра и имеет симметричный относительно начала координат
вид. При достаточно большом значении времени t (лежащем на
границе интервала равномерности решения по t) капля проявляет
тенденцию к делению на две равные части. Если же начальное
возмущение связано с нечетными полиномами Лежандра, то
форма капли в любой последующий момент времени асиммет-
рична относительно начала координат, несмотря на то что за счет
взаимодействия мод во втором порядке малости по ε возбужда-
ются только четные моды. При больших значениях времени t та-
кая капля проявляет тенденцию к асимметричному делению.
Взаимодействие вырожденного резонансного типа возникает
между модами во втором порядке малости, когда начальная де-
формация капли определена одной модой, а частоты взаимодей-
ствующих мод при некотором значении заряда Q удовлетворяют
соотношению 222
nm j ωω ⋅= , где j – целое число, nm ≠ . В результате
такого взаимодействия амплитуда одной из взаимодействующих
мод растет со временем, а другой – уменьшается.
5. Расчеты показывают, что независимо от вида начальной
деформации наиболее быстро растет амплитуда основной моды
капиллярных колебаний. Поскольку использованная процедура
расчета обеспечивает пригодность полученных выражений до тех
пор, пока амплитуда мод, возбужденных во втором порядке мало-
сти, не сравняется с амплитудой начального возмущения, то уве-
личение амплитуды основной моды до величины порядка ε будет
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

22. 22
соответствовать вытягиванию капли в сфероид с квадратом экс-
центриситета 22
25.53 εε −≈e [67]. Несложно видеть, что даже при
малых значениях ε ~ 0.1 это приведет к заметному удлинению ка-
пли и к снижению критических условий реализации неустойчиво-
сти капли по отношению к собственному заряду, которые для
сфероидальной капли в линейном по 2
e приближении имеют вид
( ) ( ) ( )( )7/25.432147/214 222
* εε ⋅−−≈−= eeW .
Таким образом, если параметр Рэлея W капли близок к кри-
тическому, то может реализовываться неустойчивость капли. Ес-
ли капля характеризуется некоторым значением параметра Рэлея
+=WW , достаточно близким к критическому 4=W , но меньшим
его, то из приведенного выражения для ( )2
* eW можно найти теку-
щую безразмерную амплитуду основной моды 2a , при достиже-
нии которой капля претерпит неустойчивость:
( )+⋅−⋅−≈ W..
.
a 17811781
53
1
2 .
Так, при 6.3=W капля станет неустойчивой, когда безразмер-
ная амплитуда основной моды достигнет величины 16.0≈a . При
этом капля сбросит часть своего заряда путем эмиссии значи-
тельного количества сильно заряженных высокодисперсных ка-
пелек [42 – 45, 68].
2.2. Внутреннее нелинейное резонансное трехмодовое
вырожденное и вторичное комбинационное
взаимодействие мод осцилляций заряженной капли
1. Внутреннее нелинейное резонансное взаимодействие мод
осцилляций заряженной капли электропроводной несжимаемой
жидкости среди прочих нелинейных эффектов, связанных с не-
линейными осцилляциями капли, занимает в проводимых иссле-
дованиях видное место: начиная с первых работ на эту тему, поя-
вившихся двадцать лет назад [1, 3 – 4, 24, 29] и до настоящего
времени [2, 19, 21 – 22, 69 – 77], более трех четвертей публикаций
так или иначе его затрагивают. Причина такого интереса в том,
что резонансное взаимодействие обеспечивает наиболее быстрое
и эффективное перераспределение энергии начальной деформа-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

23. 23
ции капли между модами, возбуждающимися за счет нелинейно-
го взаимодействия, и тем самым оказывает определяющее влия-
ние как на закономерности реализации нелинейных осцилляций
(и связанными с ними акустическим и электромагнитным излу-
чениями [71, 73]), так и на закономерности распада капли, несу-
щей заряд, близкий к критическому в смысле линейной устойчи-
вости [2, 24, 29, 70, 74, 76]. Но, несмотря на значительное количе-
ство публикаций, посвященных резонансному взаимодействию
мод, на многие вопросы, с ним связанные, ответа пока не получе-
но. Так, до сих пор не исследован вопрос о направлении перекач-
ки энергии между модами при резонансном взаимодействии.
Первыми были открыты и исследованы так называемые вырож-
денные трехмодовые резонансы [1, 3, 29], в которых одна из двух
взаимодействующих мод дважды взаимодействует с другой. В
[69, 75] было показано, что в таких резонансах энергия перекачи-
вается только в направлении от низких мод к высоким, что, во-
обще говоря, не согласуется с представлениями о «распадной не-
устойчивости» при трехмодовых взаимодействиях [78]. В работе
[72] было обнаружено, что распадная неустойчивость может
иметь место при истинно трехмодовых резонансах (вторичных
комбинационных резонансах): было показано, что существует не-
сколько резонансных ситуаций, в которых энергия перекачивает-
ся из высоких мод в третью, но особенности такого взаимодейст-
вия (характерное время взаимодействия и его глубина) исследо-
ваны не были. В [72] было показано, что в четырехмодовых
взаимодействиях энергия также может перекачиваться от высо-
ких мод к низким, но с малой интенсивностью, поскольку эти
взаимодействия реализуются только в третьем порядке малости.
Исследование возможности перекачки энергии из высоких мод
нелинейных осцилляций к низким (точнее говоря, к основной
моде) представляет существенный интерес в связи с обсуждаю-
щимся в научной литературе механизме инициировании разряда
молнии коронным разрядом в окрестности крупной сильно заря-
женной капли [74, 77].
В связи с вышесказанным в настоящей работе проводится ис-
следование закономерностей перераспределения энергии между
модами в вырожденных и во вторичных комбинационных резо-
нансах при трехмодовом взаимодействии.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

24. 24
2. Рассмотрим эволюцию во времени формы поверхности не-
линейно-осциллирующей капли идеальной, несжимаемой, иде-
ально проводящей жидкости с плотностью ρ , коэффициентом
поверхностного натяжения γ и электрическим зарядом Q , одно-
родно распределенным по ее поверхности. В начальный момент
времени t=0 равновесная сферическая форма капли с радиусом R
претерпевает осесимметричное возмущение фиксированной ам-
плитуды, существенно меньшей радиуса капли. Зададимся целью
найти спектр возникающих капиллярных осцилляций капли
(форму капли) при 0t > .
Примем, что форма капли осесимметрична как в начальный,
так и во все последующие моменты времени, и уравнение, опи-
сывающее ее поверхность, в сферической системе координат с
началом в центре масс капли в безразмерных переменных, в ко-
торых 1=== γρ R , имеет вид
( ) ( )ttr ,1, θξθ += ; 1|| <<ξ . (1)
Движение жидкости в капле будем полагать потенциальным
с потенциалом поля скоростей движения жидкости в капле ( )tr,

ψ ;
само поле скоростей ( )trV ,

при этом определяется через градиент
потенциала ( ) ( )( )trgradtrV ,,

ψ= . Принимая, что скорости гидроди-
намических движений жидкости в капле много меньше скорости
распространения электромагнитных взаимодействий, электриче-
ское поле заряда Q в окрестности капли будем считать электро-
статическим и станем описывать его с помощью потенциала
( )tr,

Φ , с которым напряженность поля E

связана известным со-
отношением ( )Φ−= gradE

.
Математическая формулировка решаемой задачи имеет вид:
Δψ ( t,r

)= 0; )t,r(

ΔΦ ; (2)
r→0: ψ ( t,r

) → 0; (3)
r → ∞: ( )( ) 0|,| →trΦgrad

; (4)
r=1 + ξ(θ, t): ;
r
1
rt 2
θ
ψψξ
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
(5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

25. 25
2 21 1
( ) ( )
2 8
p div n
t
∂
Δ − − ∇ + ∇Φ =
∂
ψ
ψ
π
; (6)
Φ(r, θ, t) = const ; (7)
 =
V
,ddsindrr
π
ϕθθ
3
42
[ ]πϕπθθξ 20010 ≤≤≤≤+≤≤= ,),t,(rV ; (8)
03
=⋅ ϕθθ ddsindrre
V
r

; (9)
[ ]
1
( ) , 1 ( , ), 0 , 0 2 ;
4 S
n ds Q S r t− •∇Φ = = = + ≤ ≤ ≤ ≤

 ξ θ θ π ϕ π
π
(10)
t=0: 
Ξ∈
++=
i
ii PhPP );()()()( 1100 μεμξμξθξ 
Ξ∈
=
i
ih ;1 0
),(
=
∂
∂
t
tθξ
. (11)
Поскольку условия (8) – (9) должны выполняться в любой
момент времени, в том числе и в начальный, то при t = 0 они оп-
ределяют амплитуды нулевой и первой мод в разложении на-
чального возмущения равновесной сферической формы поверх-
ности капли ( )θξ в ряд по полиномам Лежандра, т.е. амплитуды
нулевой и первой мод не могут быть произвольны, но будут зави-
сеть от вида начальной деформации.
В выражениях (6) – (11) введены обозначения: θμ cos= ;
pΔ – перепад постоянных давлений внутри и вне капли в состоя-
нии равновесия; n

– единичный вектор нормали к поверхности
(1); ε – амплитуда начального возмущения формы поверхности
капли, являющаяся малым параметром задачи; ( )μiP – полиномы
Лежандра порядка i; ih – коэффициенты, определяющие парци-
альный вклад i-й колебательной моды в суммарное начальное
возмущение;
Ξ
– множество значений номеров изначально воз-
бужденных колебательных мод; 0ξ и 1ξ – константы, определяе-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

26. 26
мые из условий (8) и (9) в начальный момент времени, с точно-
стью до слагаемых второго порядка малости по ε , равные
( )
( )3
1
2
2
0
12
εεξ O
i
h
m
i
+
+
−≈ 
∞
=
;
( )( )
( )
∈
−
+
+−
−≈
Ξ
εεξ
i
ii
O
ii
hhi 312
1
1212
9
. (12)
3. Для отыскания решения поставленной задачи воспользу-
емся методом многих масштабов, как это делалось в задачах это-
го типа в [2, 19, 21, 24, 29, 69 – 77]. Искомые функции ( )t,θξ ,
( )t,r

ψ , ( )t,r

Φ представим в виде рядов по степеням малого па-
раметра ε и будем считать зависящими не просто от времени t, а
от разных его масштабов, определенных через малый параметр
ε : tm
m εΤ ≡ :
( ) ( )
( )
∞
=
=
1
10
m
mm
,...T,T,t, θξεθξ ; ( ) ( )
( )
∞
=
=
1
10
m
mm
,...T,T,,rt,r θψεψ

;
( ) ( )
( )
∞
=
=
0
10
m
mm
,...T,T,,rt,r θΦεΦ

. (13)
Ограничимся рассмотрением поставленной задачи в квадра-
тичном приближении, в рамках которого можно определить зави-
симость искомых величин от двух временных масштабов 0T и 1T .
Подставляя разложения (13) в систему (2) – (11) и приравни-
вая слагаемые, содержащие одинаковые степени параметра ε ,
получим набор краевых задач для определения функций ( )m
ξ ,
( )m
ψ , ( )m
Φ . Очевидно, что линейным уравнениям (2) должна
удовлетворять каждая из функций ( )m
ψ , ( )m
Φ .
В нулевом порядке малости получим выражения для элек-
тростатического потенциала в окрестности равновесной сфериче-
ской капли, обладающей зарядом Q : ( )
r/Q=0
Φ .
Решения уравнений (2) для функций первого и второго по-
рядков малости, удовлетворяющие условиям ограниченности (3),
(4), запишем в виде
( )
( ) ( )
( ) ( )
∞
=
⋅⋅=
1
010 1
n
n
nm
n
m
PrT,TDT,T,,r μθψ , ( )1;2=m ;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

27. 27
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
∞
=
+−
⋅⋅=
0
1
010 1
n
n
nm
n
m
PrT,TFT,T,,r μθΦ . (14)
Последовательные поправки к равновесной поверхности кап-
ли также представим в виде разложений по полиномам Лежанд-
ра:
( )
( ) ( )
( ) ( )
∞
=
⋅=
0
010 1
n
n
m
n
m
PT,TMT,T, μθξ ; ( )21,m = . (15)
Подставляя решения (14), (15) при 1=m в систему граничных
условий первого порядка малости, полученную из (5) – (7), после
соответствующих преобразований получим дифференциальные
уравнения относительно коэффициентов ( )
( )10
1
T,TM n :
( )
( ) ( )
( ) 010
12
2
0
10
1
=+
∂
∂
T,TM
T
T,TM
nn
n
ω ;
( )( )W)n(nnn −+−= 212
ω ;
π4
2
Q
W = . (16)
Решением уравнений (16) являются гармонические функции
(для 2≥n ) с коэффициентами, зависящими от времени 1T :
( ) ( ) ( ) .;с.кTiexpTAT,TM n
)(
n
)(
n +⋅⋅⋅= 01
1
10
1
ω
( ) ( ) ( )
( )( )1
1
1
1
1
1
TbiexpTaTA nn
)(
n ⋅⋅= . (17)
Здесь и далее аббревиатура "к.с." обозначает слагаемые, ком-
плексно сопряженные к выписанным; ( )1
1
Ta )(
n и ( )1
1
Tb )(
n – веще-
ственные функции, зависимость которых от времени 1T может
быть определена только при рассмотрении задачи следующего
порядка малости.
Из условий (9), (10), записанных в линейном по малой вели-
чине ε приближении, следует, что
( )
( ) 010
1
0 =T,TM ; ( )
( ) 010
1
1 =T,TM (18)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

28. 28
Отметим, что формально выражения (18) не противоречат
уравнениям (16) для n=0 и n=1.
Удовлетворяя начальным условиям (11) в первом приближе-
нии по ε , получим
( ) i
)(
i ha
2
1
01
= ; ( ) 001
=)(
ib ; ( )Ξ∈i ;
( ) 001
=)(
na ; ( ) 001
=)(
nb ; ( )
Ξ
∉n . (19)
Решения первого порядка (17), (18) и решения (14), (15) при
m=2 подставим в полученную из (5) – (7) систему граничных ус-
ловий второго порядка малости и после громоздких преобразова-
ний получим уравнение относительно неизвестных коэффициен-
тов ( )
( )10
2
T,TM n :
( )
( ) ( )
( )
( )
( )+⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅+
∂
∂
0
1
1
1
10
12
2
0
10
2
2 Tiexp
dT
TdA
iT,TM
T
T,TM
n
)(
n
nnn
n
ωωω
( ) ( ) ( ) ( )( ){ 
∞
=
∞
=
++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++
2 2
01
1
1
1
l m
ml
)(
m
)(
lmnlmlmnl TiexpTATA ωωηωωγ
( ) ( ) ( ) ( )( )



+−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−+ .с.кTiexpTATA ml
)(
m
)(
lmnlmlmnl 01
1
1
1
ωωηωωγ ;
(20)
+



++−−++−+++−=
2
372211121
2 W
n))ni(i)i(j())j(j(n)in(iijnKijn ωγ
+ ;
W
nii
ijn 



+
2
21
ωα ;
j
n
i
ijn)i
n
ijnKijn 











+++−=
2
1
1
1
2
αη
[ ] ;
n
jiCijnK
20
00= .n
j)(iC
n
jiC)j(j)i(iijn
0
11
0
0011 −++−=α
Здесь 0
11
0
00
n
j)(iC,
n
jiC − - коэффициенты Клебша-Гордана. Они
отличны от нуля, только если нижние индексы удовлетворяют
следующим соотношениям:
( )jin|ji| +≤≤= ; ( ) gnji 2=++ . (21)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

29. 29
Поэтому во втором порядке малости будут возбуждаться
только колебания мод, номера которых удовлетворяют (21).
4. Из вида правой части (20) видно, что если для трех мод ко-
лебаний поверхности капли с номерами kqp ,, выполняется одно
из соотношений
kqp ωωω =+ ; kqp ωωω =+ , (22)
то в соответствии с общей идеологией метода многих масштабов
эти моды вступают в резонансное взаимодействие, при этом го-
ворят о вторичном (поскольку проявляется лишь во втором по-
рядке малости) комбинационном резонансе.
Заметим, что согласно (16) значения частот собственных ко-
лебаний поверхности капли nω зависят от величины заряда на ка-
пле (от параметра W). Причем при значении 4=crW частота ко-
лебаний основной моды (с n = 2) обращается в ноль, дальнейшее
же увеличение W приводит к тому, что поверхность капли стано-
вится неустойчивой по отношению к собственному заряду. По-
этому вторичные резонансы оказывают влияние на нелинейные
осцилляции капли, и их имеет смысл исследовать только в том
случае, если соотношения (22) выполняются при crWW < . В ра-
боте [29] был обнаружен резонанс подобного типа, для случая
когда 46 2ωω = , а в [70, 72, 74] показано, что общее количество
резонансов при 4<W весьма велико и при 100<k,q,p их количе-
ство измеряется сотнями.
Пусть индекс n нумерует моды, возбуждающиеся за счет не-
линейного взаимодействия во втором порядке малости, а индексы
qpk ,, нумеруют моды, связанные резонансным взаимодействием.
4а. Рассмотрим вначале случай q,p,kn ≠ , т.е. когда мода n
не связана никаким резонансным соотношением, а условие ис-
ключения секулярных членов и членов с малыми знаменателями
из решения уравнения (20) имеет простой вид:
( )
0
1
1
=
dt
T
)(
ndA
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

30. 30
Из этого равенства, используя выражение для ( )1
1
TA )(
n через
скалярные функции ( )1
1
Ta )(
n и ( )1
1
Tb )(
n (см. (18)) и требуя обраще-
ния в ноль действительной и мнимой частей, несложно получить
( ) ( )
0
1
1
1
1
==
dt
T)(
ndb
dt
T)(
nda
.
Эти равенства означают, что ( )1
1
T
)(
na и ( )1
1
T
)(
nb не зависят от
медленного времени 1T и в рамках рассмотрения задачи во вто-
ром порядке малости их можно считать константами, равными
своим начальным значениям (19). Выражение (17) для коэффици-
ентов первого порядка малости ( )t
)(
nM
1
в разложении возмуще-
ния формы равновесной поверхности ( )
( )t,θξ 1
в ряд по полино-
мам Лежандра (15) примет вид
( ) ( )ticosihi,nt
)(
nM ⋅⋅⋅= ωδ
1
; q,p,kn;i ≠∈ Ξ , (23)
i,nδ – дельта-символ Кронекера. Амплитуды поправок второ-
го порядка малости, получаемые при решении уравнения (20), в
рассматриваемой ситуации примут вид:
( )
( ) ( )
( ) ( ) +









⋅−−⋅





⋅++⋅⋅=  
∈ ∈
+
Ξ Ξ
ωωωωωωλ
i j
jinjinnjijin tsintsinhhtM
2
1
2
12
( ) ( ) ( )









⋅+−⋅





⋅−+⋅+ −
tt jinjinnji ωωωωωωλ
2
1
sin
2
1
sin ; ( )k,q,pn;n ≠≥ 2
( )
( ) ( )( ) 122 −±
±−⋅⋅⋅±≡ jinnjijinjinji ωωωηωωγλ . (24)
4b. При анализе уравнения (20) для мод с q,p,kn = , чтобы
отразить близость комбинации частот qp ωω − к частоте kω , вве-
дем параметр расстройки ( )1O~σ , определяемый соотношением
( )kkqp ⋅+=− εωωω 1 . (25)
Отметим, что параметр расстройки можно связать с величи-
ной собственного заряда капли (с величиной параметра W ), имея
в виду, что, варьируя заряд капли, можно изменять частоту ос-
цилляций, уводя ее от положения точного резонанса.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

31. 31
Если (25) подставить в (20), то в правой части уравнения (20)
для рассматриваемых случаев появятся слагаемые, содержащие
следующие сомножители:
( )( ) ( )( )=⋅⋅⋅+⋅=⋅−⋅ 00 TiexpTiexp kkqp σωεωωω
( ) ( )01 TiexpTiexp kk ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ωωσ ;
( )( ) ( )( )=⋅⋅⋅−⋅=⋅+⋅ 00 TiexpTiexp kpqk σωεωωω
( ) ( )01 TiexpTiexp pk ⋅⋅⋅⋅⋅⋅−= ωωσ ;
( )( ) ( )( )=⋅⋅⋅+⋅=⋅−⋅ 00 TiexpTiexp kqkp σωεωωω
( ) ( )01 TiexpTiexp qk ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ωωσ ,
а условия исключения секулярных членов из решения уравнения
(20) для qpkn ,,= запишутся в виде
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) 02 1
1
1
1
1
1
1
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅− −
TATATiexp
dt
TdA
i qpkkqp
)(
k
k ωσΛω ;
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) 02 1
1
1
1
1
1
1
=⋅⋅⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅− +
TATATiexp
dt
TdA
i qkkpqk
)(
p
p ωσΛω ;
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) 02 1
1
1
1
1
1
1
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅− −
TATATiexp
dt
TdA
i kpkqkp
)(
q
q ωσΛω ;
(26)
( )
( ) ( )nlmnmlmlnlmnmlnml ηηωωγγΛ +⋅⋅±+=±
.
Приравнивая к нулю действительную и мнимую части выра-
жений (26) и вводя новую функцию
( )
( ) ( )
( )1
1
11
1
TbTT kkk −⋅⋅= ωσβ , (27)
получим систему дифференциальных уравнений относительно
вещественных функций ( )
( )1
1
Tak , ( )
( )1
1
Tkβ , ( )
( )1
1
Tap , ( )
( )1
1
Tbp ,
( )
( )1
1
Taq , ( )
( )1
1
Tbq :
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

32. 32
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )1
1
1
1
1
1
1
1
1
2 TsinTaTa
dT
Tda
pqkqpkqp
k
k ϕΛω ⋅⋅⋅=⋅ −
;
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) +⋅⋅=⋅⋅ σω
β
ω 1
12
1
1
1
1
1
22 Ta
dT
Td
Ta kk
k
kk
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )1
1
1
1
1
1
TcosTaTa pqkqpkqp ϕΛ ⋅⋅⋅+ −
;
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )1
1
1
1
1
1
1
1
1
sin2 TTaTa
dT
Tda
pqkqkpqk
p
p ϕω ⋅⋅⋅Λ−=⋅ +
;
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2 TcosTaTa
dT
Tdb
Ta pqkqkpqk
p
pp ϕΛω ⋅⋅⋅−=⋅⋅ +
;
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )1
1
1
1
1
1
1
1
1
2 TsinTaTa
dT
Tda
pqkkpqkp
q
q ϕΛω ⋅⋅⋅=⋅ −
;
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2 TcosTaTa
dT
Tdb
Ta pqkkpqkp
q
qq ϕΛω ⋅⋅⋅−=⋅⋅ −
;
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )1
1
1
1
1
1
1
1
TbTbTT qpkpqk −+= βϕ . (28)
Начальными условиями для уравнений (28) служат соотноше-
ния (19), причем из требования непротиворечивости системы (28)
при t=0 получаем, что если какая либо из мод, k, p или q не при-
сутствует в спектре изначально возбужденных мод Ξ, т.е. ее ам-
плитуда в начальный момент времени равна нулю, то ее фаза при
0=t не произвольна, а равна / 2π . В итоге начальные условия для
системы (28) можно записать в следующей компактной форме:
( )
( ) 201
/ha jj,ij ⋅= δ ; ( )
( ) ( ) 2101
/b j,ij πδ ⋅−±= ; q,p,kj;i =∈Ξ .
(29)
Коэффициенты первого порядка в разложении (15) для резо-
нансно взаимодействующих мод qpk ,, запишутся в виде (см. (17))
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )ttcostatM kqp
)(
k
)(
k ⋅−⋅−⋅⋅⋅= εβωωε 111
2 ;
( ) ( ) ( )
( )( )tbtcostatM pp
)(
p
)(
p ⋅+⋅⋅⋅⋅= εωε 111
2 ;
( ) ( ) ( )
( )( )tbtcostatM qq
)(
q
)(
q ⋅+⋅⋅⋅⋅= εωε 111
2 , (30)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

33. 33
где коэффициенты ( )
( )1
1
Tak , ( )
( )1
1
Tkβ , ( )
( )1
1
Tap , ( )
( )1
1
Tbp , ( )
( )1
1
Taq ,
( )
( )1
1
Tbq являются решениями системы уравнений (28) с начальны-
ми условиями (29). Отметим, что в используемом приближении
(до второго порядка включительно) резонансное взаимодействие
трех мод будет проявляться лишь в том случае, когда хотя бы две
из них присутствуют в спектре мод, возбужденных в начальный
момент Ξ , т.е. их амплитуды при 0=t должны быть отличны от
нуля. Результаты расчета по соотношениям (28) – (30) при 30.=ε
временной эволюции амплитуд первого порядка малости резо-
нансно взаимодействующих при 649.1=W четвертой, пятой и
седьмой мод, когда начальная деформация определена четвертой
и седьмой модами, представлены на рис. 1. Видно, что возбужде-
ние отсутствовавшей в спектре начального возмущения пятой
моды происходит за счет резонансной перекачки энергии из наи-
более высокой седьмой моды. Видно также, что часть энергии
седьмой моды передается и четвертой, амплитуда которой увели-
чивается синхронно с амплитудой пятой моды, т.е. имеет место
передача энергии от высокой моды к более низким в соответст-
вии с представлениями о распадной неустойчивости.
0 2 4 t
-0.2
-0.1
0
0.1
M4
1 , M5
1 , M7
1
Рис. 1. Зависимости от безразмерного времени безразмерных амплитуд
( )1
nM резонансно взаимодействующих четвертой, пятой и седьмой мод
нелинейных капиллярных осцилляций заряженной капли в положении
точного резонанса 649.1=W . Седьмая мода приведена тонкой линией,
четвертая – тонкой штрих-пунктирной, пятая – полужирной
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»