2016 UCPC 풀이

2016 UCPC 풀이 ㅇ
제6회 전국 대학생 프로그래밍 대회 동아리 연합 여름 대회 풀이
2016. 08. 20

A. 배열
정답 팀 : 3
가장 처음 푼 팀 : HanzoGak (김진표, 박상수, 박성민)
출제자 : myungwoo (전명우)
해설작성자 : myungwoo (전명우)
해설자 : myungwoo (전명우)

배열
• Are you good at using Splay Tree?
• Splay Tree
• 이진 탐색 트리
• 하지만 특별한 연산 한 개가 있다…
• splay(i)
• 노드 i를 이진 탐색 트리의 루트로 만든다.
• 응용: splay(j, i)
• 노드 j를 노드 i의 바로 아래에 붙인다.

1) Zig step

2) Zig-zig Step

3) Zig-zag Step

배열
• 이제 splay를 적절히 이용해서 flip, shift를 구현하면 된다!
• Subarray의 shift는 flip 3번으로 구현이 가능하다.

배열
• Flip은 어떻게 구현할까?
• Flip(l, r)이 이루어진다고 하자
• splay(l-1), splay(r+1, l-1)
• [l, r]에 해당하는 부분 이진탐색
트리를 만들고,
lazy propagation으로 구현
r+1
l-1
[l, r]

배열
• 3번은 이진탐색트리에서 i번째 수를 구하는 연산
• 4번은 각 수에 해당하는 노드 포인터를 미리 배열로 가지고,
해당 노드를 splay , 그러면 왼쪽 서브트리 크기+1이 답.

배열
• Splay 트리의 시간복잡도는?
• 앞서 설명한 방식으로 splay를 구현하면 모든 연산이
amortized O(lg n)라는 것이 증명됨
• 다만 splay를 자주해줘야함
• 예를 들어, 이진탐색트리에서 search한 이후 search로 나온 노드를 splay
• 예를 뜰어, 이진탐색트리에서 insert한 이후 insert한 노드를 splay
• 최소, 최대, 합의 구현은?
• 각 노드별로 노드를 루트로 했을 때 서브트리의 최소, 최대, 합을 저장
• Zig, zig-zig, zig-zag 과정에서 관련 자료를 실수없이 계산

B. 최대 클리크 구하기
정답 팀 : 45
가장 처음 푼 팀 : Anti-ACG (박범수, 박서홍, 박성관)
해설작성자 : kriii (김경근)
해설자 : kriii (김경근)

구간 그래프
두 정점 𝑖, 𝑗사이에 간선이 있으려면, [𝑆𝑖, 𝐸𝑖]와 [𝑆𝑗, 𝐸𝑗]사이에 공통된 부분
이 있어야 합니다.
즉, 𝑆𝑖 ≤ 𝑥 ≤ 𝐸𝑖와 𝑆𝑗 ≤ 𝑥 ≤ 𝐸𝑗를 동시에 만족하는 𝑥가 있으면 됩니다.
조금 간단하게 적으면 max 𝑆𝑖, 𝑆𝑗 ≤ 𝑥 ≤ min(𝐸𝑖, 𝐸𝑗)를 만족하는 𝑥가 존
재하면 됩니다.

구간 그래프의 클리크
𝑛개의 정점 𝑖1, … , 𝑖 𝑛사이의 모든 두 정점간에 간선이 있으려면, 아까 전의
식을 모두 연립해 볼 때,
max 𝑆𝑖1
, … , 𝑆𝑖 𝑛
≤ 𝑥 ≤ min 𝐸𝑖1
, … , 𝐸𝑖 𝑛
를 만족하는 𝑥가 존재하면 됩니다.

구간 그래프의 클리크
이제 역으로 어떤 𝑥를 정했을 때, 𝑆𝑖 ≤ 𝑥 ≤ 𝐸𝑖를 만족하는 모든 𝑖를 찾으면
그것이 클리크를 이룬다는 것을 알 수 있습니다.
주어진 구간의 좌표를 압축하고 𝑥가 증가하는 순서로 스위핑을 하여 최대
한 많은 구간을 통과하는 𝑥를 찾아 𝑂(𝑁𝑙𝑔𝑁)에 문제를 해결할 수 있습니
다.

C. 분단의 슬픔
정답 팀 : 2
가장 처음 푼 팀 : ACG (최석환, 윤지학, 조승현)
해설작성자 : myungwoo (전명우)
해설자 : myungwoo (전명우)

분단의 슬픔
A진영에 무조건
들어가야하는
사람들
B진영에 무조건
들어가야하는
사람들
진영에 상관없는 사람들

분단의 슬픔
• 위와 같이 그래프를 만들고 max-flow를 구하면 된다
• Max-flow = min-cut
• 위 그래프에서 cut하나는 필연적으로 하나의 분단 구성을 의미하고, 그
때 cut 비용이 슬픔 정도의 합이기 때문!

분단의 슬픔
• 여기서, 2가지를 더 신경써줘야한다
1. Running time: Ford-Fulkerson TLE, Dinic 0.48초, Optimal 0.02초
2. (일부러 함정을 판 건 아닌데…) newline...
• 출력 형식에 3개의 줄을 출력하고, 진영에 속한 사람이 없으면 빈 줄을 출력하라고 명시
• ”1n2n”은 두 개의 줄로 판단… (POSIX 정의에서 한 줄의 끝은 newline…)
• 이걸로 고생한 팀이 있어서 죄송할 따름입니다…

D. Flowey’s Love
정답 팀 : 2
출제자 : functionx (배근우)
해설작성자 : functionx (배근우)
해설자 : functionx (배근우)

최적해로 가능한 그림
• 당신과 친절 알갱이의 속력이 1이므로 항상 개선된 경로를 만들 수 있다.

TSP 문제로 변형 가능
• 방문하는 점의 순서를 지정
• 각 점을 최대한 빨리 방문한다.
• 답을 Brute-Force로 구하면 O(𝑛!) 이므로 시간초과가 난다.

비트 DP 식 정의
• DP[1100100][4] : 0, 1, 4번 점을 방문하며, 마지막으로 4번 점을 방
문할 때 걸리는 최소 시간 (불가능하면 -1으로 처리)
• DP[bit][a]에서 DP[bit+2b][b]로 뿌려주는 방식으로 답을 계산
• DP[bit][a]초 후 상태에서 a번 점에서 b번 점으로 가는 시간 계산
• 시간복잡도는 O(𝑛2
∙ 2 𝑛
) 이다.

점들 간의 도달시간 계산
• 점 A와 반직선 BB’가 있으면 반직선 위에 AC=BC
인 점 C를 잡아야 함
• BC의 길이를 x로 놓고 벡터 방정식을 세워서 풀면
x를 구할 수 있음
• 만약 답이 되는 지점이 직사각형 영역 밖에 있으면
점이 직사각형 안으로 들어올 때까지 기다려야 함

E. 닉네임에 갓 붙이기
정답 팀 : 69
가장 처음 푼 팀 : Never give up (이승재, 이창수, 장홍준)

E. 닉네임에 갓 붙이기
• gets, fgets, getline 등을 이용하여 줄 단위로 입력합니다.
• strlen 함수를 이용하여 문자열의 길이를 구한 후, for문과 if문을 이용해
서 첫 공백을 찾습니다.
• 우선 god을 출력해준 다음, 첫 공백 이후의 문자들을 출력해줍니다. 다
만, 공백은 출력하지 말아야 합니다.

F. 행복 유치원
정답 팀 : 62

F. 행복 유치원
처음 모든 학생이 한 조에 들어가면 키 차이는 𝑥 𝑁 − 𝑥1입니다.
[𝑥1, … , 𝑥𝑖, 𝑥𝑖+1, … , 𝑥 𝑁]

F. 행복 유치원
𝑥𝑖, 𝑥𝑖+1를 기준으로 조를 나누면 키 차이가 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖줄어듭니다.
𝑥1, … , 𝑥𝑖 [𝑥𝑖+1, … , 𝑥 𝑁]

F. 행복 유치원
즉, 조를 하나 늘리려면 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖중 하나를 선택해 줄이면 됩니다.
그러므로 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖를 내림차순으로 정렬하여 앞의 𝐾 − 1개를 선택 하여
𝑥 𝑁 − 𝑥1에서 빼면 됩니다.

G. 이것도 해결해 보시지
정답 팀 : 3
가장 처음 푼 팀 : hYEAHyea (고지훈, 강한필, 이종원)
출제자 : xhark (김재홍)
해설작성자 : xhark (김재홍)

Check about
𝐴𝐵 = 𝐶
모두 𝑁 × 𝑁행렬이기 때문에, 𝑂(𝑁3)의 시간이 걸려야 체크할 수 있습니다. 빠
른 행렬 곱셈 방법이 있기는 하지만, 이런 식으로는 아무리 빨라도 𝑂(𝑁2)은 불
가능합니다.

Freivalds’ algorithm
𝐴𝐵𝑣 = 𝐶𝑣
𝑣가 𝑁 × 1행렬이라고 할 때 𝐴(𝐵𝑣)순서로 계산하면 𝑂(𝑁2)의 시간에 위의
식이 참인지 체크 가능하며, 𝑣가 0과 1로 이루어진 행렬이라고 하더라도
½이상의 성공 확률을 보장합니다.

출제자의 변
𝑣의 원소로 가능한 범위가 더 커지면 확률이 어떻게 변할까?
𝐴𝐵𝑥 = 𝐶𝑥의 근은 어떤 형태일까?
별해는 FFT

H. 범죄 파티
정답 팀 : 23
출제자 : Acka (김현정)
해설작성자 : Acka (김현정)
해설자 : Acka (김현정)

2-SAT 접근
• i의 입장에서: (iA || iB)
• i, j에게 변호를 요청받은 A에 대해서: (!iA || !jA)
• !iA => iB, !iB => iA, iA => !jA, jA => iA
• 모든 (x1 || y1) 절을 만족하는 문제.

2-SAT 접근
• 파티 비용을 정하고 => Parametric Search
• 모든 조건들을 만족할 수 있는지를 조사한다.
• 각 친구들에게 용의자 친구는 두명까지만 존재하므로
한 번의 2-sat에 소요되는 시간은 O(E) => O(N)
• 시간복잡도 O(NlogN)

이분매칭 접근
• 용의자 i에 대해서: i -> Ai, i - >Bi
• 전체 N명의 용의자에 대해 최대 매칭이 N이면 가능하다.
• 역시 파티 비용을 먼저 잡고 => Parametric Search
• Hopcroft-Karp: worst Nsqrt(N) 짱짱 이분매칭 알고리즘
• 사실 이런 거 필요없고,
용의자와 친구 간의 관계가 최대 2:2를 보장하므로 그리디도 가능합니다^^..

I. 포스터
정답 팀 : 2

2D에서의 접근
• Plane-Sweeping을 이용하여 각 y-축에 대해 포스터가 보이는 길이를
구한 후, y-좌표의 차이를 곱하여 더함.
• 따라서 우리는 1D에서의 포스터 문제를 풀면 됨.

1D에서의 접근
• 좌표 정렬은 이미 한 상태라고 생각.
• Segment Tree 등을 이용하여 1번 포스터부터 덮으면 O 𝑁2 𝑙𝑜𝑔𝑁 으
로 TLE가 날 수도 있음.
• Union-Find를 이용하여 N번 포스터부터 덮는 방법을 사용한다. 이 경
우 시간복잡도는 O 𝑁2 𝛼(𝑁) 이다.

Union-Find 알고리즘
• 맨 처음에 next[i]를 i+1로 초기화
index 1 2 3 4 5 6 7 8 9
next 2 3 4 5 6 7 8 9 10
post - - - - - - - - -
• S~E 범위를 포스터로 채우면 됨
index 1 2 3 4 5 6 7 8 9
next 2 3 5 5 6 7 8 9 10
post - - N N - - - - -

Union-Find 알고리즘
• S, next[S], next[next[S]], …를 채우므로 이미 채워진 곳은 안 채워짐
index 1 2 3 4 5 6 7 8 9
next 2 6 6 6 6 7 8 9 10
post - N-1 N N N-1 - - - -
• next 배열의 값을 일일이 바꾸면 O 𝑛2
이다. 하지만 Union-Find 알
고리즘을 이용하여 이를 O 𝑛 으로 줄일 수 있다.
• Cover(3, 4, N)에서는 union(3, 4)를 한다. 이때 next의 값은 3이 있는
컴포넌트의 루트 노드에서만 바꾸면 된다.
• 비슷하게, Cover(2, 5, N-1)은 union(2, 3), union(3, 5)를 한다.

J. 내일로 여행
정답 팀 : 50
가장 처음 푼 팀 : bubble_bath_with_ntopia (김인섭, 박성원, 한수
환)

J. 내일로 여행
• 내일로 티켓을 샀을 때의 그래프와 사지 않았을 때의 그래프 두 개에 대해
서 처리한다.
• M-1개의 경로에 대해서 최단경로를 구한다.
• 플로이드-워셜 알고리즘을 이용하면 O(𝑛3 + 𝑚 + 𝑘) 에 풀 수 있다.
• 다익스트라 알고리즘을 이용하면 O(𝑘𝑚 𝑙𝑜𝑔𝑛) 에 풀 수 있다.

K. Xor of sums
정답 팀 : 5
가장 처음 푼 팀 : hYEAHyea (고지훈, 강한필, 이종원)
출제자 : kriii (김경근)

Meet in the middle
𝑛 ≤ 30이라는 조건은 노골적인 힌트가 될 수 있습니다.
𝑛이 O(2 𝑛
)정도에 풀기는 어렵고, O(2 𝑛/2
)정도의 시간에는 해결할 수 있
을 것 같다면 한번쯤 생각해 봐야 합니다.
목표 시간 복잡도는 𝑂 𝑛 ∙ 2 𝑛/2 ∙ 𝑙𝑔 𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖 입니다.

𝑁 = 4
입력으로 네 개의 수 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑가 주어졌다고 하면 다음의 수를 구해야 합니
다. 편의를 위해 0도 같이 적습니다.
0 ⊕ 𝑎 ⊕ 𝑏 ⊕ 𝑎 + 𝑏 ⊕
𝑐 ⊕ 𝑎 + 𝑐 ⊕ 𝑏 + 𝑐 ⊕ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ⊕
𝑑 ⊕ 𝑎 + 𝑑 ⊕ 𝑏 + 𝑑 ⊕ 𝑎 + 𝑏 + 𝑑 ⊕
(𝑐 + 𝑑) ⊕ (𝑎 + 𝑐 + 𝑑) ⊕ (𝑏 + 𝑐 + 𝑑) ⊕ (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑)

𝑁 = 4
수들을 두 그룹 [𝑎, 𝑏]와 [𝑐, 𝑑]로 나눈 뒤 항을 생각해 봅니다.
0 ⊕ 𝑎 ⊕ 𝑏 ⊕ 𝑎 + 𝑏 ⊕
𝑐 ⊕ 𝑎 + 𝑐 ⊕ 𝑏 + 𝑐 ⊕ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ⊕
𝑑 ⊕ 𝑎 + 𝑑 ⊕ 𝑏 + 𝑑 ⊕ 𝑎 + 𝑏 + 𝑑 ⊕
(𝑐 + 𝑑) ⊕ (𝑎 + 𝑐 + 𝑑) ⊕ (𝑏 + 𝑐 + 𝑑) ⊕ (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑)

𝑁 = 4
수들을 두 그룹 [𝑎, 𝑏]와 [𝑐, 𝑑]로 나눈 뒤 항을 생각해 봅니다.
0 + 0 ⊕ 𝑎 + 0 + 0 ⊕ 𝑏 + 0 + 0 ⊕ 𝑎 + 𝑏 + 0 + 0 ⊕
𝑐 + 0 ⊕ 𝑎 + 𝑐 + 0 ⊕ 𝑏 + 𝑐 + 0 ⊕ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 0 ⊕
0 + 𝑑 ⊕ 𝑎 + 0 + 𝑑 ⊕ 𝑏 + 0 + 𝑑 ⊕ 𝑎 + 𝑏 + 0 + 𝑑 ⊕
(𝑐 + 𝑑) ⊕ (𝑎 + 𝑐 + 𝑑) ⊕ (𝑏 + 𝑐 + 𝑑) ⊕ (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑)

𝑁 = 4
즉, 첫 번째 그룹으로 다음 식의 값을 빨리 구할 수 있도록 준비하고,
𝑥 ⊕ 𝑎 + 𝑥 ⊕ 𝑏 + 𝑥 ⊕ 𝑎 + 𝑏 + 𝑥
두 번째 그룹으로 만들 수 있는 모든 합을 위에 있는 식에 넣어 값을 모두 구
하면 됩니다.

값 구하기
어떤 수들을 xor한 결과는 각 비트에 대해 독립적으로 작용하므로 𝑥가 특
정할 수일 때 각 비트의 값을 적어봅니다.
2 𝑘비트는 𝑥에 대해 2 𝑘+1의 주기를 가지고 반복됩니다.
𝒙 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
𝑥의 20
비트 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
𝑥의 21
비트 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
𝑥의 22
비트 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
𝑥의 23 비트 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

값 구하기
(𝑥 + 𝑎)의 비트는 𝑥의 비트가 𝑎칸씩 쉬프트 되어 나옵니다.
𝒙 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
𝑥의 22
비트 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
(𝑥 + 1)의 22
비트 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0
(𝑥 + 2)의 22
비트 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0
(𝑥 + 3)의 22 비트 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0
(𝑥 + 4)의 22
비트 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

값 구하기
𝑥 ⊕ 𝑎 + 𝑥 ⊕ 𝑏 + 𝑥 ⊕ 𝑎 + 𝑏 + 𝑥
같은 식에서, 𝑎, 𝑏, 𝑎 + 𝑏를 2 𝑘+1
로 나눈 나머지를 가지고, 어떤 지점에서
비트가 몇 번 바뀌는지를 이분검색을 이용해 찾을 수 있습니다.

L. 떨어진 수정
정답 팀 : 53
출제자 : xhark (김재홍)
해설작성자 : xhark (김재홍)

답
𝑃
𝑊

설명
최악의 경우는 𝐾번째 보다 강도가 약한 수정은 모두 강도가 0에 가깝고, 강
한 수정은 모두 강도가 𝑃에 가까운 경우 입니다.
이 때, 𝐾번째 수정을 제외하고는 아무리 수정을 내리쳐도 정보를 뽑아낼
수 없습니다.
그러므로, 𝑊, 2𝑊, 3𝑊, … , 𝑃로 내리치는 것이 최선의 방법입니다.

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