环路定理

1. =El dl. 0
安培环路定律安培环路定律
问题：
π=B r2.
B
I
rl
1. 圆形环路 l
π
πr2
I= r2μ o
= Iμ o
Bl dl. = ?∮
Bl dl. Bl dl cos0
0
=∮∮
πr2
I=B
μ o
§55
一、安培环路定律

2. 2. 任意环路
= Iμ o
dr = dl cosθϕ
= 2
I
π
μ o
rB
I
2π ∫ d=
μ o
ϕ
2π
0
. θ
r
B
dl
I dϕ
P
O
l
Bl dl. = dlcosθl B∮ ∮
πr2
I dr=
μ o
ϕ∮

3. 3. 若改变积分绕行方向
I
2π∫ d=
μ o
ϕ2π
0
= Iμ o
. r
B
dl
I
dϕ P
O
l
θ
α
θ
Bl dl. = dlcosl B α∫ ∫ = dlcos θl B π( )∫
= dlcosθl B∫

4. Q
l1
l2
P.
.
.
I
O
ϕΔ
=
I
2π
μ o
l∫ 1 l∫ 2
dϕ dϕ( )
== ϕΔ ϕΔI
2π
μ o
( ) 0
4. 闭合回路不包围电流
Bl dl. Bl dl.∫ 1
Bl dl.∫ 2
+=∫

5. 安培 路定律：环
Bl dl. = IΣ∫ μ o
说明：磁 是非保守力场 场
注意： B 是 dl 上的 ，场强
是空 所有 流激 的间 电 发 。场
I 是穿 合路径所包 面 的 流。过闭 围 积 电
I 的正方向由 路方向决定。环
四指指向 路方向，拇指环 为 I 的正方向

6. I I
(a)
l3
I
(b)
l2
I1I2
(c)
l1
l1
∫ B dl. = I 1 I 2( )μ o(c)
l2
∫ B dl. = 0(b)
l3
∫ B dl. = I I( )μ o = 0(a)

7. I
L
如图：可以确定：
l∫ B dl. = 0
环路上任意点的
B ≠0

8. . . . .. . . . .. . . .
B
1. 直长通电螺线管内的磁场
环路定律的应用
+ 0+ 0 + 0
a b
cd
Bl dl. = B dl.ab B dl.bc B dl.cd B dl.da+++∫ ∫ ∫ ∫ ∫
= B dl.ab∫ = Bdlab cos00
∫
二、
如图作环路环路 abcdabcd

9. = B ab = n ab Iμ 0
(n ：单位长度上的匝数 )
nB = Iμ 0
. . . .. . . . .. . . .
Ba b
cd
=B dlab∫Bl dl. = Bdlab cos00
∫∫

10. .
r
R1
R2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
. ..
.
.
.
.
.
.
.
.
.... ..
B
2. 环形螺线管的磁场
= r2πB
N 匝数:( )= NIµ0
B = r2π
NI0μ
I I
B
r
R1 R2
0
Bl dl. = Bdl cos0
0
l
∫ ∫
B l dl= ∫
如图作环路环路 ；； ll

11. 2
rI
R2=
设电流 I 均匀分布在整个横截面上。
3. 均匀通电直长圆柱体的磁场
Rr <a.
I
R
I
B
r
×= r2πB
得： μB =
R2
Ir
2
π
0
= I×μ 0
Bl dl. = B dlcos0l
0
∫ ∫
Rπ 2
2
rπI
=I×
如图作环路环路 ll

12. I
R
Rr >b.
B =
r2π
Iμ 0
2
μ
π
I
R
0
B
RO r
r2πB = Iμ 0
μB =
R2
Ir
2
π
0
B =
r2π
Iμ 0
B
r
如图作环路环路 ll
ll

13. [ 例 1]有一无限长通电流 I 的扁平铜片
，宽度为 a ，求离铜片 b 处 P 点磁感应
强度。解：取微元 dI = dra
I
在 P 点产生的磁场为 I
b
a
Pr
dI
dB=
2πr
µ0 dI
⊕
B=
2πr
µ0 dI
∫ ∫=
2πr
µ0
dra
I
a+b
b
2πa
µ0 I
= ln
b
a+b
⊕方向：

14. [ 例
2]
p-452-15-10 一螺绕环，尺寸如图
所示，已知： N ， I 。求横截面的磁通量
。
I I
2a
2b
h
解：
dS = hdr取微元
B = r2π
NI0μ
r
dS
Φm .B dS=∫∫S
hdr
rπ
NI
2
μ o
=
b
a
∫
π
NIhμ ln
a
b=
2
o

15. [ 例 3]一圆柱形长直导线中通有电流 I ，
在导线内部，通过轴作一平面 S ( 如
图 ) ， 计算通过单位长度 S 平面的磁
通量。
S
IO
解：导线内部的场
为： μB =
R2
Ir
2
π
0
dS=l dr
dr
取微元 dS = l dr
Φ0 =
Φ
l = ∫ B ldrl
1
μ
4
I
π
0
=
μ
R2
Ir
2
π
0
dr= ∫0
R

16. 一半径为 a 的圆柱形导线和一共轴
的半径分别为 b 、 c 的圆筒状导线组成
，如图所示。在两导线中通有等值反向
的电流 I ，求
(1) 内导体中任一点 (r<a) 的磁感强度；
(2) 两导体间任一点 (a<r<b)
的磁感强度；
(3) 外导体中任一点
(b<r<c) 的磁感强度；
(4) 外导体外任一点
(r>c) 的磁感强度。
[ 例
4]
b
a c
×
×
×
×
×
×
×
×
I

17. (1) 内导体中任一点 (r<a) 的磁场强度；
b
a c
×
×
×
×
×
×
×
×
l1
∫ B dl. =μ I1o
l1
∫ B dl. = Bdll1
∫
= B dl
l1
∫
解：环路环路如图作环路环路 ll11
ll11
r
= B2πr
I1 = πr 2
I
πa 2
B =
rI
2πa2
μ o

18. b
a c
×
×
×
×
×
×
×
×
(2) 两导体间任一点 (a<r<b) 的磁场强
度；
(3) 外导体中任一点 (b<r<c) 的磁场强
度；
解：如图作环路 ll22
ll22
rr
l2
∫ B dl. =μ I2o
l2
∫ B dl. = B2πr
I2 = I − I (πr 2
− πb2
)
πc2
− πb2
=
I (c 2
− r 2
)
c2
− b2
B =
2πr
μ o I (c 2
− r 2
)
( c2
− b2
)