1. Diferenciālrēķini

2. Funkcijas atvasinājuma
jēdziena fizikālā interpretācija
x xt  t   xt 
vvid  
t t
x x xt  t   xt 
v  lim v  lim  lim
t 0 t t
vid
t 0 t 0
x(t + t)
x
x(t)
t
t t + t
t

3. Funkcijas maiņas vidējais
ātrums
□ Attiecība
y f x  x   f x 

x x
□ izsaka funkcijas izmaiņu, kas
aprēķināta argumenta izmaiņas vienai
vienībai, un to sauc par funkcijas
maiņas vidējo ātrumu intervālā [x; x].

4. Funkcijas atvasinājums
□ Attiecības robežu
y f x  x   f x 
 lim
lim x x0
x 0 x
□ Sauc par funkcijas f(x) atvasinājumu un
apzīmē:
□ y’
f x 
dy d
□ f’(x) dx dx

5. Funkcijas atvasinājums pēc
argumenta
□ Par funkcijas y = f(x) atvasinājumu pēc
argumenta x sauc funkcijas un
argumenta pieauguma attiecības
robežu, kad argumenta pieaugums
tiecas uz nulli
y f x  x   f x 
y '  lim  lim
x 0 x x0 x
y y
lim x  
x 0
lim x  
x 0
f ' ( x)   f ' ( x)  

6. Atvasināšanas algoritms –
atvasināšana vai diferencēšana
1. Argumenta pieaugumam x
atbilstoša funkcijas pieauguma
aprēķināšana
y  f x  x   f x 
y
2. Attiecības sastādīšana.
x
3. Robežas noteikšana
f x0  x   f x0 
f ' x0   lim
x 0 x

7. Funkcijas atvasinājuma
ģeometriskā interpretācija
MN y
  tg  k sekantei
M 0 N x
y
lim x  limtg  tg  k pieskare  f ' x0 
x 0 x 0
y  f  x0   k x  x0 
M
f(x0 + x)
y
 y  f x0   f ' x0 x  x0 
M0 
f(x0) N
 
x
x0 x0 + x

8. Līnijas normāle
□ Līnijas normāle – taisne, kas
perpendikulāra funkcijas pieskarei
1 1
kn   
kp f '  x0 
y  f x0    x  x0 
1
f '  x0 

9. Diferencēšanas likumi
□ Ja funkcija f ir konstanta kādā intervālā (a;
b), tad tās atvasinājums šajā intervālā ir
nulle.
f '  x   c'  0
□ Summas, starpības un dalījuma
atvasinājums.
u  v '  u 'v' u  v '  u 'v'
 u  u ' v  uv'
'
uv'  u ' v  uv'    v0
 v v2

10. Atvasināšanas pamatformulas
c '  0 log a x '  1
x ln a
arcctg x '   1 1x 2
x '  1 ln x '  1
x
sh x '  chx
x '  nx
n n 1
 
a '  a ln a
x x
ch x '  shx
sin x '  cos x e '  e
x x
th x '  ch x
2
1
cos x '   sin x arcsin x '  1
cth x '   sh1 x
2
1 x 2
tgx'  2 1
arccosx '   1
cos x 1 x2
ctgx'   2 1
sin x
arctg x '  1  x 2
1

11. Elementāro pamatfunkciju atvasināšanas
formulas pēc starpargumenta u = u(x)
u '  n  u
n n 1
 u' ln u '  u'
u
arcctg u '   1  u 2
u'
sin u '  cosu  u '  
a '  a  ln a  u '
u u
sh u '  ch u  u '
cosu '   sin u  u '  eu '  eu  u ' ch u '  sh u  u '
tg u '  cos' u
u
2
arcsinu '  u ' 2 th u '  ch 2'u
u
1 u
ctg u '   sin 2 u
u'
arccosu '   u'
ch u    sh 2u
' u'
1 u2
log a u '  u'
u  ln a
arctg u '  1 uu 2'

12. Apslēptas funkcijas
atvasinājums
1. Atvasina abas vienādojuma puses. x2  y2  a2  0
2 x  2 y  y'  0
4. Otrajā izteiksmē y vietā ievieto
2. Izsaka y’.
iegūto izteiksmi
 2x x
y'   x x
2y y y'    
3. Izsaka y no vienādojuma. y a x
2 2
y  a2  x2

13. Logaritmiskā atvasināšana
y   x  1
sin x
1. Logaritmē abas vienādojuma puses
ln y  ln  x  1  sin x  ln  x  1
sin x
2. Atvasina
 cos x  ln  x  1  sin x 
y' 1
y x 1
3. Izsaka y’.
 1 
y '  y cos x  ln  x  1  sin x  
 x 1
4. y vietā ievieto doto izteiksmi
sin x  1 
y '  x  1  cos x  ln x  1  sin x  
 x 1