Uploaded byrdhzfgky1712
10 views

Математика для чайников Сборник задач 3rd Edition Зегарелли М

Математика для чайников Сборник задач 3rd Edition Зегарелли М Математика для чайников Сборник задач 3rd Edition Зегарелли М Математика для чайников Сборник задач 3rd Edition Зегарелли М

Embed presentation

Download to read offline
Математика для чайников Сборник задач 3rd Edition Зегарелли М install download https://ebookstep.com/download/ebook-12058090/ Download more ebook from https://ebookstep.com
We believe these products will be a great fit for you. Click the link to download now, or visit ebookstep.com to discover even more! Power Negara Syarifurohmat Pratama Santoso S Ip Christine Anggi Sidjabat Ba Ir M Han http://ebookstep.com/product/power-negara-syarifurohmat-pratama- santoso-s-ip-christine-anggi-sidjabat-ba-ir-m-han/ Be Her Defender Lizuka Myori http://ebookstep.com/product/be-her-defender-lizuka-myori/ De Keyes zusjes 03 Heerlijk begin Zoete strijd HQN 82 1st Edition Susan Mallery http://ebookstep.com/product/de-keyes-zusjes-03-heerlijk-begin- zoete-strijd-hqn-82-1st-edition-susan-mallery/ Giáo trình Be Internet Awesome 1st Edition Google http://ebookstep.com/product/giao-trinh-be-internet-awesome-1st- edition-google/
Asuhan Kebidanan Pada Kehamilan Buku Ajar Bd Yulizawati Sst M Keb Dr Detty Iryani M Kes M Pd Ked Aif Bd Lusiana Elsinta B Sst M Keb Aldina Ayunda Insani S Keb Bd M Keb Feni Andriani S Keb Bd M Keb http://ebookstep.com/product/asuhan-kebidanan-pada-kehamilan- buku-ajar-bd-yulizawati-sst-m-keb-dr-detty-iryani-m-kes-m-pd-ked- aif-bd-lusiana-elsinta-b-sst-m-keb-aldina-ayunda-insani-s-keb-bd- m-keb-feni-andriani-s-keb-bd-m-keb/ Английский язык для экономистов B1 B2 3rd Edition Л П Дагиленко https://ebookstep.com/download/ebook-29840068/ I ll Be Your Wife Jho Hyo-Eun http://ebookstep.com/product/i-ll-be-your-wife-jho-hyo-eun/ Marry Me or Be My Wife Ally Jane http://ebookstep.com/product/marry-me-or-be-my-wife-ally-jane/ Mon tour du monde en 80 jours 1st Edition Yannick Bestaven http://ebookstep.com/product/mon-tour-du-monde-en-80-jours-1st- edition-yannick-bestaven/
▲ A для >: Издательство ДИАЛЕКТИКА МаркЗегарелли Математика для чайников 3rd Edition Mark Zegarelli Basic Math & ■ for · ® dummies A Wiley Brand 3-е издание Марк Зегарелли Математика Сборник задач для чайников КиТв Комп'ютерне видавництво "Д1АЛЕКТИКА" 2019 УДК 510.2 3-47 Перевод с английского и редакция КВ. Берштейна Зегарелли, М. 3-47 Математика для чайников. Сборник задач, 3-е изд./Марк Зегарелли; пер. с англ. И.В. Берштейна. — Киев.: "Диалектика", 2019. — 352 с.: ил. — Парал. тит. англ. ISBN 978-617-7812-17-2 (укр.) ISBN 978-1-119-35751-3 (англ.) Этот сборник задач для начинающих окажет помощь в усвоении основных математических понятий, проработке примеров практических задач и поэтапном анализе их решений. Пользуясь этой книгой, вы можете смело вторгаться в неизведанную область простых и десятичных дробей, алгебраических уравнений и прочих предметов изучения математики. Книга адресована всем желающим изучить математику и поможет им преодолеть невольный страх перед этой дисциплиной. УДК 681.3.07 Все названия программных продуктов являются зарегистрированными торговыми марками соответствующих фирм. Никакая часть настоящего издания ни в каких целях не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то электронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель, если на это нет письменного разрешения издательства John Wiley & Sons, Inc. Copyright © 2019 by Dialektika Computer Publishing. Original English edition Copyright © 2017 by John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey. All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form. This translation is published by arrangement with
John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-617-7812-17-2 (укр.) © "Диалектика", перевод, 2019 ISBN 978-1-119-35751-3 (англ.) © 2017 by John Wiley & Sons, Inc. Оглавление Введение 11 Часть 1. Введение в математику 17 Глава 1. Мы вас вычислили 19 Глава 2. Притягательность четырех основных арифметических операций 39 Глава 3. Освоение отрицательных чисел 55 Глава 4. Просто выражение 69 Глава 5. Разделение внимания: делимость, делители и кратные 89 Часть 2. Разложение на простые дроби, десятичные дроби и проценты 113 Глава 6. Дроби просты как кусочки пирога 115 Глава 7. Основные арифметические операции над дробями 135 Глава 8. Освоение десятичных дробей 173 Глава 9. Использование процентов 201 Часть 3. Гигантский шаг вперед к продвинутым темам 213 Глава 10. Повышение степени чисел в экспоненциальном представлении 215 Глава 11. Тяжелые вопросы мер и весов 227 Глава 12. Обретение формы с помощью геометрии 245 Глава 13. Построение двумерных графиков 267 Часть 4. Фактор неизвестного: введение в алгебру 279 Глава 14. Самовыражение в алгебраических выражениях 281 Глава 15. Нахождение правильного равновесия при решении алгебраических уравнений 305 Часть 5. Великолепные десятки 325 Глава 16. Десять других способов и систем представления чисел 327 Глава 17. Десять любопытных типов чисел 337 Предметный указатель 344 Содержание Введение 11 Об этой книге 11 Предположения автора 12 Пиктограммы, используемые в книге 13 Что делать дальше 13 Об авторе 14 Посвящение 14 Благодарности 14 От издательства 15 Часть 1. Введение в математику 17 Глава 1. Мы вас вычислили 19 Расположение по местам с помощью чисел и цифр 20 Перекат: округление чисел в большую и меньшую сторону 23 Применение числовой оси в четырех основных арифметических операциях 25 Сложение и вычитание столбиком 27 Умножение многоразрядных чисел 29 Циклический процесс деления столбиком 31 Решения задач из этой главы 34 Глава 2.
Притягательность четырех основных арифметических операций 39 Перегруппирование с помощью обратных операций и свойства коммутативности 40 Группирование с помощью круглых скобок и свойства ассоциативности 44 Неравенства, вносящие неуравновешенность в уравнения 47 Особые случаи возведения в степень и извлечения квадратного корня 49 Решения задач из этой главы 52 Глава 3. Освоение отрицательных чисел 55 О происхождении отрицательных чисел 55 Смена знака: отрицание и абсолютное значение 57 Сложение отрицательных чисел 59 Вычитание отрицательных чисел 61 Учет знаков при умножении и делении отрицательных чисел 63 Решения задач из этой главы 65 Глава 4. Просто выражение 69 Вычисление выражений с операциями сложения и вычитания 70 Вычисление выражений с операциями умножения и деления 71 Осмысление выражений со смешанными операциями 72 Ответственное отношение к возведению в степень 73 Назначение приоритетности с помощью скобок 75 Раскрывание скобок и возведение в степень 76 Разгадывание вложенных скобок 78 Сводя воедино: порядок выполнения операций 80 Решения задач из этой главы 81 Глава 5. Разделение внимания: делимость, делители и кратные 89 Проверка чисел на делимость без остатка 90 Понятие о делителях и кратных 92 Различение простых и составных чисел 94 Поиск делителей чисел 97 Разложение чисел на простые множители 99 Нахождение наибольшего общего делителя 101 Формирование кратных числа 102 Нахождение наименьшего общего кратного 103 Решения задач из этой главы 105 Часть 2. Разложение на простые дроби, десятичные дроби и проценты 113 Глава 6. Дроби просты как кусочки пирога 115 Усвоение основ дробей 116 В разношерстной компании: взаимное преобразование неправильных и смешанных дробей 118 Приращение и сокращение членов дробей 121 Сравнение дробей перекрестным умножением 124 Понятие об отношениях и пропорциях 127 Решения задач из этой главы 129 Содержание 7
Глава 7. Основные арифметические операции над дробями 135 Умножение дробей — проще простого 136 Переход к делению дробей 13 8 Нахождение общего знаменателя при сложении дробей 140 Нахождение общего знаменателя при вычитании дробей 144 Умножение и деление смешанных чисел 146 Сложение смешанных чисел с переносом 148 Вычитание смешанных чисел с займом 151 Решения задач из этой главы 155 Глава 8. Освоение десятичных дробей 173 Введение в основы десятичных дробей 174 Простые операции взаимного преобразования дробей 178 Выравнивание по-новому: сложение и вычитание десятичных дробей 180 Подсчет десятичных знаков при умножении десятичных дробей 182 Перемещение десятичных запятых при делении десятичных дробей 183 Преобразование десятичных дробей в простые дроби 186 Преобразование простых дробей в десятичные дроби 189 Решения задач из этой главы 191 Глава 9. Использование процентов 201 Преобразование процентов в десятичные дроби 202 Преобразование десятичных дробей в проценты 203 Преобразование процентов в простые дроби 204 Преобразование простых дробей в проценты 205 Решение различных задач на проценты с помощью уравнений 207 Решения задач из этой главы 209 Часть 3. Гигантский шаг вперед к продвинутым темам 213 Глава 10. Повышение степени чисел в экспоненциальном представлении 215 Представление о степенях числа 10 с подсчетом нулей 216 Арифметика порядков: умножение и деление степеней числа 10 218 Экспоненциальное представление чисел 220 Умножение и деление чисел в экспоненциальном представлении 222 Решения задач из этой главы 224 8 Содержание Глава 11. Тяжелые вопросы мер и весов 227 Основы английской системы мер 228 Переход к международной метрической системе 232 Взаимное преобразование единиц измерения метрической и английской систем мер 235 Решения задач из этой главы 239 Глава 12. Обретение формы с помощью геометрии 245 Вхождение в форму: основы многоугольников и
немногоугольников 246 Обтесывание четырехугольников со всех сторон 246 Тройная польза от треугольников 251 Хождение по кругу, измеряя окружность 255 Приобретение навыков вычисления объема геометрических тел 257 Решения задач из этой главы 262 Глава 13. Построение двумерных графиков 267 Представление о двумерных графиках 267 Изображение прямых на двумерном графике 270 Решения задач из этой главы 274 Часть 4. Фактор неизвестного: введение в алгебру 279 Глава 14. Самовыражение в алгебраических выражениях 281 Вычисление алгебраических выражений методом подстановки 282 Разделение алгебраического выражения на члены 285 Сложение и вычитание подобных членов 287 Умножение и деление алгебраических членов 289 Упрощение алгебраических выражений путем объединения подобных членов 292 Упрощение алгебраических выражений со скобками 294 Раскрытие смежных пар скобок по правилу FOIL 296 Решения задач из этой главы 298 Глава 15. Нахождение правильного равновесия при решении алгебраических уравнений 305 Решение простых алгебраических уравнений 306 Равенство для всех: выделение переменной χ методом рычажных весов 309 Смена сторон: реорганизация уравнений для выделения переменной χ 311 Содержание 9 Упрощение дробных уравнений методом перекрестного умножения 313 Решения задач из этой главы 315 Часть 5. Великолепные десятки 325 Глава 16. Десять других способов и систем представления чисел 327 Отдельные засечки 328 Групповые засечки 328 Египетские цифры 328 Вавилонские цифры 329 Древнегреческие цифры 330 Римские цифры 330 Цифры Майя 331 Двоичная система (по основанию 2) 332 Шестнадцатеричная система (по основанию 16) 333 Система простых чисел 334 Глава 17. Десять любопытных типов чисел 337 Квадраты целых чисел 338 Треугольные числа 339 Кубические числа 339 Факториальные числа 340 Степени числа 2 341 Совершенные числа 341 Дружественные числа 342 Простые числа 342 Числа Мерсенна 342 Числа Ферма 343 Предметный указатель 344 10 Содержание
Введение При правильном подходе математика практически всегда бывает проще, чем кажется на первый взгляд. И большая часть из того, что вас поначалу смущает в ней, в конечном итоге оказывается не таким уж и страшным. Многие учащиеся чувствуют себя потерявшимися где-то на полпути между умением считать до десяти и первым уроком алгебры, и это может случиться с каждым, сколько бы ему ни было лет: 14 или 104 года. Если и вы относитесь к их числу, то не отчаивайтесь — вы не одиноки, и эта книга придет вам на помощь! Читая эту книгу, вы приобретете уверенность и навыки, которые вам потребуются в прохождении любого курса математики на пути к алгебре. Приобрести столь необходимую уверенность и навыки проще и быстрее всего, решая практические задачи. Данная книга служит для того, чтобы помочь вам найти свой ясный путь в мир математики. Во всех разделах каждой главы четко излагаются знания, которые вы должны приобрести, закрепив их на многочисленных примерах практических задач, решения которых подробно разъясняются. Итак, возьмите в руку карандаш, откройте эту книгу на любой странице и приступите к наращиванию своих математических мускулов! Об этой книге Эта книга адресована всем, кто стремится усовершенствовать свои математические навыки: от уже проходящих курс математики до готовящихся записаться на него или изучающих математику самостоятельно. Но в любом случае практика ведет к совершенству, и в этой книге вы найдете немало примеров решения практических математических задач. Каждая глава этой книги посвящена отдельному предмету математики: отрицательным числам, дробям, десятичным числам, геометрии, построению графиков, элементарной алгебре И в каждом разделе описываются практические задачи, решая которые вы приобретаете разные математические навыки. Каждый раздел характеризуется следующим содержанием. » Краткое введение в предмет, рассматриваемый в данном разделе. » Пояснение, как решать задачи, представленные в данном разделе. у> Примеры вопросов и ответов,
демонстрирующие все стадии решения отдельной задачи. у> Практические задачи со свободным местом, специально оставленным вам для самостоятельного решения. Смело пользуйтесь этой книгой как рабочей тетрадью по математике, поскольку именно для этого она и предназначена! Потрудившись над решением одной или ряда задач, перейдите в конец главы, где вы найдете правильный ответ и подробное, пошаговое разъяснение, как его получить. Решать буквально все упражнения, приведенные в этой книге, совсем не обязательно, хотя это и можно, конечно, сделать. Вы вольны выбрать главу с теми математическими задачами, попрактиковаться в решении которых вам хотелось бы в первую очередь. Проработав в одном разделе задачи в достаточной для полного удовлетворения степени, можете перейти к другому разделу. Если же задачи в каком-нибудь разделе покажутся вам слишком сложными, вернитесь к предыдущему разделу или главе, чтобы приобрести необходимые практические навыки, следуя при этом по перекрестным ссылкам. Предположения автора Вы, вероятно, догадываетесь, что освоить математику лучше всего, занимаясь ею на практике. Чтобы войти в курс дела и применить свои математические навыки на практике, вам могут потребоваться лишь самые необходимые пояснения. В таком случае вы выбрали подходящую книгу. Если же вам требуется более подробное обсуждение математических понятий, включая рекомендации по их применению для решения практических задач, в таком случае обратитесь к базовой книге Математика для чайников, 2-е издание. Мне бы хотелось побиться об заклад последней монетой в кармане, что вы готовы к чтению этой книги. При этом я предполагаю, что вы знакомы с основами десятичной числовой системы и четырьмя арифметическими операциями (сложение, вычитание, умножение и деление). Чтобы убедиться в своей готовности к чтению этой книги, рассмотрите приведенные ниже арифметические задачи и попробуйте их решить. Если вы сумеете их решить, значит, готовы читать эту книгу дальше! 3+4= 5x5= 10-8= 20-2 = 12 Введение
Пиктограммы, используемые в книге На полях книги вы обнаружите различные пиктограммы, которыми обозначены самые важные сведения. Ниже приведено краткое описание назначения каждой пиктограммы. Этой пиктограммой обозначаются важные сведения. Обращайте особое внимание на эти подробности, поскольку их непременно нужно знать! Q Эта пиктограмма помогает быстро и просто дойти до сути. Опробуйте приемы, обозначаемые этой пиктограммой, решая задачи, представленные в данном разделе. & Предупреждения являются своего рода ловушками, в которые нередко попадают невнимательные обучающиеся математике. Внимательное чтение этих предупреждений поможет вам избежать ненужных хлопот. Этой пиктограммой обозначаются примеры задач, демонстрирующие отдельные методики решения перед тем, как перейти к упражнениям. Что делать дальше Чтобы усовершенствовать свои навыки в математике, можете начать чтение этой книги практически с любой страницы. В главах 3-6 рассматриваются понятия, ставящие в затруднительное положение изучающих математику: отрицательные числа, порядок выполнения операций, множители, кратные и дробные величины. Эти важные понятия должны быть непременно усвоены, поскольку на них основывается большая часть материала последующих глав. Свободно владея этими понятиями, вы получите настоящее преимущество на любых курсах по математике. Итак, твердо усвоив упомянутые выше понятия, вы можете читать далее книгу в любом порядке, обращаясь по мере надобности за справкой к советам и приемам, приведенным в главах 3-6. Единственный совет: старайтесь сначала решать предлагаемые задачи самостоятельно и только затем смотреть ответ! Введение 13 А за дополнительными разъяснениями и вопросами, не рассматриваемыми в этом справочном пособии, обратитесь к книге Basic Math & Pre-Algebra For Dummies. Обе эти книги позволят вам навалиться на любую математическую задачу с двух сторон, чтобы успешно положить ее на лопатки. Об авторе
Марк Зегарелли — учитель математики, репетитор и автор восьми книг из серии ... для чайников, в том числе SAT Math For Dummies, ACT Math For Dummies и Calculus II For Dummies. Он окончил Ратгерский университет по специальностям "английский язык" и "математика" и в настоящее время проживает в Лонг- Бранч, шт. Нью-Джерси, а также в Сан-Франциско, шт. Калифорния. Посвящение Моему доброму другу Михаилу Конопко с глубоким восхищением, любовью и кусочками мозаики, дополняющими общую картину наших взаимоотношений. Благодарности Работа над настоящим, третьим изданием этой книги дала мне немалый положительный опыт благодаря поддержке и руководству со стороны моего рецензента от издательства Wiley Линдсея Лефевра, редактора проекта и рукописи Крисси Гатри, а также технического редактора Пэта Барнеса. И, как всегда, выражаю благодарность своему помощнику Крису Марку за все, чем он помог мне в данном проекте. Благодарю также завсегдатаев заведения Borderlands Cafe на улице Валенсии в Сан-Франциско за создание мирной и дружеской атмосферы для работы над этой книгой. 1Д Введение От издательства Вы, читатель этой книги, и есть главный ее критик и комментатор. Мы ценим ваше мнение и хотим знать, что было сделано нами правильно, что можно было сделать лучше и что еще вы хотели бы увидеть изданным нами. Нам интересно услышать и любые другие замечания, которые вам хотелось бы высказать в наш адрес. Мы ждем ваших комментариев и надеемся на них. Вы можете прислать нам бумажное или электронное письмо либо просто посетить наш веб-сайт и оставить свои замечания там. Одним словом, любым удобным для вас способом дайте нам знать, нравится или нет вам эта книга, а также выскажите свое мнение о том, как сделать наши книги более интересными для вас. Посылая письмо или сообщение, не забудьте указать название книги и ее авторов, а также ваш обратный адрес. Мы внимательно ознакомимся с вашим мнением и обязательно учтем его при
отборе и подготовке к изданию последующих книг. Наши электронные адреса: E-mail: info@dialektika.com WWW: http://www.dialektika.com Введение 15 Введение в математику В ЭТОЙ ЧАСТИ. » Представление о разрядном значении » Применение четырех основных арифметических операций: сложения, вычитания, умножения и деления » Вычисление с отрицательными числами » Упрощение выражений благодаря заданию порядка выполнения операций » Обращение с делителями и кратными чисел Глава 1 Мы вас вычислили » Представление о том, как разрядное значение превращает отдельные цифры в числа » Округление чисел до ближайших десятков, сотен и тысяч » Вычисление с помощью четырех основных арифметических операций: сложения, вычитания, умножения и деления » Повышение удобства деления столбиком этой главе делается краткий обзор самых основ математики. Большая часть представленного здесь материала вам, вероятнее всего, уже известна, поэтому рассматривайте его как небольшой экскурс в прошлое, чтобы вспомнить былое по сравнению с тем математическим аппаратом, которым вы, возможно, владеете ныне. Заложив довольно прочное основание в этой главе, вам будет намного легче усваивать материал последующих глав. Рассмотрим сначала числовую систему, которая вам хорошо известна и называется индоарабскойу или десятичной. В такой системе для выражения чисел применяются десятичные цифры и разрядное (или поместное) значение. Затем мы покажем, как округлять числа до ближайших десятков, сотен и тысяч. После этого здесь описываются четыре основные арифметические операции: сложение, вычисление, умножение и деление. При этом будет показано, как с помощью числовой оси раскрывается смысл всех четырех арифметических операций. И в конце главы
поясняется, как выполняется деление столбиком как с остатком, так и без остатка. ь В литературе по математике для обозначения операции умножения часто употребляется знак точки (·). Здесь же для наглядности используется знак умножения (х). Расположение по местам с помощью чисел и цифр Во всем мире чаще всего применяется индоарабская числовая система, которая состоит из десяти цифр, т.е. символов подобных буквам A-Z. И они вам, без сомнения, хорошо известны: 123456789 0. Подобно буквам алфавита, отдельные цифры не приносят особой пользы. Но совместно эти десять знаков могут составлять числа любой величины, используя разрядное (или поместное) значение. В частности, разрядное значение присваивает каждой цифре большее или меньшее значение в зависимости от ее местоположения в числе. И каждое разрядное значение оказывается в десять раз больше, чем разрядное значение, расположенное непосредственно справа. Несмотря на то что цифра 0 не добавляет числу никакого значения, она может служить в качестве значащей. Когда цифра 0 оказывается справа хотя бы от одной ненулевой цифры, она является значащей. запомни! Важная функция значащих цифр состоит в том, что они обозначают соответствующий разряд числа. А если цифра 0 оказывается слева от ненулевой цифры, то она не является значащей. Указывать незначащие нули совсем не обязательно, поэтому их можно благополучно исключить из числа. Задача. Выявите разряды единиц, десятков и сотен в числе 284. С/О Решение. Разряд единиц представлен цифрой 4, разряд десятков — цифрой 8, а разряд сотен — цифрой 2. Задача. Расположите сначала число 5 672 таким образом, чтобы наглядно показать значение каждого его разряда. Затем воспользуйтесь этой таблицей и операцией сложения, чтобы продемонстрировать разбиение данного числа на отдельные цифры. Решение. Миллионы Сотни тысяч Десятки тысяч Тысячи Сотни Десятки Единицы 5 6 7 2 20 ЧАСТЬ 1 Введение в математику
Цифра 5 находится в разряде тысяч, цифра 6 — в разряде сотен, цифра 7 — в разряде десятков, цифра 2 — в разряде единиц. Ниже показано, каким образом данное число разбивается на отдельные цифры. 5000 + 600 + 70 + 2 = 5672 Задача. Расположите сначала число 040120 таким образом, чтобы наглядно показать значение каждого его разряда. Затем воспользуйтесь этой таблицей и операцией сложения, чтобы продемонстрировать разбиение данного числа на отдельные цифры. Какие цифры 0 в данном числе оказываются значащими, а какие — нет? Решение. Миллионы Сотни тысяч Десятки тысяч Тысячи Сотни Десятки Единицы 0 4 0 12 0 Первая цифра 0 находится в разряде сотен тысяч, цифра 4 — в разряде десятков тысяч, вторая цифра 0 — в разряде тысяч, цифра 1 — в разряде сотен, цифра 2 — в разряде десятков, а последняя цифра 0 — в разряде единиц. Таким образом, первая цифра 0 оказывается незначащим нулем, а остальные цифры 0 — значащими, как показано ниже: 0 + 40000 + 0 + 100 + 20 + 0 = 40120. щЛ Выявите в числе 7359 следующие цифры: а) цифра разряда единиц; б) цифра разряда десятков; в) цифра разряда сотен; г) цифра разряда тысяч. Расположите сначала число 2 136 в таблице, чтобы продемонстрировать разрядное значение каждой его цифры. Затем воспользуйтесь этой таблицей, чтобы показать, каким образом данное число разбивается на отдельные цифры. ГЛАВА 1 Мы вас вычислили 21 Миллионы Сотни тысяч Десятки тысяч Тысячи Сотни Десятки Единицы Щр Расположите сначала число 03 809 в таблице, чтобы продемонстрировать разрядное значение каждой его цифры. Затем воспользуйтесь этой таблицей, чтобы показать, каким образом данное число разбивается на отдельные цифры. Какая из цифр 0 в данном числе является значащей, а какая из них — незначащим нулем? Миллионы Сотни тысяч Десятки тысяч Тысячи Сотни Десятки Единицы Расположите сначала число 0450900 в таблице, чтобы продемонстрировать разрядное значение каждой его цифры. Затем воспользуйтесь этой таблицей, чтобы показать, каким образом данное число
разбивается на отдельные цифры. Какие из цифр 0 в данном числе являются значащими, а какие из них — незначащими нулями? Миллионы Сотни тысяч Десятки тысяч Тысячи Сотни Десятки Единицы 22 ЧАСТЬ 1 Введение в математику Перекат: округление чисел в большую и меньшую сторону Округление чисел упрощает обращение с многоразрядными длинными числами. Чтобы округлить двухразрядное число до ближайшего десятка, достаточно увеличить или уменьшить его до ближайшего числа, оканчивающегося цифрой 0, как поясняется ниже. » Если число оканчивается на цифру 1, 2, 3 или 4, оно округляется в меньшую сторону, причем разряд десятков остается тем же самым, а разряд единиц приводится к нулю. » Если число оканчивается на цифру 5, 6,7, 8 или 9, оно округляется в большую сторону, причем разряд десятков увеличивается на Ί, а разряд единиц приводится к нулю. Округлить число больше, чем на две цифры до ближайшего десятка, можно тем же самым способом, уделив основное внимание только разрядам единиц и десятков. Ясно понимая, каким образом число округляется до ближайшего десятка, округлить число до ближайшей сотни, тысячи и далее не составит большого труда. В данном случае основное внимание следует уделить следующим двум цифрам: той, что находится на месте округляемого разряда, а также той, что находится непосредственно справа от него, указывая тем самым, в какую именно сторону (большую или меньшую) следует округлять число. Все цифры, находящиеся справа от округляемого числа, должны быть приведены к нулю. При округлении числа в большую сторону иногда небольшие изменения в разрядах единиц и десятков оказывают влияние на другие разряды. Это очень похоже на переход показаний одометра в автомобиле с девяток на нули, например, с 11999 км на 12000 км. ^^ Задача. Округлите числа 31; 58 Число 58 оканчивается на 8, по- (j/Vj> и 95 до ближайшего десятка. этому оно округляется в большую Решение. 30; 60 и 100. сторону: ПРИМЕР! гл АП Число 31 оканчивается на 1, по- D° ~* ου· этому оно округляется в
меньшую Число 95 оканчивается на 5, по- сторону: этому оно округляется в большую 31->30. сторону: 95-И00. ГЛАВА 1 Мы вас вычислили 23 Задача. Округлите числа 742; 3 820 Число 3 820 уже оканчивается на 0, и 61 225 до ближайшего десятка. Решение. 740; 3820 и 61 230. Число 742 оканчивается на 2, поэтому оно округляется в меньшую сторону: 742-> 740. поэтому округлять его не требуется: 382Q-> 382Q. Число 61 225 оканчивается на 5, поэтому оно округляется в большую сторону: 61 225-> 61 230. ЩР Округлите приведенные ниже двухразрядные числа до ближайшего десятка: а) 29; 6)43; в) 75 г) 97. ||| Округлите приведенные ниже числа до ближайшего десятка: а) 164; б) 765; в) 1989; г) 9999995. Щ0 Округлите приведенные ниже числа до ближайшей сотни: а) 439; б) 562; в) 2950; г) 109974. Щ Округлите приведенные ниже числа до ближайшей тысячи: а) 5 280; 6)77777; в) 1234 567; г) 1899999. 2Д ЧАСТЬ 1 Введение в математику Применение числовой оси в четырех основных арифметических операциях Числовая ось — это прямая линия с числами, расположенными через равные промежутки. Вам, вероятно, приходилось наблюдать числовую ось, когда вы учились считать до десяти. В этом разделе будет показано, как пользоваться этим надежным инструментальным средством для выполнения четырех основных арифметических операций (сложения, вычитания, умножения и деления) над относительно малыми числами. Числовая ось может оказаться полезным инструментальным средством для сложения и вычитания малых чисел. В частности: у> для сложения следует сместиться по числовой оси вправо; у> для вычитания следует сместиться по числовой оси влево. Чтобы выполнить умножение на числовой оси, следует начать с нуля и отсчитать первое умножаемое число столько раз, сколько обозначает второе число. Чтобы выполнить деление на числовой оси, следует выделить сначала отрезок числовой оси от нуля до первого делимого числа. Затем
этот отрезок равномерно разделить на столько участков, сколько обозначает второе число. Длина каждого участка и дает результат деления. ν ^ Задача. Выполните сложение 6 + 7 на числовой оси. Решение. 13. Выражение 6 + 7 означает, что от числа 6 следует отсчитать 7 раз по числовой оси вправо, получив в итоге число 13 (рис. 1.1). ПРИМЕР" ι—ι—ι—ι—ι—ι— ΓΧΎΎ~Υ^ΟΟ—ι—ι—ι—ι—ι—ι—Г" О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Рис. 7.7. Операция сложения 6 + 7 =13 на числовой оси Задача. Выполните вычитание 12 - 4 на числовой оси. Решение. 8. Выражение 12-4 означает, что от числа 12 следует отсчитать 4 раза по числовой оси влево, получив в итоге число 8 (рис. 1.2). ι ι ι—ι—ι ι ι ι Τ Τ Τ Τ t—ι—ι—ι—ι—ι—ι—ι— Γ* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Рис. 1.2. Операция вычитания 12-4 = 8 на числовой оси ГЛАВА 1 Мы вас вычислили 25 Задача. Выполните умножение 2 χ 5 на числовой оси. Решение. 10. Отсчитайте от нуля пять раз по два, чтобы получить в итоге число 10 (рис. 1.3). Г Ί Ι Ι Τ I I I 1 1 1 1 1 Г 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Рис. 1.3. Операция умножения 2x5 но числовой оси Задача. Выполните деление 12 -^ 3 на числовой оси. Решение. 4. Выделите сначала отрезок от 0 до 12 на числовой оси. Затем разделите этот отрезок поровну на три меньших участка, как показано на рис. 1.4. Длина каждого из этих участков оказывается равной 4, что и дает результат деления, а следовательно, решение данной задачи. ί^^ Т^ ι—ι— I—ι—ι—ι—ι—ι ι г 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Рис. 1.4. Операция деления 12 + 3 на числовой оси ΊГ Τ I Сложите приведенные ниже числа на числовой оси. а) 4 + 7 = ? б) 9 + 8 = ? в)12 + 0 = ? г) 4 + 6 + 1 +5 = ? |р Вычтите приведенные ниже числа на числовой оси. а) 10-6 = ? 6)14-9 = ? в) 18-18 = ? г) 9-3 + 7-2 + 1=? 26 ЧАСТЬ 1 Введение в математику I Умножьте приведенные ниже числа на числовой оси. а) 2 χ 7 = ? б) 7 χ 2 = ? в) 4 χ 3 = ? г) 6 χ Ί = ? д)6х0 = ? е)0х10 = ? )
Разделите приведенные ниже числа на числовой оси. а) 8 ч- 2 = ? 6)15 + 5 = ? в) 18-3 = ? г)10-г10 = ? д)7-г1=? е) 0 ч- 2 = ? Сложение и вычитание столбиком Чтобы сложить или вычесть большие числа, расположите их сначала друг за другом, чтобы одинаковые разряды (единиц, десятков, сотен и т.д.) образовали отдельные столбцы. Затем действуйте справа налево, выполняя соответствующую операцию. Производите вычисления по вертикали, начиная со столбца единиц, переходя к столбцу десятков и т.д. » » Если результат сложения в отдельном столбце превышает 10 и больше, запишите разряд единиц из этого результата, а разряд десятков перенесите вверх, расположив его над столбцом, расположенным непосредственно слева. Если при вычитании верхняя цифра в отдельном столбце оказывается меньше, чем нижняя, необходимо произвести заем из столбца, расположенного непосредственно слева. ГЛАВА 1 Мы вас вычислили 27 Задача. Выполните сложение 35 + 26+Ί42. Решение. 203. Расположите складываемые числа друг за другом и сложите столбцы справа налево. 1 1 35 26 +142 203 Обратите внимание на то, что при сложении цифр в столбце единиц (5 + 6 + 2 = 13) ниже этого столбца записывается цифра 3, а цифра 1 переносится в столбец десятков, располагаясь над ним. И когда выполняется сложение в столбце десятков (1+3 + 2 + 4=10), ниже этого столбца записывается цифра 0, а цифра 1 переносится в столбец сотен, располагаясь над ним. IP Выполните сложение 129 + 88 + 35. щр Выполните вычитание 419 - 57. ||j! Найдите сумму следующих чисел: 1734 + 620 + 803 + 32 = ? |р Найдите разность следующих чисел: 41024-1786. Задача. Выполните вычитание 843-91. Решение. 752. Расположите вычитаемые числа друг за другом и вычтите столбцы справа налево. 71 043 -91 752 При попытке выполнить вычитание в столбце десятков цифра 4 оказывается меньше цифры 9, поэтому производится заем 1 из столбца сотен. В итоге цифра 8 в столбце сотен уменьшается до 7, а занимаемая цифра 1 располагается над цифрой 4 в столбце десятков, образуя
вместе с ней число 14. И теперь можно выполнить вычитание 14-9 = 5. 28 ЧАСТЬ 1 Введение в математику Умножение многоразрядных чисел Чтобы умножить большие числа, расположите сначала первое умножаемое число над вторым. Затем умножьте каждый разряд нижнего числа справа налево на верхнее число. Иными словами, умножьте сначала верхнее число на разряд единиц нижнего числа. Затем добавьте значащую цифру 0 и умножьте верхнее число на разряд десятков нижнего числа. Продолжая данный процесс дальше, добавляйте значащие цифры 0 и умножайте верхнее число на следующий по очереди разряд нижнего числа. Если в результате умножения получается двухразрядное число, запишите разряд единиц в одном столбце, а разряд десятков перенесите в следующий столбец, расположив его вверху. После умножения цифр в двух следующих разрядах сложите их произведение с перенесенным выше числом. И, наконец, сложите все промежуточные результаты умножения, чтобы получить окончательное решение рассматриваемой здесь задачи умножения. φ Задача. Выполните умножение 742x136. Решение. 100912. Расположите первое умножаемое число над вторым. 742 х136 Затем умножьте на 6 каждый разряд числа 742, начиная справа. А поскольку в результате операции умножения 2x6 = 12 получается двухразрядное число, то запишите цифру 2 из его разряда единиц, а цифру 1 из разряда десятков перенесите в столбец десятков, расположив ее вверху. В следующем столбце выполните операцию умножения 4 χ 6 = 24 и прибавьте к полученному результату перенесенную выше цифру 1, получив в итоге сумму 25. Запишите цифру 5 из этой суммы, а цифру 2 перенесите в столбец сотен, расположив ее вверху. И, наконец, выполните операцию умножения 7 χ 6 = 42 и прибавьте к полученному результату перенесенную выше цифру 2, получив в итоге сумму 44. 21 742 х136 4452 Далее запишите цифру 0 на правом краю ряда, расположенного ниже только что записанного вами ряда цифр. Умножьте на 3 каждый разряд числа 742, начиная справа и делая перенос по мере
необходимости. 1 742 х136 4452 22260 Запишите две цифры 0 на правом краю ряда, расположенного ниже ГЛАВА 1 Мы вас вычислили 29 только что записанного вами ряда цифр. Повторите данный процесс при умножении на последнюю цифру!. 742 х136 4452 22260 74200 И, наконец, сложите все промежуточные результаты умножения. 742 х136 4452 22260 74200 Ί00912 Таким образом, 742 χ Ί 36 = Ί 00 912. щ| Выполните умножение 75 χ 42. φ Решите следующую задачу: 1728x405. Цр Каков результат умножения 136x84? @ Выполните умножение 8912x767. 30 ЧАСТЬ 1 Введение в математику Циклический процесс деления столбиком Большие числа обычно делятся столбиком. В отличие от остальных основных арифметических операций, процесс деления столбиком продвигается слева направо. При этом операции деления, умножения и вычитания циклически повторяются для каждого разряда делимого (т.е. того числа, которое делится). Иногда деление не выполняется нацело, и тогда результат получается с остатком, который приходится каким-то образом принимать во внимание. В подобных случаях остаток записывается после результата деления нацело следующим образом: ост (число в остатке). ja^^ Задача. Выполните деление Решение. 239. Начните решение ПРИМЕР! данной задачи, записав ее следующим образом. 4)956 Выясните сначала, сколько раз число 9 делится на 4, т.е. 9^4? Оно делится 2 раза с небольшим остатком, поэтому запишите цифру 2 над цифрой 9. Затем выполните умножение 2x4, чтобы получить результат, равный 8. Запишите этот результат прямо под числом 9 и проведите под ним прямую линию. 2 4)956 8 Выполните вычитание 9-8, чтобы получить результат, равный Ί. {Примечание: результат вычитания должен быть меньше делителя; в данном случае — 4.) Затем снесите следующее число 5, чтобы получить в итоге новое число 15. 2 4)956 -8 15 Упомянутые выше шаги составляют один полный цикл. Чтобы завершить решение
рассматриваемой здесь задачи, достаточно повторить их. Итак, выясните, сколько раз число 15 делится на 4, т.е. 15 -г 4? Оно делится 3 раза с небольшим остатком, поэтому запишите цифру 3 над цифрой 5. Затем выполните умножение 3x4, чтобы получить результат, равный 12. Запишите этот результат прямо под числом 15 и проведите под ним прямую линию. 23 4)956 -8 15 -12 Выполните вычитание 15-12, чтобы получить число 3. Затем снесите следующее число 6, чтобы получить в итоге новое число 36. 23 4)956 -8 15 -12 36 ГЛАВА 1 Мы вас вычислили 31 Завершив очередной цикл деления, начните следующий цикл, выяснив, сколько раз число 36 делится на 4, т.е. 36 -=■ 4? Оно делится ровно 9 раз, поэтому запишите цифру 9 над цифрой 6, выполните умножение 9 χ 4 и запишите полученный результат прямо под числом 36. 239 4)956 -8 15 -12 36 36 Далее выполните вычитание 36 - 36 = 0. В связи с тем, что чисел для сноса больше не осталось, процесс деления завершается, а результат (т.е. частное отделения) представлен самым верхним числом в столбце. 239 4)956 -8 15 -12 36 -36 ^^ Задача. Выполните деление (jO 3042 *5· Решение. 608 ост (2). Начните ре- ПРИМЕР! шение данной задачи, записав ее следующим образом. 5)3042 Выясните сначала, сколько раз число 3 делится на 5? Оно не делится ни разу, поскольку число 3 меньше 5, а следовательно, запишите цифру 0 над цифрой 3. Затем выясните то же самое, но в отношении первых двух разрядов делимого, т.е. сколько раз число 30 делится на 5, или 30 -=- 5? Оно делится 6 раз, поэтому запишите цифру 6 над цифрой 0. Ниже показано, как завершить первый цикл деления. 06 5)3042 -30 04 Далее выясните, сколько раз число 4 делится на 5. Оно не делится ни разу, поскольку число 4 меньше 5, а следовательно, запишите цифру 0 над цифрой 4. После этого снесите следующее число (2), чтобы получить в итоге новое число 42. 060 5)3042 -30 042 Выясните, сколько раз число 42 делится на 5, т.е. 42 ^ 5? Оно делится 8 раз с небольшим остатком, и на этом данный цикл деления завершается. 0608 <-
частное 5)3042 -30 042 -40 <г- остаток 32 ЧАСТЬ 1 Введение в математику В связи с тем, что чисел для сноса больше не осталось, процесс деления завершается, а результат (т.е. частное отделения) представлен самым верхним числом в столбце (начальный нуль можно опустить), тогда как остаток — самым нижним числом. Таким образом, 3042 -г 5 = 608 ост (2), т.е. результат деления числа 3042 на 5 равен 608 с остатком 2. f Выполните деление 741 + 3. i Вычислите результат деления 3245 -г 5. ') Найдите результат деления 91 390 -г 8. ρ Найдите результат деления 792 541 -г 9. ГЛАВА 1 Мы вас вычислили 33 Решения задач из этой главы Ниже приведены решения задач, представленных в этой главе в качестве упражнений, позволяющих вам попрактиковаться в анализе чисел и выполнении четырех основных арифметических операций над ними. Щр Выявите в числе 7359 цифры разрядов единиц, десятков и тысяч: а) цифра 9 в разряде единицы; б) цифра 5 в разряде десятков; в) цифра 3 в разряде сотен; г) цифра 7 в разряде тысяч. φ 2000+100 + 30 + 6 = 2136. Миллионы Сотни тысяч Десятки тысяч Тысячи Сотни Десятки Единицы 2 Ί 3 6 φ 0 + 3000 + 800 + 0 + 9 = 3809. Первая цифра 0 является незначащим нулем, а второй 0 — значащим. Миллионы Сотни тысяч Десятки тысяч Тысячи Сотни Десятки Единицы 0 3 8 0 9 φ 0 + 400000 + 50000 + 0 + 900 + 0 + 0 = 0450900. Первая цифра 0 является незначащим нулем, а остальные три нуля — значащими. Миллионы Сотни тысяч Десятки тысяч Тысячи Сотни Десятки Единицы 0 4 5 0 9 0 0 Щр Округлите приведенные ниже двухразрядные числа до ближайшего десятка. а) 29 —» 30. В разряде единиц находится цифра 9, поэтому она округляется в большую сторону. б) 43 -> 40. В разряде единиц находится цифра 3, поэтому она округляется в меньшую сторону. в) 75 -> 80. В разряде единиц находится цифра 5, поэтому она округляется в большую сторону. г) 97 -> 100. В разряде единиц находится цифра 7, поэтому она округляется в большую сторону,
а следовательно, и цифра 9 в разряде десятков. Щ Округлите приведенные ниже числа до ближайшего десятка. а) 164 —> 160. В разряде единиц находится цифра 4, поэтому она округляется в меньшую сторону. 34 ЧАСТЬ 1 Введение в математику б) 765 —> 770. В разряде единиц находится цифра 5, поэтому она округляется в большую сторону в) 1989 —> 1990. В разряде единиц находится цифра 9, поэтому она округляется в большую сторону. г) 9999995 —> 10000000. В разряде единиц находится цифра 5, поэтому она округляется в большую сторону, а следовательно, и цифра 9 во всех остальных разрядах. Ш Округлите приведенные ниже числа до ближайшей сотни. а) 439 -> 400. В разряде десятков находится цифра 3, поэтому она округляется в меньшую сторону. б) 562 -> 600. В разряде десятков находится цифра 6, поэтому она округляется в большую сторону. в) 2950 -> 3000. В разряде десятков находится цифра 5, поэтому она округляется в большую сторону. г) 109974 -> 110000. В разряде десятков находится цифра 7, поэтому она округляется в большую сторону, а следовательно, и цифра 9 во всех последующих разрядах. Q Округлите приведенные ниже двухразрядные числа до ближайшей тысячи. а) 5280 -> 5000. В разряде сотен находится цифра 2, поэтому она округляется в меньшую сторону. б) 77777 -> 78000. В разряде сотен находится цифра 7, поэтому она округляется в большую сторону. в) 1234567 —> 1235000. В разряде сотен находится цифра 5, поэтому она округляется в большую сторону. г) 1899999 —> 1900000. В разряде сотен находится цифра 9, поэтому она округляется в большую сторону, а следовательно, и цифра 9 во всех последующих разрядах. Q Сложите приведенные ниже числа на числовой оси. а) 4 + 7 = 11. Выражение 4 + 7 означает, что от числа 4 следует отсчитать 7 раз по числовой оси вправо, получив в итоге число 11. б) 9 + 8 = 17. Выражение 9 + 8 означает, что от числа 9 следует отсчитать 8 раз по числовой оси вправо, получив в итоге число 17. в) 12 + 0 = 12. Выражение 12 + 0 означает, что
от числа 12 следует отсчитать 0 раз по числовой оси вправо, получив в итоге число 12. г) 4 + 6+1+5 = 16. Выражение 4 + 6+1+5 означает, что от числа 4 следует отсчитать сначала 6 раз, затем 1 раз и, наконец, 5 раз по числовой оси вправо, получив в итоге число 16. ГЛАВА 1 Мы вас вычислили 35 Вычтите приведенные ниже числа на числовой оси. а) 10-6 = 4. Выражение 10-6 означает, что от числа 10 следует отсчитать 6 раз по числовой оси влево, получив в итоге число 4. б) 14-9 = 5. Выражение 14-9 означает, что от числа 14 следует отсчитать 9 раз по числовой оси влево, получив в итоге число 5. в) 18-18 = 0. Выражение 18-18 означает, что от числа 18 следует отсчитать 18 раз по числовой оси влево, получив в итоге число 0. г) 9-3 + 7-2+1 = 12. Выражение 9-3 + 7-2+1 означает, что от числа 9 следует сначала отсчитать 3 раза по числовой оси влево, затем 7 раз вправо, далее 2 раза влево и, наконец, 1 раз вправо, получив в итоге число 12. Умножьте приведенные ниже числа на числовой оси. а) 2 χ 7 = 14. Отсчитайте от нуля семь раз по два, чтобы получить в итоге число 14. б) 7x2 = 14. Отсчитайте от нуля два раза по семь, чтобы получить в итоге число 14. в) 4 χ 3 = 12. Отсчитайте от нуля три раза по четыре, чтобы получить в итоге число 12. г) 6x1=6. Отсчитайте от нуля один раз по шесть, чтобы получить в итоге число 6. д) 6x0 = 0. Отсчитайте от нуля нуль раз по шесть, чтобы получить в итоге число 0. е) 0х 10 = 0. Отсчитайте от нуля десять раз по нулю, чтобы получить в итоге число 0. Разделите приведенные ниже числа на числовой оси. а) 8-^-2 = 4. Выделите сначала отрезок от 0 до 8 на числовой оси. Затем разделите этот отрезок поровну на два меньших участка. Длина каждого из этих участков будет равна 4, что и даст результат деления, а следовательно, решение данной задачи. б) 15-^-5 = 3. Выделите сначала отрезок от 0 до 15 на числовой оси. Затем разделите этот отрезок поровну на пять меньших участков. Длина каждого из этих участков будет равна 3, что и даст результат деления, а следовательно, решение данной задачи. в) 18-^-3 = 6. Выделите сначала отрезок от 0 до 18 на числовой оси. Затем разделите этот отрезок поровну на три
меньших участка. Длина каждого из этих участков будет равна 6, что и даст результат деления, а следовательно, решение данной задачи. г) 10 -ί- 10 = 1. Выделите сначала отрезок от 0 до 10 на числовой оси. Затем разделите этот отрезок поровну на десять меньших участков. ЧАСТЬ 1 Введение в математику Длина каждого из этих участков будет равна 1, что и даст результат деления, а следовательно, решение данной задачи. д) 7 -^ 1 = 7. Выделите сначала отрезок от 0 до 7 на числовой оси. Затем разделите этот отрезок ровно на 1 участок, т.е. вообще не делите его. Длина этого участка по-прежнему останется равной 7, что и даст результат деления, а следовательно, решение данной задачи. е) 0-^-2 = 0. Выделите сначала отрезок от 0 до 0 на числовой оси. Длина этого отрезка окажется равной нулю, а следовательно, он не может быть меньше. Это означает, что в результате деления нуля на любое число все равно получается нуль. 252 1 2 129 88 +35 252 3150 75 х42 150 3000 3150 247 247 3)741 -6 14 -12 21 -21 0 φ 3189 2 1734 620 803 +32 3189 #11424 136 х84 544 10880 11424 ©649 0649 5)3245 -30 24 -20 45 ^15 0 # Φ ® 362 3 1 /19 -57 362 699840 1728 х405 8640 00000 691200 699840 11423 ост (6) 11423 8)91390 -8 11 -8 33 -32 19 -16 30 -24 # ® т 39238 3 10 9 11 1 /W4 -1786 39238 6835504 8912 х767 62384 534720 6238400 6835504 88060 ост (1) 088060 9)792541 -72 72 -72 054 -54 01 -0 1 ГЛАВА 1 Мы вас вычислили 37 Глава 2 Притягательность четырех основных арифметических операций |ВШГО:И^ГЯАВШ » Перезапись уравнений с помощью обратных операций и свойства коммутативности » Представление о свойствах ассоциативности и дистрибутивности » Вычисление неравенств вроде >,<^и» » Возведение в степень и извлечение корня етыре арифметические операции (сложения, вычитания, умножения и деления) являются основными, но весьма универсальными инструментальными средствами. В этой главе наглядно показано, что эти четыре операции попарно являются обратными, т.е. отменяющими друг друга. В ней также поясняется, каким образом свойство коммутативности позволяет
переставлять числа в выражении. А самое главное — из этой главы вы узнаете, как преобразовывать уравнения в альтернативные формы, упрощающие решение математических задач. Далее в главе поясняется, как пользоваться круглыми скобками для группирования чисел вместе с операциями и каким образом свойство ассоциативности гарантирует, что иногда круглые скобки не меняют решение задачи. Вы также узнаете, как обращаться с четырьмя разновидностями неравенств: >, <, Φ и «. И, наконец, будет показано, что возведение в степень является сокращенной формой умножения, а также каким образом извлекается квадратный корень из числа. Перегруппирование с помощью обратных операций и свойства коммутативности Четыре основные арифметические операции на самом деле составляют две пары обратных операций. Это означает, что такие операции способны отменять друг друга. » Сложение и вычитание. Операция вычитания отменяет операцию сложения. Так, если сложить сначала числа 3 и 4, получив в итоге число 7, а затем вычесть из него число 4, то первоначальная операция сложения будет, по существу, отменена, возвращая обратно к числу 3: 3 + 4 = 7^7-4 = 3. » Такой принцип действия обратных операций приобретает немалый смысл, если посмотреть на числовую ось. Так, операция сложения 3 + 4 означает, что следует начать с трех и отсчитать четыре раза вправо по числовой оси, а операция (7-4) — начать с семи и отсчитать четыре раза влево. Таким образом, сначала прибавляя, а затем вычитая число 4, мы в конечном итоге возвращаемся к тому, с него начинали вычисление. » Умножение и деление. Операция деления отменяет операцию умножения. Так, если умножить сначала число 6 на 2, получив в итоге число 12, а затем разделить его на 2, то первоначальная операция умножения будет, по существу, отменена, возвращая нас обратно к числу 6: 6х2 = 12-Н2-2 = 6. Свойство коммутативности сложения дает возможность изменять порядок следования чисел в операции сложения, не меняя результат, а
свойство коммутативности умножения — делать то же самое в операции умножения, не меняя результат. Ниже приведены характерные тому примеры. 2 + 5=7->5 + 2 = 7. 3x4=12^4x3 = 12. ДО ЧАСТЬ 1 Введение в математику Благодаря свойству коммутативности и обратным операциям каждое уравнение приобретает четыре альтернативные формы, содержащие одну и ту же, но немного иначе выраженную информацию. Например, 2 + 3 = 5иЗ+2 = 5 являются альтернативными формами одного и того же уравнения, хотя они и составлены с помощью свойства коммутативности. А уравнение 5 - 3 = 2 является обратной формой уравнения 2 + 3 = 5. И, наконец, уравнение 5-2 = 3 является обратной формой уравнения 3 + 2 = 5. С помощью альтернативных форм уравнений можно решать задачи заполнения пробелов. Так, если в уравнении известны два числа, то можно всегда найти оставшееся число. Для этого достаточно выяснить, как перенести пробел на другую сторону уравнения. Ниже поясняется, как это делается. » Если в любом уравнении отсутствует первое число, воспользуйтесь обратной операцией, чтобы перестроить уравнение: + 6=10-И0-6 = . » Если в операции сложения или умножения отсутствует второе число, воспользуйтесь сначала свойством коммутативности, а затем обратной операцией: 9 + = 17 + 9 = 17-И7-9 = . у> Если в операции вычитания или умножения отсутствует второе число, переставьте местами два значения, находящихся рядом со знаком равенства (т.е. пробелом и знаком равенства): 15- = 8- И5-8 . Задача. Какое уравнение является обратным уравнению 16-9 = 7? Решение. 7 + 9 = 16. В уравнении 16-9 = 7 следует начать с числа 16, вычтя из него 9, чтобы получить в итоге число 7. Обратное уравнение отменяет этот процесс, где следует начать с числа 7, прибавив к нему 9, чтобы вернуться обратно к числу 16: 16-9 = 7^7 + 9=16. Задача. Какое уравнение является обратным уравнению 6 χ 7 = 42? Решение. 42 ч- 7 = 6. В уравнении 6 χ 7 = 42 следует начать с числа 6, умножив его на 7, чтобы получить в итоге число 42. Обратное уравнение
отменяет этот процесс, где следует начать с числа 42, разделив его на 7, чтобы вернуться обратно к числу 6: 6 χ 7 = 42 -> 42 - 7 = 6. ГЛАВА 2 Притягательность четырех основных арифметических... Д1 Задача. Найдите три альтернативные формы уравнения 7-2 = 5, используя обратные операции и свойство коммутативности. Решение. 5 + 2 = 7;2 + 5 = 7и 7-5 = 2. Прежде всего воспользуйтесь обратными операциями, чтобы сменить вычитание на сложение: 7-2 = 5->5 + 2 = 7. Затем воспользуйтесь свойством коммутативности, чтобы изменить порядок следования чисел в данной операции сложения: 5 + 2=7->2 + 5 = 7. И, наконец, смените сложение на вычитание, используя обратные операции: 2 + 5 = 7-^7-5 = 2. Задача. Решите следующее уравнение, заполнив в нем пробел: 16 + = 47. Решение. 31. Воспользуйтесь сначала свойством коммутативности, чтобы обратить операцию сложения: 16 + = 47-> -> + 16 = 47. Затем смените в данной задаче сложение на вычитание, используя обратные операции: +16 = 47-> ->47-16 = . А теперь данную задачу можно решить, выполнив вычитание: 47-16 = 31. Задача. Заполните пробел в следующем уравнении: -5-3 = 13. Решение. 39. Воспользуйтесь обратными операциями, чтобы сменить в данной задаче деление на умножение: -5-3 = 13—> -ИЗхЗ = . Теперь данную задачу можно решить, выполнив умножение: 13x3 = 39. Задача. Заполните пробел в следующем уравнении: 64- =15. Решение. 49. Переставьте два последних числа в уравнении: 64- =15-> ->64- 15 = . Теперь данную задачу можно решить, выполнив вычитание: 64-15 = 49. 42 ЧАСТЬ 1 Введение в математику ) Составьте альтернативную форму каждого из приведенных ниже уравнений, используя обратные операции. а)8 + 9=17. 6)23-13 = 10. в) 15x5 = 75. г) 132-5-11 =12. ||| Составьте альтернативную форму каждого из приведенных ниже уравнений, используя свойство коммутативности, а) 19 + 35 = 54. 6)175 + 88 = 263. в)22х8 = 176. г) 101 χ 99 = 9999. |р
Найдите три альтернативные формы каждого из приведенных ниже уравнений, используя обратные операции и свойство коммутативности. а) 7 + 3 = 10. 6)12-4 = 8. в) 6 χ 5 = 30. г) 18- s-2 = 9. ИР Заполните проб( влы в каждом из приведенных ниже уравнении. а) 6) в)45 + г) 273 - Д)8х е)180-5-_ - 74 = 36. х7 = 105. = 132. = 70. = 648. = 9. ГЛАВА 2 Притягательность четырех основных арифметических... 43 Группирование с помощью круглых скобок и свойства ассоциативности ь Q <5Ъ Круглые скобки служат для группирования операций, указывая на необходимость выполнить любые заключенные в них операции прежде операций за их пределами. Круглые скобки способны существенно изменить результат, получаемый при решении математической задачи, особенно со смешанными операциями. Тем не менее круглые скобки не изменяют конечный результат при решении математической задачи в следующих двух важных случаях. у> Когда каждая операция является сложением, то свойство ассоциативности сложения гласит, что числа можно группировать как угодно, произвольно выбирая пары чисел, которые следует сложить в первую очередь. А перестановка круглых скобок не изменяет конечный результат. » Когда каждая операция является умножением, то свойство ассоциативности умножения гласит, что пары чисел, которые следует умножить в первую очередь, можно выбирать произвольно. А перестановка круглых скобок не изменяет конечный результат. Свойство ассоциативности вместе со свойством коммутативности, обсуждавшимся в предыдущем разделе, позволяют как угодно переставлять все числа в любой математической задаче, состоящей только из операций сложения или умножения. Задача. Чему равно (21 - 6) -г- 3 Для того чтобы вычислить значе- и 21 - (6 -г- 3)? ние выражения 21 - (6 -ь 3), выпол- Решение. 5 и 19. Чтобы вычислить ните сначала операцию в круглых значение выражения (21 - 6) - 3, скобках, т.е. деление 6-3 = 2: выполните сначала операцию в 21 - (6 ч- 3) = 21 - 2. круглых скобках, т.е. вычитание и# наконец,
выполните вычитание 21-6=15: 21-2 = 19.Обратите внимание на (21 - 6) -г- 3 = 15 + 3. то, что расстановка круглых ско- И, наконец, выполните деление: 6ок в о6оих выражениях изменяет 15-5-3 = 5. результат их вычисления. 44 ЧАСТЬ 1 Введение в математику Задача. Вычислите значение выражений Ί + (9 + 2) и (Ί + 9) + 2. Решение. 12 и 12. Чтобы найти значение выражения Ί + (9 + 2), выполните сначала операцию в круглых скобках, т.е. сложение 9 + 2=11: Ί + (9 + 2) = 1 +11. И, наконец, выполните сложение: 1 + 11 = 12. Для того чтобы найти значение выражения (1 + 9) + 2, выполните Задача. Найдите значение выражений 2 χ (4 χ 3) и (2 χ 4) χ 3. Решение. 24 и 24. Чтобы найти значение выражения 2 χ (4 χ 3), выполните сначала операцию в круглых скобках, т.е. умножение 4x3 = 12: 2 χ (4x3) = 2x12. И, наконец, выполните умножение 2x12 = 24. Для того чтобы найти значение выражения (2 χ 4) χ 3, выполните сначала операцию в круглых скобках, т.е. умножение 2x4 = 8: (2 χ 4) χ 3 = 8 χ 3. И, наконец, выполните умножение 8 χ 3 = 24. Результат все равно получается одинаковым, как бы ни группировать операции умножения. сначала операцию в круглых скобках, т.е. сложение 1+9 = 10: (1 +9)+ 2 = 10 + 2. И, наконец, выполните сложение 10 + 2 = 12. Обратите внимание на то, что оба выражения отличаются лишь расположением круглых скобок. Но поскольку оба эти выражения состоят только из операций сложения, то расстановка круглых круглых скобок в них никак не меняет результат вычисления. Задача. Найдите значение выражения 41 χ 5 χ 2. Решение. 410. Два последних числа в данном выражении невелики, поэтому заключите их в круглые скобки: 41 х5х2 = 41 х(5х2). Выполните сначала операцию умножения в круглых скобках: 41 χ (5x2) = 41 х10. А теперь можно без особого труда выполнить умножение: 41 χ 10 = 410. ГЛАВА 2 Притягательность четырех основных арифметических... 45
|jp Найдите значение выражения (8x6)+ 10. fjp Найдите значение следующих выражений. а)(40-г2) + 6 = ? 6)40^(2 + 6) = ? Влияет ли расстановка круглых скобок на конечный результат? Ill Найдите значение следующих выражений. а) (18 χ 25) χ 4 = ? б) 18 χ (25x4) = ? Влияет ли расстановка круглых скобок на конечный результат? Щр Найдите значение выражения 123 * (145-144). Ip Найдите значение следующих выражений. а) (16+ 24)+ 19 = ? б) 16+ (24+ 19) = ? Влияет ли расстановка круглых скобок на конечный результат? φ Найдите значение выражения 93769x2x5. {Подсказка: воспользуйтесь свойством ассоциативности умножения, чтобы упростить решение данной задачи.) Дб ЧАСТЬ 1 Введение в математику Неравенства, вносящие неуравновешенность в уравнения Если числа не равны, то их нельзя приравнять с помощью знака равенства (=). Вместо этого следует воспользоваться различными знаками, обозначающими их неравенство. Q » » Знак > обозначает операцию сравнения "больше", а знак < — операцию сравнения "меньше". Так, операция сравнения 6 > 3 обозначает, что число 6 больше числа 3. 7 < Ί 0 обозначает, что число 7 меньше числа Ί 0. Если вы не знаете, каким знаком воспользоваться, > или <, для сравнения чисел, запомните, что знак > всегда указывает в сторону меньшего числа, тогда как знак < — в сторону большего числа, Например, 5 < 7, но 7 > 5. Знак Φ обозначает операцию сравнения "не равно". Этот знак не столь полезен, как знаки > и <, поскольку он никак не сообщает, является ли одно сравниваемое число больше или меньше другого числа. Он, главным образом, обозначает ошибку или погрешность в вычислении арифметического выражения. Знак а обозначает операцию сравнения "приблизительно равно". Он употребляется при округлении чисел и оценивании решений математических задач, т.е. в тех случаях, когда требуется найти достаточно близкое, хотя и не точное решение. С помощью этого знака можно вносить небольшие коррективы в числа, чтобы упростить обращение с ними. (Подробнее об оценивании и округлении чисел см. в главе Ί.) Задача. Укажите правильный
знак (ЗчЭ (=' > или <) на месте пробела: 2 + 2 5. Решение. Знак < Укажите знак <, обозначающий операцию сравнения "меньше", поскольку операция сложения 2 + 2 = 4 дает результат, равный 4 и поэтому меньший 5. Задача. Укажите правильный знак (=, > или <) на месте пробела: 42-19 5x4. Решение. Знак >. Укажите знак >, обозначающий операцию сравнения "больше", поскольку операция вычитания 42 - Ί 9 = 23 дает результат, равный 23, и поэтому больший, чем результат операции умножения 5x4, равный 20. ГЛАВА 2 Притягательность четырех основных арифметических... 47 Задача. Сэм поработал на своих родителей 7 часов при ставке $8 в час, а родители заплатили ему $50. Укажите с помощью знака * причину разочарования Сэма. Решение. $50 * $56. Сэм работал 7 часов при ставке $8 в час, поэтому заработал следующую сумму: 7 χ $8 = $56. Он был разочарован потому, что родители заплатили ему неверную сумму, которая оказалась меньше, чем он ожидал: $50* $56. Задача. Найдите приблизительное значение выражения 2 000 398 + 6 001 756. Решение. 8000000. Оба числа в данном выражении порядка миллионов, поэтому их можно округлить до ближайшего миллиона: 2000398 + 600Ί 756 * «2000000 + 6000000. Теперь сложить эти большие числа не составит большого труда: 2 000 000 + 6 000 000 = 8 000 000. I Укажите правильный знак (=, > или <) на месте пробела в следующих выражениях: а)4 + 6 13; 6)9x7 62; в) 33-16 60-3; г) 100-5 83-63. ) Замените знак Φ на знак > или < в следующих выражениях: а)17 + 14*33; 6)144- 90*66; в) 11 χ 14*98; г) 150-6*20. 48 ЧАСТЬ 1 Введение в математику ί Хозяин заплатил Тиму за его работу, выполненную в течение 40 часов на прошлой неделе. А Тим отчитался за свое рабочее время, сказав, что он потратил 19 часов на прием клиентов, Ί Ί часов на разъезды на автомашине и 7 часов на работу с документами. Укажите с помощью знака Φ причину, по которой хозяин остался недоволен работой Тима. ί Найдите
приблизительное значение выражения Ί 0 002-6 007. Особые случаи возведения в степень и извлечения квадратного корня Возведение числа в степень — это быстрый способ умножить число на самое себя. Например, обозначение 25 означает "два в степени пять", т.е. умножение числа 2 пять раз на самое себя, как показано ниже. При этом число 2 называется основанием, а число 5 — показателем степени. 25 = 2x2x2x2x2 = 32. Степени числа десять, т.е. степени числа по основанию 10, играют особую роль, поскольку на них основана десятичная система счисления. Правда, обращаться с ними совсем не трудно. Чтобы возвести число 10 в степень любого положительного числа, достаточно написать число 1 и количество нулей, равное показателю степени. Например, 103 равно 1000. ГЛАВА 2 Притягательность четырех основных арифметических... 49 Ниже приведен ряд важных правил возведения в степени, содержащие число 0 или 1. & » Всякое число, возводимое в степень Ί, равно самому себе. у> Всякое число, кроме нуля, возводимое в степень 0, равно Ί. Например, 10° равно Ί без последующих нулей, т.е. Ί. » Число 0, возводимое в степень любого числа, кроме нуля, равно 0, потому что сколько бы ни умножать число 0 на самое себя, результат все равно будет равен нулю. Математики решили оставить обозначение 0° неопределенным. Это означает, что оно не равно ни одному из чисел. внимание.· w Число Ί, возведенное в степень любого числа, равно Ί, потому что сколько бы ни умножать число Ί на само себя, результат все равно будет равен единице. Когда число умножается на само себя, в итоге получается квадрат этого числа. Следовательно, возведение любого числа в степень 2 дает его квадрат. Например, обозначение 52 означает "пять в квадрате": 52 = 5х5 = 25. Операция извлечения квадратного корня числа является обратной по отношению к возведению числа в квадрат (как пояснялось выше в разделе "Перегруппирование с помощью обратных операций и свойства коммутативности", обратные операции отменяют друг друга). Извлечение квадратного корня числа означает выявление
нового числа, которое, будучи затем умноженным на самое себя, окажется равным исходному числу, из которого извлекался квадратный корень. В качестве примера ниже приведено извлечение квадратного корня из числа 25. V25 = 5 (поскольку 5x5 = 25). Задача. Чему равно З4? Задача. Чему равно Тзб? Решение. 81. Выражение З4 пред- Решение. 6. Чтобы извлечь квад- писывает умножить число 3 на са- ратный корень из числа 36, необ- мое себя 4 раза: ходимо найти такое число, умно- 3x3x3x3 = 81 жение которого на самое себя даст в итоге исходное число 36. Как из- Задача. Чему равно Ί О6? вестно, 6 χ 6 = 36, поэтому Тзб = 6. Решение. 1000000. По правилу возведения числа Ί0 в степень Ί О6 оно равно Ί с шестью нулями, т.е. Ί 000000. 50 ЧАСТЬ 1 Введение в математику Задача. Чему равно V256? Решение. 16. Чтобы извлечь квадратный корень из числа 256, необходимо найти такое число, умножение которого на самое себя даст в итоге исходное число 256. Поэтому попробуйте сузить круг подходящих для этой цели чисел, начав с числа 10: 10x10=100. Поскольку 256 > 100, квадратный корень из числа 256 больше 10. В таком случае попробуйте число 20: 20x20 = 400. Поскольку 256 < 400, квадратный корень из числа 256 оказывается в пределах от 10 до 20. В таком случае попробуйте число 15: 15x15 = 225. Поскольку 256 > 225, квадратный корень из числа 256 оказывается в пределах от 15 до 20. В таком случае попробуйте число 16: 16x16 = 256. Теперь все верно. Таким образом, V256 = 16· IP Найдите значения степеней следующих чисел: а) б2; б) З5; в)27; г) 28. {Подсказка: данную задачу упростит решение задачи из предыдущего пункта.) IP Найдите значения степеней следующих чисел: а) Ί О4; б)1010; в)1015; г)101. ГЛАВА 2 Притягательность четырех основных арифметических... 51 Решения задач из этой главы Ниже приведены решения задач, представленных в этой главе в качестве упражнений, позволяющих вам применить на практике знания, приобретенные в этой главе. Щ Составьте альтернативную
форму каждого из приведенных ниже уравнений, используя обратные операции. а) 8 + 9=17:17-9 = 8. б) 23-13 = 10:10 + 13 = 23. в) 15x5 = 75:75-5 = 15. г) 132-11 = 12:12x11 = 132. щр Составьте альтернативную форму каждого из приведенных ниже уравнений, используя свойство коммутативности. а) 129 + 35 = 54:35 + 19 = 54. б) 175 + 88 = 263: 88 + 175 = 263. в) 22x8=176:8x22 = 176. г) 101 χ 99 = 9999: 99 χ 101 = 9999. © Найдите три альтернативные формы каждого из приведенных ниже уравнений, используя обратные операции и свойство коммутативности. а) 7 +3 = 10: 10-3 = 7; 3 + 7= 10, а также 10- 7 = 3. б) 12 - 4 = 8: 8 + 4 = 12; 4 + 8 = 12, а также 12 - 8 = 4. в) 6 χ 5 = 30: 30 - 5 = 6; 5 χ 6 = 30, а также 30 - 6 = 5. г) 18 - 2 = 9: 9 χ 2 = 18; 2 χ 9 = 18; 18 - 9 = 2. Щр Заполните пробелы в каждом из приведенных ниже уравнений. а) 110. Перепишите уравнение - 74 = 36 в его обратной форме: 36 + 74 = . Следовательно, 36 + 74 = НО. б) 15. Перепишите уравнение χ 7 = 105 в его обратной форме: 105-7 Следовательно, 105 - 7 = 15. в) 87. Перепишите сначала уравнение 45 + = 132, используя свойство коммутативности: + 45=132. Затем перепишите данное уравнение в его обратной форме: 132-45 = . Следовательно, 132 - 45 = 87. 52 ЧАСТЬ 1 Введение в математику г) 203. Перепишите уравнение 273 - = 70, поменяв местами два его члена, находящиеся по обе стороны от знака равенства: 273-70 = . Следовательно, 273 - 70 = 203. д) 81. Перепишите уравнение 8 χ = 648, используя свойство коммутативности: χ 8 = 648. Затем перепишите данное уравнение в его обратной форме: 648-8 = . Следовательно, 648 -8 = 81. е) 20. Перепишите уравнение 180 - = 9, поменяв местами два его члена, находящиеся по обе стороны от знака равенства: 180-5-9 = . Следовательно, 180 - 9 = 20. 58. Сначала выполните операцию умножения в круглых скобках: (8x6)+ 10 = 48+10. Затем выполните операцию сложения: 48 + 10 = 58. 123. Сначала выполните операцию вычитания в круглых скобках: 123-s-(145- 144) =123ч-1. Затем выполните операцию деления: 123 -г-1 = 123. Найдите решение следующих двух уравнений. а) (40-2) + 6
= 20 + 6 = 26. б) 40 -г- (2 + 6) = 40 ч- 8 = 5. в) Да, расстановка круглых скобок влияет на конечный результат. Найдите решение следующих двух уравнений. а) (16+ 24)+19 = 40+19 = 59. б) 16+ (24+19) =16+ 43 = 59. Нет, расстановка круглых скобок никак не влияет на конечный результат из-за свойства ассоциативности сложения. Найдите решение следующих двух уравнений. а) (18 χ 25) χ 4 = 450x4 = 1800. б) 18х(25х4)=18х 100 = 1800. Нет, расстановка круглых скобок никак не влияет на конечный результат из-за свойства ассоциативности умножения. ГЛАВА 2 Притягательность четырех основных арифметических... 53 φ 93 769 χ 2 χ 5 = 937690. Данную задачу проще решить, заключив операцию умножения 2 χ 5 в круглые скобки. 93769 χ (2 χ 5) = 93 769 χ 10 = 937690. IP Укажите правильный знак (=, > или <) на месте пробела в следующих выражениях. а) 4 + 6=10, поэтому 10 < 13. б) 9 χ 7 = 63, поэтому 63 > 62. в) 33 - 16 = 17, а также 60 ч- 3 = 20, поэтому 17 < 20. г) 100 ч- 5 = 20, а также 83 - 63 = 20, поэтому 20 = 20. © Замените знак Φ на знак > или < в следующих выражениях. а) 17+14 = 33, поэтому 3 К 33. б) 144 - 90 = 66, поэтому 54 < 66. в) 11 χ 14 = 154, поэтому 154 > 98. г) 150 ч-6 = 25, поэтому 25 > 20. φ 19+11+7 = 37*40. φ 10002 -6007 «4000. φ Найдите значения степеней следующих чисел. а) б2 = 6 χ 6 = 36. б) З5 = 3x3x3x3x3 = 243. в) 27 = 2x2x2x2x2x2x2 = 128. г) 28 = 2x2x2x2x2x2x2x2 = 256. Из упражнения в предыдущем пункте уже известно, что 27 = 128, поэтому умножьте это число на 2, чтобы получить решение данной задачи: 128 χ 2 = 256. |ф Найдите значения степеней следующих чисел. а) 104 = 10000. Записывается как 1 с четырьмя нулями. б) 10ю = 10000000000. Записывается как 1 с десятью нулями. в) 1015 = 1000000000000000. Записывается как 1 с пятнадцатью нулями. г) 101 = 10. Любое число, возводимое в степень 1, равно самому себе. 54 ЧАСТЬ 1 Введение в математику
Глава 3 Освоение отрицательных чисел В ЭТОЙ ГЛАВЕ. » Представление об отрицательных числах » Определение абсолютного значения числа 11 Сложение и вычитание отрицательных чисел υ Умножение и деление отрицательных чисел Отрицательные числа, которыми обычно обозначается долг или низкая температура, представляют величины меньше нуля. Такие числа зачастую возникают при вычитании большой величины из меньшей. В этой главе поясняется, как выполнять четыре основные операции (сложения, вычитания, умножения и деления) над отрицательными числами. О происхождении отрицательных чисел Когда вы впервые открыли для себя операцию вычитания, то, вероятно, были предупреждены, что вычесть большее число из меньшего нельзя. Так, если у вас имеется четыре стеклянных шарика, то вам не удастся вычесть из них шесть шариков, поскольку вы не сможете изъять больше шариков, чем у вас есть на самом деле. Если это правило вполне справедливо для стеклянных шариков, то в других случаях большее число иногда можно вычесть из меньшего. Так, если у вас имеются 4 доллара и вы покупаете что-нибудь за 6 долларов, то тем самым совершаете покупку в долг на 2 доллара, т.е. в вашем распоряжении остается отрицательная денежная сумма. Число со знаком "минус" (например, -2) называется отрицательным. Так, число -2 можно назвать как "минус два", или "отрицательная двойка". Отрицательные числа находятся на числовой оси слева от нуля, как показано на рис. 3.1. Ί I 1 1 1 1 1 Г Τ 1 Г —г -8-7-6-5-4-3-2- 10 1 2 3 4 5 6 7 8 Рис. 3.1. Отрицательные числа на числовой оси Вычитание большего числа из меньшего приобретает смысл на числовой оси. С этой целью воспользуйтесь правилом вычитания, пояснявшимся в главе 1, начав с первого вычитаемого числа и отсчитав влево по числовой оси столько раз, сколько составляет второе число. © Если же в вашем распоряжении отсутствует числовая ось, то воспользуйтесь следующим правилом для вычитания большего числа из меньшего: переставьте местами оба числа, чтобы вычесть
Other documents randomly have different content
oli ennen aina päästy kevätnuotalle, kutukalan pyyntiin, ja kaukana oli silloin ollut särpimen puute. Mutta nyt oli jo heti keväästä juttu toinen. Nyt oli tullut tuo uusi kalastusasetus, joka sotki lintulahtelaistenkin kaikki vanhat elinkeinot. — Eikö lähdetä nuotalle? oli taas jäitten lähtiessä vanhan tavan mukaan Leppäniemen isäntä virkkanut naapurilleen Rainikaiselle. — Huomenna sinne jo kyetään. Mutta ankaraksi oli käynyt Rainikaisen katse, ja nuhdellen hän oli itsetietoisena naapuriaan neuvonut: — Nuotalle! Etkö tiedä uutta kalastusasetusta… et saa kastella nuottaasi jäittenlähdöstä heinäkuun alkuun, muuten menetät nuottasi. — No sehän nyt menoa on. Mutta mistä se sitten kevätkala saadaan? — Osta tai ole ilman. Sehän se kohta ensimmäiset huolet toi. Sanoivathan ne saatavan pyytää verkoilla ja rysillä, mutta kenelläpä niitä lie niin varalta ollut, ja mitäpä ne antoivat nuotan rinnalla, jos olisi ollutkin. Lintulahtelaiset pureskelivat kuivaa leipää, ryyppäsivät kurnaalia päälle ja katselivat kaihoten talaissa riippuvia nuottiaan. Älä kastele, — kyllä siitä aina joku vallesmanniin sanan lennättäisi, ja milläpä sitten lupa-ajallakaan pyytäisit. Odottivat sitä heinäkuun alkua — sittenpähän syödään särvintä sitä vinhempaan. Ja sillä välin isäntämiehet istuskelivat iltakaudet
kamareissaan ja lukivat uutta asetusta. Lukivat ja koettivat ymmärtää, mutta helppoa se ei ollut. Se käski perustaa kalastusyhdistyksiä, — he olivat siitä lahdelta tottuneet pyytämään itse kukin mistä oli saatu ja kuka oli kerinnyt. No, lintulahtelaiset perustivat yhdistyksen, rupesivat siihen kaikki, — samapa se, pyydetään sitten entisellään, kunhan vain se lupa-aika tulisi! Sitten se on toki selvää. Mutta eläpäs vielä! Eräänä pyhäiltana Kelalan isäntä kävelee piennarta pitkin Rainikaiseen hyvin miettiväisen näköisenä ja uusi kalastusasetus kourassaan. Istuu penkille, miettii yhä. — No mitä se naapuri nyt meinaa, kysyy vihdoin Rainikainen. — Sitä, että tämä kalastusjuttu ei taida olla vieläkään selvillä. Emme me kykene vielä heinäkuun alustakaan nuotalle. — No mikäs siinä… onhan se silloin jo lupa-aika. — On, mutta meillä ei ole vielä vesistö reilassa… Niin, näetkös tätä pykälää. Jokaisesta kalavedestä pitää lohkaista erityinen rauhoitusalue, josta ei kukaan saa mitään pyytää, ei muuta kuin minkä ongella saa. Ja se on lohkaistava ensiksi, sitä ennen älä kalasta. — Ja kuka sen lohkaisee? — Siihen pitäisi kai oikeastaan olla maanmittari tai… — Yhhyh! Siitä se tulee vielä kallis juttu, kyllähän ne mittarien taksat tunnetaan. Ja kuka ne hommaa ja maksaa?
Mutta Kelala, se kirjanoppinut, luki hiljaa asetusta edelleen. Hän oli löytänyt sieltä sellaisenkin kohdan, että "jos jakokunnan osakkaat itse sopivat jostakin määrätystä rauhoitusalueesta, niin saavat sen itse paaluttaa". Ja sen hän nyt haki ja naapurilleen lohdutukseksi luki. — No hitto vie, totta me sen sitten itse paalutamme. Pidetään kokous! Kokous pidettiin heti, siihen saapuivat Leppäniemen Matti, joka oli vähän tyhmä ja aina hyväksyi edellisen puhujan mielipiteet, Perälän isäntä, joka oli olevinaan yhtä suuri kirjamies kuin koskaan Kelala, vaikka nyt harmikseen huomasi itseltään tuon yhden mutkan jääneen asetuksesta huomaamatta, ja kaikki muut, — ei niitä toki ollutkaan kaiken kaikkiaan kuin vaille kymmenen taloa siinä Lintulahden kylässä. Asetuksen määräys rauhoitusalueesta huomattiin oikeaksi, ja miehet päättivät sen itse lohkaista ja paaluttaa, — olihan siinä heidän lahdessaan lääniä, joutipa siitä jokin nurkka rauhoitettavaksikin, kun vain sillä päästäneen. Jo heti seuraavana iltana he lähtivät neljällä veneellä lahdelle, sousivat sen pitkin ja poikin, katselivat kaikki paikat, missä oli vanhoja apajoita ollut — niitä eivät antaneet rauhoitusalueeksi, — muistelivat, miltä rannalta oli kaloja saatu ja miltä ei, ja innostuivat ja väittelivät. Sillä vähän kustakin paikasta oli joskus saatu, ei mielinyt riittää rauhoitusalueeksi mitään. Vihdoin he sopivat, valitsivat kaloille siitossijaksi muutaman kivisen louhikkorannan, jossa eivät muistaneet kalan koskaan asustaneen. — Sen nyt hennoo hylätä, toistivat he kaikki.
Ja iskivät paalut pohjaan, pitkät, paksut paalut, ja veistivät kirveillä merkit. — Siitä löytäkööt nyt herrat rauhoitusalueen, kun hakemaan tulevat! — Siinäpä kalat nyt kutekoot minkä vain mieli tekee, säilyy se paikka nuotilta. He hymähtelivät näin puhuessaan, sillä he tiesivät, etteivät tuossa louhikossa ole kalat koskaan kuteneet. Mutta ehkäpä muuttavat nyt sinne paalujen mukaan. Tehkööt minkä tahtovat, asetus vain on täytetty. Ja tyytyväisinä ja hyvässä sovussa miehet sousivat kotirantaan nyt vain odottamaan sitä heinäkuun alkua, jolloin vihdoinkin sai potkea nuotat veteen. Heinäkuu läheni. Mutta eräänä päivänä rupesi kylän miesten kesken taas liikkumaan uusia huolia sen samaisen asetuksen johdosta. Perälän isäntä, joka oli ollut vähän häpeissään sen tuonnoisen huomaamattomuutensa johdosta, oli nyt sitä uutterammin tutkinut uutta asetusta, vaaninut sen kaikkia metkuja ja vihdoin löytänyt siitä erään pykälän, joka määräsi, että rauhoitusalueeksi on valittava sellainen vesialue, jossa kalat yleensä käyvät ja jossa niillä on kutupaikkoja. Hän käveli Kelalaan, koetti salata voitonriemuaan ja esittää asiansa huolestuneella nuotilla, vaikka se ei oikein onnistunut: — Ei tainnut se meidän paalutus tulla sittenkään oikein lain mukaan jullilleen. Tässä on, että jos ei ole rauhoitusalue oikein määrätty, niin voi kuvernööri kieltää kalastuksen koko vesistöstä. Luepas tuosta…
Hän näytti sormellaan niitä löytämiään pykäliä Kelalalle ja lisäsi tämän lukiessa: — Se se puksahdus olisi, silloin emme saisi nuottaa vetää koko kesänä. Kelala luki, vaan ei tahtonut uskoa. — Ole hupsimatta, tuo ei meihin kuulu, kun meillä kerran on rauhoitusalue. Kuka sen takaa, etteivät kalat kude meidän paalujemme sisäpuolella. — Mutta tietäähän sen jokainen. — Ei sitä kuvernööri tiedä eikä hän siitä välitä. Kelala ei tahtonut pitää koko tätä uutta keksintöä minkään arvoisena. Mutta Perälä ei niin vähällä huoliaan heittänyt. Hän käveli Leppäniemeen ja sieltä Matin kanssa Rainikaiseen ja esitti heille asian kaikkein peloittavimmassa muodossa ja karvassa. — Se olisi puksahdus… ja kyllä aina joku ilmiantaa, siitä saatte olla varmat. — Ja mistä me silloin talvikalaakaan saisimme, kevätkausi nyt jo on saatu ilman tirppoa. Leppäniemen Matti oli jo aivan vakuuttunut. — Täytyy muuttaa se paalutus, panna kutupaikkojakin rauhoituspiiriin.
— Sitähän minäkin, vakuutti Perälä, on pidettävä uusi kokous. Tässä kokouksessa Kelala ja pari muuta miestä hänen kanssaan koettivat väittää turhaksi koko tätä touhua, — kuka sen tietää, missä se kala kutee, ja kuka sitä täällä käy katsomassa? Ja kuka ne mittaa meidän paalut, olkoot paikoillaan! — Mutta enemmistö oli levoton ja katsoi varmimmaksi seurata lain kirjainta. Niin sousivat miehet taas eräänä iltana lahdelle, sousivat poikki ja pitkin ja ryhtyivät vihdoin taas paaluttamaan uutta aluetta, selkävettä ja rannikkoa, jossa tiesivät kalan varmasti asuvan ja kutevan. Siihen meni heidän parhaita apajoitaan, ja säälittihän se, mutta parempi katsoa kuin katua. Niin arvelivat ukot ja löivät uudet paalut pohjaan. Siten oli nyt Lintulahdessa kaksi vesialuetta rauhoituspiireiksi paalutettuna. Ja kylän asukkaista muutamat pitivät sitä ensimmäistä oikeana rauhoitusalueena ja katsoivat olevansa oikeutetut vetämään nuottaa tuosta myöhemmin paalutetusta, hyvästä apajapaikasta, jonka taas toiset selittivät oikeaksi rauhoitusalueeksi, vaikk'eivät sentään uskaltaneet niitä ensimmäisiäkään paaluja repiä pois. Siitä syntyi kinaa kyläläisten kesken, pian siitä syntyi kaunaakin, ja naapurusten välit rikkoontuivat. — Vetäkää nyt nuottaa sieltä kalliorannalta, koska apajat rauhoititte, veistelivät Kelalan miehet. — Tehän sen asetuksen paremmin ymmärrätte. Me pyydämme vanhoilta apajoiltamme. — Kunnes kuvernööri kieltää teiltä pyynnin ja vie nuotatkin, vastasivat peräläiset. — Kieltää se teiltä jos meiltäkin.
Varsinkin Kelalan ja Perälän talojen välit kävivät huonoiksi. Heillä oli yhteinen tie rantaan, ja pian syntyi riita rumpujen korjaamisesta ja tien käyttämisestä. Akat hämmästelivät pyykkirannassa ja lapset tappelivat kesannolla. Heinäkuun alku oli juur'ikään käsissä ja nuotat olivat jo korjatut kesäkuntoon. Kauan oli särvintä ikävöity, ja siksi kaikki olivat valmiit ensimmäisenä lupapäivänä lappamaan nuotat veneisiin. Mutta tuo kahden rauhoitusalueen juttu teki sillävälin useat isäntämiehet yhä levottomammiksi. Niin oli Rainikainenkin nyt itse tilannut sen uuden asetuksen kaupungista; hän sai sen juhannuspäiväksi ja istui koko päivän ja tutki sitä, hän ei tahtonut enää luottaa toisten selityksiin. Varsinkin hän luki tarkoin luvun rauhoitusalueista ja töksähti aina siihen pykälään, jossa sanottiin, että lohkokunnan jäsenet saavat itse määrätä ja paaluttaa rauhoitusalueensa, "jos ovat yksimieliset". — Mutta entäpä jos eivät ole? Kovasti rupesi Rainikaista huolettamaan, hän käveli Leppälahden Matin luo, ja sieltä mentiin toisten isäntäin puheille, ja näille hän esitti nuo epäilyksensä ja kysymyksensä. — Jos eivät ole yksimielisiä, entä silloin? — Silloin kai eivät saa itse paaluttaa. — Ja silloin kai on mittari haettava jakoa tekemään. Muuhun päätökseen he eivät voineet tulla. Ja he oivalsivat, että heidän jakoasiansa oli juuri tuolla ikävällä kannalla: oli kaksi rauhoitusaluetta, josta toiset käyttivät yhtä, toiset toista. Mutta niin
ollen ei ole mitään varsinaista rauhoitusaluetta ollenkaan, huomautti Perälä, ja sellaisenhan laki nimenomaan määrää. Mutta tukalaa oli miehistä sekin mittarin hakeminen. — Mistä sen nyt enää ehtii heinäkuun alkuun saada, ja jos saisikin, niin kuka sen maksaa? — Mutta jos ei ole yhteistä rauhoitusaluetta, niin älä lähde nuotalle. No, ei auta muu kuin että se yhteinen rauhoitusalue on sittenkin hommattava, päättelivät miehet tuskissaan. Vielä on pidettävä uusi kokous kyläläisten kesken ja lopuksikin sovittava yhdestä ainoasta yhteisestä rauhoituspiiristä. Sitä vaatii kaikkien etu. Se oli tulos neuvotteluista. Viipymättä laitettiin taas viestit kiertämään kaikkiin taloihin, ja eräänä iltana ukot keräytyivät jälleen rannalle lähteäkseen kolmannen kerran soutamaan lahteaan pitkin ja poikki, sitä lopullista, yhteistä rauhoitusaluetta määräämään. Taas oli paaluja veneissä, taas kinailtiin ja soviteltiin, ja lopuksi valittiin vihdoin rauhoitusalueeksi sellainen poukama ja selkävesi, jossa oli sekä mahoa vettä että myöskin kutupaikkoja. Paalut iskettiin, kolmannet paalut. Ja yösydännä miehet palasivat taas maihin. Mutta alakuloisina ja huonoin toivein he nyt astelivat kukin kotitalolleen. Tällä hetkellä ei ollut Perälän eikä Kelalan isäntä ollut mukana, ja siitä aavistettiin pahaa kasvavan. Heistä Kelala piti kiinni ensimmäisestä paalutuksesta ja Perälä toisesta, eivätkä he tahtoneet kuulla muista rauhoitusalueista puhuttavankaan. He olivat sitäpaitsi riitaiset keskenään, eikä kumpikaan tahtonut lähteä mukaan
toimitukseen, jossa arveli toisen olevan. Mutta toiset kylän miehet epäilivät, että nämä ne tekevät vielä tenän ja lyövät tyhjäksi tämän viimeisenkin yrityksen. Niin kävikin. Perälä ei antautunut enää puheisiinkaan; kun ei kerran hänen paalutuksensa kelvannut, niin vedottakoon oikeuteen. Ja Kelala kirosi ja vannoi, että vaikka muut myöhemmin iskisivät koko lahden paaluja täyteen, niin hän ei välittäisi muista kuin siitä ensimmäisestä rauhoitusalueesta, joka oli ainoa laillinen. Niin alkoi heinäkuu. Lintulahdessa oli kolme rauhoitusaluetta, joista ei kumminkaan mikään ollut kaikkien tunnustama, kylän miehet olivat ilmi kiistassa keskenään ja naapurusten välit olivat pilassa. Nuotta-aika oli vihdoinkin tullut, mutta kukaan ei uskaltanut nuotallaan lahdelle lähteä, sillä naapurit olisivat sen tietysti heti viranomaisille ilmoittaneet — niin huonot olivat välit. Isäntämiehet vaanivat yökaudet toistensa talaita ja päivillä siitä toisiaan pistelivät. Ja lapset mankuivat särvintä ja akat torasivat, että mistä se talvikala otetaan. Se oli ikävää aikaa, ilma oli raskasta, alituiset epäluulot ja juorupuheet myrkyttivät mielet ja tekivät tukalaksi elämän. Nuoret miehet miettivät Amerikkaan lähtöä ja tytöt itkeä pillittivät sitä navetan portailla. Silloin laski, keskelle sitä raskasta ilmaa, eräänä kesäpäivänä tukkilautta Lintujokea myöten alas Lintulahteen, ja sen mukana tuli suuri liuta tukkilaisia, jotka hoilasivat ja lauloivat, niin että rannat kajahtivat. He hilasivat näet laulun voimalla lauttaansa merelle päin. Mutta kun he juuri olivat aavalla keskilahdella lauttoineen, niin jo nousikin mereltä kova myrsky. Se velloi lautan pitkin lahden selkiä, taittoi ankkurivitjat, särki puomit ja hajoitti tukit pitkin luotoja ja
rantoja. Tukkilaiset huusivat tuhatta huimemmin, karjuivat harmissaan ja kiroilivat kerätessään karkulaisia rannoilta ja vääntäessään uusia vitjoja puomeihinsa. Sitä kesti pari päivää, ja Lintulahden kylän asukkaatkin olivat aivan huumauksissaan siitä hälinästä ja hoiluusta. Mutta kun tukkilaiset vihdoin taas olivat saaneet lauttansa kokoon ja painuneet sen kanssa lahden suulta merelle, silloin lintulahtelaiset keksivät ihmeekseen, että heidän monista rauhoituspaalutuksistaan ei ollut enää merkkiäkään jäljellä. Myrskyn painosta raskaat lautat olivat katkoneet paaluja ja vatvoneet niitä irti, ja tukkilaiset olivat vihapäissään riuhtoneet viimeisetkin pois. Ihan putipuhdas oli lahti, ei yhtään paalua jäljellä, kaikki kolme rauhoitusaluetta olivat tykkänään hävinneet. Lintulahtelaiset katselivat sitä rannoiltaan päivän ihmetellen, puistelivat päätään ja miettivät. Mutta kun ilta tuli, niin jo yhdestä talaasta lapettiin nuotta veneeseen, sitten toisesta ja kolmannesta ja niin edelleen pitkin koko lahden rantaa. Jo ennen auringon laskua talaat olivat tyhjinä ja tyhjinä talotkin, joka mies ja nainen oli nuotalla. Surma oli sinä yönä Lintulahden kaloilla, sillä siinä vedettiin vanhat apajat ja uudet, joka ranta ja poukama koettiin, eipä jäänyt paljon vetämätöntä vettä. Liian kauan oli särpimettä oltu, oikein harmissa sitä nyt pyydettiin. Ja kalaa syötiin niinä päivinä joka mökissä, syötiin ja suolattiin, ja yhä uutta tuotiin joka ilta, tuotiin niin Perälään ja Kelalaan kuin Rainikaiseen ja Leppäniemeen ja kaikkiin muihin. Eikä siinä rauhoituspiireistä välitetty, niistä ei enää puhuttukaan. — Tukkilaiset tärvelivät paalut, mikä niistä alueista enää olisi selon saanut. — Hakekoon paalut se, kenelle se kuuluu…
Niin lohduttivat miehet omiatuntojaan käydessään potkemaan nuottansa tuonaan mittaamilleen rannoille. Ja se oli heistä leikkisääkin ja hauskaa. Naapurusten välit korjaantuivat tuota pikaa, toistensa nuotioille tultiin jo yösydännä rantakalaa syömään, ja halukkaasti ammensi siellä Kelalan isäntä keittoa poskeensa Peräläisen padasta ja Peräläinen pisti tupakan Kelalaisen massista. — Tukkilaiset tehkööt tilin rauhoitusalueista, me niistä jo tarpeemme saatiin. — Me syömme kalaa, tuli se yhdestä poukamasta tai toisesta. Tulkootpa kyselemään meidän rauhoituspaalujamme! Mutta ei kukaan kysellyt mitään. Ja niinikään vanhaan malliin kalaa pyydetään vielä tänäkin päivänä Lintulahdesta.
IV. KIUSKERISSA TALVELLA. Kiuskeri on pieni kalliosaariryhmä aavassa Suomenlahdessa, noin peninkulman päässä Suomen puolen ulommaisesta saaristosta, etelään Pitkästäpaadesta. Siellä on myöskin luotsimajakka, ja majakkana se kulkee "Ison Kalastajan" nimellä. Mutta Kiuskerina se on tunnettu suomalaisen rannikko väestön kesken, ja hyvin tunnettu ja laajalti tunnettu. Sillä se on itäisen Suomenlahden talvikalastuksen keskuspaikka. Kun kesällä purjehtii näiden autioiden kallioiden ohi tai jos matkustajalaivan kannelta tulee niitä kohden silmäilleeksi, niin uskoisipa näillä paikoilla talvisin vallitsevan täydellisen kuoleman ja hiljaisuuden. Kesällä toki näkee aina jonkin purjeen pilkistävän edes kaukaa taivaanrannalta tai savun tupruavan höyrylaivan piipusta taikka öiseen aikaan majakkatulen vilkkuvan. Mutta talvella! Poissa ovat purjehtijat jääaavikolta, poissa luotsit majakasta, sammuksissa ovat rantaloistojen tulet, kuollut on meri. Niinhän luulisi. Mutta eipäs olekaan.
Silloin siellä näet vasta elämä alkaakin, silloin se vasta täyteläänä pulppuaakin parin, kolmen kylmimmän talvikuukauden aikana. Meri ei vielä jouluksi jäädy, harvoinpa tammikuullakaan. Mutta helmikuun alussa saapuvat varmasti lähimmän rannikon miehet, etupäässä pitkäpaatelaiset, suurin joukoin Kiuskeriin. Suksilla sinne hiihtävät ja vetävät perässään pieniä, keveitä, siroja laitakelkkoja, joissa ovat verkot ja eväät, padat ja purjeet ja muut tarvekapineet, — norssikelkoiksi niitä sanotaan, sillä kuoretta tämä talvipyynti isoksi osaksi tarkoittaa. Mutta näiden yksinäisten hiihtäjäin välissä kulkevat huohottaen ja hoilaten isommat miesjoukot, jotka vetävät perässään jalaksille nostettuja veneitä, — ilman veneitä eivät nämä likisaaristolaiset koskaan lähde Kiuskeriin. Kepeästi juoksevat raskaat veneetkin jalaksillaan jäätikköä pitkin, ja pian se peninkulman taival katkeaa. Saaristolaiset nostavat tavaransa majoihinsa, — heillä on näet Kiuskerin suurimman saaren pohjoisrannalla notkoihin ja kallioiden lomiin veistettynä puolenkymmentä hirsisuojaa uuneineen ja lattioineen — ja niissä he talvikalan aikana aina yönsä lämpimässä viettävät. Tämä keskimmäinen kalliosaari on sangen korkea, mutta syysmyrskyllä kuohuu kumminkin meri iltikseen senkin yli, eikä siellä sen vuoksi kasva puutakaan, ei kuin vaivainen, maata vasten painunut kataja kiven kolossa. Ja aivan niinkuin saaren kataja, niin näyttävät sen majatkin mataloina ja maata vastaan painuneina juurettuneen kivien koloihin. Mutta kiire on Kiuskeriin saapuneilla jäälle. Kukin koettaa ehtiä valitsemaan parhaat verkkopaikat, syvimmät kalahaudat, — minkä paikan silloin helmikuussa saa valituksi, sen saa sitten, jos jää paikoillaan kestää, talvikauden omanaan pitää. Verkot uitetaan kohta jään alle, pitkä salko ommellaan avannosta toiseen, mutta verkon päihin kiinnitetty nuora jää kulkemaan jään päältäkin, niin että verkot voi kokea tarvitsematta niitä nostaa vedestä ja uudelleen uittaa. Kolme
avantoa kuuluu kuhunkin verkkoon. Keskimmäisen, suurimman, soikean avannon edessä istuu pyytäjä kahdareisin ja nostelee sieltä sulin käsin jääkylmää verkkoaan, noppien saaliin vasuihinsa. Mutta suojakseen tuulelta hän pystyttää ympärilleen "varjokepit", kuusi yläpäistään yhteen sidottua tankoa, joiden päälle hän levittää purjeen, — se on pienen lappalaiskodan näköinen, suippopäinen suojus, ja siinä kalastaja kököttää, anna pyrytä tai myrskytä. Ei ole hätääkään, kun vain jää kestää! Mutta tuskin lähimmän saariston miehet ovat ehtineet näin asettua pyyntipaikoilleen, kun jo pitempimatkaisiakin kalastajia rupeaa saapumaan Kiuskerin seuduille. Niitä tulee Koivistolta ja Uudeltakirkolta asti — heillä ei ole lähempänä talvipyyntipaikkoja, — ajavat siihen hevosilla rantoja pitkin tai suoraankin kierällä jäällä, saapuvat majoineen, eväineen, akkoineen — mutta ilman veneitä — jäädäkseen sinne sitten koko talvikaudeksi. He pystyttävät laudoista rakennetut, säpeillä kokoonkyhättävät majansa eli "putkansa" ulos jäälle, ulommas saaristolaisista, verkkoavantojensa viereen, ja muuttelevat niitä sitä myöten kuin saalista tuntuu tulevan. Ennen pitkää on näitä majoja siellä jäisellä ulapalla silmänkantaman pituinen rivi, on putka putkan takana, sen verran vain väliä, etteivät eri pyytäjäin verkot sotkeudu toisiinsa, jos merivirta miten päin pyörinee. Jokaisessa majassa asuu 6-8 henkeä, sulloutuneina minkä suinkin makaamaan sopivat. Pienellä rautauunilla maja illalla lämmitetään, ja pian se käykin kuumaksi kuin sauna; mutta pian lämmin pakeneekin hataroista lautaliitteistä, eikä aamulla majassa ole paljoa vähemmän pakkasta kuin jääaavikolla, — terveyttä se elämä kysyy! Vilkasta on elämä aamusta asti Kiuskerin edustan aavikolla. Tuhathenkinen väestö kihisee siinä yksillä jäätiköillä; miehet
juoksevat edestakaisin majojensa ja avantojensa väliä, varjokeppejä pystytetään avantojen ympärille, ja pian on niitä kuin suippopäitä heinärukoja ison kartanon vainiolla, — hyvin ison kartanon. Uudet tulokkaat vetävät keikkojaan yhä edemmäs merelle. Ja maista päin kilisevät kulkuset, kalanostajat näet saapuvat pyyntipaikalle ostamaan aamun saaliit. Nuo ostajat antavat erityisen värin ja elon kalastajaleirille. Hevosten tiu'ut kilajavat, kun ne kylmissään siinä jäällä heinää pureskelevat ja tömistävät kavioitaan. Miehet tepastavat siellä hyvissä turkeissa, kirjavissa vöissä ja huopasaappaissa, kulkevat majasta toiseen, tinkivät, huutavat kalamiehiä puheilleen ja hierovat kauppaa. Mutta kalastajat, vaikk'eivät muuten paljon tiedä toisistaan jääaavikolla, ovat kumminkin hintojen puolesta muodostaneet lujan liiton: he eivät niitä pudota. Ja jo maksaa yksi ostaja toisensa perästä vaaditun hinnan, joku lisääkin vähän saadakseen kuormansa pian täyteen ja ehtiäkseen ensiksi myyntipaikalle, Viipuriin tai Pietariin. Raha kilahtaa kalastajan suomuspeittoiseen massiin, päivän pyynnistä hän voi saada kymmenen markkaa ja ylikin. Mutta kyllä se olikin raskasta työtä, — vilussa ja pyryssä pitää avokäsin hoitaa jään alta juoksevia pohjaverkkoja, ja niin märkänä sitten maata yönsä vetoisessa majassa. Ja sitä täytyy tehdä kuukausimääriä yhteen menoon. Pitkäpaatelaiset ne toki lähtevät aina sunnuntaiksi kotiinsa, kylpevät lauantai-iltana, muuttavat vaatteensa, lepäävät ja ihmistyvät lämpimissä tuvissaan perheensä parissa ja palaavat sitten maanantai-aamuna aikaiseen uusina ihmisinä taas viikoksi Kiuskeriin. Mutta ulkopitäjäläiset elävät siellä merellä hataroissa lautamajoissaan usein pari kuukautta yhteen menoon, ehkä jonkin ainoan kerran käyvät saaressa vierailemassa, elävät siellä niillä yksillä ahtailla, kylmillä ja märillä tiloilla myrskyssä, tuiskussa ja pakkasessa.
Järjestys tuossa jääyhteiskunnassa on mallikelpoinen. Ei siellä ole esimiestä, ei ruununmiestä, ei sääntöjä eikä aitoja, vaan niitä ei tarvitakaan. Kukin hoitaa omat asiansa, hoitaa raskaan työnsä ja antaa toisen tehdä samoin. Raskasta työtä, mutta meneehän se elämä sittenkin mukiin, niin kauan kuin jää kestää eheänä ja rauhassa saa pyyntiä harjoittaa, — siihenhän sitä on saatu tottua. Vasta se vaikeaksi käy, kun sattuu sellainen huono talvi, jolloin meri menee heikkoon jäähän, joka sitten joka tuulella repeytyy ja särkyy ja näyttää hätää ja kiirettä kalastajille. Silloin ei voi koskaan yötään aivan turvallisesti maata lautamajassa, silloin täytyy päivilläkin alinomaa varjokeppien alta tarkata tuulia ja merivirtoja ja pelätä jään alla olevia, kalliita verkkoja. Ja repeileehän meri usein vankempinakin talvina, kun myrsky nousee. Yhtäkkiä irtautuu jää joltakin kaukaiselta rannalta ja turkkaa toista kiintonaista jäätä vastaan, joka taas vuorostaan särkyy ja lähtee tyrkkimään. Silloin rupeaa meri elämään, silloin ei ole hauskaa aavikolla. Railoja avautuu kalastajain majojen väliin, lautta lähtee verkalleen liikkeelle. Kiire on silloin kalastajilla korjata verkkojaan ylös merestä, panna majat kokoon ja pyrkiä kiintojäälle. Lähimmän saariston miehet siitä pulasta helposti pelastuvat: heillä on venheet Kiuskerissa ja siellä aina miehiä, jotka tulevat pyynnissä olevia pelastamaan. Mutta koivistolaisilla ei ole veneitä, hauras jää on heidän ainoana turvanaan. Kun meri on ollut ylt'yleensä jäässä, silloin eivät lautat tavallisesti lohjettuaankaan pääse kauas kulkemaan, ainahan silloin tulee toinen jää pian vastaan, jota myöten pääsee pyrkimään kiintojäälle. Mutta jos tuuli kauan puhaltaa yhdeltä suunnalta, kooten jäät vastarannalle, ja virta sitten yht'äkkiä kääntyy toisaalle, silloin railot levenevät suuriksi seliksi ja liikkuva jäälautta ajautuu kauas sulalle merelle, ajautuu kuulumattomiin. Silloin on hätä käsissä, silloin lautalle jääneet
kalastajat voivat hävitä viikkokausiksi teille tietymättömille. Ellei heitä silloin pian ala joltakin rannalta kuulua, niin jo on pakko hälyttää ruunun laivoja avuksi. Niin käy usein kevätpuoleen, milloin jäät lähtevät liikkeelle ennenkuin pyyntiaika on lopussa. Kalastajat eivät malta lähteä ajoissa maihin, he luottavat onneensa, jäävät jäätikölle viime tinkaan, kunnes lautat repeytyvät irti ja lähtevät kulkusalle. Itse he silloinkin kyllä tavallisesti ehtisivät pelastua, mutta he eivät raaski jättää verkkojaan, jotka ovat heidän omaisuutensa ja elinneuvonsa, he jäävät verkkojaan talteen korjaamaan ja joutuvat sillä välin kulkusalle. Ajelehtivan jäätelin varassa on kymmenien, ehkä satojen ihmisten henki. Mutta harvoinhan niiden kumminkin kuullaan hukkuneen, — aina on jokin ranta tullut vastaan. Kiuskeria lähinnä asuvain saaristolaisten kuvausten mukaan nuo koivistolaiset ovat aika hölmöjä, kun noin jättäytyvät merijään varaan ilman veneitä, ilman oman pelastuksen mahdollisuutta; — "niitä täytyy sitten meidän aina käydä sieltä mereltä keräilemässä", sanovat he. Arvattavasti koivistolaisten mielestä noiden lähisaaristolaisten pyynti taas on ihan herraspeliä, ilman vaivaa ja vaaraa: heillä hirsimajat asuntona, veneet varana, kotona saunat lämpiävät, — sitä vailla, ettei ole rautatietä ja makuuvaunua! Toista se on vielä Kiuskerissa, toista Kiuskerin takana, sanovat koivistolaiset, — siellä se pyynti vasta luontoa kysyy. Mutta saarelaiset pitävät varovaisuutensa järkimiehen viisautena, — hölmöä on heittäytyä sattuman varaan. — Te siis ette koskaan joudu kulkeville jäälautoille, kysäisin kerran Pitkänpaaden Jermolta, kun hän kuvaili tuota itärannan kalastajain varomattomuutta.
— Eipä sitä meille usein satu, joskus mahdollisesti tapaturmassa. Olinhan sitä sentään tässä tuonaan minäkin yhden yön sellaisella reissulla, — mutta yhden yön vain. — Ähäs, kuinka se niin sattui? — Jää repeysi rutosti, me satuimme muutaman naapurin kanssa etäälle Kiuskerista, kun nousi äkkiä myrsky. Ei ehditty kiintojäälle eivätkä toisetkaan päässeet meille avuksi. Oli sellainen sakea lumipyry, ettei nähnytkään mitään. Koetettiinhan siitä maihin päästä, hypittiin lautalta toiselle, juostiin hiki hatussa, mutta yö tapasi. Haimme silloin sellaisen jääröykkiön, johon ahtojäätä oli pakkaantunut — se ei juuri enää vähällä kummalla repeä, — kaivoimme siihen tuurillamme sen verran koloa, että pää ja hartiat mahtuivat tuulelta suojaan, se kun oli julma se myrsky. Siinä makasimme, mutta eipä nukuttanut. Jäät hankasivat vastakkain, ulisivat ja paukkuivat, halkeilivat ja tuuppailivat toisiaan; väliin soluttiin aika vauhtia selvää vettä jonkin railon yli, väliin taas jysähdettiin toista lauttaa vastaan. Myrsky vinkui ja repi turkin liepeitä — en sitä yötä unohda. Säälikseni ovat lautoille jääneet ulkopitäjäläiset usein käyneet, kun olen sitä omaa yötäni muistanut. — Mutta seuraavana päivänä jo pääsitte pois? — Niin, myrsky tyyntyi, jäät asettuivat, railoja meni jäähän ja me taivalsimme, lautalta lautalle hyppien, Kiuskeriin päin. Puljahdeltiinhan siinä väliin hartioita myöten mereenkin, mutta eihän siinä hätää ollut; Kiuskerin majakka näkyi, ja sitä lähemmäs myötään tultiin. Kamala yö se oli, kylmä oli ja nälkä oli ja surma oli perimässä, ja tulinpa ajatelleeksi, ettei olisi nyt markka paljon kuumasta kahvikupista. Mutta pientä tuskaahan se sittenkin oli kaiken sen
suuren tuskan rinnalla, jonka Kiuskerin jäät joka talvi niin monelle tuottavat. — Keväällä, kun jäät Kiuskerin ympäriltä ovat irti ja ajautuvat kauas, mutta rannikot vielä ovat umpijäässä eikä merenkulku pääse alkamaan, silloin meri on todellakin muutaman kuukauden ajan Kiuskerin ympärillä kuollut. Mutta kauan sitä kuolemaa ei kestä. Luotsit saapuvat samassa majakkaan, tulet sytytetään loistoissa, ja ensimmäisen höyrylaivan savupatsas alkaa pian haamottaa taivaanrannalta. Kesäkausi, laivaliike on alkanut. Mutta talvikausi se sittenkin vasta on oikeata liikkeen aikaa Kiuskerin ympärillä.
V. JÄYKISTYNEET SORMET. Helmilahden vanha Antti on hänkin niiltä saaristolaisten merielämän maineajoilta, jolloin rahdinkuljetuksen Suomenlahdella toimittivat yksinomaan saaristojahdit ja kaljaasit — silloin ei vielä ollut höyrylaivoja joka lahtea porkkaamassa — ja jolloin nämä vankat ja nopeat alukset kilpailivat myrskyjen kanssa voimassa ja tullimiesten kanssa viekkaudessa. Mutta nuo vanhat merikarhut eivät juuri kernaasti kerro muistojaan ja seikkailuitaan; eipä silti, että he nyt enää mitään pelkäisivät, mutta he pitävät ne mieluummin ominaan. — Eihän sitä mitään niin merkillistä tapahtunut, vastasi Anttikin, jos milloin koetin johtaa puheen noihin aikoihin, se nyt oli aikaansa sekin, niinkuin muukin. Kun häneltä joskus esim. kovalla tuulella purjehdittaessa tiedusteltiin, muistiko hän jotakin erityistä myrskyä entisiltä merimiesajoiltaan, hän vastasi naurahtaen, että "eihän tämä vielä sitä oikeata tuulta ole", mutta tarkemmin ei kertonut. Ja jos siitä vanhasta viinankuljetuksesta tuli puhe, niin hän vaikeni kokonaan, ikään kuin asia ei olisi häneen kuulunutkaan. Mutta kerran hän sentään hiukan raotti sanalipastaan — ja se oli hänen kahden koukkuun jäykistyneen sormensa ansio. Olin usein
huomannut, että Antti purjenuoria hoitaessaan vähän kömpelösti niitä oikealla kädellään hypisteli, niin nokkelasti kuin hän muuten vielä purjeita käyttelikin, ja kerran sen vuoksi kysäisin, että kuinka hänellä nuo pari sormea ovat noin jäykät. Hän ojensi silloin hymyillen kätensä, oikaisi suoriksi kolme sormeaan ja osoitti, että ne kaksi keskimmäistä, pitkä sormi ja nimetön, olivat koukussa eivätkä oienneet. Ja hän virkkoi: — Tämä on sitä viinan työtä. Utelias olin kuulemaan pienimmänkin kaskun ja mietin keinoa, miten saisin ukon kertomaan sormiensa tarinan. Mutta ilokseni hän nyt rupesi aivan pyytämättä selittelemään: — Eivät nämä sormet ole tappelussa särkyneet, ei sillä tavalla viinan työtä, vedessä ne ovat kangistuneet. Mutta pirtulasti siihen oli syynä — olinhan sitä näet minäkin joskus kuljettamassa. Ja näin kerta alkuun päästyään Antti jatkoi: — Monet mutkat ja juonet siinä täytyi keksiä, kun mieli lastin maahan saada, sillä tullimiehet olivat tottuneet ja valppaat, — tuolla Pitkässäpaadessahan niillä oli silloinkin asemansa ja sieltä ne purjehtivat alituiseen joka taholle saaristossa. Ja oli niillä maissakin urkkijoitaan, jotka heille ilmoittivat, mikä laiva milloinkin oli lähtenyt meren takaa pirtua hakemaan — sitä silloin aina tiesivät odotella ja vahtia. Sen vuoksi täytyi saaristolaisten usein jo kaukana merellä tyhjentää lastinsa toisiin aluksiin, jotka sinne yöpimeällä purjehtivat vastaan — siitä oli aina etukäteen salaa sovittu. Kun sitten tulliveneet ajoivat takaa mereltä tullutta laivaa, jonka tiesivät
tuoneen viinaa, mutta jonka harmikseen tapasivat tyhjänä, veivät aivan toiset alukset sill'aikaa lastin toisia väyliä myöten maihin. Antti hymähti vähän katkerasti. — Mutta ainapa ei sekään juoni auttanut. Eräänä yönä meitä purjehti pari miestä sillä asialla tyhjällä hailiveneellä Saksasta tulevaa kaljaasia vastaan, joka toi kielletyn lastin — sieltähän niitä pirtulasteja viime aikoina enimmäkseen tuotiin. Tullimiehille oli ihan meidän toimestamme salaa ilmoitettu, että se se nyt viinaa tuo. Oli ankara pohjoistuuli, meidän täytyi purjehtia lähelle Narvin saarta, jossa nyt on majakka, ennenkuin kaljaasin tapasimme. Enimmät lastit oli siitä jo muuan jahti käynyt hakemassa, mutta kun se ei jaksanut kaikkea ottaa, piti meidän viedä maihin viimeiset avonaisella hailiveneellä. Tyhjä kaljaasi lähti purjehtimaan maihin Pitkänpaaden itäpuolitse, vetääkseen tullimiesten huomion sinne, ja helppohan sillä oli matka. Mutta meillä oli hyvin työläs retki. — Sitä silloista tuulta saattoi todella sanoa myrskyksi — enpä sen kovemmassa muistakaan olleeni. Luovittiin vastaiseen siinä vihaisessa säässä, ja kun vihdoin rannikkoa lähestyttiin, painoi tuuli meidät suoraan Kultamatalaa kohti, — sitä kutsutaan Kultamatalaksi, kun siinä on keltainen hiekkapohja. Ei se tavallisesti mikään matala ole kalaveneelle, siinä on vettä parikin syltä, mutta sellaisessa myrskyssä se on surman paikka joka alukselle. Siinä käy mahtava kare, jokaisen aallon pohjassa siinä silloin näkyy selvä, keltainen hiekka, ja siihen särkee meri aluksen sekä suuremman että pienemmän. Kamalata oli sitä karetta nähdä, ja joka hetki luulimme veneen jysähtävän säpäleiksi pohjaan, sillä siinä aallokossa oli mahdoton kääntää varsinkaan raskaassa lastissa olevaa venettä. Mutta yli tulimme Kultamatalasta — emme sattuneet toki
matalimmalle kohdalle — ja niin oltiin vihdoinkin pääsemässä ensimmäisten saarten suojaan. Olipa ollut kuin tulppa koko päivän sydämessä, ja siksi hengitimme jo vapaammin; tullimiehiä emme osanneet ollenkaan peljätä, varsinkaan siinä säässä, ja rohkeasti viiletimme lähintä salmea kohden. Silloin yht'äkkiä näemme edessämme tulliveneen keulan — Mervenius on siinä saaren takana väijymässä. Katseeni lienee ollut kysyvän näköinen, sillä vaikka en mitään virkkanut, ukko vastasi: — Kukako Mervenius oli — sehän se juuri oli se Pitkänpaaden tullipäällikkö, ovela, viekas mies. Se oli kuin kärppä kivirauniossa, yht'aikaa monessa paikassa, eikä se hänkään säitä säikkynyt. Hänen piti silloinkin olla kaukana idässä kaljaasia vahtimassa, mutta olikin siinä meitä vastassa, — lienee arvannut juonemme, koska oli lähettänyt pienemmän veneen kaljaasia ajamaan ja itse tullut meitä kohti. No niin, meille hätä käteen. Käänsimme ruorin ympäri, rupesimme pyörähtämään myötäiseen, pakosalle… Silloin pamahti laukaus, veneemme oli ammuttu puhki, se vajosi… Antti vaikeni tuokioksi. Sitä ei minun uteliaisuuteni olisi sallinut varsinkaan tällä kohdalla, ja ehätin kysymään: — Entä te — jouduitte uimasille? — Meillä oli veneessä korkkiset törnipussit — ne piti olla, kun merellä lasti otettiin — ja sellaisen ennätimme kumpainenkin tempaista kouraamme, muutenhan siihen olisikin paikalla hukuttu. — Ettekö osanneet uida?
— Emme me saaristolaiset ui koskaan, veteen ei mennä muuta kuin milloin on pakko. Eihän siitä tosin sillä kertaa olisi ollut pitkältä maihin uida, mutta eipä ollut meidän siinä maihin pyrkimistäkään. Sillä siellä olivat tullimiehet vastassa, sieltä olisi suoraan ollut matka vankilaan, eikä sinne mieli tehnyt. Mutta eipä ollut siinä muuten mies enää paljon matkansa määrääjänä, aalto vei meitä mukanaan, kuljetti mihin tahtoi. Tullimiehetkin lienevät luulleet meidän siihen kerrassaan veneinemme uponneen, koska eivät edes paikalle soutaneet. — Ja teitä meri vei suoraan selälle? — Niin vei. Sen verran tuuli kumminkin kävi viistoon, että aalto ajeli meitä Martinsaaren rantaa kohden. Mutta onhan sitä selkää siinäkin, tunnin sitä kalavene purjehtii tavallisella tuulella, ja meidän oli sitä sulin käsinä myrskyssä soudettava. Mutta mikäpä siinä auttoi, koetettiin pysyä hengissä niin kauan kuin voitiin. Oli syyspuoli kesää, vesi toki ei ollut kovin kylmää, mutta kangisti sittenkin ajan mittaan kontettuneiksi kaikki raajat, eikä ollut tajustakaan lopuksi enää paljon tolkkua — en tiedä vieläkään, kauanko siinä likosin. Antti keskeytti hetkeksi kertomuksensa, oikaisi sitten taas ne kolme sormeaan suoriksi ja näytti kahta, jotka olivat jäykkinä koukussa. — Noiden sormien ja kämmenen väliin olin saanut temmatuksi korkkipussin rihman ja niillä sitä koko ajan siihen puristin, — ei ollut siinä aallokossa aikaa eikä tajuakaan korjata rihmaa paremmin käteensä. Toisella kädellä koetin aina kahmaista itseni aallon harjalle, että en alle vaipuisi. Toveristani en tiennyt mitään, vähän matkaa uppoamispaikalta olin jo hänestä eronnut; yksin vain siinä taistelin ja syljeskelin merivettä, jota aalto aina turkkasi kurkkuuni. Enkä tiedä

More Related Content

PDF
1451 математика. 3кл. полный курс -все типы заданий узорова, нефедова-2009 -...
byddfefa
 
PDF
518 готовимся к экзамену по математике крамор в.с-2008 -544с
bypsvayy
 
PDF
Марченко И.С. Математика. 1-4 классы: в схемах и таблицах PDF
bydalida2015
 
PDF
Математика, Практический справочник, 1-4 класс, Марченко И.С., 2012
bydalida2015
 
PDF
9
by9klas
 
PDF
ппп1
byDimon4
 
PDF
1864 математика. практич. справочн. 1-4кл. марченко и.с-2012 -144с
byddfefa
 
PDF
1305 математика. 1-4кл. в схемах и табл. марченко-2011 -144с
byddfefa
 
1451 математика. 3кл. полный курс -все типы заданий узорова, нефедова-2009 -...
byddfefa
 
518 готовимся к экзамену по математике крамор в.с-2008 -544с
bypsvayy
 
Марченко И.С. Математика. 1-4 классы: в схемах и таблицах PDF
bydalida2015
 
Математика, Практический справочник, 1-4 класс, Марченко И.С., 2012
bydalida2015
 
9
by9klas
 
ппп1
byDimon4
 
1864 математика. практич. справочн. 1-4кл. марченко и.с-2012 -144с
byddfefa
 
1305 математика. 1-4кл. в схемах и табл. марченко-2011 -144с
byddfefa
 

Similar to Математика для чайников Сборник задач 3rd Edition Зегарелли М

PDF
9 klas algebra_merzljak_2017_ros
bymoyashkolamoyashkola
 
PDF
Математика 5 класс
by21kisa
 
PDF
5 m t_2013_r
byUA4-6
 
PDF
Иванов Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы. Москва. 2003
byYura Maturin
 
PDF
5 матем тарасенкова_богатырева_2013_рус
byAira_Roo
 
PDF
33786
byqwasar1
 
PDF
751.математика курс подготовки к егэ задания первой части (задачи типа в) еди...
byivanov15548
 
PDF
Algebra 9-klass-merzliak-2017
bykreidaros1
 
PDF
751.математика курс подготовки к егэ задания первой части (задачи типа в) еди...
byivanov1566334322
 
PDF
Algebra 8-klass-bevz-2008
bykreidaros1
 
PDF
325 алгебра и начала анализа в таблицах и схемах евдокимова н.н-2007 -96с
bypsvayy
 
PPT
математика 5 6 класс
byagafonovalv
 
DOC
брошюра кроссворды
byAsem Sarsembayeva
 
DOC
6 матем
byoksana197319
 
PDF
1
byssusera868ff
 
PDF
435.элементы теории множеств и математической логики теория и задачи
byivanov15548
 
DOC
5 матем 5 часов
byЮлиана Соловьева
 
DOC
5 матем 6 часов
byoksana197319
 
PPT
Alg urabnprstep
byshadetoraven
 
PPT
Algebraicheskie uravneniya proizvolnyh_stepenej
byИван Иванов
 
9 klas algebra_merzljak_2017_ros
bymoyashkolamoyashkola
 
Математика 5 класс
by21kisa
 
5 m t_2013_r
byUA4-6
 
Иванов Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы. Москва. 2003
byYura Maturin
 
5 матем тарасенкова_богатырева_2013_рус
byAira_Roo
 
33786
byqwasar1
 
751.математика курс подготовки к егэ задания первой части (задачи типа в) еди...
byivanov15548
 
Algebra 9-klass-merzliak-2017
bykreidaros1
 
751.математика курс подготовки к егэ задания первой части (задачи типа в) еди...
byivanov1566334322
 
Algebra 8-klass-bevz-2008
bykreidaros1
 
325 алгебра и начала анализа в таблицах и схемах евдокимова н.н-2007 -96с
bypsvayy
 
математика 5 6 класс
byagafonovalv
 
брошюра кроссворды
byAsem Sarsembayeva
 
6 матем
byoksana197319
 
1
byssusera868ff
 
435.элементы теории множеств и математической логики теория и задачи
byivanov15548
 
5 матем 5 часов
byЮлиана Соловьева
 
5 матем 6 часов
byoksana197319
 
Alg urabnprstep
byshadetoraven
 
Algebraicheskie uravneniya proizvolnyh_stepenej
byИван Иванов
 

Математика для чайников Сборник задач 3rd Edition Зегарелли М

  • 1.
    Математика для чайниковСборник задач 3rd Edition Зегарелли М install download https://ebookstep.com/download/ebook-12058090/ Download more ebook from https://ebookstep.com
  • 2.
    We believe theseproducts will be a great fit for you. Click the link to download now, or visit ebookstep.com to discover even more! Power Negara Syarifurohmat Pratama Santoso S Ip Christine Anggi Sidjabat Ba Ir M Han http://ebookstep.com/product/power-negara-syarifurohmat-pratama- santoso-s-ip-christine-anggi-sidjabat-ba-ir-m-han/ Be Her Defender Lizuka Myori http://ebookstep.com/product/be-her-defender-lizuka-myori/ De Keyes zusjes 03 Heerlijk begin Zoete strijd HQN 82 1st Edition Susan Mallery http://ebookstep.com/product/de-keyes-zusjes-03-heerlijk-begin- zoete-strijd-hqn-82-1st-edition-susan-mallery/ Giáo trình Be Internet Awesome 1st Edition Google http://ebookstep.com/product/giao-trinh-be-internet-awesome-1st- edition-google/
  • 3.
    Asuhan Kebidanan PadaKehamilan Buku Ajar Bd Yulizawati Sst M Keb Dr Detty Iryani M Kes M Pd Ked Aif Bd Lusiana Elsinta B Sst M Keb Aldina Ayunda Insani S Keb Bd M Keb Feni Andriani S Keb Bd M Keb http://ebookstep.com/product/asuhan-kebidanan-pada-kehamilan- buku-ajar-bd-yulizawati-sst-m-keb-dr-detty-iryani-m-kes-m-pd-ked- aif-bd-lusiana-elsinta-b-sst-m-keb-aldina-ayunda-insani-s-keb-bd- m-keb-feni-andriani-s-keb-bd-m-keb/ Английский язык для экономистов B1 B2 3rd Edition Л П Дагиленко https://ebookstep.com/download/ebook-29840068/ I ll Be Your Wife Jho Hyo-Eun http://ebookstep.com/product/i-ll-be-your-wife-jho-hyo-eun/ Marry Me or Be My Wife Ally Jane http://ebookstep.com/product/marry-me-or-be-my-wife-ally-jane/ Mon tour du monde en 80 jours 1st Edition Yannick Bestaven http://ebookstep.com/product/mon-tour-du-monde-en-80-jours-1st- edition-yannick-bestaven/
  • 4.
    ▲ A для>: Издательство ДИАЛЕКТИКА МаркЗегарелли Математика для чайников 3rd Edition Mark Zegarelli Basic Math & ■ for · ® dummies A Wiley Brand 3-е издание Марк Зегарелли Математика Сборник задач для чайников КиТв Комп'ютерне видавництво "Д1АЛЕКТИКА" 2019 УДК 510.2 3-47 Перевод с английского и редакция КВ. Берштейна Зегарелли, М. 3-47 Математика для чайников. Сборник задач, 3-е изд./Марк Зегарелли; пер. с англ. И.В. Берштейна. — Киев.: "Диалектика", 2019. — 352 с.: ил. — Парал. тит. англ. ISBN 978-617-7812-17-2 (укр.) ISBN 978-1-119-35751-3 (англ.) Этот сборник задач для начинающих окажет помощь в усвоении основных математических понятий, проработке примеров практических задач и поэтапном анализе их решений. Пользуясь этой книгой, вы можете смело вторгаться в неизведанную область простых и десятичных дробей, алгебраических уравнений и прочих предметов изучения математики. Книга адресована всем желающим изучить математику и поможет им преодолеть невольный страх перед этой дисциплиной. УДК 681.3.07 Все названия программных продуктов являются зарегистрированными торговыми марками соответствующих фирм. Никакая часть настоящего издания ни в каких целях не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то электронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель, если на это нет письменного разрешения издательства John Wiley & Sons, Inc. Copyright © 2019 by Dialektika Computer Publishing. Original English edition Copyright © 2017 by John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey. All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form. This translation is published by arrangement with
  • 5.
    John Wiley &Sons, Inc. ISBN 978-617-7812-17-2 (укр.) © "Диалектика", перевод, 2019 ISBN 978-1-119-35751-3 (англ.) © 2017 by John Wiley & Sons, Inc. Оглавление Введение 11 Часть 1. Введение в математику 17 Глава 1. Мы вас вычислили 19 Глава 2. Притягательность четырех основных арифметических операций 39 Глава 3. Освоение отрицательных чисел 55 Глава 4. Просто выражение 69 Глава 5. Разделение внимания: делимость, делители и кратные 89 Часть 2. Разложение на простые дроби, десятичные дроби и проценты 113 Глава 6. Дроби просты как кусочки пирога 115 Глава 7. Основные арифметические операции над дробями 135 Глава 8. Освоение десятичных дробей 173 Глава 9. Использование процентов 201 Часть 3. Гигантский шаг вперед к продвинутым темам 213 Глава 10. Повышение степени чисел в экспоненциальном представлении 215 Глава 11. Тяжелые вопросы мер и весов 227 Глава 12. Обретение формы с помощью геометрии 245 Глава 13. Построение двумерных графиков 267 Часть 4. Фактор неизвестного: введение в алгебру 279 Глава 14. Самовыражение в алгебраических выражениях 281 Глава 15. Нахождение правильного равновесия при решении алгебраических уравнений 305 Часть 5. Великолепные десятки 325 Глава 16. Десять других способов и систем представления чисел 327 Глава 17. Десять любопытных типов чисел 337 Предметный указатель 344 Содержание Введение 11 Об этой книге 11 Предположения автора 12 Пиктограммы, используемые в книге 13 Что делать дальше 13 Об авторе 14 Посвящение 14 Благодарности 14 От издательства 15 Часть 1. Введение в математику 17 Глава 1. Мы вас вычислили 19 Расположение по местам с помощью чисел и цифр 20 Перекат: округление чисел в большую и меньшую сторону 23 Применение числовой оси в четырех основных арифметических операциях 25 Сложение и вычитание столбиком 27 Умножение многоразрядных чисел 29 Циклический процесс деления столбиком 31 Решения задач из этой главы 34 Глава 2.
  • 6.
    Притягательность четырех основныхарифметических операций 39 Перегруппирование с помощью обратных операций и свойства коммутативности 40 Группирование с помощью круглых скобок и свойства ассоциативности 44 Неравенства, вносящие неуравновешенность в уравнения 47 Особые случаи возведения в степень и извлечения квадратного корня 49 Решения задач из этой главы 52 Глава 3. Освоение отрицательных чисел 55 О происхождении отрицательных чисел 55 Смена знака: отрицание и абсолютное значение 57 Сложение отрицательных чисел 59 Вычитание отрицательных чисел 61 Учет знаков при умножении и делении отрицательных чисел 63 Решения задач из этой главы 65 Глава 4. Просто выражение 69 Вычисление выражений с операциями сложения и вычитания 70 Вычисление выражений с операциями умножения и деления 71 Осмысление выражений со смешанными операциями 72 Ответственное отношение к возведению в степень 73 Назначение приоритетности с помощью скобок 75 Раскрывание скобок и возведение в степень 76 Разгадывание вложенных скобок 78 Сводя воедино: порядок выполнения операций 80 Решения задач из этой главы 81 Глава 5. Разделение внимания: делимость, делители и кратные 89 Проверка чисел на делимость без остатка 90 Понятие о делителях и кратных 92 Различение простых и составных чисел 94 Поиск делителей чисел 97 Разложение чисел на простые множители 99 Нахождение наибольшего общего делителя 101 Формирование кратных числа 102 Нахождение наименьшего общего кратного 103 Решения задач из этой главы 105 Часть 2. Разложение на простые дроби, десятичные дроби и проценты 113 Глава 6. Дроби просты как кусочки пирога 115 Усвоение основ дробей 116 В разношерстной компании: взаимное преобразование неправильных и смешанных дробей 118 Приращение и сокращение членов дробей 121 Сравнение дробей перекрестным умножением 124 Понятие об отношениях и пропорциях 127 Решения задач из этой главы 129 Содержание 7
  • 7.
    Глава 7. Основныеарифметические операции над дробями 135 Умножение дробей — проще простого 136 Переход к делению дробей 13 8 Нахождение общего знаменателя при сложении дробей 140 Нахождение общего знаменателя при вычитании дробей 144 Умножение и деление смешанных чисел 146 Сложение смешанных чисел с переносом 148 Вычитание смешанных чисел с займом 151 Решения задач из этой главы 155 Глава 8. Освоение десятичных дробей 173 Введение в основы десятичных дробей 174 Простые операции взаимного преобразования дробей 178 Выравнивание по-новому: сложение и вычитание десятичных дробей 180 Подсчет десятичных знаков при умножении десятичных дробей 182 Перемещение десятичных запятых при делении десятичных дробей 183 Преобразование десятичных дробей в простые дроби 186 Преобразование простых дробей в десятичные дроби 189 Решения задач из этой главы 191 Глава 9. Использование процентов 201 Преобразование процентов в десятичные дроби 202 Преобразование десятичных дробей в проценты 203 Преобразование процентов в простые дроби 204 Преобразование простых дробей в проценты 205 Решение различных задач на проценты с помощью уравнений 207 Решения задач из этой главы 209 Часть 3. Гигантский шаг вперед к продвинутым темам 213 Глава 10. Повышение степени чисел в экспоненциальном представлении 215 Представление о степенях числа 10 с подсчетом нулей 216 Арифметика порядков: умножение и деление степеней числа 10 218 Экспоненциальное представление чисел 220 Умножение и деление чисел в экспоненциальном представлении 222 Решения задач из этой главы 224 8 Содержание Глава 11. Тяжелые вопросы мер и весов 227 Основы английской системы мер 228 Переход к международной метрической системе 232 Взаимное преобразование единиц измерения метрической и английской систем мер 235 Решения задач из этой главы 239 Глава 12. Обретение формы с помощью геометрии 245 Вхождение в форму: основы многоугольников и
  • 8.
    немногоугольников 246 Обтесываниечетырехугольников со всех сторон 246 Тройная польза от треугольников 251 Хождение по кругу, измеряя окружность 255 Приобретение навыков вычисления объема геометрических тел 257 Решения задач из этой главы 262 Глава 13. Построение двумерных графиков 267 Представление о двумерных графиках 267 Изображение прямых на двумерном графике 270 Решения задач из этой главы 274 Часть 4. Фактор неизвестного: введение в алгебру 279 Глава 14. Самовыражение в алгебраических выражениях 281 Вычисление алгебраических выражений методом подстановки 282 Разделение алгебраического выражения на члены 285 Сложение и вычитание подобных членов 287 Умножение и деление алгебраических членов 289 Упрощение алгебраических выражений путем объединения подобных членов 292 Упрощение алгебраических выражений со скобками 294 Раскрытие смежных пар скобок по правилу FOIL 296 Решения задач из этой главы 298 Глава 15. Нахождение правильного равновесия при решении алгебраических уравнений 305 Решение простых алгебраических уравнений 306 Равенство для всех: выделение переменной χ методом рычажных весов 309 Смена сторон: реорганизация уравнений для выделения переменной χ 311 Содержание 9 Упрощение дробных уравнений методом перекрестного умножения 313 Решения задач из этой главы 315 Часть 5. Великолепные десятки 325 Глава 16. Десять других способов и систем представления чисел 327 Отдельные засечки 328 Групповые засечки 328 Египетские цифры 328 Вавилонские цифры 329 Древнегреческие цифры 330 Римские цифры 330 Цифры Майя 331 Двоичная система (по основанию 2) 332 Шестнадцатеричная система (по основанию 16) 333 Система простых чисел 334 Глава 17. Десять любопытных типов чисел 337 Квадраты целых чисел 338 Треугольные числа 339 Кубические числа 339 Факториальные числа 340 Степени числа 2 341 Совершенные числа 341 Дружественные числа 342 Простые числа 342 Числа Мерсенна 342 Числа Ферма 343 Предметный указатель 344 10 Содержание
  • 9.
    Введение При правильномподходе математика практически всегда бывает проще, чем кажется на первый взгляд. И большая часть из того, что вас поначалу смущает в ней, в конечном итоге оказывается не таким уж и страшным. Многие учащиеся чувствуют себя потерявшимися где-то на полпути между умением считать до десяти и первым уроком алгебры, и это может случиться с каждым, сколько бы ему ни было лет: 14 или 104 года. Если и вы относитесь к их числу, то не отчаивайтесь — вы не одиноки, и эта книга придет вам на помощь! Читая эту книгу, вы приобретете уверенность и навыки, которые вам потребуются в прохождении любого курса математики на пути к алгебре. Приобрести столь необходимую уверенность и навыки проще и быстрее всего, решая практические задачи. Данная книга служит для того, чтобы помочь вам найти свой ясный путь в мир математики. Во всех разделах каждой главы четко излагаются знания, которые вы должны приобрести, закрепив их на многочисленных примерах практических задач, решения которых подробно разъясняются. Итак, возьмите в руку карандаш, откройте эту книгу на любой странице и приступите к наращиванию своих математических мускулов! Об этой книге Эта книга адресована всем, кто стремится усовершенствовать свои математические навыки: от уже проходящих курс математики до готовящихся записаться на него или изучающих математику самостоятельно. Но в любом случае практика ведет к совершенству, и в этой книге вы найдете немало примеров решения практических математических задач. Каждая глава этой книги посвящена отдельному предмету математики: отрицательным числам, дробям, десятичным числам, геометрии, построению графиков, элементарной алгебре И в каждом разделе описываются практические задачи, решая которые вы приобретаете разные математические навыки. Каждый раздел характеризуется следующим содержанием. » Краткое введение в предмет, рассматриваемый в данном разделе. » Пояснение, как решать задачи, представленные в данном разделе. у> Примеры вопросов и ответов,
  • 10.
    демонстрирующие все стадиирешения отдельной задачи. у> Практические задачи со свободным местом, специально оставленным вам для самостоятельного решения. Смело пользуйтесь этой книгой как рабочей тетрадью по математике, поскольку именно для этого она и предназначена! Потрудившись над решением одной или ряда задач, перейдите в конец главы, где вы найдете правильный ответ и подробное, пошаговое разъяснение, как его получить. Решать буквально все упражнения, приведенные в этой книге, совсем не обязательно, хотя это и можно, конечно, сделать. Вы вольны выбрать главу с теми математическими задачами, попрактиковаться в решении которых вам хотелось бы в первую очередь. Проработав в одном разделе задачи в достаточной для полного удовлетворения степени, можете перейти к другому разделу. Если же задачи в каком-нибудь разделе покажутся вам слишком сложными, вернитесь к предыдущему разделу или главе, чтобы приобрести необходимые практические навыки, следуя при этом по перекрестным ссылкам. Предположения автора Вы, вероятно, догадываетесь, что освоить математику лучше всего, занимаясь ею на практике. Чтобы войти в курс дела и применить свои математические навыки на практике, вам могут потребоваться лишь самые необходимые пояснения. В таком случае вы выбрали подходящую книгу. Если же вам требуется более подробное обсуждение математических понятий, включая рекомендации по их применению для решения практических задач, в таком случае обратитесь к базовой книге Математика для чайников, 2-е издание. Мне бы хотелось побиться об заклад последней монетой в кармане, что вы готовы к чтению этой книги. При этом я предполагаю, что вы знакомы с основами десятичной числовой системы и четырьмя арифметическими операциями (сложение, вычитание, умножение и деление). Чтобы убедиться в своей готовности к чтению этой книги, рассмотрите приведенные ниже арифметические задачи и попробуйте их решить. Если вы сумеете их решить, значит, готовы читать эту книгу дальше! 3+4= 5x5= 10-8= 20-2 = 12 Введение
  • 11.
    Пиктограммы, используемые вкниге На полях книги вы обнаружите различные пиктограммы, которыми обозначены самые важные сведения. Ниже приведено краткое описание назначения каждой пиктограммы. Этой пиктограммой обозначаются важные сведения. Обращайте особое внимание на эти подробности, поскольку их непременно нужно знать! Q Эта пиктограмма помогает быстро и просто дойти до сути. Опробуйте приемы, обозначаемые этой пиктограммой, решая задачи, представленные в данном разделе. & Предупреждения являются своего рода ловушками, в которые нередко попадают невнимательные обучающиеся математике. Внимательное чтение этих предупреждений поможет вам избежать ненужных хлопот. Этой пиктограммой обозначаются примеры задач, демонстрирующие отдельные методики решения перед тем, как перейти к упражнениям. Что делать дальше Чтобы усовершенствовать свои навыки в математике, можете начать чтение этой книги практически с любой страницы. В главах 3-6 рассматриваются понятия, ставящие в затруднительное положение изучающих математику: отрицательные числа, порядок выполнения операций, множители, кратные и дробные величины. Эти важные понятия должны быть непременно усвоены, поскольку на них основывается большая часть материала последующих глав. Свободно владея этими понятиями, вы получите настоящее преимущество на любых курсах по математике. Итак, твердо усвоив упомянутые выше понятия, вы можете читать далее книгу в любом порядке, обращаясь по мере надобности за справкой к советам и приемам, приведенным в главах 3-6. Единственный совет: старайтесь сначала решать предлагаемые задачи самостоятельно и только затем смотреть ответ! Введение 13 А за дополнительными разъяснениями и вопросами, не рассматриваемыми в этом справочном пособии, обратитесь к книге Basic Math & Pre-Algebra For Dummies. Обе эти книги позволят вам навалиться на любую математическую задачу с двух сторон, чтобы успешно положить ее на лопатки. Об авторе
  • 12.
    Марк Зегарелли —учитель математики, репетитор и автор восьми книг из серии ... для чайников, в том числе SAT Math For Dummies, ACT Math For Dummies и Calculus II For Dummies. Он окончил Ратгерский университет по специальностям "английский язык" и "математика" и в настоящее время проживает в Лонг- Бранч, шт. Нью-Джерси, а также в Сан-Франциско, шт. Калифорния. Посвящение Моему доброму другу Михаилу Конопко с глубоким восхищением, любовью и кусочками мозаики, дополняющими общую картину наших взаимоотношений. Благодарности Работа над настоящим, третьим изданием этой книги дала мне немалый положительный опыт благодаря поддержке и руководству со стороны моего рецензента от издательства Wiley Линдсея Лефевра, редактора проекта и рукописи Крисси Гатри, а также технического редактора Пэта Барнеса. И, как всегда, выражаю благодарность своему помощнику Крису Марку за все, чем он помог мне в данном проекте. Благодарю также завсегдатаев заведения Borderlands Cafe на улице Валенсии в Сан-Франциско за создание мирной и дружеской атмосферы для работы над этой книгой. 1Д Введение От издательства Вы, читатель этой книги, и есть главный ее критик и комментатор. Мы ценим ваше мнение и хотим знать, что было сделано нами правильно, что можно было сделать лучше и что еще вы хотели бы увидеть изданным нами. Нам интересно услышать и любые другие замечания, которые вам хотелось бы высказать в наш адрес. Мы ждем ваших комментариев и надеемся на них. Вы можете прислать нам бумажное или электронное письмо либо просто посетить наш веб-сайт и оставить свои замечания там. Одним словом, любым удобным для вас способом дайте нам знать, нравится или нет вам эта книга, а также выскажите свое мнение о том, как сделать наши книги более интересными для вас. Посылая письмо или сообщение, не забудьте указать название книги и ее авторов, а также ваш обратный адрес. Мы внимательно ознакомимся с вашим мнением и обязательно учтем его при
  • 13.
    отборе и подготовкек изданию последующих книг. Наши электронные адреса: E-mail: info@dialektika.com WWW: http://www.dialektika.com Введение 15 Введение в математику В ЭТОЙ ЧАСТИ. » Представление о разрядном значении » Применение четырех основных арифметических операций: сложения, вычитания, умножения и деления » Вычисление с отрицательными числами » Упрощение выражений благодаря заданию порядка выполнения операций » Обращение с делителями и кратными чисел Глава 1 Мы вас вычислили » Представление о том, как разрядное значение превращает отдельные цифры в числа » Округление чисел до ближайших десятков, сотен и тысяч » Вычисление с помощью четырех основных арифметических операций: сложения, вычитания, умножения и деления » Повышение удобства деления столбиком этой главе делается краткий обзор самых основ математики. Большая часть представленного здесь материала вам, вероятнее всего, уже известна, поэтому рассматривайте его как небольшой экскурс в прошлое, чтобы вспомнить былое по сравнению с тем математическим аппаратом, которым вы, возможно, владеете ныне. Заложив довольно прочное основание в этой главе, вам будет намного легче усваивать материал последующих глав. Рассмотрим сначала числовую систему, которая вам хорошо известна и называется индоарабскойу или десятичной. В такой системе для выражения чисел применяются десятичные цифры и разрядное (или поместное) значение. Затем мы покажем, как округлять числа до ближайших десятков, сотен и тысяч. После этого здесь описываются четыре основные арифметические операции: сложение, вычисление, умножение и деление. При этом будет показано, как с помощью числовой оси раскрывается смысл всех четырех арифметических операций. И в конце главы
  • 14.
    поясняется, как выполняетсяделение столбиком как с остатком, так и без остатка. ь В литературе по математике для обозначения операции умножения часто употребляется знак точки (·). Здесь же для наглядности используется знак умножения (х). Расположение по местам с помощью чисел и цифр Во всем мире чаще всего применяется индоарабская числовая система, которая состоит из десяти цифр, т.е. символов подобных буквам A-Z. И они вам, без сомнения, хорошо известны: 123456789 0. Подобно буквам алфавита, отдельные цифры не приносят особой пользы. Но совместно эти десять знаков могут составлять числа любой величины, используя разрядное (или поместное) значение. В частности, разрядное значение присваивает каждой цифре большее или меньшее значение в зависимости от ее местоположения в числе. И каждое разрядное значение оказывается в десять раз больше, чем разрядное значение, расположенное непосредственно справа. Несмотря на то что цифра 0 не добавляет числу никакого значения, она может служить в качестве значащей. Когда цифра 0 оказывается справа хотя бы от одной ненулевой цифры, она является значащей. запомни! Важная функция значащих цифр состоит в том, что они обозначают соответствующий разряд числа. А если цифра 0 оказывается слева от ненулевой цифры, то она не является значащей. Указывать незначащие нули совсем не обязательно, поэтому их можно благополучно исключить из числа. Задача. Выявите разряды единиц, десятков и сотен в числе 284. С/О Решение. Разряд единиц представлен цифрой 4, разряд десятков — цифрой 8, а разряд сотен — цифрой 2. Задача. Расположите сначала число 5 672 таким образом, чтобы наглядно показать значение каждого его разряда. Затем воспользуйтесь этой таблицей и операцией сложения, чтобы продемонстрировать разбиение данного числа на отдельные цифры. Решение. Миллионы Сотни тысяч Десятки тысяч Тысячи Сотни Десятки Единицы 5 6 7 2 20 ЧАСТЬ 1 Введение в математику
  • 15.
    Цифра 5 находитсяв разряде тысяч, цифра 6 — в разряде сотен, цифра 7 — в разряде десятков, цифра 2 — в разряде единиц. Ниже показано, каким образом данное число разбивается на отдельные цифры. 5000 + 600 + 70 + 2 = 5672 Задача. Расположите сначала число 040120 таким образом, чтобы наглядно показать значение каждого его разряда. Затем воспользуйтесь этой таблицей и операцией сложения, чтобы продемонстрировать разбиение данного числа на отдельные цифры. Какие цифры 0 в данном числе оказываются значащими, а какие — нет? Решение. Миллионы Сотни тысяч Десятки тысяч Тысячи Сотни Десятки Единицы 0 4 0 12 0 Первая цифра 0 находится в разряде сотен тысяч, цифра 4 — в разряде десятков тысяч, вторая цифра 0 — в разряде тысяч, цифра 1 — в разряде сотен, цифра 2 — в разряде десятков, а последняя цифра 0 — в разряде единиц. Таким образом, первая цифра 0 оказывается незначащим нулем, а остальные цифры 0 — значащими, как показано ниже: 0 + 40000 + 0 + 100 + 20 + 0 = 40120. щЛ Выявите в числе 7359 следующие цифры: а) цифра разряда единиц; б) цифра разряда десятков; в) цифра разряда сотен; г) цифра разряда тысяч. Расположите сначала число 2 136 в таблице, чтобы продемонстрировать разрядное значение каждой его цифры. Затем воспользуйтесь этой таблицей, чтобы показать, каким образом данное число разбивается на отдельные цифры. ГЛАВА 1 Мы вас вычислили 21 Миллионы Сотни тысяч Десятки тысяч Тысячи Сотни Десятки Единицы Щр Расположите сначала число 03 809 в таблице, чтобы продемонстрировать разрядное значение каждой его цифры. Затем воспользуйтесь этой таблицей, чтобы показать, каким образом данное число разбивается на отдельные цифры. Какая из цифр 0 в данном числе является значащей, а какая из них — незначащим нулем? Миллионы Сотни тысяч Десятки тысяч Тысячи Сотни Десятки Единицы Расположите сначала число 0450900 в таблице, чтобы продемонстрировать разрядное значение каждой его цифры. Затем воспользуйтесь этой таблицей, чтобы показать, каким образом данное число
  • 16.
    разбивается на отдельныецифры. Какие из цифр 0 в данном числе являются значащими, а какие из них — незначащими нулями? Миллионы Сотни тысяч Десятки тысяч Тысячи Сотни Десятки Единицы 22 ЧАСТЬ 1 Введение в математику Перекат: округление чисел в большую и меньшую сторону Округление чисел упрощает обращение с многоразрядными длинными числами. Чтобы округлить двухразрядное число до ближайшего десятка, достаточно увеличить или уменьшить его до ближайшего числа, оканчивающегося цифрой 0, как поясняется ниже. » Если число оканчивается на цифру 1, 2, 3 или 4, оно округляется в меньшую сторону, причем разряд десятков остается тем же самым, а разряд единиц приводится к нулю. » Если число оканчивается на цифру 5, 6,7, 8 или 9, оно округляется в большую сторону, причем разряд десятков увеличивается на Ί, а разряд единиц приводится к нулю. Округлить число больше, чем на две цифры до ближайшего десятка, можно тем же самым способом, уделив основное внимание только разрядам единиц и десятков. Ясно понимая, каким образом число округляется до ближайшего десятка, округлить число до ближайшей сотни, тысячи и далее не составит большого труда. В данном случае основное внимание следует уделить следующим двум цифрам: той, что находится на месте округляемого разряда, а также той, что находится непосредственно справа от него, указывая тем самым, в какую именно сторону (большую или меньшую) следует округлять число. Все цифры, находящиеся справа от округляемого числа, должны быть приведены к нулю. При округлении числа в большую сторону иногда небольшие изменения в разрядах единиц и десятков оказывают влияние на другие разряды. Это очень похоже на переход показаний одометра в автомобиле с девяток на нули, например, с 11999 км на 12000 км. ^^ Задача. Округлите числа 31; 58 Число 58 оканчивается на 8, по- (j/Vj> и 95 до ближайшего десятка. этому оно округляется в большую Решение. 30; 60 и 100. сторону: ПРИМЕР! гл АП Число 31 оканчивается на 1, по- D° ~* ου· этому оно округляется в
  • 17.
    меньшую Число 95оканчивается на 5, по- сторону: этому оно округляется в большую 31->30. сторону: 95-И00. ГЛАВА 1 Мы вас вычислили 23 Задача. Округлите числа 742; 3 820 Число 3 820 уже оканчивается на 0, и 61 225 до ближайшего десятка. Решение. 740; 3820 и 61 230. Число 742 оканчивается на 2, поэтому оно округляется в меньшую сторону: 742-> 740. поэтому округлять его не требуется: 382Q-> 382Q. Число 61 225 оканчивается на 5, поэтому оно округляется в большую сторону: 61 225-> 61 230. ЩР Округлите приведенные ниже двухразрядные числа до ближайшего десятка: а) 29; 6)43; в) 75 г) 97. ||| Округлите приведенные ниже числа до ближайшего десятка: а) 164; б) 765; в) 1989; г) 9999995. Щ0 Округлите приведенные ниже числа до ближайшей сотни: а) 439; б) 562; в) 2950; г) 109974. Щ Округлите приведенные ниже числа до ближайшей тысячи: а) 5 280; 6)77777; в) 1234 567; г) 1899999. 2Д ЧАСТЬ 1 Введение в математику Применение числовой оси в четырех основных арифметических операциях Числовая ось — это прямая линия с числами, расположенными через равные промежутки. Вам, вероятно, приходилось наблюдать числовую ось, когда вы учились считать до десяти. В этом разделе будет показано, как пользоваться этим надежным инструментальным средством для выполнения четырех основных арифметических операций (сложения, вычитания, умножения и деления) над относительно малыми числами. Числовая ось может оказаться полезным инструментальным средством для сложения и вычитания малых чисел. В частности: у> для сложения следует сместиться по числовой оси вправо; у> для вычитания следует сместиться по числовой оси влево. Чтобы выполнить умножение на числовой оси, следует начать с нуля и отсчитать первое умножаемое число столько раз, сколько обозначает второе число. Чтобы выполнить деление на числовой оси, следует выделить сначала отрезок числовой оси от нуля до первого делимого числа. Затем
  • 18.
    этот отрезок равномерноразделить на столько участков, сколько обозначает второе число. Длина каждого участка и дает результат деления. ν ^ Задача. Выполните сложение 6 + 7 на числовой оси. Решение. 13. Выражение 6 + 7 означает, что от числа 6 следует отсчитать 7 раз по числовой оси вправо, получив в итоге число 13 (рис. 1.1). ПРИМЕР" ι—ι—ι—ι—ι—ι— ΓΧΎΎ~Υ^ΟΟ—ι—ι—ι—ι—ι—ι—Г" О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Рис. 7.7. Операция сложения 6 + 7 =13 на числовой оси Задача. Выполните вычитание 12 - 4 на числовой оси. Решение. 8. Выражение 12-4 означает, что от числа 12 следует отсчитать 4 раза по числовой оси влево, получив в итоге число 8 (рис. 1.2). ι ι ι—ι—ι ι ι ι Τ Τ Τ Τ t—ι—ι—ι—ι—ι—ι—ι— Γ* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Рис. 1.2. Операция вычитания 12-4 = 8 на числовой оси ГЛАВА 1 Мы вас вычислили 25 Задача. Выполните умножение 2 χ 5 на числовой оси. Решение. 10. Отсчитайте от нуля пять раз по два, чтобы получить в итоге число 10 (рис. 1.3). Г Ί Ι Ι Τ I I I 1 1 1 1 1 Г 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Рис. 1.3. Операция умножения 2x5 но числовой оси Задача. Выполните деление 12 -^ 3 на числовой оси. Решение. 4. Выделите сначала отрезок от 0 до 12 на числовой оси. Затем разделите этот отрезок поровну на три меньших участка, как показано на рис. 1.4. Длина каждого из этих участков оказывается равной 4, что и дает результат деления, а следовательно, решение данной задачи. ί^^ Т^ ι—ι— I—ι—ι—ι—ι—ι ι г 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Рис. 1.4. Операция деления 12 + 3 на числовой оси ΊГ Τ I Сложите приведенные ниже числа на числовой оси. а) 4 + 7 = ? б) 9 + 8 = ? в)12 + 0 = ? г) 4 + 6 + 1 +5 = ? |р Вычтите приведенные ниже числа на числовой оси. а) 10-6 = ? 6)14-9 = ? в) 18-18 = ? г) 9-3 + 7-2 + 1=? 26 ЧАСТЬ 1 Введение в математику I Умножьте приведенные ниже числа на числовой оси. а) 2 χ 7 = ? б) 7 χ 2 = ? в) 4 χ 3 = ? г) 6 χ Ί = ? д)6х0 = ? е)0х10 = ? )
  • 19.
    Разделите приведенные нижечисла на числовой оси. а) 8 ч- 2 = ? 6)15 + 5 = ? в) 18-3 = ? г)10-г10 = ? д)7-г1=? е) 0 ч- 2 = ? Сложение и вычитание столбиком Чтобы сложить или вычесть большие числа, расположите их сначала друг за другом, чтобы одинаковые разряды (единиц, десятков, сотен и т.д.) образовали отдельные столбцы. Затем действуйте справа налево, выполняя соответствующую операцию. Производите вычисления по вертикали, начиная со столбца единиц, переходя к столбцу десятков и т.д. » » Если результат сложения в отдельном столбце превышает 10 и больше, запишите разряд единиц из этого результата, а разряд десятков перенесите вверх, расположив его над столбцом, расположенным непосредственно слева. Если при вычитании верхняя цифра в отдельном столбце оказывается меньше, чем нижняя, необходимо произвести заем из столбца, расположенного непосредственно слева. ГЛАВА 1 Мы вас вычислили 27 Задача. Выполните сложение 35 + 26+Ί42. Решение. 203. Расположите складываемые числа друг за другом и сложите столбцы справа налево. 1 1 35 26 +142 203 Обратите внимание на то, что при сложении цифр в столбце единиц (5 + 6 + 2 = 13) ниже этого столбца записывается цифра 3, а цифра 1 переносится в столбец десятков, располагаясь над ним. И когда выполняется сложение в столбце десятков (1+3 + 2 + 4=10), ниже этого столбца записывается цифра 0, а цифра 1 переносится в столбец сотен, располагаясь над ним. IP Выполните сложение 129 + 88 + 35. щр Выполните вычитание 419 - 57. ||j! Найдите сумму следующих чисел: 1734 + 620 + 803 + 32 = ? |р Найдите разность следующих чисел: 41024-1786. Задача. Выполните вычитание 843-91. Решение. 752. Расположите вычитаемые числа друг за другом и вычтите столбцы справа налево. 71 043 -91 752 При попытке выполнить вычитание в столбце десятков цифра 4 оказывается меньше цифры 9, поэтому производится заем 1 из столбца сотен. В итоге цифра 8 в столбце сотен уменьшается до 7, а занимаемая цифра 1 располагается над цифрой 4 в столбце десятков, образуя
  • 20.
    вместе с нейчисло 14. И теперь можно выполнить вычитание 14-9 = 5. 28 ЧАСТЬ 1 Введение в математику Умножение многоразрядных чисел Чтобы умножить большие числа, расположите сначала первое умножаемое число над вторым. Затем умножьте каждый разряд нижнего числа справа налево на верхнее число. Иными словами, умножьте сначала верхнее число на разряд единиц нижнего числа. Затем добавьте значащую цифру 0 и умножьте верхнее число на разряд десятков нижнего числа. Продолжая данный процесс дальше, добавляйте значащие цифры 0 и умножайте верхнее число на следующий по очереди разряд нижнего числа. Если в результате умножения получается двухразрядное число, запишите разряд единиц в одном столбце, а разряд десятков перенесите в следующий столбец, расположив его вверху. После умножения цифр в двух следующих разрядах сложите их произведение с перенесенным выше числом. И, наконец, сложите все промежуточные результаты умножения, чтобы получить окончательное решение рассматриваемой здесь задачи умножения. φ Задача. Выполните умножение 742x136. Решение. 100912. Расположите первое умножаемое число над вторым. 742 х136 Затем умножьте на 6 каждый разряд числа 742, начиная справа. А поскольку в результате операции умножения 2x6 = 12 получается двухразрядное число, то запишите цифру 2 из его разряда единиц, а цифру 1 из разряда десятков перенесите в столбец десятков, расположив ее вверху. В следующем столбце выполните операцию умножения 4 χ 6 = 24 и прибавьте к полученному результату перенесенную выше цифру 1, получив в итоге сумму 25. Запишите цифру 5 из этой суммы, а цифру 2 перенесите в столбец сотен, расположив ее вверху. И, наконец, выполните операцию умножения 7 χ 6 = 42 и прибавьте к полученному результату перенесенную выше цифру 2, получив в итоге сумму 44. 21 742 х136 4452 Далее запишите цифру 0 на правом краю ряда, расположенного ниже только что записанного вами ряда цифр. Умножьте на 3 каждый разряд числа 742, начиная справа и делая перенос по мере
  • 21.
    необходимости. 1 742х136 4452 22260 Запишите две цифры 0 на правом краю ряда, расположенного ниже ГЛАВА 1 Мы вас вычислили 29 только что записанного вами ряда цифр. Повторите данный процесс при умножении на последнюю цифру!. 742 х136 4452 22260 74200 И, наконец, сложите все промежуточные результаты умножения. 742 х136 4452 22260 74200 Ί00912 Таким образом, 742 χ Ί 36 = Ί 00 912. щ| Выполните умножение 75 χ 42. φ Решите следующую задачу: 1728x405. Цр Каков результат умножения 136x84? @ Выполните умножение 8912x767. 30 ЧАСТЬ 1 Введение в математику Циклический процесс деления столбиком Большие числа обычно делятся столбиком. В отличие от остальных основных арифметических операций, процесс деления столбиком продвигается слева направо. При этом операции деления, умножения и вычитания циклически повторяются для каждого разряда делимого (т.е. того числа, которое делится). Иногда деление не выполняется нацело, и тогда результат получается с остатком, который приходится каким-то образом принимать во внимание. В подобных случаях остаток записывается после результата деления нацело следующим образом: ост (число в остатке). ja^^ Задача. Выполните деление Решение. 239. Начните решение ПРИМЕР! данной задачи, записав ее следующим образом. 4)956 Выясните сначала, сколько раз число 9 делится на 4, т.е. 9^4? Оно делится 2 раза с небольшим остатком, поэтому запишите цифру 2 над цифрой 9. Затем выполните умножение 2x4, чтобы получить результат, равный 8. Запишите этот результат прямо под числом 9 и проведите под ним прямую линию. 2 4)956 8 Выполните вычитание 9-8, чтобы получить результат, равный Ί. {Примечание: результат вычитания должен быть меньше делителя; в данном случае — 4.) Затем снесите следующее число 5, чтобы получить в итоге новое число 15. 2 4)956 -8 15 Упомянутые выше шаги составляют один полный цикл. Чтобы завершить решение
  • 22.
    рассматриваемой здесь задачи,достаточно повторить их. Итак, выясните, сколько раз число 15 делится на 4, т.е. 15 -г 4? Оно делится 3 раза с небольшим остатком, поэтому запишите цифру 3 над цифрой 5. Затем выполните умножение 3x4, чтобы получить результат, равный 12. Запишите этот результат прямо под числом 15 и проведите под ним прямую линию. 23 4)956 -8 15 -12 Выполните вычитание 15-12, чтобы получить число 3. Затем снесите следующее число 6, чтобы получить в итоге новое число 36. 23 4)956 -8 15 -12 36 ГЛАВА 1 Мы вас вычислили 31 Завершив очередной цикл деления, начните следующий цикл, выяснив, сколько раз число 36 делится на 4, т.е. 36 -=■ 4? Оно делится ровно 9 раз, поэтому запишите цифру 9 над цифрой 6, выполните умножение 9 χ 4 и запишите полученный результат прямо под числом 36. 239 4)956 -8 15 -12 36 36 Далее выполните вычитание 36 - 36 = 0. В связи с тем, что чисел для сноса больше не осталось, процесс деления завершается, а результат (т.е. частное отделения) представлен самым верхним числом в столбце. 239 4)956 -8 15 -12 36 -36 ^^ Задача. Выполните деление (jO 3042 *5· Решение. 608 ост (2). Начните ре- ПРИМЕР! шение данной задачи, записав ее следующим образом. 5)3042 Выясните сначала, сколько раз число 3 делится на 5? Оно не делится ни разу, поскольку число 3 меньше 5, а следовательно, запишите цифру 0 над цифрой 3. Затем выясните то же самое, но в отношении первых двух разрядов делимого, т.е. сколько раз число 30 делится на 5, или 30 -=- 5? Оно делится 6 раз, поэтому запишите цифру 6 над цифрой 0. Ниже показано, как завершить первый цикл деления. 06 5)3042 -30 04 Далее выясните, сколько раз число 4 делится на 5. Оно не делится ни разу, поскольку число 4 меньше 5, а следовательно, запишите цифру 0 над цифрой 4. После этого снесите следующее число (2), чтобы получить в итоге новое число 42. 060 5)3042 -30 042 Выясните, сколько раз число 42 делится на 5, т.е. 42 ^ 5? Оно делится 8 раз с небольшим остатком, и на этом данный цикл деления завершается. 0608 <-
  • 23.
    частное 5)3042 -30042 -40 <г- остаток 32 ЧАСТЬ 1 Введение в математику В связи с тем, что чисел для сноса больше не осталось, процесс деления завершается, а результат (т.е. частное отделения) представлен самым верхним числом в столбце (начальный нуль можно опустить), тогда как остаток — самым нижним числом. Таким образом, 3042 -г 5 = 608 ост (2), т.е. результат деления числа 3042 на 5 равен 608 с остатком 2. f Выполните деление 741 + 3. i Вычислите результат деления 3245 -г 5. ') Найдите результат деления 91 390 -г 8. ρ Найдите результат деления 792 541 -г 9. ГЛАВА 1 Мы вас вычислили 33 Решения задач из этой главы Ниже приведены решения задач, представленных в этой главе в качестве упражнений, позволяющих вам попрактиковаться в анализе чисел и выполнении четырех основных арифметических операций над ними. Щр Выявите в числе 7359 цифры разрядов единиц, десятков и тысяч: а) цифра 9 в разряде единицы; б) цифра 5 в разряде десятков; в) цифра 3 в разряде сотен; г) цифра 7 в разряде тысяч. φ 2000+100 + 30 + 6 = 2136. Миллионы Сотни тысяч Десятки тысяч Тысячи Сотни Десятки Единицы 2 Ί 3 6 φ 0 + 3000 + 800 + 0 + 9 = 3809. Первая цифра 0 является незначащим нулем, а второй 0 — значащим. Миллионы Сотни тысяч Десятки тысяч Тысячи Сотни Десятки Единицы 0 3 8 0 9 φ 0 + 400000 + 50000 + 0 + 900 + 0 + 0 = 0450900. Первая цифра 0 является незначащим нулем, а остальные три нуля — значащими. Миллионы Сотни тысяч Десятки тысяч Тысячи Сотни Десятки Единицы 0 4 5 0 9 0 0 Щр Округлите приведенные ниже двухразрядные числа до ближайшего десятка. а) 29 —» 30. В разряде единиц находится цифра 9, поэтому она округляется в большую сторону. б) 43 -> 40. В разряде единиц находится цифра 3, поэтому она округляется в меньшую сторону. в) 75 -> 80. В разряде единиц находится цифра 5, поэтому она округляется в большую сторону. г) 97 -> 100. В разряде единиц находится цифра 7, поэтому она округляется в большую сторону,
  • 24.
    а следовательно, ицифра 9 в разряде десятков. Щ Округлите приведенные ниже числа до ближайшего десятка. а) 164 —> 160. В разряде единиц находится цифра 4, поэтому она округляется в меньшую сторону. 34 ЧАСТЬ 1 Введение в математику б) 765 —> 770. В разряде единиц находится цифра 5, поэтому она округляется в большую сторону в) 1989 —> 1990. В разряде единиц находится цифра 9, поэтому она округляется в большую сторону. г) 9999995 —> 10000000. В разряде единиц находится цифра 5, поэтому она округляется в большую сторону, а следовательно, и цифра 9 во всех остальных разрядах. Ш Округлите приведенные ниже числа до ближайшей сотни. а) 439 -> 400. В разряде десятков находится цифра 3, поэтому она округляется в меньшую сторону. б) 562 -> 600. В разряде десятков находится цифра 6, поэтому она округляется в большую сторону. в) 2950 -> 3000. В разряде десятков находится цифра 5, поэтому она округляется в большую сторону. г) 109974 -> 110000. В разряде десятков находится цифра 7, поэтому она округляется в большую сторону, а следовательно, и цифра 9 во всех последующих разрядах. Q Округлите приведенные ниже двухразрядные числа до ближайшей тысячи. а) 5280 -> 5000. В разряде сотен находится цифра 2, поэтому она округляется в меньшую сторону. б) 77777 -> 78000. В разряде сотен находится цифра 7, поэтому она округляется в большую сторону. в) 1234567 —> 1235000. В разряде сотен находится цифра 5, поэтому она округляется в большую сторону. г) 1899999 —> 1900000. В разряде сотен находится цифра 9, поэтому она округляется в большую сторону, а следовательно, и цифра 9 во всех последующих разрядах. Q Сложите приведенные ниже числа на числовой оси. а) 4 + 7 = 11. Выражение 4 + 7 означает, что от числа 4 следует отсчитать 7 раз по числовой оси вправо, получив в итоге число 11. б) 9 + 8 = 17. Выражение 9 + 8 означает, что от числа 9 следует отсчитать 8 раз по числовой оси вправо, получив в итоге число 17. в) 12 + 0 = 12. Выражение 12 + 0 означает, что
  • 25.
    от числа 12следует отсчитать 0 раз по числовой оси вправо, получив в итоге число 12. г) 4 + 6+1+5 = 16. Выражение 4 + 6+1+5 означает, что от числа 4 следует отсчитать сначала 6 раз, затем 1 раз и, наконец, 5 раз по числовой оси вправо, получив в итоге число 16. ГЛАВА 1 Мы вас вычислили 35 Вычтите приведенные ниже числа на числовой оси. а) 10-6 = 4. Выражение 10-6 означает, что от числа 10 следует отсчитать 6 раз по числовой оси влево, получив в итоге число 4. б) 14-9 = 5. Выражение 14-9 означает, что от числа 14 следует отсчитать 9 раз по числовой оси влево, получив в итоге число 5. в) 18-18 = 0. Выражение 18-18 означает, что от числа 18 следует отсчитать 18 раз по числовой оси влево, получив в итоге число 0. г) 9-3 + 7-2+1 = 12. Выражение 9-3 + 7-2+1 означает, что от числа 9 следует сначала отсчитать 3 раза по числовой оси влево, затем 7 раз вправо, далее 2 раза влево и, наконец, 1 раз вправо, получив в итоге число 12. Умножьте приведенные ниже числа на числовой оси. а) 2 χ 7 = 14. Отсчитайте от нуля семь раз по два, чтобы получить в итоге число 14. б) 7x2 = 14. Отсчитайте от нуля два раза по семь, чтобы получить в итоге число 14. в) 4 χ 3 = 12. Отсчитайте от нуля три раза по четыре, чтобы получить в итоге число 12. г) 6x1=6. Отсчитайте от нуля один раз по шесть, чтобы получить в итоге число 6. д) 6x0 = 0. Отсчитайте от нуля нуль раз по шесть, чтобы получить в итоге число 0. е) 0х 10 = 0. Отсчитайте от нуля десять раз по нулю, чтобы получить в итоге число 0. Разделите приведенные ниже числа на числовой оси. а) 8-^-2 = 4. Выделите сначала отрезок от 0 до 8 на числовой оси. Затем разделите этот отрезок поровну на два меньших участка. Длина каждого из этих участков будет равна 4, что и даст результат деления, а следовательно, решение данной задачи. б) 15-^-5 = 3. Выделите сначала отрезок от 0 до 15 на числовой оси. Затем разделите этот отрезок поровну на пять меньших участков. Длина каждого из этих участков будет равна 3, что и даст результат деления, а следовательно, решение данной задачи. в) 18-^-3 = 6. Выделите сначала отрезок от 0 до 18 на числовой оси. Затем разделите этот отрезок поровну на три
  • 26.
    меньших участка. Длинакаждого из этих участков будет равна 6, что и даст результат деления, а следовательно, решение данной задачи. г) 10 -ί- 10 = 1. Выделите сначала отрезок от 0 до 10 на числовой оси. Затем разделите этот отрезок поровну на десять меньших участков. ЧАСТЬ 1 Введение в математику Длина каждого из этих участков будет равна 1, что и даст результат деления, а следовательно, решение данной задачи. д) 7 -^ 1 = 7. Выделите сначала отрезок от 0 до 7 на числовой оси. Затем разделите этот отрезок ровно на 1 участок, т.е. вообще не делите его. Длина этого участка по-прежнему останется равной 7, что и даст результат деления, а следовательно, решение данной задачи. е) 0-^-2 = 0. Выделите сначала отрезок от 0 до 0 на числовой оси. Длина этого отрезка окажется равной нулю, а следовательно, он не может быть меньше. Это означает, что в результате деления нуля на любое число все равно получается нуль. 252 1 2 129 88 +35 252 3150 75 х42 150 3000 3150 247 247 3)741 -6 14 -12 21 -21 0 φ 3189 2 1734 620 803 +32 3189 #11424 136 х84 544 10880 11424 ©649 0649 5)3245 -30 24 -20 45 ^15 0 # Φ ® 362 3 1 /19 -57 362 699840 1728 х405 8640 00000 691200 699840 11423 ост (6) 11423 8)91390 -8 11 -8 33 -32 19 -16 30 -24 # ® т 39238 3 10 9 11 1 /W4 -1786 39238 6835504 8912 х767 62384 534720 6238400 6835504 88060 ост (1) 088060 9)792541 -72 72 -72 054 -54 01 -0 1 ГЛАВА 1 Мы вас вычислили 37 Глава 2 Притягательность четырех основных арифметических операций |ВШГО:И^ГЯАВШ » Перезапись уравнений с помощью обратных операций и свойства коммутативности » Представление о свойствах ассоциативности и дистрибутивности » Вычисление неравенств вроде >,<^и» » Возведение в степень и извлечение корня етыре арифметические операции (сложения, вычитания, умножения и деления) являются основными, но весьма универсальными инструментальными средствами. В этой главе наглядно показано, что эти четыре операции попарно являются обратными, т.е. отменяющими друг друга. В ней также поясняется, каким образом свойство коммутативности позволяет
  • 27.
    переставлять числа ввыражении. А самое главное — из этой главы вы узнаете, как преобразовывать уравнения в альтернативные формы, упрощающие решение математических задач. Далее в главе поясняется, как пользоваться круглыми скобками для группирования чисел вместе с операциями и каким образом свойство ассоциативности гарантирует, что иногда круглые скобки не меняют решение задачи. Вы также узнаете, как обращаться с четырьмя разновидностями неравенств: >, <, Φ и «. И, наконец, будет показано, что возведение в степень является сокращенной формой умножения, а также каким образом извлекается квадратный корень из числа. Перегруппирование с помощью обратных операций и свойства коммутативности Четыре основные арифметические операции на самом деле составляют две пары обратных операций. Это означает, что такие операции способны отменять друг друга. » Сложение и вычитание. Операция вычитания отменяет операцию сложения. Так, если сложить сначала числа 3 и 4, получив в итоге число 7, а затем вычесть из него число 4, то первоначальная операция сложения будет, по существу, отменена, возвращая обратно к числу 3: 3 + 4 = 7^7-4 = 3. » Такой принцип действия обратных операций приобретает немалый смысл, если посмотреть на числовую ось. Так, операция сложения 3 + 4 означает, что следует начать с трех и отсчитать четыре раза вправо по числовой оси, а операция (7-4) — начать с семи и отсчитать четыре раза влево. Таким образом, сначала прибавляя, а затем вычитая число 4, мы в конечном итоге возвращаемся к тому, с него начинали вычисление. » Умножение и деление. Операция деления отменяет операцию умножения. Так, если умножить сначала число 6 на 2, получив в итоге число 12, а затем разделить его на 2, то первоначальная операция умножения будет, по существу, отменена, возвращая нас обратно к числу 6: 6х2 = 12-Н2-2 = 6. Свойство коммутативности сложения дает возможность изменять порядок следования чисел в операции сложения, не меняя результат, а
  • 28.
    свойство коммутативности умножения— делать то же самое в операции умножения, не меняя результат. Ниже приведены характерные тому примеры. 2 + 5=7->5 + 2 = 7. 3x4=12^4x3 = 12. ДО ЧАСТЬ 1 Введение в математику Благодаря свойству коммутативности и обратным операциям каждое уравнение приобретает четыре альтернативные формы, содержащие одну и ту же, но немного иначе выраженную информацию. Например, 2 + 3 = 5иЗ+2 = 5 являются альтернативными формами одного и того же уравнения, хотя они и составлены с помощью свойства коммутативности. А уравнение 5 - 3 = 2 является обратной формой уравнения 2 + 3 = 5. И, наконец, уравнение 5-2 = 3 является обратной формой уравнения 3 + 2 = 5. С помощью альтернативных форм уравнений можно решать задачи заполнения пробелов. Так, если в уравнении известны два числа, то можно всегда найти оставшееся число. Для этого достаточно выяснить, как перенести пробел на другую сторону уравнения. Ниже поясняется, как это делается. » Если в любом уравнении отсутствует первое число, воспользуйтесь обратной операцией, чтобы перестроить уравнение: + 6=10-И0-6 = . » Если в операции сложения или умножения отсутствует второе число, воспользуйтесь сначала свойством коммутативности, а затем обратной операцией: 9 + = 17 + 9 = 17-И7-9 = . у> Если в операции вычитания или умножения отсутствует второе число, переставьте местами два значения, находящихся рядом со знаком равенства (т.е. пробелом и знаком равенства): 15- = 8- И5-8 . Задача. Какое уравнение является обратным уравнению 16-9 = 7? Решение. 7 + 9 = 16. В уравнении 16-9 = 7 следует начать с числа 16, вычтя из него 9, чтобы получить в итоге число 7. Обратное уравнение отменяет этот процесс, где следует начать с числа 7, прибавив к нему 9, чтобы вернуться обратно к числу 16: 16-9 = 7^7 + 9=16. Задача. Какое уравнение является обратным уравнению 6 χ 7 = 42? Решение. 42 ч- 7 = 6. В уравнении 6 χ 7 = 42 следует начать с числа 6, умножив его на 7, чтобы получить в итоге число 42. Обратное уравнение
  • 29.
    отменяет этот процесс,где следует начать с числа 42, разделив его на 7, чтобы вернуться обратно к числу 6: 6 χ 7 = 42 -> 42 - 7 = 6. ГЛАВА 2 Притягательность четырех основных арифметических... Д1 Задача. Найдите три альтернативные формы уравнения 7-2 = 5, используя обратные операции и свойство коммутативности. Решение. 5 + 2 = 7;2 + 5 = 7и 7-5 = 2. Прежде всего воспользуйтесь обратными операциями, чтобы сменить вычитание на сложение: 7-2 = 5->5 + 2 = 7. Затем воспользуйтесь свойством коммутативности, чтобы изменить порядок следования чисел в данной операции сложения: 5 + 2=7->2 + 5 = 7. И, наконец, смените сложение на вычитание, используя обратные операции: 2 + 5 = 7-^7-5 = 2. Задача. Решите следующее уравнение, заполнив в нем пробел: 16 + = 47. Решение. 31. Воспользуйтесь сначала свойством коммутативности, чтобы обратить операцию сложения: 16 + = 47-> -> + 16 = 47. Затем смените в данной задаче сложение на вычитание, используя обратные операции: +16 = 47-> ->47-16 = . А теперь данную задачу можно решить, выполнив вычитание: 47-16 = 31. Задача. Заполните пробел в следующем уравнении: -5-3 = 13. Решение. 39. Воспользуйтесь обратными операциями, чтобы сменить в данной задаче деление на умножение: -5-3 = 13—> -ИЗхЗ = . Теперь данную задачу можно решить, выполнив умножение: 13x3 = 39. Задача. Заполните пробел в следующем уравнении: 64- =15. Решение. 49. Переставьте два последних числа в уравнении: 64- =15-> ->64- 15 = . Теперь данную задачу можно решить, выполнив вычитание: 64-15 = 49. 42 ЧАСТЬ 1 Введение в математику ) Составьте альтернативную форму каждого из приведенных ниже уравнений, используя обратные операции. а)8 + 9=17. 6)23-13 = 10. в) 15x5 = 75. г) 132-5-11 =12. ||| Составьте альтернативную форму каждого из приведенных ниже уравнений, используя свойство коммутативности, а) 19 + 35 = 54. 6)175 + 88 = 263. в)22х8 = 176. г) 101 χ 99 = 9999. |р
  • 30.
    Найдите три альтернативныеформы каждого из приведенных ниже уравнений, используя обратные операции и свойство коммутативности. а) 7 + 3 = 10. 6)12-4 = 8. в) 6 χ 5 = 30. г) 18- s-2 = 9. ИР Заполните проб( влы в каждом из приведенных ниже уравнении. а) 6) в)45 + г) 273 - Д)8х е)180-5-_ - 74 = 36. х7 = 105. = 132. = 70. = 648. = 9. ГЛАВА 2 Притягательность четырех основных арифметических... 43 Группирование с помощью круглых скобок и свойства ассоциативности ь Q <5Ъ Круглые скобки служат для группирования операций, указывая на необходимость выполнить любые заключенные в них операции прежде операций за их пределами. Круглые скобки способны существенно изменить результат, получаемый при решении математической задачи, особенно со смешанными операциями. Тем не менее круглые скобки не изменяют конечный результат при решении математической задачи в следующих двух важных случаях. у> Когда каждая операция является сложением, то свойство ассоциативности сложения гласит, что числа можно группировать как угодно, произвольно выбирая пары чисел, которые следует сложить в первую очередь. А перестановка круглых скобок не изменяет конечный результат. » Когда каждая операция является умножением, то свойство ассоциативности умножения гласит, что пары чисел, которые следует умножить в первую очередь, можно выбирать произвольно. А перестановка круглых скобок не изменяет конечный результат. Свойство ассоциативности вместе со свойством коммутативности, обсуждавшимся в предыдущем разделе, позволяют как угодно переставлять все числа в любой математической задаче, состоящей только из операций сложения или умножения. Задача. Чему равно (21 - 6) -г- 3 Для того чтобы вычислить значе- и 21 - (6 -г- 3)? ние выражения 21 - (6 -ь 3), выпол- Решение. 5 и 19. Чтобы вычислить ните сначала операцию в круглых значение выражения (21 - 6) - 3, скобках, т.е. деление 6-3 = 2: выполните сначала операцию в 21 - (6 ч- 3) = 21 - 2. круглых скобках, т.е. вычитание и# наконец,
  • 31.
    выполните вычитание 21-6=15:21-2 = 19.Обратите внимание на (21 - 6) -г- 3 = 15 + 3. то, что расстановка круглых ско- И, наконец, выполните деление: 6ок в о6оих выражениях изменяет 15-5-3 = 5. результат их вычисления. 44 ЧАСТЬ 1 Введение в математику Задача. Вычислите значение выражений Ί + (9 + 2) и (Ί + 9) + 2. Решение. 12 и 12. Чтобы найти значение выражения Ί + (9 + 2), выполните сначала операцию в круглых скобках, т.е. сложение 9 + 2=11: Ί + (9 + 2) = 1 +11. И, наконец, выполните сложение: 1 + 11 = 12. Для того чтобы найти значение выражения (1 + 9) + 2, выполните Задача. Найдите значение выражений 2 χ (4 χ 3) и (2 χ 4) χ 3. Решение. 24 и 24. Чтобы найти значение выражения 2 χ (4 χ 3), выполните сначала операцию в круглых скобках, т.е. умножение 4x3 = 12: 2 χ (4x3) = 2x12. И, наконец, выполните умножение 2x12 = 24. Для того чтобы найти значение выражения (2 χ 4) χ 3, выполните сначала операцию в круглых скобках, т.е. умножение 2x4 = 8: (2 χ 4) χ 3 = 8 χ 3. И, наконец, выполните умножение 8 χ 3 = 24. Результат все равно получается одинаковым, как бы ни группировать операции умножения. сначала операцию в круглых скобках, т.е. сложение 1+9 = 10: (1 +9)+ 2 = 10 + 2. И, наконец, выполните сложение 10 + 2 = 12. Обратите внимание на то, что оба выражения отличаются лишь расположением круглых скобок. Но поскольку оба эти выражения состоят только из операций сложения, то расстановка круглых круглых скобок в них никак не меняет результат вычисления. Задача. Найдите значение выражения 41 χ 5 χ 2. Решение. 410. Два последних числа в данном выражении невелики, поэтому заключите их в круглые скобки: 41 х5х2 = 41 х(5х2). Выполните сначала операцию умножения в круглых скобках: 41 χ (5x2) = 41 х10. А теперь можно без особого труда выполнить умножение: 41 χ 10 = 410. ГЛАВА 2 Притягательность четырех основных арифметических... 45
  • 32.
    |jp Найдите значениевыражения (8x6)+ 10. fjp Найдите значение следующих выражений. а)(40-г2) + 6 = ? 6)40^(2 + 6) = ? Влияет ли расстановка круглых скобок на конечный результат? Ill Найдите значение следующих выражений. а) (18 χ 25) χ 4 = ? б) 18 χ (25x4) = ? Влияет ли расстановка круглых скобок на конечный результат? Щр Найдите значение выражения 123 * (145-144). Ip Найдите значение следующих выражений. а) (16+ 24)+ 19 = ? б) 16+ (24+ 19) = ? Влияет ли расстановка круглых скобок на конечный результат? φ Найдите значение выражения 93769x2x5. {Подсказка: воспользуйтесь свойством ассоциативности умножения, чтобы упростить решение данной задачи.) Дб ЧАСТЬ 1 Введение в математику Неравенства, вносящие неуравновешенность в уравнения Если числа не равны, то их нельзя приравнять с помощью знака равенства (=). Вместо этого следует воспользоваться различными знаками, обозначающими их неравенство. Q » » Знак > обозначает операцию сравнения "больше", а знак < — операцию сравнения "меньше". Так, операция сравнения 6 > 3 обозначает, что число 6 больше числа 3. 7 < Ί 0 обозначает, что число 7 меньше числа Ί 0. Если вы не знаете, каким знаком воспользоваться, > или <, для сравнения чисел, запомните, что знак > всегда указывает в сторону меньшего числа, тогда как знак < — в сторону большего числа, Например, 5 < 7, но 7 > 5. Знак Φ обозначает операцию сравнения "не равно". Этот знак не столь полезен, как знаки > и <, поскольку он никак не сообщает, является ли одно сравниваемое число больше или меньше другого числа. Он, главным образом, обозначает ошибку или погрешность в вычислении арифметического выражения. Знак а обозначает операцию сравнения "приблизительно равно". Он употребляется при округлении чисел и оценивании решений математических задач, т.е. в тех случаях, когда требуется найти достаточно близкое, хотя и не точное решение. С помощью этого знака можно вносить небольшие коррективы в числа, чтобы упростить обращение с ними. (Подробнее об оценивании и округлении чисел см. в главе Ί.) Задача. Укажите правильный
  • 33.
    знак (ЗчЭ (='> или <) на месте пробела: 2 + 2 5. Решение. Знак < Укажите знак <, обозначающий операцию сравнения "меньше", поскольку операция сложения 2 + 2 = 4 дает результат, равный 4 и поэтому меньший 5. Задача. Укажите правильный знак (=, > или <) на месте пробела: 42-19 5x4. Решение. Знак >. Укажите знак >, обозначающий операцию сравнения "больше", поскольку операция вычитания 42 - Ί 9 = 23 дает результат, равный 23, и поэтому больший, чем результат операции умножения 5x4, равный 20. ГЛАВА 2 Притягательность четырех основных арифметических... 47 Задача. Сэм поработал на своих родителей 7 часов при ставке $8 в час, а родители заплатили ему $50. Укажите с помощью знака * причину разочарования Сэма. Решение. $50 * $56. Сэм работал 7 часов при ставке $8 в час, поэтому заработал следующую сумму: 7 χ $8 = $56. Он был разочарован потому, что родители заплатили ему неверную сумму, которая оказалась меньше, чем он ожидал: $50* $56. Задача. Найдите приблизительное значение выражения 2 000 398 + 6 001 756. Решение. 8000000. Оба числа в данном выражении порядка миллионов, поэтому их можно округлить до ближайшего миллиона: 2000398 + 600Ί 756 * «2000000 + 6000000. Теперь сложить эти большие числа не составит большого труда: 2 000 000 + 6 000 000 = 8 000 000. I Укажите правильный знак (=, > или <) на месте пробела в следующих выражениях: а)4 + 6 13; 6)9x7 62; в) 33-16 60-3; г) 100-5 83-63. ) Замените знак Φ на знак > или < в следующих выражениях: а)17 + 14*33; 6)144- 90*66; в) 11 χ 14*98; г) 150-6*20. 48 ЧАСТЬ 1 Введение в математику ί Хозяин заплатил Тиму за его работу, выполненную в течение 40 часов на прошлой неделе. А Тим отчитался за свое рабочее время, сказав, что он потратил 19 часов на прием клиентов, Ί Ί часов на разъезды на автомашине и 7 часов на работу с документами. Укажите с помощью знака Φ причину, по которой хозяин остался недоволен работой Тима. ί Найдите
  • 34.
    приблизительное значение выраженияΊ 0 002-6 007. Особые случаи возведения в степень и извлечения квадратного корня Возведение числа в степень — это быстрый способ умножить число на самое себя. Например, обозначение 25 означает "два в степени пять", т.е. умножение числа 2 пять раз на самое себя, как показано ниже. При этом число 2 называется основанием, а число 5 — показателем степени. 25 = 2x2x2x2x2 = 32. Степени числа десять, т.е. степени числа по основанию 10, играют особую роль, поскольку на них основана десятичная система счисления. Правда, обращаться с ними совсем не трудно. Чтобы возвести число 10 в степень любого положительного числа, достаточно написать число 1 и количество нулей, равное показателю степени. Например, 103 равно 1000. ГЛАВА 2 Притягательность четырех основных арифметических... 49 Ниже приведен ряд важных правил возведения в степени, содержащие число 0 или 1. & » Всякое число, возводимое в степень Ί, равно самому себе. у> Всякое число, кроме нуля, возводимое в степень 0, равно Ί. Например, 10° равно Ί без последующих нулей, т.е. Ί. » Число 0, возводимое в степень любого числа, кроме нуля, равно 0, потому что сколько бы ни умножать число 0 на самое себя, результат все равно будет равен нулю. Математики решили оставить обозначение 0° неопределенным. Это означает, что оно не равно ни одному из чисел. внимание.· w Число Ί, возведенное в степень любого числа, равно Ί, потому что сколько бы ни умножать число Ί на само себя, результат все равно будет равен единице. Когда число умножается на само себя, в итоге получается квадрат этого числа. Следовательно, возведение любого числа в степень 2 дает его квадрат. Например, обозначение 52 означает "пять в квадрате": 52 = 5х5 = 25. Операция извлечения квадратного корня числа является обратной по отношению к возведению числа в квадрат (как пояснялось выше в разделе "Перегруппирование с помощью обратных операций и свойства коммутативности", обратные операции отменяют друг друга). Извлечение квадратного корня числа означает выявление
  • 35.
    нового числа, которое,будучи затем умноженным на самое себя, окажется равным исходному числу, из которого извлекался квадратный корень. В качестве примера ниже приведено извлечение квадратного корня из числа 25. V25 = 5 (поскольку 5x5 = 25). Задача. Чему равно З4? Задача. Чему равно Тзб? Решение. 81. Выражение З4 пред- Решение. 6. Чтобы извлечь квад- писывает умножить число 3 на са- ратный корень из числа 36, необ- мое себя 4 раза: ходимо найти такое число, умно- 3x3x3x3 = 81 жение которого на самое себя даст в итоге исходное число 36. Как из- Задача. Чему равно Ί О6? вестно, 6 χ 6 = 36, поэтому Тзб = 6. Решение. 1000000. По правилу возведения числа Ί0 в степень Ί О6 оно равно Ί с шестью нулями, т.е. Ί 000000. 50 ЧАСТЬ 1 Введение в математику Задача. Чему равно V256? Решение. 16. Чтобы извлечь квадратный корень из числа 256, необходимо найти такое число, умножение которого на самое себя даст в итоге исходное число 256. Поэтому попробуйте сузить круг подходящих для этой цели чисел, начав с числа 10: 10x10=100. Поскольку 256 > 100, квадратный корень из числа 256 больше 10. В таком случае попробуйте число 20: 20x20 = 400. Поскольку 256 < 400, квадратный корень из числа 256 оказывается в пределах от 10 до 20. В таком случае попробуйте число 15: 15x15 = 225. Поскольку 256 > 225, квадратный корень из числа 256 оказывается в пределах от 15 до 20. В таком случае попробуйте число 16: 16x16 = 256. Теперь все верно. Таким образом, V256 = 16· IP Найдите значения степеней следующих чисел: а) б2; б) З5; в)27; г) 28. {Подсказка: данную задачу упростит решение задачи из предыдущего пункта.) IP Найдите значения степеней следующих чисел: а) Ί О4; б)1010; в)1015; г)101. ГЛАВА 2 Притягательность четырех основных арифметических... 51 Решения задач из этой главы Ниже приведены решения задач, представленных в этой главе в качестве упражнений, позволяющих вам применить на практике знания, приобретенные в этой главе. Щ Составьте альтернативную
  • 36.
    форму каждого изприведенных ниже уравнений, используя обратные операции. а) 8 + 9=17:17-9 = 8. б) 23-13 = 10:10 + 13 = 23. в) 15x5 = 75:75-5 = 15. г) 132-11 = 12:12x11 = 132. щр Составьте альтернативную форму каждого из приведенных ниже уравнений, используя свойство коммутативности. а) 129 + 35 = 54:35 + 19 = 54. б) 175 + 88 = 263: 88 + 175 = 263. в) 22x8=176:8x22 = 176. г) 101 χ 99 = 9999: 99 χ 101 = 9999. © Найдите три альтернативные формы каждого из приведенных ниже уравнений, используя обратные операции и свойство коммутативности. а) 7 +3 = 10: 10-3 = 7; 3 + 7= 10, а также 10- 7 = 3. б) 12 - 4 = 8: 8 + 4 = 12; 4 + 8 = 12, а также 12 - 8 = 4. в) 6 χ 5 = 30: 30 - 5 = 6; 5 χ 6 = 30, а также 30 - 6 = 5. г) 18 - 2 = 9: 9 χ 2 = 18; 2 χ 9 = 18; 18 - 9 = 2. Щр Заполните пробелы в каждом из приведенных ниже уравнений. а) 110. Перепишите уравнение - 74 = 36 в его обратной форме: 36 + 74 = . Следовательно, 36 + 74 = НО. б) 15. Перепишите уравнение χ 7 = 105 в его обратной форме: 105-7 Следовательно, 105 - 7 = 15. в) 87. Перепишите сначала уравнение 45 + = 132, используя свойство коммутативности: + 45=132. Затем перепишите данное уравнение в его обратной форме: 132-45 = . Следовательно, 132 - 45 = 87. 52 ЧАСТЬ 1 Введение в математику г) 203. Перепишите уравнение 273 - = 70, поменяв местами два его члена, находящиеся по обе стороны от знака равенства: 273-70 = . Следовательно, 273 - 70 = 203. д) 81. Перепишите уравнение 8 χ = 648, используя свойство коммутативности: χ 8 = 648. Затем перепишите данное уравнение в его обратной форме: 648-8 = . Следовательно, 648 -8 = 81. е) 20. Перепишите уравнение 180 - = 9, поменяв местами два его члена, находящиеся по обе стороны от знака равенства: 180-5-9 = . Следовательно, 180 - 9 = 20. 58. Сначала выполните операцию умножения в круглых скобках: (8x6)+ 10 = 48+10. Затем выполните операцию сложения: 48 + 10 = 58. 123. Сначала выполните операцию вычитания в круглых скобках: 123-s-(145- 144) =123ч-1. Затем выполните операцию деления: 123 -г-1 = 123. Найдите решение следующих двух уравнений. а) (40-2) + 6
  • 37.
    = 20 +6 = 26. б) 40 -г- (2 + 6) = 40 ч- 8 = 5. в) Да, расстановка круглых скобок влияет на конечный результат. Найдите решение следующих двух уравнений. а) (16+ 24)+19 = 40+19 = 59. б) 16+ (24+19) =16+ 43 = 59. Нет, расстановка круглых скобок никак не влияет на конечный результат из-за свойства ассоциативности сложения. Найдите решение следующих двух уравнений. а) (18 χ 25) χ 4 = 450x4 = 1800. б) 18х(25х4)=18х 100 = 1800. Нет, расстановка круглых скобок никак не влияет на конечный результат из-за свойства ассоциативности умножения. ГЛАВА 2 Притягательность четырех основных арифметических... 53 φ 93 769 χ 2 χ 5 = 937690. Данную задачу проще решить, заключив операцию умножения 2 χ 5 в круглые скобки. 93769 χ (2 χ 5) = 93 769 χ 10 = 937690. IP Укажите правильный знак (=, > или <) на месте пробела в следующих выражениях. а) 4 + 6=10, поэтому 10 < 13. б) 9 χ 7 = 63, поэтому 63 > 62. в) 33 - 16 = 17, а также 60 ч- 3 = 20, поэтому 17 < 20. г) 100 ч- 5 = 20, а также 83 - 63 = 20, поэтому 20 = 20. © Замените знак Φ на знак > или < в следующих выражениях. а) 17+14 = 33, поэтому 3 К 33. б) 144 - 90 = 66, поэтому 54 < 66. в) 11 χ 14 = 154, поэтому 154 > 98. г) 150 ч-6 = 25, поэтому 25 > 20. φ 19+11+7 = 37*40. φ 10002 -6007 «4000. φ Найдите значения степеней следующих чисел. а) б2 = 6 χ 6 = 36. б) З5 = 3x3x3x3x3 = 243. в) 27 = 2x2x2x2x2x2x2 = 128. г) 28 = 2x2x2x2x2x2x2x2 = 256. Из упражнения в предыдущем пункте уже известно, что 27 = 128, поэтому умножьте это число на 2, чтобы получить решение данной задачи: 128 χ 2 = 256. |ф Найдите значения степеней следующих чисел. а) 104 = 10000. Записывается как 1 с четырьмя нулями. б) 10ю = 10000000000. Записывается как 1 с десятью нулями. в) 1015 = 1000000000000000. Записывается как 1 с пятнадцатью нулями. г) 101 = 10. Любое число, возводимое в степень 1, равно самому себе. 54 ЧАСТЬ 1 Введение в математику
  • 38.
    Глава 3 Освоениеотрицательных чисел В ЭТОЙ ГЛАВЕ. » Представление об отрицательных числах » Определение абсолютного значения числа 11 Сложение и вычитание отрицательных чисел υ Умножение и деление отрицательных чисел Отрицательные числа, которыми обычно обозначается долг или низкая температура, представляют величины меньше нуля. Такие числа зачастую возникают при вычитании большой величины из меньшей. В этой главе поясняется, как выполнять четыре основные операции (сложения, вычитания, умножения и деления) над отрицательными числами. О происхождении отрицательных чисел Когда вы впервые открыли для себя операцию вычитания, то, вероятно, были предупреждены, что вычесть большее число из меньшего нельзя. Так, если у вас имеется четыре стеклянных шарика, то вам не удастся вычесть из них шесть шариков, поскольку вы не сможете изъять больше шариков, чем у вас есть на самом деле. Если это правило вполне справедливо для стеклянных шариков, то в других случаях большее число иногда можно вычесть из меньшего. Так, если у вас имеются 4 доллара и вы покупаете что-нибудь за 6 долларов, то тем самым совершаете покупку в долг на 2 доллара, т.е. в вашем распоряжении остается отрицательная денежная сумма. Число со знаком "минус" (например, -2) называется отрицательным. Так, число -2 можно назвать как "минус два", или "отрицательная двойка". Отрицательные числа находятся на числовой оси слева от нуля, как показано на рис. 3.1. Ί I 1 1 1 1 1 Г Τ 1 Г —г -8-7-6-5-4-3-2- 10 1 2 3 4 5 6 7 8 Рис. 3.1. Отрицательные числа на числовой оси Вычитание большего числа из меньшего приобретает смысл на числовой оси. С этой целью воспользуйтесь правилом вычитания, пояснявшимся в главе 1, начав с первого вычитаемого числа и отсчитав влево по числовой оси столько раз, сколько составляет второе число. © Если же в вашем распоряжении отсутствует числовая ось, то воспользуйтесь следующим правилом для вычитания большего числа из меньшего: переставьте местами оба числа, чтобы вычесть
  • 39.
    Other documents randomlyhave different content
  • 40.
    oli ennen ainapäästy kevätnuotalle, kutukalan pyyntiin, ja kaukana oli silloin ollut särpimen puute. Mutta nyt oli jo heti keväästä juttu toinen. Nyt oli tullut tuo uusi kalastusasetus, joka sotki lintulahtelaistenkin kaikki vanhat elinkeinot. — Eikö lähdetä nuotalle? oli taas jäitten lähtiessä vanhan tavan mukaan Leppäniemen isäntä virkkanut naapurilleen Rainikaiselle. — Huomenna sinne jo kyetään. Mutta ankaraksi oli käynyt Rainikaisen katse, ja nuhdellen hän oli itsetietoisena naapuriaan neuvonut: — Nuotalle! Etkö tiedä uutta kalastusasetusta… et saa kastella nuottaasi jäittenlähdöstä heinäkuun alkuun, muuten menetät nuottasi. — No sehän nyt menoa on. Mutta mistä se sitten kevätkala saadaan? — Osta tai ole ilman. Sehän se kohta ensimmäiset huolet toi. Sanoivathan ne saatavan pyytää verkoilla ja rysillä, mutta kenelläpä niitä lie niin varalta ollut, ja mitäpä ne antoivat nuotan rinnalla, jos olisi ollutkin. Lintulahtelaiset pureskelivat kuivaa leipää, ryyppäsivät kurnaalia päälle ja katselivat kaihoten talaissa riippuvia nuottiaan. Älä kastele, — kyllä siitä aina joku vallesmanniin sanan lennättäisi, ja milläpä sitten lupa-ajallakaan pyytäisit. Odottivat sitä heinäkuun alkua — sittenpähän syödään särvintä sitä vinhempaan. Ja sillä välin isäntämiehet istuskelivat iltakaudet
  • 41.
    kamareissaan ja lukivatuutta asetusta. Lukivat ja koettivat ymmärtää, mutta helppoa se ei ollut. Se käski perustaa kalastusyhdistyksiä, — he olivat siitä lahdelta tottuneet pyytämään itse kukin mistä oli saatu ja kuka oli kerinnyt. No, lintulahtelaiset perustivat yhdistyksen, rupesivat siihen kaikki, — samapa se, pyydetään sitten entisellään, kunhan vain se lupa-aika tulisi! Sitten se on toki selvää. Mutta eläpäs vielä! Eräänä pyhäiltana Kelalan isäntä kävelee piennarta pitkin Rainikaiseen hyvin miettiväisen näköisenä ja uusi kalastusasetus kourassaan. Istuu penkille, miettii yhä. — No mitä se naapuri nyt meinaa, kysyy vihdoin Rainikainen. — Sitä, että tämä kalastusjuttu ei taida olla vieläkään selvillä. Emme me kykene vielä heinäkuun alustakaan nuotalle. — No mikäs siinä… onhan se silloin jo lupa-aika. — On, mutta meillä ei ole vielä vesistö reilassa… Niin, näetkös tätä pykälää. Jokaisesta kalavedestä pitää lohkaista erityinen rauhoitusalue, josta ei kukaan saa mitään pyytää, ei muuta kuin minkä ongella saa. Ja se on lohkaistava ensiksi, sitä ennen älä kalasta. — Ja kuka sen lohkaisee? — Siihen pitäisi kai oikeastaan olla maanmittari tai… — Yhhyh! Siitä se tulee vielä kallis juttu, kyllähän ne mittarien taksat tunnetaan. Ja kuka ne hommaa ja maksaa?
  • 42.
    Mutta Kelala, sekirjanoppinut, luki hiljaa asetusta edelleen. Hän oli löytänyt sieltä sellaisenkin kohdan, että "jos jakokunnan osakkaat itse sopivat jostakin määrätystä rauhoitusalueesta, niin saavat sen itse paaluttaa". Ja sen hän nyt haki ja naapurilleen lohdutukseksi luki. — No hitto vie, totta me sen sitten itse paalutamme. Pidetään kokous! Kokous pidettiin heti, siihen saapuivat Leppäniemen Matti, joka oli vähän tyhmä ja aina hyväksyi edellisen puhujan mielipiteet, Perälän isäntä, joka oli olevinaan yhtä suuri kirjamies kuin koskaan Kelala, vaikka nyt harmikseen huomasi itseltään tuon yhden mutkan jääneen asetuksesta huomaamatta, ja kaikki muut, — ei niitä toki ollutkaan kaiken kaikkiaan kuin vaille kymmenen taloa siinä Lintulahden kylässä. Asetuksen määräys rauhoitusalueesta huomattiin oikeaksi, ja miehet päättivät sen itse lohkaista ja paaluttaa, — olihan siinä heidän lahdessaan lääniä, joutipa siitä jokin nurkka rauhoitettavaksikin, kun vain sillä päästäneen. Jo heti seuraavana iltana he lähtivät neljällä veneellä lahdelle, sousivat sen pitkin ja poikin, katselivat kaikki paikat, missä oli vanhoja apajoita ollut — niitä eivät antaneet rauhoitusalueeksi, — muistelivat, miltä rannalta oli kaloja saatu ja miltä ei, ja innostuivat ja väittelivät. Sillä vähän kustakin paikasta oli joskus saatu, ei mielinyt riittää rauhoitusalueeksi mitään. Vihdoin he sopivat, valitsivat kaloille siitossijaksi muutaman kivisen louhikkorannan, jossa eivät muistaneet kalan koskaan asustaneen. — Sen nyt hennoo hylätä, toistivat he kaikki.
  • 43.
    Ja iskivät paalutpohjaan, pitkät, paksut paalut, ja veistivät kirveillä merkit. — Siitä löytäkööt nyt herrat rauhoitusalueen, kun hakemaan tulevat! — Siinäpä kalat nyt kutekoot minkä vain mieli tekee, säilyy se paikka nuotilta. He hymähtelivät näin puhuessaan, sillä he tiesivät, etteivät tuossa louhikossa ole kalat koskaan kuteneet. Mutta ehkäpä muuttavat nyt sinne paalujen mukaan. Tehkööt minkä tahtovat, asetus vain on täytetty. Ja tyytyväisinä ja hyvässä sovussa miehet sousivat kotirantaan nyt vain odottamaan sitä heinäkuun alkua, jolloin vihdoinkin sai potkea nuotat veteen. Heinäkuu läheni. Mutta eräänä päivänä rupesi kylän miesten kesken taas liikkumaan uusia huolia sen samaisen asetuksen johdosta. Perälän isäntä, joka oli ollut vähän häpeissään sen tuonnoisen huomaamattomuutensa johdosta, oli nyt sitä uutterammin tutkinut uutta asetusta, vaaninut sen kaikkia metkuja ja vihdoin löytänyt siitä erään pykälän, joka määräsi, että rauhoitusalueeksi on valittava sellainen vesialue, jossa kalat yleensä käyvät ja jossa niillä on kutupaikkoja. Hän käveli Kelalaan, koetti salata voitonriemuaan ja esittää asiansa huolestuneella nuotilla, vaikka se ei oikein onnistunut: — Ei tainnut se meidän paalutus tulla sittenkään oikein lain mukaan jullilleen. Tässä on, että jos ei ole rauhoitusalue oikein määrätty, niin voi kuvernööri kieltää kalastuksen koko vesistöstä. Luepas tuosta…
  • 44.
    Hän näytti sormellaanniitä löytämiään pykäliä Kelalalle ja lisäsi tämän lukiessa: — Se se puksahdus olisi, silloin emme saisi nuottaa vetää koko kesänä. Kelala luki, vaan ei tahtonut uskoa. — Ole hupsimatta, tuo ei meihin kuulu, kun meillä kerran on rauhoitusalue. Kuka sen takaa, etteivät kalat kude meidän paalujemme sisäpuolella. — Mutta tietäähän sen jokainen. — Ei sitä kuvernööri tiedä eikä hän siitä välitä. Kelala ei tahtonut pitää koko tätä uutta keksintöä minkään arvoisena. Mutta Perälä ei niin vähällä huoliaan heittänyt. Hän käveli Leppäniemeen ja sieltä Matin kanssa Rainikaiseen ja esitti heille asian kaikkein peloittavimmassa muodossa ja karvassa. — Se olisi puksahdus… ja kyllä aina joku ilmiantaa, siitä saatte olla varmat. — Ja mistä me silloin talvikalaakaan saisimme, kevätkausi nyt jo on saatu ilman tirppoa. Leppäniemen Matti oli jo aivan vakuuttunut. — Täytyy muuttaa se paalutus, panna kutupaikkojakin rauhoituspiiriin.
  • 45.
    — Sitähän minäkin,vakuutti Perälä, on pidettävä uusi kokous. Tässä kokouksessa Kelala ja pari muuta miestä hänen kanssaan koettivat väittää turhaksi koko tätä touhua, — kuka sen tietää, missä se kala kutee, ja kuka sitä täällä käy katsomassa? Ja kuka ne mittaa meidän paalut, olkoot paikoillaan! — Mutta enemmistö oli levoton ja katsoi varmimmaksi seurata lain kirjainta. Niin sousivat miehet taas eräänä iltana lahdelle, sousivat poikki ja pitkin ja ryhtyivät vihdoin taas paaluttamaan uutta aluetta, selkävettä ja rannikkoa, jossa tiesivät kalan varmasti asuvan ja kutevan. Siihen meni heidän parhaita apajoitaan, ja säälittihän se, mutta parempi katsoa kuin katua. Niin arvelivat ukot ja löivät uudet paalut pohjaan. Siten oli nyt Lintulahdessa kaksi vesialuetta rauhoituspiireiksi paalutettuna. Ja kylän asukkaista muutamat pitivät sitä ensimmäistä oikeana rauhoitusalueena ja katsoivat olevansa oikeutetut vetämään nuottaa tuosta myöhemmin paalutetusta, hyvästä apajapaikasta, jonka taas toiset selittivät oikeaksi rauhoitusalueeksi, vaikk'eivät sentään uskaltaneet niitä ensimmäisiäkään paaluja repiä pois. Siitä syntyi kinaa kyläläisten kesken, pian siitä syntyi kaunaakin, ja naapurusten välit rikkoontuivat. — Vetäkää nyt nuottaa sieltä kalliorannalta, koska apajat rauhoititte, veistelivät Kelalan miehet. — Tehän sen asetuksen paremmin ymmärrätte. Me pyydämme vanhoilta apajoiltamme. — Kunnes kuvernööri kieltää teiltä pyynnin ja vie nuotatkin, vastasivat peräläiset. — Kieltää se teiltä jos meiltäkin.
  • 46.
    Varsinkin Kelalan jaPerälän talojen välit kävivät huonoiksi. Heillä oli yhteinen tie rantaan, ja pian syntyi riita rumpujen korjaamisesta ja tien käyttämisestä. Akat hämmästelivät pyykkirannassa ja lapset tappelivat kesannolla. Heinäkuun alku oli juur'ikään käsissä ja nuotat olivat jo korjatut kesäkuntoon. Kauan oli särvintä ikävöity, ja siksi kaikki olivat valmiit ensimmäisenä lupapäivänä lappamaan nuotat veneisiin. Mutta tuo kahden rauhoitusalueen juttu teki sillävälin useat isäntämiehet yhä levottomammiksi. Niin oli Rainikainenkin nyt itse tilannut sen uuden asetuksen kaupungista; hän sai sen juhannuspäiväksi ja istui koko päivän ja tutki sitä, hän ei tahtonut enää luottaa toisten selityksiin. Varsinkin hän luki tarkoin luvun rauhoitusalueista ja töksähti aina siihen pykälään, jossa sanottiin, että lohkokunnan jäsenet saavat itse määrätä ja paaluttaa rauhoitusalueensa, "jos ovat yksimieliset". — Mutta entäpä jos eivät ole? Kovasti rupesi Rainikaista huolettamaan, hän käveli Leppälahden Matin luo, ja sieltä mentiin toisten isäntäin puheille, ja näille hän esitti nuo epäilyksensä ja kysymyksensä. — Jos eivät ole yksimielisiä, entä silloin? — Silloin kai eivät saa itse paaluttaa. — Ja silloin kai on mittari haettava jakoa tekemään. Muuhun päätökseen he eivät voineet tulla. Ja he oivalsivat, että heidän jakoasiansa oli juuri tuolla ikävällä kannalla: oli kaksi rauhoitusaluetta, josta toiset käyttivät yhtä, toiset toista. Mutta niin
  • 47.
    ollen ei olemitään varsinaista rauhoitusaluetta ollenkaan, huomautti Perälä, ja sellaisenhan laki nimenomaan määrää. Mutta tukalaa oli miehistä sekin mittarin hakeminen. — Mistä sen nyt enää ehtii heinäkuun alkuun saada, ja jos saisikin, niin kuka sen maksaa? — Mutta jos ei ole yhteistä rauhoitusaluetta, niin älä lähde nuotalle. No, ei auta muu kuin että se yhteinen rauhoitusalue on sittenkin hommattava, päättelivät miehet tuskissaan. Vielä on pidettävä uusi kokous kyläläisten kesken ja lopuksikin sovittava yhdestä ainoasta yhteisestä rauhoituspiiristä. Sitä vaatii kaikkien etu. Se oli tulos neuvotteluista. Viipymättä laitettiin taas viestit kiertämään kaikkiin taloihin, ja eräänä iltana ukot keräytyivät jälleen rannalle lähteäkseen kolmannen kerran soutamaan lahteaan pitkin ja poikki, sitä lopullista, yhteistä rauhoitusaluetta määräämään. Taas oli paaluja veneissä, taas kinailtiin ja soviteltiin, ja lopuksi valittiin vihdoin rauhoitusalueeksi sellainen poukama ja selkävesi, jossa oli sekä mahoa vettä että myöskin kutupaikkoja. Paalut iskettiin, kolmannet paalut. Ja yösydännä miehet palasivat taas maihin. Mutta alakuloisina ja huonoin toivein he nyt astelivat kukin kotitalolleen. Tällä hetkellä ei ollut Perälän eikä Kelalan isäntä ollut mukana, ja siitä aavistettiin pahaa kasvavan. Heistä Kelala piti kiinni ensimmäisestä paalutuksesta ja Perälä toisesta, eivätkä he tahtoneet kuulla muista rauhoitusalueista puhuttavankaan. He olivat sitäpaitsi riitaiset keskenään, eikä kumpikaan tahtonut lähteä mukaan
  • 48.
    toimitukseen, jossa arvelitoisen olevan. Mutta toiset kylän miehet epäilivät, että nämä ne tekevät vielä tenän ja lyövät tyhjäksi tämän viimeisenkin yrityksen. Niin kävikin. Perälä ei antautunut enää puheisiinkaan; kun ei kerran hänen paalutuksensa kelvannut, niin vedottakoon oikeuteen. Ja Kelala kirosi ja vannoi, että vaikka muut myöhemmin iskisivät koko lahden paaluja täyteen, niin hän ei välittäisi muista kuin siitä ensimmäisestä rauhoitusalueesta, joka oli ainoa laillinen. Niin alkoi heinäkuu. Lintulahdessa oli kolme rauhoitusaluetta, joista ei kumminkaan mikään ollut kaikkien tunnustama, kylän miehet olivat ilmi kiistassa keskenään ja naapurusten välit olivat pilassa. Nuotta-aika oli vihdoinkin tullut, mutta kukaan ei uskaltanut nuotallaan lahdelle lähteä, sillä naapurit olisivat sen tietysti heti viranomaisille ilmoittaneet — niin huonot olivat välit. Isäntämiehet vaanivat yökaudet toistensa talaita ja päivillä siitä toisiaan pistelivät. Ja lapset mankuivat särvintä ja akat torasivat, että mistä se talvikala otetaan. Se oli ikävää aikaa, ilma oli raskasta, alituiset epäluulot ja juorupuheet myrkyttivät mielet ja tekivät tukalaksi elämän. Nuoret miehet miettivät Amerikkaan lähtöä ja tytöt itkeä pillittivät sitä navetan portailla. Silloin laski, keskelle sitä raskasta ilmaa, eräänä kesäpäivänä tukkilautta Lintujokea myöten alas Lintulahteen, ja sen mukana tuli suuri liuta tukkilaisia, jotka hoilasivat ja lauloivat, niin että rannat kajahtivat. He hilasivat näet laulun voimalla lauttaansa merelle päin. Mutta kun he juuri olivat aavalla keskilahdella lauttoineen, niin jo nousikin mereltä kova myrsky. Se velloi lautan pitkin lahden selkiä, taittoi ankkurivitjat, särki puomit ja hajoitti tukit pitkin luotoja ja
  • 49.
    rantoja. Tukkilaiset huusivattuhatta huimemmin, karjuivat harmissaan ja kiroilivat kerätessään karkulaisia rannoilta ja vääntäessään uusia vitjoja puomeihinsa. Sitä kesti pari päivää, ja Lintulahden kylän asukkaatkin olivat aivan huumauksissaan siitä hälinästä ja hoiluusta. Mutta kun tukkilaiset vihdoin taas olivat saaneet lauttansa kokoon ja painuneet sen kanssa lahden suulta merelle, silloin lintulahtelaiset keksivät ihmeekseen, että heidän monista rauhoituspaalutuksistaan ei ollut enää merkkiäkään jäljellä. Myrskyn painosta raskaat lautat olivat katkoneet paaluja ja vatvoneet niitä irti, ja tukkilaiset olivat vihapäissään riuhtoneet viimeisetkin pois. Ihan putipuhdas oli lahti, ei yhtään paalua jäljellä, kaikki kolme rauhoitusaluetta olivat tykkänään hävinneet. Lintulahtelaiset katselivat sitä rannoiltaan päivän ihmetellen, puistelivat päätään ja miettivät. Mutta kun ilta tuli, niin jo yhdestä talaasta lapettiin nuotta veneeseen, sitten toisesta ja kolmannesta ja niin edelleen pitkin koko lahden rantaa. Jo ennen auringon laskua talaat olivat tyhjinä ja tyhjinä talotkin, joka mies ja nainen oli nuotalla. Surma oli sinä yönä Lintulahden kaloilla, sillä siinä vedettiin vanhat apajat ja uudet, joka ranta ja poukama koettiin, eipä jäänyt paljon vetämätöntä vettä. Liian kauan oli särpimettä oltu, oikein harmissa sitä nyt pyydettiin. Ja kalaa syötiin niinä päivinä joka mökissä, syötiin ja suolattiin, ja yhä uutta tuotiin joka ilta, tuotiin niin Perälään ja Kelalaan kuin Rainikaiseen ja Leppäniemeen ja kaikkiin muihin. Eikä siinä rauhoituspiireistä välitetty, niistä ei enää puhuttukaan. — Tukkilaiset tärvelivät paalut, mikä niistä alueista enää olisi selon saanut. — Hakekoon paalut se, kenelle se kuuluu…
  • 50.
    Niin lohduttivat miehetomiatuntojaan käydessään potkemaan nuottansa tuonaan mittaamilleen rannoille. Ja se oli heistä leikkisääkin ja hauskaa. Naapurusten välit korjaantuivat tuota pikaa, toistensa nuotioille tultiin jo yösydännä rantakalaa syömään, ja halukkaasti ammensi siellä Kelalan isäntä keittoa poskeensa Peräläisen padasta ja Peräläinen pisti tupakan Kelalaisen massista. — Tukkilaiset tehkööt tilin rauhoitusalueista, me niistä jo tarpeemme saatiin. — Me syömme kalaa, tuli se yhdestä poukamasta tai toisesta. Tulkootpa kyselemään meidän rauhoituspaalujamme! Mutta ei kukaan kysellyt mitään. Ja niinikään vanhaan malliin kalaa pyydetään vielä tänäkin päivänä Lintulahdesta.
  • 51.
    IV. KIUSKERISSA TALVELLA. Kiuskeri onpieni kalliosaariryhmä aavassa Suomenlahdessa, noin peninkulman päässä Suomen puolen ulommaisesta saaristosta, etelään Pitkästäpaadesta. Siellä on myöskin luotsimajakka, ja majakkana se kulkee "Ison Kalastajan" nimellä. Mutta Kiuskerina se on tunnettu suomalaisen rannikko väestön kesken, ja hyvin tunnettu ja laajalti tunnettu. Sillä se on itäisen Suomenlahden talvikalastuksen keskuspaikka. Kun kesällä purjehtii näiden autioiden kallioiden ohi tai jos matkustajalaivan kannelta tulee niitä kohden silmäilleeksi, niin uskoisipa näillä paikoilla talvisin vallitsevan täydellisen kuoleman ja hiljaisuuden. Kesällä toki näkee aina jonkin purjeen pilkistävän edes kaukaa taivaanrannalta tai savun tupruavan höyrylaivan piipusta taikka öiseen aikaan majakkatulen vilkkuvan. Mutta talvella! Poissa ovat purjehtijat jääaavikolta, poissa luotsit majakasta, sammuksissa ovat rantaloistojen tulet, kuollut on meri. Niinhän luulisi. Mutta eipäs olekaan.
  • 52.
    Silloin siellä näetvasta elämä alkaakin, silloin se vasta täyteläänä pulppuaakin parin, kolmen kylmimmän talvikuukauden aikana. Meri ei vielä jouluksi jäädy, harvoinpa tammikuullakaan. Mutta helmikuun alussa saapuvat varmasti lähimmän rannikon miehet, etupäässä pitkäpaatelaiset, suurin joukoin Kiuskeriin. Suksilla sinne hiihtävät ja vetävät perässään pieniä, keveitä, siroja laitakelkkoja, joissa ovat verkot ja eväät, padat ja purjeet ja muut tarvekapineet, — norssikelkoiksi niitä sanotaan, sillä kuoretta tämä talvipyynti isoksi osaksi tarkoittaa. Mutta näiden yksinäisten hiihtäjäin välissä kulkevat huohottaen ja hoilaten isommat miesjoukot, jotka vetävät perässään jalaksille nostettuja veneitä, — ilman veneitä eivät nämä likisaaristolaiset koskaan lähde Kiuskeriin. Kepeästi juoksevat raskaat veneetkin jalaksillaan jäätikköä pitkin, ja pian se peninkulman taival katkeaa. Saaristolaiset nostavat tavaransa majoihinsa, — heillä on näet Kiuskerin suurimman saaren pohjoisrannalla notkoihin ja kallioiden lomiin veistettynä puolenkymmentä hirsisuojaa uuneineen ja lattioineen — ja niissä he talvikalan aikana aina yönsä lämpimässä viettävät. Tämä keskimmäinen kalliosaari on sangen korkea, mutta syysmyrskyllä kuohuu kumminkin meri iltikseen senkin yli, eikä siellä sen vuoksi kasva puutakaan, ei kuin vaivainen, maata vasten painunut kataja kiven kolossa. Ja aivan niinkuin saaren kataja, niin näyttävät sen majatkin mataloina ja maata vastaan painuneina juurettuneen kivien koloihin. Mutta kiire on Kiuskeriin saapuneilla jäälle. Kukin koettaa ehtiä valitsemaan parhaat verkkopaikat, syvimmät kalahaudat, — minkä paikan silloin helmikuussa saa valituksi, sen saa sitten, jos jää paikoillaan kestää, talvikauden omanaan pitää. Verkot uitetaan kohta jään alle, pitkä salko ommellaan avannosta toiseen, mutta verkon päihin kiinnitetty nuora jää kulkemaan jään päältäkin, niin että verkot voi kokea tarvitsematta niitä nostaa vedestä ja uudelleen uittaa. Kolme
  • 53.
    avantoa kuuluu kuhunkinverkkoon. Keskimmäisen, suurimman, soikean avannon edessä istuu pyytäjä kahdareisin ja nostelee sieltä sulin käsin jääkylmää verkkoaan, noppien saaliin vasuihinsa. Mutta suojakseen tuulelta hän pystyttää ympärilleen "varjokepit", kuusi yläpäistään yhteen sidottua tankoa, joiden päälle hän levittää purjeen, — se on pienen lappalaiskodan näköinen, suippopäinen suojus, ja siinä kalastaja kököttää, anna pyrytä tai myrskytä. Ei ole hätääkään, kun vain jää kestää! Mutta tuskin lähimmän saariston miehet ovat ehtineet näin asettua pyyntipaikoilleen, kun jo pitempimatkaisiakin kalastajia rupeaa saapumaan Kiuskerin seuduille. Niitä tulee Koivistolta ja Uudeltakirkolta asti — heillä ei ole lähempänä talvipyyntipaikkoja, — ajavat siihen hevosilla rantoja pitkin tai suoraankin kierällä jäällä, saapuvat majoineen, eväineen, akkoineen — mutta ilman veneitä — jäädäkseen sinne sitten koko talvikaudeksi. He pystyttävät laudoista rakennetut, säpeillä kokoonkyhättävät majansa eli "putkansa" ulos jäälle, ulommas saaristolaisista, verkkoavantojensa viereen, ja muuttelevat niitä sitä myöten kuin saalista tuntuu tulevan. Ennen pitkää on näitä majoja siellä jäisellä ulapalla silmänkantaman pituinen rivi, on putka putkan takana, sen verran vain väliä, etteivät eri pyytäjäin verkot sotkeudu toisiinsa, jos merivirta miten päin pyörinee. Jokaisessa majassa asuu 6-8 henkeä, sulloutuneina minkä suinkin makaamaan sopivat. Pienellä rautauunilla maja illalla lämmitetään, ja pian se käykin kuumaksi kuin sauna; mutta pian lämmin pakeneekin hataroista lautaliitteistä, eikä aamulla majassa ole paljoa vähemmän pakkasta kuin jääaavikolla, — terveyttä se elämä kysyy! Vilkasta on elämä aamusta asti Kiuskerin edustan aavikolla. Tuhathenkinen väestö kihisee siinä yksillä jäätiköillä; miehet
  • 54.
    juoksevat edestakaisin majojensaja avantojensa väliä, varjokeppejä pystytetään avantojen ympärille, ja pian on niitä kuin suippopäitä heinärukoja ison kartanon vainiolla, — hyvin ison kartanon. Uudet tulokkaat vetävät keikkojaan yhä edemmäs merelle. Ja maista päin kilisevät kulkuset, kalanostajat näet saapuvat pyyntipaikalle ostamaan aamun saaliit. Nuo ostajat antavat erityisen värin ja elon kalastajaleirille. Hevosten tiu'ut kilajavat, kun ne kylmissään siinä jäällä heinää pureskelevat ja tömistävät kavioitaan. Miehet tepastavat siellä hyvissä turkeissa, kirjavissa vöissä ja huopasaappaissa, kulkevat majasta toiseen, tinkivät, huutavat kalamiehiä puheilleen ja hierovat kauppaa. Mutta kalastajat, vaikk'eivät muuten paljon tiedä toisistaan jääaavikolla, ovat kumminkin hintojen puolesta muodostaneet lujan liiton: he eivät niitä pudota. Ja jo maksaa yksi ostaja toisensa perästä vaaditun hinnan, joku lisääkin vähän saadakseen kuormansa pian täyteen ja ehtiäkseen ensiksi myyntipaikalle, Viipuriin tai Pietariin. Raha kilahtaa kalastajan suomuspeittoiseen massiin, päivän pyynnistä hän voi saada kymmenen markkaa ja ylikin. Mutta kyllä se olikin raskasta työtä, — vilussa ja pyryssä pitää avokäsin hoitaa jään alta juoksevia pohjaverkkoja, ja niin märkänä sitten maata yönsä vetoisessa majassa. Ja sitä täytyy tehdä kuukausimääriä yhteen menoon. Pitkäpaatelaiset ne toki lähtevät aina sunnuntaiksi kotiinsa, kylpevät lauantai-iltana, muuttavat vaatteensa, lepäävät ja ihmistyvät lämpimissä tuvissaan perheensä parissa ja palaavat sitten maanantai-aamuna aikaiseen uusina ihmisinä taas viikoksi Kiuskeriin. Mutta ulkopitäjäläiset elävät siellä merellä hataroissa lautamajoissaan usein pari kuukautta yhteen menoon, ehkä jonkin ainoan kerran käyvät saaressa vierailemassa, elävät siellä niillä yksillä ahtailla, kylmillä ja märillä tiloilla myrskyssä, tuiskussa ja pakkasessa.
  • 55.
    Järjestys tuossa jääyhteiskunnassaon mallikelpoinen. Ei siellä ole esimiestä, ei ruununmiestä, ei sääntöjä eikä aitoja, vaan niitä ei tarvitakaan. Kukin hoitaa omat asiansa, hoitaa raskaan työnsä ja antaa toisen tehdä samoin. Raskasta työtä, mutta meneehän se elämä sittenkin mukiin, niin kauan kuin jää kestää eheänä ja rauhassa saa pyyntiä harjoittaa, — siihenhän sitä on saatu tottua. Vasta se vaikeaksi käy, kun sattuu sellainen huono talvi, jolloin meri menee heikkoon jäähän, joka sitten joka tuulella repeytyy ja särkyy ja näyttää hätää ja kiirettä kalastajille. Silloin ei voi koskaan yötään aivan turvallisesti maata lautamajassa, silloin täytyy päivilläkin alinomaa varjokeppien alta tarkata tuulia ja merivirtoja ja pelätä jään alla olevia, kalliita verkkoja. Ja repeileehän meri usein vankempinakin talvina, kun myrsky nousee. Yhtäkkiä irtautuu jää joltakin kaukaiselta rannalta ja turkkaa toista kiintonaista jäätä vastaan, joka taas vuorostaan särkyy ja lähtee tyrkkimään. Silloin rupeaa meri elämään, silloin ei ole hauskaa aavikolla. Railoja avautuu kalastajain majojen väliin, lautta lähtee verkalleen liikkeelle. Kiire on silloin kalastajilla korjata verkkojaan ylös merestä, panna majat kokoon ja pyrkiä kiintojäälle. Lähimmän saariston miehet siitä pulasta helposti pelastuvat: heillä on venheet Kiuskerissa ja siellä aina miehiä, jotka tulevat pyynnissä olevia pelastamaan. Mutta koivistolaisilla ei ole veneitä, hauras jää on heidän ainoana turvanaan. Kun meri on ollut ylt'yleensä jäässä, silloin eivät lautat tavallisesti lohjettuaankaan pääse kauas kulkemaan, ainahan silloin tulee toinen jää pian vastaan, jota myöten pääsee pyrkimään kiintojäälle. Mutta jos tuuli kauan puhaltaa yhdeltä suunnalta, kooten jäät vastarannalle, ja virta sitten yht'äkkiä kääntyy toisaalle, silloin railot levenevät suuriksi seliksi ja liikkuva jäälautta ajautuu kauas sulalle merelle, ajautuu kuulumattomiin. Silloin on hätä käsissä, silloin lautalle jääneet
  • 56.
    kalastajat voivat hävitäviikkokausiksi teille tietymättömille. Ellei heitä silloin pian ala joltakin rannalta kuulua, niin jo on pakko hälyttää ruunun laivoja avuksi. Niin käy usein kevätpuoleen, milloin jäät lähtevät liikkeelle ennenkuin pyyntiaika on lopussa. Kalastajat eivät malta lähteä ajoissa maihin, he luottavat onneensa, jäävät jäätikölle viime tinkaan, kunnes lautat repeytyvät irti ja lähtevät kulkusalle. Itse he silloinkin kyllä tavallisesti ehtisivät pelastua, mutta he eivät raaski jättää verkkojaan, jotka ovat heidän omaisuutensa ja elinneuvonsa, he jäävät verkkojaan talteen korjaamaan ja joutuvat sillä välin kulkusalle. Ajelehtivan jäätelin varassa on kymmenien, ehkä satojen ihmisten henki. Mutta harvoinhan niiden kumminkin kuullaan hukkuneen, — aina on jokin ranta tullut vastaan. Kiuskeria lähinnä asuvain saaristolaisten kuvausten mukaan nuo koivistolaiset ovat aika hölmöjä, kun noin jättäytyvät merijään varaan ilman veneitä, ilman oman pelastuksen mahdollisuutta; — "niitä täytyy sitten meidän aina käydä sieltä mereltä keräilemässä", sanovat he. Arvattavasti koivistolaisten mielestä noiden lähisaaristolaisten pyynti taas on ihan herraspeliä, ilman vaivaa ja vaaraa: heillä hirsimajat asuntona, veneet varana, kotona saunat lämpiävät, — sitä vailla, ettei ole rautatietä ja makuuvaunua! Toista se on vielä Kiuskerissa, toista Kiuskerin takana, sanovat koivistolaiset, — siellä se pyynti vasta luontoa kysyy. Mutta saarelaiset pitävät varovaisuutensa järkimiehen viisautena, — hölmöä on heittäytyä sattuman varaan. — Te siis ette koskaan joudu kulkeville jäälautoille, kysäisin kerran Pitkänpaaden Jermolta, kun hän kuvaili tuota itärannan kalastajain varomattomuutta.
  • 57.
    — Eipä sitämeille usein satu, joskus mahdollisesti tapaturmassa. Olinhan sitä sentään tässä tuonaan minäkin yhden yön sellaisella reissulla, — mutta yhden yön vain. — Ähäs, kuinka se niin sattui? — Jää repeysi rutosti, me satuimme muutaman naapurin kanssa etäälle Kiuskerista, kun nousi äkkiä myrsky. Ei ehditty kiintojäälle eivätkä toisetkaan päässeet meille avuksi. Oli sellainen sakea lumipyry, ettei nähnytkään mitään. Koetettiinhan siitä maihin päästä, hypittiin lautalta toiselle, juostiin hiki hatussa, mutta yö tapasi. Haimme silloin sellaisen jääröykkiön, johon ahtojäätä oli pakkaantunut — se ei juuri enää vähällä kummalla repeä, — kaivoimme siihen tuurillamme sen verran koloa, että pää ja hartiat mahtuivat tuulelta suojaan, se kun oli julma se myrsky. Siinä makasimme, mutta eipä nukuttanut. Jäät hankasivat vastakkain, ulisivat ja paukkuivat, halkeilivat ja tuuppailivat toisiaan; väliin soluttiin aika vauhtia selvää vettä jonkin railon yli, väliin taas jysähdettiin toista lauttaa vastaan. Myrsky vinkui ja repi turkin liepeitä — en sitä yötä unohda. Säälikseni ovat lautoille jääneet ulkopitäjäläiset usein käyneet, kun olen sitä omaa yötäni muistanut. — Mutta seuraavana päivänä jo pääsitte pois? — Niin, myrsky tyyntyi, jäät asettuivat, railoja meni jäähän ja me taivalsimme, lautalta lautalle hyppien, Kiuskeriin päin. Puljahdeltiinhan siinä väliin hartioita myöten mereenkin, mutta eihän siinä hätää ollut; Kiuskerin majakka näkyi, ja sitä lähemmäs myötään tultiin. Kamala yö se oli, kylmä oli ja nälkä oli ja surma oli perimässä, ja tulinpa ajatelleeksi, ettei olisi nyt markka paljon kuumasta kahvikupista. Mutta pientä tuskaahan se sittenkin oli kaiken sen
  • 58.
    suuren tuskan rinnalla,jonka Kiuskerin jäät joka talvi niin monelle tuottavat. — Keväällä, kun jäät Kiuskerin ympäriltä ovat irti ja ajautuvat kauas, mutta rannikot vielä ovat umpijäässä eikä merenkulku pääse alkamaan, silloin meri on todellakin muutaman kuukauden ajan Kiuskerin ympärillä kuollut. Mutta kauan sitä kuolemaa ei kestä. Luotsit saapuvat samassa majakkaan, tulet sytytetään loistoissa, ja ensimmäisen höyrylaivan savupatsas alkaa pian haamottaa taivaanrannalta. Kesäkausi, laivaliike on alkanut. Mutta talvikausi se sittenkin vasta on oikeata liikkeen aikaa Kiuskerin ympärillä.
  • 59.
    V. JÄYKISTYNEET SORMET. Helmilahden vanhaAntti on hänkin niiltä saaristolaisten merielämän maineajoilta, jolloin rahdinkuljetuksen Suomenlahdella toimittivat yksinomaan saaristojahdit ja kaljaasit — silloin ei vielä ollut höyrylaivoja joka lahtea porkkaamassa — ja jolloin nämä vankat ja nopeat alukset kilpailivat myrskyjen kanssa voimassa ja tullimiesten kanssa viekkaudessa. Mutta nuo vanhat merikarhut eivät juuri kernaasti kerro muistojaan ja seikkailuitaan; eipä silti, että he nyt enää mitään pelkäisivät, mutta he pitävät ne mieluummin ominaan. — Eihän sitä mitään niin merkillistä tapahtunut, vastasi Anttikin, jos milloin koetin johtaa puheen noihin aikoihin, se nyt oli aikaansa sekin, niinkuin muukin. Kun häneltä joskus esim. kovalla tuulella purjehdittaessa tiedusteltiin, muistiko hän jotakin erityistä myrskyä entisiltä merimiesajoiltaan, hän vastasi naurahtaen, että "eihän tämä vielä sitä oikeata tuulta ole", mutta tarkemmin ei kertonut. Ja jos siitä vanhasta viinankuljetuksesta tuli puhe, niin hän vaikeni kokonaan, ikään kuin asia ei olisi häneen kuulunutkaan. Mutta kerran hän sentään hiukan raotti sanalipastaan — ja se oli hänen kahden koukkuun jäykistyneen sormensa ansio. Olin usein
  • 60.
    huomannut, että Anttipurjenuoria hoitaessaan vähän kömpelösti niitä oikealla kädellään hypisteli, niin nokkelasti kuin hän muuten vielä purjeita käyttelikin, ja kerran sen vuoksi kysäisin, että kuinka hänellä nuo pari sormea ovat noin jäykät. Hän ojensi silloin hymyillen kätensä, oikaisi suoriksi kolme sormeaan ja osoitti, että ne kaksi keskimmäistä, pitkä sormi ja nimetön, olivat koukussa eivätkä oienneet. Ja hän virkkoi: — Tämä on sitä viinan työtä. Utelias olin kuulemaan pienimmänkin kaskun ja mietin keinoa, miten saisin ukon kertomaan sormiensa tarinan. Mutta ilokseni hän nyt rupesi aivan pyytämättä selittelemään: — Eivät nämä sormet ole tappelussa särkyneet, ei sillä tavalla viinan työtä, vedessä ne ovat kangistuneet. Mutta pirtulasti siihen oli syynä — olinhan sitä näet minäkin joskus kuljettamassa. Ja näin kerta alkuun päästyään Antti jatkoi: — Monet mutkat ja juonet siinä täytyi keksiä, kun mieli lastin maahan saada, sillä tullimiehet olivat tottuneet ja valppaat, — tuolla Pitkässäpaadessahan niillä oli silloinkin asemansa ja sieltä ne purjehtivat alituiseen joka taholle saaristossa. Ja oli niillä maissakin urkkijoitaan, jotka heille ilmoittivat, mikä laiva milloinkin oli lähtenyt meren takaa pirtua hakemaan — sitä silloin aina tiesivät odotella ja vahtia. Sen vuoksi täytyi saaristolaisten usein jo kaukana merellä tyhjentää lastinsa toisiin aluksiin, jotka sinne yöpimeällä purjehtivat vastaan — siitä oli aina etukäteen salaa sovittu. Kun sitten tulliveneet ajoivat takaa mereltä tullutta laivaa, jonka tiesivät
  • 61.
    tuoneen viinaa, muttajonka harmikseen tapasivat tyhjänä, veivät aivan toiset alukset sill'aikaa lastin toisia väyliä myöten maihin. Antti hymähti vähän katkerasti. — Mutta ainapa ei sekään juoni auttanut. Eräänä yönä meitä purjehti pari miestä sillä asialla tyhjällä hailiveneellä Saksasta tulevaa kaljaasia vastaan, joka toi kielletyn lastin — sieltähän niitä pirtulasteja viime aikoina enimmäkseen tuotiin. Tullimiehille oli ihan meidän toimestamme salaa ilmoitettu, että se se nyt viinaa tuo. Oli ankara pohjoistuuli, meidän täytyi purjehtia lähelle Narvin saarta, jossa nyt on majakka, ennenkuin kaljaasin tapasimme. Enimmät lastit oli siitä jo muuan jahti käynyt hakemassa, mutta kun se ei jaksanut kaikkea ottaa, piti meidän viedä maihin viimeiset avonaisella hailiveneellä. Tyhjä kaljaasi lähti purjehtimaan maihin Pitkänpaaden itäpuolitse, vetääkseen tullimiesten huomion sinne, ja helppohan sillä oli matka. Mutta meillä oli hyvin työläs retki. — Sitä silloista tuulta saattoi todella sanoa myrskyksi — enpä sen kovemmassa muistakaan olleeni. Luovittiin vastaiseen siinä vihaisessa säässä, ja kun vihdoin rannikkoa lähestyttiin, painoi tuuli meidät suoraan Kultamatalaa kohti, — sitä kutsutaan Kultamatalaksi, kun siinä on keltainen hiekkapohja. Ei se tavallisesti mikään matala ole kalaveneelle, siinä on vettä parikin syltä, mutta sellaisessa myrskyssä se on surman paikka joka alukselle. Siinä käy mahtava kare, jokaisen aallon pohjassa siinä silloin näkyy selvä, keltainen hiekka, ja siihen särkee meri aluksen sekä suuremman että pienemmän. Kamalata oli sitä karetta nähdä, ja joka hetki luulimme veneen jysähtävän säpäleiksi pohjaan, sillä siinä aallokossa oli mahdoton kääntää varsinkaan raskaassa lastissa olevaa venettä. Mutta yli tulimme Kultamatalasta — emme sattuneet toki
  • 62.
    matalimmalle kohdalle —ja niin oltiin vihdoinkin pääsemässä ensimmäisten saarten suojaan. Olipa ollut kuin tulppa koko päivän sydämessä, ja siksi hengitimme jo vapaammin; tullimiehiä emme osanneet ollenkaan peljätä, varsinkaan siinä säässä, ja rohkeasti viiletimme lähintä salmea kohden. Silloin yht'äkkiä näemme edessämme tulliveneen keulan — Mervenius on siinä saaren takana väijymässä. Katseeni lienee ollut kysyvän näköinen, sillä vaikka en mitään virkkanut, ukko vastasi: — Kukako Mervenius oli — sehän se juuri oli se Pitkänpaaden tullipäällikkö, ovela, viekas mies. Se oli kuin kärppä kivirauniossa, yht'aikaa monessa paikassa, eikä se hänkään säitä säikkynyt. Hänen piti silloinkin olla kaukana idässä kaljaasia vahtimassa, mutta olikin siinä meitä vastassa, — lienee arvannut juonemme, koska oli lähettänyt pienemmän veneen kaljaasia ajamaan ja itse tullut meitä kohti. No niin, meille hätä käteen. Käänsimme ruorin ympäri, rupesimme pyörähtämään myötäiseen, pakosalle… Silloin pamahti laukaus, veneemme oli ammuttu puhki, se vajosi… Antti vaikeni tuokioksi. Sitä ei minun uteliaisuuteni olisi sallinut varsinkaan tällä kohdalla, ja ehätin kysymään: — Entä te — jouduitte uimasille? — Meillä oli veneessä korkkiset törnipussit — ne piti olla, kun merellä lasti otettiin — ja sellaisen ennätimme kumpainenkin tempaista kouraamme, muutenhan siihen olisikin paikalla hukuttu. — Ettekö osanneet uida?
  • 63.
    — Emme mesaaristolaiset ui koskaan, veteen ei mennä muuta kuin milloin on pakko. Eihän siitä tosin sillä kertaa olisi ollut pitkältä maihin uida, mutta eipä ollut meidän siinä maihin pyrkimistäkään. Sillä siellä olivat tullimiehet vastassa, sieltä olisi suoraan ollut matka vankilaan, eikä sinne mieli tehnyt. Mutta eipä ollut siinä muuten mies enää paljon matkansa määrääjänä, aalto vei meitä mukanaan, kuljetti mihin tahtoi. Tullimiehetkin lienevät luulleet meidän siihen kerrassaan veneinemme uponneen, koska eivät edes paikalle soutaneet. — Ja teitä meri vei suoraan selälle? — Niin vei. Sen verran tuuli kumminkin kävi viistoon, että aalto ajeli meitä Martinsaaren rantaa kohden. Mutta onhan sitä selkää siinäkin, tunnin sitä kalavene purjehtii tavallisella tuulella, ja meidän oli sitä sulin käsinä myrskyssä soudettava. Mutta mikäpä siinä auttoi, koetettiin pysyä hengissä niin kauan kuin voitiin. Oli syyspuoli kesää, vesi toki ei ollut kovin kylmää, mutta kangisti sittenkin ajan mittaan kontettuneiksi kaikki raajat, eikä ollut tajustakaan lopuksi enää paljon tolkkua — en tiedä vieläkään, kauanko siinä likosin. Antti keskeytti hetkeksi kertomuksensa, oikaisi sitten taas ne kolme sormeaan suoriksi ja näytti kahta, jotka olivat jäykkinä koukussa. — Noiden sormien ja kämmenen väliin olin saanut temmatuksi korkkipussin rihman ja niillä sitä koko ajan siihen puristin, — ei ollut siinä aallokossa aikaa eikä tajuakaan korjata rihmaa paremmin käteensä. Toisella kädellä koetin aina kahmaista itseni aallon harjalle, että en alle vaipuisi. Toveristani en tiennyt mitään, vähän matkaa uppoamispaikalta olin jo hänestä eronnut; yksin vain siinä taistelin ja syljeskelin merivettä, jota aalto aina turkkasi kurkkuuni. Enkä tiedä