bn

1. № 5 (29) травень 2013 р. Математика в школах України. Позакласна робота6
Застосовуємо математику
Використання прикладних задач під час вивчення
понять довжини кола та площі круга
Т. О. Насадюк, м. Київ
Керівнику гуртка
Якісна підготовка школярів передбачає озб­
роєння їх математичними методами пізнання
реальної дійсності. Цьому сприяє зближення
методів розв’язування задач, що розглядають
у курсі математики, з методами розв’язання
задач, що виникають на практиці. Тому вико­
ристання прикладних задач під час вивчення
математики є важливим аспектом свідомо­
го сприйняття навчального матеріалу учня­
ми, адже саме прикладні задачі викликають
у школярів активізацію розумової діяльнос­
ті, сприяють виникненню особистих мотивів
навчання. Задачі, які містять нові відомості
з різних життєвих галузей, розвивають інтерес­
і допитливість.
Задачі практичного змісту потребують осо­
бливої уваги з боку вчителя, тому що спочатку
їх потрібно сформулювати мовою математики,
тобто скласти математичну модель задачі.
Це найбільш складна (і тому найбільш цін­
на для учнів) частина роботи. Для її виконання
вчителю слід уважно підійти до кожної кон­
кретної задачі: підготувати ряд евристичних
запитань, що спрямують учнів до конкретно­
го навчального матеріалу; визначити суттєві
та абстрагуватися від несуттєвих властивостей
об’єкта; сформулювати умову та вимогу при­
кладної задачі мовою математики.
Для розв’язання задач практичного харак­
теру, як правило, потрібні деякі додаткові до­
відкові дані. Доцільно не включати ці дані
в текст задачі, даючи в такий спосіб учням
можливість відчути, що даних задачі недостат­
ньо для її розв’язання, зрозуміти, яких саме
даних не вистачає, і за можливості змусити їх
самих відшукати ці дані в довіднику. Це та­
кож потребує особливої підготовки і вчителя,
і учнів.
На таких заняттях підвищується актив­
ність учнів, а в результаті покращується якість
запам’ятовування і відтворення досліджуваного
матеріалу, оскільки учні не тільки сприймають
матеріал від учителя, а й самі беруть активну
участь у його створенні та засвоєнні шляхом
поєднання розумових операцій з практичними
діями. Розв’язування задач практичного змісту
сприяє розвитку творчої самостійності, ініціа­
тиви учнів, дозволяє краще реалізувати прин­
цип зв’язку теорії з практикою.
На жаль, на уроках нерідко бракує часу для
розв’язування таких задач. Тому я пропоную
учням прикладні задачі на заняттях гуртка.­
Причому не обов’язково заняття гуртка повніс­
тю присвячувати розв’язуванню прикладних
задач. Досить виділити декілька хвилин, для
того щоб розглянути задачі практичного змісту
з тієї теми, яку в цей час згідно з програмою
вивчають на уроках.
Крім того, задачі практичного змісту до­
цільно розв’язувати під час літньої навчаль­
ної практики. Це сприяє переконанню учнів
у прикладній спрямованості математики, по­
казує зв’язок математики з життям.
Пропоную прикладні задачі, які можуть
стати в пригоді під час вивчення таких важли­
вих понять, як довжина кола та площа круга.
Задача 1. На лугу пасеться кінь, прив’язаний
до кілка мотузкою, довжина якої дорівнює
10 м. Знайдіть площу ділянки, на якій може
пастись кінь.
Відповідь. 100π м2
≈ 314 м2
.
Задача 2. Мавпеня пробігло три кола цирко­
вою ареною. Яку відстань пробігло мавпеня?
 Для розв’язання цієї задачі потрібно знати, чому
дорівнює діаметр циркової арени. Можна запро-
понувати учням самостійно знайти відомості про
циркову арену.
У більшості цирків світу діаметр арени до­
рівнює 13 м (42 англійських футів). Так пове­

2. Видавнича група «Основа» № 5 (29) травень 2013 р.
Керівнику гуртка
7
лося з 1769 року. Тоді відставний британський
драгунський офіцер Філіп Естлі організував
перший у світі цирк, який виступав не під
шатром, а в будівлі круглої форми. Естлі був
власником вищої школи верхової їзди, тому
більшу частину його циркової трупи станови­
ли наїзники. Будівлю цирку проектували так,
щоб їм було зручно працювати. Сам досвідче­
ний кавалерист, Естлі розрахував, що на арені
діаметром 42 фути коню доведеться бігти, на­
хиляючись до центра арени. Відцентрова сила,
що виникає при цьому, притискає наїзника,
який стоїть на спині коня, ногами до сідла.
Колом більшого діаметра кінь біг би пряміше,
і наїзникові було б складніше утриматися на
ньому. А колом меншого діаметра коню було
б важко бігти.
Відповідь. ≈ 122,46 м.
Задача 3. Скільки квадратних метрів ткани­
ни потрібно взяти, щоб пошити спідницю типу
«сонце» для дівчинки з обхватом талії 45 см?
Бажана довжина спідниці — 30 см.
 Для розв’язання цієї задачі потрібно знати, який
крій має спідниця типу «сонце».
C A B
ОT
L D
(ОТ — обхват талії,
L — довжина спідниці)
Розв’язання. Оскільки обхват талії (тобто до­
вжина внутрішнього кола) дорівнює 45 см, то
його діаметр
AB ≈ =45 3 14 14 3: , , (см).
Тоді діаметр зовнішнього кола
CD ≈ + + =30 30 14 3 74 3, , (см).
Якщо припустити, що це сторона квадрата,
з якого потрібно виготовити відповідний крій,
то його площа S ≈ 0 6, м2
.
Відповідь. ≈ 0 6, м2
.
Задача 4. Скільки дерев загинуло під час лісо­
вої пожежі, якщо відомо, що ділянка, на якій
була пожежа, нагадує круг діаметром 24 км,
а на одному гектарі росло приблизно 700 дерев?
Розв’язання. Площа круга діаметром 24 км
приблизно дорівнює 452,16 км2
= 45 216 га.
Тоді кількість загиблих дерев:
45216 700 31651200⋅ = .
Відповідь. 31 651 200 дерев.
Задача 5. Колодязь має воріт з валом діаме­
тром 0,25 м. Щоб витягнути за його допомогою
відро з колодязя, необхідно зробити 10 обертів.
Яка глибина колодязя?
Відповідь. ≈7 85, м.
Задача 6 (жарт). На скільки кілометрів верхів­
ка вашої голови пройшла б більше, ніж кін­
цівка вашої ноги, якби ви мали змогу пройти
земну кулю за її екватором?
Розв’язання. Нехай діаметр земної кулі до­
рівнює d м. Тоді довжина екватора (а отже,
й відстань, яку подолає кінцівка вашої ноги)
дорівнює πd м. Нехай ваш зріст дорівнює
1,6 м. Тоді діаметр кола, який опише верхівка
вашої голови, дорівнює d +( )1 6, м, а довжина
відповідного кола дорівнює
π π πd d+( )= + ⋅1 6 1 6, , ,
що на 3 14 1 6 5, ,⋅ ≈ м більше, ніж відстань, яку
подолає кінцівка вашої ноги.
Відповідь. На 0,005 км.
Задача 7 (жарт). Уявіть, що ви вирішили про­
тягом години кататися на колесі огляду. Яку
відстань ви «проїдете» за цей час, якщо діа­
метр колеса огляду дорівнює 50 м, а один оберт
воно виконує за 20 хв?
Відповідь. ≈ 471 м.
Задача 8. Перед посівом соняшників у під­
приємців виникло питання щодо вибору
найбільш врожайного сорту. Один з багатьох
запропонованих сортів дає можливість вирос­
тити соняшники діаметром 30 см (у середньо­
му), а другий — соняшники діаметром 20 см
(у середньому). При цьому чисельність на 1 га
рослин першого сорту вдвічі менша від чисель­
ності на 1 га рослин другого сорту. Який сорт
соняшнику вибрали підприємці? (Вважати, що
густина наповнення і розмір насіння у соняш­
ників однаковий).

3. № 5 (29) травень 2013 р. Математика в школах України. Позакласна робота
Керівнику гуртка
8
Розв’язання. Нехай чисельність соняшників
першого сорту дорівнює m штук на 1 га, тоді
чисельність соняшників другого сорту дорів­
нює 2m штук на 1 га. Тоді площа, яку мають
корзинки соняшників першого сорту, на 1 га
дорівнює 706 5, m см2
, а корзинки соняшників
другого сорту — 628m см2
. Отже, підприємці
вибрали перший сорт.
Відповідь. Перший сорт.
Задача 9. Щоб засіяти 1 м2
землі, потрібно
20 г насіння газонної трави. Кілограм такого
насіння коштує 150 грн. Скільки коштів зна­
добиться, щоб засіяти газонною травою круглу
ділянку радіусом 20 м?
Відповідь. ≈ 3768 грн.
Задача 10. Під час змагання велосипедис­
там необхідно було проїхати 5 кругів по колу
радіусом 54 м. Яку загальну відстань у ході
змагання довелось проїхати кожному велоси­
педисту?
Відповідь. ≈ 1695,6 м.
Задача 11. У Каліфорнії росте гігантська
секвоя «Генерал Шерман». Її висота дорів­
нює 83,8 м, а довжина кола стовбура біля
основи становить 34,9 м. Вік дерева налічує
2500 років. Це дерево вважають найбільшим
живим організмом на Землі. Чому дорівнює
діаметр стовбура цієї секвої біля основи?
Відповідь. ≈11 м.
Задача 12. Радіус колеса одного автомобіля
дорівнює 16 см, а радіус колеса другого авто­
мобіля — 20 см. Під час руху колесо першого
автомобіля обертається зі швидкістю 30 об/с,
а колесо другого — 25 об/с. Який автомобіль
першим подолає відстань у 100 км?
Розв’язання. Довжина кола колеса першого ав­
томобіля приблизно дорівнює 100,48 см. Отже,
за 1 с він долає відстань
100 48 30 3014 4, ,⋅ ≈ (см).
Довжина кола другого автомобіля приблиз­
но дорівнює 125,6 см. Отже, за 1 с він долає
відстань
125 6 25 3140, ⋅ ≈ (см).
Оскільки швидкість другого автомобіля більша
за швидкість першого, то він першим подолає
відстань 100 км.
Відповідь. Другий автомобіль.
Задача 13. Будівельникам для встановлення
башти потрібно залити фундамент форми круга.
Довжина зовнішнього кола цього фундамента
повинна дорівнювати 45 м, а внутрішнього —
30 м. Визначте площу земельної ділянки під
фундаментом башти.
Відповідь. ≈ 90,4 м2
.
Задача 14. Щоб залити один квадратний метр
ковзанки, потрібно 40 л води. Скільки води
потрібно, щоб залити ковзанку круглої форми
діаметром 35 м?
Відповідь. ≈ 38 465 л.
Література
1. Сергеев И. Н., Олехник С. Н., Гашков С. Б. При­
мени математику. — М. : Наука, 1990.
2. Крайнова Ю. А. Применение математики к ре­
шению прикладных задач / Математика. — М. :
Первое сентября.