게임 프로그래머를 위한 기초 수학과 물리 제 3장 삼각함수의 기초 @whoo24

1. 제 3장 삼각함수의 기초
아꿈사
최우영

2. 도 VS 라디안
• 모든 각은 꼭지점에서 교차하는 두 개의 반직선으로 이루어져 있다.
• 한 쪽 반직선을 시작변, 다른 한쪽 반직선을 끝변이라고 부른다.

3. 도 VS 라디안
• 모든 각은 꼭지점에서 교차하는 두 개의 반직선으로 이루어져 있다.
• 한 쪽 반직선을 시작변, 다른 한쪽 반직선을 끝변이라고 부른다.
꼭지점은 원점(0,0)에 위치

4. 도 VS 라디안
• 모든 각은 꼭지점에서 교차하는 두 개의 반직선으로 이루어져 있다.
• 한 쪽 반직선을 시작변, 다른 한쪽 반직선을 끝변이라고 부른다.
항상 x축 양의 방향과 일치하도록
원점에 위치

5. 도 VS 라디안
• 모든 각은 꼭지점에서 교차하는 두 개의 반직선으로 이루어져 있다.
• 한 쪽 반직선을 시작변, 다른 한쪽 반직선을 끝변이라고 부른다.

6. 도 VS 라디안
• 모든 각은 꼭지점에서 교차하는 두 개의 반직선으로 이루어져 있다.
• 한 쪽 반직선을 시작변, 다른 한쪽 반직선을 끝변이라고 부른다.
90도 일 때, 끝 변은 양의
y축 방향과 일치

7. 도 VS 라디안
• 모든 각은 꼭지점에서 교차하는 두 개의 반직선으로 이루어져 있다.
• 한 쪽 반직선을 시작변, 다른 한쪽 반직선을 끝변이라고 부른다.
α(알파), β(베타), θ(세타)
등으로 널리 쓰이는 각을
표시

8. 도 VS 라디안
• 모든 각은 꼭지점에서 교차하는 두 개의 반직선으로 이루어져 있다.
• 한 쪽 반직선을 시작변, 다른 한쪽 반직선을 끝변이라고 부른다.
양의 x축 방향으로부
터 반시계방향으로
각을 재면 양의 각

9. 도 VS 라디안
• 모든 각은 꼭지점에서 교차하는 두 개의 반직선으로 이루어져 있다.
• 한 쪽 반직선을 시작변, 다른 한쪽 반직선을 끝변이라고 부른다.
제자리로 돌아오면
360도

10. 도 VS 라디안
• 모든 각은 꼭지점에서 교차하는 두 개의 반직선으로 이루어져 있다.
• 한 쪽 반직선을 시작변, 다른 한쪽 반직선을 끝변이라고 부른다.
양의 x축 방향으로부터 시
계 방향으로 재면 음의 각

11. 표준 위치에 있는 양의 각
• 예제 3.1
• 표준 위치에 60도의 각을 그려라

12. 표준 위치에 있는 양의 각
• 예제 3.1
• 표준 위치에 60도의 각을 그려라

13. 표준 위치에 있는 음의 각
• 예제 3.2
• 표준 위치에 -100도의 각을 그려라.

14. 표준 위치에 있는 음의 각
• 예제 3.2
• 표준 위치에 -100도의 각을 그려라.

15. 도를 라디안 단위로

16. 도를 라디안 단위로

17. 라디안을 도 단위로
• 라디안 단위의 각 = 도 단위의 각
• 예제 3.4
• 를 도 단위로 변환

18. 라디안을 도 단위로
• 라디안 단위의 각 = 도 단위의 각
• 예제 3.4
• 를 도 단위로 변환

19. http://en.wikipedia.org/wiki/File:Degree-Radian_Conversion.svg

20. 다음 각을 도에서 라디안으로 변환하라
• 스스로 평가
•
•
•

21. 다음 각을 도에서 라디안으로 변환하라
• 스스로 평가
•
•
•

22. 다음 각을 라디안에서 도로 변환하라
• 스스로 평가
•
•
•

23. 다음 각을 라디안에서 도로 변환하라
• 스스로 평가
•
•
•

24. 삼각함수
• 삼각함수 : 직각 삼각형이 관련된 상황에서 종종 필요로 함
• 벡터(4장), 물리학 챕터에서 등장
• 사인, 코사인 : 진동에 사용

25. 직각 삼각형
• 모든 삼각함수는 직각 삼각형에 대하여 정의됨
• 직각삼각형의 세 변 중 두 변 사이의 관계

26. 직각 삼각형
• 각 α: 사인, 코사인, 탄젠트의 기준

27. 사인sine
• 수직변 / 빗변
•

28. 코사인cosine
• 밑변 / 빗변
•

29. 탄젠트tangent
• 수직변 / 밑변
•
• 탄젠트는 ‘접선’이라는 뜻으로 쓰이기도 한다.

30. 사인, 코사인, 탄젠트 정의하기
• 예제 3.5
• 표준 위치에 있는 각 α 에서 점(12, 5)가 이 각의 끝변 위의 한 점일 때,
sin α, cos α, tan α 의 값을 각각 구하라
5
α
12

31. 사인, 코사인, 탄젠트 정의하기
5
α
12

32. 다른 종류의 삼각함수
• 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트는 사인, 코사인, 탄젠트의 역수
•
•
•

33. 자주 쓰이는 삼각함수
α(도) α(라디안) sin α cos α tan α
0 0 0 1 0
30 π/6 0.5=1/2 0.8660=√3/2 0.5774=√3/3
45 π/4 0.7071=√2/2 0.7071=√2/2 1
60 π/3 0.8660=√3/2 0.5=1/2 1.7321=√3
90 π/2 1 0 -
120 2π/3 0.8660=√3/2 -1/2 -1.7321=-√3
180 π 0 -1 0
270 3π/2 -1 0 -
360 2π 0 1 0

34. 코사인 사용하기
• 예제 3.6
• 캐릭터가 공중의 표적을 향해 활을 겨누고 있다. 화살의 길이는 50픽
셀, 표적은 60도 위로 향하고 있다. 태양이 바로 머리 위에서 비추고
있다면 땅에 비친 이 화살의 그림자 길이는 얼마인가?

35. 코사인 사용하기
• 예제 3.6
• 캐릭터가 공중의 표적을 향해 활을 겨누고 있다. 화살은 50픽셀, 표적
은 60도 위로 향하고 있다. 태양이 바로 머리 위에서 비추고 있다면
이 화살의 땅에 비친 그림자 길이는 얼마인가?
50
α
a

36. 역함수
• 각을 알 때는 삼각함수를 계산기에서 바로 사용한다.
• 코사인은 각에 대한 밑변과 빗변의 비율
• 비율을 알고 있고, 각을 알고 싶을 때는 삼각함수의 역함수 사용
•

37. 탄젠트의 역함수 사용하기
• 예제 3.7
• 캐릭터가 공중의 표적을 향해 활을 겨누고 있다. 캐릭터와 목표 사이
의 거리는 100 이고 목표는 지상에서 400 위에 있다. 화살이 일직선
으로 날아간다면 활을 지상에서 몇 도가 되도록 겨누어야 하나?

38. 탄젠트의 역함수 사용하기
• 예제 3.7
• 캐릭터가 공중의 표적을 향해 활을 겨누고 있다. 캐릭터와 목표 사이
의 거리는 100 이고 목표는 지상에서 400 위에 있다. 화살이 일직선
으로 날아간다면 활을 지상에서 몇 도가 되도록 겨누어야 하나?
400
α
100

39. 사인과 코사인 그래프

40. 사인파의 주기
• y=sin(Bx)의 주기=

41. 사인파의 진폭
• y = A sin(x)의 진폭은 |A|

42. 코사인 그래프
• 사인파에 비해 좌측으로 90도 만큼 이동한 그래프

43. 삼각함수 항등식
• 삼각함수를 포함하는 방정식을 대수적으로 변형
• 단위원 항등식
• 삼각함수의 정의
• 합차공식

44. 단위원 항등식
• 단위원 : (0,0)의 원점, 반지름 = 1 인 원
• 단위원의 방정식 :
• x = a, y = b, r = c 인 직각 삼각형
y
r
x

45. 단위원 항등식
•
•
http://abeek.honam.ac.kr/math/category/sankakukansuu/tani-enn.html

46. 탄젠트와 코탄젠트
• 삼각함수의 정의에서 새로운 두 항등식을 이끌어 낼 수 있다.

47. 각이 음수일 때
• sin(-α) = -sin(α)
• cos(-α) = cos(α)
• tan(-α) = -tan(α)

48. 각이 음수일 때의 항등식 확인
• 예제 3.12
• α = 30도 일때 sin(- α) = -sin(α) 가 성립합을 확인

49. 각이 음수일 때의 항등식 확인

50. 사인의 합-차 공식
•
•

51. 사인의 합-차 공식의 증명

52. 사인의 합-차 공식의 증명
B
A

53. 사인의 합-차 공식의 증명

54. 사인의 합-차 공식의 증명

55. 사인의 합-차 공식의 증명

56. 사인의 합-차 공식
h

57. 사인의 합-차 공식

58. 사인의 합-차 공식의 증명
D

59. 사인의 합-차 공식의 증명
F
E

60. 사인의 합-차 공식의 증명

61. 사인의 합-차 공식의 증명

62. 사인의 합-차 공식의 증명

63. 사인의 합-차 공식의 증명

64. 사인의 합-차 공식의 증명

65. 코사인의 합-차 공식
•
•

66. 코사인의 합-차 공식
•
•
• 사인의 합-차 공식의 증명처럼 코사인의 합-차 공식도 증명해봅시다.
• 각자가!

67. QnA
감사합니다.