!
" # ! $ %&# ×+ '
# ! ! ( !!
) *
# # + , × %& , × #
%&
## ×+ ! , ×
==
==
#
--#--
%&#
%&#
#. / # $ ! −
× 0 %&∈ { }-1%&∈
# −
$ 2 # $
−
× # $ ×−
!
3 2 4 5
%&∈
• = # =−
• 6 -≠ =
−
# !! === −−−
−
#
• 6 -. ≠
.
.
....
.
.
## ===× −−−
• 6 -≠ = # === −−−−−
##
• 6 -. ≠ ..
.
.
=⇔=
• 6 -≠ .. +
=+
• 6 -. ≠
.
..
.
.
.
.
.
. +
=+=+
touscours.net
.
+
#∈ ∈λ λ # λ ×λ
3 * ## ×+ 7
8 9
6 #∈
• : ! { }-1%&%&# ×∈
* =
• : !
{ }-1%&%&# ×∈ * = # =
# / !
#. 6 #
{ }-1%&# ∈ # *
{ }-1# ∈λλλ
# 6 #∈ # " #; =
== 2 # = ===
#. 6 = 2 # = #
= < = 2 # =
= == < # -≠ =
## = 32 { }-1%&# ∈
)
6 = ' 2 − +
# # $
{ }∞−∪∈
touscours.net
=+
.
.
+
+
= -
>
.
.
+
+
= 7
#+# ##
-##
###
..
..
≤+
≠=
+=
λλ
#
? @
6 =
• : A ! 6
* $ *
• : @ ! 6
* $ *
=+
.
##
.
.
.
−
−−
=
+−
−
= .
A $ .
@ $
8 * 6 =
• 6 λ $ λ $ α≤ #2 -
• 6 λ $ λ @ $ α≤ #2 -
6 =
" { }@1= ! !
( #8 * $ @ ! -≠
#
#
B
" →
touscours.net
>
• 6 = $ ∈
#
#
#
B
=
• 6 #. ∈ ∈λ
7 .. +⊂∩ #
B
#
B
# ...
+=+∩∈∀
7 ..
⊂∩ #
B
#
B
# ...
×=×∩∈∀
7 λ⊂ #
B
# λλ =∈∀
6 #. ∈ 6$ + ! .
∩
* #
B
#
B
.=∈∀ .=
.
.
. ==
#### .. =∈∀ . . C
! 2 .. = .=
* D * ! E
2 B !
= 2 !
6 = ' 2 .
FF −
* # "
$
/ 2 2 ! E @
2
6
=+
>.
.
++
+−
=
>.
# .
+−
++−
=−
>.
# .>
.G
.
++
+−
=
#∈ # * *
E @ ! * ( @
touscours.net
; 8 * !
##
B
H
=−⇔
⇔
##
B
H
−=−⇔
⇔
H 6 #∈ " $* 2 &I%#I@F ∈⇔
H 6 #∈ ∈
# 3 + H
+∈ * { }1# @ "
!
] [ { }
#
-1
+
→−ϕ
#. @ ϕ⇔ ! ( ( - #
@ ∈ * # +
! -
# A ϕ⇔ 2 - -
#> $ A @ ϕ⇔ ! -
!
6 #∈ + E @ %&∈ *
+= 2 #∈ -< $
6 += .. += 2 -. <
{ } -#+# #
..
. <≤∞−∪∈
−=−
-.. =−=− .= .=
. +
= 2 += 2 %&∈
< %&∈
+=
+
= 2 <
) =+
•
.
−
+ .
.
−+
+
touscours.net
G
•
+
+
•
. .
−
+
=
.#J.#.#J#.J#.. .
+−+=+−+−=+−=+
.
J.
−
++=
•
J
#.#
#
++
−
= ! +
J#.#.##.#
.J#
G>
GJJ
++=+++=+=++
++−=−
>
J
>
.J G
G
GJ
−
+
+
++−
> +−=
'
6
.
= 0 %&∈ %&. ∈ # . =
+ %&. ∈ *
.
.
+=
6 ) A + %&. ∈ * .. =+
=+ ..
..
..
=
+ .
..
+=
/
6
.
= 0 %&∈ E @
+ + ( +
* !
++++=
.
.
0 [ ] %& <∈∈∀
# +
.=
.
.
+= 2 %&. ∈
touscours.net
J
' 2 . .
+= .... +=
.
.
. +++= 2 .. <<
6 * $ 2 .≥
. +
= 0 + + ( + " *
# + 2 * ≤ 2 .
. +
+
+= " * $E
! 2 + +
#. * ++++=
.
.
K(
%&∈
[ ]
-+ <≤
∈
=
6 +
++++=
.
.
0 [ ] %& <∈∈∀
+++=+++
.
.
.
.
"
[ ] −=∈∀=+
=
−
−
=
==
0-.
2
.
..
2 . − 2
-= +# <≤
= [ ] -=∈∀
[ ] =∈∀
) +
/
6 = 0 %&∈ %&∈ H∈
$ * ! ++++= .
.
0
%&∈ [ ] %& <∈∈∀
touscours.net
L
# =+
+
== # 2
+= −
2 <
' 2 D
++= −
−
−.
.
=
+++= −
.
.
= ! 2 −
++++= .
.
#. :
6 ++++= .
.
0 [ ] <∈∀
=++++ −− .
. 2
$0 $ " *
2 M
! # ! E
0 %&∈ H∈ { }-1%&∈ <
=+
•
# −
λ
0 ∈ ∈λ #
• = #
• ' #
# −
λ
0 ∈ ∈λ H∈
.
# +−
+ µλ
0 { } H->--#1# ..
∈<−∈∈µλ
/
6 #∈= 0 %&∈ %&1%& -∈ # %&∉
touscours.net
N
$ ! ααα .
. 0
+ ( + H∈α
$ * !
= =∈
+=
!
2
%&
α
0 [ ] [ ] <∈∀∈∀ α
# =+
6 $
=
+= α
0 [ ] α
<∈∀
= $ . [ ]∈
=
<
=
+=
α
α
α
-
0 [ ] <∈∀ α
#. :
" !
= =
+=
α
* [ ]∈
=
α
$ ! α
0 %&∈
* $ =
α
* !
=
α
$0 $
8 * 2 D # $
# α # !! -=α
D = 0
αααα
.
. −
= # $
=+
←
←
+−
+
=
.## .
-
.####.## .....
+−−−=+−=
###.# .
− # =
...
@2
.
@2
.
.@
2
.
#
FFFF
#
FF
#.
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
+
++++=
−
βα
βαβαλ
2 (
# $+ * * $ 2 #
touscours.net
-
=+
←
←
−−
=
## .>
( #
#
...>
###### +−+−=−−= " −−
# ' @ −− 2
..
#. ! 2 3 -
#
..
#
FF
#
F
-
+
+
+
+
−
+
−
+
+
+
−
+=
γβγβαα
0 ∈FFF γγββαα
#8 * -FF ≠γγαα
#> E
3
## .>
−−
= ## −=− #
"
..
#
#
FF
#
F
#
−
+
−
−
+
+
+
+
−
+
−
−
+
+
−
=−
−
γβγβαα
$0
γγββαα −=== FFF
..
## +
−
+
+
−
+
−
+
+
+
−
=
γβγβαα
#
7 $ 2 ( @ # $
= !!
= @ F 7(7
≠
≠=−
-#
-#2#
+
−
=
#
λ
0 ! $ @
A
!
@F
!
## −+=−
=
λ λ=
#
#
3 ×−+=−×
−+
##
..
##
α 0 ..
## +
−
+
+
−
+
−
+
+
=
γβγβα
L## ..
=
−+
=α
touscours.net
8 * # $
" # −= +−= F#F ##F =
#F
#
#
#
==λ
7 ' @ $ @
= @
≠
≠=−
-#
-#2# .
+
−
+
−
= .
.
##
λλ
0 $ @
.λ $ .
# −
.
.
..
### −++−=−×
=
λλ
= O
#
#
. =λ
λ +
" 2 + F##. .
−+−+=
′
λ
#
′
=λ
.
" P K( .λ $ +
−
=
−
−
## .
. λλ
$
$ @ * $ +
' .
.
## −
=
−
−=
λ
" @
$+
...
.
###
#
++−
=
+
−
+
−
=
γβ
.
..
##
##
−++−=
++
γβ
L.. .
=
×
=γ
Q
#.#F
##
.###.### .
..>
....
−+−+=
++
++++−++
β
#.#F
##
.##.## .
..
...
−+−+=
++
×+−+−++
β
touscours.net
.
L
−
=β
Q .
@+*
F*2 !
###L
##L
#L####
...
..
.....
←
++−
++−
=
−
−
++−
=
−
−
γ
##.L%##L&#
##.##L##L
..
...
++−+++−−=
+++−−+−=++−
#>%#.&#
#>L%#.&#
#.#.L##.L
..
..
..
−−+−−=
+−++−−=
++−−=++−
+
−
=
++−
+−+−++−
=
−
−
####L
#>#.##L
# ..
..
.
βγ
L..L
.>....L
.
−
=
××
×−×−×−
=β
#G
+
−
+
−
−
+
−
−
+
+
−
= ..
##L
3 D $
=+
H ..
−
= 0 ∈
# .−=
+
+
−
=
βα
" − 2
.
=α
D
.
−
=β
+
−
−
=
− ...
H
−
=
-
-
−
−
−
++
−
+
−
=
ω
α
ω
α
ω
α
0
π
ω
.
=
* ω− " # ωα −+= 0
* # ω−=−
touscours.net
#ω
α =
" # ω−=− 2
F# ω−+=−
ω
ω
α == −
−
++
−
+
−
=
−
−
-
-
ω
ω
ω
ω
ω
ω
" − $0
#
- =α 0 −
+++=
- =α
" * *
#
#
# =
−
=
−
=
ω
ω
"
.-
-
-
-
R −
−
−
−
−
++
−
+
−
=
−
++
−
+
−
=
−
ωω
α
ω
α
ωωω
α
ωω
α
ωω
α
ωω
α
ω
.-
-
ω
α
α
ω
α
α
ω
α
α −
−− === -α 2
H
−
= −
+
−
=
−
=
-
..
## ω
β
ω
α
6E
−
= −
+
−
==
-
.
#
##
ωω
β
ωω
α
ω
[ ]- −∈
...
## −−
=
− ωω
β
ωω
β
−−
=
− ωω
α
ωω
α
# 2 −− = ωω
$0 [ ] .
- −− ==−∈∀ β
ω
β
α
ω
α
$0 [ ]
==
==
−∈∀
-.-
.
--
-
βωβωβ
αωαωα
" -α -β
+
−
+
−
=
−
= .
--
.
##
βα
touscours.net
>
.
# − 2 2 .- =β
.
--.
##
#
−++−=
+++
= −
βα
= 2
#.F#
F. .
- −+−+=
−
α
S -
#F.−
=α <
.
#
.###F
−
=++−+−=
.-
# −−
=α
H
## ..
−+−
= # @ .
−−
#
FF
# ....
−
+
+
+
+
+
+
+
+
=
γβαβα
6E
{} ∈∈ #1 # #∈
## =
"
#
FF
#
# ....
−
+
+
+
+
+
+
+
+
=
γβαβα
=
#
FF
#
# ....
−
+
+
+
+
+
+
+
+
=
γβαβα
# =.
#
FF
# ....
−
+
+
+
+
+
+
+
+
=
γβαβα
# + !
C ! 2 ( 2 {}1
∈== γββαα FF
= − 2 .
==γ
= .
# + 2 β α 2 M
8 * ( #
2 * @ $ # ( .
=
6 #
6 2 D
7 6 2
+−
−−=
.
## 0 -# ≠
touscours.net
' #
+
+−
+−+
=+
←
−
+
−
= .
##+2 λλλλλλ
7 6 .≥ # .
' #
+
−
+
−
+
−
+
−
=
←
+−
−+−
+−
+−+
#
##
..
##
..
..
.
##
µµλλλλ
µµλλ
#8 * * D $ 2 !
++++=
.
.
# @ $ .
= ! #
+
+−
+
+
+−
+
= ...
#
FF µλµλ
= ..
# +− 2 2
FF µλ + $0 Fλ Fµ 1∈ ∈FF µλ ## ! 7 2
= 2 λ µ
touscours.net

Fractions rationnelles

  • 1.
    ! " # !$ %&# ×+ ' # ! ! ( !! ) * # # + , × %& , × # %& ## ×+ ! , × == == # --#-- %&# %&# #. / # $ ! − × 0 %&∈ { }-1%&∈ # − $ 2 # $ − × # $ ×− ! 3 2 4 5 %&∈ • = # =− • 6 -≠ = − # !! === −−− − # • 6 -. ≠ . . .... . . ## ===× −−− • 6 -≠ = # === −−−−− ## • 6 -. ≠ .. . . =⇔= • 6 -≠ .. + =+ • 6 -. ≠ . .. . . . . . . + =+=+ touscours.net
  • 2.
    . + #∈ ∈λ λ# λ ×λ 3 * ## ×+ 7 8 9 6 #∈ • : ! { }-1%&%&# ×∈ * = • : ! { }-1%&%&# ×∈ * = # = # / ! #. 6 # { }-1%&# ∈ # * { }-1# ∈λλλ # 6 #∈ # " #; = == 2 # = === #. 6 = 2 # = # = < = 2 # = = == < # -≠ = ## = 32 { }-1%&# ∈ ) 6 = ' 2 − + # # $ { }∞−∪∈ touscours.net
  • 3.
    =+ . . + + = - > . . + + = 7 #+### -## ### .. .. ≤+ ≠= += λλ # ? @ 6 = • : A ! 6 * $ * • : @ ! 6 * $ * =+ . ## . . . − −− = +− − = . A $ . @ $ 8 * 6 = • 6 λ $ λ $ α≤ #2 - • 6 λ $ λ @ $ α≤ #2 - 6 = " { }@1= ! ! ( #8 * $ @ ! -≠ # # B " → touscours.net
  • 4.
    > • 6 =$ ∈ # # # B = • 6 #. ∈ ∈λ 7 .. +⊂∩ # B # B # ... +=+∩∈∀ 7 .. ⊂∩ # B # B # ... ×=×∩∈∀ 7 λ⊂ # B # λλ =∈∀ 6 #. ∈ 6$ + ! . ∩ * # B # B .=∈∀ .= . . . == #### .. =∈∀ . . C ! 2 .. = .= * D * ! E 2 B ! = 2 ! 6 = ' 2 . FF − * # " $ / 2 2 ! E @ 2 6 =+ >. . ++ +− = >. # . +− ++− =− >. # .> .G . ++ +− = #∈ # * * E @ ! * ( @ touscours.net
  • 5.
    ; 8 *! ## B H =−⇔ ⇔ ## B H −=−⇔ ⇔ H 6 #∈ " $* 2 &I%#I@F ∈⇔ H 6 #∈ ∈ # 3 + H +∈ * { }1# @ " ! ] [ { } # -1 + →−ϕ #. @ ϕ⇔ ! ( ( - # @ ∈ * # + ! - # A ϕ⇔ 2 - - #> $ A @ ϕ⇔ ! - ! 6 #∈ + E @ %&∈ * += 2 #∈ -< $ 6 += .. += 2 -. < { } -#+# # .. . <≤∞−∪∈ −=− -.. =−=− .= .= . + = 2 += 2 %&∈ < %&∈ += + = 2 < ) =+ • . − + . . −+ + touscours.net
  • 6.
    G • + + • . . − + = .#J.#.#J#.J#.. . +−+=+−+−=+−=+ . J. − ++= • J #.# # ++ − =! + J#.#.##.# .J# G> GJJ ++=+++=+=++ ++−=− > J > .J G G GJ − + + ++− > +−= ' 6 . = 0 %&∈ %&. ∈ # . = + %&. ∈ * . . += 6 ) A + %&. ∈ * .. =+ =+ .. .. .. = + . .. += / 6 . = 0 %&∈ E @ + + ( + * ! ++++= . . 0 [ ] %& <∈∈∀ # + .= . . += 2 %&. ∈ touscours.net
  • 7.
    J ' 2 .. += .... += . . . +++= 2 .. << 6 * $ 2 .≥ . + = 0 + + ( + " * # + 2 * ≤ 2 . . + + += " * $E ! 2 + + #. * ++++= . . K( %&∈ [ ] -+ <≤ ∈ = 6 + ++++= . . 0 [ ] %& <∈∈∀ +++=+++ . . . . " [ ] −=∈∀=+ = − − = == 0-. 2 . .. 2 . − 2 -= +# <≤ = [ ] -=∈∀ [ ] =∈∀ ) + / 6 = 0 %&∈ %&∈ H∈ $ * ! ++++= . . 0 %&∈ [ ] %& <∈∈∀ touscours.net
  • 8.
    L # =+ + == #2 += − 2 < ' 2 D ++= − − −. . = +++= − . . = ! 2 − ++++= . . #. : 6 ++++= . . 0 [ ] <∈∀ =++++ −− . . 2 $0 $ " * 2 M ! # ! E 0 %&∈ H∈ { }-1%&∈ < =+ • # − λ 0 ∈ ∈λ # • = # • ' # # − λ 0 ∈ ∈λ H∈ . # +− + µλ 0 { } H->--#1# .. ∈<−∈∈µλ / 6 #∈= 0 %&∈ %&1%& -∈ # %&∉ touscours.net
  • 9.
    N $ ! ααα. . 0 + ( + H∈α $ * ! = =∈ += ! 2 %& α 0 [ ] [ ] <∈∀∈∀ α # =+ 6 $ = += α 0 [ ] α <∈∀ = $ . [ ]∈ = < = += α α α - 0 [ ] <∈∀ α #. : " ! = = += α * [ ]∈ = α $ ! α 0 %&∈ * $ = α * ! = α $0 $ 8 * 2 D # $ # α # !! -=α D = 0 αααα . . − = # $ =+ ← ← +− + = .## . - .####.## ..... +−−−=+−= ###.# . − # = ... @2 . @2 . .@ 2 . # FFFF # FF #. − + − + − + − + − + − + + ++++= − βα βαβαλ 2 ( # $+ * * $ 2 # touscours.net
  • 10.
    - =+ ← ← −− = ## .> ( # # ...> ######+−+−=−−= " −− # ' @ −− 2 .. #. ! 2 3 - # .. # FF # F - + + + + − + − + + + − += γβγβαα 0 ∈FFF γγββαα #8 * -FF ≠γγαα #> E 3 ## .> −− = ## −=− # " .. # # FF # F # − + − − + + + + − + − − + + − =− − γβγβαα $0 γγββαα −=== FFF .. ## + − + + − + − + + + − = γβγβαα # 7 $ 2 ( @ # $ = !! = @ F 7(7 ≠ ≠=− -# -#2# + − = # λ 0 ! $ @ A ! @F ! ## −+=− = λ λ= # # 3 ×−+=−× −+ ## .. ## α 0 .. ## + − + + − + − + + = γβγβα L## .. = −+ =α touscours.net
  • 11.
    8 * #$ " # −= +−= F#F ##F = #F # # # ==λ 7 ' @ $ @ = @ ≠ ≠=− -# -#2# . + − + − = . . ## λλ 0 $ @ .λ $ . # − . . .. ### −++−=−× = λλ = O # # . =λ λ + " 2 + F##. . −+−+= ′ λ # ′ =λ . " P K( .λ $ + − = − − ## . . λλ $ $ @ * $ + ' . . ## − = − −= λ " @ $+ ... . ### # ++− = + − + − = γβ . .. ## ## −++−= ++ γβ L.. . = × =γ Q #.#F ## .###.### . ..> .... −+−+= ++ ++++−++ β #.#F ## .##.## . .. ... −+−+= ++ ×+−+−++ β touscours.net
  • 12.
    . L − =β Q . @+* F*2 ! ###L ##L #L#### ... .. ..... ← ++− ++− = − − ++− = − − γ ##.L%##L&# ##.##L##L .. ... ++−+++−−= +++−−+−=++− #>%#.&# #>L%#.&# #.#.L##.L .. .. .. −−+−−= +−++−−= ++−−=++− + − = ++− +−+−++− = − − ####L #>#.##L #.. .. . βγ L..L .>....L . − = ×× ×−×−×− =β #G + − + − − + − − + + − = .. ##L 3 D $ =+ H .. − = 0 ∈ # .−= + + − = βα " − 2 . =α D . − =β + − − = − ... H − = - - − − − ++ − + − = ω α ω α ω α 0 π ω . = * ω− " # ωα −+= 0 * # ω−=− touscours.net
  • 13.
    #ω α = " #ω−=− 2 F# ω−+=− ω ω α == − − ++ − + − = − − - - ω ω ω ω ω ω " − $0 # - =α 0 − +++= - =α " * * # # # = − = − = ω ω " .- - - - R − − − − − ++ − + − = − ++ − + − = − ωω α ω α ωωω α ωω α ωω α ωω α ω .- - ω α α ω α α ω α α − −− === -α 2 H − = − + − = − = - .. ## ω β ω α 6E − = − + − == - . # ## ωω β ωω α ω [ ]- −∈ ... ## −− = − ωω β ωω β −− = − ωω α ωω α # 2 −− = ωω $0 [ ] . - −− ==−∈∀ β ω β α ω α $0 [ ] == == −∈∀ -.- . -- - βωβωβ αωαωα " -α -β + − + − = − = . -- . ## βα touscours.net
  • 14.
    > . # − 22 .- =β . --. ## # −++−= +++ = − βα = 2 #.F# F. . - −+−+= − α S - #F.− =α < . # .###F − =++−+−= .- # −− =α H ## .. −+− = # @ . −− # FF # .... − + + + + + + + + = γβαβα 6E {} ∈∈ #1 # #∈ ## = " # FF # # .... − + + + + + + + + = γβαβα = # FF # # .... − + + + + + + + + = γβαβα # =. # FF # .... − + + + + + + + + = γβαβα # + ! C ! 2 ( 2 {}1 ∈== γββαα FF = − 2 . ==γ = . # + 2 β α 2 M 8 * ( # 2 * @ $ # ( . = 6 # 6 2 D 7 6 2 +− −−= . ## 0 -# ≠ touscours.net
  • 15.
    ' # + +− +−+ =+ ← − + − = . ##+2λλλλλλ 7 6 .≥ # . ' # + − + − + − + − = ← +− −+− +− +−+ # ## .. ## .. .. . ## µµλλλλ µµλλ #8 * * D $ 2 ! ++++= . . # @ $ . = ! # + +− + + +− + = ... # FF µλµλ = .. # +− 2 2 FF µλ + $0 Fλ Fµ 1∈ ∈FF µλ ## ! 7 2 = 2 λ µ touscours.net