SlideShare a Scribd company logo

كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014

•
•
منتدى الرياضيات المتقدمة
منتدى الرياضيات المتقدمة

كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014

1 of 133
Download to read offline
äÉ«°VÉjôdG ÖdÉ£dG ÜÉàc ∫hC’G ≈°SGQódG π°üØdG iƒfÉãdG ∫hC’G ∞°üdG OGóYEGh ¿óªdG §«£îJh iQÉÑμdGh ¥ô£dG AÉ°ûfEG É¡æe IOó©àe ä’Éée ≈a á«∏ªY äÉ≤«Ñ£J äÉ«°VÉjô∏d ∫ƒ£dG ø«H Ö°SÉæJ ≥ah É¡d á©WÉ≤dG äɪ«≤à°ùªdG h äɪ«≤à°ùªdG iRGƒJ ≈∏Y óªà©J ≈àdG É¡£FGôN .º°SôdG ≈a ∫ƒ£dGh ≈≤«≤ëdG ¢ùjƒ°ùdG IÉæb ≈àØ°V ø«H §Hôj iòdG ΩÓ°ùdG iôHƒμd IQƒ°üdGh
‫‪OGóYEG‬‬ ‫‪ˆG ÜÉL OGDƒa ôªY /CG‬‬ ‫‪™Ñ°†dG ≥«aƒJ π«Ñf /O.CG ídÉ°U ìƒàØdG ƒHCG ±ÉØY /O.CG‬‬ ‫‪Qóæμ°SEG ¢SÉ«dEG º«aGÒ°S /CG‬‬ ‫‪π«FÉahQ ≈Ø°Uh ΩÉ°üY /O.Ω.CG‬‬ ‫‪á°ûÑc ¢ùfƒj ∫ɪc /CG‬‬ ‫ﺟﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﻘﻮﻕ ﻣﺤﻔﻮﻇﺔ ﻻ ﻳﺠﻮﺭ ﻧﺸﺮ ﺃ￯ ﺟﺰﺀ ﻣﻦ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺃﻭ ﺗﺼﻮﻳﺮﻩ ﺃﻭ ﺗﺨﺰﻳﻨﻪ ﺃﻭ ﺗﺴﺠﻴﻠﻪ‬ ‫ﺑﺄ￯ ﻭﺳﻴﻠﺔ ﺩﻭﻥ ﻣﻮﺍﻓﻘﺔ ﺧﻄﻴﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﺎﺷﺮ.‬ ‫ﺷﺮﻛﺔ ﺳﻘﺎرة ﻟﻠﻨﺸﺮ‬ ‫‪Ω .Ω .¢T‬‬ ‫ﺍﻟﻄﺒﻌــﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ٣١٠٢/٤١٠٢‬ ‫ﺭﻗﻢ ﺍﻹﻳــﺪﺍﻉ ٧٤٩٧ / ٣١٠٢‬ ‫ﺍﻟﺮﻗﻢ ﺍﻟﺪﻭﻟﻰ 1 - 100 - 607 - 779 - 879‬
‫ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‬ ‫بسم الل ّٰه الرحمن الرحيم‬ ‫ﻳﺴﻌﺪﻧﺎ وﻧﺤﻦ ﻧﻘﺪم ﻫﺬا اﻟﻜﺘﺎب أن ﻧﻮﺿﺢ اﻟﻔﻠﺴﻔﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﻢ ﻓﻰ ﺿﻮﺋﻬﺎ ﺑﻨﺎء اﻟﻤﺎدة اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ وﻧﻮﺟﺰﻫﺎ ﻓﻴﻤﺎﻳﻠﻰ:‬ ‫1‬ ‫اﻟﺘﺄﻛﻴﺪ ﻋﲆ أن اﻟﻐﺎﻳﺔ اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻣﻦ ﻫﺬه اﻟﻜﺘﺐ ﻫﻰ ﻣﺴﺎﻋﺪة املﺘﻌﻠﻢ ﻋﲆ ﺣﻞ املﺸﻜﻼت واﺗﺨﺎذ اﻟﻘﺮارات ﰱ ﺣﻴﺎﺗﻪ‬ ‫اﻟﻴﻮﻣﻴﺔ, واﻟﺘﻰ ﺗﺴﺎﻋﺪه ﻋﲆ املﺸﺎرﻛﻪ ﰱ املﺠﺘﻤﻊ.‬ ‫2‬ ‫اﻟﺘﺄﻛﻴﺪ ﻋﲆ ﻣﺒﺪأ اﺳﺘﻤﺮارﻳﺔ اﻟﺘﻌﻠﻢ ﻣﺪى اﻟﺤﻴﺎة ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﻌﻤﻞ ﻋﲆ أن ﻳﻜﺘﺴﺐ اﻟﻄﻼب ﻣﻨﻬﺠﻴﺔ اﻟﺘﻔﻜري اﻟﻌﻠﻤﻰ، وأن‬ ‫ﻳﻤﺎرﺳﻮا اﻟﺘﻌﻠﻢ املﻤﺘﺰج ﺑﺎملﺘﻌﺔ واﻟﺘﺸﻮﻳﻖ، وذﻟﻚ ﺑﺎﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﲆ ﺗﻨﻤﻴﺔ ﻣﻬﺎرات ﺣﻞ املﺸﻜﻼت وﺗﻨﻤﻴﺔ ﻣﻬﺎرات اﻻﺳﺘﻨﺘﺎج‬ ‫واﻟﺘﻌﻠﻴﻞ، واﺳﺘﺨﺪام أﺳﺎﻟﻴﺐ اﻟﺘﻌﻠﻢ اﻟﺬاﺗﻰ واﻟﺘﻌﻠﻢ اﻟﻨﺸﻂ واﻟﺘﻌﻠﻢ اﻟﺘﻌﺎوﻧﻰ ﺑﺮوح اﻟﻔﺮﻳﻖ، واملﻨﺎﻗﺸﺔ واﻟﺤﻮار، وﺗﻘﺒﻞ‬ ‫آراء اﻵﺧﺮﻳﻦ، واملﻮﺿﻮﻋﻴﺔ ﰱ إﺻﺪار اﻷﺣﻜﺎم، ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﱃ اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ﺑﺒﻌﺾ اﻷﻧﺸﻄﺔ واﻹﻧﺠﺎزات اﻟﻮﻃﻨﻴﺔ.‬ ‫3‬ ‫ﺗﻘﺪﻳﻢ رؤى ﺷﺎﻣﻠﺔ ﻣﺘﻤﺎﺳﻜﺔ ﻟﻠﻌﻼﻗﺔ ﺑني اﻟﻌﻠﻢ واﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎ واملﺠﺘﻤﻊ)‪ (STS‬ﺗﻌﻜﺲ دور اﻟﺘﻘﺪﱡم اﻟﻌﻠﻤﻰ ﰱ ﺗﻨﻤﻴﺔ‬ ‫املﺠﺘﻤﻊ املﺤﲆ، ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﱃ اﻟﱰﻛﻴﺰ ﻋﲆ ﻣﻤﺎرﺳﺔ اﻟﻄﻼب اﻟﺘﴫﱡف اﻟﻮاﻋﻰ اﻟﻔﻌّﺎل ﺣِ ﻴﺎل اﺳﺘﺨﺪام اﻷدوات اﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺔ.‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫6‬ ‫ﺗﻨﻤﻴﺔ اﺗﺠﺎﻫﺎت إﻳﺠﺎﺑﻴﺔ ﺗﺠﺎه اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ودراﺳﺘﻬﺎ وﺗﻘﺪﻳﺮ ﻋﻠﻤﺎﺋﻬﺎ.‬ ‫ﺗﺰوﻳﺪ اﻟﻄﻼب ﺑﺜﻘﺎﻓﺔ ﺷﺎﻣﻠﺔ ﻟﺤﺴﻦ اﺳﺘﺨﺪام املﻮارد اﻟﺒﻴﺌﻴﺔ املﺘﺎﺣﺔ.‬ ‫اﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﲆ أﺳﺎﺳﻴﺎت املﻌﺮﻓﺔ وﺗﻨﻤﻴﺔ ﻃﺮاﺋﻖ اﻟﺘﻔﻜري، وﺗﻨﻤﻴﺔ املﻬﺎرات اﻟﻌﻠﻤﻴﺔ، واﻟﺒﻌﺪ ﻋﻦ اﻟﺘﻔﺎﺻﻴﻞ واﻟﺤﺸﻮ،‬ ‫واﻻﺑﺘﻌﺎد ﻋﻦ اﻟﺘﻌﻠﻴﻢ اﻟﺘﻠﻘﻴﻨﻰ؛ ﻟﻬﺬا ﻓﺎﻻﻫﺘﻤﺎم ﻳﻮﺟﻪ إﱃ إﺑﺮاز املﻔﺎﻫﻴﻢ واملﺒﺎدئ اﻟﻌﺎﻣﺔ وأﺳﺎﻟﻴﺐ اﻟﺒﺤﺚ وﺣﻞ املﺸﻜﻼت‬ ‫وﻃﺮاﺋﻖ اﻟﺘﻔﻜري اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﻤﻴﺰ ﻣﺎدة اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻋﻦ ﻏريﻫﺎ.‬ ‫‪:≈∏j Ée ÜÉàμdG Gòg ≈a ≈YhQ ≥Ñ°S Ée Aƒ°V ≈ah‬‬ ‫ﺗﻘﺴﻴﻢ اﻟﻜﺘﺎب إﱃ وﺣﺪات ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺔ وﻣﱰاﺑﻄﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﻣﻘﺪﻣﺔ ﺗﻮﺿﺢ أﻫﺪاﻓﻬﺎ ودروﺳﻬﺎ وﻣﺨﻄﻂ ﺗﻨﻈﻴﻤﻰ ﻟﻬﺎ‬ ‫واملﺼﻄﻠﺤﺎت اﻟﻮاردة ﺑﻬﺎ ﺑﺎﻟﻠﻐﺔ اﻟﻌﺮﺑﻴﺔ واﻹﻧﺠﻠﻴﺰﻳﺔ، وﻣﻘﺴﻤﺔ إﱃ دروس ﻳﻮﺿﺢ اﻟﻬﺪف ﻣﻦ ﺗﺪرﻳﺴﻬﺎ ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ ﺗﺤﺖ‬ ‫ﻋﻨﻮان ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ، وﻳﺒﺪأ ﻛﻞ درس ﻣﻦ دروس ﻛﻞ وﺣﺪة ﺑﺎﻟﻔﻜﺮة اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ملﺤﺘﻮى اﻟﺪرس وروﻋﻰ ﻋﺮض املﺎدة‬ ‫اﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﺴﻬﻞ إﱃ اﻟﺼﻌﺐ وﻳﺘﻀﻤﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻷﻧﺸﻄﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺘﻨﺎول اﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎملﻮاد اﻷﺧﺮى واﻟﺤﻴﺎة اﻟﻌﻤﻠﻴﺔ واﻟﺘﻰ‬ ‫ﺗﻨﺎﺳﺐ اﻟﻘﺪرات املﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻠﻄﻼب وﺗﺮاﻋﻰ اﻟﻔﺮوق اﻟﻔﺮدﻳﺔ ﺑﻴﻨﻬﻢ وﺗﺆﻛﺪ ﻋﲆ اﻟﻌﻤﻞ اﻟﺘﻌﺎوﻧﻰ، وﺗﺘﻜﺎﻣﻞ ﻣﻊ املﻮﺿﻮع.‬ ‫ﻛﻤﺎ ﻗﺪم ﰱ ﻛﻞ درس أﻣﺜﻠﺔ ﺗﺒﺪأ ﻣﻦ اﻟﺴﻬﻞ إﱃ اﻟﺼﻌﺐ، وﺗﺸﻤﻞ ﻣﺴﺘﻮﻳﺎت ﺗﻔﻜري ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ، ﻣﻊ ﺗﺪرﻳﺒﺎت ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺗﺤﺖ‬ ‫ﻋﻨﻮان ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ وﻳﻨﺘﻬﻰ ﻛﻞ درس ﺑﺒﻨﺪ »ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ«.‬ ‫ﺗﻨﺘﻬﻰ ﻛﻞ وﺣﺪة ﺑﻤﻠﺨﺺ ﻟﻠﻮﺣﺪة ﻳﺘﻨﺎول املﻔﺎﻫﻴﻢ واﻟﺘﻌﻠﻴﻤﺎت اﻟﻮاردة ﺑﺎﻟﻮﺣﺪة.‬ ‫وأخير ًا ..نتمنى أن نكون قد وفقنا فى إنجاز هذا العمل لما فيه خير لأولادنا، ولمصرنا العزيزة.‬ ‫والل ّٰه من وراء القصد، وهو يهدى إلى سواء السبيل‬
‫ﺧﺮﻳﻄﺔ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﻟﻠﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫ﺍﺳﻢ‬ ‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﻭﺱ ﺍﳴﺘﻀﻤﻨﺔ ﺑﺎﻟﻮﺣﺪﺓ‬ ‫ﺍﳴﻔﺎﻫﻴﻢ‬ ‫ﺍﳴﺘﻀﻤﻨﺔ‬ ‫1 - 1 : ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ - ﻋﻼﻗﺔ - ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ‬ ‫1‬ ‫ﺍﻟﺠ‪‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ‬ ‫ﻭﺍﻟﺪﻭﺍﻝ‬ ‫1 - 2 : ﻣﻘﺪﻣﺔ ﻋﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬ ‫- ﻋﺎﻣﻞ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺗﺨﻴﻠﻰ - ﻋﺪﺩ‬ ‫ﻛﺐ‬ ‫ﻣﺮ‬ ‫1 - 3 : ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻧﻮع ﺟﺬرى اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺟﺬﺭ - ﻣﻤﻴﺰ - ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟ‪‬ﺍﺑﻂ ﻭﺍﻟﺘﺪﺍﺧﻞ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟﻌﻘﻠﻴﺔ ﻭﺍﳴﻬﺎﺭﺍﺕ‬ ‫ﻣﻊ ﺍﻟﻌﻠﻮﻡ ﺍﻷﺧﺮﻯ‬ ‫ﺍﻟﺬﻫﻨﻴﺔ ﺍﳴﺘﻀﻤﻨﺔ‬ ‫ﻭﺍﻟﺤﻴﺎﺓ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺀ ﺻـ ٦‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫¯‬ ‫‪‬‬ ‫,‬ ‫‪‬‬ ‫اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ وﻣﻌﺎﻣﻼت ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺟﺬﺭﻳﻦ‬ ‫ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺩﺍﻟﺔ - ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻣﻮﺟﺒﺔ - ﺩﺍﻟﺔ ﺳﺎﻟﺒﺔ‬ ‫1 - 6 :ﺣﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎت اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ‬ ‫ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫¯‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫¯‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫,‬ ‫‪M‬‬ ‫¯‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪M‬‬ ‫¯‬ ‫ﺗﺸﺎﺑﻪ - ﻣﻀﻠﻌﺎﺕ‬ ‫ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﺔ -ﻣﺜﻠﺜﺎﺕ‬ ‫‪‬‬ ‫2 - 2: ﺗﺸﺎﺑﻪ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت‬ ‫ﺗﺸﺎﺑﺔ - ﺗﺸﺎﺑﻪ‬ ‫2 - 3: اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺎﺣﺘﻰ‬ ‫ﻣﺤﻴﻂ - ﻣﺴﺎﺣﺔ-‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ - ﺑﺪﻳﻬﻴﺔ‬ ‫ﺳﻄﺤﻰ ﻣﻀﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﻴﻦ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﻀﻠﻊ- ﺃﺿﻼﻉ‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﺓ‬ ‫ﻭﺗﺮ - ﻗﺎﻃﻊ - ﻣﻤﺎﺱ -‬ ‫ﻗﻄﺮ - ﻣﻤﺎﺱ ﺧﺎﺭﺟﻰ‬ ‫ﻣﺸﺘﺮﻙ - ﻣﻤﺎﺱ‬ ‫ﺩﺍﺧﻠﻰ ﻣﺸﺘﺮﻙ‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﻔﻦ ﺻـ ١٤‬ ‫‪M‬‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﺣﻴﺎﺗﻴﺔ ﺻـ ١٤‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫¯‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﺓ - ﺯﻭﺍﻳﺎ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ‬ ‫2 - 4: ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت اﻟﺘﺸﺎﺑﻪ ﻓﻰ اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫,‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﺔ - ﺃﺿﻼﻉ‬ ‫2‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺀ ﺻـ ٢١‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺼﺤﺔ ﺻـ ٥١‬ ‫‪‬‬ ‫2 - 1: ﺗﺸﺎﺑﻪ اﻟﻤﻀﻠﻌﺎت‬ ‫,‬ ‫‪‬‬ ‫1 - 4 : اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺟﺬري ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺟﺬﺭﻳﻦ -‬ ‫1 - 5 : ﺑﺤﺚ إﺷﺎرة اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎ ﺻـ ٧‬ ‫¯‬ ‫‪‬‬ ‫ﺣﺪودﻫﺎ‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﺻـ ٦‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺀ ﺻـ ٧٤‬ ‫‪M‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺠﻐﺮﺍﻓﻴﺎ ﺻـ٥٥‬ ‫‪M‬‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺰﺭﺍﻋﺔ ﺻـ ٨٥‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫¯‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﻣﻊ ﺍﻟﺠﻴﻮﻟﻮﺟﻴﺎ ﺻـ٤٦‬ ‫‪M‬‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺼﻨﺎﻋﺔ ﺻـ ٥٦‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫¯‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﻣﻊ ﻫﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻄﺮﻕ ﺻـ ٥٦‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﻣﻊ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺻـ ٥٦‬
‫ﺍﺳﻢ‬ ‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‬ ‫3‬ ‫ﺍﻟ‪‬ﺍﺑﻂ ﻭﺍﻟﺘﺪﺍﺧﻞ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟﻌﻘﻠﻴﺔ ﻭﺍﳴﻬﺎﺭﺍﺕ‬ ‫ﺍﳴﻔﺎﻫﻴﻢ‬ ‫ﻣﻊ ﺍﻟﻌﻠﻮﻡ ﺍﻷﺧﺮﻯ‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﻭﺱ ﺍﳴﺘﻀﻤﻨﺔ ﺑﺎﻟﻮﺣﺪﺓ‬ ‫ﺍﻟﺬﻫﻨﻴﺔ ﺍﳴﺘﻀﻤﻨﺔ‬ ‫ﺍﳴﺘﻀﻤﻨﺔ‬ ‫ﻭﺍﻟﺤﻴﺎﺓ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ‬ ‫ﻣﻜﺎﻓﺤﺔ ﺍﻟﺘﻠﻮﺙ ﺻـ ٧٧‬ ‫‪− M‬‬ ‫ﺗﻮﺍﺯﻯ - ﻣﻨﺼﻒ - ‪‬‬ ‫3 - 1: اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﻤﺘﻮازﻳﺔ‬ ‫¯‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻹﻧﺸﺎﺀﺍﺕ ﺻـ٠٨‬ ‫ﻣﺘﻮﺳﻂ - ﻗﺎﻃﻊ‬ ‫واﻷﺟﺰاء اﻟﻤﺘﻨﺎﺳﺒﻪ‬ ‫¯‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺼﻨﺎﻋﺔ ﺻـ ٠٨‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪MM‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ‬ ‫ﻓﻰ ﺍﳴﺜﻠﺚ‬ ‫ﻣﻨﺼﻒ - ﻣﻨﺼﻒ‬ ‫3 - 2: ﻣﻨﺼﻔﺎ اﻟﺰاوﻳﺔ واﻷﺟﺰاء‬ ‫ﺩﺍﺧﻠﻰ - ﻣﻨﺼﻒ‬ ‫اﻟﻤﺘﻨﺎﺳﺒﺔ‬ ‫ﺧﺎﺭﺟﻰ - ﺗﻌﺎﻣﺪ‬ ‫3 - 3: ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت‬ ‫اﻟﺘﻨﺎﺳﺐ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ ﻗﻮﺓ - ﻧﻘﻄﺔ - ﺩﺍﺋﺮﺓ -‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻛﺰ - ﻣﻤﺎﺱ‬ ‫ﺍﻟﻤﺮ‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﺣﻴﺎﺗﻴﺔ ﺻـ ١٤‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﺗﺮ - ﻣﻤﺎﺱ - ﻗﺎﻃﻊ‬ ‫- ﻗﻄﺮ - ﺩﻭﺍﺋﺮ ﻣﺘﺤﺪﺓ‬ ‫‪− M‬‬ ‫¯‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﻔﻦ ﺻـ ١٤‬ ‫‪M‬‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻷﻗﻤﺎﺭ ﺍﻟﺼﻨﺎﻋﻴﺔ‬ ‫ﺻـ ٢٩‬ ‫‪‬‬ ‫ﺧﺎﺭﺟﻰ ﻣﺸﺘﺮﻙ -‬ ‫ﻣﻤﺎﺱ ﺩﺍﺧﻠﻰ ﻣﺸﺘﺮﻙ‬ ‫4 - 1: اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‬ ‫ﻗﻴﺎﺱ ﺳﺘﻴﻨﻰ - ﺯﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ﻣﻮﺟﻬﺔ - ﻭﺿﻊ ﻗﻴﺎﺳﻰ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﺻـ ٢٠١‬ ‫ ﻗﻴﺎﺱ ﻣﻮﺟﺐ - ﻗﻴﺎﺱ‬‫ﺳﺎﻟﺐ - ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻜﺎﻓﺌﺔ‬ ‫4‬ ‫4 - 2: وﺣﺪات ﻗﻴﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫ﻗﻴﺎﺱ ﺳﺘﻴﻨﻰ - ﻗﻴﺎﺱ‬ ‫‪‬‬ ‫ﺩﺍﺋﺮﻯ - ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻧﺼﻒ‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﻔﻀﺎﺀ ﺻـ٧٠١‬ ‫ﻗﻄﺮﻳﺔ )ﺭﺍﺩﻳﺎﻥ(‬ ‫4 - 3: اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﺣﺴﺎﺏ‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ - ﺟﻴﺐ -‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎ ﺻـ٦٠١‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺮﻳﺎﺿﺔ ﺻـ٧٠١‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺼﻨﺎﻋﺔ ﺻـ٧٠١‬ ‫‪‬‬ ‫ﺟﻴﺐ ﺗﻤﺎﻡ - ﻇﻞ - ﻗﺎﻃﻊ‬ ‫- ﻗﺎﻃﻊ ﺗﻤﺎﻡ - ﻇﻞ ﺗﻤﺎﻡ‬ ‫ﺍﳴﺜﻠﺜﺎﺕ‬ ‫4 - 4 : اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫4 - 4 : اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﻠﺪوال‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﺯﻭﺍﻳﺎ ﻣﺘﻨﺴﺒﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺀ ﺻـ ٢٢١‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺠﻴﺐ - ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ - ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﻋﻈﻤﻰ - ﻗﻴﻤﺔ ﺻﻐﺮﻯ‬ ‫4 - 4 : إﻳﺠﺎد ﻗﻴﺎس زاوﻳﺔ‬ ‫ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ داﻟﺔ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎ ﺻـ٣٢١‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺮﻳﺎﺿﺔ ﺻـ٤٢١‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺴﻴﺎﺭﺍﺕ ﺻـ٤٢١‬
‫‪äÉjƒàëªdG‬‬ ‫‪IóMƒdG‬‬ ‫‪≈dhC’G‬‬ ‫ﺍﻟﺠ‪ ‬ﻭﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﻭﺍﻟﺪﻭﺍﻝ‬ ‫1- 1‬ ‫ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻲ ﻣﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ‬ ‫1- 2‬ ‫ﻣﻘﺪﻣﺔ ﻋﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬ ‫1- 3‬ ‫ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻧﻮع ﺟﺬرى اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ.‬ ‫51‬ ‫1- 4‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺟﺬرى ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ وﻣﻌﺎﻣﻼت ﺣﺪودﻫﺎ.‬ ‫81‬ ‫1- 5‬ ‫إﺷﺎرة اﻟﺪاﻟﺔ.‬ ‫22‬ ‫1- 6‬ ‫ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎت اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ.‬ ‫72‬ ‫ﻣﻠﺨﺺ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫03‬ ‫..................................................................................................................................................‬ ‫4‬ ‫......................................................................................................................................................................................................‬ ‫9‬ ‫.................................................................................................................................................................‬ ‫........................................................................................‬ ‫............................................................................................................................................................................................................................................‬ ‫........................................................................................................................................................................................................‬ ‫....................................................................................................................................................................................................................................‬ ‫‪IóMƒdG‬‬ ‫‪á«fÉãdG‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ‬ ‫2-1‬ ‫ﺗﺸﺎﺑﻪ اﻟﻤﻀﻠﻌﺎت‬ ‫43‬ ‫2-2‬ ‫ﺗﺸﺎﺑﻪ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت.‬ ‫04‬ ‫2-3‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺎﺣﺘﻰ ﺳﻄﺤﻰ ﻣﻀﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﻴﻦ.‬ ‫05‬ ‫2-4‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت اﻟﺘﺸﺎﺑﻪ ﻓﻰ اﻟﺪاﺋﺮة.‬ ‫85‬ ‫ﻣﻠﺨﺺ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫76‬ ‫..............................................................................................................................................................................................................................‬ ‫..................................................................................................................................................................................................................................‬ ‫.....................................................................................................................‬ ‫.........................................................................................................................................................................................‬ ‫....................................................................................................................................................................................................................................‬
‫‪IóMƒdG‬‬ ‫‪áãdÉãdG‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﺎﺕ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻓﻰ ﺍﳴﺜﻠﺚ‬ ‫3-1‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﻤﺘﻮازﻳﺔ واﻷﺟﺰاء اﻟﻤﺘﻨﺎﺳﺒﺔ‬ ‫3-2‬ ‫ﻣﻨﺼﻔﺎ اﻟﺰاوﻳﺔ واﻷﺟﺰاء اﻟﻤﺘﻨﺎﺳﺒﺔ‬ ‫3-3‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت اﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻓﻰ اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﻠﺨﺺ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫................................................................................................................................................‬ ‫07‬ ‫.........................................................................................................................................................................‬ ‫97‬ ‫.......................................................................................................................................................................................‬ ‫68‬ ‫....................................................................................................................................................................................................................................‬ ‫29‬ ‫‪IóMƒdG‬‬ ‫‪á©HGôdG‬‬ ‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳴﺜﻠﺜﺎﺕ‬ ‫4-1‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ.‬ ‫4-2‬ ‫وﺣﺪات ﻗﻴﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ.‬ ‫4-3‬ ‫اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ.‬ ‫4-4‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫4-5‬ ‫اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﻠﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫4-6‬ ‫إﻳﺠﺎد ﻗﻴﺎس زاوﻳﺔ ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ داﻟﺔ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫..............................................................................................................................................................................................................................‬ ‫ﻣﻠﺨﺺ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫69‬ ‫...........................................................................................................................................................................................................‬ ‫201‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................‬ ‫601‬ ‫..............................................................................................................................................................................................‬ ‫211‬ ‫...................................................................................................................................................................................‬ ‫911‬ ‫...................................................................................................................................................‬ ‫221‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................‬ ‫421‬
‫ﺍﻟﺠﺒﺮ‬ ‫‪IóMƒdG‬‬ ‫1‬ ‫ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﻭﺍﻟﺪﻭﺍﻝ‬ ‫‪Algebra, Relations and‬‬ ‫‪Functions‬‬ ‫أﻫﺪاف اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ اﻟﻮﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﻤﺘﻮﻗﻊ أن ﻳﻜﻮن اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻗﺎدرا ﻋﻠﻰ أن:‬ ‫ً‬ ‫ﻳﺤﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ ﺟﺒﺮﻳﺎ ﻭﺑﻴﺎﻧﻴﺎ.‬ ‫ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻭﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺟﺬﺭ￯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ‬ ‫ﹶ‬ ‫ﺃﺧﺮ￯ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ.‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺑﻌﺾ ﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﺣﺪﻭﺩ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ‬ ‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻣﻘﺪﻣﺔ ﻓﻰ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ )ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ،‬ ‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ.‬ ‫ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻣﺮﻛﺒﻴﻦ(.‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ.‬ ‫ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﺃﺣﺪ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ ﺃﻭ ﻛﻠﻴﻬﻤﺎ.‬ ‫ﻳﺒﺤﺚ ﻧﻮﻉ ﺟﺬﺭ￯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬ ‫ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﺣﺪﻭﺩﻫﺎ.‬ ‫ﻳﺒﺤﺚ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺠﺒﺮ￯.‬ ‫ﻗﻮ￯ ﺕ، ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ ﺑﺎﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺠﺒﺮﻳﺔ، ﺗﺴﺎﻭ￯‬ ‫ﻳﺤﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺠﻬﻮﻝ ﻭﺍﺣﺪ.‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا ﺳﺎﺳﻴﺔ‬ ‫‪ ‬ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪Equation‬‬ ‫‪ ‬ﺟﺬﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪ ‬ﻣﻤﻴﺰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪Discriminant of the Equation‬‬ ‫‪Root of the Equation‬‬ ‫‪ ‬ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺤﺪ‬ ‫‪ ‬ﻋﺪﺩ ﻣﺮﻛﺐ‬ ‫‪Coefficient of a Term‬‬ ‫‪ ‬ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪ ‬ﻋﺪﺩ ﺗﺨﻴﻠﻰ‬ ‫‪ ‬ﻗﻮ￯ ﺍﻟﻌﺪﺩ‬ ‫‪Signal of a function‬‬ ‫‪ ‬ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ‬ ‫‪Complex Number‬‬ ‫‪Imaginary Number‬‬ ‫‪Powers of a Number‬‬ ‫‪Inequality‬‬
‫دروس اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )١ - ١(: ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ.‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )١ - ٢(: ﻣﻘﺪﻣﺔ ﻋﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ.‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )١ - ٣(: ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻧﻮﻉ ﺟﺬﺭ￯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ.‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )١ - ٤(: ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺟﺬﺭ￯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫ﻭﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﺣﺪﻭﺩﻫﺎ.‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )١ - ٥(: ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ.‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )١ - ٦(: ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ.‬ ‫ا دوات اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‬ ‫ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ - ﻭﺭﻕ ﻣﺮﺑﻌﺎﺕ - ﺣﺎﺳﺐ ﺁﻟﻰ - ﺑﺮﺍﻣﺞ ﺭﺳﻮﻣﻴﺔ‬ ‫- ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻤﻮﺍﻗﻊ ﺍﻹﻟﻜﺘﺮﻭﻧﻴﺔ ﻣﺜﻞ:‬ ‫ﺗﻤﺜﺎل ﻟﻤﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﻣﻮﺳﻰ اﻟﺨﻮارزﻣﻰ‬ ‫‪www.phschool.com‬‬ ‫ﻧﺒﺬه ﺗﺎرﻳﺨﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻛﻠﻤﺔ ﻋﺮﺑﻴﺔ ﺍﺳﺘﺨﺪﻣﻬﺎ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﻣﻮﺳﻰ ﺍﻟﺨﻮﺍﺭﺯﻣﻰ‬ ‫)ﺍﻟﻘﺮﻥ ﺍﻟﺘﺎﺳﻊ ﺍﻟﻤﻴﻼﺩ￯ ﻓﻰ ﻋﺼﺮ ﺍﻟﺨﻠﻴﻔﺔ ﺍﻟﻌﺒﺎﺳﻰ ﺍﻟﻤﺄﻣﻮﻥ(‬ ‫ﻓﻰ ﻛﺘﺎﺑﻪ ﺍﻟﺬ￯ ﺃﻟﻔﻪ، ﻭﻛﺎﻥ ﻋﻨﻮﺍﻧﻪ »ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ«، ﻭﺍﻟﺬ￯‬ ‫ﹰ‬ ‫ﻭﺿﻊ ﻓﻴﻪ ﻃﺮﻗﺎ ﺃﺻﻴﻠﺔ ﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ، ﻭﺑﺬﻟﻚ ﻳﻌﺘﺒﺮ‬ ‫ﺍﻟﺨﻮﺍﺭﺯﻣﻰ ﻫﻮ ﻣﺆﺳﺲ ﻋﻠﻢ ﺍﻟﺠﺒﺮ ﺑﻌﺪ ﺃﻥ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﺠﺒﺮ ﺟﺰﺀﺍ‬ ‫ﹰ‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ. ﻭﻗﺪ ﺗﹸﺮﺟﻢ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻠﻐﺎﺕ ﺍﻷﻭﺭﺑﻴﺔ ﺑﻌﻨﻮﺍﻥ‬ ‫ﹾ‬ ‫»ﺍﻟﺠﺒﺮ« ﻭﻣﻨﻬﺎ ﺃﺧﺬ ﻛﻠﻤﺔ »ﺍﻟﺠﺒﺮ« )‪.(algebra‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺠﺬﺭ ﻫﻮ ﺍﻟﺬ￯ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺣﺎﻟ ﹰﻴﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ﺱ )ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺇﻟﻰ ﺣﻞ‬ ‫ﹰ‬ ‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ( ﻭﻗﺪ ﻭﺿﻊ ﺍﻟﺨﻮﺍﺭﺯﻣﻰ ﺣﻠﻮﻻ ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ‬ ‫ﻟﺤﻞ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺘﻔﻖ ﻣﻊ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺇﻛﻤﺎﻝ‬ ‫ﺍﻟﻤﺮﺑﻊ. ﻭﺍﺷﺘﻐﻞ ﻛﺜﻴﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻠﻤﺎﺀ ﺍﻟﻌﺮﺏ ﺑﺤﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ، ﻭﻣﻦ‬ ‫ﺃﺷﻬﺮﻫﻢ ﻋﻤﺮ ﺍﻟﺨﻴﺎﻡ ﺍﻟﺬ￯ ﺍﻫﺘﻢ ﺑﺤﻞ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ.‬ ‫ﻭﺟﺪﻳﺮ ﺑﺎﻟﺬﻛﺮ ﺃﻧﻪ ﻇﻬﺮ ﻓﻰ ﺑﺮﺩﻳﺔ ﺃﺣﻤﺲ )٠٦٨١ ﻕ.ﻡ(‬ ‫ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻤﺴﺎﺋﻞ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﺸﻴﺮ ﺣﻠﻬﺎ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺼﺮﻳﻴﻦ ﻓﻰ ﺫﻟﻚ‬ ‫ﺍﻟﺤﻴﻦ ﻗﺪ ﺗﻮﺻﻠﻮﺍ ﺇﻟﻰ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤﺴﺎﺑﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ.‬ ‫ﻭﻗﺪ ﻭﺻﻞ ﻋﻠﻢ ﺍﻟﺠﺒﺮ ﺣﺎﻟﻴﺎ ﺇﻟﻰ ﺩﺭﺟﺔ ﻛﺒﻴﺮﺓ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﻄﻮﺭ‬ ‫ﹰ‬ ‫ﻭﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺪ؛ ﻓﺒﻌﺪ ﺃﻥ ﻛﺎﻥ ﻳﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺃﺻﺒﺢ ﻳﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ‬ ‫ﻛﻴﺎﻧﺎﺕ ﺭﻳﺎﺿﻴﺔ ﺟﺪﻳﺪﺓ ﻣﺜﻞ: ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺎﺕ، ﻭﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻭﻏﻴﺮﻫﺎ.‬ ‫ﻭﺍﻷﻣﻞ ﻣﻌﻘﻮﺩ ﻋﻠﻴﻜﻢ - ﺃﺑﻨﺎﺀﻧﺎ ﺍﻟﻄﻼﺏ- ﻓﻰ ﺍﺳﺘﻌﺎﺩﺓ‬ ‫ﻣﺠﺪﻧﺎ ﺍﻟﻌﻠﻤﻰ ﻓﻰ ﻋﺼﻮﺭﻩ ﺍﻟﺬﻫﺒﻴﺔ ﺍﻟﻤﺼﺮﻳﺔ ﺍﻟﻔﺮﻋﻮﻧﻴﺔ‬ ‫ﻭﺍﻟﻌﺼﻮﺭ ﺍﻹﺳﻼﻣﻴﺔ، ﻭﺍﻟﺘﻰ ﺣﻤﻞ ﻋﻠﻤﺎﺅﻧﺎ ﻓﻴﻬﺎ ﻟﻮﺍﺀ ﺍﻟﺘﻘﺪﻡ‬ ‫ﹶ‬ ‫ﹶ‬ ‫ﹰ‬ ‫ﻭﻣﺸﺎﻋﻞ ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻌﺎﻟﻢ ﺷﺮﻗﺎ ﻭﻏﺮ ﹰﺑﺎ.‬ ‫ﻣﺨﻄﻂ ﺗﻨﻈﻴﻤﻲ ﻟﻠﻮﺣﺪة‬ ‫اﻟﺠﺒﺮ واﻟﻌﻼﻗﺎت واﻟﺪوال‬ ‫ﺑﺤﺚ إﺷﺎرة اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫داﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺟﺬرى‬ ‫اﻟﻤﻤﻴﺰ )ب2 -4‪C‬ﺟـ(‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫ﺳﺎﻟﺐ‬ ‫اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‬ ‫اﻟﺨﻄﻴﺔ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺠﺬرﻳﻦ‬ ‫ﻳﺴﺎوي ﺻﻔﺮ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب اﻟﺠﺬرﻳﻦ‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺬران ﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﺟﺬور ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺬران‬ ‫ﺣﻘﻴﻘﻴﺎن‬ ‫ﺣﻘﻴﻘﺔ‬ ‫ﺣﻘﻴﻘﻴﺎن‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوﻳﺎن‬ ‫ﻣﺨﺘﻠﻔﺎن‬ ‫ﺗﻜﻮﻳﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‬ ‫ﺣﻴﺎﺗﻴﺔ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ا ﻋﺪاد اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬ ‫ﺧﻮاص‬ ‫اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﺎوى‬ ‫ﻋﺪدﻳﻦ‬ ‫ﻣﺮﻛﺒﻴﻦ‬ ‫اﻟﻌﺪدان‬ ‫اﻟﻤﺘﺮاﻓﻘﺎن‬ ‫ﻓﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت‬ ‫ﻋﺎﻣﺔ‬ ‫ﻛﻬﺮﺑﻴﺔ‬ ‫ﺣﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ‬ ‫اﺳﺘﺨﺪام‬ ‫اﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎ‬ ‫ﺑﺮاﻣﺞ ﻟﻠﺤﺎﺳﻮب‬ ‫رﺳﻮﻣﻴﺔ‬
‫ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ‬ ‫1-1‬ ‫‪Solving Quadratic Equations in One Variable‬‬ ‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬ ‫ﻓﻜﺮ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا ﺳﺎﺳﻴّﺔ‬ ‫و‬ ‫ﻧﺎﻗﺶ‬ ‫ﺳﺒﻖ ﺃﻥ ﺩﺭﺳﺖ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺠﺒﺮﻳﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ، ﻭﻓﻲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺪﺭﺱ ﺳﻮﻑ ﺗﺪﺭﺱ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺠﺒﺮﻳﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ.‬ ‫ﻭﺍﻵﻥ ﺳﻮﻑ ﻧﺴﺘﻌﺮﺽ ﻣﺎ ﺳﺒﻖ ﻟﻚ ﺩﺭﺍﺳﺘﻪ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺠﺒﺮﻳﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪ.‬ ‫١- ﺗﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ: ‪ C‬ﺱ + ﺏ = ٠  ﺣﻴﺚ ‪  ٠ ! C‬ﺑﺄﻧﻬﺎ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻦ‬ ‫)ﻷﻥ ﺃﻋﻠﻰ ﺃﺱ ﻓﻴﻬﺎ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ ﺱ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ١(‬ ‫¯‬ ‫٢- ﺗﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ: ‪C‬ﺱ٢ + ﺏ ﺱ + ﺟـ = ٠  ﺣﻴﺚ ‪  ٠ ! C‬ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻦ‬ ‫ )ﻷﻥ ﺃﻋﻠﻰ ﺃﺱ ﻓﻴﻬﺎ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ ﺱ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ٢(‬ ‫¯‬ ‫ﻓﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ: ٢ﺱ٣ – ٣ﺱ٢ + ٥ = ٠ ﺗﺴﻤﻰ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ.‬ ‫)ﻷﻥ ﺃﻋﻠﻰ ﺃﺱ ﻓﻴﻬﺎ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ ﺱ ﻫﻮ ٣(.‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت واﻟﻌﻼﻗﺎت واﻟﺪوال‬ ‫‪‬‬ ‫‪Equation‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Relation‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Function‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Factor‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Coefficient‬‬ ‫‪Equations, relations and functions‬‬ ‫ﺳﺒﻖ ﺃﻥ ﺩﺭﺳﺖ ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺟﺒﺮ ﻳﺎ ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ، ﺑﻄﺮﻳﻘﺘﻴﻦ:‬ ‫ًّ‬ ‫‪٠ ! C  ، ∋ ، ،C‬‬ ‫: ﺑﺘﺤﻠﻴﻞ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ ‪C‬ﺱ٢ + ﺏ ﺱ + ﺟـ = ٠ ‬ ‫)ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺫﻟﻚ ﻣﻤﻜﻨﺎ ﻓﻰ ﺡ(.‬ ‫ً‬ ‫: ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻘﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ، ﻭﻳﻜﻮﻥ ﺟﺬﺭﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪C‬ﺱ٢ + ﺏ ﺱ + ﺟـ = ٠ ﻫﻤﺎ:‬ ‫ ﺏ ! ﺏ ٢-٤‪C‬ﺟـ‬‫ﺱ=‬ ‫٢‪C‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪ C‬ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺱ٢، ﺏ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺱ، ﺟـ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﻤﻄﻠﻖ.‬ ‫ﻭﺍﻵﻥ ﺳﻮﻑ ﺗﺪﺭﺱ ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔﺑﻴﺎﻧﻴﺎ.‬ ‫ًّ‬ ‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫ا دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬ ‫ًّ‬ ‫ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ‬ ‫‪Solving quadratic equation graphically‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫: ﺱ٢ + ﺱ - ٦ = ٠ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ، ﺛﻢ ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺻﺤﺔ ﺍﻟﺤﻞ.‬ ‫َ َّ ْ‬ ‫ًّ‬ ‫ﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺱ٢ + ﺱ - ٦ = ٠ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ ﻧﺘﺒﻊ ﺍﻵﺗﻲ:‬ ‫ًّ‬ ‫٢‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( = ﺱ + ﺱ - ٦‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫¯‬
‫¯‬ ‫ﻧﻌﻴﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﺍﻟﺴﻴﻨﻴﺔ ﻟﻨﻘﻂ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﻊ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ، ﻓﺘﻜﻮﻥ ﻫﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ.‬ ‫ﻟﺮﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ )ﺱ( = ﺹ، ﺹ = ﺱ٢ + ﺱ - ٦‬ ‫ً‬ ‫ﻧﻨﺸﻰﺀ ﺟﺪﻭﻻ ﻟﺒﻌﺾ ﻗﻴﻢ ﺱ، ﺛﻢ ﻧﻮﺟﺪ ﻗﻴﻢ ﺹ ﺍﻟﻤﻨﺎﻇﺮﺓ ﻟﻬﺎ ﻛﺎﻵﺗﻲ:‬ ‫٤‬‫٦‬ ‫٣‬‫٠‬ ‫٢‬‫-٤‬ ‫١‬‫-٦‬ ‫٠‬ ‫-٦‬ ‫١‬ ‫-٤‬ ‫٢‬ ‫٠‬ ‫٣‬ ‫٦‬ ‫ﻧﻌﻴﻦ ﻫﺬه ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻰ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ، ﻭﻧﺼﻞ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ‬ ‫ﺑﻤﻨﺤﻨﻰ ﻛﻤﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ.‬ ‫ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻧﺠﺪ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﺍﻟﺴﻴﻨﻴﺔ ﻟﻨﻘﺎﻁ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﻊ ﻣﺤﻮﺭ‬ ‫ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻭﻫﻰ ﺱ = - ٣، ﺱ = ٢ ﻭﺑﺬﻟﻚ ﺗﻜﻮﻥ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺱ٢ + ﺱ – ٦ = ٠ ﻫﻰ }− , {.‬ ‫‪ï M‬‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫¯‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ: ﺱ٢ + ﺱ – ٦ = ٠‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺜﻼﺛﻰ: )ﺱ + ٣()ﺱ – ٢( = ٠‬ ‫ﺇﻣﺎ ﺱ + ٣ = ٠        ﺃﻭ  ﺱ – ٢ = ٠ ‬ ‫ﺃﻯ ﺱ = -٣   ﺃﻭ  ﺱ = ٢ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍ ﻟﺤﻞ ﻫﻰ }- ٣، ٢{‬ ‫:‬ ‫:‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = - ٣: ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﻤﻦ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ = )- ٣(٢ + )– ٣( – ٦‬ ‫    = ٩ – ٣ – ٦ = ٠ )ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﺴﺮ(‬ ‫ﺱ = - ٣ ﺗﺤﻘﻖ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ.‬ ‫٢‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ٢ : ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﻤﻦ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ = )٢( + )٢( – ٦‬ ‫   = ٤ + ٢ – ٦ = ٠ )ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﺴﺮ(‬ ‫ﺱ = ٢ ﺗﺤﻘﻖ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ.‬ ‫ﻻﺣﻆ ﺃﻥ:‬ ‫١- ﻓﻰ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﻠﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺹ = ﺱ٢ + ﺱ – ٦‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺗﻤﺜﻞ ﺩﺍﻟﺔ؛ ﻷﻥ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﺮﺃﺳﻰ ﻳﻘﻄﻊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ.‬ ‫ﺗﺬﻛﺮ‬ ‫‪,C‬‬ ‫‪= ×C‬‬ ‫=‬ ‫:‪=C‬‬ ‫ﻣ‬ ‫أﺿ‬ ‫ﻌﻠﻮ‬ ‫ﻒ إﻟ‬ ‫ﻰ‬ ‫ﻣﺎ‬ ‫ﺗﻚ‬ ‫‪¯ ¯ F‬‬ ‫‪Vertical line test‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪¯ F‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪F‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ﻫﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ.‬ ‫ﺍﻟﻤﺪﻯ ﻫﻮ ]- ١ ٦، ∞]‬ ‫٤‬ ‫ً‬ ‫٢- ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﺮﻣﺰ ﺩ)ﺱ( ﺑﺪﻻ ﻣﻦ ﺹ، ﻭ ﻳﻘﺮﺃ ﺩﺍﻟﺔ ﺱ.‬ ‫ُ‬ ‫‪−¯ M‬‬ ‫‪¯ F‬‬ ‫‪M‬‬ ‫¯‬ ‫‪M‬‬ ‫¯‬
‫:‬ ‫‪ï‬‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻜﻮﻳﻦ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻣﺒﺎﺷﺮﺓ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻮ ﺍﻵﺗﻰ:‬ ‫)‪ ،(Table‬ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺎﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺎﺗﻴﺢ‬ ‫١-‬ ‫7‬ ‫‪table‬‬ ‫٢-‬ ‫‪Mode‬‬ ‫: ﻧﻜﺘﺐ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ، ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺎﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺎﺗﻴﺢ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:‬ ‫6‬ ‫٣- ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺡ‬ ‫– )‪(x‬‬ ‫)‬ ‫‪ALPHA‬‬ ‫+‬ ‫ﺛﻢ ﻧﻜﺘﺐ ﻓﻰ ﺑﺪﺍﻳﺔ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ?‪ -4 START‬ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ‬ ‫=‬ ‫٤- ﺛﻢ ﻧﻜﺘﺐ ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ‪ EnD‬ﺍﻟﺮﻗﻢ 3 ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ‬ ‫ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ =‬ ‫=‬ ‫ﻟﻠﺨﺮﻭﺝ ﻣﻦ ﺍﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ: ﻧﻀﻐﻂ   ‬ ‫=‬ ‫ﻧﺤﺪﺩ ﺑﻌﺪ ﺫﻟﻚ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ‪ Step‬ﻭﻧﻜﺘﺐ ﺍﻟﺮﻗﻢ‬ ‫٥- ﻳﺘﻢ ﺇﻧﺸﺎﺀ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﻓﻰ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ، ﻭﻳﻤﻜﻦ ﺍﻟﺘﻨﻘﻞ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺡ‬ ‫1‬ ‫2‪(x) x‬‬ ‫)‬ ‫‪ALPHA‬‬ ‫‪REPLAY‬‬ ‫ﺇﻟﻰ ﺃﻋﻠﻰ ﻭﺇﻟﻰ ﺃﺳﻔﻞ.‬ ‫)‪x f(x‬‬ ‫6 4-‬ ‫0 3-‬ ‫4- 2-‬ ‫6- 1-‬ ‫6- 0‬ ‫1‬ ‫4-‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫6‬ ‫‪Mode‬‬ ‫ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ: ١- ﻫﻞ ﻛﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﻼﻗﺔ? ﻓﺴﺮ ﺫﻟﻚ ﺑﺄﻣﺜﻠﺔ.‬ ‫ِّ‬ ‫٢- ﻫﻞ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﻭﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺑﻤﻌﺎﺩﻻﺕ? ﻓﺴﺮ ﺫﻟﻚ.‬ ‫ِّ‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫6‬ ‫7‬ ‫8‬ ‫1 ﻣﺜﻞ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺹ = ﺱ٢ - ٤ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ، ﺛﻢ ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺱ٢ - ٤ = ٠‬ ‫ًّ‬ ‫ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺹ = ﺩ)ﺱ( ﻓﺒﻴﻦ ﺃﻥ ﺩ ﺩﺍﻟﺔ، ﻭﺣﺪﺩ ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ﻭﻣﺪﺍﻫﺎ ] ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻌﻠﻤﻚ[.‬ ‫ِّ َّ‬ ‫ِّ‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫2 ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﻔﻴ ﺎﺀ: ﺃﻃُﻠْﻘﺖ ﻗﺬﻳﻔﺔ ﺭﺃﺳﻴﺎ ﺑﺴﺮﻋﺔ ﻉ ﺗﺴﺎﻭﻯ ٥٫٤٢ ﻣﺘﺮ/ﺙ. ﺍﺣﺴﺐ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﺍﻟﺰﻣﻨﻴﺔ ﻥ ﺑﺎﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ‬ ‫ُ‬ ‫ًّ‬ ‫ُ‬ ‫ﺗﺴﺘﻐﺮﻗﻬﺎ ﺍﻟﻘﺬﻳﻔﺔ ﺣﺘﻰ ﺗﺼﻞ ﺇﻟﻰ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﻑ ﻣﺘﺮﺍ، ﺣﻴﺚ ﻑ ﺗﺴﺎﻭﻯ ٦٫٩١ ﻣﺘﺮﺍ، ﻋﻠﻤﺎ ﺑﺄﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﻑ، ﻥ ﻛﺎﻵﺗﻰ:‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ﻑ = ﻉ ﻥ – ٩٫٤ ﻥ٢.‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫:‬ ‫¯, =‬ ‫=‬ ‫` ٦٫٩١ = ٥٫٤٢ ﻥ – ٩٫٤ ﻥ‬ ‫٢‬ ‫¯‬ ‫‪¯M‬‬ ‫‪F‬‬ ‫¯‬ ‫`  ٤    = ٥ﻥ – ﻥ‬ ‫٢‬ ‫=‬ ‫–‬ ‫٢‬ ‫` ﻥ٢ – ٥ﻥ + ٤ = ٠‬ ‫.‬ ‫:  ﻥ = ١ ﺛﺎﻧﻴﺔ ﺃﻭ ﻥ = ٤ ﺛﺎﻧﻴﺔ.‬ ‫` )ﻥ – ١( )ﻥ – ٤( = ٠‬ ‫‪M‬‬ ‫: ﺍﻟﻘﺬﻳﻔﺔ ﺗﺼﻞ ﺇﻟﻰ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ٦٫٩١ ﻣﺘﺮﺍ ﺑﻌﺪ ﺛﺎﻧﻴﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ، ﺛﻢ ﺗﺴﺘﻤﺮ ﻓﻰ ﻛﺔ ﻷﻋﻠﻰ ﺣﺘﻰ ﺗﺼﻞ‬ ‫ﺍﻟﺤﺮ‬ ‫¯‬ ‫ً‬ ‫ٍ‬ ‫ﻷﻗﺼﻰ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ، ﺛﻢ ﺗﻌﻮﺩ ﺇﻟﻰ ﻣﻮﺿﻊ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻟﻘﺬﻑ ﺑﻌﺪ ٤ ﺛﻮﺍﻥ ﻣﻦ ﻟﺤﻈﺔ ﺇﻃﻼﻗﻬﺎ.‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫¯‬
‫¯‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫2 ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟ ﺎﺿﺔ: ﻓﻰ ﺇﺣﺪﻯ ﺍﻷﻟﻌﺎﺏ ﺍﻷﻭﻟﻤﺒﻴﺔ ﻗﻔﺰ ﻣﺘﺴﺎﺑﻖ ﻣﻦ ﻣﻨﺼﺔ ﺍﺭﺗﻔﺎﻋﻬﺎ ٨٫٩ ﺃﻣﺘﺎﺭ ﻋﻦ ﺳﻄﺢ ﺍﻟﻤﺎﺀ‬ ‫ﻋﺎﻟﻴﺎ ﻣﺒﺘﻌﺪﺍ ﻋﻨﻬﺎ، ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﺑﻖ ﻋﻦ ﺳﻄﺢ ﺍﻟﻤﺎﺀ ﻑ ﻣﺘﺮﺍ ﺑﻌﺪ ﺯﻣﻦ ﻗﺪﺭه ﻥ ﺛﺎﻧﻴﺔ ﻳﺘﺤﺪﺩ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ:‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫٢‬ ‫ﻑ = -٩٫٤ﻥ + ٥٤٫٢ﻥ + ٨٫٩ ، ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻷﻗﺮﺏ ﺭﻗﻤﻴﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻣﺘﻰ ﻳﺼﻞ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﺑﻖ ﻟﺴﻄﺢ ﺍﻟﻤﺎﺀ?‬ ‫ﻧﺸﺎط‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﺒﺮﺍﻣﺞ ﺍﻟﻤﺘﺎﺣﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺪﻋﻢ ﺍﻟﻠﻐﺔ ﺍﻟﻌﺮﺑﻴﺔ ﻣﻦ ﻋﻠﻰ ﺷﺒﻜﺔ ﺍﻹﻧﺘﺮﻧﺖ ﻣﺜﻞ ‪ GeoGebra‬ﻭﻣﻮﻗﻌﻪ ﻫﻮ‬ ‫)‪،(/http://geogebra.org/coms‬ﻭﺑﺮﻧﺎﻣﺞ ‪ Graph‬ﻭﻣﻮﻗﻌﻪ ﻫﻮ )‪ (/http://www.padowan.dk‬ﺍﻟﺘﻰ ﻣﻦ ﺧﻼﻟﻬﺎ ﻳﻤﻜﻦ ﺭﺳﻢ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ.‬ ‫أ ﻳﻤﻜﻦ ﺭﺳﻢ ﻣﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﺣﻴﺚ‬ ‫ﺩ )ﺱ( = ﺱ٢ + ٤ﺱ + ٣‬ ‫ﻧﻮﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩ)ﺱ( = ٠ ﺃﻯ ﺱ٢ + ٤ﺱ + ٣ =٠‬ ‫ﻭﺫﻟﻚ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺗﻌﻴﻦ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﺍﻟﺴﻴﻨﻴﺔ ﻟﻨﻘﺎﻁ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻣﻊ‬ ‫ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ، ﻭﻫﻰ -٣، -١ ﻟﺘﻜﻮﻥ ﺣﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ؛‬ ‫ًّ‬ ‫ﻭﻟﺬﻟﻚ ﻳﻜﻮﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺣﻼﻥ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻓﻰ ﺡ ﻫﻤﺎ -٣، -١‬ ‫َّ‬ ‫ب ﻧﺮﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﺣﻴﺚ ﺩ )ﺱ( = ﺱ٢ - ٦ﺱ + ٩‬ ‫= ﻓﻴﻜﻮﻥ )ﺱ - ٣(٢ = ٠‬ ‫ﺃﻱ ﺱ -٣ = ٠ ﻓﻴﻜﻮﻥ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺱ = ٣‬ ‫ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻧﺠﺪ ﺃﻥ ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻳﻤﺲ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻋﻨﺪ ﺱ = ٣‬ ‫ﻭﻫﺬﺍ ﻳﻄﺎﺑﻖ ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﺠﺒﺮﻱ؛‬ ‫ﻟﺬﻟﻚ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﻭﺣﻴﺪ ﻣﻜﺮﺭ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻓﻰ ﺡ ﻫﻮ ٣‬ ‫6‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1−‬ ‫2−‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫8‬ ‫7‬ ‫6‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫7‬ ‫6‬ ‫5‬ ‫3‬ ‫=‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫٢ ! ٢ -٣‬ ‫= ١ ! -٣ ∌ ‪I‬‬ ‫      =‬ ‫٢‬ ‫‪−¯ M‬‬ ‫0‬ ‫1−‬ ‫4‬ ‫ )-٢( ! )-٢( ٢-٤ *١*٤ ٢ ! -٢١‬‫=‬ ‫` ﺱ=‬ ‫٢‬ ‫٢*١‬ ‫4−‬ ‫1−‬ ‫ﺟ ﻧﺮﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﺣﻴﺚ ﺩ )ﺱ( = ﺱ٢ - ٢ﺱ + ٤ ﺛﻢ ﻧﻀﻊ ﺩ)ﺱ( =٠‬ ‫ﻓﻴﻜﻮﻥ ﺱ٢ - ٢ﺱ + ٤ = ٠‬ ‫ﻭﻳﺘﻌﺬﺭ ﺣﻞ ﻫﺬه ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺑﺎﻟﺘﺤﻠﻴﻞ ﻭﻋﻨﺪ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻘﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ‬ ‫ﺱ = - ﺏ ! ﺏ ٢-٤‪C‬ﺟـ‬ ‫٢‪C‬‬ ‫‪, −= , =C‬‬ ‫3−‬ ‫5−‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1−‬ ‫1−‬ ‫2−‬
‫ﻟﺬﻟﻚ ﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﺣﻠﻮﻝ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﺗﺤﻘﻖ ﻫﺬه ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ، ﻭﻳﺆﻛﺪ ﺫﻟﻚ، ﺭﺳﻢ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ ﻓﻨﺠﺪ ﺃﻥ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻻ‬ ‫ُ‬ ‫ﻳﻘﻄﻊ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻓﻰ ﺃﻱ ﻧﻘﻄﺔ؛ ﻟﺬﻟﻚ ﻓﺈﻥ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻓﻰ ‪ I‬ﻫﻮ ‪. z‬‬ ‫:‬ ‫‪U‬‬ ‫ﻋﻨﺪ ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ ﺗﻮﺟﺪ ﺛﻼﺙ ﺣﺎﻻﺕ:‬ ‫١- ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻳﻘﻄﻊ ﻣﺤﻮﺭ‬ ‫ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ.‬ ‫,‬ ‫٢- ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻳﻤﺲ ﻣﺤﻮﺭ‬ ‫ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ.‬ ‫٣- ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻻ ﻳﻘﻄﻊ ﻣﺤﻮﺭ‬ ‫ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ.‬ ‫,‬ ‫,‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻼﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫َّ‬ ‫ﻓﻰ ‪،I‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = }ﻝ، ﻡ{‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻼﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﻓﻰ ‪،I‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = }ﻝ{‬ ‫ﻻﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻓﻰ ‪،I‬‬ ‫ٌّ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = ‪z‬‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ ‫1 ﺣﻞ ﻣﺸﻜﻼﺕ: ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ )١ + ٢ + ٣ +..... + ﻥ( ﻳﻌﻄﻰ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ﺟـ = ﻥ )١ + ﻥ( ﻓﻜﻢ ﻋﺪﺩﺍ ﺻﺤﻴﺤﺎ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺎ ﺑﺪﺀﺍ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﺪﺩ ١ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺠﻤﻮﻋﻬﺎ ﻣﺴﺎﻭ ﻳﺎ ٦٣١‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ً ً‬ ‫٢‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫¯‬
‫ﻣﻘﺪﻣﺔ ﻋﻦ ا ﻋﺪاد اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬ ‫1-2‬ ‫‪Complex Numbers‬‬ ‫و‬ ‫ﻓﻜﺮ‬ ‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬ ‫ﻧﺎﻗﺶ‬ ‫ﺳﺒﻖ ﺃﻥ ﺩﺭﺳﺖ ﻧُﻈﻤﺎ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻸﻋﺪﺍﺩ، ﻭﻫﻰ ﻧﻈﺎﻡ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ ”‪ “P‬ﻭﻧﻈﺎﻡ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ‬ ‫ً‬ ‫/‬ ‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ”‪ “N‬ﻭﻧﻈﺎﻡ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ”‪ “K‬ﻭﻏﻴﺮ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ”‪ “ K‬ﻭﺃﺧﻴﺮﺍ ﻧﻈﺎﻡ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ‬ ‫ً‬ ‫ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ”‪ “I‬ﻭﺭﺃﻳﻨﺎ ﺃﻥ ﺃﻯ ﻧﻈﺎﻡ ﻳﻨﺸﺄ ﻛﺘﻮﺳﻴﻊ ﻟﻠﻨﻈﺎﻡ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﺴﺒﻘﻪ ﻟﺤﻞ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫َ‬ ‫ﺟﺪﻳﺪﺓ ﻟﻢ ﺗﻜﻦ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺤﻞ ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ، ﻭﺇﺫﺍ ﺗﺄﻣﻠﻨﺎ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺱ٢ = -١ ﻧﺠﺪ ﺃﻧﻬﺎ ﻏﻴﺮ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺤﻞ ﻓﻰ ﺡ، ﺇﺫ ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻰ ﻣﺮﺑﻌﻪ ﻳﺴﺎﻭﻯ )-١(‬ ‫ﻳﺤﻘﻖ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ؛ ﻟﺬﺍ ﻧﺤﺘﺎﺝ ﻟﺪﺭﺍﺳﺔ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺪﻳﺪﺓ ﻣﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻛﺒﺔ.‬ ‫ﺍﻟﻤﺮ‬ ‫: ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ‬ ‫ﺹ = ﺱ٢+ ١ ﻧﻼﺣﻆ ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺃﻥ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬ ‫ﻻﻳﻘﻄﻊ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ؛ ﻭﺑﺬﻟﻚ ﻻ ﻳﻜﻮﻥ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺱ٢ + ١ = ٠ ﺣﻠﻮﻝ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﻓﻰ ‪.I‬‬ ‫ﻟﺬﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﻦ ﺍﻟﻀﺮﻭﺭﻯ ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﻓﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺪﻳﺪﺓ‬ ‫ﻟﻸﻋﺪﺍﺩ ﻟﺤﻞ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ.‬ ‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫اﻟﻌﺪد اﻟﺘﺨﻴﻠﻰ‬ ‫ﻳﻌﺮﻑ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺘﺨﻴﻠﻰ ﺕ ﺑﺄﻧﻪ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻰ ﻟﻠﻌﺪﺩ )-١(‬ ‫‪‬‬ ‫¯¯‬ ‫‪‬‬ ‫¯‬ ‫¯‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫− −‬ ‫‪Imaginary Number‬‬ ‫¯¯‬ ‫‪Complex Number‬‬ ‫−‬ ‫‪Imaginary numbers‬‬ ‫ﺕ٢ = - ١‬ ‫ا دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬ ‫:    -‪ C = C‬ﺕ  )ﻟﻜﻞ ‪(+I ∋ C‬‬ ‫-٣٤٢ =‬ ‫‪‬‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا ﺳﺎﺳﻴّﺔ‬ ‫ﻭﺗﺴﻤﻰ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﻰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ٢ﺕ، - ٥ﺕ، ٣ ﺕ‬ ‫¯‬ ‫‪‬‬ ‫٣ = ٣ ﺕ،‬‫-٥ = ٥ ﺕ ﻭﻫﻜﺬﺍ......‬ ‫‪‬‬ ‫٩٢*٣)-١( = ٩ ٣ ﺕ‬ ‫ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ: ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ،C‬ﺏ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﻴﻴﻦ ﺳﺎﻟﺒﻴﻦ، ﻓﻬﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ‬ ‫‪ C‬ﺏ = ‪ C‬ﺏ ? ﻓﺴﺮ ﺫﻟﻚ ﺑﻤﺜﺎﻝ ﻋﺪﺩﻯ.‬ ‫‪−¯ M‬‬
‫‪:áë«ë°üdG ä iƒb‬‬ ‫‪Integer powers of i‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺕ ﻳﺤﻘﻖ ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﻷﺳﺲ ﺍﻟﺘﻰ ﺳﺒﻖ ﻟﻚ ﺩﺭﺍﺳﺘﻬﺎ، ﻭﻳﻤﻜﻦ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﻘﻮﻯ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ﺕ ﻛﺎﻵﺗﻰ:‬ ‫ﺕ٣   = ﺕ٢ * ﺕ= - ﺕ‬ ‫ﺕ٢   = - ١‬ ‫ﺕ١   = ﺕ‬ ‫ﺕ٥ = ﺕ٤ * ﺕ = ١ * ﺕ = ﺕ‬ ‫ﺕ٤   = ﺕ٢ * ﺕ٢ = -١ * -١ = ١‬ ‫: ﺕ٤ﻥ = ١  ،  ﺕ٤ﻥ + ١ = ﺕ  ،  ﺕ٤ﻥ + ٢ = -١  ،  ﺕ٤ﻥ + ٣ = -ﺕ    ﺣﻴﺚ ﻥ ∋ ‪N‬‬ ‫‪ï‬‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫2 ﺃﻭﺟﺪ ﻛﻼ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ ﻓﻰ ﺃﺑﺴﻂ ﺻﻮﺭﺓ:‬ ‫ًّ‬ ‫٣٤‬ ‫٠٣‬ ‫بﺕ‬ ‫أ ﺕ‬ ‫ﺟ ﺕ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫أ ﺕ٠٣= )ﺕ٤(٧ * ﺕ٢ = ١ * - ١ = - ١‬ ‫ﺟ ﺕ- ١٦ = )ﺕ٤(-٦١ * ﺕ٣ = ١ * ﺕ٣ = - ﺕ‬ ‫د ﺕ‬ ‫- ١٦‬ ‫٤ﻥ + ٩١‬ ‫ب ﺕ٣٤= )ﺕ٤(٠١ * ﺕ٣ = ١ * - ﺕ = - ﺕ‬ ‫د ﺕ٤ﻥ + ٩١= ﺕ٤ﻥ* ﺕ٩١= ١ * )ﺕ٤(٤ * ﺕ٣= ١ * ﺕ٣= - ﺕ‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫1 ﺃﻭﺟﺪ ﻛﻼ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ ﻓﻰ ﺃﺑﺴﻂ ﺻﻮﺭﺓ:‬ ‫ًّ‬ ‫٤ﻥ + ٢٤‬ ‫أ ﺕ٤٢     ب  ﺕ٧٣     ﺟ  ﺕ- ٣٤     د  ﺕ- ١٥     ﻫ  ﺕ٤ﻥ + ٩٢     و  ﺕ‬ ‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ.‬ ‫اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺮﻛﺐ‬ ‫‪Complex number‬‬ ‫¯ ¯ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ‪ + C‬ﺏ ﺕ ﺣﻴﺚ ‪ ،C‬ﺏ ﻋﺪﺩﺍﻥ‬ ‫ﻭﻳﺒﻴﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺎﺕ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺸﻜﻞ ﺟﺰﺀﺍ ﻣﻦ ﻧﻈﺎﻡ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻛﺐ.‬ ‫ﺍﻟﻤﺮ‬ ‫ُ‬ ‫ً‬ ‫¯‬ ‫¯‬ ‫¯‬ ‫‪M‬‬ ‫¯‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫¯‬ ‫¯ ¯‬ ‫‪ + C‬ﺏ ﺕ‬
‫¯‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ،C‬ﺏ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﻴﻴﻦ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻉ ﺣﻴﺚ ﻉ = ‪ + C‬ﺏ ﺕ ﻳﺴﻤﻰ ﻋﺪﺩﺍ ﻛﺒﺎ، ﻭﺗﺴﻤﻰ ‪ C‬ﺑﺎﻟﺠﺰﺀ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻟﻠﻌﺪﺩ‬ ‫ً ﻣﺮ ً‬ ‫ﻛﺐ ﻉ، ﺏ ﺕ ﺑﺎﻟﺠﺰﺀ ﺍﻟﺘﺨﻴﻠﻲ ﻟﻠﻌﺪﺩ ﻛﺐ ﻉ.‬ ‫ﺍﻟﻤﺮ‬ ‫ﺍﻟﻤﺮ‬ ‫ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺏ = ٠ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻉ = ‪ C‬ﻳﻜﻮﻥ ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ، ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ ٠ = C‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻉ = ﺏ ﺕ ﻳﻜﻮﻥ ﺗﺨﻴﻠﻴﺎ.‬ ‫ًّ‬ ‫ًّ‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫3 ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ٩ﺱ٢ + ٥٢١ = ١٦‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ٩ﺱ٢ + ٥٢١ = ١٦‬ ‫٩ﺱ٢ + ٥٢١ – ٥٢١ = ١٦ – ٥٢١‬ ‫−‬ ‫٩ﺱ٢ = - ٤٦‬ ‫ﺱ٢   = - ٤٦‬ ‫٩‬ ‫ﺱ       = !‬ ‫ﺱ     = !‬ ‫‪¯I‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪¯I‬‬ ‫٤٦‬‫٩‬ ‫٤٦‬ ‫٩ ﺕ=! ٨ ﺕ‬ ‫٣‬ ‫¯‬ ‫‪¯M‬‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫2 ﺣﻞ ﻛﻼ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ:‬ ‫ًّ‬ ‫٢‬ ‫أ ٣ﺱ + ٧٢ = ٠‬ ‫ب ٥ﺱ٢ + ٥٤٢ = ٠‬ ‫ﺗﺴﺎوى ﻋﺪدﻳﻦ ﻣﺮﻛﺒﻴﻦ‬ ‫ﺟ ٤ﺱ٢ + ٠٠١ = ٥٧‬ ‫‪Equality of two complex numbers‬‬ ‫ﻳﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﻌﺪﺩﺍﻥ ﻛﺒﺎﻥ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻂ ﺇﺫﺍ ﺗﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﺠﺰﺁﻥ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻭﺗﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﺠﺰﺁﻥ ﺍﻟﺘﺨﻴﻠﻴﺎﻥ.‬ ‫ﺍﻟﻤﺮ‬ ‫َ‬ ‫،   = ‪E‬‬ ‫:‪=C‬‬ ‫: ‪ + C‬ﺏ ﺕ = ﺟـ + ‪ E‬ﺕ‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫4 ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺘﻰ ﺱ، ﺹ ﺍﻟﻠﺘﻴﻦ ﺗﺤﻘﻘﺎﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ: ٢ﺱ – ﺹ + )ﺱ - ٢ﺹ(ﺕ = ٥ + ﺕ ﺣﻴﺚ ﺱ، ﺹ ∋ ‪ ،I‬ﺕ٢ = -١‬ ‫ُ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫¯‬ ‫‪−¯ M‬‬ ‫¯‬ ‫٢ ﺱ – ﺹ = ٥ ،  ﺱ – ٢ ﺹ = ١‬ ‫    ﺱ   = ٣ ،      ﺹ   = ١‬
‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫3 ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺘﻰ ﺱ، ﺹ ﺍﻟﻠﺘﻴﻦ ﺗﺤﻘﻘﺎﻥ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ:‬ ‫ُ‬ ‫أ )٢ﺱ + ١( + ٤ﺹ ﺕ = ٥ – ٢١ ﺕ‬ ‫ب ٢ﺱ – ٣ + )٣ﺹ + ١( ﺕ = ٧ + ٠١ ﺕ‬ ‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ ا ﻋﺪاد اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬ ‫‪Operations on complex numbers‬‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻹﺑﺪﺍﻝ ﻭﺍﻟﺘﺠﻤﻴﻊ ﻭﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻋﻨﺪ ﺟﻤﻊ ﺃﻭ ﺿﺮﺏ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻛﺒﺔ، ﻛﻤﺎ ﺗﻮﺿﺢ ﺫﻟﻚ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:‬ ‫ﺍﻟﻤﺮ‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫5 ﺃﻭﺟﺪ ﻓﻰ ﺃﺑﺴﻂ ﺻﻮﺭﺓ ﻧﺎﺗﺞ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ:‬ ‫ٍّ‬ ‫أ )٧ – ٤ﺕ( + )٢ + ﺕ(‬ ‫ب )٢ + ٣ﺕ( )٣ – ٤ﺕ(‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫أ‬ ‫= )٧ – ٤ﺕ( + )٢ + ﺕ(‬ ‫ب‬ ‫=   )٢ + ٣ﺕ( )٣ – ٤ﺕ(‬ ‫= )٧ + ٢( + )-٤ + ١( ﺕ‬ ‫=٩–٣ﺕ‬ ‫ ‬ ‫= ٢ )٣ – ٤ﺕ( + ٣ﺕ )٣ – ٤ﺕ(‬ ‫= ٦ – ٨ﺕ + ٩ ﺕ – ٢١ ﺕ‬ ‫= ٦ – ٨ﺕ + ٩ﺕ + ٢١‬ ‫      ‬ ‫٢‬ ‫= )٦ + ٢١( + )- ٨ + ٩( ﺕ = ٨١ + ﺕ‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫4 ﺃﻭﺟﺪ ﻓﻰ ﺃﺑﺴﻂ ﺻﻮﺭﺓ ﻧﺎﺗﺞ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ:‬ ‫ٍّ‬ ‫أ )٢١ – ٥ﺕ( – )٧ – ٩ﺕ(‬ ‫ب )٤ – ٣ﺕ()٤ + ٣ﺕ(‬ ‫ﺟ )٥ – ٦ﺕ()٣ + ٢ﺕ(‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫¯‬ ‫‪F‬‬ ‫٢=−‬ ‫‪F‬‬
‫¯‬ ‫ﻗﺴﻤﺔ ا ﻋﺪاد اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬ ‫‪Dividing complex numbers‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩﺍﻥ ‪ + C‬ﺏ ﺕ ، ‪ – C‬ﺏ ﺕ ﻳﺴﻤﻴﺎﻥ ﺑﺎﻟﻌﺪﺩﻳﻦ ﺍﻟﻤﺘﺮﺍﻓﻘﻴﻦ‬ ‫)٤ – ٣ﺕ()٤ + ٣ﺕ( = )٤(٢ – )٣ﺕ(‬ ‫٤ – ٣ﺕ ، ٤ + ٣ﺕ ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻣﺘﺮﺍﻓﻘﺎﻥ، ﺣﻴﺚ:‬ ‫٢‬ ‫   = ٦١ – ٩ﺕ٢ = ٦١ – ٩)-١( = ٥٢‬ ‫ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ:‬ ‫ﻫﻞ ﺑﺎﻟﻀﺮﻭﺭﺓ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﻦ ﺍﻟﻤﺘﺮﺍﻓﻘﻴﻦ ﻫﻮ ﺩﺍﺋﻤﺎ ﻋﺪﺩﺍ ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ? ﻓﺴﺮ ﺫﻟﻚ.‬ ‫ً‬ ‫ًّ ِّ‬ ‫ً‬ ‫ﻫﻞ ﺑﺎﻟﻀﺮﻭﺭﺓ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﻦ ﺍﻟﻤﺘﺮﺍﻓﻘﻴﻦ ﻫﻮ ﺩﺍﺋﻤﺎ ﻋﺪﺩﺍ ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ? ﻓﺴﺮ ﺫﻟﻚ.‬ ‫ً‬ ‫ًّ ِّ‬ ‫ً‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫6 ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺘﻰ ﺱ، ﺹ ﺍﻟﻠﺘﻴﻦ ﺗﺤﻘﻘﺎﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ:‬ ‫)٢ + ﺕ()٢ - ﺕ( = ﺱ + ﺕ ﺹ‬ ‫٣ + ٤ﺕ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﺕ‬ ‫٤ - ٤ﺕ = ﺱ + ﺕ ﺹ‬ ‫٣+‬ ‫٢‬ ‫+١ ٣‬ ‫٣٤+٤ﺕ * ٣ - ٤ﺕ = ﺱ + ﺕ ﺹ‬ ‫-٤ﺕ‬ ‫¯‬ ‫٥)٣ - ٤ ﺕ(     = ﺱ + ﺕ ﺹ‬ ‫٥٢‬ ‫‪M‬‬ ‫: ﺱ = ٣  ، ﺹ = - ٤‬ ‫٥‬ ‫٥‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫5 ﺃﻭﺟﺪ ﻓﻰ ﺃﺑﺴﻂ ﺻﻮﺭﺓ ﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ:‬ ‫ٍّ‬ ‫أ‬ ‫ﺟ‬ ‫٣-ﺕ‬ ‫٢-ﺕ‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫٣ - ٤ ﺕ         = ﺱ + ﺹ ﺕ‬ ‫٥ ٥‬ ‫٤ - ٦ﺕ‬ ‫٢ﺕ‬ ‫−‬ ‫ب‬ ‫د‬ ‫٦٢‬ ‫٣ - ٢ﺕ‬ ‫٣+٤ﺕ‬ ‫٥ - ٢ﺕ‬ ‫‪−¯ M‬‬ ‫¯‬
‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫7 ﻛﻬﺮﺑﺎﺀ: ﺃﻭﺟﺪ ﺷﺪﺓ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻜﻬﺮﺑﻰ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻓﻰ ﻣﻘﺎﻭﻣﺘﻴﻦ ﻣﺘﺼﻠﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﺯﻱ ﻓﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻛﻬﺮﺑﻴﺔ ﻣﻐﻠﻘﺔ،‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺷﺪﺓ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻘﺎﻭﻣﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ٥ – ٣ﺕ ﺃﻣﺒﻴﺮ ﻭﻓﻰ ﺍﻟﻤﻘﺎﻭﻣﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ٢ + ﺕ ﺃﻣﺒﻴﺮ ) ﻋﻠﻤﺎ ﺑﺄﻥ ﺷﺪﺓ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ‬ ‫ً‬ ‫ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﺗﺴﺎﻭﻯ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺷﺪﺗﻰ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻘﺎﻭﻣﺘﻴﻦ(.‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫‪ a‬ﺷﺪﺓ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻜﻬﺮﺑﻰ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ = ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺷﺪﺗﻰ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻘﺎﻭﻣﺘﻴﻦ.‬ ‫= )٥ - ٣ﺕ( + )٢ + ﺕ(‬ ‫`‬ ‫= )٥ + ٢( + )-٣ + ١( ﺕ‬ ‫= ٧ - ٢ﺕ ﺃﻣﺒﻴﺮ‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫6 ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺷﺪﺓ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻜﻬﺮﺑﻰ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻓﻰ ﻣﻘﺎﻭﻣﺘﻴﻦ ﻣﺘﺼﻠﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﺯﻯ ﻓﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻛﻬﺮﺑﻴﺔ ﻣﻐﻠﻘﺔ ﺗﺴﺎﻭﻯ‬ ‫٦ + ٤ ﺕ ﺃﻣﺒﻴﺮ، ﻛﺎﻧﺖ ﺷﺪﺓ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻓﻰ ﺇﺣﺪﺍﻫﻤﺎ ٧١ ، ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺷﺪﺓ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻘﺎﻭﻣﺔ ﺍﻷﺧﺮﻯ.‬ ‫ﻭ‬ ‫٤-ﺕ‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ ‫1 ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ: ﺃﻭﺟﺪ ﻓﻰ ﺃﺑﺴﻂ ﺻﻮﺭﺓ )١- ﺕ(‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫¯‬ ‫٠١‬
‫ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻧﻮع ﺟﺬرى اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‬ ‫1-3‬ ‫‪Determining the Types of Roots of a Quadratic Equation‬‬ ‫ﻓﻜﺮ‬ ‫و‬ ‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬ ‫ﻧﺎﻗﺶ‬ ‫ﺳﺒﻖ ﺃﻥ ﺩﺭﺳﺖ ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ )ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ( ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ ﻓﻰ ﺡ؛ ﻭﻋﻠﻤﺖ‬ ‫ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺃﻥ ﻋﺪﺩ ﺣﻠﻮﻟﻬﺎ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺇﻣﺎ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺣﻠﻴﻦ ﺃﻭ ﺣﻼ ﻭﺣﻴﺪﺍ ﻣﻜﺮﺭﺍ،‬ ‫ًّ‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ﺃﻭ ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻓﻰ ﺡ، ﻓﻬﻞ ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻋﺪﺩ ﺟﺬﻭﺭ )ﺣﻠﻮﻝ( ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ‬ ‫ﺡ ﺩﻭﻥ ﺣﻠﻬﺎ?‬ ‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫اﻟﻤﻤﻴﺰ‬ ‫‪‬‬ ‫‪Discriminant‬‬ ‫ﺟﺬﺭﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ‪C‬ﺱ٢ + ﺏ ﺱ + ﺟـ = ٠   ﺣﻴﺚ ‪ ،C ،٠ ! C‬ﺏ، ﺟـ ∋ ‪I‬‬ ‫ﻫﻤﺎ: - ﺏ + ﺏ ٢-٤‪C‬ﺟـ ، - ﺏ - ﺏ ٢-٤‪C‬ﺟـ‬ ‫٢‪C‬‬ ‫٢‪C‬‬ ‫ﻛﻼ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ ﻳﺤﺘﻮﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ ﺏ٢ - ٤‪C‬ﺟـ .‬ ‫ﻭ‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا ﺳﺎﺳﻴّﺔ‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ ﺏ٢ – ٤‪C‬ﺟـ ﻣﻤﻴﺰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ، ﻭﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﻟﺘﺤﺪﻳﺪ ﻧﻮﻉ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ.‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫1‬ ‫أ ٥ﺱ٢ + ﺱ - ٧ =٠‬ ‫ﺟ - ﺱ٢ + ٥ﺱ - ٠٣ = ٠‬ ‫‪‬‬ ‫‪Root‬‬ ‫‪Discriminant‬‬ ‫:‬ ‫ب ﺱ٢ - ٢ﺱ + ١ = ٠‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫:‬ ‫أ ‪ ، ٥ = C‬ﺏ = ١ ، ﺟـ = -٧‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ = ﺏ٢ - ٤‪C‬ﺟـ‬ ‫         = ١ - ٤ * ٥ )-٧( = ١٤١‬ ‫  ‬ ‫‪ a‬ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ ﻣﻮﺟﺐ ﻟﺬﻟﻚ ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ.‬ ‫ب ‪ ، ١ = C‬ﺏ = -٢ ، ﺟـ = ١‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ = ﺏ٢ - ٤‪ C‬ﺟـ‬ ‫     ‬ ‫                = ٤ - ٤ * ١ * ١ = ٠‬ ‫‪ a‬ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﺻﻔﺮﺍ، ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺠﺬﺭﺍﻥ ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻭﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ.‬ ‫ً‬ ‫‪−¯ M‬‬ ‫ا دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬ ‫‪‬‬
‫¯‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ = ﺏ٢ - ‪C‬ﺟـ‬ ‫      = ٥٢ - ٤ * -١ * -٠٣ = -٥٩‬ ‫ﺟ ‪ ، ١- = C‬ﺏ = ٥ ، ﺟـ = - ٠٣‬ ‫        ‬ ‫‪ a‬ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ ﺳﺎﻟﺐ، ﺇﺫﻥ ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﻛﺒﺎﻥ.‬ ‫ﻣﺮ‬ ‫‪MM‬‬ ‫¯‪M‬‬ ‫)ﺏ٢ – ٤‪C‬ﺟـ( < ٠‬ ‫ﺏ٢ – ٤‪C‬ﺟـ = ٠‬ ‫¯‬ ‫ﺏ٢ – ٤‪C‬ﺟـ > ٠‬ ‫¯‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫1 ﺣﺪﺩ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﻭﺃﻧﻮﺍﻋﻬﺎ ﻟﻜﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻵﺗﻴﺔ :‬ ‫ِّ‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫ب ٢١ﺱ – ٤ﺱ = ٩‬ ‫أ ٦ﺱ = ٩١ ﺱ – ٥١‬ ‫د ﺱ)ﺱ + ٥( = ٢)ﺱ – ٧(‬ ‫ﺟ ﺱ )ﺱ – ٢( = ٥‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫2 ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ٢ﺱ٢ – ٣ ﺱ + ٢ = ٠ ﻛﺒﺎﻥ، ﺛﻢ ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﻘﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻫﺬﻳﻦ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ.‬ ‫ﻣﺮ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫‪= , −= , =C‬‬ ‫‪ a‬ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ = ﺏ٢ – ٤‪C‬ﺟـ‬ ‫¯‬ ‫‪a‬‬ ‫` ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ = )- ٣(٢ – ٤ * ٢ * ٢ = ٩ – ٦١ = - ٧‬ ‫¯‬ ‫`‬ ‫: ﺱ = - ﺏ ! ﺏ ٢-٤‪C‬ﺟـ‬ ‫٢‪C‬‬ ‫          ﺱ = - )-٣( ! -٧ = ٣ !‬ ‫:٣+‬ ‫٤‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫¯‬ ‫٢ *٢‬ ‫٧‬ ‫٤‬ ‫ﺕ،   ٣ -‬ ‫٤‬ ‫٧‬ ‫٤‬ ‫٤‬ ‫٧ ﺕ‬ ‫ﺕ‬
‫¯‬ ‫ﻛﺒﺔ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻣﺘﺮﺍﻓﻘﻴﻦ?‬ ‫ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ: ﻫﻞ ﺑﺎﻟﻀﺮﻭﺭﺓ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺟﺬﺭﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺮ‬ ‫ﻭﺿﺢ ﺑﻤﺜﺎﻝ ﻣﻦ ﻋﻨﺪﻙ.‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫2 ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ٧ﺱ٢ – ١١ ﺱ + ٥ = ٠ ﻛﺒﺎﻥ، ﺛﻢ ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﻘﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻫﺬﻳﻦ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ.‬ ‫ﻣﺮ‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫3 ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺟﺬﺭﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺱ٢ + ٢)ﻙ – ١( ﺱ + ٩ = ٠ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﻴﻦ، ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻗﻴﻢ ﻙ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ، ﺛﻢ ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺻﺤﺔ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ:‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫: ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻙ = ٤‬ ‫: ﺱ٢ + ٦ﺱ + ٩ = ٠‬ ‫¯‬ ‫ﻭﻳﻜﻮﻥ ﻟﻬﺎ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ ﻫﻤﺎ: -٣، -٣‬ ‫: ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻙ = -٢‬ ‫: ﺱ٢ - ٦ﺱ + ٩ = ٠‬ ‫¯‬ ‫ﻭﻳﻜﻮﻥ ﻟﻬﺎ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ ﻫﻤﺎ: ٣،٣‬ ‫ﺏ٢ – ٤‪C‬ﺟـ = ٠‬ ‫٤)ﻙ – ١(٢ – ٤ * ١ * ٩ = ٠‬ ‫٤ﻙ٢ – ٨ﻙ - ٢٣ = ٠‬ ‫ﻙ٢ – ٢ﻙ - ٨ = ٠‬ ‫)ﻙ – ٤()ﻙ + ٢( = ٠‬ ‫ﻙ = ٤ ﺃﻭ ﻙ = -٢‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫3 ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺟﺬﺭﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺱ٢ – ٢ﻙ ﺱ + ٧ﻙ – ٦ﺱ + ٩ = ٠ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﻴﻦ، ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻗﻴﻢ ﻙ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ، ﺛﻢ ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ.‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ ‫1 ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺼﺤﺔ: ﺗﻘﻮﻡ ﻣﻨﻈﻤﺔ ﺍﻟﺼﺤﺔ ﺍﻟﻌﺎﻟﻤﻴﺔ ﺑﺠﻬﻮﺩ ﻛﺒﻴﺮﺓ‬ ‫ﻟﻠﺘﻮﻋﻴﺔ ﺑﺄﺧﻄﺎﺭ ﺃﻣﺮﺍﺽ ﺍﻟﻜﺒﺪ ﺍﻟﻮﺑﺎﺋﻲ، ﻭﻓﻲ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﻗﺎﻣﺖ ﺑﻬﺎ‬ ‫ﻓﻰ ﺃﺣﺪ ﺍﻟﺒﻠﺪﺍﻥ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ ٠٠٠٠١ ﺷﺨﺺ ﻓﻰ ﺃﺣﺪ ﺍﻷﻋﻮﺍﻡ ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫ﻧﺘﺎﺋﺠﻬﺎ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﻴﻦ ﻓﻰ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ. ﻭﺗﻤﺜﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ:‬ ‫ﺹ = -٥,٢ ﻥ٢ - ٥,٧ ﻥ + ٥٤٩ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻤﺼﺎﺑﻴﻦ، ﺣﻴﺚ ﻥ ﺗﻤﺜﻞ ﻋﺪﺩ‬ ‫ﺍﻟﺴﻨﻮﺍﺕ ﺑﻌﺪ ﻋﺎﻡ ٥٠٠٢.‬ ‫ﺍﻟﻌﺎﻡ‬ ‫٥٠٠٢‬ ‫٥٤٩‬ ‫٠١٠٢‬ ‫٥٤٨‬ ‫٧٠٠٢‬ ‫٤١٠٢‬ ‫٠٢٠٢‬ ‫٠٢٩‬ ‫................................................................................‬ ‫................................................................................‬ ‫أ ﺍﺣﺴﺐ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻤﺼﺎﺑﻴﻦ ﻓﻰ ﻋﺎﻣﻰ ٤١٠٢، ٠٢٠٢‬ ‫ب ﺃﻭﺟﺪ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻘﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻗﻴﻤﺔ ﻥ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺹ = ٥٩٤‬ ‫ﺟ ﻣﺘﻰ ﻳﺼﺒﺢ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻤﺼﺎﺑﻴﻦ ﻣﺴﺎﻭ ﻳﺎ ﺻﻔﺮﺍ? ﻭﻫﻞ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﻮﻗﻊ ﻣﻌﻘﻮﻝ? ﻓﺴﺮ ﺇﺟﺎﺑﺘﻚ?‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫د ﺍﺑﺤﺚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ )ﺍﻷﻧﺘﺮﻧﺖ( ﺃﺳﺒﺎﺏ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺮﺽ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻟﻮﻗﺎﻳﺔ ﻣﻨﻪ ﻭﻃﺮﻕ ﻋﻼﺟﻪ.‬ ‫ﻭ‬ ‫‪−¯ M‬‬
‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺟﺬرى ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ وﻣﻌﺎﻣﻼت ﺣﺪودﻫﺎ‬ ‫‪The Relation Between Two Roots of the Second Degree‬‬ ‫‪Equation and the Coefficients of its Terms‬‬ ‫1-4‬ ‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬ ‫و‬ ‫ﻓﻜﺮ‬ ‫‪‬‬ ‫¯‬ ‫ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ٤ﺱ٢ – ٨ﺱ + ٣ = ٠ ﻫﻤﺎ ١  ،   ٣‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫١ + ٣ = ١+٣ = ٢‬ ‫٢ ٢ ٢‬ ‫١*٣=٣‬ ‫¯‬ ‫٢ ٢ ٤‬ ‫‪M‬‬ ‫‪‬‬ ‫¯‬ ‫‪‬‬ ‫¯‬ ‫ﻧﺎﻗﺶ‬ ‫¯‬ ‫ﻫﻞ ﺗﻮﺟﺪ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻭﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﺣﺪﻭﺩﻫﺎ?‬ ‫َ‬ ‫ﻫﻞ ﺗﻮﺟﺪ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻭﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﺣﺪﻭﺩﻫﺎ?‬ ‫َ‬ ‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺠﺬرﻳﻦ وﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺑﻬﻤﺎ‬ ‫‪Sum and product of two roots‬‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا ﺳﺎﺳﻴّﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫ﺟﺬﺭﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ‪ C‬ﺱ٢ + ﺏ ﺱ + ﺟـ = ٠ ﻫﻤﺎ:‬ ‫-ﺏ+‬ ‫‪Sum of Two Roots‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Product of Two Roots‬‬ ‫٢‬ ‫ﺏ -٤‪C‬ﺟـ ،‬ ‫٢‪C‬‬ ‫ ﺏ - ﺏ ٢-٤‪C‬ﺟـ‬‫٢‪C‬‬ ‫ﻭﺑﺎﻋﺘﺒﺎﺭ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻷﻭﻝ = ﻝ، ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ = ﻡ ﻓﺈﻥ:‬ ‫ﻝ+ﻡ=‬ ‫-ﺏ‬ ‫)ﺃﺛﺒﺖ ﺫﻟﻚ(‬ ‫‪C‬‬ ‫ﻝﻡ=‬ ‫ﺟـ‬ ‫‪C‬‬ ‫)ﺃﺛﺒﺖ ﺫﻟﻚ(‬ ‫ﺗﻌ ﻴﺮ ﺷﻔﻬﻰ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ‪ C‬ﺱ٢ + ﺏ ﺱ + ﺟـ = ٠‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻝ + ﻡ ، ﻝ ﻡ ﻓﻰ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ:‬ ‫ﺟ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ = C‬ﺟـ‬ ‫ب ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺏ = ‪C‬‬ ‫أ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪١ = C‬‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫ا دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬ ‫1 ﺩﻭﻥ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻭﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ:‬ ‫٢ﺱ٢ + ٥ ﺱ – ٢١ = ٠‬ ‫‪‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫‪ ، ٢ = C‬ﺏ = ٥ ، ﺟـ = - ٢١‬ ‫       =‬ ‫-ﺏ‬ ‫¯‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫¯‬ ‫= -٥ = - ٥‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫‪C‬‬ ‫    = ﺟـ       = -٢١‬ ‫٢  = -٦‬ ‫‪C‬‬
‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫1 ﺩﻭﻥ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻭﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺟﺬﺭﻯ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ :‬ ‫ﺟ )٢ﺱ – ٣( )ﺱ + ٢( = ٠‬ ‫ب ٣ ﺱ٢ = ٣٢ ﺱ – ٠٣‬ ‫أ ٢ ﺱ٢ + ﺱ – ٦ = ٠‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫2 ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ٢ ﺱ٢ - ٣ ﺱ + ﻙ = ٠ ﻳﺴﺎﻭﻯ ١ ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻙ، ﺛﻢ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻛﺒﺔ.‬ ‫ﺍﻟﻤﺮ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫¯‬ ‫‪, −= , =C‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫:‬ ‫ﺟـ‬ ‫‪C‬‬ ‫       ` ﻙ = ١       ` ﻙ    = ٢‬ ‫٢‬ ‫ﺱ = - ﺏ ! ﺏ ٢-٤‪C‬ﺟـ‬ ‫٢‪C‬‬ ‫    = ٣ ! ٩ - ٦١ = ٣ ! -٧ = ٣ ! ٧ ﺕ‬ ‫٤‬ ‫٧‬ ‫٧‬ ‫٣‬ ‫٣‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻰ } ٤ + ٤ ﺕ ،   ٤ - ٤‬ ‫٤‬ ‫٤‬ ‫ﺕ{‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫2 ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ٣ﺱ٢ + ٠١ﺱ – ﺟـ = ٠ ﻫﻮ -٨ ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺟـ، ﺛﻢ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ.‬ ‫٣‬ ‫3 ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ٢ ﺱ٢ + ﺏ ﺱ - ٥ = ٠ ﻫﻮ - ٣ ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺏ، ﺛﻢ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ.‬ ‫٢‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫3 ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ )١ + ﺕ( ﻫﻮ ﺃﺣﺪ ﺟﺬﻭﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺱ٢ - ٢ ﺱ + ‪ = C‬ﺣﻴﺚ ‪ * I∋ C‬ﻓﺄﻭﺟﺪ:‬ ‫أ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻵﺧﺮ‬ ‫ب ﻗﻴﻤﺔ ‪C‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫‪=C‬‬ ‫=‪C‬‬ ‫, =− ,‬ ‫أ ‪ + ١ a‬ﺕ  ﻫﻮ ﺃﺣﺪ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫   ‬ ‫` ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻵﺧﺮ = ١ - ﺕ‬ ‫¯‬ ‫ب ‪ a‬ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ = ‪C‬‬ ‫` ) ١ + ﺕ ( ) ١ - ﺕ( = ‪C‬‬ ‫` ١+١=‪C‬‬ ‫` ‪٢ =  C‬‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫4 ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ )٢ + ﺕ( ﻫﻮ ﺃﺣﺪ ﺟﺬﻭﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺱ٢ -٤ ﺱ + ﺏ = ٠ ﻓﺄﻭﺟﺪ‬ ‫ب ﻗﻴﻤﺔ ﺏ‬ ‫أ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻵﺧﺮ.‬ ‫‪−¯ M‬‬ ‫=‬
‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫ﺗﻜﻮﻳﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻣﺘﻰ ُﻋﻠﻢ ﺟﺬراﻫﺎ‬ ‫‪Forming the quadratic equation whose roots are known‬‬ ‫,‬ ‫¯‬ ‫: ‪C‬ﺱ٢ + ﺏ ﺱ + ﺟـ = ٠، ‪٠ ! C‬‬ ‫¯‬ ‫‪¯I‬‬ ‫ﺱ٢ - )‬ ‫-ﺏ‬ ‫‪C‬‬ ‫` ﺱ٢ +‬ ‫‪:C‬‬ ‫(ﺱ+‬ ‫ﺟـ‬ ‫‪C‬‬ ‫=٠‬ ‫‪ a‬ﻝ، ﻡ ﺟﺬﺭﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ،  ﻝ + ﻡ = -‬ ‫¯‬ ‫`‬ ‫,‬ ‫:‬ ‫ﺏ‬ ‫‪C‬‬ ‫ﺏ‬ ‫‪C‬‬ ‫ﺱ+‬ ‫ ، ﻝ ﻡ =‬ ‫ﺟـ‬ ‫‪C‬‬ ‫=٠‬ ‫ﺟـ‬ ‫‪C‬‬ ‫ﺱ٢ – )ﻝ + ﻡ( ﺱ + ﻝ ﻡ = ٠‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫4 ﻛﻮﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺟﺬﺭﺍﻫﺎ ٤، -٣‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫,‬ ‫‪ a‬ﻝ + ﻡ = ٤ + )- ٣( = ١، ﻝ ﻡ = ٤ )- ٣( = - ٢١،  ‪a‬‬ ‫ﺱ٢ – ﺱ – ٢١ = ٠‬ ‫:‬ ‫`‬ ‫¯‬ ‫: ﺱ٢ – )ﻝ + ﻡ( ﺱ + ﻝ ﻡ = ٠‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫5 ﻛﻮﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺟﺬﺭﺍﻫﺎ:   -٢+٢ﺕ  ،   -٢-٤ﺕ‬ ‫ِّ‬ ‫١+ﺕ‬ ‫٢-ﺕ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ﺟﺬﺭﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻤﺎ ﻝ، ﻡ‬ ‫ﻝ     = -٢+٢ﺕ * ١ - ﺕ = ٤ ﺕ  =‬ ‫٢‬ ‫١-ﺕ‬ ‫١+ﺕ‬ ‫ﻡ      = -٢-٤ﺕ * ٢ +ﺕ = - ٠١ﺕ = −‬ ‫٥‬ ‫٢ +ﺕ‬ ‫٢-ﺕ‬ ‫ﻝ + ﻡ = ٢ ﺕ - ٢ ﺕ = ٠‬ ‫ ، ﻝ ﻡ = ٢ ﺕ * - ٢ ﺕ = - ٤ﺕ٢ = ٤‬ ‫‪ a‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺟﺬﺭﺍﻫﺎ ﻝ ، ﻡ :   ﺱ٢ + ) ﻝ + ﻡ ( ﺱ + ﻝ ﻡ = ٠‬ ‫` ﺱ٢+٤=٠‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫5 ﻛﻮﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﺟﺬﺭﻳﻬﺎ:‬ ‫ِّ‬ ‫ب‬ ‫ ٩ ﺕ ، ٩ ﺕ‬‫أ ٣ ، -٥‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫¯‬ ‫ﺟ‬ ‫٣  ،  ٣ + ٣ﺕ‬ ‫ﺕ‬ ‫١-ﺕ‬
‫ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ: ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ ﻳﻤﺜﻞ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ ﻣﻨﺤﻨﻴﺎﺕ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻰ ﻳﻤﺮ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ )٠، -٢( ، )٠، ٢(.‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﻛﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﻣﻦ ﻫﺬه ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ‬ ‫‪iôNCG á«©«HôJ ádOÉ©e á«eƒ∏©ªH á«©«HôJ ádOÉ©e øjƒμJ‬‬ ‫−‬ ‫‪Forming a quadratic equation from the roots of another equation‬‬ ‫−‬ ‫− −‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫6 ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻝ، ﻡ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ٢ ﺱ٢ – ٣ ﺱ – ١ = ٠ ﻓﻜﻮﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻰ ﺟﺬﺭﺍﻫﺎ ﻝ٢، ﻡ٢.‬ ‫−‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫  ‪ ،٢ = C‬ﺏ = - ٣، ﺟـ = -١: ﻝ + ﻡ =- -٣ = ٣ ، ﻝ ﻡ = - ١‬ ‫٢‬ ‫٢ ٢‬ ‫=− ١‬ ‫٢‬ ‫ﻝ٢ + ﻡ٢ = )ﻝ + ﻡ( – ٢ ﻝ ﻡ‬ ‫+ = ٣,‬ ‫‪M‬‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫` ﻝ٢ + ﻡ٢ = ) ﻝ + ﻡ (٢ - ٢ ﻝ ﻡ = ) ٣ (٢ – ٢ * )- ١ (‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٩ ٤ ٣١‬ ‫٩‬ ‫  ‬ ‫= ٤ +١= ٤ + ٤ = ٤‬ ‫‪ a‬ﻝ٢ﻡ٢     = )ﻝ ﻡ(‬ ‫ﻻﺣﻆ أن‬ ‫٢‬ ‫+ =‬ ‫` ﻝ٢ﻡ٢     = )- ١ (٢ = ١‬ ‫٤‬ ‫٢‬ ‫+‬ ‫−‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻓﻰ ﺻﻴﻐﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ: ﺱ٢ – )ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ( ﺱ + ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺑﻬﻤﺎ = ٠‬ ‫¯ ‪¯I‬‬ ‫ﺱ٢ - ٣١ ﺱ + ١ = ٠‬ ‫٤‬ ‫٤‬ ‫¯‬ ‫`‬ ‫‪M‬‬ ‫: ٤ ﺱ٢ – ٣١ ﺱ + ٤ = ٠‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫6 ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ٢ ﺱ٢ – ٣ ﺱ – ١ = ٠ ﻛﻮﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺟﺬﺭﺍ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﻛﺎﻵﺗﻰ:‬ ‫ِّ‬ ‫ﻝ ﻡ‬ ‫أ ١ ١‬ ‫ب‬ ‫ﺟ ﻝ+ﻡ،ﻝﻡ‬ ‫،‬ ‫،‬ ‫ﻝ‬ ‫ﻡ‬ ‫ﻡ‬ ‫ﻝ‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ ‫1 ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻛﻮﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺟﺬﺭﺍﻫﺎ:‬ ‫أ ٣،٤‬ ‫ب ٥ ٣ ، -٢ ٣‬ ‫٤ ٣‬ ‫ﺟ ٣+ ٢ ﺕ،٣- ٢ ﺕ‬ ‫2 ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻝ، ﻡ ﻫﻤﺎ ﺟﺬﺭﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺱ٢ + ٣ﺱ -٥ = ٠ ﻓﻜﻮﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺟﺬﺭﺍﻫﺎ ﻝ٢، ﻡ٢.‬ ‫ِّ‬ ‫‪−¯ M‬‬
‫إﺷﺎرة اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫1-5‬ ‫‪Sign of a Function‬‬ ‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬ ‫ﻓﻜﺮ‬ ‫:‬ ‫‪‬‬ ‫و‬ ‫ﻧﺎﻗﺶ‬ ‫ﺳﺒﻖ ﺃﻥ ﺩﺭﺳﺖ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ، ﻭﺗﻌﺮﻓﺖ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻛﻞ ﺩﺍﻟﺔ. ﻓﻬﻞ ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺑﺤﺚ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻫﺬه ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ?‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺼﻮﺩ ﺑﺒﺤﺚ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻫﻮ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻗﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺱ )ﻣﺠﺎﻝ ﺱ( ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻜﻮﻥ‬ ‫ﻋﻨﺪﻫﺎ ﻗﻴﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻮ ﺍﻵﺗﻰ:‬ ‫, ﺃﻯ‬ ‫ﺩ)ﺱ( < ٠‬ ‫ﺩ)ﺱ( > ٠‬ ‫, ﺃﻯ‬ ‫¯ ﺩ)ﺱ( = ٠‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا ﺳﺎﺳﻴّﺔ‬ ‫‪áàHÉãdG ádGódG IQÉ°TEG :’hCG‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Sign of a function‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Constant Function‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪Linear Function‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪First: The sign of the Constant Function‬‬ ‫ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﺑﺘﺔ ﺩ ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( = ﺟـ )ﺟـ ! ٠( ﻫﻰ ﻧﻔﺲ ﺇﺷﺎﺭﺓﺟـ ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ‪.I‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ ﻳﻮﺿﺢ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ.‬ ‫ﺟـ < ٠‬ ‫¯‬ ‫‪Quadratic Function‬‬ ‫ﺟـ > ٠‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ‪I‬‬ ‫ا دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ‪I‬‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫1 ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ:‬ ‫أ ﺩ)ﺱ( = ٥‬ ‫‪‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫أ ‪ a‬ﺩ)ﺱ( < ٠‬ ‫ب ‪ a‬ﺩ)ﺱ( > ٠‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫¯‬ ‫ب ﺩ)ﺱ( = -٧‬ ‫` ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ‪I‬‬ ‫` ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ‪I‬‬
‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫1 ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ:‬ ‫أ ﺩ)ﺱ( = - ٢‬ ‫٣‬ ‫ب ﺩ)ﺱ( = ٥‬ ‫٢‬ ‫‪(á«£îdG ádGódG) ≈dhC’G áLQódG ádGO IQÉ°TEG :Ék«fÉK‬‬ ‫ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﻫﻰ ﺩ)ﺱ( = ﺏ ﺱ + ﺟـ ، ﺏ ! ٠‬ ‫ﻭﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ ﻳﻮﺿﺢ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ.‬ ‫‪Second: Sign of the Linear Function‬‬ ‫ﺟـ‬ ‫ﺱ = - ﺏ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺩ)ﺱ( = ٠‬ ‫،‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫<‬ ‫−‬ ‫٠‬ ‫−‬ ‫>‬ ‫−‬ ‫−∞‬ ‫∞‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫2 ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( = ﺱ – ٢ ﻣﻊ ﺗﻮﺿﻴﺢ ﺫﻟﻚ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ:‬ ‫ًّ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﺩ)ﺱ( = ﺱ – ٢‬ ‫ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ:‬ ‫ﺭﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ:‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺱ = ٢‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺩ)ﺱ( = ٠‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ٠‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺩ)ﺱ( = - ٢‬ ‫:‬ ‫¯‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ < ٢‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ)ﺱ( = ٠ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ٢‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ > ٢‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫2 ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ)ﺱ( = - ٢ﺱ – ٤ ﻣﻊ ﺗﻮﺿﻴﺢ ﺫﻟﻚ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ.‬ ‫ًّ‬ ‫‪−¯ M‬‬ ‫− −‬ ‫−‬
‫‪á«©«HôàdG ádGódG IQÉ°TEG :ÉãdÉK‬‬ ‫.‪Third: Sign of the Quadratic Function‬‬ ‫ﻟﺘﻌﻴﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺩ، ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( = ‪ C‬ﺱ٢ + ﺏ ﺱ + ﺟـ ، ‪٠ ! C‬‬ ‫:‬ ‫+ =‬ ‫‪+٢ C‬‬ ‫:ﺏ٢ – ٤‪ C‬ﺟـ < ٠ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻝ، ﻡ، ﻭﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﻝ > ﻡ ﺗﻜﻮﻥ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻛﻤﺎ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ:‬ ‫٠‬ ‫∞‬ ‫٠‬ ‫−∞‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫3 ﻣﺜﻞ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ ﺩ، ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( = ﺱ٢ – ٢ ﺱ – ٣ ﺛﻢ ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ.‬ ‫ًّ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫: ﺱ٢ – ٢ ﺱ – ٣ = ٠‬ ‫        )ﺱ - ٣( )ﺱ + ١( = ٠‬ ‫: -١، ٣‬ ‫:‬ ‫¯‬ ‫ﺩ)ﺱ( < ٠ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ ∋ ﺡ – ]- ١، ٣[‬ ‫ﺩ)ﺱ( > ٠ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ ∋ [ – ١، ٣ ]‬ ‫ﺩ)ﺱ( = ٠ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ ∋ }- ١، ٣{‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫3 ﻣﺜﻞ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ ﺩ، ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( = ﺱ٢ – ﺱ + ٦ ﺛﻢ ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ.‬ ‫ًّ‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫¯‬ ‫− − −‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬
‫: ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ: ﺏ٢ – ٤‪ C‬ﺟـ > ٠ ﻓﺈﻧﻪ ﻻﺗﻮﺟﺪ ﺟﺬﻭﺭ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ، ﻭﺗﻜﻮﻥ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﻣﺜﻞ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺱ٢، ﻭﺍﻷﺷﻜﺎﻝ‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻮﺿﺢ ﺫﻟﻚ.‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ: ‪٠ > C‬‬ ‫ﺩ)ﺱ( > ٠ ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ‪I‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ: ‪٠ < C‬‬ ‫ﺩ)ﺱ( < ٠ ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ‪I‬‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫4 ﻣﺜﻞ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ ﺩ ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( = ﺱ٢ – ٤ﺱ + ٥ ﺛﻢ ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ.‬ ‫ًّ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ )ﺏ٢– ٤ ‪ C‬ﺟـ( = )-٤(٢ – ٤ * ١* ٥‬ ‫  = ٦١ – ٠٢ = - ٤ > ٠‬ ‫ﻟﺬﻟﻚ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺱ٢ – ٤ﺱ + ٥ = ٠ ﻟﻴﺲ ﻟﻬﺎ ﺟﺬﻭﺭ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ‪) I‬ﻷﻥ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺱ٢ < ٠(‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫4 ﻣﺜﻞ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ ﺩ، ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( = – ﺱ٢ – ٢ﺱ – ٤ ﺛﻢ ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ.‬ ‫ًّ‬ ‫:ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ: ﺏ٢ – ٤‪ C‬ﺟـ = ٠ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ، ﻭﻟﻴﻜﻦ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﻝ، ﻭﺗﻜﻮﻥ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﻛﺎﻵﺗﻰ:‬ ‫ﺩ)ﺱ( = ٠ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ﻝ‬ ‫ﻣﺜﻞ ﺇﺷﺎﺭﺓ ‪ C‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ ! ﻝ‬ ‫ﻭﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﺗﻮﺿﺢ ﺫﻟﻚ.‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ: ‪٠ > C‬‬ ‫ﺩ)ﺱ( > ٠ ﻟﻜﻞ ﺱ ! ﻝ،‬ ‫ﺩ)ﺱ( = ٠ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ﻝ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ: ‪٠ < C‬‬ ‫ﺩ)ﺱ( < ٠ ﻟﻜﻞ ﺱ ! ﻝ،‬ ‫ﺩ)ﺱ( = ٠ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ﻝ‬ ‫‪−¯ M‬‬
‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫5 ﻣﺜﻞ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ ﺩ ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( =٤ ﺱ٢ – ٤ﺱ + ١ ، ﺛﻢ ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ.‬ ‫ًّ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ )ﺏ٢– ٤‪ C‬ﺟـ( = )-٤(٢ – ٤ * ٤ * ١‬ ‫          = ٦١ – ٦١ = ٠‬ ‫ﻟﺬﻟﻚ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ٤ ﺱ٢ – ٤ﺱ + ١ = ٠ ﻟﻬﺎ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ.‬ ‫: )٢ﺱ – ١(٢ = ٠‬ ‫:  ٢ﺱ – ١ = ٠ ﺗﻜﻮﻥ ﺱ = ١‬ ‫٢‬ ‫ﺩ)ﺱ( < ٠ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ ! ١ ،‬ ‫٢‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫ﺩ)ﺱ( = ٠ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ١‬ ‫٢‬ ‫5 ﻣﺜﻞ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ ﺩ، ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( = – ٤ ﺱ٢ – ٢١ﺱ – ٩ ﺛﻢ ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ.‬ ‫ًّ‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫6 ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻧﻪ ﻟﺠﻤﻴﻊ ﻗﻴﻢ ﺱ ∋ ‪ I‬ﻳﻜﻮﻥ ﺟﺬﺭﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  ٢ﺱ٢ - ﻙ ﺱ + ﻙ -٣ = ﺻﻔﺮ   ﺣﻘﻴﻘﻴﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ )ﺏ٢ - ٤‪C‬ﺟـ( = )-ﻙ(٢ - ٤ * ٢ * )ﻙ - ٣( = ﻙ٢ - ٨ﻙ +٤٢‬ ‫ﺹ = ﻙ٢ - ٨ﻙ +٤٢‬ ‫ ﻙ٢ - ٨ﻙ + ٤٢ = ٠ :‬ ‫)-٨(٢ - ٤ * ١ * ٤٢ = ٤٦ - ٦٩ = -٢٣ > ٠‬ ‫ﻟﻴﺲ ﻟﻬﺎ ﺟﺬﻭﺭ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫ﻙ٢ - ٨ﻙ +٤٢ = ٠‬ ‫ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ‪) I‬ﻟﻤﺎﺫﺍ(?‬ ‫ﺹ = ﻙ٢ - ٨ﻙ +٤٢‬ ‫ﻣﻮﺟﺐ ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ‪I‬‬ ‫٢ﺱ٢ - ﻙ ﺱ + ﻙ -٣ = ﺻﻔﺮ‬ ‫ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ‪I‬‬ ‫٢ﺱ٢ - ﻙ ﺱ + ﻙ - ٣ = ٠‬ ‫`‬ ‫`‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ ‫1 ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻛﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ:‬ ‫أ ﺩ)ﺱ( = ٢ﺱ - ٣‬ ‫د ﺩ)ﺱ( = ١ - ﺱ‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫ب ﺩ)ﺱ( = ٤ - ﺱ‬ ‫ﻫ ﺩ)ﺱ( = ٤ + ٤ﺱ + ﺱ‬ ‫٢‬ ‫¯‬ ‫٢‬ ‫ﺟ ﺩ)ﺱ( = ﺱ٢ - ٤‬ ‫و ﺩ)ﺱ( = ٣ﺱ - ٢ﺱ٢ + ٤‬
‫ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎت اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫1-6‬ ‫‪Quadratic Inequalities‬‬ ‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬ ‫‪:óMGh ô«¨àe ≈a á«©«HôàdG äÉæjÉÑàªdG‬‬ ‫‪Quadratic Inequalities in one variable‬‬ ‫ﻓﻜﺮ‬ ‫و‬ ‫ﻧﺎﻗﺶ‬ ‫ﺳﺒﻖ ﺃﻥ ﺩﺭﺳﺖ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ، ﻭﻋﻠﻤﺖ ﺃﻥ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻣﻌﻨﺎه ﺇﻳﺠﺎﺩ‬ ‫ﺟﻤﻴﻊ ﻗﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺤﻘﻖ ﻫﺬه ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ، ﻭﺗﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﻓﺘﺮﺓ، ﻓﻬﻞ ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺣﻞ‬ ‫ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ?‬ ‫¯ :‬ ‫ﺱ٢ – ﺱ – ٢ < ٠ ﻫﻰ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ‬ ‫ﺑﻴﻨﻤﺎ ﺩ)ﺱ( = ﺱ٢ – ﺱ – ٢‬ ‫ﻫﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﻬﺬه ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ.‬ ‫:‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ‬ ‫ﺱ٢ - ﺱ -٢ < ٠ ﻓﻰ ‪I‬‬ ‫ﻫﻰ [ -∞ ، -١] ∪ [ ٢ ، ∞]‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ‬ ‫ﺱ٢ - ﺱ - ٢ > ٠ ﻓﻰ ‪I‬‬ ‫ﻫﻤﺎ [-١، ٢]‬ ‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫‪‬‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا ﺳﺎﺳﻴّﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫‪Inequality‬‬ ‫− − − − − −‬ ‫ا دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬ ‫ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫1 ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ: ﺱ٢ – ٥ﺱ – ٦ < ٠‬ ‫‪−¯ M‬‬ ‫‪‬‬
‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻟﺤﻞ ﻫﺬه ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻧﺘﺒﻊ ﺍﻟﺨﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:‬ ‫: ﻧﻜﺘﺐ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻭﺫﻟﻚ ﻛﺎﻵﺗﻲ:‬ ‫  ﺩ)ﺱ( = ﺱ٢ - ٥ﺱ - ٦‬ ‫‪M‬‬ ‫: ﻧﺪﺭﺱ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( = ﺱ٢ - ٥ﺱ - ٦ ، ﻭﻧﻮﺿﺤﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺑﻮﺿﻊ ﺩ)ﺱ( = ٠‬ ‫‪M‬‬ ‫  ﺱ٢ - ٥ﺱ - ٦ = ٠         ` )ﺱ - ٦()ﺱ + ١( = ٠‬ ‫      ﺱ = ٦ ﺃ، ﺱ = -١‬ ‫¯‬ ‫+++++‬ ‫∞‬ ‫¯‬ ‫−−−−−−‬ ‫−‬ ‫¯‬ ‫+++++‬ ‫−∞‬ ‫: ﺗﺤﺪﺩ ﺍﻟﻔﺘﺮﺍﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺤﻘﻖ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺱ٢ - ٥ﺱ - ٦ < ٠‬ ‫‪M‬‬ ‫∞‬ ‫−‬ ‫−∞‬ ‫ﻓﻴﻜﻮﻥ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻫﻰ: [-∞، -١] ∪ [٦، ∞]‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫1 ﺣﻞ ﻛﻼ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ:‬ ‫ً‬ ‫أ ﺱ٢ + ٢ﺱ – ٨ < ٠‬ ‫ب ﺱ٢ + ﺱ + ٢١ < ٠‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫2 ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ: )ﺱ + ٣(٢ ‪)٣ – ١٠H‬ﺱ + ٣(.‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫★‬ ‫:‬ ‫¯ ‪M‬‬ ‫:‬ ‫‪) a‬ﺱ + ٣(٢ ‪)٣ – ١٠ H‬ﺱ + ٣(‬ ‫` ﺱ٢ + ٦ﺱ + ٩ ‪٣ – ١٠ H‬ﺱ – ٩‬ ‫` ﺱ٢ + ٩ﺱ + ٨ ‪٠ H‬‬ ‫ﺱ٢ + ٩ﺱ + ٨ = ٠‬ ‫)ﺱ + ٨()ﺱ + ١( = ٠   ‬ ‫★ ﻭﻳﻮﺿﺢ ﺧﻂ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ)ﺱ( = ﺱ٢ + ٩ﺱ + ٨‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫− − − − − −‬ ‫ﻭﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ﻓﺈﻥ: ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻫﻰ : ]- ٨، - ١[‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫¯‬ ‫: }- ٨، - ١{‬ ‫¯‬ ‫− − − −‬ ‫−‬
‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫2 ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ:‬ ‫أ ٥ﺱ٢ + ٢١ﺱ ‪٤٤ G‬‬ ‫ب )ﺱ + ٣(٢ + ٣)ﺱ + ٣( – ٠١ ‪٠ H‬‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ ‫1 ﻣﺎ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ ﻭﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ?‬ ‫2 ﻣﺎ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﺤﺚ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺑﺤﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ?‬ ‫3 ﺍﻛﺘﺸﻒ ﺍﻟﺨﻄﺄ: ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ )ﺱ + ١(٢> ٤)٢ﺱ – ١(‬ ‫¯‬ ‫٢‬ ‫‪) a‬ﺱ + ١(٢ > ٤)٢ﺱ – ١(‬ ‫` ﺱ + ١ >٢)٢ﺱ – ١( ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺄﺧﺬ ﺍﻟﺠﺬﺭ‬ ‫ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻰ ﻟﻠﻄﺮﻓﻴﻦ‬ ‫` -٤ﺱ + ﺱ + ٢ + ١ > ٠‬ ‫`  -٣ ﺱ + ٣ > ٠‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻫﻰ:‬ ‫ -٣ﺱ + ٣ = ٠‬ ‫ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻫﻰ }١{‬ ‫∞‬ ‫- --‬ ‫+ ++‬ ‫٢‬ ‫‪) a‬ﺱ + ١(٢ > ٤)٢ﺱ – ١(‬ ‫` ﺱ٢+ ٢ﺱ + ١ > ٦١ﺱ٢ – ٦١ﺱ + ٤‬ ‫` ٥١ﺱ٢ – ٨١ﺱ + ٣ < ٠‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻫﻰ :‬ ‫` ٣)٥ﺱ – ١()ﺱ – ١( = ٠‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻫﻰ }١، ١ {‬ ‫٥‬ ‫٢‬ ‫∞‬ ‫+ + + -- - - - + + +‬ ‫١‬ ‫٥‬ ‫−∞‬ ‫★ ﺑﺤﺚ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﺣﻴﺚ‬ ‫ﺩ)ﺱ( = ٥١ ﺱ٢ - ٨١ ﺱ + ٣‬ ‫:‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻫﻰ ﺡ - ] ١ ، ١[‬ ‫٥‬ ‫−∞‬ ‫★ ﺑﺤﺚ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﺣﻴﺚ‬ ‫ﺩ)ﺱ( = -٣ ﺱ + ٣‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻫﻰ [١ ، ∞]‬ ‫4 ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ: ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ  )ﺱ + ٣(٢ > ٠١ - ٣ )ﺱ + ٣(‬ ‫‪−¯ M‬‬
‫ﻣﻠﺨﺺ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‬ ‫1 ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ: ‪C‬ﺱ٢+ﺏ ﺱ +ﺟـ = ٠ ﺣﻴﺚ ‪،C‬ﺏ،ﺟـ ∋ ﺡ، ‪٠ ! C‬‬ ‫‪¯M‬‬ ‫¯‬ ‫2 ﺑﺤﺚ ﻧﻮع ﺟﺬرى اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ )ﺏ٢ – ٤‪C‬ﺟـ( ﺑﻤﻤﻴﺰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﺒﻴﻦ ﻧﻮﻉ ﺟﺬﻭﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻭﻋﺪﺩ ﺣﻠﻮﻟﻬﺎ ﻛﺎﻵﺗﻰ :‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ.‬ ‫★ )ﺏ٢ – ٤‪C‬ﺟـ( < ٠‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺬﺭ ﺣﻘﻴﻘﻰ ﻭﺍﺣﺪ .‬ ‫★ ﺏ٢ – ٤‪C‬ﺟـ = ٠‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﻛﺒﺎﻥ.‬ ‫ﻣﺮ‬ ‫★ ﺏ٢ – ٤‪C‬ﺟـ > ٠‬ ‫3 اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ:‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻛﺐ ﻫﻮ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ‪ + C‬ﺏ ﺕ، ﺣﻴﺚ ‪ ،C‬ﺏ ﻋﺪﺩﺍﻥ ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ، ﺏ ﺕ ﻫﻮﺍﻟﺠﺰﺀ‬ ‫ﺍﻟﻤﺮ‬ ‫ﺍﻟﺘﺨﻴﻠﻰ، ﻭﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ ﻳﺒﻴﻦ ﻗﻮﻯ ﺕ ﻟﻸﺳﺲ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﺒﺔ:‬ ‫ﺕ‬ ‫ﺕ‬ ‫٤ﻥ + ١‬ ‫ﺕ‬ ‫٤ﻥ + ٢‬ ‫-١‬ ‫ﺕ‬ ‫٤ﻥ + ٣‬ ‫-ﺕ‬ ‫ﺕ‬ ‫١‬ ‫: ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ : ‪ + C‬ﺏ ﺕ = ﺟـ + ‪ E‬ﺕ ﻓﺈﻥ ‪ = C‬ﺟـ، ﺏ = ‪E‬‬ ‫¯‬ ‫٤ﻥ‬ ‫: ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻹﺑﺪﺍﻝ ﻭﺍﻟﺘﺠﻤﻴﻊ ﻭﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻋﻨﺪ ﺟﻤﻊ ﺃﻭ ﺿﺮﺏ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻛﺒﺔ،‬ ‫ﺍﻟﻤﺮ‬ ‫ﺍﻟﻤﺮ‬ ‫ﻭﻋﻨﺪ ﺟﻤﻊ ﺃﻭ ﻃﺮﺡ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻛﺒﺔ ﺗﺠﻤﻊ ﺍﻷﺟﺰﺍﺀ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻣﻌﺎ ﻭﺗﺠﻤﻊ ﺍﻷﺟﺰﺍﺀ ﺍﻟﺘﺨﻴﻠﻴﺔ ﻣﻌﺎ.‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫¯ : ﻳﺴﻤﻰ ﺍﻟﻌﺪﺩﺍﻥ ‪ + C‬ﺏ ﺕ ،  ‪ – C‬ﺏ ﺕ ﺑﺎﻟﻌﺪﺩﻳﻦ ﺍﻟﻤﺘﺮﺍﻓﻘﻴﻦ‬ ‫ﺣﻴﺚ ﻧﺎﺗﺞ ﺟﻤﻌﻬﻤﺎ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻰ، ﻭﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺑﻬﻤﺎ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻰ ﺃﻳﻀﺎ.‬ ‫ً‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫¯‬
‫ﻣﻠﺨﺺ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‬ ‫4 ﻣﺠﻤﻮع وﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﺟﺬرى اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ:‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺟﺬﺭﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ C‬ﺱ٢ + ﺏ ﺱ + ﺟـ = ٠ﻫﻤﺎ ﻝ، ﻡ ﻓﺈﻥ: ﻝ + ﻡ =‬ ‫-ﺏ‬ ‫‪C‬‬ ‫ ، ﻝ ﻡ =‬ ‫ﺟـ‬ ‫‪C‬‬ ‫5 ﺗﻜﻮﻳﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻣﺘﻰ ﻋﻠﻢ ﺟﺬراﻫﺎ:‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻝ، ﻡ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ، ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺗﻜﻮﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻵﺗﻴﺔ:‬ ‫★ )ﺱ – ﻝ( )ﺱ – ﻡ( = ٠‬ ‫ﺟـ‬ ‫ﺏ‬ ‫★ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻝ + ﻡ = -  ، ﻝ ﻡ = ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻰ ﺱ٢– )ﻝ + ﻡ( ﺱ + ﻝ ﻡ = ٠‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫6 ﺑﺤﺚ إﺷﺎرة اﻟﺪاﻟﺔ:‬ ‫★ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﺑﺘﺔ ﺩ، ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( = ﺟـ )ﺟـ ! ٠( ﻫﻰ ﻧﻔﺲ ﺇﺷﺎﺭﺓﺟـ ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ‪.I‬‬ ‫★ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﺩ ﻫﻰ ﺩ)ﺱ( =ﺏ ﺱ+ﺟـ ، ﺏ ! ٠‬ ‫ﺟـ‬ ‫ﻓﺘﻜﻮﻥ ﺱ = - ﺏ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺩ)ﺱ( = ٠ ﻭﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ ﻳﻤﺜﻞ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ:‬ ‫٠‬ ‫<‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫>‬ ‫−‬ ‫−∞‬ ‫∞‬ ‫★ ﻟﺘﻌﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ، ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( = ‪ C‬ﺱ٢ + ﺏ ﺱ + ﺟـ، ‪ ٠ ! C‬ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻮﺟﺪ ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ‬ ‫★ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ: ﺏ٢ – ٤‪C‬ﺟـ < ٠ ﻓﺈﻥ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﺗﺘﺤﺪﺩ ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ:‬ ‫٠‬ ‫٠‬ ‫−∞‬ ‫∞‬ ‫★ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ: ﺏ٢ – ٤‪C‬ﺟـ = ٠ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ، ﻭﻟﻴﻜﻦ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﻝ، ﻭﺗﻜﻮﻥ ﺇﺷﺎﺭﺓ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﻛﺎﻵﺗﻰ:  ﻣﺜﻞ ﺇﺷﺎﺭﺓ ‪ C‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ ! ﻝ ، ﺩ)ﺱ( = ٠ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ﻝ‬ ‫★ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ: ﺏ٢ – ٤‪C‬ﺟـ > ٠ ﻓﺈﻧﻪ ﻻﺗﻮﺟﺪ ﺟﺬﻭﺭ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ، ﻭﺗﻜﻮﻥ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﻣﺜﻞ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺱ٢.‬ ‫7 ﺣﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺠﻬﻮﻝ ﻭﺍﺣﺪ:‬ ‫ﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻧﺘﺒﻊ ﺍﻟﺨﻄﻮﺍﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ :‬ ‫١- ﻧﻜﺘﺐ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺹ = ﺩ)ﺱ( ﻓﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ.‬ ‫٢- ﻧﺪﺭﺱ ﺍﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﺍﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻭﻧﻮﺿﺤﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ.‬ ‫٣- ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻧﻴﺔ ﻃﺒﻘﺎ ﻟﻠﻔﺘﺮﺍﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺤﻘﻘﻬﺎ.‬ ‫ً‬ ‫‪−¯ M‬‬
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014

Recommended

Ready for occupancy houses in cavite rush for sale in cavite/clean titled hou...
Ready for occupancy houses in cavite rush for sale in cavite/clean titled hou...Ready for occupancy houses in cavite rush for sale in cavite/clean titled hou...
Ready for occupancy houses in cavite rush for sale in cavite/clean titled hou...
Ma Erica Victoria Sacdalan
 
2024 State of Marketing Report – by Hubspot
2024 State of Marketing Report – by Hubspot2024 State of Marketing Report – by Hubspot
2024 State of Marketing Report – by Hubspot
Marius Sescu
 
Everything You Need To Know About ChatGPT
Everything You Need To Know About ChatGPTEverything You Need To Know About ChatGPT
Everything You Need To Know About ChatGPT
Expeed Software
 
Product Design Trends in 2024 | Teenage Engineerings
Product Design Trends in 2024 | Teenage EngineeringsProduct Design Trends in 2024 | Teenage Engineerings
Product Design Trends in 2024 | Teenage Engineerings
Pixeldarts
 
How Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental Health
How Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental HealthHow Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental Health
How Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental Health
ThinkNow
 
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdfAI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
marketingartwork
 
Skeleton Culture Code
Skeleton Culture CodeSkeleton Culture Code
Skeleton Culture Code
Skeleton Technologies
 
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
Neil Kimberley
 

Recommended

Ready for occupancy houses in cavite rush for sale in cavite/clean titled hou...
Ready for occupancy houses in cavite rush for sale in cavite/clean titled hou...Ready for occupancy houses in cavite rush for sale in cavite/clean titled hou...
Ready for occupancy houses in cavite rush for sale in cavite/clean titled hou...
Ma Erica Victoria Sacdalan
 
2024 State of Marketing Report – by Hubspot
2024 State of Marketing Report – by Hubspot2024 State of Marketing Report – by Hubspot
2024 State of Marketing Report – by Hubspot
Marius Sescu
 
Everything You Need To Know About ChatGPT
Everything You Need To Know About ChatGPTEverything You Need To Know About ChatGPT
Everything You Need To Know About ChatGPT
Expeed Software
 
Product Design Trends in 2024 | Teenage Engineerings
Product Design Trends in 2024 | Teenage EngineeringsProduct Design Trends in 2024 | Teenage Engineerings
Product Design Trends in 2024 | Teenage Engineerings
Pixeldarts
 
How Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental Health
How Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental HealthHow Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental Health
How Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental Health
ThinkNow
 
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdfAI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
marketingartwork
 
Skeleton Culture Code
Skeleton Culture CodeSkeleton Culture Code
Skeleton Culture Code
Skeleton Technologies
 
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
Neil Kimberley
 
مدخل الى مجال المقاربات البيداغوجية .pdf
مدخل الى مجال المقاربات البيداغوجية .pdfمدخل الى مجال المقاربات البيداغوجية .pdf
مدخل الى مجال المقاربات البيداغوجية .pdf
AhmedLansary1
 
أهمية تعليم البرمجة للأطفال في العصر الرقمي.pdf
أهمية تعليم البرمجة للأطفال في العصر الرقمي.pdfأهمية تعليم البرمجة للأطفال في العصر الرقمي.pdf
أهمية تعليم البرمجة للأطفال في العصر الرقمي.pdf
elmadrasah8
 
PPT SEMINAR HASIL PRODI BAHASA DAN SASTRA ARAB RADA ISDA SARI
PPT SEMINAR HASIL PRODI BAHASA DAN SASTRA ARAB RADA ISDA SARIPPT SEMINAR HASIL PRODI BAHASA DAN SASTRA ARAB RADA ISDA SARI
PPT SEMINAR HASIL PRODI BAHASA DAN SASTRA ARAB RADA ISDA SARI
RadaIsdasari
 
استراتيجية شبة المحسوس والمحسوس والمجرد.pptx
استراتيجية شبة المحسوس والمحسوس والمجرد.pptxاستراتيجية شبة المحسوس والمحسوس والمجرد.pptx
استراتيجية شبة المحسوس والمحسوس والمجرد.pptx
rabieazaz8
 
تطبيقات الواقع المعزز في التعليم والتعلم.pdf
تطبيقات الواقع المعزز في التعليم والتعلم.pdfتطبيقات الواقع المعزز في التعليم والتعلم.pdf
تطبيقات الواقع المعزز في التعليم والتعلم.pdf
joreyaa
 
عرض حول كيفية منهجية التراسل الاداري.pptx
عرض حول كيفية منهجية التراسل الاداري.pptxعرض حول كيفية منهجية التراسل الاداري.pptx
عرض حول كيفية منهجية التراسل الاداري.pptx
miloudaitblal001
 
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
contently
 
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
Albert Qian
 
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie InsightsSocial Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Kurio // The Social Media Age(ncy)
 
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Search Engine Journal
 
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
SpeakerHub
 
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
Clark Boyd
 
Getting into the tech field. what next
Getting into the tech field. what next Getting into the tech field. what next
Getting into the tech field. what next
Tessa Mero
 
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search IntentGoogle's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Lily Ray
 
How to have difficult conversations
How to have difficult conversations How to have difficult conversations
How to have difficult conversations
Rajiv Jayarajah, MAppComm, ACC
 
Introduction to Data Science
Introduction to Data ScienceIntroduction to Data Science
Introduction to Data Science
Christy Abraham Joy
 
Time Management & Productivity - Best Practices
Time Management & Productivity - Best PracticesTime Management & Productivity - Best Practices
Time Management & Productivity - Best Practices
Vit Horky
 
The six step guide to practical project management
The six step guide to practical project managementThe six step guide to practical project management
The six step guide to practical project management
MindGenius
 
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
RachelPearson36
 
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
Applitools
 
12 Ways to Increase Your Influence at Work
12 Ways to Increase Your Influence at Work12 Ways to Increase Your Influence at Work
12 Ways to Increase Your Influence at Work
GetSmarter
 
ChatGPT webinar slides
ChatGPT webinar slidesChatGPT webinar slides
ChatGPT webinar slides
Alireza Esmikhani
 

More Related Content

Recently uploaded

مدخل الى مجال المقاربات البيداغوجية .pdf
مدخل الى مجال المقاربات البيداغوجية .pdfمدخل الى مجال المقاربات البيداغوجية .pdf
مدخل الى مجال المقاربات البيداغوجية .pdf
AhmedLansary1
 
أهمية تعليم البرمجة للأطفال في العصر الرقمي.pdf
أهمية تعليم البرمجة للأطفال في العصر الرقمي.pdfأهمية تعليم البرمجة للأطفال في العصر الرقمي.pdf
أهمية تعليم البرمجة للأطفال في العصر الرقمي.pdf
elmadrasah8
 
PPT SEMINAR HASIL PRODI BAHASA DAN SASTRA ARAB RADA ISDA SARI
PPT SEMINAR HASIL PRODI BAHASA DAN SASTRA ARAB RADA ISDA SARIPPT SEMINAR HASIL PRODI BAHASA DAN SASTRA ARAB RADA ISDA SARI
PPT SEMINAR HASIL PRODI BAHASA DAN SASTRA ARAB RADA ISDA SARI
RadaIsdasari
 
استراتيجية شبة المحسوس والمحسوس والمجرد.pptx
استراتيجية شبة المحسوس والمحسوس والمجرد.pptxاستراتيجية شبة المحسوس والمحسوس والمجرد.pptx
استراتيجية شبة المحسوس والمحسوس والمجرد.pptx
rabieazaz8
 
تطبيقات الواقع المعزز في التعليم والتعلم.pdf
تطبيقات الواقع المعزز في التعليم والتعلم.pdfتطبيقات الواقع المعزز في التعليم والتعلم.pdf
تطبيقات الواقع المعزز في التعليم والتعلم.pdf
joreyaa
 
عرض حول كيفية منهجية التراسل الاداري.pptx
عرض حول كيفية منهجية التراسل الاداري.pptxعرض حول كيفية منهجية التراسل الاداري.pptx
عرض حول كيفية منهجية التراسل الاداري.pptx
miloudaitblal001
 

Recently uploaded (6)

مدخل الى مجال المقاربات البيداغوجية .pdf
مدخل الى مجال المقاربات البيداغوجية .pdfمدخل الى مجال المقاربات البيداغوجية .pdf
مدخل الى مجال المقاربات البيداغوجية .pdf
 
أهمية تعليم البرمجة للأطفال في العصر الرقمي.pdf
أهمية تعليم البرمجة للأطفال في العصر الرقمي.pdfأهمية تعليم البرمجة للأطفال في العصر الرقمي.pdf
أهمية تعليم البرمجة للأطفال في العصر الرقمي.pdf
 
PPT SEMINAR HASIL PRODI BAHASA DAN SASTRA ARAB RADA ISDA SARI
PPT SEMINAR HASIL PRODI BAHASA DAN SASTRA ARAB RADA ISDA SARIPPT SEMINAR HASIL PRODI BAHASA DAN SASTRA ARAB RADA ISDA SARI
PPT SEMINAR HASIL PRODI BAHASA DAN SASTRA ARAB RADA ISDA SARI
 
استراتيجية شبة المحسوس والمحسوس والمجرد.pptx
استراتيجية شبة المحسوس والمحسوس والمجرد.pptxاستراتيجية شبة المحسوس والمحسوس والمجرد.pptx
استراتيجية شبة المحسوس والمحسوس والمجرد.pptx
 
تطبيقات الواقع المعزز في التعليم والتعلم.pdf
تطبيقات الواقع المعزز في التعليم والتعلم.pdfتطبيقات الواقع المعزز في التعليم والتعلم.pdf
تطبيقات الواقع المعزز في التعليم والتعلم.pdf
 
عرض حول كيفية منهجية التراسل الاداري.pptx
عرض حول كيفية منهجية التراسل الاداري.pptxعرض حول كيفية منهجية التراسل الاداري.pptx
عرض حول كيفية منهجية التراسل الاداري.pptx
 

Featured

Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
contently
 
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
Albert Qian
 
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie InsightsSocial Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Kurio // The Social Media Age(ncy)
 
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Search Engine Journal
 
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
SpeakerHub
 
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
Clark Boyd
 
Getting into the tech field. what next
Getting into the tech field. what next Getting into the tech field. what next
Getting into the tech field. what next
Tessa Mero
 
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search IntentGoogle's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Lily Ray
 
How to have difficult conversations
How to have difficult conversations How to have difficult conversations
How to have difficult conversations
Rajiv Jayarajah, MAppComm, ACC
 
Introduction to Data Science
Introduction to Data ScienceIntroduction to Data Science
Introduction to Data Science
Christy Abraham Joy
 
Time Management & Productivity - Best Practices
Time Management & Productivity - Best PracticesTime Management & Productivity - Best Practices
Time Management & Productivity - Best Practices
Vit Horky
 
The six step guide to practical project management
The six step guide to practical project managementThe six step guide to practical project management
The six step guide to practical project management
MindGenius
 
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
RachelPearson36
 
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
Applitools
 
12 Ways to Increase Your Influence at Work
12 Ways to Increase Your Influence at Work12 Ways to Increase Your Influence at Work
12 Ways to Increase Your Influence at Work
GetSmarter
 
ChatGPT webinar slides
ChatGPT webinar slidesChatGPT webinar slides
ChatGPT webinar slides
Alireza Esmikhani
 
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike RoutesMore than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
Project for Public Spaces & National Center for Biking and Walking
 
Ride the Storm: Navigating Through Unstable Periods / Katerina Rudko (Belka G...
Ride the Storm: Navigating Through Unstable Periods / Katerina Rudko (Belka G...Ride the Storm: Navigating Through Unstable Periods / Katerina Rudko (Belka G...
Ride the Storm: Navigating Through Unstable Periods / Katerina Rudko (Belka G...
DevGAMM Conference
 
Barbie - Brand Strategy Presentation
Barbie - Brand Strategy PresentationBarbie - Brand Strategy Presentation
Barbie - Brand Strategy Presentation
Erica Santiago
 
Good Stuff Happens in 1:1 Meetings: Why you need them and how to do them well
Good Stuff Happens in 1:1 Meetings: Why you need them and how to do them wellGood Stuff Happens in 1:1 Meetings: Why you need them and how to do them well
Good Stuff Happens in 1:1 Meetings: Why you need them and how to do them well
Saba Software
 

Featured (20)

Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
 
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
 
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie InsightsSocial Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
 
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
 
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
 
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
 
Getting into the tech field. what next
Getting into the tech field. what next Getting into the tech field. what next
Getting into the tech field. what next
 
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search IntentGoogle's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
 
How to have difficult conversations
How to have difficult conversations How to have difficult conversations
How to have difficult conversations
 
Introduction to Data Science
Introduction to Data ScienceIntroduction to Data Science
Introduction to Data Science
 
Time Management & Productivity - Best Practices
Time Management & Productivity - Best PracticesTime Management & Productivity - Best Practices
Time Management & Productivity - Best Practices
 
The six step guide to practical project management
The six step guide to practical project managementThe six step guide to practical project management
The six step guide to practical project management
 
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
 
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
 
12 Ways to Increase Your Influence at Work
12 Ways to Increase Your Influence at Work12 Ways to Increase Your Influence at Work
12 Ways to Increase Your Influence at Work
 
ChatGPT webinar slides
ChatGPT webinar slidesChatGPT webinar slides
ChatGPT webinar slides
 
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike RoutesMore than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
 
Ride the Storm: Navigating Through Unstable Periods / Katerina Rudko (Belka G...
Ride the Storm: Navigating Through Unstable Periods / Katerina Rudko (Belka G...Ride the Storm: Navigating Through Unstable Periods / Katerina Rudko (Belka G...
Ride the Storm: Navigating Through Unstable Periods / Katerina Rudko (Belka G...
 
Barbie - Brand Strategy Presentation
Barbie - Brand Strategy PresentationBarbie - Brand Strategy Presentation
Barbie - Brand Strategy Presentation
 
Good Stuff Happens in 1:1 Meetings: Why you need them and how to do them well
Good Stuff Happens in 1:1 Meetings: Why you need them and how to do them wellGood Stuff Happens in 1:1 Meetings: Why you need them and how to do them well
Good Stuff Happens in 1:1 Meetings: Why you need them and how to do them well
 

كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014

  • 1.
  • 2. äÉ«°VÉjôdG ÖdÉ£dG ÜÉàc ∫hC’G ≈°SGQódG π°üØdG iƒfÉãdG ∫hC’G ∞°üdG OGóYEGh ¿óªdG §«£îJh iQÉÑμdGh ¥ô£dG AÉ°ûfEG É¡æe IOó©àe ä’Éée ≈a á«∏ªY äÉ≤«Ñ£J äÉ«°VÉjô∏d ∫ƒ£dG ø«H Ö°SÉæJ ≥ah É¡d á©WÉ≤dG äɪ«≤à°ùªdG h äɪ«≤à°ùªdG iRGƒJ ≈∏Y óªà©J ≈àdG É¡£FGôN .º°SôdG ≈a ∫ƒ£dGh ≈≤«≤ëdG ¢ùjƒ°ùdG IÉæb ≈àØ°V ø«H §Hôj iòdG ΩÓ°ùdG iôHƒμd IQƒ°üdGh
  • 3. ‫‪OGóYEG‬‬ ‫‪ˆG ÜÉL OGDƒa ôªY /CG‬‬ ‫‪™Ñ°†dG ≥«aƒJ π«Ñf /O.CG ídÉ°U ìƒàØdG ƒHCG ±ÉØY /O.CG‬‬ ‫‪Qóæμ°SEG ¢SÉ«dEG º«aGÒ°S /CG‬‬ ‫‪π«FÉahQ ≈Ø°Uh ΩÉ°üY /O.Ω.CG‬‬ ‫‪á°ûÑc ¢ùfƒj ∫ɪc /CG‬‬ ‫ﺟﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﻘﻮﻕ ﻣﺤﻔﻮﻇﺔ ﻻ ﻳﺠﻮﺭ ﻧﺸﺮ ﺃ￯ ﺟﺰﺀ ﻣﻦ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺃﻭ ﺗﺼﻮﻳﺮﻩ ﺃﻭ ﺗﺨﺰﻳﻨﻪ ﺃﻭ ﺗﺴﺠﻴﻠﻪ‬ ‫ﺑﺄ￯ ﻭﺳﻴﻠﺔ ﺩﻭﻥ ﻣﻮﺍﻓﻘﺔ ﺧﻄﻴﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﺎﺷﺮ.‬ ‫ﺷﺮﻛﺔ ﺳﻘﺎرة ﻟﻠﻨﺸﺮ‬ ‫‪Ω .Ω .¢T‬‬ ‫ﺍﻟﻄﺒﻌــﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ٣١٠٢/٤١٠٢‬ ‫ﺭﻗﻢ ﺍﻹﻳــﺪﺍﻉ ٧٤٩٧ / ٣١٠٢‬ ‫ﺍﻟﺮﻗﻢ ﺍﻟﺪﻭﻟﻰ 1 - 100 - 607 - 779 - 879‬
  • 4. ‫ﺍﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‬ ‫بسم الل ّٰه الرحمن الرحيم‬ ‫ﻳﺴﻌﺪﻧﺎ وﻧﺤﻦ ﻧﻘﺪم ﻫﺬا اﻟﻜﺘﺎب أن ﻧﻮﺿﺢ اﻟﻔﻠﺴﻔﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﻢ ﻓﻰ ﺿﻮﺋﻬﺎ ﺑﻨﺎء اﻟﻤﺎدة اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴﺔ وﻧﻮﺟﺰﻫﺎ ﻓﻴﻤﺎﻳﻠﻰ:‬ ‫1‬ ‫اﻟﺘﺄﻛﻴﺪ ﻋﲆ أن اﻟﻐﺎﻳﺔ اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻣﻦ ﻫﺬه اﻟﻜﺘﺐ ﻫﻰ ﻣﺴﺎﻋﺪة املﺘﻌﻠﻢ ﻋﲆ ﺣﻞ املﺸﻜﻼت واﺗﺨﺎذ اﻟﻘﺮارات ﰱ ﺣﻴﺎﺗﻪ‬ ‫اﻟﻴﻮﻣﻴﺔ, واﻟﺘﻰ ﺗﺴﺎﻋﺪه ﻋﲆ املﺸﺎرﻛﻪ ﰱ املﺠﺘﻤﻊ.‬ ‫2‬ ‫اﻟﺘﺄﻛﻴﺪ ﻋﲆ ﻣﺒﺪأ اﺳﺘﻤﺮارﻳﺔ اﻟﺘﻌﻠﻢ ﻣﺪى اﻟﺤﻴﺎة ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﻌﻤﻞ ﻋﲆ أن ﻳﻜﺘﺴﺐ اﻟﻄﻼب ﻣﻨﻬﺠﻴﺔ اﻟﺘﻔﻜري اﻟﻌﻠﻤﻰ، وأن‬ ‫ﻳﻤﺎرﺳﻮا اﻟﺘﻌﻠﻢ املﻤﺘﺰج ﺑﺎملﺘﻌﺔ واﻟﺘﺸﻮﻳﻖ، وذﻟﻚ ﺑﺎﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﲆ ﺗﻨﻤﻴﺔ ﻣﻬﺎرات ﺣﻞ املﺸﻜﻼت وﺗﻨﻤﻴﺔ ﻣﻬﺎرات اﻻﺳﺘﻨﺘﺎج‬ ‫واﻟﺘﻌﻠﻴﻞ، واﺳﺘﺨﺪام أﺳﺎﻟﻴﺐ اﻟﺘﻌﻠﻢ اﻟﺬاﺗﻰ واﻟﺘﻌﻠﻢ اﻟﻨﺸﻂ واﻟﺘﻌﻠﻢ اﻟﺘﻌﺎوﻧﻰ ﺑﺮوح اﻟﻔﺮﻳﻖ، واملﻨﺎﻗﺸﺔ واﻟﺤﻮار، وﺗﻘﺒﻞ‬ ‫آراء اﻵﺧﺮﻳﻦ، واملﻮﺿﻮﻋﻴﺔ ﰱ إﺻﺪار اﻷﺣﻜﺎم، ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﱃ اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ﺑﺒﻌﺾ اﻷﻧﺸﻄﺔ واﻹﻧﺠﺎزات اﻟﻮﻃﻨﻴﺔ.‬ ‫3‬ ‫ﺗﻘﺪﻳﻢ رؤى ﺷﺎﻣﻠﺔ ﻣﺘﻤﺎﺳﻜﺔ ﻟﻠﻌﻼﻗﺔ ﺑني اﻟﻌﻠﻢ واﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎ واملﺠﺘﻤﻊ)‪ (STS‬ﺗﻌﻜﺲ دور اﻟﺘﻘﺪﱡم اﻟﻌﻠﻤﻰ ﰱ ﺗﻨﻤﻴﺔ‬ ‫املﺠﺘﻤﻊ املﺤﲆ، ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﱃ اﻟﱰﻛﻴﺰ ﻋﲆ ﻣﻤﺎرﺳﺔ اﻟﻄﻼب اﻟﺘﴫﱡف اﻟﻮاﻋﻰ اﻟﻔﻌّﺎل ﺣِ ﻴﺎل اﺳﺘﺨﺪام اﻷدوات اﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺔ.‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫6‬ ‫ﺗﻨﻤﻴﺔ اﺗﺠﺎﻫﺎت إﻳﺠﺎﺑﻴﺔ ﺗﺠﺎه اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ودراﺳﺘﻬﺎ وﺗﻘﺪﻳﺮ ﻋﻠﻤﺎﺋﻬﺎ.‬ ‫ﺗﺰوﻳﺪ اﻟﻄﻼب ﺑﺜﻘﺎﻓﺔ ﺷﺎﻣﻠﺔ ﻟﺤﺴﻦ اﺳﺘﺨﺪام املﻮارد اﻟﺒﻴﺌﻴﺔ املﺘﺎﺣﺔ.‬ ‫اﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﲆ أﺳﺎﺳﻴﺎت املﻌﺮﻓﺔ وﺗﻨﻤﻴﺔ ﻃﺮاﺋﻖ اﻟﺘﻔﻜري، وﺗﻨﻤﻴﺔ املﻬﺎرات اﻟﻌﻠﻤﻴﺔ، واﻟﺒﻌﺪ ﻋﻦ اﻟﺘﻔﺎﺻﻴﻞ واﻟﺤﺸﻮ،‬ ‫واﻻﺑﺘﻌﺎد ﻋﻦ اﻟﺘﻌﻠﻴﻢ اﻟﺘﻠﻘﻴﻨﻰ؛ ﻟﻬﺬا ﻓﺎﻻﻫﺘﻤﺎم ﻳﻮﺟﻪ إﱃ إﺑﺮاز املﻔﺎﻫﻴﻢ واملﺒﺎدئ اﻟﻌﺎﻣﺔ وأﺳﺎﻟﻴﺐ اﻟﺒﺤﺚ وﺣﻞ املﺸﻜﻼت‬ ‫وﻃﺮاﺋﻖ اﻟﺘﻔﻜري اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﻤﻴﺰ ﻣﺎدة اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﻋﻦ ﻏريﻫﺎ.‬ ‫‪:≈∏j Ée ÜÉàμdG Gòg ≈a ≈YhQ ≥Ñ°S Ée Aƒ°V ≈ah‬‬ ‫ﺗﻘﺴﻴﻢ اﻟﻜﺘﺎب إﱃ وﺣﺪات ﻣﺘﻜﺎﻣﻠﺔ وﻣﱰاﺑﻄﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﻣﻘﺪﻣﺔ ﺗﻮﺿﺢ أﻫﺪاﻓﻬﺎ ودروﺳﻬﺎ وﻣﺨﻄﻂ ﺗﻨﻈﻴﻤﻰ ﻟﻬﺎ‬ ‫واملﺼﻄﻠﺤﺎت اﻟﻮاردة ﺑﻬﺎ ﺑﺎﻟﻠﻐﺔ اﻟﻌﺮﺑﻴﺔ واﻹﻧﺠﻠﻴﺰﻳﺔ، وﻣﻘﺴﻤﺔ إﱃ دروس ﻳﻮﺿﺢ اﻟﻬﺪف ﻣﻦ ﺗﺪرﻳﺴﻬﺎ ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ ﺗﺤﺖ‬ ‫ﻋﻨﻮان ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ، وﻳﺒﺪأ ﻛﻞ درس ﻣﻦ دروس ﻛﻞ وﺣﺪة ﺑﺎﻟﻔﻜﺮة اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ملﺤﺘﻮى اﻟﺪرس وروﻋﻰ ﻋﺮض املﺎدة‬ ‫اﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﺴﻬﻞ إﱃ اﻟﺼﻌﺐ وﻳﺘﻀﻤﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻷﻧﺸﻄﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺘﻨﺎول اﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎملﻮاد اﻷﺧﺮى واﻟﺤﻴﺎة اﻟﻌﻤﻠﻴﺔ واﻟﺘﻰ‬ ‫ﺗﻨﺎﺳﺐ اﻟﻘﺪرات املﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻠﻄﻼب وﺗﺮاﻋﻰ اﻟﻔﺮوق اﻟﻔﺮدﻳﺔ ﺑﻴﻨﻬﻢ وﺗﺆﻛﺪ ﻋﲆ اﻟﻌﻤﻞ اﻟﺘﻌﺎوﻧﻰ، وﺗﺘﻜﺎﻣﻞ ﻣﻊ املﻮﺿﻮع.‬ ‫ﻛﻤﺎ ﻗﺪم ﰱ ﻛﻞ درس أﻣﺜﻠﺔ ﺗﺒﺪأ ﻣﻦ اﻟﺴﻬﻞ إﱃ اﻟﺼﻌﺐ، وﺗﺸﻤﻞ ﻣﺴﺘﻮﻳﺎت ﺗﻔﻜري ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ، ﻣﻊ ﺗﺪرﻳﺒﺎت ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺗﺤﺖ‬ ‫ﻋﻨﻮان ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ وﻳﻨﺘﻬﻰ ﻛﻞ درس ﺑﺒﻨﺪ »ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ«.‬ ‫ﺗﻨﺘﻬﻰ ﻛﻞ وﺣﺪة ﺑﻤﻠﺨﺺ ﻟﻠﻮﺣﺪة ﻳﺘﻨﺎول املﻔﺎﻫﻴﻢ واﻟﺘﻌﻠﻴﻤﺎت اﻟﻮاردة ﺑﺎﻟﻮﺣﺪة.‬ ‫وأخير ًا ..نتمنى أن نكون قد وفقنا فى إنجاز هذا العمل لما فيه خير لأولادنا، ولمصرنا العزيزة.‬ ‫والل ّٰه من وراء القصد، وهو يهدى إلى سواء السبيل‬
  • 5. ‫ﺧﺮﻳﻄﺔ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﻟﻠﻔﺼﻞ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻰ ﺍﻷﻭﻝ‬ ‫ﺍﺳﻢ‬ ‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﻭﺱ ﺍﳴﺘﻀﻤﻨﺔ ﺑﺎﻟﻮﺣﺪﺓ‬ ‫ﺍﳴﻔﺎﻫﻴﻢ‬ ‫ﺍﳴﺘﻀﻤﻨﺔ‬ ‫1 - 1 : ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ - ﻋﻼﻗﺔ - ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ‬ ‫1‬ ‫ﺍﻟﺠ‪‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ‬ ‫ﻭﺍﻟﺪﻭﺍﻝ‬ ‫1 - 2 : ﻣﻘﺪﻣﺔ ﻋﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬ ‫- ﻋﺎﻣﻞ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺗﺨﻴﻠﻰ - ﻋﺪﺩ‬ ‫ﻛﺐ‬ ‫ﻣﺮ‬ ‫1 - 3 : ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻧﻮع ﺟﺬرى اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺟﺬﺭ - ﻣﻤﻴﺰ - ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟ‪‬ﺍﺑﻂ ﻭﺍﻟﺘﺪﺍﺧﻞ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟﻌﻘﻠﻴﺔ ﻭﺍﳴﻬﺎﺭﺍﺕ‬ ‫ﻣﻊ ﺍﻟﻌﻠﻮﻡ ﺍﻷﺧﺮﻯ‬ ‫ﺍﻟﺬﻫﻨﻴﺔ ﺍﳴﺘﻀﻤﻨﺔ‬ ‫ﻭﺍﻟﺤﻴﺎﺓ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺀ ﺻـ ٦‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫¯‬ ‫‪‬‬ ‫,‬ ‫‪‬‬ ‫اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ وﻣﻌﺎﻣﻼت ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺟﺬﺭﻳﻦ‬ ‫ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺩﺍﻟﺔ - ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻣﻮﺟﺒﺔ - ﺩﺍﻟﺔ ﺳﺎﻟﺒﺔ‬ ‫1 - 6 :ﺣﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎت اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ‬ ‫ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫¯‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫¯‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫,‬ ‫‪M‬‬ ‫¯‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪M‬‬ ‫¯‬ ‫ﺗﺸﺎﺑﻪ - ﻣﻀﻠﻌﺎﺕ‬ ‫ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﺔ -ﻣﺜﻠﺜﺎﺕ‬ ‫‪‬‬ ‫2 - 2: ﺗﺸﺎﺑﻪ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت‬ ‫ﺗﺸﺎﺑﺔ - ﺗﺸﺎﺑﻪ‬ ‫2 - 3: اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺎﺣﺘﻰ‬ ‫ﻣﺤﻴﻂ - ﻣﺴﺎﺣﺔ-‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ - ﺑﺪﻳﻬﻴﺔ‬ ‫ﺳﻄﺤﻰ ﻣﻀﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﻴﻦ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﻀﻠﻊ- ﺃﺿﻼﻉ‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﺓ‬ ‫ﻭﺗﺮ - ﻗﺎﻃﻊ - ﻣﻤﺎﺱ -‬ ‫ﻗﻄﺮ - ﻣﻤﺎﺱ ﺧﺎﺭﺟﻰ‬ ‫ﻣﺸﺘﺮﻙ - ﻣﻤﺎﺱ‬ ‫ﺩﺍﺧﻠﻰ ﻣﺸﺘﺮﻙ‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﻔﻦ ﺻـ ١٤‬ ‫‪M‬‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﺣﻴﺎﺗﻴﺔ ﺻـ ١٤‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫¯‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﺓ - ﺯﻭﺍﻳﺎ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ‬ ‫2 - 4: ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت اﻟﺘﺸﺎﺑﻪ ﻓﻰ اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫,‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﺔ - ﺃﺿﻼﻉ‬ ‫2‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺀ ﺻـ ٢١‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺼﺤﺔ ﺻـ ٥١‬ ‫‪‬‬ ‫2 - 1: ﺗﺸﺎﺑﻪ اﻟﻤﻀﻠﻌﺎت‬ ‫,‬ ‫‪‬‬ ‫1 - 4 : اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺟﺬري ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺟﺬﺭﻳﻦ -‬ ‫1 - 5 : ﺑﺤﺚ إﺷﺎرة اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎ ﺻـ ٧‬ ‫¯‬ ‫‪‬‬ ‫ﺣﺪودﻫﺎ‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﺻـ ٦‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺀ ﺻـ ٧٤‬ ‫‪M‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺠﻐﺮﺍﻓﻴﺎ ﺻـ٥٥‬ ‫‪M‬‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺰﺭﺍﻋﺔ ﺻـ ٨٥‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫¯‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﻣﻊ ﺍﻟﺠﻴﻮﻟﻮﺟﻴﺎ ﺻـ٤٦‬ ‫‪M‬‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺼﻨﺎﻋﺔ ﺻـ ٥٦‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫¯‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﻣﻊ ﻫﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻄﺮﻕ ﺻـ ٥٦‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﻣﻊ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺻـ ٥٦‬
  • 6. ‫ﺍﺳﻢ‬ ‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‬ ‫3‬ ‫ﺍﻟ‪‬ﺍﺑﻂ ﻭﺍﻟﺘﺪﺍﺧﻞ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟﻌﻘﻠﻴﺔ ﻭﺍﳴﻬﺎﺭﺍﺕ‬ ‫ﺍﳴﻔﺎﻫﻴﻢ‬ ‫ﻣﻊ ﺍﻟﻌﻠﻮﻡ ﺍﻷﺧﺮﻯ‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﻭﺱ ﺍﳴﺘﻀﻤﻨﺔ ﺑﺎﻟﻮﺣﺪﺓ‬ ‫ﺍﻟﺬﻫﻨﻴﺔ ﺍﳴﺘﻀﻤﻨﺔ‬ ‫ﺍﳴﺘﻀﻤﻨﺔ‬ ‫ﻭﺍﻟﺤﻴﺎﺓ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ‬ ‫ﻣﻜﺎﻓﺤﺔ ﺍﻟﺘﻠﻮﺙ ﺻـ ٧٧‬ ‫‪− M‬‬ ‫ﺗﻮﺍﺯﻯ - ﻣﻨﺼﻒ - ‪‬‬ ‫3 - 1: اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﻤﺘﻮازﻳﺔ‬ ‫¯‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻹﻧﺸﺎﺀﺍﺕ ﺻـ٠٨‬ ‫ﻣﺘﻮﺳﻂ - ﻗﺎﻃﻊ‬ ‫واﻷﺟﺰاء اﻟﻤﺘﻨﺎﺳﺒﻪ‬ ‫¯‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺼﻨﺎﻋﺔ ﺻـ ٠٨‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪MM‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ‬ ‫ﻓﻰ ﺍﳴﺜﻠﺚ‬ ‫ﻣﻨﺼﻒ - ﻣﻨﺼﻒ‬ ‫3 - 2: ﻣﻨﺼﻔﺎ اﻟﺰاوﻳﺔ واﻷﺟﺰاء‬ ‫ﺩﺍﺧﻠﻰ - ﻣﻨﺼﻒ‬ ‫اﻟﻤﺘﻨﺎﺳﺒﺔ‬ ‫ﺧﺎﺭﺟﻰ - ﺗﻌﺎﻣﺪ‬ ‫3 - 3: ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت‬ ‫اﻟﺘﻨﺎﺳﺐ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ ﻗﻮﺓ - ﻧﻘﻄﺔ - ﺩﺍﺋﺮﺓ -‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻛﺰ - ﻣﻤﺎﺱ‬ ‫ﺍﻟﻤﺮ‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﺣﻴﺎﺗﻴﺔ ﺻـ ١٤‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭﺗﺮ - ﻣﻤﺎﺱ - ﻗﺎﻃﻊ‬ ‫- ﻗﻄﺮ - ﺩﻭﺍﺋﺮ ﻣﺘﺤﺪﺓ‬ ‫‪− M‬‬ ‫¯‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﻔﻦ ﺻـ ١٤‬ ‫‪M‬‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻷﻗﻤﺎﺭ ﺍﻟﺼﻨﺎﻋﻴﺔ‬ ‫ﺻـ ٢٩‬ ‫‪‬‬ ‫ﺧﺎﺭﺟﻰ ﻣﺸﺘﺮﻙ -‬ ‫ﻣﻤﺎﺱ ﺩﺍﺧﻠﻰ ﻣﺸﺘﺮﻙ‬ ‫4 - 1: اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‬ ‫ﻗﻴﺎﺱ ﺳﺘﻴﻨﻰ - ﺯﺍﻭﻳﺔ‬ ‫ﻣﻮﺟﻬﺔ - ﻭﺿﻊ ﻗﻴﺎﺳﻰ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﺻـ ٢٠١‬ ‫ ﻗﻴﺎﺱ ﻣﻮﺟﺐ - ﻗﻴﺎﺱ‬‫ﺳﺎﻟﺐ - ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻣﻜﺎﻓﺌﺔ‬ ‫4‬ ‫4 - 2: وﺣﺪات ﻗﻴﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫ﻗﻴﺎﺱ ﺳﺘﻴﻨﻰ - ﻗﻴﺎﺱ‬ ‫‪‬‬ ‫ﺩﺍﺋﺮﻯ - ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻧﺼﻒ‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﻔﻀﺎﺀ ﺻـ٧٠١‬ ‫ﻗﻄﺮﻳﺔ )ﺭﺍﺩﻳﺎﻥ(‬ ‫4 - 3: اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﺣﺴﺎﺏ‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ - ﺟﻴﺐ -‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎ ﺻـ٦٠١‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺮﻳﺎﺿﺔ ﺻـ٧٠١‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺼﻨﺎﻋﺔ ﺻـ٧٠١‬ ‫‪‬‬ ‫ﺟﻴﺐ ﺗﻤﺎﻡ - ﻇﻞ - ﻗﺎﻃﻊ‬ ‫- ﻗﺎﻃﻊ ﺗﻤﺎﻡ - ﻇﻞ ﺗﻤﺎﻡ‬ ‫ﺍﳴﺜﻠﺜﺎﺕ‬ ‫4 - 4 : اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫4 - 4 : اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﻠﺪوال‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﺯﻭﺍﻳﺎ ﻣﺘﻨﺴﺒﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺀ ﺻـ ٢٢١‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺠﻴﺐ - ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺟﻴﺐ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ - ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﻋﻈﻤﻰ - ﻗﻴﻤﺔ ﺻﻐﺮﻯ‬ ‫4 - 4 : إﻳﺠﺎد ﻗﻴﺎس زاوﻳﺔ‬ ‫ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ داﻟﺔ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎ ﺻـ٣٢١‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺮﻳﺎﺿﺔ ﺻـ٤٢١‬ ‫ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺴﻴﺎﺭﺍﺕ ﺻـ٤٢١‬
  • 7. ‫‪äÉjƒàëªdG‬‬ ‫‪IóMƒdG‬‬ ‫‪≈dhC’G‬‬ ‫ﺍﻟﺠ‪ ‬ﻭﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﻭﺍﻟﺪﻭﺍﻝ‬ ‫1- 1‬ ‫ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻲ ﻣﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ‬ ‫1- 2‬ ‫ﻣﻘﺪﻣﺔ ﻋﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬ ‫1- 3‬ ‫ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻧﻮع ﺟﺬرى اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ.‬ ‫51‬ ‫1- 4‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺟﺬرى ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ وﻣﻌﺎﻣﻼت ﺣﺪودﻫﺎ.‬ ‫81‬ ‫1- 5‬ ‫إﺷﺎرة اﻟﺪاﻟﺔ.‬ ‫22‬ ‫1- 6‬ ‫ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎت اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ.‬ ‫72‬ ‫ﻣﻠﺨﺺ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫03‬ ‫..................................................................................................................................................‬ ‫4‬ ‫......................................................................................................................................................................................................‬ ‫9‬ ‫.................................................................................................................................................................‬ ‫........................................................................................‬ ‫............................................................................................................................................................................................................................................‬ ‫........................................................................................................................................................................................................‬ ‫....................................................................................................................................................................................................................................‬ ‫‪IóMƒdG‬‬ ‫‪á«fÉãdG‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺸﺎﺑﻪ‬ ‫2-1‬ ‫ﺗﺸﺎﺑﻪ اﻟﻤﻀﻠﻌﺎت‬ ‫43‬ ‫2-2‬ ‫ﺗﺸﺎﺑﻪ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت.‬ ‫04‬ ‫2-3‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺎﺣﺘﻰ ﺳﻄﺤﻰ ﻣﻀﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﻴﻦ.‬ ‫05‬ ‫2-4‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت اﻟﺘﺸﺎﺑﻪ ﻓﻰ اﻟﺪاﺋﺮة.‬ ‫85‬ ‫ﻣﻠﺨﺺ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫76‬ ‫..............................................................................................................................................................................................................................‬ ‫..................................................................................................................................................................................................................................‬ ‫.....................................................................................................................‬ ‫.........................................................................................................................................................................................‬ ‫....................................................................................................................................................................................................................................‬
  • 8. ‫‪IóMƒdG‬‬ ‫‪áãdÉãdG‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﺎﺕ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻓﻰ ﺍﳴﺜﻠﺚ‬ ‫3-1‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﻤﺘﻮازﻳﺔ واﻷﺟﺰاء اﻟﻤﺘﻨﺎﺳﺒﺔ‬ ‫3-2‬ ‫ﻣﻨﺼﻔﺎ اﻟﺰاوﻳﺔ واﻷﺟﺰاء اﻟﻤﺘﻨﺎﺳﺒﺔ‬ ‫3-3‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت اﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ﻓﻰ اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﻠﺨﺺ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫................................................................................................................................................‬ ‫07‬ ‫.........................................................................................................................................................................‬ ‫97‬ ‫.......................................................................................................................................................................................‬ ‫68‬ ‫....................................................................................................................................................................................................................................‬ ‫29‬ ‫‪IóMƒdG‬‬ ‫‪á©HGôdG‬‬ ‫ﺣﺴﺎﺏ ﺍﳴﺜﻠﺜﺎﺕ‬ ‫4-1‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ.‬ ‫4-2‬ ‫وﺣﺪات ﻗﻴﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ.‬ ‫4-3‬ ‫اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ.‬ ‫4-4‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫4-5‬ ‫اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﻠﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫4-6‬ ‫إﻳﺠﺎد ﻗﻴﺎس زاوﻳﺔ ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ داﻟﺔ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫..............................................................................................................................................................................................................................‬ ‫ﻣﻠﺨﺺ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫69‬ ‫...........................................................................................................................................................................................................‬ ‫201‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................‬ ‫601‬ ‫..............................................................................................................................................................................................‬ ‫211‬ ‫...................................................................................................................................................................................‬ ‫911‬ ‫...................................................................................................................................................‬ ‫221‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................‬ ‫421‬
  • 9. ‫ﺍﻟﺠﺒﺮ‬ ‫‪IóMƒdG‬‬ ‫1‬ ‫ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﻭﺍﻟﺪﻭﺍﻝ‬ ‫‪Algebra, Relations and‬‬ ‫‪Functions‬‬ ‫أﻫﺪاف اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ اﻟﻮﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﻤﺘﻮﻗﻊ أن ﻳﻜﻮن اﻟﻄﺎﻟﺐ ﻗﺎدرا ﻋﻠﻰ أن:‬ ‫ً‬ ‫ﻳﺤﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ ﺟﺒﺮﻳﺎ ﻭﺑﻴﺎﻧﻴﺎ.‬ ‫ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻭﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺟﺬﺭ￯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ‬ ‫ﹶ‬ ‫ﺃﺧﺮ￯ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ.‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺑﻌﺾ ﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﺣﺪﻭﺩ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ‬ ‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﻣﻘﺪﻣﺔ ﻓﻰ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ )ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ،‬ ‫ﻳﺘﻌﺮﻑ ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ.‬ ‫ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻣﺮﻛﺒﻴﻦ(.‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ.‬ ‫ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﺃﺣﺪ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ ﺃﻭ ﻛﻠﻴﻬﻤﺎ.‬ ‫ﻳﺒﺤﺚ ﻧﻮﻉ ﺟﺬﺭ￯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ‬ ‫ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﺣﺪﻭﺩﻫﺎ.‬ ‫ﻳﺒﺤﺚ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺠﺒﺮ￯.‬ ‫ﻗﻮ￯ ﺕ، ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺐ ﺑﺎﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﺠﺒﺮﻳﺔ، ﺗﺴﺎﻭ￯‬ ‫ﻳﺤﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺠﻬﻮﻝ ﻭﺍﺣﺪ.‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا ﺳﺎﺳﻴﺔ‬ ‫‪ ‬ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪Equation‬‬ ‫‪ ‬ﺟﺬﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪ ‬ﻣﻤﻴﺰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪Discriminant of the Equation‬‬ ‫‪Root of the Equation‬‬ ‫‪ ‬ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻟﺤﺪ‬ ‫‪ ‬ﻋﺪﺩ ﻣﺮﻛﺐ‬ ‫‪Coefficient of a Term‬‬ ‫‪ ‬ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪ ‬ﻋﺪﺩ ﺗﺨﻴﻠﻰ‬ ‫‪ ‬ﻗﻮ￯ ﺍﻟﻌﺪﺩ‬ ‫‪Signal of a function‬‬ ‫‪ ‬ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ‬ ‫‪Complex Number‬‬ ‫‪Imaginary Number‬‬ ‫‪Powers of a Number‬‬ ‫‪Inequality‬‬
  • 10. ‫دروس اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )١ - ١(: ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ.‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )١ - ٢(: ﻣﻘﺪﻣﺔ ﻋﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ.‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )١ - ٣(: ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻧﻮﻉ ﺟﺬﺭ￯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ.‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )١ - ٤(: ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺟﺬﺭ￯ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫ﻭﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﺣﺪﻭﺩﻫﺎ.‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )١ - ٥(: ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ.‬ ‫ﺍﻟﺪﺭﺱ )١ - ٦(: ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ.‬ ‫ا دوات اﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ‬ ‫ﺁﻟﺔ ﺣﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ - ﻭﺭﻕ ﻣﺮﺑﻌﺎﺕ - ﺣﺎﺳﺐ ﺁﻟﻰ - ﺑﺮﺍﻣﺞ ﺭﺳﻮﻣﻴﺔ‬ ‫- ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻤﻮﺍﻗﻊ ﺍﻹﻟﻜﺘﺮﻭﻧﻴﺔ ﻣﺜﻞ:‬ ‫ﺗﻤﺜﺎل ﻟﻤﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﻣﻮﺳﻰ اﻟﺨﻮارزﻣﻰ‬ ‫‪www.phschool.com‬‬ ‫ﻧﺒﺬه ﺗﺎرﻳﺨﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻛﻠﻤﺔ ﻋﺮﺑﻴﺔ ﺍﺳﺘﺨﺪﻣﻬﺎ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻦ ﻣﻮﺳﻰ ﺍﻟﺨﻮﺍﺭﺯﻣﻰ‬ ‫)ﺍﻟﻘﺮﻥ ﺍﻟﺘﺎﺳﻊ ﺍﻟﻤﻴﻼﺩ￯ ﻓﻰ ﻋﺼﺮ ﺍﻟﺨﻠﻴﻔﺔ ﺍﻟﻌﺒﺎﺳﻰ ﺍﻟﻤﺄﻣﻮﻥ(‬ ‫ﻓﻰ ﻛﺘﺎﺑﻪ ﺍﻟﺬ￯ ﺃﻟﻔﻪ، ﻭﻛﺎﻥ ﻋﻨﻮﺍﻧﻪ »ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ«، ﻭﺍﻟﺬ￯‬ ‫ﹰ‬ ‫ﻭﺿﻊ ﻓﻴﻪ ﻃﺮﻗﺎ ﺃﺻﻴﻠﺔ ﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ، ﻭﺑﺬﻟﻚ ﻳﻌﺘﺒﺮ‬ ‫ﺍﻟﺨﻮﺍﺭﺯﻣﻰ ﻫﻮ ﻣﺆﺳﺲ ﻋﻠﻢ ﺍﻟﺠﺒﺮ ﺑﻌﺪ ﺃﻥ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﺠﺒﺮ ﺟﺰﺀﺍ‬ ‫ﹰ‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ. ﻭﻗﺪ ﺗﹸﺮﺟﻢ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻠﻐﺎﺕ ﺍﻷﻭﺭﺑﻴﺔ ﺑﻌﻨﻮﺍﻥ‬ ‫ﹾ‬ ‫»ﺍﻟﺠﺒﺮ« ﻭﻣﻨﻬﺎ ﺃﺧﺬ ﻛﻠﻤﺔ »ﺍﻟﺠﺒﺮ« )‪.(algebra‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺠﺬﺭ ﻫﻮ ﺍﻟﺬ￯ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺣﺎﻟ ﹰﻴﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ﺱ )ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺇﻟﻰ ﺣﻞ‬ ‫ﹰ‬ ‫ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ( ﻭﻗﺪ ﻭﺿﻊ ﺍﻟﺨﻮﺍﺭﺯﻣﻰ ﺣﻠﻮﻻ ﻫﻨﺪﺳﻴﺔ‬ ‫ﻟﺤﻞ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺘﻔﻖ ﻣﻊ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺇﻛﻤﺎﻝ‬ ‫ﺍﻟﻤﺮﺑﻊ. ﻭﺍﺷﺘﻐﻞ ﻛﺜﻴﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﻠﻤﺎﺀ ﺍﻟﻌﺮﺏ ﺑﺤﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ، ﻭﻣﻦ‬ ‫ﺃﺷﻬﺮﻫﻢ ﻋﻤﺮ ﺍﻟﺨﻴﺎﻡ ﺍﻟﺬ￯ ﺍﻫﺘﻢ ﺑﺤﻞ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ.‬ ‫ﻭﺟﺪﻳﺮ ﺑﺎﻟﺬﻛﺮ ﺃﻧﻪ ﻇﻬﺮ ﻓﻰ ﺑﺮﺩﻳﺔ ﺃﺣﻤﺲ )٠٦٨١ ﻕ.ﻡ(‬ ‫ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻤﺴﺎﺋﻞ ﺍﻟﺘﻰ ﻳﺸﻴﺮ ﺣﻠﻬﺎ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺼﺮﻳﻴﻦ ﻓﻰ ﺫﻟﻚ‬ ‫ﺍﻟﺤﻴﻦ ﻗﺪ ﺗﻮﺻﻠﻮﺍ ﺇﻟﻰ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤﺴﺎﺑﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ.‬ ‫ﻭﻗﺪ ﻭﺻﻞ ﻋﻠﻢ ﺍﻟﺠﺒﺮ ﺣﺎﻟﻴﺎ ﺇﻟﻰ ﺩﺭﺟﺔ ﻛﺒﻴﺮﺓ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﻄﻮﺭ‬ ‫ﹰ‬ ‫ﻭﺍﻟﺘﺠﺮﻳﺪ؛ ﻓﺒﻌﺪ ﺃﻥ ﻛﺎﻥ ﻳﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺃﺻﺒﺢ ﻳﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ‬ ‫ﻛﻴﺎﻧﺎﺕ ﺭﻳﺎﺿﻴﺔ ﺟﺪﻳﺪﺓ ﻣﺜﻞ: ﺍﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺎﺕ، ﻭﺍﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎﺕ‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻭﻏﻴﺮﻫﺎ.‬ ‫ﻭﺍﻷﻣﻞ ﻣﻌﻘﻮﺩ ﻋﻠﻴﻜﻢ - ﺃﺑﻨﺎﺀﻧﺎ ﺍﻟﻄﻼﺏ- ﻓﻰ ﺍﺳﺘﻌﺎﺩﺓ‬ ‫ﻣﺠﺪﻧﺎ ﺍﻟﻌﻠﻤﻰ ﻓﻰ ﻋﺼﻮﺭﻩ ﺍﻟﺬﻫﺒﻴﺔ ﺍﻟﻤﺼﺮﻳﺔ ﺍﻟﻔﺮﻋﻮﻧﻴﺔ‬ ‫ﻭﺍﻟﻌﺼﻮﺭ ﺍﻹﺳﻼﻣﻴﺔ، ﻭﺍﻟﺘﻰ ﺣﻤﻞ ﻋﻠﻤﺎﺅﻧﺎ ﻓﻴﻬﺎ ﻟﻮﺍﺀ ﺍﻟﺘﻘﺪﻡ‬ ‫ﹶ‬ ‫ﹶ‬ ‫ﹰ‬ ‫ﻭﻣﺸﺎﻋﻞ ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻌﺎﻟﻢ ﺷﺮﻗﺎ ﻭﻏﺮ ﹰﺑﺎ.‬ ‫ﻣﺨﻄﻂ ﺗﻨﻈﻴﻤﻲ ﻟﻠﻮﺣﺪة‬ ‫اﻟﺠﺒﺮ واﻟﻌﻼﻗﺎت واﻟﺪوال‬ ‫ﺑﺤﺚ إﺷﺎرة اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫داﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺟﺬرى‬ ‫اﻟﻤﻤﻴﺰ )ب2 -4‪C‬ﺟـ(‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫ﺳﺎﻟﺐ‬ ‫اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‬ ‫اﻟﺨﻄﻴﺔ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺠﺬرﻳﻦ‬ ‫ﻳﺴﺎوي ﺻﻔﺮ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب اﻟﺠﺬرﻳﻦ‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺬران ﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﺟﺬور ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺬران‬ ‫ﺣﻘﻴﻘﻴﺎن‬ ‫ﺣﻘﻴﻘﺔ‬ ‫ﺣﻘﻴﻘﻴﺎن‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوﻳﺎن‬ ‫ﻣﺨﺘﻠﻔﺎن‬ ‫ﺗﻜﻮﻳﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‬ ‫ﺣﻴﺎﺗﻴﺔ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ا ﻋﺪاد اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬ ‫ﺧﻮاص‬ ‫اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت‬ ‫ﺗﺴﺎوى‬ ‫ﻋﺪدﻳﻦ‬ ‫ﻣﺮﻛﺒﻴﻦ‬ ‫اﻟﻌﺪدان‬ ‫اﻟﻤﺘﺮاﻓﻘﺎن‬ ‫ﻓﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت‬ ‫ﻋﺎﻣﺔ‬ ‫ﻛﻬﺮﺑﻴﺔ‬ ‫ﺣﺎﺳﺒﺔ ﻋﻠﻤﻴﺔ‬ ‫اﺳﺘﺨﺪام‬ ‫اﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎ‬ ‫ﺑﺮاﻣﺞ ﻟﻠﺤﺎﺳﻮب‬ ‫رﺳﻮﻣﻴﺔ‬
  • 11. ‫ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ‬ ‫1-1‬ ‫‪Solving Quadratic Equations in One Variable‬‬ ‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬ ‫ﻓﻜﺮ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا ﺳﺎﺳﻴّﺔ‬ ‫و‬ ‫ﻧﺎﻗﺶ‬ ‫ﺳﺒﻖ ﺃﻥ ﺩﺭﺳﺖ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺠﺒﺮﻳﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ، ﻭﻓﻲ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺪﺭﺱ ﺳﻮﻑ ﺗﺪﺭﺱ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺠﺒﺮﻳﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ.‬ ‫ﻭﺍﻵﻥ ﺳﻮﻑ ﻧﺴﺘﻌﺮﺽ ﻣﺎ ﺳﺒﻖ ﻟﻚ ﺩﺭﺍﺳﺘﻪ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺠﺒﺮﻳﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺍﻟﻮﺍﺣﺪ.‬ ‫١- ﺗﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ: ‪ C‬ﺱ + ﺏ = ٠  ﺣﻴﺚ ‪  ٠ ! C‬ﺑﺄﻧﻬﺎ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻦ‬ ‫)ﻷﻥ ﺃﻋﻠﻰ ﺃﺱ ﻓﻴﻬﺎ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ ﺱ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ١(‬ ‫¯‬ ‫٢- ﺗﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ: ‪C‬ﺱ٢ + ﺏ ﺱ + ﺟـ = ٠  ﺣﻴﺚ ‪  ٠ ! C‬ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻦ‬ ‫ )ﻷﻥ ﺃﻋﻠﻰ ﺃﺱ ﻓﻴﻬﺎ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ ﺱ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ٢(‬ ‫¯‬ ‫ﻓﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ: ٢ﺱ٣ – ٣ﺱ٢ + ٥ = ٠ ﺗﺴﻤﻰ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ.‬ ‫)ﻷﻥ ﺃﻋﻠﻰ ﺃﺱ ﻓﻴﻬﺎ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ ﺱ ﻫﻮ ٣(.‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت واﻟﻌﻼﻗﺎت واﻟﺪوال‬ ‫‪‬‬ ‫‪Equation‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Relation‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Function‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Factor‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Coefficient‬‬ ‫‪Equations, relations and functions‬‬ ‫ﺳﺒﻖ ﺃﻥ ﺩﺭﺳﺖ ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺟﺒﺮ ﻳﺎ ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ، ﺑﻄﺮﻳﻘﺘﻴﻦ:‬ ‫ًّ‬ ‫‪٠ ! C  ، ∋ ، ،C‬‬ ‫: ﺑﺘﺤﻠﻴﻞ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ ‪C‬ﺱ٢ + ﺏ ﺱ + ﺟـ = ٠ ‬ ‫)ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺫﻟﻚ ﻣﻤﻜﻨﺎ ﻓﻰ ﺡ(.‬ ‫ً‬ ‫: ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻘﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ، ﻭﻳﻜﻮﻥ ﺟﺬﺭﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪C‬ﺱ٢ + ﺏ ﺱ + ﺟـ = ٠ ﻫﻤﺎ:‬ ‫ ﺏ ! ﺏ ٢-٤‪C‬ﺟـ‬‫ﺱ=‬ ‫٢‪C‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪ C‬ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺱ٢، ﺏ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺱ، ﺟـ ﺍﻟﺤﺪ ﺍﻟﻤﻄﻠﻖ.‬ ‫ﻭﺍﻵﻥ ﺳﻮﻑ ﺗﺪﺭﺱ ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔﺑﻴﺎﻧﻴﺎ.‬ ‫ًّ‬ ‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫ا دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬ ‫ًّ‬ ‫ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ‬ ‫‪Solving quadratic equation graphically‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫: ﺱ٢ + ﺱ - ٦ = ٠ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ، ﺛﻢ ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺻﺤﺔ ﺍﻟﺤﻞ.‬ ‫َ َّ ْ‬ ‫ًّ‬ ‫ﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺱ٢ + ﺱ - ٦ = ٠ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ ﻧﺘﺒﻊ ﺍﻵﺗﻲ:‬ ‫ًّ‬ ‫٢‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( = ﺱ + ﺱ - ٦‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫¯‬
  • 12. ‫¯‬ ‫ﻧﻌﻴﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﺍﻟﺴﻴﻨﻴﺔ ﻟﻨﻘﻂ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﻊ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ، ﻓﺘﻜﻮﻥ ﻫﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ.‬ ‫ﻟﺮﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ )ﺱ( = ﺹ، ﺹ = ﺱ٢ + ﺱ - ٦‬ ‫ً‬ ‫ﻧﻨﺸﻰﺀ ﺟﺪﻭﻻ ﻟﺒﻌﺾ ﻗﻴﻢ ﺱ، ﺛﻢ ﻧﻮﺟﺪ ﻗﻴﻢ ﺹ ﺍﻟﻤﻨﺎﻇﺮﺓ ﻟﻬﺎ ﻛﺎﻵﺗﻲ:‬ ‫٤‬‫٦‬ ‫٣‬‫٠‬ ‫٢‬‫-٤‬ ‫١‬‫-٦‬ ‫٠‬ ‫-٦‬ ‫١‬ ‫-٤‬ ‫٢‬ ‫٠‬ ‫٣‬ ‫٦‬ ‫ﻧﻌﻴﻦ ﻫﺬه ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻰ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ، ﻭﻧﺼﻞ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ‬ ‫ﺑﻤﻨﺤﻨﻰ ﻛﻤﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ.‬ ‫ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻧﺠﺪ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﺍﻟﺴﻴﻨﻴﺔ ﻟﻨﻘﺎﻁ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﻊ ﻣﺤﻮﺭ‬ ‫ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻭﻫﻰ ﺱ = - ٣، ﺱ = ٢ ﻭﺑﺬﻟﻚ ﺗﻜﻮﻥ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺱ٢ + ﺱ – ٦ = ٠ ﻫﻰ }− , {.‬ ‫‪ï M‬‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫¯‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ: ﺱ٢ + ﺱ – ٦ = ٠‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﺜﻼﺛﻰ: )ﺱ + ٣()ﺱ – ٢( = ٠‬ ‫ﺇﻣﺎ ﺱ + ٣ = ٠        ﺃﻭ  ﺱ – ٢ = ٠ ‬ ‫ﺃﻯ ﺱ = -٣   ﺃﻭ  ﺱ = ٢ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍ ﻟﺤﻞ ﻫﻰ }- ٣، ٢{‬ ‫:‬ ‫:‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = - ٣: ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﻤﻦ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ = )- ٣(٢ + )– ٣( – ٦‬ ‫    = ٩ – ٣ – ٦ = ٠ )ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﺴﺮ(‬ ‫ﺱ = - ٣ ﺗﺤﻘﻖ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ.‬ ‫٢‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ٢ : ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﻤﻦ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ = )٢( + )٢( – ٦‬ ‫   = ٤ + ٢ – ٦ = ٠ )ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻷﻳﺴﺮ(‬ ‫ﺱ = ٢ ﺗﺤﻘﻖ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ.‬ ‫ﻻﺣﻆ ﺃﻥ:‬ ‫١- ﻓﻰ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﻠﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺹ = ﺱ٢ + ﺱ – ٦‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺗﻤﺜﻞ ﺩﺍﻟﺔ؛ ﻷﻥ ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﺮﺃﺳﻰ ﻳﻘﻄﻊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ.‬ ‫ﺗﺬﻛﺮ‬ ‫‪,C‬‬ ‫‪= ×C‬‬ ‫=‬ ‫:‪=C‬‬ ‫ﻣ‬ ‫أﺿ‬ ‫ﻌﻠﻮ‬ ‫ﻒ إﻟ‬ ‫ﻰ‬ ‫ﻣﺎ‬ ‫ﺗﻚ‬ ‫‪¯ ¯ F‬‬ ‫‪Vertical line test‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪¯ F‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪F‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ ﻫﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ.‬ ‫ﺍﻟﻤﺪﻯ ﻫﻮ ]- ١ ٦، ∞]‬ ‫٤‬ ‫ً‬ ‫٢- ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﺮﻣﺰ ﺩ)ﺱ( ﺑﺪﻻ ﻣﻦ ﺹ، ﻭ ﻳﻘﺮﺃ ﺩﺍﻟﺔ ﺱ.‬ ‫ُ‬ ‫‪−¯ M‬‬ ‫‪¯ F‬‬ ‫‪M‬‬ ‫¯‬ ‫‪M‬‬ ‫¯‬
  • 13. ‫:‬ ‫‪ï‬‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻜﻮﻳﻦ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻣﺒﺎﺷﺮﺓ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻮ ﺍﻵﺗﻰ:‬ ‫)‪ ،(Table‬ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺎﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺎﺗﻴﺢ‬ ‫١-‬ ‫7‬ ‫‪table‬‬ ‫٢-‬ ‫‪Mode‬‬ ‫: ﻧﻜﺘﺐ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ، ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺎﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺎﺗﻴﺢ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:‬ ‫6‬ ‫٣- ﻧﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺡ‬ ‫– )‪(x‬‬ ‫)‬ ‫‪ALPHA‬‬ ‫+‬ ‫ﺛﻢ ﻧﻜﺘﺐ ﻓﻰ ﺑﺪﺍﻳﺔ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ?‪ -4 START‬ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ‬ ‫=‬ ‫٤- ﺛﻢ ﻧﻜﺘﺐ ﻓﻰ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ‪ EnD‬ﺍﻟﺮﻗﻢ 3 ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ‬ ‫ﺛﻢ ﻧﻀﻐﻂ =‬ ‫=‬ ‫ﻟﻠﺨﺮﻭﺝ ﻣﻦ ﺍﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ: ﻧﻀﻐﻂ   ‬ ‫=‬ ‫ﻧﺤﺪﺩ ﺑﻌﺪ ﺫﻟﻚ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ‪ Step‬ﻭﻧﻜﺘﺐ ﺍﻟﺮﻗﻢ‬ ‫٥- ﻳﺘﻢ ﺇﻧﺸﺎﺀ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﻓﻰ ﺍﻟﺤﺎﺳﺒﺔ، ﻭﻳﻤﻜﻦ ﺍﻟﺘﻨﻘﻞ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺡ‬ ‫1‬ ‫2‪(x) x‬‬ ‫)‬ ‫‪ALPHA‬‬ ‫‪REPLAY‬‬ ‫ﺇﻟﻰ ﺃﻋﻠﻰ ﻭﺇﻟﻰ ﺃﺳﻔﻞ.‬ ‫)‪x f(x‬‬ ‫6 4-‬ ‫0 3-‬ ‫4- 2-‬ ‫6- 1-‬ ‫6- 0‬ ‫1‬ ‫4-‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫6‬ ‫‪Mode‬‬ ‫ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ: ١- ﻫﻞ ﻛﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﻼﻗﺔ? ﻓﺴﺮ ﺫﻟﻚ ﺑﺄﻣﺜﻠﺔ.‬ ‫ِّ‬ ‫٢- ﻫﻞ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﻭﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺑﻤﻌﺎﺩﻻﺕ? ﻓﺴﺮ ﺫﻟﻚ.‬ ‫ِّ‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫6‬ ‫7‬ ‫8‬ ‫1 ﻣﺜﻞ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺹ = ﺱ٢ - ٤ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ، ﺛﻢ ﺃﻭﺟﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺱ٢ - ٤ = ٠‬ ‫ًّ‬ ‫ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺹ = ﺩ)ﺱ( ﻓﺒﻴﻦ ﺃﻥ ﺩ ﺩﺍﻟﺔ، ﻭﺣﺪﺩ ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ﻭﻣﺪﺍﻫﺎ ] ﻧﺎﻗﺶ ﻣﻌﻠﻤﻚ[.‬ ‫ِّ َّ‬ ‫ِّ‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫2 ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﻔﻴ ﺎﺀ: ﺃﻃُﻠْﻘﺖ ﻗﺬﻳﻔﺔ ﺭﺃﺳﻴﺎ ﺑﺴﺮﻋﺔ ﻉ ﺗﺴﺎﻭﻯ ٥٫٤٢ ﻣﺘﺮ/ﺙ. ﺍﺣﺴﺐ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﺍﻟﺰﻣﻨﻴﺔ ﻥ ﺑﺎﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ‬ ‫ُ‬ ‫ًّ‬ ‫ُ‬ ‫ﺗﺴﺘﻐﺮﻗﻬﺎ ﺍﻟﻘﺬﻳﻔﺔ ﺣﺘﻰ ﺗﺼﻞ ﺇﻟﻰ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﻑ ﻣﺘﺮﺍ، ﺣﻴﺚ ﻑ ﺗﺴﺎﻭﻯ ٦٫٩١ ﻣﺘﺮﺍ، ﻋﻠﻤﺎ ﺑﺄﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﻑ، ﻥ ﻛﺎﻵﺗﻰ:‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ﻑ = ﻉ ﻥ – ٩٫٤ ﻥ٢.‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫:‬ ‫¯, =‬ ‫=‬ ‫` ٦٫٩١ = ٥٫٤٢ ﻥ – ٩٫٤ ﻥ‬ ‫٢‬ ‫¯‬ ‫‪¯M‬‬ ‫‪F‬‬ ‫¯‬ ‫`  ٤    = ٥ﻥ – ﻥ‬ ‫٢‬ ‫=‬ ‫–‬ ‫٢‬ ‫` ﻥ٢ – ٥ﻥ + ٤ = ٠‬ ‫.‬ ‫:  ﻥ = ١ ﺛﺎﻧﻴﺔ ﺃﻭ ﻥ = ٤ ﺛﺎﻧﻴﺔ.‬ ‫` )ﻥ – ١( )ﻥ – ٤( = ٠‬ ‫‪M‬‬ ‫: ﺍﻟﻘﺬﻳﻔﺔ ﺗﺼﻞ ﺇﻟﻰ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ٦٫٩١ ﻣﺘﺮﺍ ﺑﻌﺪ ﺛﺎﻧﻴﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ، ﺛﻢ ﺗﺴﺘﻤﺮ ﻓﻰ ﻛﺔ ﻷﻋﻠﻰ ﺣﺘﻰ ﺗﺼﻞ‬ ‫ﺍﻟﺤﺮ‬ ‫¯‬ ‫ً‬ ‫ٍ‬ ‫ﻷﻗﺼﻰ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ، ﺛﻢ ﺗﻌﻮﺩ ﺇﻟﻰ ﻣﻮﺿﻊ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻟﻘﺬﻑ ﺑﻌﺪ ٤ ﺛﻮﺍﻥ ﻣﻦ ﻟﺤﻈﺔ ﺇﻃﻼﻗﻬﺎ.‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫¯‬
  • 14. ‫¯‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫2 ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟ ﺎﺿﺔ: ﻓﻰ ﺇﺣﺪﻯ ﺍﻷﻟﻌﺎﺏ ﺍﻷﻭﻟﻤﺒﻴﺔ ﻗﻔﺰ ﻣﺘﺴﺎﺑﻖ ﻣﻦ ﻣﻨﺼﺔ ﺍﺭﺗﻔﺎﻋﻬﺎ ٨٫٩ ﺃﻣﺘﺎﺭ ﻋﻦ ﺳﻄﺢ ﺍﻟﻤﺎﺀ‬ ‫ﻋﺎﻟﻴﺎ ﻣﺒﺘﻌﺪﺍ ﻋﻨﻬﺎ، ﻓﺈﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﺑﻖ ﻋﻦ ﺳﻄﺢ ﺍﻟﻤﺎﺀ ﻑ ﻣﺘﺮﺍ ﺑﻌﺪ ﺯﻣﻦ ﻗﺪﺭه ﻥ ﺛﺎﻧﻴﺔ ﻳﺘﺤﺪﺩ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ:‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫٢‬ ‫ﻑ = -٩٫٤ﻥ + ٥٤٫٢ﻥ + ٨٫٩ ، ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻷﻗﺮﺏ ﺭﻗﻤﻴﻦ ﻋﺸﺮﻳﻴﻦ ﻣﺘﻰ ﻳﺼﻞ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﺑﻖ ﻟﺴﻄﺢ ﺍﻟﻤﺎﺀ?‬ ‫ﻧﺸﺎط‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﺒﺮﺍﻣﺞ ﺍﻟﻤﺘﺎﺣﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺪﻋﻢ ﺍﻟﻠﻐﺔ ﺍﻟﻌﺮﺑﻴﺔ ﻣﻦ ﻋﻠﻰ ﺷﺒﻜﺔ ﺍﻹﻧﺘﺮﻧﺖ ﻣﺜﻞ ‪ GeoGebra‬ﻭﻣﻮﻗﻌﻪ ﻫﻮ‬ ‫)‪،(/http://geogebra.org/coms‬ﻭﺑﺮﻧﺎﻣﺞ ‪ Graph‬ﻭﻣﻮﻗﻌﻪ ﻫﻮ )‪ (/http://www.padowan.dk‬ﺍﻟﺘﻰ ﻣﻦ ﺧﻼﻟﻬﺎ ﻳﻤﻜﻦ ﺭﺳﻢ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ.‬ ‫أ ﻳﻤﻜﻦ ﺭﺳﻢ ﻣﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﺣﻴﺚ‬ ‫ﺩ )ﺱ( = ﺱ٢ + ٤ﺱ + ٣‬ ‫ﻧﻮﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩ)ﺱ( = ٠ ﺃﻯ ﺱ٢ + ٤ﺱ + ٣ =٠‬ ‫ﻭﺫﻟﻚ ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺗﻌﻴﻦ ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﺍﻟﺴﻴﻨﻴﺔ ﻟﻨﻘﺎﻁ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻣﻊ‬ ‫ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ، ﻭﻫﻰ -٣، -١ ﻟﺘﻜﻮﻥ ﺣﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ؛‬ ‫ًّ‬ ‫ﻭﻟﺬﻟﻚ ﻳﻜﻮﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺣﻼﻥ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻓﻰ ﺡ ﻫﻤﺎ -٣، -١‬ ‫َّ‬ ‫ب ﻧﺮﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﺣﻴﺚ ﺩ )ﺱ( = ﺱ٢ - ٦ﺱ + ٩‬ ‫= ﻓﻴﻜﻮﻥ )ﺱ - ٣(٢ = ٠‬ ‫ﺃﻱ ﺱ -٣ = ٠ ﻓﻴﻜﻮﻥ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺱ = ٣‬ ‫ﻭﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻧﺠﺪ ﺃﻥ ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻳﻤﺲ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻋﻨﺪ ﺱ = ٣‬ ‫ﻭﻫﺬﺍ ﻳﻄﺎﺑﻖ ﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﺠﺒﺮﻱ؛‬ ‫ﻟﺬﻟﻚ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﻭﺣﻴﺪ ﻣﻜﺮﺭ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻓﻰ ﺡ ﻫﻮ ٣‬ ‫6‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1−‬ ‫2−‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫8‬ ‫7‬ ‫6‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫7‬ ‫6‬ ‫5‬ ‫3‬ ‫=‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫٢ ! ٢ -٣‬ ‫= ١ ! -٣ ∌ ‪I‬‬ ‫      =‬ ‫٢‬ ‫‪−¯ M‬‬ ‫0‬ ‫1−‬ ‫4‬ ‫ )-٢( ! )-٢( ٢-٤ *١*٤ ٢ ! -٢١‬‫=‬ ‫` ﺱ=‬ ‫٢‬ ‫٢*١‬ ‫4−‬ ‫1−‬ ‫ﺟ ﻧﺮﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﺣﻴﺚ ﺩ )ﺱ( = ﺱ٢ - ٢ﺱ + ٤ ﺛﻢ ﻧﻀﻊ ﺩ)ﺱ( =٠‬ ‫ﻓﻴﻜﻮﻥ ﺱ٢ - ٢ﺱ + ٤ = ٠‬ ‫ﻭﻳﺘﻌﺬﺭ ﺣﻞ ﻫﺬه ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺑﺎﻟﺘﺤﻠﻴﻞ ﻭﻋﻨﺪ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻘﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ‬ ‫ﺱ = - ﺏ ! ﺏ ٢-٤‪C‬ﺟـ‬ ‫٢‪C‬‬ ‫‪, −= , =C‬‬ ‫3−‬ ‫5−‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1−‬ ‫1−‬ ‫2−‬
  • 15. ‫ﻟﺬﻟﻚ ﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﺣﻠﻮﻝ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﺗﺤﻘﻖ ﻫﺬه ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ، ﻭﻳﺆﻛﺪ ﺫﻟﻚ، ﺭﺳﻢ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ ﻓﻨﺠﺪ ﺃﻥ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻻ‬ ‫ُ‬ ‫ﻳﻘﻄﻊ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻓﻰ ﺃﻱ ﻧﻘﻄﺔ؛ ﻟﺬﻟﻚ ﻓﺈﻥ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻓﻰ ‪ I‬ﻫﻮ ‪. z‬‬ ‫:‬ ‫‪U‬‬ ‫ﻋﻨﺪ ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ ﺗﻮﺟﺪ ﺛﻼﺙ ﺣﺎﻻﺕ:‬ ‫١- ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻳﻘﻄﻊ ﻣﺤﻮﺭ‬ ‫ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ.‬ ‫,‬ ‫٢- ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻳﻤﺲ ﻣﺤﻮﺭ‬ ‫ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻭﺍﺣﺪﺓ.‬ ‫٣- ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻻ ﻳﻘﻄﻊ ﻣﺤﻮﺭ‬ ‫ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ.‬ ‫,‬ ‫,‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻼﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫َّ‬ ‫ﻓﻰ ‪،I‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = }ﻝ، ﻡ{‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻼﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﻓﻰ ‪،I‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = }ﻝ{‬ ‫ﻻﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻓﻰ ‪،I‬‬ ‫ٌّ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ = ‪z‬‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ ‫1 ﺣﻞ ﻣﺸﻜﻼﺕ: ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ )١ + ٢ + ٣ +..... + ﻥ( ﻳﻌﻄﻰ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ﺟـ = ﻥ )١ + ﻥ( ﻓﻜﻢ ﻋﺪﺩﺍ ﺻﺤﻴﺤﺎ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺎ ﺑﺪﺀﺍ ﻣﻦ ﺍﻟﻌﺪﺩ ١ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺠﻤﻮﻋﻬﺎ ﻣﺴﺎﻭ ﻳﺎ ٦٣١‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ً ً‬ ‫٢‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫¯‬
  • 16. ‫ﻣﻘﺪﻣﺔ ﻋﻦ ا ﻋﺪاد اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬ ‫1-2‬ ‫‪Complex Numbers‬‬ ‫و‬ ‫ﻓﻜﺮ‬ ‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬ ‫ﻧﺎﻗﺶ‬ ‫ﺳﺒﻖ ﺃﻥ ﺩﺭﺳﺖ ﻧُﻈﻤﺎ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻸﻋﺪﺍﺩ، ﻭﻫﻰ ﻧﻈﺎﻡ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ ”‪ “P‬ﻭﻧﻈﺎﻡ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ‬ ‫ً‬ ‫/‬ ‫ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ”‪ “N‬ﻭﻧﻈﺎﻡ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ”‪ “K‬ﻭﻏﻴﺮ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ”‪ “ K‬ﻭﺃﺧﻴﺮﺍ ﻧﻈﺎﻡ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ‬ ‫ً‬ ‫ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ”‪ “I‬ﻭﺭﺃﻳﻨﺎ ﺃﻥ ﺃﻯ ﻧﻈﺎﻡ ﻳﻨﺸﺄ ﻛﺘﻮﺳﻴﻊ ﻟﻠﻨﻈﺎﻡ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﺴﺒﻘﻪ ﻟﺤﻞ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ‬ ‫َ‬ ‫ﺟﺪﻳﺪﺓ ﻟﻢ ﺗﻜﻦ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺤﻞ ﻓﻰ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ، ﻭﺇﺫﺍ ﺗﺄﻣﻠﻨﺎ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺱ٢ = -١ ﻧﺠﺪ ﺃﻧﻬﺎ ﻏﻴﺮ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺤﻞ ﻓﻰ ﺡ، ﺇﺫ ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻰ ﻣﺮﺑﻌﻪ ﻳﺴﺎﻭﻯ )-١(‬ ‫ﻳﺤﻘﻖ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ؛ ﻟﺬﺍ ﻧﺤﺘﺎﺝ ﻟﺪﺭﺍﺳﺔ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺪﻳﺪﺓ ﻣﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻛﺒﺔ.‬ ‫ﺍﻟﻤﺮ‬ ‫: ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ‬ ‫ﺹ = ﺱ٢+ ١ ﻧﻼﺣﻆ ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﺃﻥ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ‬ ‫ﻻﻳﻘﻄﻊ ﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ؛ ﻭﺑﺬﻟﻚ ﻻ ﻳﻜﻮﻥ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺱ٢ + ١ = ٠ ﺣﻠﻮﻝ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﻓﻰ ‪.I‬‬ ‫ﻟﺬﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﻦ ﺍﻟﻀﺮﻭﺭﻯ ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﻓﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺪﻳﺪﺓ‬ ‫ﻟﻸﻋﺪﺍﺩ ﻟﺤﻞ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ.‬ ‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫اﻟﻌﺪد اﻟﺘﺨﻴﻠﻰ‬ ‫ﻳﻌﺮﻑ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺘﺨﻴﻠﻰ ﺕ ﺑﺄﻧﻪ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻰ ﻟﻠﻌﺪﺩ )-١(‬ ‫‪‬‬ ‫¯¯‬ ‫‪‬‬ ‫¯‬ ‫¯‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫− −‬ ‫‪Imaginary Number‬‬ ‫¯¯‬ ‫‪Complex Number‬‬ ‫−‬ ‫‪Imaginary numbers‬‬ ‫ﺕ٢ = - ١‬ ‫ا دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬ ‫:    -‪ C = C‬ﺕ  )ﻟﻜﻞ ‪(+I ∋ C‬‬ ‫-٣٤٢ =‬ ‫‪‬‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا ﺳﺎﺳﻴّﺔ‬ ‫ﻭﺗﺴﻤﻰ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﻰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ٢ﺕ، - ٥ﺕ، ٣ ﺕ‬ ‫¯‬ ‫‪‬‬ ‫٣ = ٣ ﺕ،‬‫-٥ = ٥ ﺕ ﻭﻫﻜﺬﺍ......‬ ‫‪‬‬ ‫٩٢*٣)-١( = ٩ ٣ ﺕ‬ ‫ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ: ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ،C‬ﺏ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﻴﻴﻦ ﺳﺎﻟﺒﻴﻦ، ﻓﻬﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻤﻜﻦ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ‬ ‫‪ C‬ﺏ = ‪ C‬ﺏ ? ﻓﺴﺮ ﺫﻟﻚ ﺑﻤﺜﺎﻝ ﻋﺪﺩﻯ.‬ ‫‪−¯ M‬‬
  • 17. ‫‪:áë«ë°üdG ä iƒb‬‬ ‫‪Integer powers of i‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺕ ﻳﺤﻘﻖ ﻗﻮﺍﻧﻴﻦ ﺍﻷﺳﺲ ﺍﻟﺘﻰ ﺳﺒﻖ ﻟﻚ ﺩﺭﺍﺳﺘﻬﺎ، ﻭﻳﻤﻜﻦ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﻘﻮﻯ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ﺕ ﻛﺎﻵﺗﻰ:‬ ‫ﺕ٣   = ﺕ٢ * ﺕ= - ﺕ‬ ‫ﺕ٢   = - ١‬ ‫ﺕ١   = ﺕ‬ ‫ﺕ٥ = ﺕ٤ * ﺕ = ١ * ﺕ = ﺕ‬ ‫ﺕ٤   = ﺕ٢ * ﺕ٢ = -١ * -١ = ١‬ ‫: ﺕ٤ﻥ = ١  ،  ﺕ٤ﻥ + ١ = ﺕ  ،  ﺕ٤ﻥ + ٢ = -١  ،  ﺕ٤ﻥ + ٣ = -ﺕ    ﺣﻴﺚ ﻥ ∋ ‪N‬‬ ‫‪ï‬‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫2 ﺃﻭﺟﺪ ﻛﻼ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ ﻓﻰ ﺃﺑﺴﻂ ﺻﻮﺭﺓ:‬ ‫ًّ‬ ‫٣٤‬ ‫٠٣‬ ‫بﺕ‬ ‫أ ﺕ‬ ‫ﺟ ﺕ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫أ ﺕ٠٣= )ﺕ٤(٧ * ﺕ٢ = ١ * - ١ = - ١‬ ‫ﺟ ﺕ- ١٦ = )ﺕ٤(-٦١ * ﺕ٣ = ١ * ﺕ٣ = - ﺕ‬ ‫د ﺕ‬ ‫- ١٦‬ ‫٤ﻥ + ٩١‬ ‫ب ﺕ٣٤= )ﺕ٤(٠١ * ﺕ٣ = ١ * - ﺕ = - ﺕ‬ ‫د ﺕ٤ﻥ + ٩١= ﺕ٤ﻥ* ﺕ٩١= ١ * )ﺕ٤(٤ * ﺕ٣= ١ * ﺕ٣= - ﺕ‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫1 ﺃﻭﺟﺪ ﻛﻼ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ ﻓﻰ ﺃﺑﺴﻂ ﺻﻮﺭﺓ:‬ ‫ًّ‬ ‫٤ﻥ + ٢٤‬ ‫أ ﺕ٤٢     ب  ﺕ٧٣     ﺟ  ﺕ- ٣٤     د  ﺕ- ١٥     ﻫ  ﺕ٤ﻥ + ٩٢     و  ﺕ‬ ‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ.‬ ‫اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺮﻛﺐ‬ ‫‪Complex number‬‬ ‫¯ ¯ ﻫﻮ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ‪ + C‬ﺏ ﺕ ﺣﻴﺚ ‪ ،C‬ﺏ ﻋﺪﺩﺍﻥ‬ ‫ﻭﻳﺒﻴﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺎﺕ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺸﻜﻞ ﺟﺰﺀﺍ ﻣﻦ ﻧﻈﺎﻡ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻛﺐ.‬ ‫ﺍﻟﻤﺮ‬ ‫ُ‬ ‫ً‬ ‫¯‬ ‫¯‬ ‫¯‬ ‫‪M‬‬ ‫¯‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫¯‬ ‫¯ ¯‬ ‫‪ + C‬ﺏ ﺕ‬
  • 18. ‫¯‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ ،C‬ﺏ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﻴﻴﻦ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻉ ﺣﻴﺚ ﻉ = ‪ + C‬ﺏ ﺕ ﻳﺴﻤﻰ ﻋﺪﺩﺍ ﻛﺒﺎ، ﻭﺗﺴﻤﻰ ‪ C‬ﺑﺎﻟﺠﺰﺀ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻟﻠﻌﺪﺩ‬ ‫ً ﻣﺮ ً‬ ‫ﻛﺐ ﻉ، ﺏ ﺕ ﺑﺎﻟﺠﺰﺀ ﺍﻟﺘﺨﻴﻠﻲ ﻟﻠﻌﺪﺩ ﻛﺐ ﻉ.‬ ‫ﺍﻟﻤﺮ‬ ‫ﺍﻟﻤﺮ‬ ‫ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺏ = ٠ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻉ = ‪ C‬ﻳﻜﻮﻥ ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ، ﻭﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ‪ ٠ = C‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻉ = ﺏ ﺕ ﻳﻜﻮﻥ ﺗﺨﻴﻠﻴﺎ.‬ ‫ًّ‬ ‫ًّ‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫3 ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ٩ﺱ٢ + ٥٢١ = ١٦‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ٩ﺱ٢ + ٥٢١ = ١٦‬ ‫٩ﺱ٢ + ٥٢١ – ٥٢١ = ١٦ – ٥٢١‬ ‫−‬ ‫٩ﺱ٢ = - ٤٦‬ ‫ﺱ٢   = - ٤٦‬ ‫٩‬ ‫ﺱ       = !‬ ‫ﺱ     = !‬ ‫‪¯I‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪¯I‬‬ ‫٤٦‬‫٩‬ ‫٤٦‬ ‫٩ ﺕ=! ٨ ﺕ‬ ‫٣‬ ‫¯‬ ‫‪¯M‬‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫2 ﺣﻞ ﻛﻼ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ:‬ ‫ًّ‬ ‫٢‬ ‫أ ٣ﺱ + ٧٢ = ٠‬ ‫ب ٥ﺱ٢ + ٥٤٢ = ٠‬ ‫ﺗﺴﺎوى ﻋﺪدﻳﻦ ﻣﺮﻛﺒﻴﻦ‬ ‫ﺟ ٤ﺱ٢ + ٠٠١ = ٥٧‬ ‫‪Equality of two complex numbers‬‬ ‫ﻳﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﻌﺪﺩﺍﻥ ﻛﺒﺎﻥ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻂ ﺇﺫﺍ ﺗﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﺠﺰﺁﻥ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻭﺗﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﺠﺰﺁﻥ ﺍﻟﺘﺨﻴﻠﻴﺎﻥ.‬ ‫ﺍﻟﻤﺮ‬ ‫َ‬ ‫،   = ‪E‬‬ ‫:‪=C‬‬ ‫: ‪ + C‬ﺏ ﺕ = ﺟـ + ‪ E‬ﺕ‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫4 ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺘﻰ ﺱ، ﺹ ﺍﻟﻠﺘﻴﻦ ﺗﺤﻘﻘﺎﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ: ٢ﺱ – ﺹ + )ﺱ - ٢ﺹ(ﺕ = ٥ + ﺕ ﺣﻴﺚ ﺱ، ﺹ ∋ ‪ ،I‬ﺕ٢ = -١‬ ‫ُ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫¯‬ ‫‪−¯ M‬‬ ‫¯‬ ‫٢ ﺱ – ﺹ = ٥ ،  ﺱ – ٢ ﺹ = ١‬ ‫    ﺱ   = ٣ ،      ﺹ   = ١‬
  • 19. ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫3 ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺘﻰ ﺱ، ﺹ ﺍﻟﻠﺘﻴﻦ ﺗﺤﻘﻘﺎﻥ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ:‬ ‫ُ‬ ‫أ )٢ﺱ + ١( + ٤ﺹ ﺕ = ٥ – ٢١ ﺕ‬ ‫ب ٢ﺱ – ٣ + )٣ﺹ + ١( ﺕ = ٧ + ٠١ ﺕ‬ ‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ ا ﻋﺪاد اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬ ‫‪Operations on complex numbers‬‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻹﺑﺪﺍﻝ ﻭﺍﻟﺘﺠﻤﻴﻊ ﻭﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻋﻨﺪ ﺟﻤﻊ ﺃﻭ ﺿﺮﺏ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻛﺒﺔ، ﻛﻤﺎ ﺗﻮﺿﺢ ﺫﻟﻚ ﺍﻷﻣﺜﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:‬ ‫ﺍﻟﻤﺮ‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫5 ﺃﻭﺟﺪ ﻓﻰ ﺃﺑﺴﻂ ﺻﻮﺭﺓ ﻧﺎﺗﺞ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ:‬ ‫ٍّ‬ ‫أ )٧ – ٤ﺕ( + )٢ + ﺕ(‬ ‫ب )٢ + ٣ﺕ( )٣ – ٤ﺕ(‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫أ‬ ‫= )٧ – ٤ﺕ( + )٢ + ﺕ(‬ ‫ب‬ ‫=   )٢ + ٣ﺕ( )٣ – ٤ﺕ(‬ ‫= )٧ + ٢( + )-٤ + ١( ﺕ‬ ‫=٩–٣ﺕ‬ ‫ ‬ ‫= ٢ )٣ – ٤ﺕ( + ٣ﺕ )٣ – ٤ﺕ(‬ ‫= ٦ – ٨ﺕ + ٩ ﺕ – ٢١ ﺕ‬ ‫= ٦ – ٨ﺕ + ٩ﺕ + ٢١‬ ‫      ‬ ‫٢‬ ‫= )٦ + ٢١( + )- ٨ + ٩( ﺕ = ٨١ + ﺕ‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫4 ﺃﻭﺟﺪ ﻓﻰ ﺃﺑﺴﻂ ﺻﻮﺭﺓ ﻧﺎﺗﺞ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ:‬ ‫ٍّ‬ ‫أ )٢١ – ٥ﺕ( – )٧ – ٩ﺕ(‬ ‫ب )٤ – ٣ﺕ()٤ + ٣ﺕ(‬ ‫ﺟ )٥ – ٦ﺕ()٣ + ٢ﺕ(‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫¯‬ ‫‪F‬‬ ‫٢=−‬ ‫‪F‬‬
  • 20. ‫¯‬ ‫ﻗﺴﻤﺔ ا ﻋﺪاد اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‬ ‫‪Dividing complex numbers‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩﺍﻥ ‪ + C‬ﺏ ﺕ ، ‪ – C‬ﺏ ﺕ ﻳﺴﻤﻴﺎﻥ ﺑﺎﻟﻌﺪﺩﻳﻦ ﺍﻟﻤﺘﺮﺍﻓﻘﻴﻦ‬ ‫)٤ – ٣ﺕ()٤ + ٣ﺕ( = )٤(٢ – )٣ﺕ(‬ ‫٤ – ٣ﺕ ، ٤ + ٣ﺕ ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻣﺘﺮﺍﻓﻘﺎﻥ، ﺣﻴﺚ:‬ ‫٢‬ ‫   = ٦١ – ٩ﺕ٢ = ٦١ – ٩)-١( = ٥٢‬ ‫ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ:‬ ‫ﻫﻞ ﺑﺎﻟﻀﺮﻭﺭﺓ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﻦ ﺍﻟﻤﺘﺮﺍﻓﻘﻴﻦ ﻫﻮ ﺩﺍﺋﻤﺎ ﻋﺪﺩﺍ ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ? ﻓﺴﺮ ﺫﻟﻚ.‬ ‫ً‬ ‫ًّ ِّ‬ ‫ً‬ ‫ﻫﻞ ﺑﺎﻟﻀﺮﻭﺭﺓ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﻦ ﺍﻟﻤﺘﺮﺍﻓﻘﻴﻦ ﻫﻮ ﺩﺍﺋﻤﺎ ﻋﺪﺩﺍ ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ? ﻓﺴﺮ ﺫﻟﻚ.‬ ‫ً‬ ‫ًّ ِّ‬ ‫ً‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫6 ﺃﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺘﻰ ﺱ، ﺹ ﺍﻟﻠﺘﻴﻦ ﺗﺤﻘﻘﺎﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ:‬ ‫)٢ + ﺕ()٢ - ﺕ( = ﺱ + ﺕ ﺹ‬ ‫٣ + ٤ﺕ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﺕ‬ ‫٤ - ٤ﺕ = ﺱ + ﺕ ﺹ‬ ‫٣+‬ ‫٢‬ ‫+١ ٣‬ ‫٣٤+٤ﺕ * ٣ - ٤ﺕ = ﺱ + ﺕ ﺹ‬ ‫-٤ﺕ‬ ‫¯‬ ‫٥)٣ - ٤ ﺕ(     = ﺱ + ﺕ ﺹ‬ ‫٥٢‬ ‫‪M‬‬ ‫: ﺱ = ٣  ، ﺹ = - ٤‬ ‫٥‬ ‫٥‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫5 ﺃﻭﺟﺪ ﻓﻰ ﺃﺑﺴﻂ ﺻﻮﺭﺓ ﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ:‬ ‫ٍّ‬ ‫أ‬ ‫ﺟ‬ ‫٣-ﺕ‬ ‫٢-ﺕ‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫٣ - ٤ ﺕ         = ﺱ + ﺹ ﺕ‬ ‫٥ ٥‬ ‫٤ - ٦ﺕ‬ ‫٢ﺕ‬ ‫−‬ ‫ب‬ ‫د‬ ‫٦٢‬ ‫٣ - ٢ﺕ‬ ‫٣+٤ﺕ‬ ‫٥ - ٢ﺕ‬ ‫‪−¯ M‬‬ ‫¯‬
  • 21. ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫7 ﻛﻬﺮﺑﺎﺀ: ﺃﻭﺟﺪ ﺷﺪﺓ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻜﻬﺮﺑﻰ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻓﻰ ﻣﻘﺎﻭﻣﺘﻴﻦ ﻣﺘﺼﻠﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﺯﻱ ﻓﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻛﻬﺮﺑﻴﺔ ﻣﻐﻠﻘﺔ،‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺷﺪﺓ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻘﺎﻭﻣﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ٥ – ٣ﺕ ﺃﻣﺒﻴﺮ ﻭﻓﻰ ﺍﻟﻤﻘﺎﻭﻣﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ٢ + ﺕ ﺃﻣﺒﻴﺮ ) ﻋﻠﻤﺎ ﺑﺄﻥ ﺷﺪﺓ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ‬ ‫ً‬ ‫ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﺗﺴﺎﻭﻯ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺷﺪﺗﻰ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻘﺎﻭﻣﺘﻴﻦ(.‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫‪ a‬ﺷﺪﺓ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻜﻬﺮﺑﻰ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ = ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺷﺪﺗﻰ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻘﺎﻭﻣﺘﻴﻦ.‬ ‫= )٥ - ٣ﺕ( + )٢ + ﺕ(‬ ‫`‬ ‫= )٥ + ٢( + )-٣ + ١( ﺕ‬ ‫= ٧ - ٢ﺕ ﺃﻣﺒﻴﺮ‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫6 ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺷﺪﺓ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻜﻬﺮﺑﻰ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻓﻰ ﻣﻘﺎﻭﻣﺘﻴﻦ ﻣﺘﺼﻠﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻮﺍﺯﻯ ﻓﻰ ﺩﺍﺋﺮﺓ ﻛﻬﺮﺑﻴﺔ ﻣﻐﻠﻘﺔ ﺗﺴﺎﻭﻯ‬ ‫٦ + ٤ ﺕ ﺃﻣﺒﻴﺮ، ﻛﺎﻧﺖ ﺷﺪﺓ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻓﻰ ﺇﺣﺪﺍﻫﻤﺎ ٧١ ، ﻓﺄﻭﺟﺪ ﺷﺪﺓ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻘﺎﻭﻣﺔ ﺍﻷﺧﺮﻯ.‬ ‫ﻭ‬ ‫٤-ﺕ‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ ‫1 ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ: ﺃﻭﺟﺪ ﻓﻰ ﺃﺑﺴﻂ ﺻﻮﺭﺓ )١- ﺕ(‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫¯‬ ‫٠١‬
  • 22. ‫ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻧﻮع ﺟﺬرى اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‬ ‫1-3‬ ‫‪Determining the Types of Roots of a Quadratic Equation‬‬ ‫ﻓﻜﺮ‬ ‫و‬ ‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬ ‫ﻧﺎﻗﺶ‬ ‫ﺳﺒﻖ ﺃﻥ ﺩﺭﺳﺖ ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ )ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ( ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ ﻓﻰ ﺡ؛ ﻭﻋﻠﻤﺖ‬ ‫ﻣﻦ ﺧﻼﻝ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺃﻥ ﻋﺪﺩ ﺣﻠﻮﻟﻬﺎ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺇﻣﺎ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺣﻠﻴﻦ ﺃﻭ ﺣﻼ ﻭﺣﻴﺪﺍ ﻣﻜﺮﺭﺍ،‬ ‫ًّ‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ﺃﻭ ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻓﻰ ﺡ، ﻓﻬﻞ ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻋﺪﺩ ﺟﺬﻭﺭ )ﺣﻠﻮﻝ( ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ‬ ‫ﺡ ﺩﻭﻥ ﺣﻠﻬﺎ?‬ ‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫اﻟﻤﻤﻴﺰ‬ ‫‪‬‬ ‫‪Discriminant‬‬ ‫ﺟﺬﺭﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ‪C‬ﺱ٢ + ﺏ ﺱ + ﺟـ = ٠   ﺣﻴﺚ ‪ ،C ،٠ ! C‬ﺏ، ﺟـ ∋ ‪I‬‬ ‫ﻫﻤﺎ: - ﺏ + ﺏ ٢-٤‪C‬ﺟـ ، - ﺏ - ﺏ ٢-٤‪C‬ﺟـ‬ ‫٢‪C‬‬ ‫٢‪C‬‬ ‫ﻛﻼ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ ﻳﺤﺘﻮﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ ﺏ٢ - ٤‪C‬ﺟـ .‬ ‫ﻭ‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا ﺳﺎﺳﻴّﺔ‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ ﺏ٢ – ٤‪C‬ﺟـ ﻣﻤﻴﺰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ، ﻭﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﻟﺘﺤﺪﻳﺪ ﻧﻮﻉ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ.‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫1‬ ‫أ ٥ﺱ٢ + ﺱ - ٧ =٠‬ ‫ﺟ - ﺱ٢ + ٥ﺱ - ٠٣ = ٠‬ ‫‪‬‬ ‫‪Root‬‬ ‫‪Discriminant‬‬ ‫:‬ ‫ب ﺱ٢ - ٢ﺱ + ١ = ٠‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫:‬ ‫أ ‪ ، ٥ = C‬ﺏ = ١ ، ﺟـ = -٧‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ = ﺏ٢ - ٤‪C‬ﺟـ‬ ‫         = ١ - ٤ * ٥ )-٧( = ١٤١‬ ‫  ‬ ‫‪ a‬ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ ﻣﻮﺟﺐ ﻟﺬﻟﻚ ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ.‬ ‫ب ‪ ، ١ = C‬ﺏ = -٢ ، ﺟـ = ١‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ = ﺏ٢ - ٤‪ C‬ﺟـ‬ ‫     ‬ ‫                = ٤ - ٤ * ١ * ١ = ٠‬ ‫‪ a‬ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﺻﻔﺮﺍ، ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺠﺬﺭﺍﻥ ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻭﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ.‬ ‫ً‬ ‫‪−¯ M‬‬ ‫ا دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬ ‫‪‬‬
  • 23. ‫¯‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ = ﺏ٢ - ‪C‬ﺟـ‬ ‫      = ٥٢ - ٤ * -١ * -٠٣ = -٥٩‬ ‫ﺟ ‪ ، ١- = C‬ﺏ = ٥ ، ﺟـ = - ٠٣‬ ‫        ‬ ‫‪ a‬ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ ﺳﺎﻟﺐ، ﺇﺫﻥ ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﻛﺒﺎﻥ.‬ ‫ﻣﺮ‬ ‫‪MM‬‬ ‫¯‪M‬‬ ‫)ﺏ٢ – ٤‪C‬ﺟـ( < ٠‬ ‫ﺏ٢ – ٤‪C‬ﺟـ = ٠‬ ‫¯‬ ‫ﺏ٢ – ٤‪C‬ﺟـ > ٠‬ ‫¯‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫1 ﺣﺪﺩ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﺠﺬﻭﺭ ﻭﺃﻧﻮﺍﻋﻬﺎ ﻟﻜﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻵﺗﻴﺔ :‬ ‫ِّ‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫ب ٢١ﺱ – ٤ﺱ = ٩‬ ‫أ ٦ﺱ = ٩١ ﺱ – ٥١‬ ‫د ﺱ)ﺱ + ٥( = ٢)ﺱ – ٧(‬ ‫ﺟ ﺱ )ﺱ – ٢( = ٥‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫2 ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ٢ﺱ٢ – ٣ ﺱ + ٢ = ٠ ﻛﺒﺎﻥ، ﺛﻢ ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﻘﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻫﺬﻳﻦ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ.‬ ‫ﻣﺮ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫‪= , −= , =C‬‬ ‫‪ a‬ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ = ﺏ٢ – ٤‪C‬ﺟـ‬ ‫¯‬ ‫‪a‬‬ ‫` ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ = )- ٣(٢ – ٤ * ٢ * ٢ = ٩ – ٦١ = - ٧‬ ‫¯‬ ‫`‬ ‫: ﺱ = - ﺏ ! ﺏ ٢-٤‪C‬ﺟـ‬ ‫٢‪C‬‬ ‫          ﺱ = - )-٣( ! -٧ = ٣ !‬ ‫:٣+‬ ‫٤‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫¯‬ ‫٢ *٢‬ ‫٧‬ ‫٤‬ ‫ﺕ،   ٣ -‬ ‫٤‬ ‫٧‬ ‫٤‬ ‫٤‬ ‫٧ ﺕ‬ ‫ﺕ‬
  • 24. ‫¯‬ ‫ﻛﺒﺔ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻣﺘﺮﺍﻓﻘﻴﻦ?‬ ‫ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ: ﻫﻞ ﺑﺎﻟﻀﺮﻭﺭﺓ ﺃﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﺟﺬﺭﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻤﺮ‬ ‫ﻭﺿﺢ ﺑﻤﺜﺎﻝ ﻣﻦ ﻋﻨﺪﻙ.‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫2 ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ٧ﺱ٢ – ١١ ﺱ + ٥ = ٠ ﻛﺒﺎﻥ، ﺛﻢ ﺍﺳﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﻘﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻹﻳﺠﺎﺩ ﻫﺬﻳﻦ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ.‬ ‫ﻣﺮ‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫3 ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺟﺬﺭﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺱ٢ + ٢)ﻙ – ١( ﺱ + ٩ = ٠ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﻴﻦ، ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻗﻴﻢ ﻙ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ، ﺛﻢ ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺻﺤﺔ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ:‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫: ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻙ = ٤‬ ‫: ﺱ٢ + ٦ﺱ + ٩ = ٠‬ ‫¯‬ ‫ﻭﻳﻜﻮﻥ ﻟﻬﺎ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ ﻫﻤﺎ: -٣، -٣‬ ‫: ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻙ = -٢‬ ‫: ﺱ٢ - ٦ﺱ + ٩ = ٠‬ ‫¯‬ ‫ﻭﻳﻜﻮﻥ ﻟﻬﺎ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ ﻫﻤﺎ: ٣،٣‬ ‫ﺏ٢ – ٤‪C‬ﺟـ = ٠‬ ‫٤)ﻙ – ١(٢ – ٤ * ١ * ٩ = ٠‬ ‫٤ﻙ٢ – ٨ﻙ - ٢٣ = ٠‬ ‫ﻙ٢ – ٢ﻙ - ٨ = ٠‬ ‫)ﻙ – ٤()ﻙ + ٢( = ٠‬ ‫ﻙ = ٤ ﺃﻭ ﻙ = -٢‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫3 ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺟﺬﺭﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺱ٢ – ٢ﻙ ﺱ + ٧ﻙ – ٦ﺱ + ٩ = ٠ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﻴﻦ، ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻗﻴﻢ ﻙ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ، ﺛﻢ ﺃﻭﺟﺪ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ.‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ ‫1 ﺍﻟﺮﺑﻂ ﺑﺎﻟﺼﺤﺔ: ﺗﻘﻮﻡ ﻣﻨﻈﻤﺔ ﺍﻟﺼﺤﺔ ﺍﻟﻌﺎﻟﻤﻴﺔ ﺑﺠﻬﻮﺩ ﻛﺒﻴﺮﺓ‬ ‫ﻟﻠﺘﻮﻋﻴﺔ ﺑﺄﺧﻄﺎﺭ ﺃﻣﺮﺍﺽ ﺍﻟﻜﺒﺪ ﺍﻟﻮﺑﺎﺋﻲ، ﻭﻓﻲ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﻗﺎﻣﺖ ﺑﻬﺎ‬ ‫ﻓﻰ ﺃﺣﺪ ﺍﻟﺒﻠﺪﺍﻥ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ ٠٠٠٠١ ﺷﺨﺺ ﻓﻰ ﺃﺣﺪ ﺍﻷﻋﻮﺍﻡ ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫ﻧﺘﺎﺋﺠﻬﺎ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﺒﻴﻦ ﻓﻰ ﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ. ﻭﺗﻤﺜﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ:‬ ‫ﺹ = -٥,٢ ﻥ٢ - ٥,٧ ﻥ + ٥٤٩ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻤﺼﺎﺑﻴﻦ، ﺣﻴﺚ ﻥ ﺗﻤﺜﻞ ﻋﺪﺩ‬ ‫ﺍﻟﺴﻨﻮﺍﺕ ﺑﻌﺪ ﻋﺎﻡ ٥٠٠٢.‬ ‫ﺍﻟﻌﺎﻡ‬ ‫٥٠٠٢‬ ‫٥٤٩‬ ‫٠١٠٢‬ ‫٥٤٨‬ ‫٧٠٠٢‬ ‫٤١٠٢‬ ‫٠٢٠٢‬ ‫٠٢٩‬ ‫................................................................................‬ ‫................................................................................‬ ‫أ ﺍﺣﺴﺐ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻤﺼﺎﺑﻴﻦ ﻓﻰ ﻋﺎﻣﻰ ٤١٠٢، ٠٢٠٢‬ ‫ب ﺃﻭﺟﺪ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻘﺎﻧﻮﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻗﻴﻤﺔ ﻥ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺹ = ٥٩٤‬ ‫ﺟ ﻣﺘﻰ ﻳﺼﺒﺢ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻤﺼﺎﺑﻴﻦ ﻣﺴﺎﻭ ﻳﺎ ﺻﻔﺮﺍ? ﻭﻫﻞ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﺘﻮﻗﻊ ﻣﻌﻘﻮﻝ? ﻓﺴﺮ ﺇﺟﺎﺑﺘﻚ?‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫د ﺍﺑﺤﺚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﺸﺒﻜﺔ ﺍﻟﺪﻭﻟﻴﺔ )ﺍﻷﻧﺘﺮﻧﺖ( ﺃﺳﺒﺎﺏ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺮﺽ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺍﻟﻮﻗﺎﻳﺔ ﻣﻨﻪ ﻭﻃﺮﻕ ﻋﻼﺟﻪ.‬ ‫ﻭ‬ ‫‪−¯ M‬‬
  • 25. ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺟﺬرى ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ وﻣﻌﺎﻣﻼت ﺣﺪودﻫﺎ‬ ‫‪The Relation Between Two Roots of the Second Degree‬‬ ‫‪Equation and the Coefficients of its Terms‬‬ ‫1-4‬ ‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬ ‫و‬ ‫ﻓﻜﺮ‬ ‫‪‬‬ ‫¯‬ ‫ﻧﻌﻠﻢ ﺃﻥ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ٤ﺱ٢ – ٨ﺱ + ٣ = ٠ ﻫﻤﺎ ١  ،   ٣‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫١ + ٣ = ١+٣ = ٢‬ ‫٢ ٢ ٢‬ ‫١*٣=٣‬ ‫¯‬ ‫٢ ٢ ٤‬ ‫‪M‬‬ ‫‪‬‬ ‫¯‬ ‫‪‬‬ ‫¯‬ ‫ﻧﺎﻗﺶ‬ ‫¯‬ ‫ﻫﻞ ﺗﻮﺟﺪ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻭﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﺣﺪﻭﺩﻫﺎ?‬ ‫َ‬ ‫ﻫﻞ ﺗﻮﺟﺪ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻭﻣﻌﺎﻣﻼﺕ ﺣﺪﻭﺩﻫﺎ?‬ ‫َ‬ ‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺠﺬرﻳﻦ وﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺑﻬﻤﺎ‬ ‫‪Sum and product of two roots‬‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا ﺳﺎﺳﻴّﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫ﺟﺬﺭﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ‪ C‬ﺱ٢ + ﺏ ﺱ + ﺟـ = ٠ ﻫﻤﺎ:‬ ‫-ﺏ+‬ ‫‪Sum of Two Roots‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Product of Two Roots‬‬ ‫٢‬ ‫ﺏ -٤‪C‬ﺟـ ،‬ ‫٢‪C‬‬ ‫ ﺏ - ﺏ ٢-٤‪C‬ﺟـ‬‫٢‪C‬‬ ‫ﻭﺑﺎﻋﺘﺒﺎﺭ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻷﻭﻝ = ﻝ، ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻟﺜﺎﻧﻰ = ﻡ ﻓﺈﻥ:‬ ‫ﻝ+ﻡ=‬ ‫-ﺏ‬ ‫)ﺃﺛﺒﺖ ﺫﻟﻚ(‬ ‫‪C‬‬ ‫ﻝﻡ=‬ ‫ﺟـ‬ ‫‪C‬‬ ‫)ﺃﺛﺒﺖ ﺫﻟﻚ(‬ ‫ﺗﻌ ﻴﺮ ﺷﻔﻬﻰ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ‪ C‬ﺱ٢ + ﺏ ﺱ + ﺟـ = ٠‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻝ + ﻡ ، ﻝ ﻡ ﻓﻰ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ:‬ ‫ﺟ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ = C‬ﺟـ‬ ‫ب ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺏ = ‪C‬‬ ‫أ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪١ = C‬‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫ا دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬ ‫1 ﺩﻭﻥ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻭﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ:‬ ‫٢ﺱ٢ + ٥ ﺱ – ٢١ = ٠‬ ‫‪‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫‪ ، ٢ = C‬ﺏ = ٥ ، ﺟـ = - ٢١‬ ‫       =‬ ‫-ﺏ‬ ‫¯‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫¯‬ ‫= -٥ = - ٥‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫‪C‬‬ ‫    = ﺟـ       = -٢١‬ ‫٢  = -٦‬ ‫‪C‬‬
  • 26. ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫1 ﺩﻭﻥ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻭﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺟﺬﺭﻯ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ :‬ ‫ﺟ )٢ﺱ – ٣( )ﺱ + ٢( = ٠‬ ‫ب ٣ ﺱ٢ = ٣٢ ﺱ – ٠٣‬ ‫أ ٢ ﺱ٢ + ﺱ – ٦ = ٠‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫2 ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ٢ ﺱ٢ - ٣ ﺱ + ﻙ = ٠ ﻳﺴﺎﻭﻯ ١ ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻙ، ﺛﻢ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻛﺒﺔ.‬ ‫ﺍﻟﻤﺮ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫¯‬ ‫‪, −= , =C‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫:‬ ‫ﺟـ‬ ‫‪C‬‬ ‫       ` ﻙ = ١       ` ﻙ    = ٢‬ ‫٢‬ ‫ﺱ = - ﺏ ! ﺏ ٢-٤‪C‬ﺟـ‬ ‫٢‪C‬‬ ‫    = ٣ ! ٩ - ٦١ = ٣ ! -٧ = ٣ ! ٧ ﺕ‬ ‫٤‬ ‫٧‬ ‫٧‬ ‫٣‬ ‫٣‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻰ } ٤ + ٤ ﺕ ،   ٤ - ٤‬ ‫٤‬ ‫٤‬ ‫ﺕ{‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫2 ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ٣ﺱ٢ + ٠١ﺱ – ﺟـ = ٠ ﻫﻮ -٨ ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺟـ، ﺛﻢ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ.‬ ‫٣‬ ‫3 ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ٢ ﺱ٢ + ﺏ ﺱ - ٥ = ٠ ﻫﻮ - ٣ ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺏ، ﺛﻢ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ.‬ ‫٢‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫3 ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ )١ + ﺕ( ﻫﻮ ﺃﺣﺪ ﺟﺬﻭﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺱ٢ - ٢ ﺱ + ‪ = C‬ﺣﻴﺚ ‪ * I∋ C‬ﻓﺄﻭﺟﺪ:‬ ‫أ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻵﺧﺮ‬ ‫ب ﻗﻴﻤﺔ ‪C‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫‪=C‬‬ ‫=‪C‬‬ ‫, =− ,‬ ‫أ ‪ + ١ a‬ﺕ  ﻫﻮ ﺃﺣﺪ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫   ‬ ‫` ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻵﺧﺮ = ١ - ﺕ‬ ‫¯‬ ‫ب ‪ a‬ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ = ‪C‬‬ ‫` ) ١ + ﺕ ( ) ١ - ﺕ( = ‪C‬‬ ‫` ١+١=‪C‬‬ ‫` ‪٢ =  C‬‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫4 ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ )٢ + ﺕ( ﻫﻮ ﺃﺣﺪ ﺟﺬﻭﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺱ٢ -٤ ﺱ + ﺏ = ٠ ﻓﺄﻭﺟﺪ‬ ‫ب ﻗﻴﻤﺔ ﺏ‬ ‫أ ﺍﻟﺠﺬﺭ ﺍﻵﺧﺮ.‬ ‫‪−¯ M‬‬ ‫=‬
  • 27. ‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫ﺗﻜﻮﻳﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻣﺘﻰ ُﻋﻠﻢ ﺟﺬراﻫﺎ‬ ‫‪Forming the quadratic equation whose roots are known‬‬ ‫,‬ ‫¯‬ ‫: ‪C‬ﺱ٢ + ﺏ ﺱ + ﺟـ = ٠، ‪٠ ! C‬‬ ‫¯‬ ‫‪¯I‬‬ ‫ﺱ٢ - )‬ ‫-ﺏ‬ ‫‪C‬‬ ‫` ﺱ٢ +‬ ‫‪:C‬‬ ‫(ﺱ+‬ ‫ﺟـ‬ ‫‪C‬‬ ‫=٠‬ ‫‪ a‬ﻝ، ﻡ ﺟﺬﺭﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ،  ﻝ + ﻡ = -‬ ‫¯‬ ‫`‬ ‫,‬ ‫:‬ ‫ﺏ‬ ‫‪C‬‬ ‫ﺏ‬ ‫‪C‬‬ ‫ﺱ+‬ ‫ ، ﻝ ﻡ =‬ ‫ﺟـ‬ ‫‪C‬‬ ‫=٠‬ ‫ﺟـ‬ ‫‪C‬‬ ‫ﺱ٢ – )ﻝ + ﻡ( ﺱ + ﻝ ﻡ = ٠‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫4 ﻛﻮﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺟﺬﺭﺍﻫﺎ ٤، -٣‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫,‬ ‫‪ a‬ﻝ + ﻡ = ٤ + )- ٣( = ١، ﻝ ﻡ = ٤ )- ٣( = - ٢١،  ‪a‬‬ ‫ﺱ٢ – ﺱ – ٢١ = ٠‬ ‫:‬ ‫`‬ ‫¯‬ ‫: ﺱ٢ – )ﻝ + ﻡ( ﺱ + ﻝ ﻡ = ٠‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫5 ﻛﻮﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺟﺬﺭﺍﻫﺎ:   -٢+٢ﺕ  ،   -٢-٤ﺕ‬ ‫ِّ‬ ‫١+ﺕ‬ ‫٢-ﺕ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ﺟﺬﺭﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻤﺎ ﻝ، ﻡ‬ ‫ﻝ     = -٢+٢ﺕ * ١ - ﺕ = ٤ ﺕ  =‬ ‫٢‬ ‫١-ﺕ‬ ‫١+ﺕ‬ ‫ﻡ      = -٢-٤ﺕ * ٢ +ﺕ = - ٠١ﺕ = −‬ ‫٥‬ ‫٢ +ﺕ‬ ‫٢-ﺕ‬ ‫ﻝ + ﻡ = ٢ ﺕ - ٢ ﺕ = ٠‬ ‫ ، ﻝ ﻡ = ٢ ﺕ * - ٢ ﺕ = - ٤ﺕ٢ = ٤‬ ‫‪ a‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺟﺬﺭﺍﻫﺎ ﻝ ، ﻡ :   ﺱ٢ + ) ﻝ + ﻡ ( ﺱ + ﻝ ﻡ = ٠‬ ‫` ﺱ٢+٤=٠‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫5 ﻛﻮﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻰ ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﻴﺔ ﺟﺬﺭﻳﻬﺎ:‬ ‫ِّ‬ ‫ب‬ ‫ ٩ ﺕ ، ٩ ﺕ‬‫أ ٣ ، -٥‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫¯‬ ‫ﺟ‬ ‫٣  ،  ٣ + ٣ﺕ‬ ‫ﺕ‬ ‫١-ﺕ‬
  • 28. ‫ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ: ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ ﻳﻤﺜﻞ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ ﻣﻨﺤﻨﻴﺎﺕ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻰ ﻳﻤﺮ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ )٠، -٢( ، )٠، ٢(.‬ ‫ﺃﻭﺟﺪ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﻛﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﻣﻦ ﻫﺬه ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ‬ ‫‪iôNCG á«©«HôJ ádOÉ©e á«eƒ∏©ªH á«©«HôJ ádOÉ©e øjƒμJ‬‬ ‫−‬ ‫‪Forming a quadratic equation from the roots of another equation‬‬ ‫−‬ ‫− −‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫6 ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻝ، ﻡ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ٢ ﺱ٢ – ٣ ﺱ – ١ = ٠ ﻓﻜﻮﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻰ ﺟﺬﺭﺍﻫﺎ ﻝ٢، ﻡ٢.‬ ‫−‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫  ‪ ،٢ = C‬ﺏ = - ٣، ﺟـ = -١: ﻝ + ﻡ =- -٣ = ٣ ، ﻝ ﻡ = - ١‬ ‫٢‬ ‫٢ ٢‬ ‫=− ١‬ ‫٢‬ ‫ﻝ٢ + ﻡ٢ = )ﻝ + ﻡ( – ٢ ﻝ ﻡ‬ ‫+ = ٣,‬ ‫‪M‬‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫` ﻝ٢ + ﻡ٢ = ) ﻝ + ﻡ (٢ - ٢ ﻝ ﻡ = ) ٣ (٢ – ٢ * )- ١ (‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٩ ٤ ٣١‬ ‫٩‬ ‫  ‬ ‫= ٤ +١= ٤ + ٤ = ٤‬ ‫‪ a‬ﻝ٢ﻡ٢     = )ﻝ ﻡ(‬ ‫ﻻﺣﻆ أن‬ ‫٢‬ ‫+ =‬ ‫` ﻝ٢ﻡ٢     = )- ١ (٢ = ١‬ ‫٤‬ ‫٢‬ ‫+‬ ‫−‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻓﻰ ﺻﻴﻐﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ: ﺱ٢ – )ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺍﻟﺠﺬﺭﻳﻦ( ﺱ + ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺑﻬﻤﺎ = ٠‬ ‫¯ ‪¯I‬‬ ‫ﺱ٢ - ٣١ ﺱ + ١ = ٠‬ ‫٤‬ ‫٤‬ ‫¯‬ ‫`‬ ‫‪M‬‬ ‫: ٤ ﺱ٢ – ٣١ ﺱ + ٤ = ٠‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫6 ﻓﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ٢ ﺱ٢ – ٣ ﺱ – ١ = ٠ ﻛﻮﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺟﺬﺭﺍ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﻛﺎﻵﺗﻰ:‬ ‫ِّ‬ ‫ﻝ ﻡ‬ ‫أ ١ ١‬ ‫ب‬ ‫ﺟ ﻝ+ﻡ،ﻝﻡ‬ ‫،‬ ‫،‬ ‫ﻝ‬ ‫ﻡ‬ ‫ﻡ‬ ‫ﻝ‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ ‫1 ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻛﻮﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺟﺬﺭﺍﻫﺎ:‬ ‫أ ٣،٤‬ ‫ب ٥ ٣ ، -٢ ٣‬ ‫٤ ٣‬ ‫ﺟ ٣+ ٢ ﺕ،٣- ٢ ﺕ‬ ‫2 ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻝ، ﻡ ﻫﻤﺎ ﺟﺬﺭﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺱ٢ + ٣ﺱ -٥ = ٠ ﻓﻜﻮﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﺟﺬﺭﺍﻫﺎ ﻝ٢، ﻡ٢.‬ ‫ِّ‬ ‫‪−¯ M‬‬
  • 29. ‫إﺷﺎرة اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫1-5‬ ‫‪Sign of a Function‬‬ ‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬ ‫ﻓﻜﺮ‬ ‫:‬ ‫‪‬‬ ‫و‬ ‫ﻧﺎﻗﺶ‬ ‫ﺳﺒﻖ ﺃﻥ ﺩﺭﺳﺖ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ، ﻭﺗﻌﺮﻓﺖ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻛﻞ ﺩﺍﻟﺔ. ﻓﻬﻞ ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺑﺤﺚ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻫﺬه ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ?‬ ‫ﺍﻟﻤﻘﺼﻮﺩ ﺑﺒﺤﺚ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻫﻮ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻗﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺱ )ﻣﺠﺎﻝ ﺱ( ﺍﻟﺘﻰ ﺗﻜﻮﻥ‬ ‫ﻋﻨﺪﻫﺎ ﻗﻴﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻮ ﺍﻵﺗﻰ:‬ ‫, ﺃﻯ‬ ‫ﺩ)ﺱ( < ٠‬ ‫ﺩ)ﺱ( > ٠‬ ‫, ﺃﻯ‬ ‫¯ ﺩ)ﺱ( = ٠‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا ﺳﺎﺳﻴّﺔ‬ ‫‪áàHÉãdG ádGódG IQÉ°TEG :’hCG‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Sign of a function‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Constant Function‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪Linear Function‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪First: The sign of the Constant Function‬‬ ‫ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﺑﺘﺔ ﺩ ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( = ﺟـ )ﺟـ ! ٠( ﻫﻰ ﻧﻔﺲ ﺇﺷﺎﺭﺓﺟـ ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ‪.I‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ ﻳﻮﺿﺢ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ.‬ ‫ﺟـ < ٠‬ ‫¯‬ ‫‪Quadratic Function‬‬ ‫ﺟـ > ٠‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ‪I‬‬ ‫ا دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ‪I‬‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫1 ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ:‬ ‫أ ﺩ)ﺱ( = ٥‬ ‫‪‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫أ ‪ a‬ﺩ)ﺱ( < ٠‬ ‫ب ‪ a‬ﺩ)ﺱ( > ٠‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫¯‬ ‫ب ﺩ)ﺱ( = -٧‬ ‫` ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ‪I‬‬ ‫` ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ‪I‬‬
  • 30. ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫1 ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ:‬ ‫أ ﺩ)ﺱ( = - ٢‬ ‫٣‬ ‫ب ﺩ)ﺱ( = ٥‬ ‫٢‬ ‫‪(á«£îdG ádGódG) ≈dhC’G áLQódG ádGO IQÉ°TEG :Ék«fÉK‬‬ ‫ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﻫﻰ ﺩ)ﺱ( = ﺏ ﺱ + ﺟـ ، ﺏ ! ٠‬ ‫ﻭﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺒﻴﺎﻧﻰ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ ﻳﻮﺿﺢ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ.‬ ‫‪Second: Sign of the Linear Function‬‬ ‫ﺟـ‬ ‫ﺱ = - ﺏ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺩ)ﺱ( = ٠‬ ‫،‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫<‬ ‫−‬ ‫٠‬ ‫−‬ ‫>‬ ‫−‬ ‫−∞‬ ‫∞‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫2 ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( = ﺱ – ٢ ﻣﻊ ﺗﻮﺿﻴﺢ ﺫﻟﻚ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ:‬ ‫ًّ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﺩ)ﺱ( = ﺱ – ٢‬ ‫ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ:‬ ‫ﺭﺳﻢ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ:‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺱ = ٢‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺩ)ﺱ( = ٠‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ٠‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺩ)ﺱ( = - ٢‬ ‫:‬ ‫¯‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ < ٢‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ)ﺱ( = ٠ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ٢‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ > ٢‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫2 ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ)ﺱ( = - ٢ﺱ – ٤ ﻣﻊ ﺗﻮﺿﻴﺢ ﺫﻟﻚ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ.‬ ‫ًّ‬ ‫‪−¯ M‬‬ ‫− −‬ ‫−‬
  • 31. ‫‪á«©«HôàdG ádGódG IQÉ°TEG :ÉãdÉK‬‬ ‫.‪Third: Sign of the Quadratic Function‬‬ ‫ﻟﺘﻌﻴﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺩ، ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( = ‪ C‬ﺱ٢ + ﺏ ﺱ + ﺟـ ، ‪٠ ! C‬‬ ‫:‬ ‫+ =‬ ‫‪+٢ C‬‬ ‫:ﺏ٢ – ٤‪ C‬ﺟـ < ٠ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻝ، ﻡ، ﻭﺑﻔﺮﺽ ﺃﻥ ﻝ > ﻡ ﺗﻜﻮﻥ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻛﻤﺎ ﻓﻰ‬ ‫ﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ:‬ ‫٠‬ ‫∞‬ ‫٠‬ ‫−∞‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫3 ﻣﺜﻞ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ ﺩ، ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( = ﺱ٢ – ٢ ﺱ – ٣ ﺛﻢ ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ.‬ ‫ًّ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫: ﺱ٢ – ٢ ﺱ – ٣ = ٠‬ ‫        )ﺱ - ٣( )ﺱ + ١( = ٠‬ ‫: -١، ٣‬ ‫:‬ ‫¯‬ ‫ﺩ)ﺱ( < ٠ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ ∋ ﺡ – ]- ١، ٣[‬ ‫ﺩ)ﺱ( > ٠ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ ∋ [ – ١، ٣ ]‬ ‫ﺩ)ﺱ( = ٠ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ ∋ }- ١، ٣{‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫3 ﻣﺜﻞ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ ﺩ، ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( = ﺱ٢ – ﺱ + ٦ ﺛﻢ ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ.‬ ‫ًّ‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫¯‬ ‫− − −‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫−‬
  • 32. ‫: ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ: ﺏ٢ – ٤‪ C‬ﺟـ > ٠ ﻓﺈﻧﻪ ﻻﺗﻮﺟﺪ ﺟﺬﻭﺭ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ، ﻭﺗﻜﻮﻥ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﻣﺜﻞ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺱ٢، ﻭﺍﻷﺷﻜﺎﻝ‬ ‫ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻮﺿﺢ ﺫﻟﻚ.‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ: ‪٠ > C‬‬ ‫ﺩ)ﺱ( > ٠ ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ‪I‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ: ‪٠ < C‬‬ ‫ﺩ)ﺱ( < ٠ ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ‪I‬‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫4 ﻣﺜﻞ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ ﺩ ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( = ﺱ٢ – ٤ﺱ + ٥ ﺛﻢ ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ.‬ ‫ًّ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ )ﺏ٢– ٤ ‪ C‬ﺟـ( = )-٤(٢ – ٤ * ١* ٥‬ ‫  = ٦١ – ٠٢ = - ٤ > ٠‬ ‫ﻟﺬﻟﻚ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺱ٢ – ٤ﺱ + ٥ = ٠ ﻟﻴﺲ ﻟﻬﺎ ﺟﺬﻭﺭ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ‪) I‬ﻷﻥ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺱ٢ < ٠(‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫4 ﻣﺜﻞ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ ﺩ، ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( = – ﺱ٢ – ٢ﺱ – ٤ ﺛﻢ ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ.‬ ‫ًّ‬ ‫:ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ: ﺏ٢ – ٤‪ C‬ﺟـ = ٠ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ، ﻭﻟﻴﻜﻦ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﻝ، ﻭﺗﻜﻮﻥ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﻛﺎﻵﺗﻰ:‬ ‫ﺩ)ﺱ( = ٠ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ﻝ‬ ‫ﻣﺜﻞ ﺇﺷﺎﺭﺓ ‪ C‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ ! ﻝ‬ ‫ﻭﺍﻷﺷﻜﺎﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ ﺗﻮﺿﺢ ﺫﻟﻚ.‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ: ‪٠ > C‬‬ ‫ﺩ)ﺱ( > ٠ ﻟﻜﻞ ﺱ ! ﻝ،‬ ‫ﺩ)ﺱ( = ٠ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ﻝ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ: ‪٠ < C‬‬ ‫ﺩ)ﺱ( < ٠ ﻟﻜﻞ ﺱ ! ﻝ،‬ ‫ﺩ)ﺱ( = ٠ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ﻝ‬ ‫‪−¯ M‬‬
  • 33. ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫5 ﻣﺜﻞ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ ﺩ ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( =٤ ﺱ٢ – ٤ﺱ + ١ ، ﺛﻢ ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ.‬ ‫ًّ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ )ﺏ٢– ٤‪ C‬ﺟـ( = )-٤(٢ – ٤ * ٤ * ١‬ ‫          = ٦١ – ٦١ = ٠‬ ‫ﻟﺬﻟﻚ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ٤ ﺱ٢ – ٤ﺱ + ١ = ٠ ﻟﻬﺎ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ.‬ ‫: )٢ﺱ – ١(٢ = ٠‬ ‫:  ٢ﺱ – ١ = ٠ ﺗﻜﻮﻥ ﺱ = ١‬ ‫٢‬ ‫ﺩ)ﺱ( < ٠ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ ! ١ ،‬ ‫٢‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫ﺩ)ﺱ( = ٠ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ١‬ ‫٢‬ ‫5 ﻣﺜﻞ ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ ﺩ، ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( = – ٤ ﺱ٢ – ٢١ﺱ – ٩ ﺛﻢ ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ.‬ ‫ًّ‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫6 ﺍﺛﺒﺖ ﺃﻧﻪ ﻟﺠﻤﻴﻊ ﻗﻴﻢ ﺱ ∋ ‪ I‬ﻳﻜﻮﻥ ﺟﺬﺭﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ  ٢ﺱ٢ - ﻙ ﺱ + ﻙ -٣ = ﺻﻔﺮ   ﺣﻘﻴﻘﻴﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ )ﺏ٢ - ٤‪C‬ﺟـ( = )-ﻙ(٢ - ٤ * ٢ * )ﻙ - ٣( = ﻙ٢ - ٨ﻙ +٤٢‬ ‫ﺹ = ﻙ٢ - ٨ﻙ +٤٢‬ ‫ ﻙ٢ - ٨ﻙ + ٤٢ = ٠ :‬ ‫)-٨(٢ - ٤ * ١ * ٤٢ = ٤٦ - ٦٩ = -٢٣ > ٠‬ ‫ﻟﻴﺲ ﻟﻬﺎ ﺟﺬﻭﺭ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫ﻙ٢ - ٨ﻙ +٤٢ = ٠‬ ‫ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ‪) I‬ﻟﻤﺎﺫﺍ(?‬ ‫ﺹ = ﻙ٢ - ٨ﻙ +٤٢‬ ‫ﻣﻮﺟﺐ ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ‪I‬‬ ‫٢ﺱ٢ - ﻙ ﺱ + ﻙ -٣ = ﺻﻔﺮ‬ ‫ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ‪I‬‬ ‫٢ﺱ٢ - ﻙ ﺱ + ﻙ - ٣ = ٠‬ ‫`‬ ‫`‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ ‫1 ﻋﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻛﻞ ﺩﺍﻟﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻵﺗﻴﺔ:‬ ‫أ ﺩ)ﺱ( = ٢ﺱ - ٣‬ ‫د ﺩ)ﺱ( = ١ - ﺱ‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫ب ﺩ)ﺱ( = ٤ - ﺱ‬ ‫ﻫ ﺩ)ﺱ( = ٤ + ٤ﺱ + ﺱ‬ ‫٢‬ ‫¯‬ ‫٢‬ ‫ﺟ ﺩ)ﺱ( = ﺱ٢ - ٤‬ ‫و ﺩ)ﺱ( = ٣ﺱ - ٢ﺱ٢ + ٤‬
  • 34. ‫ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎت اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫1-6‬ ‫‪Quadratic Inequalities‬‬ ‫ﺳﻮف ﺗﺘﻌﻠﻢ‬ ‫‪:óMGh ô«¨àe ≈a á«©«HôàdG äÉæjÉÑàªdG‬‬ ‫‪Quadratic Inequalities in one variable‬‬ ‫ﻓﻜﺮ‬ ‫و‬ ‫ﻧﺎﻗﺶ‬ ‫ﺳﺒﻖ ﺃﻥ ﺩﺭﺳﺖ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ، ﻭﻋﻠﻤﺖ ﺃﻥ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻣﻌﻨﺎه ﺇﻳﺠﺎﺩ‬ ‫ﺟﻤﻴﻊ ﻗﻴﻢ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺤﻘﻖ ﻫﺬه ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ، ﻭﺗﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺻﻮﺭﺓ ﻓﺘﺮﺓ، ﻓﻬﻞ ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺣﻞ‬ ‫ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ?‬ ‫¯ :‬ ‫ﺱ٢ – ﺱ – ٢ < ٠ ﻫﻰ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻛﻤﺎ ﻫﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ‬ ‫ﺑﻴﻨﻤﺎ ﺩ)ﺱ( = ﺱ٢ – ﺱ – ٢‬ ‫ﻫﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﻬﺬه ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ.‬ ‫:‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ‬ ‫ﺱ٢ - ﺱ -٢ < ٠ ﻓﻰ ‪I‬‬ ‫ﻫﻰ [ -∞ ، -١] ∪ [ ٢ ، ∞]‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ‬ ‫ﺱ٢ - ﺱ - ٢ > ٠ ﻓﻰ ‪I‬‬ ‫ﻫﻤﺎ [-١، ٢]‬ ‫ﺗﻌﻠﻢ‬ ‫‪‬‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎت ا ﺳﺎﺳﻴّﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫‪Inequality‬‬ ‫− − − − − −‬ ‫ا دوات واﻟﻮﺳﺎﺋﻞ‬ ‫ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫1 ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ: ﺱ٢ – ٥ﺱ – ٦ < ٠‬ ‫‪−¯ M‬‬ ‫‪‬‬
  • 35. ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻟﺤﻞ ﻫﺬه ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻧﺘﺒﻊ ﺍﻟﺨﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:‬ ‫: ﻧﻜﺘﺐ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻭﺫﻟﻚ ﻛﺎﻵﺗﻲ:‬ ‫  ﺩ)ﺱ( = ﺱ٢ - ٥ﺱ - ٦‬ ‫‪M‬‬ ‫: ﻧﺪﺭﺱ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( = ﺱ٢ - ٥ﺱ - ٦ ، ﻭﻧﻮﺿﺤﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺑﻮﺿﻊ ﺩ)ﺱ( = ٠‬ ‫‪M‬‬ ‫  ﺱ٢ - ٥ﺱ - ٦ = ٠         ` )ﺱ - ٦()ﺱ + ١( = ٠‬ ‫      ﺱ = ٦ ﺃ، ﺱ = -١‬ ‫¯‬ ‫+++++‬ ‫∞‬ ‫¯‬ ‫−−−−−−‬ ‫−‬ ‫¯‬ ‫+++++‬ ‫−∞‬ ‫: ﺗﺤﺪﺩ ﺍﻟﻔﺘﺮﺍﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺤﻘﻖ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺱ٢ - ٥ﺱ - ٦ < ٠‬ ‫‪M‬‬ ‫∞‬ ‫−‬ ‫−∞‬ ‫ﻓﻴﻜﻮﻥ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻫﻰ: [-∞، -١] ∪ [٦، ∞]‬ ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫1 ﺣﻞ ﻛﻼ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ:‬ ‫ً‬ ‫أ ﺱ٢ + ٢ﺱ – ٨ < ٠‬ ‫ب ﺱ٢ + ﺱ + ٢١ < ٠‬ ‫ﻣـﺜـﺎل‬ ‫2 ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ: )ﺱ + ٣(٢ ‪)٣ – ١٠H‬ﺱ + ٣(.‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫★‬ ‫:‬ ‫¯ ‪M‬‬ ‫:‬ ‫‪) a‬ﺱ + ٣(٢ ‪)٣ – ١٠ H‬ﺱ + ٣(‬ ‫` ﺱ٢ + ٦ﺱ + ٩ ‪٣ – ١٠ H‬ﺱ – ٩‬ ‫` ﺱ٢ + ٩ﺱ + ٨ ‪٠ H‬‬ ‫ﺱ٢ + ٩ﺱ + ٨ = ٠‬ ‫)ﺱ + ٨()ﺱ + ١( = ٠   ‬ ‫★ ﻭﻳﻮﺿﺢ ﺧﻂ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ)ﺱ( = ﺱ٢ + ٩ﺱ + ٨‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫− − − − − −‬ ‫ﻭﻋﻠﻰ ﺫﻟﻚ ﻓﺈﻥ: ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻫﻰ : ]- ٨، - ١[‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫¯‬ ‫: }- ٨، - ١{‬ ‫¯‬ ‫− − − −‬ ‫−‬
  • 36. ‫ﺣﺎول أن ﺗﺤﻞ‬ ‫2 ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ:‬ ‫أ ٥ﺱ٢ + ٢١ﺱ ‪٤٤ G‬‬ ‫ب )ﺱ + ٣(٢ + ٣)ﺱ + ٣( – ٠١ ‪٠ H‬‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻚ‬ ‫1 ﻣﺎ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻦ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ ﻭﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ?‬ ‫2 ﻣﺎ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﺤﺚ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺑﺤﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻭﺍﺣﺪ?‬ ‫3 ﺍﻛﺘﺸﻒ ﺍﻟﺨﻄﺄ: ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ )ﺱ + ١(٢> ٤)٢ﺱ – ١(‬ ‫¯‬ ‫٢‬ ‫‪) a‬ﺱ + ١(٢ > ٤)٢ﺱ – ١(‬ ‫` ﺱ + ١ >٢)٢ﺱ – ١( ﻭﺫﻟﻚ ﺑﺄﺧﺬ ﺍﻟﺠﺬﺭ‬ ‫ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻰ ﻟﻠﻄﺮﻓﻴﻦ‬ ‫` -٤ﺱ + ﺱ + ٢ + ١ > ٠‬ ‫`  -٣ ﺱ + ٣ > ٠‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻫﻰ:‬ ‫ -٣ﺱ + ٣ = ٠‬ ‫ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻫﻰ }١{‬ ‫∞‬ ‫- --‬ ‫+ ++‬ ‫٢‬ ‫‪) a‬ﺱ + ١(٢ > ٤)٢ﺱ – ١(‬ ‫` ﺱ٢+ ٢ﺱ + ١ > ٦١ﺱ٢ – ٦١ﺱ + ٤‬ ‫` ٥١ﺱ٢ – ٨١ﺱ + ٣ < ٠‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻫﻰ :‬ ‫` ٣)٥ﺱ – ١()ﺱ – ١( = ٠‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻞ ﻫﻰ }١، ١ {‬ ‫٥‬ ‫٢‬ ‫∞‬ ‫+ + + -- - - - + + +‬ ‫١‬ ‫٥‬ ‫−∞‬ ‫★ ﺑﺤﺚ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﺣﻴﺚ‬ ‫ﺩ)ﺱ( = ٥١ ﺱ٢ - ٨١ ﺱ + ٣‬ ‫:‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻫﻰ ﺡ - ] ١ ، ١[‬ ‫٥‬ ‫−∞‬ ‫★ ﺑﺤﺚ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﺣﻴﺚ‬ ‫ﺩ)ﺱ( = -٣ ﺱ + ٣‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻫﻰ [١ ، ∞]‬ ‫4 ﺗﻔﻜﻴﺮ ﻧﺎﻗﺪ: ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ  )ﺱ + ٣(٢ > ٠١ - ٣ )ﺱ + ٣(‬ ‫‪−¯ M‬‬
  • 37. ‫ﻣﻠﺨﺺ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‬ ‫1 ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ: ‪C‬ﺱ٢+ﺏ ﺱ +ﺟـ = ٠ ﺣﻴﺚ ‪،C‬ﺏ،ﺟـ ∋ ﺡ، ‪٠ ! C‬‬ ‫‪¯M‬‬ ‫¯‬ ‫2 ﺑﺤﺚ ﻧﻮع ﺟﺬرى اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ )ﺏ٢ – ٤‪C‬ﺟـ( ﺑﻤﻤﻴﺰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﺒﻴﻦ ﻧﻮﻉ ﺟﺬﻭﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻭﻋﺪﺩ ﺣﻠﻮﻟﻬﺎ ﻛﺎﻵﺗﻰ :‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻣﺨﺘﻠﻔﺎﻥ.‬ ‫★ )ﺏ٢ – ٤‪C‬ﺟـ( < ٠‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺬﺭ ﺣﻘﻴﻘﻰ ﻭﺍﺣﺪ .‬ ‫★ ﺏ٢ – ٤‪C‬ﺟـ = ٠‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﻛﺒﺎﻥ.‬ ‫ﻣﺮ‬ ‫★ ﺏ٢ – ٤‪C‬ﺟـ > ٠‬ ‫3 اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ:‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻛﺐ ﻫﻮ ﺍﻟﺬﻯ ﻳﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ‪ + C‬ﺏ ﺕ، ﺣﻴﺚ ‪ ،C‬ﺏ ﻋﺪﺩﺍﻥ ﺣﻘﻴﻘﻴﺎﻥ، ﺏ ﺕ ﻫﻮﺍﻟﺠﺰﺀ‬ ‫ﺍﻟﻤﺮ‬ ‫ﺍﻟﺘﺨﻴﻠﻰ، ﻭﺍﻟﺠﺪﻭﻝ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ ﻳﺒﻴﻦ ﻗﻮﻯ ﺕ ﻟﻸﺳﺲ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﺒﺔ:‬ ‫ﺕ‬ ‫ﺕ‬ ‫٤ﻥ + ١‬ ‫ﺕ‬ ‫٤ﻥ + ٢‬ ‫-١‬ ‫ﺕ‬ ‫٤ﻥ + ٣‬ ‫-ﺕ‬ ‫ﺕ‬ ‫١‬ ‫: ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ : ‪ + C‬ﺏ ﺕ = ﺟـ + ‪ E‬ﺕ ﻓﺈﻥ ‪ = C‬ﺟـ، ﺏ = ‪E‬‬ ‫¯‬ ‫٤ﻥ‬ ‫: ﻳﻤﻜﻦ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺧﻮﺍﺹ ﺍﻹﺑﺪﺍﻝ ﻭﺍﻟﺘﺠﻤﻴﻊ ﻭﺍﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﻋﻨﺪ ﺟﻤﻊ ﺃﻭ ﺿﺮﺏ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻛﺒﺔ،‬ ‫ﺍﻟﻤﺮ‬ ‫ﺍﻟﻤﺮ‬ ‫ﻭﻋﻨﺪ ﺟﻤﻊ ﺃﻭ ﻃﺮﺡ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﻛﺒﺔ ﺗﺠﻤﻊ ﺍﻷﺟﺰﺍﺀ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻣﻌﺎ ﻭﺗﺠﻤﻊ ﺍﻷﺟﺰﺍﺀ ﺍﻟﺘﺨﻴﻠﻴﺔ ﻣﻌﺎ.‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫¯ : ﻳﺴﻤﻰ ﺍﻟﻌﺪﺩﺍﻥ ‪ + C‬ﺏ ﺕ ،  ‪ – C‬ﺏ ﺕ ﺑﺎﻟﻌﺪﺩﻳﻦ ﺍﻟﻤﺘﺮﺍﻓﻘﻴﻦ‬ ‫ﺣﻴﺚ ﻧﺎﺗﺞ ﺟﻤﻌﻬﻤﺎ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻰ، ﻭﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺑﻬﻤﺎ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻰ ﺃﻳﻀﺎ.‬ ‫ً‬ ‫¯‬ ‫−‬ ‫¯‬
  • 38. ‫ﻣﻠﺨﺺ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ‬ ‫4 ﻣﺠﻤﻮع وﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﺟﺬرى اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ:‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺟﺬﺭﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ C‬ﺱ٢ + ﺏ ﺱ + ﺟـ = ٠ﻫﻤﺎ ﻝ، ﻡ ﻓﺈﻥ: ﻝ + ﻡ =‬ ‫-ﺏ‬ ‫‪C‬‬ ‫ ، ﻝ ﻡ =‬ ‫ﺟـ‬ ‫‪C‬‬ ‫5 ﺗﻜﻮﻳﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻣﺘﻰ ﻋﻠﻢ ﺟﺬراﻫﺎ:‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻝ، ﻡ ﺟﺬﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ، ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺗﻜﻮﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻵﺗﻴﺔ:‬ ‫★ )ﺱ – ﻝ( )ﺱ – ﻡ( = ٠‬ ‫ﺟـ‬ ‫ﺏ‬ ‫★ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻝ + ﻡ = -  ، ﻝ ﻡ = ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻰ ﺱ٢– )ﻝ + ﻡ( ﺱ + ﻝ ﻡ = ٠‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫6 ﺑﺤﺚ إﺷﺎرة اﻟﺪاﻟﺔ:‬ ‫★ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﺑﺘﺔ ﺩ، ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( = ﺟـ )ﺟـ ! ٠( ﻫﻰ ﻧﻔﺲ ﺇﺷﺎﺭﺓﺟـ ﻟﻜﻞ ﺱ ∋ ‪.I‬‬ ‫★ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ ﺩ ﻫﻰ ﺩ)ﺱ( =ﺏ ﺱ+ﺟـ ، ﺏ ! ٠‬ ‫ﺟـ‬ ‫ﻓﺘﻜﻮﻥ ﺱ = - ﺏ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺩ)ﺱ( = ٠ ﻭﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ ﻳﻤﺜﻞ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ:‬ ‫٠‬ ‫<‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫>‬ ‫−‬ ‫−∞‬ ‫∞‬ ‫★ ﻟﺘﻌﻴﻦ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ، ﺣﻴﺚ ﺩ)ﺱ( = ‪ C‬ﺱ٢ + ﺏ ﺱ + ﺟـ، ‪ ٠ ! C‬ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻮﺟﺪ ﺍﻟﻤﻤﻴﺰ‬ ‫★ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ: ﺏ٢ – ٤‪C‬ﺟـ < ٠ ﻓﺈﻥ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﺗﺘﺤﺪﺩ ﺣﺴﺐ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ:‬ ‫٠‬ ‫٠‬ ‫−∞‬ ‫∞‬ ‫★ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ: ﺏ٢ – ٤‪C‬ﺟـ = ٠ ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺟﺬﺭﺍﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ، ﻭﻟﻴﻜﻦ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻳﺴﺎﻭﻯ ﻝ، ﻭﺗﻜﻮﻥ ﺇﺷﺎﺭﺓ‬ ‫ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﻛﺎﻵﺗﻰ:  ﻣﺜﻞ ﺇﺷﺎﺭﺓ ‪ C‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ ! ﻝ ، ﺩ)ﺱ( = ٠ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺱ = ﻝ‬ ‫★ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ: ﺏ٢ – ٤‪C‬ﺟـ > ٠ ﻓﺈﻧﻪ ﻻﺗﻮﺟﺪ ﺟﺬﻭﺭ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ، ﻭﺗﻜﻮﻥ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﻣﺜﻞ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺱ٢.‬ ‫7 ﺣﻞ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺎﺕ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻰ ﻣﺠﻬﻮﻝ ﻭﺍﺣﺪ:‬ ‫ﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻧﺘﺒﻊ ﺍﻟﺨﻄﻮﺍﺕ ﺍﻵﺗﻴﺔ :‬ ‫١- ﻧﻜﺘﺐ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﺹ = ﺩ)ﺱ( ﻓﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ.‬ ‫٢- ﻧﺪﺭﺱ ﺍﺷﺎﺭﺓ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ﺩ ﺍﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻭﻧﻮﺿﺤﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ.‬ ‫٣- ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻞ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻧﻴﺔ ﻃﺒﻘﺎ ﻟﻠﻔﺘﺮﺍﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﺗﺤﻘﻘﻬﺎ.‬ ‫ً‬ ‫‪−¯ M‬‬