1. Foto de http://haberhabermagdis.blogspot.com.es/

2. MATRICES E DETERMINANTES
Definición de matriz
Chámase matriz de dimensión mxn a unha táboa rectangular
formada por m filas e n columnas de números reais:
aij representa o elemento que está na fila i e na columna j
o elemento a25 será o elemento da fila 2 e columna 5.

3. TIPOS DE MATRICES
Matriz fila: ( a11 a12 a13  a1n )
Matriz cadrada:
 a11 
 
 a21 
a 
Matriz columna:  31 
  
a 
 m1 
Matriz nula

4. TIPOS DE MATRICES
Matriz diagonal:
Matriz unidade ou identidade:
Matriz Triangular:
matriz triangular inferior matriz triangular superior

5. MATRIZ TRASPOSTA
Chámase TRASPOSTA dunha matriz A, a matriz que se
obtén ao cambiar na matriz A as filas polas columnas
Matriz simétrica: Unha matriz cadrada A é simétrica cando A = At
Matriz antisimétrica: Unha matriz cadrada é antisimétrica cando -A = At

6. SUMA E DIFERENCIA DE
MATRICES
non se poden sumar.
A + (B + C) = (A + B) + C Propiedade Asociativa
A+B=B+A Propiedade conmutativa
A + 0 = A (0 é a matriz nula) Matriz Nula

7. PRODUCTO DUNHA MATRIZ POR UN
NÚMERO
PROPIEDADES PRODUCTO DUN Nº POR UNHA MATRIZ
a.(b.A)=(a.b).A
a.(A+B)=a-A+a.B
(a+b).A=a.A+b.A
1.A=A

8. PRODUCTO DE MATRICES
PROPIEDADES DO PRODUCTO DE MATRICES
ASOCIATIVA: (A.B).C=A.(B.C).
DISTRIBUTIVA : A.(B+C) = A.B+A.C.
(A+B).C = A.C+B.C..
NON É CONMUTATIVO : A.B ≠ B. A.

9. DETERMINANTE DUNHA MATRIZ
CADRADA
Determinante de orden 2
Determinante de orden 3

10. DETERMINANTE DE ORDEN n
MENOR COMPLEMENTARIO. ADXUNTO.
 Sexa A unha matriz cadrada de orden n, chámase menor
complementario do elemento aij ao determinante da
matriz que resulta o suprimir en A a fila i e a columna j,
designase M ij
 Chámase adxunto do elemento aij e denotase Aij a
Aij= (-1) i+ j
Mij
 Defínese determinante de A como a suma dos elementos
dunha liña polos seus respectivos adxuntos.

11. PROPIEDADES DOS
DETERMINANTES
Todas as propiedades que se enuncian para filas tamén son certas para
columnas.
 Se se multiplican todos os elementos dunha fila por un nº o determinante
queda multiplicado por dito número.
 Se se permutan dúas filas o determinante cambia de signo.
 Se todos os elementos dunha fila son 0 o determinante é 0.
 Se dúas filas son iguais ou proporcionais o determinante é 0.
 Se cada elemento dunha fila é suma de 2 sumandos , o determinante é igual
á suma de dous determinantes que teñan nesa fila os primeiros e os
segundos sumandos respectivamente e nas demais os mesmos elementos
que o determinante inicial.
 Se a unha fila se lle suma un múltiplo doutra o determinante non varía.
 Se as filas son linearmente dependentes o determinante é 0.

12. MATRIZ INVERSA
Chámase inversa dunha matriz cadrada A de orden n a outra
matriz de orden n, B que verifique que A·B = B· A = I n
Unha matriz cadrada ten inversa cando e só cando o seu
determinante é distinto de 0
Unha matriz cadrada que ten inversa dise que é inversible ou
regular; en caso contrario recibe o nome de singular.
Hai varios métodos para calcular a matriz inversa dunha matriz dada:
método de Gauss
Usando determinantes
Directamente

13. Cálculo Directo da Matriz Inversa
Dada a matriz buscamos unha matriz que cumpra A·A-1 = I2, é dicir
Para elo propoñemos o sistema de ecuacións:
A matriz que se calculou realmente sería a inversa pola "dereita", pero é fácil
comprobar que tamén cumpre A-1 · A = I, co que é realmente a inversa de A.

14. Cálculo de la Matriz Inversa por
Queremos calcular a inversa de
el método de Gauss - Jordan
1º.- Escribese a matriz A seguida da matriz identidade,
2º.- Triangularizamos a matriz A de arriba a abaixo e realizamos as mesmas operacións na matriz da dereita
Como podemos observar o rango da matriz A é máximo (neste caso 3), polo tanto a matriz A ten inversa,
ímola calcular
3º.- Triangularizamos a matriz de abaixo a arriba, realizando as mesmas operacións na matriz da dereita
4º.- Por último divídese cada fila polo elemento diagonal correspondiente.

15. Cálculo da matriz inversa usando
determinantes
−1 1
A = (adxA)t
A

16. RANGO DUNHA MATRIZ
Chámase “menor” de orden p dunha matriz ao
determinante que resulta de eliminar certas filas e columnas
ata quedar una matriz cadrada de orden p.
É dicir, ao determinante de calquera submatriz cadrada de A
Nunha matriz A m×n pode haber varios menores de orden
p.
Definición:
Rango dunha matriz é a orde do maior menor non nulo que
se poida formar na matriz.
Consecuencia
O rango non pode ser maior ao número de filas ou de
columnas.

17. RANGO DUNHA MATRIZ
Vectores fila dunha matriz:
As filas dunha matriz poden ser consideradas como vectores. É posible que
sexan linealmente Independentes (L.I.) e é posible que uns dependan
linealmente de outros. Por exemplo:
 2 3 2 5
A=
1 3 4 2 As súas dúas son linealmente independentes
 
1 3
 
2 1 As dúas primeiras líñas son L.I., as outras dúas dependen
B=
0 5 linealmente das primeiras
 
3 4
  F 3 = 2 ⋅ F1 − F 2 F 4 = F1 + F 2
1 5 3
  As dúas primeiras filas son L.I. a terceira depende linealmente das
C = 9 0 2
dúas primeiras
 8 − 5 − 1
  F 2 − F1 = F 3
Chámase rango dunha matriz ao número de filas Linealmente Independentes

18. RANGO DUNHA MATRIZ
Vectores columna dunha matriz:
Tamén as columnas dunha matriz poden ser consideradas como vectores.
Poderíamos definir rango da matriz como o número de columnas linealmente
independentes, pero aparece a dúbida de se esa definición pode contradecir á
anterior.
Teorema
Nunha matriz o número de filas L.I. coincide co número de
columnas L.I.
Rango dunha matriz é o número de filas, ou columnas,
linealmente independentes.

19. RANGO DUNHA MATRIZ
O rango dunha matriz podémolo calcular por dous métodos
diferentes:
 Polo método de Gauss
 Usando Determinantes

20. Cálculo do rango: método de Gauss
 Se se permutan dúas filas o rango non
varía
 Se se multiplica unha fila por un nº non
nulo o rango non varía
 Se a unha fila se lle suma ou resta outra
paralela o rango non varía

21. Cálculo do rango dunha matriz polo
método de Gauss

22. Cálculo do rango dunha matriz polo
método de Gauss

23. Cálculo de rango por determinantes