Download to read offline
![7
№ 783.
s(t)=t2
+2 найдем v (t):
а) s(t+h)–s(t)=(t+h)2
+2–t2
–2=t2
+2th+h2
+2–t2
–2=2th+h2
б) vc p= =
+
=
−+
h
hth2
h
)t(s)ht(s 2
2t+h
в) v(t)=
0h
pc
0h
limvlim
→→
= vc p=
0h
lim
→
2t+h=2t
1) t=5, v(5)=2⋅5=10; 2) t=10, v(10)=2⋅10=20.
№ 784.
1) на [0; 1] vc p= 5,1
1
05,1)()(
=
−
=
−+
h
tshts
;
2) на [1; 2] vc p= =
−
=
−+
1
5,15,2
h
)t(s)ht(s
1;
3) на [2; 3] vc p= 5,0
1
5,23)()(
=
−
=
−+
h
tshts
.
№ 785.
1) на [0; 2] vc p=
2
1
02
21
h
)t(s)ht(s
−=
−
−
=
−+
;
2) на [2; 3] vc p=
23
13
−
−
=2; 3) на [3; 3,5] vc p=
35,3
34
−
−
=2.
№ 786.
1)
1
lim
→x
(2x+1)=3, т.к. f(x)=2x+1, то:
|f(x)–3|=|2x–2|=2|x–1|<2δ=ε, где |x–1|<δ, δ=
2
ε
, т.е. для ∀ε
существует δ удовлетворяющее определению, значит равенство
верно..
2)
2
lim
→x
x2
=4, т.к. f(x)=x2
, то: |f(x)–4|=|x2
–4|=|x–2|⋅|x+2|<δ|x+2|; |x–
2|<δ;
δ|x+2|=δ|(x–2)+4|≤δ(|x–2|+|4|)<δ2
+4δ=ε, возьмем δ=2+ ε+4 .
§ 45 Производная степенной функции
№ 787.
1) (x6
)′=6x5
; 2) (x7
)′=7x6
; 3) (x11
)′=11x10
; 4) (x13
)′=13x12
№ 788.
1) (x –2
)′= –2x–3
; 2) (x –3
)′= –3x–4
; 3) (x –4
)′= –4x–5
; 4) (x –7
)′= –7x–8
.
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-5-320.jpg)
![33
8) f(x0)= 1 =1, f ′(x)=
x2
1
, f ′(x0)=
2
1
12
1
= ,
y=f(x0)+ f ′(x0)(x–x0), y=1+
2
1
(x–1), y=1+
2
1
x–
2
1
, y= )1(
2
1
+x .
№ 861.
1) f ′(x)>0 ⇒ tg α>0 ⇒ α∈[0;
2
π
], f ′(x)<0 ⇒ tg α<0 ⇒ α∈[–
2
π
;
0],
f ′(x)=0 ⇒ tg α=0 ⇒ α=0;
рис. а; а) f ′(x)>0: A, B, E; б) f ′(x)<0: D, G; в) f ′(x)=0: C, F.
рис. б; а) f ′(x)>0: C, G; б) f ′(x)<0: A, E; в) f ′(x)=0: B, D, F.
№ 862.
1) f(0)=0+
10
1
+
=1, f ′(x)=1– 2
)1(
1
+x
, f ′(0)=1– 2
)10(
1
+
=0,
y=1+0⋅(x–0), y=1.
2) f(0)=sin 0 – ln 1=0
f ′(x)=2cos 2x–
1
1
+x
, f ′(0)= 2cos 0–
1
1
=1,
y=0+1⋅(x–0), y=x.
№ 863.
1) f ′(x)=1–ex
, f ′(0)=1–e0
=0, tg α=f ′(x0)=0 ⇒ α=0 ⇒ β=90°–α=90°;
2) f ′(x)= –sin x, f ′(0)= – sin 0 = 0, tg α=f ′(x0) ⇒ α=0 ⇒ β=90°–
α=90°;
3) f ′(x)=
12
1
+x
+0⋅e2
=
12
1
+x
,
tg α=f ′(x0)=
12
1
+x
=
2
1
⇒ α=arctg
2
1
⇒ β=90°–α=90° –arctg
2
1
.
№ 864.
1) а) Абсцисса точки пересечения графиков:
8–x=4 4+x ; 64–16x+x2
=16x+64; x2
–32x=0; x(x–32)=0
x1=0 x2=32 – посторонний корень, т.к. 8 – х ≥ 0; х=0.
б) угол наклона первой касательной в точке х = 0
tg α1=f ′(x0)=(8–x)′= –1, α1=
4
3π
.
в) угол наклона второй касательной:
tg α2=f ′(x0)=
2
2
4
2
42
4
00
=
+
=
+ xx
=1, α2=
4
π
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-31-320.jpg)
![60
2. y(-x) = 6(-x)4
– 4(-x)6
= 6x4
– 4x6
= y(x) – четная, график симметричен
относительно 0у. Исследуем на (0; +∞)
3. y′ = 24x3
– 24x5
4. y’ = 0, 24x3
(1 – x2
) = 0, x = 0, x = ±1
5.
x 0 (0, 1) 1 (1; +∞)
f’(x) 0 + 0 -
f(x) 0 2
x = 0 – точка min f(0) = 0
x = ±1 – точка max f(1) = f(-1) = 6 – 4 = 2
№ 928
1) у = х3
– 3х2
+ 2
1. Область определения [-1; 3] – по условию
2. y′ = 3x2
– 6x
3. y′ = 0; 3x2
– 6x = 0, 3x(x – 2) = 0, x = 0, x = 2
4.
X -1 (-1; 0) 0 (0; 2) 2 (2; 3) 3
y’ + + 0 - 0 + +
y -2 2 -2 2
max min
2) y = x4 – 10x + 9 на [-3, 3];
1. Область определения [-3, 3];
2. y′ = 4x3
– 20x;
3. y′ = 4x(x2
– 5) = 0, x = 0, x = 5± ;
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-62-320.jpg)
![71
5) y = 0, x3
= 4, 3
4=x , x = 0, y = 4;
6)
( )
( )
( ) ( )3
2
3
23
3
3
1
333
1
1
3331
1
4
−
−−
+=
−
−−+−
=
−
−
x
xx
x
xxx
x
x
,
x → ∞ y → 1. Т.к. (0,9) > 0 y(1,1) < 0, то слева от х = 0 у → +∞,
а справа растет от -∞
7) Рассмотрим график;
9
4
<c имеем один корень;
9
4
=c два корня;
1
9
4
<< c три корня; с = 1 два корня; 41 << c три корня;
с = 4 два корня; с > 4 один корень.
§ 52 Наибольшее и наименьшее значения функции
№ 936
а) хэкстр = -3; 0 унаиб = 2 унаим = -3
б) хэкстр = 0 унаиб = 3 унаим = -3
в) хэкстр = -2; 2 унаиб = 3 унаим = -3
г) хэкстр = -2; 1 унаиб = 4 унаим = -2
№ 937
1) у = 2х3
+ 3х2
– 36х на [-4; 3];
1. у(-4) = 2 ⋅ (-64) + 3 ⋅ 16 – 36 ⋅ (-4) = 64,
y(3) = 2 ⋅ 27 + 3 ⋅ 9 – 36 ⋅ 3 = -27;
2. y′ = 6x2
+ 6x – 36, y′ = 0; x2
+ x – 6 = 0, D = 1 + 24 = 25,
2
2
51
1 =
+−
=x , 3
2
51
2 −=
−−
=x ;
3. 2 ∈ [-4; 3], -3 ∈ [-4; 3], y(-3) = 2 ⋅ (-27) + 3 ⋅ 9 – 36(-3) = 81,
y(2) = 2 ⋅ 8 + 3 ⋅ 4 – 36 ⋅ 2 = -44,
[ ]
( ) ( ) 813max
3;4
=−=
−
yxy , ( ) ( ) 442min
]3;4[
−==
−
yxy ;
2) на [-2; 1];
а) f(-2) = 2 ⋅(-8) + 3 ⋅ 4 – 36(-2) = 68, f(1) = 2 + 3 – 36 = -31;
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-73-320.jpg)
![72
б) 2 ∉ [-2; 1], -3 ∉ [-2; 1], значит
[ ]
( ) 68max
1;2
=
−
xf ,
[ ]
( ) 31min
1;2
−=
−
xf .
№ 938
1) f(x) = x4
– 8x2
+ 5 на [-3; 2];
1. f(-3) = 81 – 8 ⋅ 9 + 5 = 14, f(2) = 16 – 8 ⋅ 4 + 5 = -11;
2. f’(x) = 4x3
– 16x, f’(x) = 0; 4x(x2
– 4) = 0, x = 0, x = ±2;
3. D ∈ [-3; 2], -2 ∈ [-3; 2], 2 ∈ [-3; 2], f(0) = 5, f(-2) = -11, f(2) = -11,
[ ]
( ) 143max
2;3
=−
−
f ,
[ ]
( ) ( ) ( ) 1122min
2;3
−=−==
−
ffxf ;
2) ( )
x
xxf
1
+= ,
−−
2
1
;2 ;
1. ( )
2
5
2
1
22 −=−−=−f ,
2
5
2
2
1
2
1
−=−−=
−f ;
2. ( ) 2
1
1'
x
xf −= , f’(x) = 0, x2
– 1 = 0, x = ±1;
3.
−−∉
−−∈−
2
1
;21
2
1
;21 , f(-1) = -1 – 1 = -2,
( ) ( ) 21max
2
1
;2
−=−=
−−
fxf , ( ) ( )
2
1
2
2
1
2min
2
1
;2
−=
−=−=
−−
ffxf ;
3) f(x) = sinx + cosx
π
π
2
3
; ;
1. f(π) = sinπ + cosπ = 0 – 1 = -1, 101
2
3
cos
2
3
sin
2
3
−=+−=
π
+
π
=
π
f ;
2. f’(x) = cosx – sinx, f’(x) = 0; cosx – sinx = 0, cosx ≠ 0,
1 – tgx = 0, tgx = 1, Znnx ∈π+
π
= ,
4
;
3.
π
π∈
π
2
3
;
4
5
, 2
2
2
2
2
4
5
cos
4
5
sin
4
5
−=−−=
π
+
π
=
π
f ,
( ) ( ) 1
2
3
max
2
3
;
−=
π
=π=
π
π
ffxf , ( ) 2
4
5
min
2
3
;
−=
π
=
π
π
fxf .
№ 939
1) ( ) 2
2 16
x
xxf += , х > 0;
1. Область определения: х > 0, ( ) 3
32
2'
x
xxf −= ,
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-74-320.jpg)
![75
2. ( ) 1
1
' −=
x
xf , f′(x) = 0; 0
1
=
−
x
x
, x = 1; 3.
∈ 3;
2
1
1 , f(1) = ln1 –1=-1.
Выясним, что больше. Допустим, ( )3
2
1
ff >
33ln
2
1
2
1
ln −>− ,
2
5
3ln
2
1
ln −>− ,
2
5
2
5
1
6
1
ln
6
1
ln
e
e >⇒>
−
е5/2
> 6 – что верно
Допустим f(3) < f(1), т.е. ln3 – 3 > -1, ln3 > 2, ln3 > lne2
,
3 > e2
– не верно, значит f(1) > f(3).
Допустим ( )1
2
1
ff >
, т.е. 1
2
1
2
1
ln −>− , 2
1
ln
2
1
ln
−
> e ,
e
1
2
1
> ,
2>e , е > 4 – не верно, значит ( )
>
2
1
1 ff .
Итак, ( ) ( ) 11max
3;
2
1
−==
fxf , ( ) ( ) 33ln3min
3;
2
1
−==
fxf ;
2) f(x) = x + e-x
, [-1; 2];
1. f(-1) = -1 + e = e – 1 < 2, 2 < e < 3, 1 < e – 1 < 2, ( ) 2
1
22
2
>+=
e
f ;
2. f′(x) = 1 – e-x
, f′(x) = 0; 1 – e-x
= 0, e-x
= 1 = e0
, x = 0, f(0) = 0 + e0
=
1,
[ ]
( ) ( ) 22;1
1
22max
e
fxf +==
−
,
[ ]
( ) ( ) 10min
2;1
==
−
fxf ;
f(0) f(-1) f(2)
1 2
3) f(x) = 2cos x – cos2x, [0; π];
1. f(0) = 2cos0 – cos0 = 2 – 1 = 1, f(π) = 2cosπ - cos2π = -2 – 1 = -3;
2. f′(x) = -2sin x + 2sin2x, f′(x) = 0; -2sin x(1 – 2cos x) = 0,
sinx = 0, x = πn, n ∈ Z, Znnxx ∈π+
π
±=+= ,2
32
1
cos ;
3. 0 ∈ [0; π], π ∈ [0; π], [ ]π∈
π
;0
3
,
2
3
2
1
1
3
2
cos
3
cos2
3
+=++=
π
−
π
=
π
f ,
[ ]
( )
2
3
3
max
;0
=
π
=
π
fxf ,
[ ]
( ) ( ) 3min
;0
−=π=
π
fxf .
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-77-320.jpg)
![82
2) 2
4
4
x
x
y +−= .
Область определения – R,
y′ = -x3
+ 2x, y′ = 0, x(2 – x2
) = 0, x1 = 0; x2 = 2±
x ( )2;−∞− 2− ( )0;2− 0 ( )2;0 2 2>x
y′ + 0 - 0 + 0 -
y 1 0 1
max min max
№ 961
1) у = 3х2
– 6х + 5 на [0; 3]. Область определения [0; 3],
y′ = 6x – 6, y′ = 0, 6(x – 1) = 0, x = 1
1
– +
x
x 0 (0; 1) 1 (1; 3) 3
y′ - 0 +
y 5 2 14
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-86-320.jpg)
![83
2) 2
2
3
3
2
4
1 234
+−−= xxxy на [-2; 4].
Область определния [-2; 4],
y′ = x3
– 2x2
– 3x, y′ = 0, x(x2
– 2x – 3) = 0,
=−−
=
032
0
2
xx
x
,
D = 1 + 3 = 4,
x1 = 3; x2 = -1; x3 = 0.
x -2 (-2;-1) -1 (-1;0) 0 (0;3) 3 (3;4) 4
y′ - 0 + 0 - 0 +
y
3
16
12
17 2
4
37
−
3
2
−
min max min
№ 962
1) f(x) = x3
– 6x2
+ 9 на [-2; 2], f(-2) = -8 – 6 ⋅ 4 + 9 = -23,
f(2) = 8 – 6 ⋅ 4 + 9 = -7, f′(x) = 3x2
– 12x, f′(x) = 0, 3x(x – 4) = 0
x1 = 0; x2 = 4, 0 ∈ [-2; 2]; 4 ∉ [-2; 2], f(0) = 9,
[ ]
( ) ( ) 90max
2;2
==
−
fxf ,
[ ]
( ) ( ) 232min
2;2
−=−=
−
fxf ;
2) f(x) = x3
+ 6x2
+ 9x [-4; 0], f(-4) = -64 + 6 ⋅ 16 + 9 ⋅ (-4) = -4, f(0) = 0,
f′(x) = 3x2
+ 12x + 9 f′(x) = 0, 3(x2
+ 4x + 3) = 0, D/4 = 4 – 3 = 1,
x1 = -3; x2 = -1, -3 ∈ [-4; 0]; -1 ∈ [-4; 0], f(-1) = -1 + 6 – 9 = -4,
f(-3) = -27 + 6 ⋅ 9 – 9 ⋅ 3 = 0,
[ ]
( ) ( ) ( ) 414min
0;4
−=−=−=
−
ffxf ,
[ ]
( ) ( ) ( ) 003max
0;4
==−=
−
ffxf ;
3) f(x) = x4
– 2x2
+ 3 [-4; 3], f(-4) = 256 – 2 ⋅ 16 + 3 = 227,
f(3) = 81 – 9 + 3 = 75, f′(x) = 4x3
– 4x, f′(x) = 0, 4x(x2
– 1) = 0,
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-87-320.jpg)
![84
x1 = 0; x2,3 = ±1, -1 ∈ [-4; 3]; 1 ∈ [-4; 3]; 0 ∈ [-4; 3],
f(-1) = f(1) = 1 – 2 + 3 = 2, f(0) = 0 + 0 + 3 = 3,
[ ]
( ) ( ) ( ) 211min
3;4
==−=
−
ffxf ,
[ ]
( ) ( ) 2274max
3;4
=−=
−
fxf ;
4) f(x) = x4
– 8x2
+ 5 [-3; 2], f(-3) = 81 – 8 ⋅ 9 + 5 = 14,
f(2) = 16 – 8 ⋅ 4 + 5 = -11, f′(x) = 4x3
– 16x, f′(x) = 0, 4x(x2
– 4) = 0,
x1 = 0; x2,3 = ±2, 0 ∈ [-3; 2]; 2 ∈ [-3; 2]; -2 ∈ [-3; 2],
f(0) = 0 + 0 + 5 = 5, f(-2) = f(2) = -11,
[ ]
( ) ( ) ( ) 1122min
2;3
−==−=
−
ffxf ,
[ ]
( ) ( ) 143max
2;3
=−=
−
fxf .
№ 963
Пусть сторона прямоугольника равна х, тогда другая сторона равна
− x
p
2
.
Тогда диагональ вычислим как: ( )
2
2
2
−+== x
p
xxfl .
Исследуем эту функцию на min
=
′
−+=
′
+−+=′ px
p
xxpx
p
xxf
4
2
4
)(
2
22
2
2
px
p
x
px
−+
−⋅
=
4
22
)4(1
2
2
, f ′(х) = 0, 0
4
22
4
2
2
=
−+
−
px
p
x
px
, 4х – p = 0,
x =
4
p
, вторая сторона
4422
ppp
x
p
=−=− – значит, это квадрат со сто-
роной р/4, ч.т.д.
№ 964
Пусть х – одна из равных сторон, значит другая тоже х и основание
(р–2х), тогда высота равна:
2
4
42
2
2
2
2
2
2 pxp
xpx
p
xx
p
xh
+−
=−+−=
−−= ,
тогда площадь вычислим как:
4
4)2(
2
4
)2(
2
1
)(
22
pxpxppxp
xpxS
+−−
=
+−
⋅−⋅⋅ ,
=
−
⋅−
++−−=′
2
2
42
4)2(
42
4
1
)(
ppx
pxp
pxpxS
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-88-320.jpg)
![88
4) у = х(х – 1)3
а) Область определения: R
б) у′ = (х – 1)3
+ 3х (х – 1)2
= (х – 1)2
(х – 1 + 3х) = (х – 1)2
(4х – 1)
в) у′ = 0, (х – 1)2
⋅ (4х – 1) = 0, х1 = 1 х2 =
4
1
x (–∞; –
4
1
)
4
1
(
4
1
; 1) 1 (1; +∞)
y′ – 0 + 0 +
у 256
27
−
min
0
№ 971
1) f(x) = 2sinx + sin2x; х∈[0;
2
3π
];
а) Область определения [0;
2
3π
]; б) f ′(х) = 2cosx + 2cos2x;
в) f ′(х)=0, 2cosx+2cos2x=0; 4cos2
x+2cosx–2 = 0, 2cos2
x + cosx – 1 =
0;
D = 1 + 8 = 9; cosx
2
1
4
31
=
+−
, nx π+
π
±= 2
3
, n ∈ Z;
cosx 1
4
31
−=
−−
, х = π + 2nπ, n ∈ Z,
f(0) = 2sin0 + sin0 = 0, f
π
2
3
= 2sin
2
3π
+ sin3π = –2 + 0 = –2,
2
33
2
3
3
3
2
sin
3
sin2
3
=+=
π
+
π
=
π
f ,
f (π) = 2sinπ + sin2π = 0 + 0 = 0,
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-92-320.jpg)
![89
( )( ) ( )( )
2
33
3
max;2
2
3
min
2
3
;0
2
3
;0
=
π
=−=
π
=
π
π
fxffxf ;
2) f(x) = 2cosx + sin2x; х∈[0; π]; а) f ′(х) = –2sinx + 2cos2x,
f ′(х) = 0, –2sinx + 2(1 – 2sin2
x) = 0, 2sin2
x + sinx –1 = 0, D = 1 + 8 =
9,
( ) [ ] [ ]
[ ]
π∉
π
−∈π+
π
−=−=
−−
=
π∈
π
π∈
π
∈π+
π
−==
+−
=
;0
2
;,2
2
1
4
31
sin
;0
6
,;0
6
5
;,
6
1
2
1
4
31
sin
Znnxx
Znnxx n
б) f (0) = 2cos0 + sin0 = 2 + 0 = 2, f (π) = 2cosπ + sinπ = –2 + 0 = –2,
2
33
2
3
3
3
sin
6
cos2
6
=+=
π
+
π
=
π
f ,
2
33
2
3
3
3
5
sin
6
5
cos2
6
5
−=−−=
π
+
π
=
π
f ,
[ ]
( )( )
[ ]
( )( )
2
33
6
max;
2
33
6
5
min
;0;0
=
π
=−=
π
=
ππ
fxffxf .
№ 972
1) v(t) = s′(t) = (6t2
– t3
)′ = 12t – 3t2
2) найдем наибольшее значение v(t)
v′(t) = 12 – 6t ; v′(t) = 0, 12 – 6t = 0, t = 2, t = 2 – точка max.,
v(2) = 24 – 12 = 12.
№ 973
Пусть ВС = х, АС = l – x, тогда
АВ = =−− 22
)( xxl xll 22
− ,
xllxSABC 2
2
1 2
−⋅= .
Найдем наибольшее значение SABC.
xll
lxl
xll
lxxll
xll
xl
xllxS
22
3
22
2
22
)2(1
2
2
1
)(
2
2
2
2
2
2
−
−
=
−
−−
=
−
−⋅
+−=′
,
S′(х) = 0, 0
22
3
2
2
=
−
−
xll
lxl
, х =
3
l
, х =
3
l
– точка max.,
АС = l –
3
l
=
3
2l
, АВ =
3
3
99
4 22
lll
=− .
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-93-320.jpg)
![90
№ 974
Пусть АС = х, тогда СВ = 40 – х.
Тогда площадь найдем по формуле:
( ) ( )
2
2040
2
1
2
1 2
x
xxxCBACxS −=−=⋅=
Исследуем S(х) на max.
S′(х)=20–x; S′ = 0, 20–x=0, x=20, x=20 – точка max. АС = 20,
СВ = 40 – 20 = 20. Это равнобедренный прямоугольный треугольник.
№ 975
Пусть АВ = х = СD и ВС = у = АD, тогда
BD = α−+ cos222
xyyx ,
и АС = ( )απ−+ -cos222
xyyx =
= α++ cos222
xyyx
axyyxxyyxBDAC =α+++α−+=+ cos2cos2 2222
−α+++α−+= cos2cos2 22222
xyyxxyyxa ( ) α−+ 22222
cos42 yxyx
a4
– 4(x2
+ y2
)a2
+ 4(x2
+ y2
)2
= 4(x2
+ y2
)2
– 16x2
y2
cos2
α,
a4
– 4(x2
+ y2
)a2
+ 16x2
y2
cos2
α = 0, 4(x2
+ y2
) = a2
+ 16
2
222
cos
a
yx α
.
Величина 2(x2
+ y2
) зависит от параметра α.
min 4(x2
+ y2
) = a2
при cos2
α = 0 α = 90°. Тогда 2(x2
+ y2
) =
2
2
a
.
№ 976
Пусть АВ = х, тогда АD = 2 22
xR − ,
42222
22 xxRxxRxABADS −=−=⋅= .
Исследуем S на max при x∈[0; R].
( )
422
32
2
422
xxR
xxR
S
−
−
=′ ; S′ = 0, 0
42
422
32
=
−
−
xxR
xxR
,
2x(R2
– 2x2
) = 0;
±=
=
⇒
=
=
2
0
2
0
2
2
R
x
x
R
x
x
,
2
R
− ∉[0; R],
x = 0 – точка min., x =
2
R
– точка max.,
R
RR
RAD 2
2
2
2
2
2
2
=⋅=−= , 2
2
2
RR
R
S =⋅= .
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-94-320.jpg)
![91
№ 977
Объем пирамиды V =
3
1
h ⋅ S′осн.; h = 12 – постоянная, поэтому объем за-
висит только от площади основания. Найдем ее max.
Пусть один катет основания х, тогда другой 2
16 x− . Тогда площадь
( ) 422
16
2
1
16
2
1
xxxxxS −=−⋅= ; х ∈ [0; 4]
( ) ( )
42
3
42
3
16
8
164
4321
xx
xx
xx
xx
xS
−
−
=
−
−
=′ ; S′ (х) = 0,
0
16
8
42
3
=
−
−
xx
xx
, x(8 – x2
) = 0, x = 0, x = 22± ,
22− ∉ [0; 4],
x = 0 – точка min., x = 22 – точка max., ( ) 4
2
8
64816
2
1
22 ==−⋅=S ,
V =
3
1
⋅ 12 ⋅ 4 = 16.
№ 978
Пусть радиус окружности в основании цилиндра r = х, тогда высота
h =
− x
R
2
2
. Объем равен V = h ⋅ Sосн. = h ⋅ πr2
. х ∈[0; p],
( )
2
4
2
2
32
2 xxp
xx
p
xV
π−π
=⋅π⋅
−= .
Исследуем V(х) на max. V′(х) =
2
1
(2рπх – 12πх2
) = рπх – 6πх2
V′(х) = 0, хπ(р – 6х) = 0,
6
;0
06
0
21
p
xx
xp
x
==⇒
=−
=π
x = 0 – точка min., x =
6
p
– точка max.,
( ) 216
46
21622
216
4
36
6
3
33
32
p
pp
pp
p
p
V
π
=−
⋅
π
=
π⋅−⋅π
=
.
№ 979
k
ABAD
AB
AD
===
25
;
2
5
, AD = 5k, AB = 2k,
DDAABBAAпов SSABADS 1111
22 ++⋅= =
= 10k2
+ 2AA1(5k + 2k) = 2S, AA1 =
k
kS
14
102 2
−
,
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-95-320.jpg)
![143
a + b = (а0 + а1 ⋅10–1
+...+ аk ⋅ 10–k
)+(b0 + b1 ⋅ 10–1
+...+ bk ⋅ 10–k
+ bk+1 ⋅ 10–k–1
) =
= (а0 + b0) + (а1 + b1) ⋅ 10–1
+ ... + (аk + bk) ⋅ 10–k
+ bk+1 ⋅ 10–k–1
+ ... – иррац.
k
k
k
k
bbbb
aaaa
b
a
−−−
−−−
⋅++⋅+⋅+
⋅++⋅+⋅+
=
10...1010
10...1010
2
2
1
10
2
2
1
10 – очевидно, что оно иррацио-
нально, а т.к.
( )baa
b
/
1
= , то это тоже является иррац., ч.т.д.
№ 1078
1) [ ]7223;1 + , [ ]15;433 + , 4331 +< , 722315 +> ,
7223 + , 433 + .
Возведем в квадрат.
14122818 ++ , 3241627 ++ , 14123+ , 324 .
Сравним 1412 и 324 . Возведем в квадрат.
2016 > 1728 ⇒ отрезки имеют общую точку.
2) ( )627,0 + , ( )10,148 − , 1480 −< , 10936627 <=+<+ .
Сравним 627 + , 148 − .
Возведем в квадрат 1622627 ++ , 482148 −+ , 218 , 03816 >− .
Еще раз возведем в квадрат 648, 3256192256 −+ , 3256200 −> .
Имеют общие точки.
3) [ ]6252;2 + и ( )11;2223 + , 22232 +< , 116252 <+ .
Сравним 6252 + и 2223 + .
Возведем в квадрат 3082420 ++ , 4462218 ++ , 3084 + , 1112 .
Возведем в квадрат 308 и 1112 .
1920 > 1584 ⇒ имеют общие точки.
4) [ ]31;1 + и
−
4;
13
2
,
13
2
1
−
< , 431 <+ .
Сравним 31+ и
13
2
−
. Умножим оба на 013 >− .
(3 – 1) = 2 – но одно отрезок, другой – интервал. Значит, не имеют.
№ 1079
a < b
1) Пусть а имеет координаты (a, 0), a b – (b, 0). Тогда середина отрезка
[a, b] имеет координаты
+
0,
2
ba
. Точка
2
ba +
имеет координаты
++
2
00
,
2
ba
, или
+
0,
2
ba
– т.е. она совпадает с серединой.
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-147-320.jpg)
![167
2)
+−
∈
2
333
;
2
333
x , -х2
+3х+6=2х, -х2
+х+6=0, х2
–х–6=0, х1=3,
х2=-2,
+−
∈−
2
333
;
2
333
2 . Наименьший корень х = 3.
№ 1156
|x2
– 8x + 5| = 2x
Найдем корни трехчлена: х2
– 8х + 5 = 0. D = 64 – 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = 44
114
12
448
2,1 ±=
⋅
±
=x .
+ +
–
1
114 −
1
114 +
1) ( ] [ )+∞+−∞−∈ ;114114; Ux , х2
– 8х + 5 = 2х, х2
– 10х + 5 = 0,
Qx ∈±=
−±
= 205
1
5255
2,1 ;
2) ( )114;114 +−∈x , -х2
+ 8х – 5 = 2х, -х2
+ 6х – 5 = 0,
х2
– 6х + 5 = 0, х1 = 5, х2 = 1. Наибольший рациональный корень х = 5.
№ 1157
1) 272 +=+ xx ,
( ) ;
2
4472;
02
272 22
−≥
++=+
≥+
+=+
x
xxx
x
xx
−≥
−==
−≥
=−+
2
3,1
;
2
032 21
2
x
xx
x
xx .
Ответ: х = 1
2) 522 −−= xx , xx −=− 252
( ) ;
02
252 2
≥−
−=−
x
xx ;
2
4452 2
≤
+−=−
x
xxx ;
2
0962
≤
=+−
x
xx
≤
=
≤
=
2
3
2
3
x
x
x
x
.
Ответ: корней нет.
№ 1158
1) 3х-7
= 81, 3х-7
= 34
, х – 7 = 4, х = 11;
2) 22 5,652
=+− xx
, 2
1
5,65
22
2
=+− xx
, х2
– 5х + 6,5 = 0,5,
х2
– 5х + 6 = 0, х1 + х2 = 5, х1 ⋅ х2 = 6, х1 = 2, х2 = 3;
3) 62
24
4
1 +
=
⋅ x
x
x
, ( ) 621
244 +−
=⋅ xxx
, ( ) 31
44 +−
= xxx
,
3
44
2
+−
= xxx
, х2
– х = х + 3, х2
– 2х – 3 = 0, х1 = -1, х2 = 3.
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-173-320.jpg)
![174
4) 2
2
1 4log xx =
Построим графики функций
у = log½x и у = 4х2
2
1
=x
5) 2х
= log0,5x
Построим графики функций
у = 2х
, y = log½x
2
1
≈x
6) ( ) x
x
3log
3
1 =
Построим графики функций
x
y
=
3
1
и y = log3x
2
3
≈x
№ 1177
1)
2
1
cos −=x [-π; 3π]
2
1
cos −=x , Znnx ∈π+
−±= ,2
2
1
arccos
Znnx ∈π+
π
−π±= ,2
3
,
Znnx ∈π+π±= ,2
3
2
,
n = 1,
3
8
,
3
4 π
=
π
= xx , n=0, π−=π=
3
2
,
3
2
xx
Ответ:
3
8
,
3
4
,
3
2 π
=π=π±= xxx
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-180-320.jpg)
![175
2)
2
3
sin −=x [-π; 3π]
( ) Znnx n
∈π+
−−= ,
2
3
arcsin1
( ) Znnx n
∈π+−= +
,
2
3
arcsin1 1
( ) Znnx n
∈π+
π
−= +
,
3
1 1
, n = 0,
3
π
−=x ,
n = -1, π=π+
π
=
3
4
3
x , n = 2, π=π+
π
−=
3
5
2
3
x ,
Ответ: π=π
−
=π=
π
−=
3
5
,
3
2
,
3
4
,
3
xxxx .
№ 1178
1)
2
1
2sin =x ; ( ) Znnx n
∈π+−= ,
2
1
arcsin12 ,
( ) Znnx n
∈π+
π
−= ,
6
12 , ( ) Zn
n
x n
∈
π
+
π
−= ,
212
1 ;
2)
2
2
3cos
−
=x ; Znnx ∈π+
−
±= ,2
2
2
arccos3 ,
Znnx ∈π+
π
−π±= ,2
4
3 , Znnx ∈π+
π
±= ,
3
2
4
;
3) 2tg x + 5 = 0,
2
5
−=tgx ;
Znnarctgx ∈π+
−= ,
2
5
, Znnarctgx ∈π+−= ,
2
5
№ 1179
1) 3cos2
x – 5cos x – 12 = 0.
Пусть cos x = a, тогда уравнение примет вид: 3а2
– 5а – 12 = 0,
6
135
6
144255
2
1
±
=
+±
=a , а1 = 3,
6
8
2 −=a ,
а1 > 1, а2 < –1 ⇒ исходное уравнение не имеет решений, т.к. |cos x| ≤ 1;
2) 3tg2
x – 4tg x + 5 = 0, tg x = a, 3a2
– 4a + 5 = 0,
3
1542
2
1
−±
=a ,
D < 0 ⇒ действительных корней нет.
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-181-320.jpg)
![204
– –
+ +
-7 2 5
( ) [ )+∞−∈ ;52;7 Ux ;
2) 0
24
1
2
<
++
−
xx
x
,
( )( )
≠++
<++−
024
0241
2
2
xx
xxx
,
(х – 1)(х2
+ 4х + 2) < 0, ( ) ( )( )( ) 022221 <−++−− xxx ,
– –
+ +
22 −− 122 +−
( ) ( )1;2222; +−−−∞−∈ Ux
3) 0
32
82
2
2
>
−−
−+
xx
xx
равносильно
( )( )
≠−−
>−−−+
032
03282
2
22
xx
xxxx
(x – 2)(x + 4)(x + 1)(x –3) > 0
+ + +
– –
-4 -1 2 3
( ) ( ) ( )+∞−−−∞∈ ;32;14; UUx .
№ 1210
lg(x2
+ 8x + 15). Выражение не имеет смысла при x2
+ 8x + 15 ≤ 0,
x2
+ 8x + 15 ≤ 0, (x + 3)(x + 5) ≤ 0
+ +
–
-5 -3 x ∈ [-5; -3].
Ответ: -5 ≤ х ≤ -3.
№ 1211
(m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0.
Т.к. квадратное уравнение имеет два действительных корня, когда
D>0 и а≠0, то ( ) ( )( )
≠−
>−−−+
01
0311 2
m
mmm
≠
>−+−++
1
03412 22
m
mmmm
≠
>−
0
026
m
m
3
1
>m , следовательно, m =2 – наименьшее целое число, при кото-
ром уравнение имеет 2 действительных корня.
№ 1212
(m – 7)x2
+ 2(m – 7)x + 3 = 0, D < 0, a ≠ 0
( ) ( )
≠−
<−−−
07
0737 2
m
mm
≠
<+−+−
7
021349142
m
mmm
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-199-320.jpg)
![207
4) 33 4
>− x
, 2
1
4
33 >− x
, -4x > ½,
8
1
−<x .
№ 1217
1)
4
1
2 5
<+−x
, 2-х+5
< 2-2
, -x + 5 < -2, x > 7;
2)
27
1
3
1
2
>
−x
,
32
3
1
3
1
>
−x
, |x – 2| < 3
−>
<−
<
≥−
⇔
1
02
5
02
x
x
x
x
x ∈ (-1; 5).
№ 1218
1) 555 5,132
<++ xx
, 2
3
5,13
55
2
<++ xx
, x2
+ 3x + 1,5 < 3/2,
x2
+ 3x < 0, x(x + 3) < 0
+ +
–
-3 0 -3 < x < 0.
2) 12,0 762
≥+− xx
, 076
2,02,0
2
≥+− xx
, x2
–6x+7 ≤ 0, [ ]23;23 +−∈x .
№ 1219
1) 32
1
1
393 ≥
−+ xx
, 3
1
121
333 ≥⋅ −+ xx
, 3
1
3
33 ≥x
, 3х ≥ 1/3,
9
1
≥x ;
2) 3x+1
+ 3x-1
< 10, 3x
(3 + 3-1
) < 10, 10
3
10
3 <⋅x
, 3x
< 3, x < 1.
№ 1220
1) 522842 43
2
12
>⋅+− −−
x
xx
, 22x
– 22x-2
+ 22x-4
> 52, 22x-4
(24
–22
+ 1) > 52,
22x-4
⋅ 13 > 52, 22x-4
> 4, 22x-4
> 22
, 2x – 4 > 2, 2x > 6, x > 3;
2) 2x+2
– 2x+3
+ 5x-2
> 5x+1
+ 2x+4
, 2x+2
– 2x+3
– 2x+4
> 5x+1
– 5x-2
,
4 ⋅ 2x
– 8 ⋅ 2x
– 16 ⋅ 2x
> 5 ⋅ 5x
-
25
1
⋅ 5x
, ( )
−>−−
25
1
5516842 xx
,
( )
25
24
45202 ⋅>− xx
,
2025
124
5
2
⋅
−<
x
,
248,0
5
2
−<
x
— решений нет, т.к., 0
5
2
>
x
для всех х.
№ 1221
1) 13,3 62
<+ xx
, 06
3,33,3
2
<+ xx
, т.е. х2
+ 6х < 0, x(x + 6) < 0
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-202-320.jpg)
![210
>−
≤−
02
32
2
2
x
x
;
( )( )
( )( )
>+−
≤+−
022
055
xx
xx [ ]
( ) ( )
+∞−∞−∈
−∈
;22;
5;5
Ux
x
[ ) ( ]5;22;5 U−−∈x .
№ 1224
1)
2
1
lg <x ,
<
≥
4
1
lg
0lg
x
x
;
<
≥
4
1
10lglg
1
x
x
;
<
≥
4
1
10
1
x
x
∈ 4
1
10;1x
2) log1/2x < log1/2(2x + 6) + 2, ( )62
4
1
loglog
2
1
2
1 +< xx ,
+>
>+
>
624
062
0
xx
x
x
>
−>
>
3
3
0
x
x
x
x ∈ (3; +∞).
№ 1225
1) log0,5(1 + 2x) > -1, log0,5(1 + 2x) > log0,52
<+
>+
221
021
x
x
<
−>
2
1
2
1
x
x
−∈
2
1
;
2
1
x ;
2) log3(1 – 2x) < -1, log3(1 – 2x) < log3
3
1
,
<−
>−
3
1
21
021
x
x
>
<
3
1
2
1
x
x
∈
2
1
;
3
1
x .
№ 1226
1) log0,5(x2
– 5x + 6) > -1
<+−
>+−
265
065
2
2
xx
xx ( )( )
( )( )
<−−
>−−
041
023
xx
xx ( ) ( )
( )
∈
+∞∞−∈
4;1
;32;
x
x U
x ∈ (1; 2) U (3; 4);
2) log8(x2
– 4x + 3) ≤ 1
≤+−
>+−
834
034
2
2
xx
xx ( )( )
( )( )
≤−+
>−−
051
031
xx
xx ( ) ( )
[ ]
−∈
+∞∞−∈
5;1
;31;
x
x U
[ ) ( ]5;31;1 U−∈x .
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-205-320.jpg)
![212
а)
>
>−
0log
013
2 x
x
>
>
1
3
1
x
x
⇒ x > 1
б)
<
<−
0log
013
2 x
x
<
<
1
3
1
x
x
⇒
3
1
<x . Ответ: ( )+∞
∈ ;1
3
1
;0 Ux
№ 1129
1) x1+lgx
< 0,1-2
, x > 0; x1+lgx
< 102
.
Ясно, что х = 1 решение нашего неравенства
а) x > 0, x < 1, logxx1+lgx
> logx102
,
x
x
lg
2
lg1 >+ , 0
lg
2lglg 2
>
−+
x
xx
Сделаем замену: lgx = a, а ≠ 0,
( ) 0
22
>
−+
a
aa
,
( )( ) 0
21
>
+−
a
aa
– –
+ +
-2 0 1
( ) ( )+∞−∈ ;10;2 Ua , т.е. -2 < lgx < 0 и lgx > 1,
0,01 < x < 1 и x > 10, но т.к. x > 0 и x < 1, то решением является
1
100
1
<< x
б) x > 1, logxx1+lgx
< 2logx10, 0
lg
2
lg1 <−+
x
x .
Сделаем замену: lgx = a, 0
2
1 <−+
a
a , a ≠ 0
0
22
<
−+
a
aa
, 0
22
<
−+
a
aa
,
( )( ) 0
21
<
+−
a
aa
– –
+ +
-2 0 1
( ) ( )1;02; U−∞−∈a , т.е.
lgx < -2 и 0 < lgx < 1
100
1
<x и 1 < x < 10 т.е. x > 1, то решением является 1 < x < 10
Ответ: ( ) ( ) [ ]110;11;001,0 UU∈x .
2) xx x
10lg4
< .
Ясно, что x = 1 – решение нашего неравенства
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-207-320.jpg)
![215
№ 1232
1) 03cos2 <−x [-3π; π]
2
3
cos <x
π
−
=π−=
π−=π−=
π
=
π
=
6
13
2
,
6
11
2,
6
-
b,
6
bd
aca
π
π
π
−π−
π−π−∈ ;
66
;
6
11
6
13
;3 UUx
2) 01sin2 ≥+x [-3π; π]
2
1
sin −≥x
π
π
−
π−
π
−
π−π−∈ ;
44
3
;
4
9
4
11
;3 UUx
3) 03 ≤+ tgx , [-3π; π]
3−≤tgx ,
3
π
−=a , π=
π
−π=
3
2
3
b ,
π−=π−
π−
=
3
4
3
c , π−=π−π−=π−=
3
7
3
4
cd ,
ππ
π
−
π
−
π−π−
π−π−∈
3
;
23
;
2
3
4
;
2
3
3
7
;
2
5
UU
UUx
4) 3tgx – 2 > 0, [-3π; π]
3
2
>tgx
3
2
arctga =
UU
π
−π−
π−
π−∈
2
3
;2
3
2
2
5
;3
3
2
arctgarctgx
π
π
−π−
2
;
3
2
2
;
3
2
arctgarctg UU
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-210-320.jpg)
![231
2) Найдем у’:
( )1222' −=−= xxy
0'>y при x > 1, след. на [ )4;1∈x
функция возрастает
3) Наименьшее значение в точке
x = 1, равное –4
4) 04,1232 22
>−+−>−− xxxx
при ( ) ( )+∞−∞−∈ ;22; Ux
5) ( ) ( )
−+=
0
oo ' xxxfxfy
( ) ( )
( ) 423223
32,22'
−+−=−+−=
−==
xxy
ff
72 −= xy — уравнение касательной в точке х0 = 2.
№ 1283
232 2
++−= xxy
1) график функции – парабола, ветви на-
правлены вниз; вершина с координатами
,
8
1
3,
4
3
00 == yx
точки пересечения с 0у: (0;2);
с 0х: (2;0), (- ½ ; 0) у(х) < 0 при x > 2 и x < - ½
2) y′ – 4x + 3 < 0 при
4
3
>x , следовательно на [1;2] функция убывает
3) наибольшее значение функция принимает в точке
4
3
=x
4) 23 += xy , 23232 2
+<++− xxx , 02 2
<− x ,
02
>x , следовательно при всех 0≠x ;
5) ;23223;3 ++−== xxy ;
2
1
,1;01322 ===+− xxxx
( ) 4,11' +=−= -xyy - уравнение касательной в х = 1
5,2;1
2
1
' +==
xyy - уравнение касательной в
2
1
=x
№ 1284
1) y = x2
и y = x + 6, x2
= x + 6,
x2
– x – 6 = 0 D = 1 + 24 – решение есть, след. пересекаются.
2)
x
y
3
= и ( )14 += xy , 034,43;14
3 22
=−++=+= xxxxx
x
,
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-226-320.jpg)
![234
cbxaxy ++= 2
, ( ) ( ) ( ) 30,03,152 −===− yyy
=
=
=
+=
=+
=
=−
++=
+−=
-3c
-5b
2a
;
3-2-6a4a15
b13a-
-3c
;
3
300
2415
c
cba
cba
352 2
−−= xxy — график функции — парабола с
вершиной в точке
−
8
1
6,
4
5
, ветви которой направле-
ны вверх.
№ 1295
2
25 xy −= ,
1) ( )( ) ( ) [ ]5;5;055,025 2
−=≥+−≥− yDxxx ;
2) ( ) ( )xyxxy =−=− 2
25 — четная;
3)
22
2525
1
2
2
1
'
x
x
x
xy
−
−=
−
⋅⋅−= , у′ = 0 при х = 0;
4) т.к. функция четная, то график функции симметричен относительно
0у. Функция возрастает на [-5,0] и убывает на [0,5].
№ 1296
2
5
−
=
x
y
1) ( ) ( ) ( )+∞−∞= ;22; UyD ; 2) Ни четная, ни нечетная, непериодическая
3)
( )2
2
5
'
−
−
=
x
y , 0'≠y , следовательно стационарных точек нет.
4) 0у: х = 0, у = -1,25, 0х: пересечений нет;
5) y′ < 0 при 2≠x , следовательно функция убывает.
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-229-320.jpg)
![237
0
6
7
;0
6
612
;1
6
12
≥
−
+
≥
−
+−+
≥
−
+
x
x
x
xx
x
x
D(y): ( ] ( )+∞−−∞∈ ;67; Ux .
№ 1301
1)
1112
166
2
2
+−
−−
=
xx
xx
y ,
( ) ( )( )
( )( )
( ] ( ] ( )+∞−∞−∈≥
−−
+−
;118;12;;0
111
28
: UUx
xx
xx
yD ;
2) ( ) 13log
2
1 −−= xy ,
( )
∈
>
≤
>−
≤−
>−
≥−−
2
1
3;3;
3
2
1
3
;
03
2
1
3
;
03
013log
:)( 2/1 x
x
x
x
x
x
x
yD .
№ 1302
1) ( )75log 2
8,0 +−= xxy , ( )
( ) ;
075log
075
2
8,0
2
≥+−
>+−
xx
xx
yD
0750;075 22
>+−⇒<=+− xxDxx ;
2
15
;065;175 2,1
22 ±
=≤+−≤+− xxxxx ;
( )
( )
∈
+∞∞−∈
3;2
;
x
x
( )3;2∈x ;
2) ( )9log 2
5,0 −= xy ,
( )
( ) [ ) ( ]10;33;10;
09log
09
: 2
5,0
2
∪−−∈
≥−
>−
x
x
x
yD .
№ 1303
1) 362
++= xxy , 6след.,6,3
2
6
00 −≥−=−=−= yyx ;
2) 182 2
−+−= xxy , 7след.,7,2
4
8
00 ≤==
−
−
= yyx ;
3) 1+= x
ey , ex
> 0, след. y > 1;
4)
x
y
2
2+= , 20
2
,0;
2
2 ≠⇒≠≠=− y
x
x
x
y .
+ –
6
+
–7
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-232-320.jpg)
![238
№ 1304
1)
π
−+=
4
sin5,0 xy , [ ]5.1;5,0след.,1
4
sin1 −∈≤
π
−≤−
yx ;
2) ( ) ;
25,1
5,0
cos;cos25,1;sincos5,0 arxyxxy =α−α=+=
[ ]25,1;25,1след.,1sin1;25,1cos25,125,1 −∈≤≤−≤≤− yxx
№ 1305
1) ( )
2
,cossin 0
π
=+= xxxxf , ( ) 1
2
sin
2
cos' −=
π
−
π
== xfk ;
2) ( )
6
,3cos 0
π
== xxxf , ( ) 3
2
sin3' 0 −=
π
−== xfk .
№ 1306
1) ( ) 1,
4
1
02
=−= xx
x
xf , ( ) 2
1
3
2
1
2
1
'
−
−
−−= xxxf ,
( )
4
,11'
π
−=αα=−= tgf ;
2) ( )
3
1
,2 0 == xxxxf , ( ) 2
1
2
3
3'2' xxxf ==
,
3
,3
3
1
'
π
=αα==
tgf .
№ 1307
1) ( )
4
1
,
4
3
0 == x
xx
xf , ( ) ( )( )000 ' xxxfxfy −+= ,
( ) 2
5
2
3
8
9
'
4
3
'
−−
−==
xxxf , 36
4
1
' −=
f ,
xyxy 3615;
4
1
366 −=−−=
2) ( ) 1,42 0
24
−=+−= xxxxf , ( ) ( )( )000 ' xxxfxfy −+= ,
( ) xxxf 28' 3
−= , ( ) 61' −=−f , ( ) xyxy 61;165 −−=+−= .
№ 1308
)(13
xfxxy =+−= . Точка пересечения (0,1), т.е. х0 = 0,
( ) ( )( )00' xxxfxfg −+= , ( ) 13' 2
−= xxf , ( ) ,10' kf =−= следовательно к=–1.
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-233-320.jpg)
![229
2
cos
2
3
cos222cos2cos2'
x
xxxy ⋅⋅=+= ,
( )
3
2
3
0
2
3
cos
;0при0
2
3
cos
n
x
x
xx
π
+
π
==
π∈>
,
( )
nx
x
x
x
π+π==
π∈>
20
2
cos
;0при0
2
cos
,
( )
2
3
3
2
2
3
00 =
π
−=
π
=
yyy , ( ) 0y =π ,
наиб.:
2
3
3
=
π
y ; наим.: 2
2
3
−=
π
y ;
2)
π
+=
2
;02cossin2 xxy ,
( )xxxxy sin21cos22sin2cos2' −=−= ,
π
∈>
2
;0при0cos xx ,
π
∈>−
6
;0при0sin21 xx ,
cледовательно у = 1,5 – точка максимума, у = 1 – точка минимума.
№ 1323
1) [ ]4;15 −+= xy , 0
52
1
' >
+
=
x
y , следовательно,
у = 2 – минимум; у = 3 – максимум;
2)
π
+=
2
;0cos22sin xxy ,
( ) 0cos3sin
3
22
cos
3
1
3sin22cos' =+α=−=−=
xxxxxy ,
3
1
arccos=α , ( ) nxx π+
π
=+α=+α
2
0cos ,
⇒
2
,
2
;
22
0
π
−≤α≤π−π≤α−≤
ππ
≤π+
π
−α−≤ n , что невозможно
⇒=
π
= 1
2
;22)0( yy наим.: у = 1; наиб.: 22=y .
№ 1324
1) [ )4;5,0ln xxy −= , 01
1
' =−=
x
y ,
( ) 44ln4;
2
1
2ln
2
1
;1 −=−−==
yyx
( ) ;11 −=y наим. y(4) = ln4 – 4 наиб. y(1) = -1
2) [ ]1;01 2
xxy −= ,
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-237-320.jpg)
![232
( ) ( )( ) ( ) ,1причем,
2
1
=⋅+= ADxhxBCADxS
( ) ( ) ( ) т т.,211,2 22
xxxhxxBC −=−+==
( ) ( )( ) ( )
10где,
2
1
21
242
2
1
221
2
1
32
322
≤<−−+=
=−−+=−+=
xxxx
xxxxxxS
Рассмотрим S'(x): S’(x) = 2 – x – 3x2
; S’(x) = 0 при x = -1 или
3
2
x =
Из полученных критических точек только
3
2
x = лежит в промежутке
(0;1]; при переходе через эту точку S’(x) меняет знак с «+» на «-», т.е. это
точка максимума.
Найдем значения S(x) на концах рассматриваемого промежутка и в по-
лученной критической точке.
( ) 121
2
1
0 =⋅⋅=S ,
27
49
3
2
=
S , ( ) ,
2
3
1 =S таким образом
27
49
max =S .
№ 1334
1) [ ] ( ) ( )22
4;;4;;1;1 xxAxxBx −−∈ ;
2) ( ) ;6;
3
3,; xx
xx
yxC c
c
cc −=
+
= 2
2
2
412;
4
6 xy
yx
c
c
−=
+
= ;
3) ( )=−−⋅⋅=⋅= 22
44122
2
1
2
1
xxxCDABSABC ( )3
234 xx −
4) Рассмотрим функцию ( ) ( )3
234 xxxf −= на [0;1] и найдем ее наи-
большее значение. ( ) ( ),634' 2
xxf −=
( ) ( ) -
2
1
;0634при0' 2
±==−⋅= xxxf стационарная точка.
При переходе через единственную стационарную точку
2
1
на [-1;1]
производная меняет знак с «+» на «-», следовательно в этой точке функция
принимает наибольшее значение.
5) 24
2
1
23
2
1
4
2
=⋅−⋅=
ABCS .
№ 1335
1min,5;2 ==++= yxqpxxy
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-240-320.jpg)
![247
5)
3x
1
1x
9
4y
−
+
+
−=
≠
−≠
≥
−
+
+
−
3x
1x
0
3x
1
1x
9
4
( )( ) ( ) ( )
( )( )
0
3x1x
1x3x93x1x4
≥
−+
++−−−+
,
( )
( )( )
0
3x1x
1x27x93x2x4 2
≥
−+
+++−−−
,
( )( )
( )
( )( )
0
3x1x
2x4
;0
3x1x
16x16x4 22
≥
−+
−
≥
−+
+−
,
( ) ( )
−≠
−≠
+∞−∞−∈
3x
1x
;31;x U
Ответ: ( ) ( )+∞−∞−∈ ;31;x U .
6) y = x3
– 3x + a; [-2;0]; ymax = 5,
y’ = 3x2
– 3, y’ = 0; 3(x - 1)(x + 1) = 0,
Максимальное значение на [-2;0] функ-
ция принимает в точке х = -1, у = 5 = -1 + 3 + a, откуда а = 3.
№ 1376
1) sin2
x – 4sinx – 5 = 0, sinx = -1, sinx = 5, что невозможно, таким обра-
зом х ;Zn,n2
2
∈π+
π
−=
Ответ: 0
2
3
x;Zn,n2
2
x >π=∈π+
π
−= .
2) f(x) = 3x2
(1 – x) , [0;1]
f’(x) = 6x(1 – x) – 3x2
= -9x2
+ 6x =
= -3x(3x – 2)
Точка максимума
3
2
x = ,
9
4
3
1
9
4
3
3
2
f =⋅⋅=
.
3) lgx = lg3 – lg(3x – 8), x > 0, ,
3
8
x > т.е.
3
2
2x > ,
8x3
3
x
−
= ; 3x2
– 8x – 3 = 0,
3
54
3
9164
x
2
1
±
=
+±
= . Ответ: х = 3
4) y1 = (x – 3)2
, y2 = 9, y1 = y2; (x – 3)2
= 9, x = 0, x = 6,
( )
( ) 3627279254
x9x3x
3
1
254dx9x6x296S
3
0
23
3
0
2
=+−−=
=
+−−=+−−⋅= ∫
Ответ: 36.
+ +
–
-1 3
+ +
–
-1 1
+
– –
0
3
2
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-255-320.jpg)
![248
5)
( )
0
2x
2,0
1x
1
25x
≤
+
+
−
−
Данное неравенство равносильно системе:
≠
≤
+
−
1x
0
2x
5x
( ]
≠
−∈
1x
5;2x
. Ответ: ( ) ( ].5;11;2x U−∈
6) y = x2
– 4x + 2, y = -2x + a, x2
– 4x + 2 = -2x + a, x2
– 2x + 2 – a =0,
D = 4 – 4(2 – a) = -4 + 4a = 4(a – 1), D ≥ 0 при a ≥ 1.
№ 1377
1)
( )
42
x21log 7,0
>
+
, log0,7(1 + 2x) > 2, log0,7(1 + 2x) > log0,70,72
,
100
49
x21 <+ ,
100
51
x2 −< , ,021но,
200
51
>+−< xx т.е.
2
1
x −> .
Ответ:
200
51
2
1
−<<− x .
2) f(x) = x2
– x3
, x0 = -1, y = f(x0) + f’(x0)(x – x0), f’(x) = 2x – 3x2
,
f’(x0) = -2 – 3 = -5, f(x0) = 2, y = 2 – 5(x + 1), т.е. у = -5х – 3.
3) 1x1x3x 24
−=−− ,
+−=−−
≥−
≥−−
1x2x1x3x
01x
01x3x
244
2
4
02x3x2 2
=−− ,
4
53
4
1693
2,1
±
=
+±
=x
≥−
≥−−
−==
01x
01x3x
2
1
x,2x
2
4
21
Ответ: х = 2
4) x
2
1
y,xy 21 == , y1 = y2; 2
x
4
1
x;x
2
1
x == ,
x2
– 4x = 9; x(x – 4) = 0, x1 = 0, x2 = 4 – точки пересечения y1 и у2, тогда
3
1
1
3
4
4
3
16
4x
3
2
24
2
1
dxxS
4
0
3
24
0
2
1
==−=−=⋅⋅−= ∫ .
5) y = x3
– 3ax2 + 27x – 5, y’ = 3x2
– 6ax + 27 = 0, 3x2
– 6ax + 27 = 0,
x2
– 2ax + 9 = 0, при a = 3, x2
- 2⋅ 3 ⋅ x + 9 = (x – 3)2
, следовательно един-
ственная стационарная точка при а = 3.
6) 5x4xx
4
5
sin 2
+−=
π
, 1x
4
5
sin ≤
π
15x4x2
≥+− , т.к. (х–2)2
+1≥0, следовательно, равенство возможно только в
случае х=2, т.е. когда обе части уравнения принимают значение, равное 1.
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-256-320.jpg)
![249
№ 1378
1) 292596536 44 5log24 9log5log 656 =−=−=− .
2) ( ) 3
x
exf = т.к. касательная проходит через начало координат, то ее
уравнение имеет вид y = kx; пусть х0 – точка касания y = f(x0) + f’(x0)(x – x0),
( ) 3
x
e
3
1
x'f = , тогда ( )0
3
x
3
x
xxe
3
1
ey
00
−+=
,e
3
x
xe
3
1
ey 3
x
03
x
3
x 000
−+= откуда ;0e
3
x
e 3
x
03
x 00
=−
0exe3 3
x
0
3
x 00
=− , ( ) 3,03 00
3
0
==− xxe
x
. Ответ: (3; е)
3)
π
−=+
=
−π+
+
π
2
3
yx
1y
2
3
sinx
2
cos
π
−−=
=
π
++π+−
2
3
xy
1
2
3
x
2
3
sinxsin
1sinsin =−− xx ,
2
1
sin −=x ,
( ) Znnx n
∈π+
π
−= +
,
6
1 1
, ( ) .,
2
3
6
1 2
Znny n
∈π+
π
−
π
−= +
4) (3 – x)log3(x + 5) ≤ 0;
а) х + 5 > 0, т.е. x > -5 б) x + 5 > 0, т.е. x > -5
( )
3
;
4
3
;
05log
03
3
≥
−≥
≥
≥+
≤−
x
x
x
x
x
( )
45
4
3
;
05log
03
3
−≤<−
−≤
≤
≤+
≥−
x
x
x
x
x
Ответ: ( ] [ )+∞−−∈ ;34;5 Ux
5) ∫
−
−
6
6
2
36 dxx , заметим, что данный интеграл – это половина пло-
щади круга радиуса 6, тогда π=⋅π=−∫
−
186
2
1
36 2
6
6
2
dxx ;
6)
2
3
2cos 2
=− x , 2,02 2
≤≥− xx ,
Zn,n2
6
x2 2
∈π+
π
±=− , 22
2
2
n4n2
6
2
36
x2 π+π⋅
π
⋅±
π
=−
222
2
2
n4n
3
2
36
2x π+π±
π
−= , ,n4n
3
2
36
2x 222
2
π+π±
π
−±=
но т.к. ,2x ≤ то
36
2
2
π
−±=x .
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-257-320.jpg)
![253
π=
π
=
π
+−⋅+
π
++⋅−= 20
2
40
2
15
0
2
2
3
2
2
25
0
2
2
3
2
.
4) xxy 276 −−= ,
6
7
≥x , 0
76
7623
2
762
61
' =
−
−−
=−
−
⋅
=
x
x
x
y ,
24
37
4
9
76
2
3
76 ==−=− xxx ,
+ –
6
7
24
37 х
24
37
=x - точка максимума ⇒ дальше у убывает в -∞.
12
19
24
37
2
3
24
37
27
24
37
6
24
37
−=−=⋅−−⋅=
y .
5) 11369 ≥⋅+ xx
, 11363
2
≥⋅+ xx
.
Так как необходимо найти наименьшее натуральное число, удовлетво-
ряющее решению, то: x ≥ 0, 32x
+ 6 ⋅ 3x
– 11 ≥ 0, 3x
= t > 0,
t2
+ 6t – 11 ≥ 0, D/4 = 9 + 11= 20;
1)
( ) 0352log3523
523523
3
21
>−≥−≥
−−=+−=
x
tt
x
№ 1381
1) 8102596 22
=++++− xxxx ; |x – 3| + |5 + x| = 8
а) х ≥ 3; б) –5 ≤ х < 3; в) х < –5;
х – 3 + 5 + х = 8; 3 – х + 5 + х = 8; 3 – х – 5 – х = 8;
х = 3; –5 ≤ х < 3; х = –5; х ∈ ∅
<≤−
∅∈
=
35
3
x
x
x
; х ∈ [–5; 3].
2) 69644 22
=+−−++ xxxx ; |x + 2| – |x – 3| = 6
а) х ≥ 3; б) –2 ≤ х < 3; в) х < 2
х + 2 – х + 3 = 6; х + 2 – 3 + х = 6; – х – 2 – 3 + х = 6
х ∈ ∅ х = 3,5 х ∈ ∅
Ответ: х ∈ ∅. (Опечатка в ответе задачника)
3) ( ) ( )( ) ( ) 7272788 3 233 2
=+++−−− xxxx .
Пусть 3
8 x− = у, 3
27 x+ = z, тогда исходное уравнение примет вид:
1) у2
– уz + z2
= 7, и 2) у3
+ z3
= 35, поделим 2) на 1), получим:
у + z = 5;
=+
=+
35
5
33
zy
zy
;
( )
=−+
−=
355
5
33
yy
yz
;
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-261-320.jpg)
![263
№ 1396
log|2x + 2| (1 – 9x
) < log|2x + 2| (1 + 3x
) + log|2x + 2|
+ −1
3
9
5 x ;
1) |2x + 2| > 1, т.е. x < –
2
3
, x > –
2
1
;
( )( )
+<
+
+− −
++
1
|22||22| 3
9
5
log
31
3131
log x
xx
xx
x ;
9
35
31
1+
+
<−
x
x
;
4 < 3 ⋅ 3х
+ 9 ⋅ 3х
; 9 – 3х + 2
< 5 + 3x + 1
; 4 < 12 ⋅ 3х
; 3х + 1
> 30
; x > –1;
−>
−<
−>
2
1
3
2
1
x
x
x
; x > –
2
1
.
2) |2x + 2| < 1, т.е. –
2
3
< x <–
2
1
;
log|2x + 2| (1 – 9x
) < log|2x + 2| (1 – 3x
) + log|2x + 2|
+ −1
3
9
5 x ;
1 – 3x
>
9
35 1+
+ x
; x < –1;
−<<−
−<
2
1
2
3
1
x
x
; –
2
3
< x < –1.
Заметим, что по определению логарифма 1–9х
>0, 1+3x
>0,
9
5
+3x – 1
, т.е. х < 0,
тогда решением исходного неравенства являются
−
−−∈ 0;
2
1
1;
2
3
Ux .
№ 1397
( ) ( )
( )( )( )
0
431
44
;0
1256
44 22
23
23
>
++−
−+−
>
−++
−−+
xxx
xxx
xxx
xxx
;
( )( )( )
( )( )( )
0
431
221
>
++−
−++
xxx
xxx
.
Ответ: х ∈ (–∞; –4) U (–3; –2) U (–1; 1) U (2; +∞).
№ 1398
1) 72 −x ≤ 136 +x ;
+≤−
≥+
≥−
13672
0136
072
xx
x
x
;
−≥
−≥
≥
5
6
13
5,3
x
x
x
. Ответ: х ≥ 3,5.
2) 533 −<− xx ;
−<−
≥−
≥−
533
053
03
xx
x
x
;
>
≥
≤
2
3
5
3
x
x
x
. Ответ: х ∈ (2; 3].
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-271-320.jpg)
![264
№ 1399
4
40223 23
−
+−
x
xxx
≥ 3х – 10; ( ) ( )
≠−
−−≥+−
≥+−
04
410340223
040223
2223
23
x
xxxxx
xxx
;
[ )
( ) ( )
≠−
−−≥+−
∞+∪
∈
04
410340223
;4
3
10
;0
2223
x
xxxxx
x ;
[ )
( )( ) ( ) ( )
≠−
≥−−−−−
∞+∪
∈
04
041031034
;4
3
10
;0
22
x
xxxxx
x
;
[ )
( )( ) ( )( )( )
≠−
≥−−−−−
∞+∪
∈
04
041031034
;4
3
10
;0
x
xxxxx
x ;
[ )
( )( )( )
≠−
≥−+−−−
∞+∪
∈
04
0402231034
;4
3
10
;0
2
x
xxxxx
x
;
[ )
( )( )( )
≠−
≥−+−−−
∞+∪
∈
04
0402331034
;4
3
10
;0
2
x
xxxx
x ; (х –4) (3х – 10) (х – 5) (х –
3
8
) ≤ 0;
[ )
[ ]
∪
∈
∞+∪
∈
5;4
3
10
;
3
8
;4
3
10
;0
x
x
; х ≠ 4. Ответ: х
∈ ]5;4(
3
10
;
3
8
U
.
№ 1400
|x – 5a| ≤ 4a – 3;
а) x – 5a ≥ 0, т.е. x ≥ 5a; x – 5a ≤ 4а – 3; x ≤ 9а – 3, тогда 5а ≤ х ≤ 9а – 3
при а >
4
3
; x =
4
15
при а =
4
3
; х ∈ ∅ при а <
4
3
.
б) x–5a<0, т.е. x<5a; 5a–x≤4a–3; x≥a+3, тогда а+3≤х<5a при а >
4
3
;
x =
4
15
при а =
4
3
; х ∈ ∅ при а <
4
3
; х2
–4х–5<0; (x+1) (x–5)<0; х ∈ (1; 5).
Ответ: если а =
4
3
, то x =
4
15
; если а >
4
3
, то а + 3 < х < 9а – 3;
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-272-320.jpg)
![268
№ 1405
logba ⋅ logсb ⋅ logdc = logda
Преобразуем левую часть выражения: logba ⋅ logсb⋅logdc =
= =⋅=⋅⋅ cacb
b
a
dcdc
c
c loglogloglog
log
log
ac
c
a
dd
d
d
loglog
log
log
=⋅ , что и
требовалось доказать.
№ 1406
1)
5
4
25
9
1
5
3
arcsinsin1
5
3
arcsincos 2
±=−±=
−±=
;
ππ
−∈
2
;
25
3
arcsin , следовательно
5
4
5
3
arcsincos =
.
2) =
−−±=
−
13
5
arccoscos1
13
5
arccossin 2
13
12
169
25
1 ±=−± .
13
5
arccos ∈ [0; π], на промежутке [0; π] sinx > 0, следовательно
13
12
13
5
arccossin =
− .
№ 1407
arcsinx + arccosx. Пусть arcsinx + arccosx = с, тогда arcsinx = с – arccosx;
sin (arcsinx) = sin (с – arccosx); x = sinc ⋅ cos (arccosx) – cosc ⋅ sin (arccosx);
x = x ⋅ sinc – cosc 2
1 x− ; x (1 – sinc) = –cosc 2
1 x− ;
x (sinc – 1) = cosc 2
1 x− ; x2
(sin2
c – 2sinc + 1) = cos2
c (1 – x2
);
x2
sin2
c – 2x2
sinc + x2
– cos2
c + x2
cos2
c = 0; 2x2
– 2x2
sinc – cos2
c = 0;
2x2
– 2x2
sinc – 1 + sin2
c = 0; 2x2
(1 – sinc) – (1 – sin2
c) = 0;
(1 – sinc) (2x2
– (1 + sinc)) = 0, независимо от х уравнение решается при
sinc = 1, откуда с =
2
π
.
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-276-320.jpg)
![280
2) a – 1 ≥ 0; a ≥ 1; 3a + 7 > a2
– 2a + 1; a2
– 5a – 6 < 0;
≥
−<
<<−
1a
3
7
a
6a1
⇒ 1 ≥ a < 6;
<<
≥<−
6a1
1a
3
7
;
3
7
− < a < 6,
одновременно x1 и x2 > 0,
−<<−
<<−
1a
3
7
6a
3
7
⇒
3
7
− < a < –1.
№ 1435
1)
x
1
x4
3x2
>
−
−
;
( )
0
x4x
x4x3x2 2
>
−
+−−
;
( )
0
x4x
4x2x2 2
>
−
−−
;
( )
;0
4xx
2xx2
<
−
−− ( )( )
( )
0
4xx
2x1x
<
−
−+
.
Ответ: х ∈ (–1; 0) U (2; 4).
2) 1
1x
5x2
≥
+
+
; 1. х > –1;
( )
0
1x
4x
;0
1x
1x5x2
≥
+
+
≥
+
−−+
; х ∈ (–1; +∞).
2. х < –1; 1
1x
5x2
≥
−−
+
; 1
1x
5x2
−≤
+
+
; 0
1x
1x5x2
≤
+
+++
;
0
1x
2x
;0
1x
6x3
≤
+
+
≤
+
+
; х ∈ [–2; -1). Ответ: х ∈ [–2; -1) U (–1; +∞).
№ 1436
1) a
xx
xx
≤
+−
+−
124
348
2
2
; 0
124
24348
2
22
≤
+−
−+−+−
xx
aaxaxxx
;
0
124
32448
2
32
≤
+−
−++−−
xx
aaxxaxx
;
( ) ( ) ( ) 0
124
32448
2
2
≤
+−
−+−−−
xx
aaxax
;
4x2
–2x+1<0 при любых х; найдем значения а, для которых х2
(8–4а)–x(4–2a)+
+(3 – a) ≤ 0 при любых х: 8–4a<0, т.е. а>2 и D = (4 – 2a)2
– 4(3 – a)(8 – 4а) ≤ 0;
16 – 16a + 4a2
– 4(24 – 12a – 8a + 4a2
) = –12a2
+ 64a – 80;
12a2
–64a+80≥0; 6a2
–32a+40≥0; 3a2
–16a+20≥0; a ∈ (–∞; 2] U [10/3; +∞).
Таким образом х2
(8 – 4а) – x(4 – 2a) + (3 – a) ≤ 0 при а ≥
3
10
.
2) a
xx
xx
≥
+−
+−
16129
843
2
2
; 0
16129
16129843
2
22
≥
+−
−+−+−
xx
aaxaxxx
;
9x2
– 16x + 16 > 0 при любых х; найдем значения а, для которых 3х2
– 9аx
+12ax – 4x + 8 – 16a ≥ 0 независимо от х. х2
(3–9а)+x(12a – 4) + (8 – 16a) ≥ 0:
3 – 9а ≥ 0, т.е.
3
1
≤a , D = (6a – 2)2
– (8 – 16a)(3 – 9а) ≤ 0;
36a2
– 48a + 4 – (24 – 72a – 48a + 144a2
) = –108a2
+ 72a – 20;
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-290-320.jpg)
![281
–108a2
+ 72a – 20 ≤ 0; 27a2
– 18a + 5 ≥ 0 (1);
27
135819
2/1
−±
=a ;
D < 0 ⇒ неравенство (1) выполнено при любом а, таким образом
3
1
≤a .
№ 1437
1)
06565
5
2
5
2
;1
5
2
22
<
<
+−+− xxxx
x2
– 5x + 6 > 0; (x – 2)(x – 3) > 0; x ∈ (–∞; 2) U (3; +∞).
2) 5x
– 3x+1
> 2(5x
– 3x+1
); 5x
– 3 · 3x
> xx
3
9
2
5
5
2
⋅−⋅ ; 03
9
7
25
5
3
>⋅−⋅ xx
;
03
9
25
5
5
3
>⋅−⋅ xx
; 27 · 5x
– 125 · 3x
> 0; 33
·5x
–53
·3x
> 0; 33
· 5x
> 53
· 3x
; x > 3.
№ 1438
1) log1/2(1 + x – 4x2
− ) ≤ 0
>−−+
≤
−−+
)2(041
)1(1log41log
2
2/1
2
2/1
xx
xx
(1) 1 + x – 42
−x ≥ 0;
≥−≥
−≥
04,0
4
2
2
xx
xx ; x2
≥ x2
– 4;
≥
−≥
2
40
x
; x ≥ 2.
(2) 1 + x – 4x2
− > 0; 1 + x > 4x2
− ;
−>++
≥−
>+
421
04
01
22
2
xxx
x
x
; ( ] [ )
−>
≥∞+∪−∞−∈
−>
5,2
.2;;22;
1
x
xx
x
≥
≥
2
2
x
x
; x ≥ 2.
2)
( ) ( )
0
x23log4
1
x23log
1
55
<
−−
−
−
;
( )
( )
≠−−
≠−
>−
0x23log4
0x23log
0x23
5
5 – область определения; log5(3 – 2x) = a
0
4
11
<
−
−
aa
; 0
4
2
;0
4
4
<
−
−
<
−
−−
a
a
a
aa
;
2<log5(3–2x)<4; log552
<log5(3–2x)<log554
; 25 < 3 – 2x < 44
; 11 < –x < 311;
( )
( )
≠−−
≠−
>−
−>>−
023log4
023log
023
31111
5
5
x
x
x
xx
;
−≠
≠
<
−<<−
311
1
2
3
11311
x
x
x
x
; –311 < x < –11.
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-291-320.jpg)
![282
№ 1439
1) log|2x + 1|x2
≥ 2; log|2x + 1|x2
≥ 1) log|2x + 1||2x + 1|2
1. |2x + 1| > 1, т.е. x ∈ (–∞; –1) U (0; +∞); x2 ≥ (2x + 1)2
x2 ≥ 4x2
+ 4x + 1; 3x2
+ 4x + 1 ≤ 0; (x + 1)(x +
3
1
) ≤ 0. x ∈ [–1; –
3
1
].
2. |2x + 1| < 1, т.е. x ∈ (–1; 0); x2 ≤ 4x2
+ 4x + 1; x ∈ (–∞; –1) U (–
3
1
; +∞);
( ) ( )
( )
( )
∞+−∪−∞−∈
−∈
−−∈
∞+∪−∞−∈
;
3
1
1;
0;1
3
1
;1
;01;
x
x
x
x
. Ответ: x ∈ [–
3
1
; 0].
2)
2
1
1x3log 2
x
<+ ; xlog1x3log 22
xx
<+
1. x2
> 1, x ∈ (–∞; –1) U (1; +∞); |3x + 1| < |x|
a) x ≥ 0, 3x + 1 < x, x < –
2
1
; x ∈ ∅
б) –
3
1
≤ x < 0, 3x + 1 < –x, x < –
4
1
;–
3
1
≤ x < –
4
1
в) x < –
3
1
, –3x – 1 < –x, x > –
2
1
;–
2
1
< x < –
3
1
. x ∈ .
4
1
;
2
1
−−
2. x2
< 1, x ∈ (–1; 1); |3x + 1| > |x|
a) x ≥ 0, 3x + 1 > x, x > –
2
1
; x ≥ 0;
б) –
3
1
≤ x < 0, 3x + 1 > –x, x > –
4
1
; –
4
1
< x < 0;
в) x < –
3
1
, –3x – 1 > –x, x < –
2
1
; x < –
2
1
; x ∈ .;
4
1
U
2
1
;
∞+−
−∞−
Решением исходного неравенства является система:
( ) ( )
( )
−∈
∞+−∪
−∞−∈
∞+∪−∞−∈
−−∈
1;1x
;
4
1
2
1
;x
;11;x
4
1
;
2
1
x
.
Кроме того по определению логарифма x ≠ 0, x ≠ –
3
1
, тогда
x ∈ ( ).10;U0;
4
1
U
2
1
;1
−
−− Ответ: x ∈ ( ).10;U0;
4
1
U
2
1
;1
−
−−
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-292-320.jpg)
![283
№ 1440
0
3x
4x3xx37 2
<
−
−++−
;
≠−
≥−+
03x
04x3x2
– область определения;
0
3x
3x4x3xx37 2
<
−
−+−++−
; 0
3x
4x3xx24 2
<
−
−++−
;
<−
>−++−
>−
<−++−
03x
04x3xx24
03x
04x3xx24
2
2
1)
>−
<−++−
03x
04x3xx24 2
;
03x
04x2
4x24x3x2
>−
>−
−<−+
;
>
>
+−<−+
3x
2x
16x16x44x3x 22
; 3x2
– 19x + 20 > 0;
x ∈ ( )∞+
∞− 5;U
3
4
; ;
( )
>
∞+∪
∞−∈
3x
;5
3
4
;x
; x ∈ (5; +∞).
2)
<−
>−++−
03x
04x3xx24 2
;
<
−>−+
3x
4x24x3x2
;
( )
<
∞−∈
∈
3x
2;x
5;
3
4
x
; x ∈ (–∞; 3);
( )
( )
∞−∈
∞+∈
≠−
≥−+
3;x
;5x
03x
04x3x2
;
( ] [ )
( ) [ )
∞+∪∞−∈
≠−
∞+∪−∞−∈
;53;x
03x
;14;x
.
Ответ: (–∞; –4] U [1; 3) U (5; +∞).
№ 1441
log1/2(x2
+ ax + 1) < 1, x < 0; log1/2(x2
+ ax + 1) < log1/21/2;
x2
+ ax + 1 > ½; x2
+ ax + 1/2 > 0; 2x2
+ 2ax + 1 > 0.
Для любых х < 0 неравенство выполняется в двух случаях:
1) D = a2
– 2 < 0, т.е. a ∈ ( )2;2− .
2)
>
>
0x
0x
2
1 т.е.
>−−−
>−+−
02aa
02aa
2
2
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-293-320.jpg)
![284
a) 2a2
− > a, ;
0a
a2a
02a
22
2
<
>−
≥− ( ] [ )
<
∅∈
∞+∪−∞−∈
0a
a
;22;a
a ∈ (–∞; 2− ]
б) – 2a2
− > a, 2a2
− < –a
( ] [ )
<−
>−
∞+∪−∞−∈
22
a2a
0a
;22;a
a ∈ (–∞; 2− ]
Таким образом, ответом на вопрос задачи является система
( )
( ]
−∞−∈
−∈
2;a
2;2a
. Ответ: a ∈ (–∞; 2− ].
№ 1442
y=(x–1)2
, 0≤x≤1; y=x2
–2x+1; y=f′(x0)(x – x0)+f(x0);
y=(2x0–2)(x–x0)+ 2
0x –2x0+1; y = 2xx0 – 2 2
0x – 2х + 2x0 + 2
0x – 2х0 + 1;
y = 2xx0 – 2х – 2 2
0x + 1; y = x(2x0 – 2) + (1 – 2 2
0x ).
Точки пересечения касательной с осями: x = 0, y = 1 – 2 2
0x
y = 0,
2x2
1x2
x
0
2
0
−
−
= , тогда площадь треугольника,
( ) ( )
( )0
22
0
2
0
0
2
0
0
x222
1x2
1
x21
2x2
1x2
2
1
xS
−
−
=
−
⋅
−
−
⋅= ; ( ) ( )
( )0
22
0
2
0
0
2
0
0
x222
1x2
1
x21
2x2
1x2
2
1
xS
−
−
=
−
⋅
−
−
⋅= ;
( ) ( ) ( ) ( )
( )
=
−
−+⋅−
=
′
−
−
=′
2
0
22
00
2
0
0
22
0
0
x44
1x24x41x22
x44
1x2
xS
( ) ( )
( )2
0
2
0
4
00
2
0
x44
1x4x44x42x4
−
−−+⋅−
= .
Минимум данной функции S′(x0) в точке х0=
3
1
, у0 =
9
4
. Ответ:
9
4
;
3
1
.
№ 1443
Уравнение касательной в точке х0 выглядит у′(х0)(х – х0) + у(х0). Она
прямая. Из этого следует, что для любой касательной, проходящей через
центр у(х0) – у′(х0)х0 = 0, (у′(х0)(х – х0) + у(х0) = kx + b)
у(х0) = 8x3x2 0
2
0 +− , у′(х0) = 4х0 – 3 ⇒ 2
0x2 – 8 = 0 ⇒ х0 = ±2
Легко проверить, что в этих точках касательная проходит через центр.
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-294-320.jpg)
![286
№ 1448
y = x2
+ (a + 4)x + 2a + 3, x ∈ [0; 2]; ymin = –4; y′ = 2x + a + 4;
y′ = 0, 2x + a + 4 = 0,
2
4−−
=
a
x .
Ветви параболы направлены вверх, т.е.
2
4−−
=
a
x – точка минимума.
Рассмотрим три случая. 1) вершина параболы лежит правее x = 2, тогда
минимальное на отрезке [0; 2] значение она принимает в точке x = 2, т.е.
( )
++⋅++=−
≥
−−
322444
2
2
4
aa
a
– решений нет
2) вершина параболы лежит внутри отрезка [0; 2]:
( )( )
++
−−+
+
−−
=−
<
−−
<
32
2
44
2
4
4
2
2
4
0
2
a
aaa
a
– решений нет
3) вершина параболы лежит левее х = 0;
+=−
≤
−−
324
0
2
4
a
a
a = –3,5.
№ 1449
y = 4x2
– 4ax + a2
– 2a + 2< x ∈ [0; 2]; ymin = 3. Ветви параболы направ-
лены вверх. y′ = 8x – 4a; y′ = 0; 8x – 4a = 0, x =
2
a
1)
+−+−=
≥
228163
2
2
2
aaa
a
a = 5 + 10
2)
+−+⋅⋅−⋅=
<<
22
2
4
4
43
2
2
0
2
2
aa
a
a
a
a
– решений нет
3)
+−=
≤
223
0
2
2
aa
a
a = 1 – 2
Рассмотрели три случая: в первом – вершина лежит правее х = 2, т.е.
минимальное значение на [0; 2] данная функция принимает в точке х = 2; во
втором – вершина лежит внутри [0; 2], т.е. минимальное значение – в точке
х =
2
a
; в третьем случае – вершина лежит левее точки х = 0, т.е. минималь-
ное значение на отрезке [0; 2] данная функция принимает в точке х = 0.
Ответ: a = 5 + 10 ; a = 1 – 2 .
www.5balls.ru](https://image.slidesharecdn.com/11-140609033103-phpapp01/85/11-296-320.jpg)
![[Youdz.ru] световое давление](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/youdz-140717080244-phpapp02-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Youdz.ru] аморфные тела](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/youdz-140717081144-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Youdz.ru] гравитация](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/youdz-140717081636-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Youdz.ru] эрнест резерфорд](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/youdz-140717080116-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Youdz.ru] эрнест резерфорд](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/youdz-140717075849-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Youdz.ru] белки](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/youdz-140717084719-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Youdz.ru] тепловые двигатели](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/youdz-140717082557-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Youdz.ru] альдегиды](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/youdz-140717085428-phpapp02-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Youdz.ru] пластмасса](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/youdz-140717083907-phpapp02-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Youdz.ru] твердые вещества](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/youdz-140717084351-phpapp02-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Youdz.ru] углерод](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/youdz-140717090429-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Youdz.ru] кислород](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/youdz-140717090945-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Youdz.ru] соли аммония](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/youdz-140717084815-phpapp02-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Youdz.ru] электролиты](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/youdz-140717090006-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Youdz.ru] электролиты](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/youdz-140717090403-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Youdz.ru] лампочка.](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/youdz-140717074814-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Youdz.ru] постоянные магниты](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/youdz-140717083020-phpapp02-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Youdz.ru] паровые машины»](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/youdz-140717081921-phpapp02-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Youdz.ru] нефть и способы её переработки](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/youdz-140717085801-phpapp02-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[Youdz.ru] магнитный поток](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/youdz-140717080701-phpapp02-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
гдз по алгебре 11 класс алимов ш. а. и др
- 1. Домашняя работа по алгебреза 11 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» к учебнику «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» Алимов Ш.А. и др., -М.: «Просвещение», 2001г.
- 2. 4 Содержание VIII Глава. Производная иее геометрический смысл § 44 Производная.................................................................................... 4 § 45 Производная степенной функции.................................................. 6 § 46 Правила дифференцирования...................................................... 10 § 47 Производные некоторых элементарных функций .................... 20 § 48 Геометрический смысл производной.......................................... 29 IX глава. Применение производной и исследованию функций § 49 Возрастание и убывание функции .............................................. 45 § 50 Экстремумы функции .................................................................. 49 § 51 Применение производной к построению графиков функции........................................................ 54 § 52 Наибольшее и наименьшее значения функции ........................... 70 § 53 Выпуклость графика функции, точки перегиба........................ 78 Упражнения к главе IX. .................................................................... 80 X глава. § 54 Первообразная .............................................................................. 96 § 57 Вычисление интегралов ............................................................. 107 § 58 Вычисление площадей с помощью интегралов........................ 110 § 59 Применение производной и интеграла к решению практических задач......................................................... 123 Упражнения к главе Х..................................................................... 124 Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал анализа. ............................................................... 134 www.5balls.ru
- 3. 5 VIII Глава. Производная иее геометрический смысл § 44 Производная № 776. s(t)=1+3t; vcp= h )t(s)ht(s −+ . T.k. s(t)=1+3t, то s(t+h)–st= =1+3(t+h)– (1+3t)=1+3t+3h–1–3t=3h, поэтому vcp= h h3 =3. Проверим результат в случаях, приведенных в условии: 1) h=4–1=3, s(t+h)=1+3⋅4=13, s(t)=1+3⋅1=4, vcp= 3 413− =3; 2) h=1–0,8=0,2, s(t+h)=1+3⋅1=4, s(t)=1+3⋅0,8=3,4, vcp= 2,0 6,0 2,0 4,34 = − =3. № 777. 1) s(t)=2t; vcp= h h2 h t2)ht(2 h )t(s)ht(s = −+ = −+ =2 Проверим: h=1,2–1=0,2 s(t+h)=2⋅1,2=2,4; s(t)=2⋅1=2; vcp= 2,0 4,0 2,0 24,2 = − =2 2) s(t)=t2 t=1; (t+h)=1,2; vcp= = −++ = −+ = −+ h thth2t h t)ht( h )t(s)ht(s 22222 =2t+h=2⋅1+(1,2–1)=2,2. № 778. 1) s(t)=2t+1; а) s(t+h)–s(t)=2(t+h)+1–2t–1=2t+2h+1–2t–1=2h; б) vcp= h h2 h )t(s)ht(s = −+ =2; в) 2limvlim 0h cp 0h →→ = =2; 2) s(t)=2–3t; а) s(t+h)–s(t)=2–3(t+h)–2+3t=2–3t–3h–2+3t= –3h; б) vcp= h h3 h )t(s)ht(s −= −+ = –3; в) )3(limvlim 0h cp 0h −= →→ = –3. № 779. s(t)=0,25t+2 1) h=8–4=4; vcp= ( ) 4 2122 4 2425,024425,0)()( −−+ = −⋅−++⋅ = −+ h tshts =0,25 www.5balls.ru
- 4. 6 2) v(t)= 25,0limvlim 0h cp 0h→→ = =0,25. № 780. 1) f(x)=3x+2; а) ∆f=f(x+h)–f(x)=3(x+h)+2–3x–2=3x+3h+2–3x–2=3h; б) h h h f 3 = ∆ =3; в) h f lim 0h ∆ → =3, т.е. f ′(x)=3 2) f(x)=5x+7; а) ∆f=f(x+h)–f(x)=5(x+h)+7–5x–7=5x+5h+7–5x–7=5h; б) h h5 h f = ∆ =5; в) 5lim h f lim 0h0h →→ = ∆ =5; 3) f(x)=3x2 –5x; а) ∆f= f(x+h)–f(x)=3(x+h)2 –5(x+h)–3x2 +5x= =3x2 +6xh+3h2 –5x–5h–3x2 +5x2 =6xh+3h2 –5h; б) = ∆ h f = −+ h hhxh 536 2 6x+3h–5; в) 0h0h lim h f lim →→ = ∆ (6x+3h–5)=6x–5; 4) f(x)= –3x2 +2; а) ∆f= –3(x+h)2 +2+3x2 –2= –3x2 –6xh–3h2 +2+3x2 –2= –6xh–3h2 ; б) = ∆ h f = −− h hxh 2 36 –6x–3h; в) 0h0h lim h f lim →→ = ∆ (–6x–3h)= –6x. № 781. 1) f ′(x)=4; 2) f ′(x)= –7; 3) f ′(x)= –5. (опечатка в ответе задачника). № 782. 1) s(t)= 2 3 t2 ; а) s(t+h)–s(t)= 2 3 (t+h)2 – 2 3 t2 = 2 3 t2 +3th+ 2 3 h2 – 2 3 t2 =3th+ 2 3 h2 ; б) vcp= = + = −+ h hth3 h )t(s)ht(s 2 2 3 3t+ 2 3 h; в) v(t)= 0h cp 0h limvlim →→ = (3t+ 2 3 h)=3t; 2) s(t)=5t2 ; а) s(t+h)–s(t)=5(t+h)2 –5t2 =5t2 +10th+5h2 –5t2 =10 t h +5h2 ; б) vc p= = + = −+ h h5th10 h )t(s)ht(s 2 10t+5h; в) v(t)= 0h cp 0h limvlim →→ = (10t+5h)=10t; www.5balls.ru
- 5. 7 № 783. s(t)=t2 +2 найдемv (t): а) s(t+h)–s(t)=(t+h)2 +2–t2 –2=t2 +2th+h2 +2–t2 –2=2th+h2 б) vc p= = + = −+ h hth2 h )t(s)ht(s 2 2t+h в) v(t)= 0h pc 0h limvlim →→ = vc p= 0h lim → 2t+h=2t 1) t=5, v(5)=2⋅5=10; 2) t=10, v(10)=2⋅10=20. № 784. 1) на [0; 1] vc p= 5,1 1 05,1)()( = − = −+ h tshts ; 2) на [1; 2] vc p= = − = −+ 1 5,15,2 h )t(s)ht(s 1; 3) на [2; 3] vc p= 5,0 1 5,23)()( = − = −+ h tshts . № 785. 1) на [0; 2] vc p= 2 1 02 21 h )t(s)ht(s −= − − = −+ ; 2) на [2; 3] vc p= 23 13 − − =2; 3) на [3; 3,5] vc p= 35,3 34 − − =2. № 786. 1) 1 lim →x (2x+1)=3, т.к. f(x)=2x+1, то: |f(x)–3|=|2x–2|=2|x–1|<2δ=ε, где |x–1|<δ, δ= 2 ε , т.е. для ∀ε существует δ удовлетворяющее определению, значит равенство верно.. 2) 2 lim →x x2 =4, т.к. f(x)=x2 , то: |f(x)–4|=|x2 –4|=|x–2|⋅|x+2|<δ|x+2|; |x– 2|<δ; δ|x+2|=δ|(x–2)+4|≤δ(|x–2|+|4|)<δ2 +4δ=ε, возьмем δ=2+ ε+4 . § 45 Производная степенной функции № 787. 1) (x6 )′=6x5 ; 2) (x7 )′=7x6 ; 3) (x11 )′=11x10 ; 4) (x13 )′=13x12 № 788. 1) (x –2 )′= –2x–3 ; 2) (x –3 )′= –3x–4 ; 3) (x –4 )′= –4x–5 ; 4) (x –7 )′= –7x–8 . www.5balls.ru
- 6. 8 № 789. 1) x xxx 2 1 2 1 2 1 2 11 2 1 2 1 =⋅=⋅= ′ −− ; 3) 7 9 7 2 7 2 −− ⋅−= ′ xx ; 2) 3 2 3 1 3 1 − ⋅= ′ xx ; 4) 133 3 − ⋅= ′ xx . (Опечатка в ответе задачника). № 790. 1) ( ) 6 65 5 5 5 1 x xx x − =−== ′ −− ; 2 ) ( ) 10 109 9 9 9 1 x xx x − =−== ′ −− ; 3) ( ) 4 3 4 3 4 1 4 4 1 4 1 x xxx =⋅= ′ = ′ − ; 4) 3 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 x xxx =⋅= ′ = ′ − ; 5) 3 3 1 1 ' 3 1' 3 3 1 3 11 xx xx x −=−= = −− ; 6) 4 2 4 3 1 ' 4 3' 4 3 4 3 4 31 xx xx x −=−= = −− . (Опечатка в ответе задачника). № 791. 1) ((4x–3)2 )′=2⋅(4x–3)⋅4=8(4x–3); 2) ((5x+2)–3 )′= –3(5x+2)–4 ⋅5= –15(5x+2)–4 ; 3) ((1–2x)–6 )′= –6(1–2x)–7 ⋅(–2)=12(1–2x)–7 ; 4) ((2–5x)4)′=4(2–5x)3 ⋅(–5)= –20(2–5x)3 ; 5) ((2x)3 )′=3⋅(2x)2 ⋅2=6⋅(2x)2 =24x2 ; 6) ((–5x)4 )′=4⋅(–5x)3 ⋅(–5)= –20⋅(–5x)3 =2500x3 ; № 792. 1) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 13 )7x2(3 2 2)7x2( 3 1 7x27x2 + =+= ′ += ′ + ⋅ − ; 2) ( ) ( ) 4 3 4 3 4 14 )x37(4 3 )3()x37( 4 1 x37x37 − − =−−= ′ −= ′ − ⋅ − ; www.5balls.ru
- 7. 9 3) ( )( ) 4 3 4 3 4 1 4 274 3 3)3( 4 1 33 x xxx == ′ = ′ ⋅ − ; 4) ( ) ( ) 3 2 3 3 2 3 2 3 13 3 5 253 5 5)5( 3 1 55 xx xxx === ′ = ′ ⋅ − ; № 793. 1) f ′(x)=(x6 )′=6x5 ; f ′(x0)=6⋅ 16 3 32 6 2 1 5 == 2) f ′(x)=(x–2 )′= –2⋅x–3 = – 3 2 x f ′(x0)= – 27 2 3 2 3 −= 3) f ′(x)= ( ) x xxx 2 1 2 1 2 1 2 1 == ′ = ′ − f ′(x0)= 4 1 42 1 = 4) f ′(x)= ( ) 3 2 3 2 3 1 3 3 1 3 1 x xxx == ′ = ′ − f ′(x0)= 12 1 83 1 3 2 = 5) f ′(x)= ( ) x xxx 45 2 )4()45( 2 1 )45((45 2 1 2 1 − −=−⋅−=−= ′ − − f ′(x0)= – 2 145 2 −= ⋅− 6) f ′(x)= ( ) ( )3 2 3 2 1 132 3 3)13( 2 1 13 13 1 + −=⋅+−= ′ += ′ + −− x xx x f ′(x0)= – ( ) 16 3 1132 3 3 −= +⋅ . № 794. y = 4x3 y = x4 № 795. 1) у′=(x2 )′=2x, y′(0)=2⋅0=0, y′(1)=2⋅1=2, y′(–1)=2⋅(–1)= –2 — не подходит www.5balls.ru
- 8. 10 2) у′=(x3 )′=3x2 , y′(0)=3⋅0=0,y′(1)=3⋅1=3, y′(–1)=3⋅(–1)2 =3 — подходит 3) у′= x x 2 12 1 = ′ y′(0) не существует, не подходит. № 796. 1) ( ) = ′ + 2 32 1 x ((2+3x)–2 )′= –2(2+3x)–3 ⋅3= ( )3 32 6 x+ − 2) ( ) = ′ − 3 23 1 x ((3–2x)–3 )′= –3⋅(3–2x)–4 ⋅(–2)= ( )4 23 6 x− . 3) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 3 23 2 23 2 323 3 2 2323 − =−= ′ −= ′ − ⋅ − x xxx . 4) ( ) ( ) ( ) ( )7 5 )7 5 7 27 2 x143 4 14(x143 7 2 x143x143 − − =−−= ′ −= ′ − ⋅ − . 5) ( ) ( ) ( )3 4 3 1 3 7x3 1 37x3 3 1 7x3 7x3 1 3 4 − =⋅−−= ′ −= ′ − −− . 6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 5 3 2 3 2 x213 4 2x21 3 2 x21 x21 1 3 5 − =−⋅−−= ′ −= ′ − −− . № 797. 1) f(x)=x3 , f ′(x)=3x2 , f ′(x)=1 ⇒ 3x2 =1; x= 3 1 ± ; 2) f(x)= 3 2 x , f ′(x)= 3 3 2 3 2 3 1 3 2 x xx == ′ − , f ′(x)=1 ⇒ 3 3 2 x =1, 27 8 =x 3 23 =x . № 798. s(t)= 1t + ; v(t)=(s(t)) ′=( 1t + ) ′= ( ) ( ) 1t2 1 1t 2 1 1t 2 1 2 1 + =+= ′ + − ; v(3)= 4 1 132 1 = + . www.5balls.ru
- 9. 11 № 799. 1) f(x)=(2x–1)2 ;2) f(x)=(3x+2)3 ; f ′(x)=2(2x–1)⋅2=4(2x–1); f ′(x)=3(3x+2)2 ⋅3=9(3x+2)2 ; f(x)=f ′(x) ⇒ (2x–1)2 =4(2x–1); f(x)=f ′(x) ⇒ (3x+2)3 =9(3x+2)2 ; (2x–1)(2x–1–4)=0; (3x+2)2 (3x+2–9)=0; (2x–1)(2x–5)=0; (3x+2)2 (3x–7)=0; ( ) ⇒ =− =− 052 012 x x 2 5 2 1 = = x x ; ⇒ ==− =+ 0073 023 x x 3 7 3 2 = −= x x ; либо 2x–1=0 ⇒ x= 2 1 ; либо 3x+2=0 ⇒ x= 3 2 − ; либо (2x–5)=0 ⇒ x= 2 5 ; либо 3x–7=0⇒ x= 3 7 . № 800. а) Очевидно, что это парабола, следовательно, уравнение имеет вид y=ax2 +bx+c a>0, т.к. ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы имеет абсциссу a2 b xb −= , в нашем случае x b=0 ⇒ b=0 ⇒ y=ax2 +c. Подставим известные точки: 1=а⋅(0)2 +с ⇒ c=1 ⇒ y=ax2 +1; 2=a⋅(1)2 +1 ⇒ a=1 ⇒ y=x2 +1; б) Очевидно, что это парабола, имеющая уравнение в общем виде y=ax2 +by+c. Т. к. ветви параболы направлены вниз, то a<0. В общем виде вершина параболы имеет абсциссу a2 b xb −= , в нашем случае x b=0 ⇒ b=0 ⇒ y=aх2 +c. Зная точки, подставим 1=а⋅(0)2 +с ⇒ c=1 ⇒ y=aх2 +1; 0=a⋅(1)2 +1 ⇒ a= –1 ⇒ y= –x 2 +1 ⇒ y=1–x2 . № 801. y= 7x3 − ; ( ) ( ) 732 3 373 2 1 73 2 1 2 1 − =⋅−= ′ −=′ − x xxy ; . 6 5 ; 6 17 2 3 ;73 732 3 2=x=x;73 −=−= − xx x www.5balls.ru
- 10. 12 § 46 Правиладифференцирования № 802. 1) (x2 +x)′=2x+1; 5) (–4x3 )′= –4⋅3⋅x2 = –12x2 ; 2) (x2 –x)′=2x–1; 6) (0,5x3 )′=1,5x2 ; 3) (3x2 )′=3⋅2⋅x=6x; 7) (13x2 +26)′=26x; 4) (–17x2 )′= –17⋅2⋅x= –34x; 8) (8x2 –16)′=16x. № 803. 1) (3x2 –5x+5)′= 6x–5; 5) (x3 +5x)′=3x2 +5; 2) (5x2 +6x–7)′= 10x+6; 6) (–2x3 +18x)′= –6x2 +18; 3) (x4 +2x2 )′=4x3 +4x; 7) (2x3 –3x2 +6x+1)′=6x2 –6x+6; 4) (x5 –3x2 )′=5x4 –6x; 8) (–3x3 +2x2 –x–5)′= –9x2 +4x–1. № 804. y=3(x–2)2 +1=3x2 –12x+12+1=3x2 –12x+13; y′=6x–12. № 805. 1) 43 2 3 2 1 x x x x −= ′ + ; 2) 3 2 2 3 2 3 1 x x x x −= ′ + ; 3) ( ) xx xxxx 2 1 2 1 2 1 4 1 22 4 3 4 2 1 4 3 −=⋅−⋅⋅= ′ − −− ; 4) ( ) 14 136 5 146 2 1 2 1 14 1 7 6 1 373 14 13 6 5 xx xxxx +=⋅⋅+⋅⋅= ′ − −− . № 806. 1) f ′(x)=(x2 –2x+1)′=2x–2; f ′(0)=2⋅0–2= –2; f ′(2)=2⋅2–2=2; 2) f ′(x)=(x3 –2x)′=3x2 –2; f ′(0)=3⋅(0)2 –2= –2; f ′(2)=3⋅22 –2=12–2=10; 3) f ′(x)=(–x3 +x2 )= –3x2 +2x; f ′(0)=3⋅0+2⋅0=0; f ′(2)= –3⋅22 +2⋅2=–2+4= –8; 4) f ′(x)=(x2 +x+1)′=2x+1; f ′(0)=2⋅0+1=1; f ′(2)=2⋅2+1=5. www.5balls.ru
- 11. 13 № 807. 1) f′(x)= −−= + 322 2111 xxxx ; f ′(3)= 27 5 3 2 3 1 33 −= −− ; f ′(1)= –1–2= –3; 2) f ′(x)= 2 1 2 1 1 1 xxx x −= ′ ++ ; f ′(3)= 9 1 32 1 − ; f ′(1)= 2 1 –1= – 2 1 ; 3) f ′(x)= ( ) +−= ⋅−⋅−⋅ −⋅= ′ − −− 43 4 3 6 2 3 32 2 1 3 23 2 3 xx xx xx f ′(3)= ( ) 2 9 6 2 3 1f; 27 2 32 1 27 2 323 3 =+−=′+ − =+ ⋅⋅ − ; 4) f ′(x)= ⋅ += −−= ′ − −− 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 2 1 2 3 2 3 xx x xxxx ; f ′(3)= 9 314 33 14 36 28 36 127 318 3 2 33 === + =+ ; f ′(1)= 2 3 2 3 + =3. № 808. 1) не дифференцируема, т.к. при х=1 функция у= 1 2 −x не определена 2) не дифференцируема, т.к. при х=3 функция у= ( )2 3 53 − − x x не определена 3) ( ) ( ) 12 1 1 2 1 1 2 1 + =+⋅= ′ +=′ − x xxy , у ′(0)= 2 1 102 1 = + дифференцируема; 4) ( ) ( ) ( ) x xxy − − =−⋅−⋅= ′ −=′ − 5 1 15 2 1 5 2 1 , у ′(4)= 45 1 − − = –1 дифференцируема. www.5balls.ru
- 12. 14 № 809. 1) f′(x)=(x3 –2x)′=3x2 –2f ′(x)=0; 3x2 –2=0; x2 = 3 2 ; x= 3 2 ± ; 2) f′(x)=(–x2 +3x+1)′= –2x+3; f ′(x)=0; –2x+3=0; x= 2 3 . 3) f′(x)=(2x3 +3x2 –12x–3)′=6x2 +6x–12; f ′(x)=0; 6x2 +6x–12=0; x2 +x– 2=0; D=1+8=9; х1= 2 31+− =1, х2= 2 31−− = –2; 4) f ′(x)=(x3 +2x2 –7x+1)′=3x2 +4x–7; f ′(x)=0; 3x2 +4x–7=0 4 D =4+21=25; х1= 3 52 +− =1, х2= 3 7 3 52 −= −− . 5) f ′(x)=(3x4 –4x3 –12x2 )′=12x3 –12x2 –24x; f ′(x)=0; 12x3 –12x2 –24x=0 ⇒ x1 =0 и x2 –x–2=0; D=1+8=9; х2= 2 31+ =2, х3= 2 31− = –1; 6) f ′(x)=(x4 +4x3 –8x2 –5)′=4x3 +12x2 –16x; f ′(x)=0; 4x3 +12x2 –16x =0 ⇒ x=0 и x2 +3x–4=0; D=9+16=25; х2= 2 53 +− =1 х3= 2 53 −− = –4. № 810. 1) ((x2 –x)(x3 +x)′=(x2 –x)′(x3 +x)+(x2 –x)(x3 +x)′=(2x–1)(x3 +x)+(x2 – x)(3x2 +1)= =2x4 +2x2 –x3 –x+3x4 +x2 –3x3 –x=5x4 –4x3 +3x2 –2x; 2) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) =⋅⋅++⋅= ′ ++′+= ′ + − 3 2 3 1 21222 3333 xxxxxxxxx 3 23 2 3 3 2 33 3 24 3 2 3 4 3 2 3 1 x x x x x xx + =+=++= ; 3) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) =⋅−+⋅= ′ −+′−= ′ − − 2 1 2 1 11111 xxxxxxxxx x x x x x x x 2 13 2 1 2 3 2 1 2 − =−=−+= . № 811. 1) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) = ′ −−+− ′ −= ′ −−=′ 787878 x21xx21xx21x)x(f ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1271218 6877 −⋅−⋅−+−⋅−= xxxx ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0)1(1271112111 6877 =−−⋅−+−−=′f . www.5balls.ru
- 13. 15 2) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) = ′ +−++ ′ −= ′ +−=′ 454545 1x1x21x1x21x1x2)x(f ( ) ( ) ( ) ( ) =+⋅−++−⋅= 3544 x141x2x11x225 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )6x18(x11x24x8x10x10x11x2 3434 ++−=−+++−= ; f ′(1)=(2–1)4 (1+1)3 (18+6)=1⋅8⋅24=192. 3) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) = ′ −−+− ′ −= ′ −−=′ 888 232232232)( xxxxxxxf ( )( ) ( ) ( ) ( )223822321 2 1 782 1 −⋅−⋅⋅−+−−−⋅= − xxxx ; ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 33 2123812123121 2 1 78 2 1 −=−⋅−⋅−+⋅−−−=′ − f . 4) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) = ′ −−+− ′ −= ′ −−=′ 234523452345)( 666 xxxxxxxf ( ) ( ) = − ⋅−+−−⋅= 232 3 45234556 65 x xxx ( ) ( ) ( ) ( ) −⋅ − − = − +− − − = 2 44 2 65 23 453 2 45 2310 23 453 55 x x xx x x x ( ) 2 63 2 44 2 65 23 453 )1( 5 = −⋅ − − =′f . № 812. 1) y′=(x3 +2x2 –3x+4)′=3x2 +4x=3. Если пересекаются, то точки пересечения удовлетворяют уравнению: 3x2 +4x–3=3x+1, 3x2 +x–4=0, D=1+48=49 −=+ −⋅= −= −− = =+⋅= = +− = 31 3 4 3 3 4 6 71 4113 1 6 71 2 2 1 1 y x y x . Ответ: Пересекаются. № 813. ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) = ′ +−++ ′ −= ′ +−=′ 656565 x523xx523xx523xy ( ) ( ) ( ) ( ) =+⋅⋅−++−= 5564 x52563xx523x5 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )16x11x523x518x6x52x523x5 5454 −+−=−+++−= у′=0 ⇒ ( ) ( ) ( )16x11x523x5 54 −+− =0 11 16 x, 5 2 x,3x 016x11 0x52 03x 321 =−==⇒ =− =+ =− . www.5balls.ru
- 14. 16 № 814. 1) ( )() ( )( ) ( ) = + ′+++−+ ′ ++ = ′ + ++ 2 353535 1x 1xxxx1xxxx 1x xxx ( )( ) ( ) ( ) = + ⋅++−+++ = 2 3524 1x 1xxx1x1x3x5 ( ) ( )2 2345 2 352435 1x 1x3x2x5x4 1x xxx1x3x5xx3x5 + ++++ = + −−−+++++ = 2) ( )( ) ( )( ) ( ) = − ′−++−− ′ ++ = ′ − ++ 2 222 1x 1x1xx1x1xx 1x 1xx ( ) ( ) ( ) = − ⋅++−− + = − 2 2 2 1 1x 11xx1xx2x 2 1 ( ) ( ) = − −−−− = − −−−−−+ = 2 2 2 22 1x 1 x2 1 2 x x2x 1x 1xxx2 x2 1 x2x 2 1 ( )2 2 1xx2 1x2xxx4xx2 − −−−− = . № 815. 1) ( )( ) ( )( ) ( ) = + ′ +−−+ ′ − = ′ + − =′ 22 2222 2 2 1x 1x1x1x1x 1x 1x )x(f ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222 33 22 22 1x x4 1x x2x2x2x2 1x 1xx21xx2 + = + +−+ = + −−+ = ; ( ) 4 4 11 14 )1(f 2 = + ⋅ =′ =1. 2) ( )( ) ( )( ) ( ) = − ′−−− ′ = ′ − =′ 2 222 x71 x71x2x71x2 x71 x2 )x(f ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 x71 x14x4 x71 x14x28x4 x71 x27x71x4 − − = − +− = − −− = ; ( ) 18 5 36 10 71 144 )1(f 2 −= − = − − =′ . www.5balls.ru
- 15. 17 № 816. 1) f(g)=( )2 3 2 3 x1g −= ; 2) f(g)= xlng = . № 817. 1) g=2x2 –7, f(g)= g ; 2) g=(x2 +1), f(g)=sin g. № 818. 1) ( ) ( ) ( ) = ′⋅++− ′ ++ = ′ ++ 2 232323 x x16xxx16xx x 16xx ( ) ( ) 2 23 2 2323 2 232 x 16xx2 x 16xxx2x3 x 116xxxx2x3 −+ = −−−+ = ⋅++−+ = 2) ( )( ) ( ) ( ) = ′ ⋅++− ′ ++ = ′ ++ 3 2 3333 3 3 183183183 x xxxxxxxx x xxx = ⋅++− + = − 3 2 3 133 3 4 3 2 3 1 )183(3 x x›xxxx = −−−+ = −−−+ = − 3 4 33 3 2 33 2 3 133 2 3 4 x3 18x3xxx9xx4 x x6xxx3x 3 2 3 3 3 4 3 xx 6x2xx x3 18x6xx3 −+ = −+ = . (Опечатка в ответе задачника). № 819. 1) ( ) ( ) ( ) ( ) = ′ ⋅−− ′ − = ′ − 2 222 x x4xx4x x 4x ( ) xx2 4x3 xx2 4xx4 x x2 1 4xxx2 222 2 + = +− = ⋅−− = ; 2) xx2 1x xx2 1 x2 1 x 1 x x 1 x x 1 x 4 4 4 4 + =+= ′ −= ′ − + . (Опечатка в ответе задачника). № 820. 1) ( ) ( )( ) = ′ ++− 1x2x33x2 25 ( )( )( ) ( ) ( ) = ′ ++−+++ ′ −= 1x2x33x21x2x33x2 2525 ( ) ( ) ( ) ( )=+−+++−⋅= 2x63x21x2x33x225 524 www.5balls.ru
- 16. 18 ( ) ()=−−++++−= 6x18x4x1210x20x303x2 224 ( ) ( )464232 24 ++− xxx ; 2) ( ) ( )( ) = ′ +− 74 1x1x ( )( )( ) ( ) ( )( ) = ′ +−++ ′ − 7474 1x1x1x1x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−+++−=+−++−= )7x74x4(1x1x1x1x71x1x4 636473 ( ) ( ) ( )3x111x1x 63 −+−= ; 3) ( )( ) ( )( ) ( )( ) = ′ −++− ′ += ′ −+ 444444 1x32x31x32x31x32x3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) = + −++− =−⋅⋅⋅++ + −⋅ = 4 3 34 34 4 3 4 234 132348133 133423 234 133 x xxx xx x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )31x51 2x34 1x33 96x1443x9 2x34 1x3 4 3 3 4 3 3 + + − =++− + − = ; 4) ( )( ) ( )( ) ( )( ) = ′ −++− ′ += ′ −⋅+ 333333 321232123212 xxxxxx ( ) ( ) ( ) =−⋅⋅++ + − = 23 3 2 3 323212 123 322 xx x x ( ) ( ) ( ) ( ) =+ + − =++− + − = )620( 123 322 )91832( 123 322 3 2 2 3 2 2 x x x xx x x ( ) ( ) ( )3 2 2 123 310324 + +− = x xx . № 821. 1) ( )( ) ( )( ) ( ) = + ′++−−+ ′ +− = ′ + +− 2 222 1x 1x1x3x21x1x3x2 1x 1x3x2 ( )( ) ( ) ( ) = + +−−+− = 2 2 1x 1x3x21x3x4 ( ) ( )2 2 2 22 1x 4x4x2 1x 1x3x23x3x4x4 + −+ = + −+−−−+ = ; 2) ( )( ) ( )( ) ( ) = + ′+−+−+ ′ −+ = ′ + −+ 2 222 1x2 1x21x2x31x21x2x3 1x2 1x2x3 ( )( ) ( ) ( ) = + −+−++ = 2 2 1x2 1x2x321x22x6 ( ) ( )2 2 2 22 1x2 4x6x6 1x2 2x4x62x4x6x12 + ++ = + +−−+++ = ; www.5balls.ru
- 17. 19 3) ( ) () ( ) xxx2 4x3x xxx2 xxx44 xx2 xx2 x2 x x x2 2222 − +− = − ++− = − +− = − + − = ′ − +− xxx2 4x3x2 ( )( ) ( )( ) ( ) = − ′ −+−−− ′ +− = 2 22 xxx2 xxx24x3xxxx24x3x ( )( ) ( ) ( ) = − −+−−−− = 2 2 3 x 12 xxx2 x4x3xxxx23x2 ( ) = − +−−++−+−− = 2 x 4 2 92 2 32 xxx2 x6xxx3xxxxxx3x6xx2xx4 ( ) ( )2 23 2 x 4 2 32 2 1 x2xx2 8x6x3x xxx2 x3xxxx −⋅ −++− = − −++− = . № 822. f ′(x)=(2x3 –3x2 –12x+1)′=6x2 –6x–12; f ′(0)=6x2 –6x–12=0; x2 –x–2=0; D=1+8=9; х1= 2 31+ =2, х2= 2 31− = –1. № 823. f ′(x)= ( ) ( ) ( )( ) ( ) = + ′+−−+′− = ′ + − 2 1x 1x1x21x1x2 1x 1x2 ( ) ( ) ( )222 1x 3 1x 1x22x2 1x )1x2()1x(2 + = + +−+ = + −−+ = ; f ′(x)=3 ⇒ (х+1)2 =1; x2 +x+1=1; x(x+2)=0; x1=0; x2= –2. № 824. f(x)=(x–1)(x–2)(x–3)=(x2 –3x+2)(x–3)=x3 –3x2 –3x2 +9x+2x–6=x3 – 6x2 +11x–6 f ′(x)=3x2 –12x+11, f ′(x)=11 ⇒ 3x2 –12x+11=11; x(3x–12)=0; x1=0, x2=4. № 825. 1) f ′(x)=4x3 –8x, f ′(x)>0, 4x3 –8x>0 4x(x2 –2)>0 + – + –0 2 2 x х∈(– 2 ; 0)∪( 2 ; +∞) 2) f ′(x)=12x3 –12x2 –24x f ′(x)>0, 12x(x2 –x–2)>0 Решим уравнение: x(x2 –x–2)=0, х=0, x2 –x–2=0, D=1+8=9, www.5balls.ru
- 18. 20 х1= 2 31+ =2, х2= 2 31− = –1, + – + –2 x– 1 0 х∈(–1; 0)∪(2;+∞). 3) f ′(x)= ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) = ′ ⋅++ ′ += ′ + x2xx2xx2x 222 ( ) ( ) ( ) ( )( ) x2 2x52x 2xx4 x2 2x x2 1 2xx2x2 2 ++ =++ + =⋅+++= f ′(x)>0 x >0 ⇒ (x+2)(5x+2)>0 x>0 5 2 − + + –– 2 учитывая, х>0 x∈(0; +∞); 4) f ′(x)= ( )( ) ( ) ( ) ( ) = ′ ⋅−+′−= ′ − x3xx3xx3x ( ) x2 3x3 x2 3xx2 x2 1 3xx − = −+ =⋅−+= ; 2 x >0 ⇒ f ′(x)>0, если 3х–3>0 x>1. Учитывая, что x>0, получим х∈(1; +∞). № 826. 1) f′(x)= ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) = ′ −−+− ′ −= ′ −− 343434 1x3x351x3x351x3x35 ( )( ) ( ) ( ) ( ) =−−⋅+−−−⋅= 2433 1x3x35331x3x3534 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x21191x3x353x9154x121x3x353 2323 −−−=−++−−−= f ′(x)<0 при ( ) ( ) ( )x21191x3x353 23 −−− <0. Т.к. 3>0, (3x–1)2 >0, то ( ) ( )x2119x35 3 −− <0. 3 5 + + – 21 19 Ответ: ∈ 3 5 ; 21 19 x . 2) f′(x)= ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) = ′ −−= ′ −−−= ′ −− 53232 3x23x23x2x233x2 ( ) ( )44 3x2103x225 −−=−⋅−= , f ′(0)<0 при –10(2х–3)4 <0 ⇒ (2х–3)4 >0 ⇒ x 2 3 ≠ . www.5balls.ru
- 19. 21 Ответ: 2 3 ≠x . 3) f′(x)= ( )( ) ( )( ) ( ) = − ′−−−− ′ − = ′ − − 2 222 x21 x211x3x211x3 x21 1x3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 x21 2x6x6 x21 2x6x12x6 x21 1x32x21x6 − −+− = − −+− = − −+− = f ′(x)<0 при –2(3x2 –3x+1)<0 , 3x2 –3x+1>0. Решим соответствующее уравнение. D=9–12<0 – нет решений, следовательно, f ′(x)<0 при всех х, кроме 2 1 . Ответ: х 2 1 ≠ . 4) f ′(x)= ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − +− = − ′−−− ′ = ′ − 2 32 2 333 x31 x9x31x9 x31 x31x3x31x3 x31 x3 ( ) ( )2 32 2 332 x31 x18x9 x31 x9x27x9 − − = − +− = , f ′(x)<0 если 9x2 (1–2x)<0; (1–2x)<0 ⇒ x> 2 1 Ответ: 2 1 >x . № 827. v(t)=(ϕ(t))′=(0,1t2 –0,5t+0,2)′=0,2t–0,5, v(20)=0,2⋅20–0,5=4–0,5=3,5. № 828. v(t)=(s(t))′=(1–t+t2 )′= –1+2t, v(10)= –1+2⋅10=19(м/с), ( ) 2 195 2 mv 22 ⋅ = =902,5 Дж. № 829. ρ(l)=m′(l)=(2l2 +3l)′=4l+3, 1) ρ(3)=4⋅3+3=15 (Г/см); 2) ρ(25)=4⋅25+3=103 (Г/см). № 830. При x<2 и x>3 подкоренное выражение положительно. www.5balls.ru
- 20. 22 f ′(x)= () ( ) ( ) 6x5x2 5x2 5x26x5x 2 1 6x5x 2 22 2 1 2 1 +− − =−+−= ′ +− − . § 47 Производные некоторых элементарных функций № 831. 1) (еx +1)′=ex ; 3) ( ) 2 x2x2x2 x 1 e2 x 1 e x 1 e −= ′ + ′ = ′ + ; 2) (еx +x2 )′=ex +2x; 4) ( ) ( ) ( ) x2 1 e3xexe x3x3x3 +−= ′ + ′ = ′ + −−− . № 832. 1) ( ) ( ) ( ) 21x231x231x2 x6e2x2ex2e += ′ + ′ = ′ + +++ ; 2) ( ) 1x2 1 e 2 1 1xe1xe 1x1x1x 2 1 2 1 2 1 − −= ′ −− ′ = ′ −− −−− ; 3) ( ) xx2 1 e3,0 x 1 e x 1 e 2x3,02x3,02x3,0 −= ′ + ′ = ′ + +++ ; 4) ( ) ( ) ( ) 4x13x13x1 x3exexe −−−−−− −−= ′ + ′ = ′ + ; 5) 22 xx ex2e ⋅= ′ ; 6) 33 x22x2 ex6e ⋅= ′ ; № 833. 1) (2x +ex )′=2x ln2+ex 2) (3x –x–2 )′=3x ln3+2x–3 (опечатка в ответе задачника) 3) (e2x –x)′=2e2x –1; 4) (e3x +2x2 )′=3e3x +4x 5) 3ln3x23ln3x18393 2xxx2x 2222 ⋅⋅=⋅⋅= ′ ⋅= ′ ++ (Опечатка в ответе задачника). № 834. 1) ( ) x3xx3x e35,0ln5,0e5,0 += ′ + ; 2) ( ) x2xx2x e23ln3e3 −= ′ − ; 3) ( ) 3 2 x23x2 x3 1 exe +−= ′ + −− ; 4) 5 x3 4 x3 x 4 e x 1 e −−= ′ + −− . № 835. 1) (2 lnx +3x )′= x 2 +3 x ln3; 2) (3 lnx –2x )′= x 3 +2x ln2; www.5balls.ru
- 21. 23 3) 22 x2 1 2lnx 1 x2 1 xlog −= ′ +; 4) ( ) 3lnx 1 x9xlogx3 4 3 3 −− −= ′ − ; 5) ( )( ) ( ) x2x 2x2 x2x x2x1 x2xln 22 2 2 − − = − −⋅ = ′ − ; 6) ( )( ) ( ) ( )( ) =′−+ ′ −= ′ − xlog2x3xlog2x3xlog2x3 3 2 3 2 3 2 ( ) = −+ = − +⋅ − += 3lnx 21xln2x3 3lnx 2x3 3ln xlnx6 3lnx 2x3 xlogx6 222 3 ( ) 3ln 2 3ln 1ln23 x xx − + = . № 836. 1) (sin x +х2 )′=cos x +2х; 3) (cos x +ех )′= –sin x +ех ; 2) (cos x –1)′= –sin x +0= –sin x; 4) (sin x –2х )′=cos x –2х ln 2. № 837. 1) (sin (2х–1))′=2cos (2х–1) 3) (sin (3–х))′= –cos (3–х); 2) (cos (x +2))′= –sin (х+2) 4) (cos (х3 ))′=3х2 ⋅(–sin (х3 ))= –3х2 sin x3 . № 838. 1) (cos x3 e1 2 x + − )′ x3 e31 2 x sin 2 1 + −−= 2) (sin x 23 3 x + + )′= + 3 3 x cos 3 1 +2 х ln 2 3) (3cos 4x– x2 1 )′= –12sin4x+ 2 2 1 x № 839. 1) ( ) ( ) = ′ ⋅−′ = ′ x2 xx x e excosexcos e xcos xx2 xx e xcosxsin e excosexsin −− = ⋅−⋅− = ; 2) ( ) ( ) = ′− ′ = ′ xsin xsin3xsin3 xsin 3 2 xxx ( ) xsin xcosxsin3ln3 xsin xcos3xsin3ln3 2 x 2 xx −⋅ = −⋅⋅ = ; 3) (ln x⋅cos 3x)′=(ln x)′cos 3x+lnx⋅(cos3x)′= x x3cos +lnx⋅ 3(–sin 3x)= www.5balls.ru
- 22. 24 = x x3cos –3 ln x⋅sin3x; 4) (log2x⋅sin 2x)′=(log3x)′sin 2x+log3x(sin 2x)′= = x2cosxlog2 3lnx x2sin x2cos2logx2sin 3lnx 1 33 +=⋅++ . № 840. 1) f ′(x)= ( ) x exe xx 2 2ln2 4242 += ′ + −− , f ′(2)= 2 2 2 422 +−⋅ e =2+1=3; 2) f ′(x)= ( )( ) 13 3 313ln 2323 − −= ′ −− −− x exe xx , f ′( 3 2 )= 13 3 3 3 2 23 3 2 − − −⋅ e =3–3=0; 3) f ′(x)=(2 x –log 2 x)′=2 x ln2– 2lnx 1 , f ′(1)= 21 ln2– 2ln1 1 ⋅ =2 ln2– 2ln 1 = 2ln 12ln2 2 − ; 4) f ′(x)= ( ) 3ln3 5,0lnx 1 3xlog xx 5,0 −= ′ − , f ′(1)= 3ln3 5,0ln 1 3ln3 5,0ln 1 1 −=− . № 841. 1) f ′(x)=(x–cos x)′=1+sin x, f ′(x)=0 ⇒ 1+sin x=0 ⇒ sin x= –1, x 2 π −= +2πn, n∈Z; 2) f ′(x)=( 2 1 x–sin x)′= 2 1 –cos x, f ′(x)=0 ⇒ 2 1 –cos x=0, ⇒ cos x = 2 1 , откуда х= 3 π ± +2πn, n∈Z; 3) f ′(x)=(2 ln(x+3)–x)′= 3 1 3 32 1 3 2 + −− = + −− =− + x x x x x , f ′(x)=0 ⇒ –(x+1)=0, ⇒ х= –1; 4) f ′(x)<(ln(x+1)–2x)′= 1 1 +x –2, f ′(x)=0 при 1 1 +x –2=0, т.е. х+1= 2 1 ⇒ x= – 2 1 ; www.5balls.ru
- 23. 25 5) f ′(x)=(x2 +2x–12lnx)′=2x+2– x 12 ,f ′(x)=0 ⇒ 2x+2– x 12 =0 x≠0, 2x2 +2x–12=0; x2 +x–6=0, D=1+24=25, х1= 2 51+− =2, х2= 2 51−− = –3. Т.к. x>0 ⇒ x=2. 6) f ′(x)=(x2 –6x–8⋅ lnx)′=2x–6– x 8 , f ′(x)=0 ⇒ 2x–6– x 8 =0, x≠0, 2x2 –6x–8=0; х2 –3х–4=0; D=9+16=25, х1= 2 53 + =4, х2= 2 53 − = –1, x>0 ⇒ x=4. № 842. 1) f ′(x)=(e x –x)′=e x –1, f ′(x)>0 при e x –1>0, т.е. e x >1 или e x >е 0 , откуда x>0; 2) f ′(x)=(x ln 2–2 x )′=ln 2–2 x ln 2, f ′(x)>0 при ln2(1–2 x )>0, т.к. ln 2>0, то 1–2 x >0 или 2 x <1, 2x <20 , откуда x<0; 3) f ′(x)=(e x ⋅x 2 )′= e x ⋅x 2 +2xex , f ′(x)>0 при e x (x2 +2x)>0, e x >0, x(x+2)>0 Ответ: x∈(–∞; –2)∪(0;+∞). 4) f ′(x)= ( ) x e xexe x xx 2 += ′ f ′(x)>0 при xex (1+ 0) 2 1 > x ), т.к. xex >0, то 1+ x2 1 >0 2 1 −>⇒ x f ′(x)>0 и x >0. Ответ: х > 0. № 843. 1) ( ) 32 2 36 1 325 52 1223 21 5 32 ln 3 12 + + − = + ⋅ + −⋅ ⋅ = ′ + + − xxxx xx 2) ( ) ( ) ( ) = ⋅− −⋅⋅ − − − ⋅= ′ − − − 352 532 12 1 6 1 3 52 ln2 6 1 xx xx xx 52 10 112 6 − + − − . 3) = − − −⋅+ −⋅= ′ − + −− 2 1 sin 2 1 3 3 1 2 2 1 cos32 3 1 3 1 x e x e xx 2 1 sin 2 3 3 2 3 1 x e x − +−= − . x–2 0 + + – 2 1 − x0 + +– www.5balls.ru
- 24. 26 4) = + ⋅− −⋅= ′ + − −− 4 1 cos 4 1 2 3 1 3 4 1 sin233 2 3 2 x e x e xx 4 1 cos 2 13 2 x e x + −− − . № 844. 1) ( ) = − −−⋅= ′ − − − − 3 2 cos323 3 2 cos3 2 3 3 1 33 x x x x ( ) ( ) = − −⋅−−⋅−⋅ −⋅= − 3 2 sin 3 1 321 3 1 3 3 4 3 x x ( ) ( ) 3 2 sin 922 1 3 − + ⋅−− x xx . 2) ( ) ( ) = ⋅⋅−+ −⋅= ′ − + ⋅ −− − 5 4 4 7 5 4 5 1 52 4 3 25 2 1 2 4 3 xx exe x ( ) 5 4 4 7 2 2 3 − −+−= − x ex . № 845. 1) ( ) ( ) ( ) =′+ ′ = ′ ⋅ xxx xxx 2cos5,02cos5,02cos5,0 ( )=−⋅⋅+= xx xx 2sin25,02cos5,0ln5,0 ( )xxx 2sin22cos5,0ln5,0 − . 2) ( ) ( ) ( ) = ′ + ′ = ′ ⋅ −−− xxx exexex 55 ( ) x xe x x eexe x x xxx 2 215 2 1 5 2 1 5 − = −= ⋅−= − −−− . 3) (e3–2 x ⋅cos(3–2x))′=(e3–2 x )′cos(3–2x)+ e3–2 x (cos(3–2x))′= = –2 e3–2 x cos (3–2x)–2 e3–2 x ⋅(–sin(3–2x))= =–2e3–2 x (cos(3–2x)–sin(3–2x)) = 2e3–2 x (sin(3–2x)–cos(3–2x)). № 846. 1) ( ) )1(2 1 12 1 1 1 1ln − = − ⋅ − = ′ − xxx x . 2) xx e x e ++ + = ′ 33 32 1 (опечатка в ответе задачника). 3) ( )( ) ⋅=′ x x cos 1 cosln (–sin x)= –tg x. 4) ( )( ) ⋅=′ x x sin 1 sinln cos x =ctg x. № 847. 1) ( ) 1xcos1xcos 22 ++ = ′ ⋅ln 2⋅(–sin x). 2) ( ) xsin1xsin1 5,05,0 ++ = ′ ⋅ln0,5⋅cos x. 3) ( ) ( ) ( )3 2 3 33 23 2sin 2 3 1 2sin2cos 2 3 + + −=+⋅+−= ′ + − x x xxx . www.5balls.ru
- 25. 27 4) (sin (lnx))′=cos(ln x)⋅ x xcox x )(ln1 = . № 848. 1) ( ) 12 1 122 22 12 22 2 −+ + = −+ + = ′ −+ xx x xx x xx 2) ( ) 3 2 3 sin3 cos sin x x x = ′ . 3) ( ) 44 4 cos4 sin cos4 )sin(1 cos x x x x x −= −⋅ = ′ . 4) ( ) xxxx x 22 2 log2ln2 1 2lnlog2 1 log ⋅ = ⋅ = ′ № 849. 1) ( ) ( ) = ′+−′+ = ′ + x xxxx x x 2 sin )(sincos1sincos1 sin cos1 ( ) x x x xxx x xxxx 22 22 2 sin cos1 sin coscossin sin coscos1sinsin + −= −−− = ⋅+−⋅− = 2) ( )( ) ( ) ( ) = + ′ +−+ ′ = ′ + 2 13 133133 13 3 x xx x xxx ( ) ( ) ( ) = + −+ = 2 32 3 13 3ln3313 x xx x x ( ) ( ) ( )2 1 2 1332 33ln213 1332 3ln332333 + +− = + ⋅⋅−+⋅ = + x x x xx x x x x . 3) ( )( ) ( ) ( ) = − ′−−− ′ = ′ − 2 5,05,05,0 52cos 52cos52cos 52cos x xexe x e xxx ( ) ( ) ( ) ( )2 5,0 2 5,05,0 52cos 2sin452cos5,0 52cos 2sin252cos5,0 − +− = − +− = x xxe x xexe xxx . 4) ( )( ) ( )( ) ( ) = + ′+−+ ′ = ′ + 2 222 73sin 73sin573sin5 73sin 5 x xx x xxx ( ) ( ) = + ⋅⋅−+⋅⋅ = 2 22 73sin 3cos3573sin5ln52 x xx xx ( ) ( )2 2 73sin 3cos35ln143sin5ln25 + −+⋅⋅ x xxx № 850. 1) ( ) ( )( ) = ′−− ′ − = ′ − −−− 2 x xeexee x ee xxxxxx www.5balls.ru
- 26. 28 ( ) () = +−⋅+⋅ = ⋅−−⋅+ = −−−− 22 1 x eexexe x eexee xxxxxxxx 2 )1()1( x xexe xx ++− ; 2) ( ) ( )( ) = ⋅ ′⋅−−⋅⋅ ′ − = ′ ⋅ − 2ln 2lnlog22lnlog2 2ln log2 22 222 x xxxx x x xxx ( ) ( ) = ⋅ ⋅−−⋅⋅− = 22 22ln 1 2ln 2lnlog22ln2ln2 x xx x x x 2ln log22ln2 22 22ln 1 ⋅ +−−⋅ x xx xx . № 851. 1) ( ) ( ) ( ) = ′⋅−−⋅′− = ′ − 2 cossincossincossin x xxxxxx x xx ( ) ( ) = ⋅−−⋅+ = 2 1cossinsincos x xxxxx 22 )1(sin)1(coscossinsincos x xxxx x xxxxxx −++ = +−⋅+⋅ = 2) ( ) ( ) x xx xx xx x xxx sincoscossin cossin cossin cossin 2sin1 2 +=′−= ′ − − = ′ − − . № 852. 1) ( )( ) = ′ +−=′ xxxxf 5cos2cossin5)( ( ) ( ) ( )=−+=−⋅⋅++= xxxxxx 5sin2sincos55sin52sincos5 = − − π += xxx 5sin2 2 coscos5 = − π += − π π += xxxx 5sin 4 sin255sin2 4 sin 4 sin25 + π − π = −+−+ ⋅= ππ xx xxxx 3 8 cos2 8 sin210 2 5 cos 2 5 sin225 44 f′(x)=0 при + π − π xx 3 8 cos2 8 sin =0, Откуда: π + π = π + π = ⇒ π+ π =+ π π=− π ∈ ∈ Zkk Znn x x kx nx , , 38 216 2 3 8 2 8 2) ( )( ) =′−−+−=′ xxxxxf 2cossin22cos51)(( ( ) =−++= 2sincos22sin10 xxx ( ) =−++ − π 2sincos22 2 cos10 xxx www.5balls.ru
- 27. 29 ( ) =−++ − π − − π =2sincos2 4 sin 4 cos10 22 xxxx =− − π + − − π = 2 4 cos221 4 cos210 2 xx 12 4 cos22 4 cos20 2 − − π + − π = xx f ′(x)=0, если 12 4 cos22 4 cos20 2 − − π + − π xx =0 cos( 4 π –x)=t, 20t2 +2 2 t–12=0 или 10t2 + 2 t–6=0 D=2+240=242=2⋅121 t1= 2 2 20 2112 = +− t2= 5 23 20 2112 −= −− 1 5 23 2518;1 25 29 ;1 5 23 <⇒<∨ ⋅ ∨ Cледовательно, – 5 23 >–1. − π 4 х1=±arccos(– 5 23 )+2πn, n∈Z Znnx ∈π+ −± π =⇒ ,2 5 23 arccos 4 1 − π 4 x2=± 4 π +2πk, k∈Z ZmmxZkkx ∈π+ π =∈π=⇒ ,2 2 ,,2 32 № 853. 1) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) =′−+−⋅ ′ = ′ −=′ 12ln12ln12ln)( 222 xexexexf xxx ( ) ( ) − +−= − +−= 12 1 12ln2 12 2 12ln2 2 2 2 x xe x e xe x x x , f(x)=0 ⇒ e2x ln(2x–1)=0, e 2x >0, так что ln(2x–1)=0, ln(2x–1)=ln 1; 2x–1=1; x=1, f ′(1)= ( ) −⋅ +−⋅⋅ 112 1 112ln2 12 e =2e2 ⋅(0+1)=2e2 . 2) = ′ − =′ x xx xf sin cossin )( ( ) ( )( ) = ′−−′− = x xxxxxx 2 sin sincossinsincossin ( ) ( ) = −−+ = x xxxxxx 2 sin coscossinsinsincos www.5balls.ru
- 28. 30 xx xxxxxx 22 22 sin 1 sin coscossinsinsincos = +−+⋅ = f(x)=0 ⇒ = − x xx sin cossin 0 Область определения функции sin x≠0 x≠πn, n∈Z 1–ctg x=0 ctg x=1 x= 4 π +πn, n∈Z ; ( ) 2 1 sin 1 4 2 1 4 2 === π ′ π f . Т.к. в f ′(x) sin входит в квадрате, то f ′(x) во всех точках nπ+ π 4 , будет иметь одно и то же значение. № 854. f ′(x)=(x sin 2x)′=(x)′sin 2x+x(sin 2x)′=sin 2x+2x cos 2x y(x)=f ′(x)+f(x)+2=sin 2x+2x cos 2x+x sin 2x+2 y(π)=sin 2π+2π cos 2π+π sin 2π+2=0+2π+0+2=2(1+π). № 855. 1) f ′(x)=(x– ln x)=1– x 1 , x>0 f ′(x)=0 при х=1; f ′(x)>0, x x 1− >0, x(x–1)>0 ⇒ х∈(1;+∞); f ′(x)<0 при х∈(0;1); 2) f ′(x)=(x lnx)′= lnx+1, x>0 f ′(x)=0, lnx+1=0, lnx = –1, lnx=lne–1 , x=e–1 . f ′(x)>0, lnx+1>0; lnx>–1=ln e–1 ; x>e–1 x∈(e–1 ;+∞); f ′(x)<0 при х∈(0;e–1 ); 3) f ′(x)=(x2 lnx)′=2xlnx+x x>0 f ′(x)=0 x(2lnx+1)=0 x=0 и lnx= 2 1 − =ln 2 1 − e x= e 1 f ′(x)>0 x(2 ln x+1)>0 при x∈( e 1 ; +∞) f ′(x)<0 при x∈(0; e 1 ) x>0 + – + 0 х e 1 + – + 0 х1 + – + 0 х e 1 www.5balls.ru
- 29. 31 4) f ′(x)=(x3 –3lnx)′=3x2 – x 3 f ′(x)=0, 3x2 – x 3 =0, 3x3 –3=0, x3 =1, x=1; f ′(x)>0, 3x2 – x 3 > 0, x x 33 3 − >0 3x(x3 –1)>0 при х∈(1;+∞); f ′(x)<0 при х∈(0;1). + – + 0 х1 № 856. При x<2 и x>3 выражение под знаком логарифма положительно (ln(x2 –5x+6))′= ⋅ +− 65 1 2 xx (2x–5). § 48 Геометрический смысл производной № 857. 1) k=tg α=tg 4 π =1, x0=2 y0= –3, т.е. –3=1⋅2+b b= –5; 2) k=tg, α=tg 4 π =1, x0= –3 y0=2, т.е. 2=1⋅(–3)+b b=5; 3) k=tg, α=tg 3 3 −= π − , x0=1, y0=1, т.е. 1= – 3 ⋅1+b, b=1+ 3 ; 4) k=tg, α=tg 3 3 6 −= π − , x0=–1, y0=–1, т.е. –1= 3 3 − ⋅(–1)+b, b= 3 3 − –1 № 858. 1) f ′(x)=3x2 ; k=tg α =f ′(x0)=3⋅12 =3; 2) f ′(x)=cos x; k=tg α =f ′(x0)=cos 2 2 4 = π ; 3) f ′(x)= x 1 ; k=tg α =f ′(x0)= 1 1 =1; 4) f ′(x)=ex ; k=tg α =f ′(x0)= 3ln e =3. www.5balls.ru
- 30. 32 № 859. 1) f′(x)=x2 ; tg α =f ′(x0)=12 =1 ⇒ α= 4 π ; 2) f ′(x)= – 2 1 x ; tg α =f ′(x0)= 2 1 1 − = –1 ⇒ α= 4 3π ; 3) f ′(x)= x 1 ; tg α =f ′(x0)= 3 1 ⇒ α= 6 π ; 4) f ′(x)= xx 9 − ; tg α =f ′(x0)= 33 9 − = – 3 ⇒ α= 3 π − ; 5) f ′(x)= 2 1x3 e 2 3 + ; tg α =f ′(x0)= e 2 3 ⇒ α=arctg ( e 2 3 ); 6) f ′(x)= 12 2 +x ; tg α =f ′(x0)= 5 2 122 2 = +⋅ ⇒ α=arctg 5 2 . № 860. 1) f(x0)=12 +1+1=3, f ′(x)=2x+1, f ′(x0)=2⋅1+1=3, y=f(x0)+ f ′(x0)(x–x0), y=3+3(x–1), y=3+3x–3, y=3x; 2) f(x0)=2–3⋅22 = –10, f ′(x)=1–6x, f ′(x0)=1–6⋅2= –11, y=f(x0)+ f ′(x0)(x–x0), y= –10–11(x–2), y= –10–11x+22, y=12–11x. 3) f(x0)= 3 1 , f ′(x)= 2 1 x − , f ′(x0)= 9 1 3 1 2 −=− , y=f(x0)+ f ′(x0)(x–x0), y= 9 1 3 1 − (x–3) y= 3 1 9 1 3 1 +− x y= 3 2 9 1 +− x ; 4) f(x0)= ( ) 4 1 2 1 2 = − , f ′(x)= 3 2 x − , f ′(x0)= 4 1 )2( 2 3 = − − , y=f(x0)+ f ′(x0)(x–x0), y= 4 1 4 1 + (x+2) y= 2 1 4 1 4 1 ++ x , y= 4 3 4 1 +x ; 5) f(x0)=sin 2 2 4 = π , f ′(x)=cos x, f ′(x0)=cos 2 2 4 = π , y=f(x0)+ f ′(x0)(x–x0), y= π −+ 42 2 2 2 x , y= 8 2 2 2 2 2 π −+x ; 6) f(x0)=e0 =1, f ′(x)=ex , f ′(x0)=e0 =1, y=f(x0)+ f ′(x0)(x–x0), y=1+1(x–0), y=x+1; 7) f(x0)=ln 1=0, f ′(x)= x 1 , f ′(x0)= 1 1 =1, y=f(x0)+ f ′(x0)(x–x0), y=0+1(x–1), y=x–1; www.5balls.ru
- 31. 33 8) f(x0)= 1=1, f ′(x)= x2 1 , f ′(x0)= 2 1 12 1 = , y=f(x0)+ f ′(x0)(x–x0), y=1+ 2 1 (x–1), y=1+ 2 1 x– 2 1 , y= )1( 2 1 +x . № 861. 1) f ′(x)>0 ⇒ tg α>0 ⇒ α∈[0; 2 π ], f ′(x)<0 ⇒ tg α<0 ⇒ α∈[– 2 π ; 0], f ′(x)=0 ⇒ tg α=0 ⇒ α=0; рис. а; а) f ′(x)>0: A, B, E; б) f ′(x)<0: D, G; в) f ′(x)=0: C, F. рис. б; а) f ′(x)>0: C, G; б) f ′(x)<0: A, E; в) f ′(x)=0: B, D, F. № 862. 1) f(0)=0+ 10 1 + =1, f ′(x)=1– 2 )1( 1 +x , f ′(0)=1– 2 )10( 1 + =0, y=1+0⋅(x–0), y=1. 2) f(0)=sin 0 – ln 1=0 f ′(x)=2cos 2x– 1 1 +x , f ′(0)= 2cos 0– 1 1 =1, y=0+1⋅(x–0), y=x. № 863. 1) f ′(x)=1–ex , f ′(0)=1–e0 =0, tg α=f ′(x0)=0 ⇒ α=0 ⇒ β=90°–α=90°; 2) f ′(x)= –sin x, f ′(0)= – sin 0 = 0, tg α=f ′(x0) ⇒ α=0 ⇒ β=90°– α=90°; 3) f ′(x)= 12 1 +x +0⋅e2 = 12 1 +x , tg α=f ′(x0)= 12 1 +x = 2 1 ⇒ α=arctg 2 1 ⇒ β=90°–α=90° –arctg 2 1 . № 864. 1) а) Абсцисса точки пересечения графиков: 8–x=4 4+x ; 64–16x+x2 =16x+64; x2 –32x=0; x(x–32)=0 x1=0 x2=32 – посторонний корень, т.к. 8 – х ≥ 0; х=0. б) угол наклона первой касательной в точке х = 0 tg α1=f ′(x0)=(8–x)′= –1, α1= 4 3π . в) угол наклона второй касательной: tg α2=f ′(x0)= 2 2 4 2 42 4 00 = + = + xx =1, α2= 4 π www.5balls.ru
- 32. 34 г) β= 4 3π – 24 π = π 2) а)Абсцисса точки пересечения графиков: 2 1 (х+1)2 = 2 1 (х–1)2 ; 2 1 (x2 +2x+1–x2 +2x–1)=0; 2x=0, x=0; б) угол наклона первой касательной при х = 0: tg α1=f ′(x0)= 2 1 ⋅2(x0+1)=(x0+1)=1 ⇒ α1= 4 π ; в) угол наклона касательной к у= 2 1 (х–1)2 при х = 0: tg α2=f ′(x0)= 2 1 ⋅2(x0–1)= x0–1= –1 ⇒ α2= 4 3π ; г) β= 4 3π – 24 π = π . 3. а) Абсцисса точек пересечения графиков: ln(1+x)=ln(1–x) ⇒ 1+x=1–x, 2x=0, x=0 б) угол наклона касательной к y=ln(1+x) при х = 0: tg α1=f ′(x0)= 01 1 x+ ⋅=1 ⇒ α1= 4 π в) угол наклона касательной к у= ln(1–x) при х = 0: tg α2=f ′(x0)= 01 1 x− − = –1 ⇒ α2= 4 3π ; г) β= 4 3π – 24 π = π ; 4) а) Абсцисса точек пересечения : еx =e–x ⇒ x= –x, x=0 б) угол наклона касательной к у=ex при х = 0: tg α1=f ′(x0)=ex =1 ⇒ α1= 4 π в) угол наклона касательной к у=e–x tg α2=f ′(x0)= – 0x e− = –1 ⇒ α2= 4 3π г) β= 4 3π – 24 π = π . № 865. 1. а) Точка пересечения: x4 =x6 +2x2 , x2 (x4 –x2 +2)=0, x1=0, D=1–8<0 ⇒ (0; 0) — единственная общая точка б) Уравнение касательной к у=х4 в точке (0; 0): f(x0)=04 =0, f ′(x)=4x3 , f ′(x0)=4⋅03 =0, y=0+0(х–0)=0, y=0; www.5balls.ru
- 33. 35 в) Уравнение касательнойк y= x6 +2x2 в точке (0; 0): f(x0)= 0+0=0, f ′(x)= 6x5 +4x, f ′(x0)=6⋅0+4⋅0=0, y=0+0(x–0)=0, y=0. Общая касательная у=0. 2) а) Точка пересечения: x4 =x3 –3x2 , x2 (x2 –x+3)=0, x1=0, D=1–12<0 ⇒ (0; 0) — единственная общая точка; б) Уравнение касательной к у=х4 в точке (0; 0): f ′(x0)=0, f ′(x)=4x3 , f ′(x0)= 0, y=0+0(х–0)=0, y=0; в) Уравнение касательной к y= x3 –3x2 в точке (0; 0): f(x0)= 0, f ′(x)= 3x2 –6x, f ′(x0)=3⋅0–6⋅0=0, y=0+0(x–0)=0, y=0. Общая касательная: у=0. 3) а) Точка пересечения: (x+2)2 =2–x2 , x2 +4x+4–2+x2 =0, 2x2 +4x+2=0, x2 +2x+1=0 (x+1)2 =0 x= –1 (–1; 1) – единственная общая точка б) Уравнение касательной к у=(x+2)2 в точке (–1; 1): f(x0)=1, f ′(x)=2(x+2), f ′(x0)= 2⋅(–1+2)=2, y=1+2(х+1)=0, y=2x+3; в) Уравнение касательной к y= 2–x2 в точке (–1; 1): f(x0)=1, f ′(x)= –2х, f ′(x0)= –2 ⋅(–1)=2, y=1+2(x+1), y=2х+3. Общая касательная: у=2х+3 4) а) Точка пересечения: x(2+x)=x(2–x), 2x+x2 –2x+x2 =0, 2x2 =0, x=0 (0; 0) — единственная общая точка б) Уравнение касательной к у= x(2+x) в точке (0; 0): f(x0)=0, f ′(x)=(2+х)+х=2+2х, f ′(x0)= 2, y=0+2(х–0)=0, y=2x в) Уравнение касательной к y= x(2–x) в точке (0; 0): f(x0)=0, f ′(x)=(2–x)–x=2–2x, f ′(x0)= 2, y=0+2(x–0), y=2х. Общая касательная: у=2х. № 866. 1) k=tg α =f ′(x); f ′(x)=ex –e–x , f ′(x)= 2 3 , т.е. ex –e–x = 2 3 , 2e2x –3ex –2=0 это квадратное уравнение относительно ex , D=9+16=25; ex = 4 53 + =2 ⇒ x=ln2, ex = 2 1 4 53 −= − , но ex >0, f(ln 2)= 2 1 2 2 1 2ee 2ln2ln =+=+ − , x=ln2 искомая точка: (ln2; 2 2 1 ); 2) k=tg α =f ′(x); f ′(x)= 132 31 + ⋅ x f ′(x)= 4 3 , т.е. 4 3 132 3 = +x ⇒ 13 +x =2, www.5balls.ru
- 34. 36 3x+1=4, x=1 () 21131 =+⋅=f искомая точка (1,2). 3) k=tg α =f ′(x), f ′(x)=2cos 2x, f ′(x)=2, тогда 2cos 2x=2, cos 2x=1 ⇒ 2x=2πn, n∈Z. x=πn, n∈Z, sin(2πn)=0, искомая точка: (πn; 0), n∈Z. 4) k=tg α =f ′(x), f ′(x)=1+cos x, f ′(x)=0, т.е. 1+cos x=0, cos x= –1 ⇒ x=π+2πn, n∈Z; f(π+2πn)= π+2πn+sin (π+2πn)=π+2πn, n∈Z; искомая точка (π+2πn; π+2πn), n∈Z. № 867. f ′(x)= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222 2 4 2 22 2 2222 − −= − −−− = − +′−−−′+ xx xx x xxxx ; f ′(x)=tg ( 4 π − )= –1, тогда ( )2 2 4 − − x = –1, откуда (х–2)2 =4, x2 –4x+4–4=0 ⇒ x(x–4)=0 x1=0, y1= –1; x2=4, y2=3; искомые точки (0,–1), (4,3). № 868. Касательные параллельны, значит их углы наклона к Ох равны, т.е. tg α=f ′(x0)=g′(x0), f ′(x)=3x2 –1, g′(x)=6x–4, 3x2 –1=6x–4, 3x2 –6x+3=0, 3(x–1)2 =0 ⇒ x=1, уравнение касательной к y(x)=x3 –x–1 при х = 1: f(x0)=13 –1–1= –1, f ′(x0)=3⋅12 –1=2, y= –1+2(x–1), y=2x–3, уравнение касательной к g(x)=3x2 -4x+1 при х = 1: g(x0)=3⋅12 - 4⋅1+1=0, g′(x)=6⋅1–4=2, y=0+2(x–1), y=2x–2, искомые точки (1, –1) и (1, 0). № 869. 1) (2x4 –x3 +3x+4)′=8x3 –3x2 +3; 2) (–x5 +2x3 –3x2 –1)′= –5x4 +6x2 –6x; 3) 33 2 3 2 3 22 2 3 1 6 1 6 3 2 xx xx x x −=−⋅⋅= ′ + −− ; 4) ( ) 4 34 44 3 26 4 1 8328 2 4 3 xx xxx x −−=⋅−⋅−⋅= ′ − −− ; 5) ((2x+3)8 )′=8⋅2(2x+3)7 =16(2x+3)7 ; 6) ((4–3x)7 )′=7⋅(–3)⋅(4–3x)6 =–21(4–3x)6 ; 7) ( ) ( )3 2 3 233 1 23 −⋅ = ′ − x x ; www.5balls.ru
- 35. 37 8) ( ) xxxxx 41)41( 2 41)41(2 41 41 1 −− = −− −⋅ −= ′ − . №870. 1) (ex –sin x)′=ex –cos x; 2) (cos x– ln x)′= –sin x– x 1 ; 3) (sin x– 3 › )′=cos x– 3 2 3 1 x⋅ ; 4) (6x4 –9ex )′=24x3 –9ex ; 5) ( x 5 +4ex )′= – 2 5 x +4ex ; 6) xxxx x x 2 11 2 1 3 3 ln 2 1 3 1 443 +−=+−= ′ + . № 871. 1) (sin 5x+cos(2x–3))′=5cos5x–2sin(2x–3); 2) (e2x –ln3х)′= 2e2x – x 1 ; 3) (sin(x–3)–ln(1–2x))′=cos(x–3)+ x21 2 − ; 4) (6sin 3 2x –e1– 3x )′=4cos 3 2x +3e1–3x . № 872. 1) (x2 cosx)′=(x2 )′cos x+x2 (cos x)′=2xcos x–x2 sin x; 2) (x3 ln x)′=3x2 ln x+ x x3 =3x2 ln x+x2 ; 3) (5x ex )′=5ex +5xex ; 4) (x sin 2x)′=sin 2x+2x cos 2x; 5) (e–x sin x)′= –e–x sin x+e–x cos x =e–x (cos x–sin x); 6) (ex cos x)′=ex cos x –ex sin x⋅= ex (cos x–sin x); № 873. 1) ( ) ( ) ( ) ( ) = + −−+ = + ⋅+−+ = ′ + + 22 424 22 322 2 3 1 2233 1 2113 1 1 x xxxx x xxxx x x ( )22 24 1 23 + −+ x xxx ; 2) ( ) ( ) ( ) ( )23 4 23 44 23 223 3 2 1 2 1 322 1 312 1 + − = + −+ = + ⋅−+ = ′ + x xx x xxx x xxxx x x ; 3) ( )2 1 sin)1cos( 1 sin + −+ = ′ + x xx x x ; 4) ( ) ( ) ( )22 1 1 ln1 1 1ln)1( 1 ln xx xxx x xx x x x − +− = − −⋅−− = ′ − . www.5balls.ru
- 36. 38 № 874. 1) (sin3 x)′=3sin2 x⋅cosx; 2) (8cos x )′=8cos x ln 8⋅(–sin x)= –8cos x ln8⋅sin x; 3) (cos4 x)′=4cos 3 x⋅(–sin x)= –4cos3 x sin x; 4) (ln(x3 ))′= 3 1 x ⋅3x2 = x 3 . № 875. 1) f ′(x)=(2x3 –x2 )′=6x2 –2x, f ′(x)=0, 2x(3x–1)=0 ⇒ x1=0, x2= 3 1 , f ′(x)>0 при x<0, x> 3 1 , f ′(x)<0 при 0<x< 3 1 , 3 1 x0 + +– 2) f ′(x)=(–3x2 +2x2 +4)′= –9x2 +4x, f ′(x)=0, x(–9x+4)=0 ⇒ x1=0, x2= 9 4 ; f ′(x)>0 при 0<x< 9 4 , f′(x)<0 при x<0, x> 9 4 ; 9 4 x0 – –+ 3) f ′(x)=(x5 –5x3 –20x)′=5x4 –15x2 –20, f ′(x)=0, 5(x4 –3x2 –4)=0, D=9+16=25 x2 = 2 53 + =4, x1,2=± 2, x2 = 2 53 − = –1<0 — не существует корней f ′(x)>0 при x<–2 и x>2, f ′(x)<0 при –2<x<2 2 x–2 + +– 4) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )=−++−+= ′ −+=′ 43243343)( 32223 xxxxxxxf ( ) ( ) ( ) )65)(4(3)62123(43 22 −−+=++−−+= xxxxxxx , f ′(x)=0 ⇒ x1= –3, x2=4, x3= 5 6 . f ′(x)>0 при x<–3, –3<x< 5 6 , x>4, f ′(x)<0 при 5 6 <x<4 5 6 4 x–3 + +–+ 5) f ′(x)= ( ) ( )22 2 7 2 13)2(3 2 13 − − = − −−− = ′ − + xx xx x x x≠2 www.5balls.ru
- 37. 39 f ′(x)=0 такихх не существует; f ′(x)>0 таких х не существует f ′(x)<0 при всех х, кроме х=2 6) f ′(x)=(x2 + x 2 )′=2x– 2 2 x , x≠0, f ′(x)=0, 2x3 –2=0, x3 =1, x=1. f ′(x)>0 при x>1, f ′(x)<0 при x<0 и 0<x<1. 1 x0 +–– № 876. 1) f (x)=cos x⋅sin x= 2 1 sin 2x, f ′(x)= 2 1 ⋅2⋅cos 2x=cos 2x, f ′(x0)=cos 2⋅ 6 π = 2 1 3 cos = π ; 2) f(x)=ex ln x, f ′(x)= ex ln x+ x ex , f ′(1)= e1 ln 1+ 1 e1 =0+e=e; 3) f ′(x)= ( ) xx x ctgx 2 sin 2 sin cos2 2 −=′= ′ , f ′( 4 π )= 4 2 sin 2 π − = –2⋅2= –4; 4) f ′(x)= ( )2 1 1 1 x xx x e exe e x + ⋅−+ = ′ + , f ′(0)= ( ) 2 1 2 2 1 01 220 00 == + ⋅−+ e ee . № 877. 1) y(3)=32 –2⋅3=9–6=3, y ′(x)=2x–2, y′(3)=6–2=4, y=3+4(x–3), y=4x– 9; 2) y(3)=27+9=36, y ′(x)=3x2 +3, y′(3)=27+3=30, y=36+30(x–3), y=30x–54; 3) y( 6 π )=sin 2 1 6 = π , y ′(x)=cos x, y′( 6 π )= 2 3 , y= ) 6 ( 2 3 2 1 π −+ x , y= 12 3 2 1 2 3 π −+x ; 4) y( 3 π )=cos 2 1 3 = π , y ′(x)= –sin x, y′( 3 π )= – 2 3 , y= ) 3 ( 2 3 2 1 π −− x , y= 6 3 2 1 2 3 π −+− x . № 878. s(4)=0,5⋅42 +3⋅4+2=8+12+2=22(м), v(t)=s′(t)=0,5⋅2t+3=t+3, v(4)=4+3=7 (м/с). www.5balls.ru
- 38. 40 № 879. 1) y′=(cos2 3x)′=2cos3x⋅3(–sin 3x)= –3sin 6x; 2) y=(sin x cos x +x)′=cos2 x–sin2 x+1=cos 2x+1; 3) y′=((x3 +1)cos 2x)+1)′=3x2 ⋅cos 2x +(x3 +1)⋅2⋅(–sin 2x)= =3x2 cos 2x–2(x3 +1)sin 2x; 4) y′=(sin2 2 x )′=2 sin 2 1 2 ⋅ x ⋅cos 2 x = 2 1 sin x; 5) y′= ( ) 33 3 23 2 3 15 3 123 3 2 )1(1 3 1 x x x xx xxxxx ⋅ + = ⋅ ++ =⋅⋅++= ′ + − ; 6) y′= ( )( ) ( ) =⋅−+ −⋅ − = ′ −− 33 3 2 4 43 41 13 1 11 xx x x xx ( ) ( )3 2 34 3 2 34 13 11213 13 )1(121 −⋅ −− = −⋅ −+− = x xx x xxx . № 880. 1) y′= ( ) ( ) ( ) = −−−+−− = ′ + − 2 2xcos+1 2sin22cos1)2cos1)(2sin(2 2cos1 2cos1 xxxx x x ( ) = −++ = 2 2xcos+1 2cos2sin22sin22cos2sin22sin2 xxxxxx ( ) ( ) x x x x x+ x 4222 cos 2sin cos2 2sin4 2cos1 2sin4 === ; 2) y′= = +⋅ −− = +− + ⋅ = ′ + xx xx x x x x x x 4162 3284 16 44 42 41 4 22 xx x xx x + −− = +⋅ −− = 48 8 4162 324 22 ; 3) y′= 2)2(2 4 2)2(2 42 2 22 2 2 ++ + = ++ −+ = + + −+ = ′ + xx x xx xx x x x x x x 4) y′= = ′ − + xx xx cossin cossin ( )( ) ( )( ) ( ) = − ++−−− = 2 cossin cossinsincoscossinsincos xx xxxxxxxx = − −−−−+− = x xxxxxxxx 2sin1 coscossin2sincoscossin2sin 2222 www.5balls.ru
- 39.
- 40. 38 № 881. 1) ()( ) ( ) 2ln1 23 1log 23 3 23 2 +− − = ′ −− xx xx xx ; 2) ( )( ) ( ) 2ln ln3 2ln log3 log 3 22 23 2 x x x x x = ⋅ = ′ ; 3) ( )( ) ( ) 3ln logcos logsin 3 3 x x x =′ ; 4) (cos 3x )′= –sin 3 x ⋅3 x ⋅ln 3. № 882. y′=(e–x )= –e–x график г) у=ψ(x); y′=(ln(–x))′= xx 11 = − − график a) y=f(x); y′=(sin2x)=2cos 2x график в) y=ϕ(x); y′=(2cos x)′= –2sin x график б) y=g(x). № 883. 1) f ′(x)=(2 x +2 –x )′=2 x ln2–2 –x ln 2, f ′(x)=0, ln2(2 x –2 –x )=0, ln2 ≠0, 2 x –2 –x =0, 2 x =2 –x ⇒ x= –x, x=0, f ′(x)>0 при x>0; f ′(x)<0 при x<0; 0 x +– 2) f ′(x)=(3 2x –2xln3)′=2⋅3 2x ln3–2ln 3 f ′(x)=0, ln3(3 2x –1)=0, 2ln3 ≠0, 3 2x –1=0⇒3 2x =1⇒3 2x =30 ⇒ 2x=0, x=0. f ′(x)>0 при x>0; f ′(x)<0 при x<0; 0 x +– 3) f ′(x)=(x+ln2x)′=1+ x2 2 =1+ x 1 , x>0, f ′(x)=0, 1+ x 1 =0 ⇒ x= –1, f ′(x)>0 при x>0; f ′(x)<0 не существует; 0 x – 1 +–+ 4) f ′(x)=(x+ln(2x+1))′=1+ 1+2 2 x , 2x+1>0 f ′(x)=0, 1+ 1+2 2 x =0 ⇒ 1+2 32x x + =0 ⇒ х= 2 3 − f ′(x)>0 при x> 2 1 − ; f ′(x)<0 не существует www.5balls.ru
- 41. 39 2 1 − 2 3 − x +– 5) f ′(x)=(6x–xx )′=6– x 2 3 , x>0, f ′(x)=0, 6– x 2 3 =0, x =4, х=16, f ′(x)>0 при 0<x<16; f ′(x)<0 при x<16; 0 16 x + – 6) f ′(x)=((x+1) 1+x –3x)′= 1+x 2 3 –3, x>–1, f ′(x)=0, 1+x3 –6=0 ⇒ 1+x =2 ⇒ х+1=4, x=3, f ′(x)>0 при x>3; f ′(x)<0 при –1<x<3. –1 3 x +– № 884. f ′(x)=3x2 +6x+a, f ′(x)≥0, 3x2 +6x+a≥0, f ′(x)≥0 при всех х, если 4 D =9–3а≤0, откуда 3а≥9. Ответ: a≥3. № 885. f ′(x)=3ax2 –12x–1, f ′(x)≤0 при всех х, если 3ax2 –12x–1≤0, т.е. при −≤ ⇒ −≤ ⇒ ≤+= 12a 0<a 363a 0<a 0a336 4 0<a3 D . Ответ: а≤–12. № 886. 1) f ′(x)=2ax+ 3 x 2 , f ′(x)=0, x≠0, ax+ 3 x 1 =0, ax4 =1, x4 = – a 1 , уравнение не имеет дейcтвительных корней, если а≥0; 2) f ′(x)=a– 2 x 1 , f ′(x)=0, x≠0, a– 2 x 1 =0, ax2 =1, x2 = a 1 , уравнение не имеет действительных корней, если а≤0; 3) f ′(x)=3ax2 +6x+6 f ′(x)=0, 3ax2 +6x+6=0, ax2 +2x+2=0, уравнение не имеет действительных корней, если 4 D =1–2а<0 ⇒ a> 2 1 ; 4) f ′(x)=3x2 +12x+a f ′(x)=0, 3x2 +12x+a=0, www.5balls.ru
- 42. 40 уравнение не имеетдействительных корней, если 4 D =36–3а<0 ⇒ 3a>36, a>12. № 887. 1) f ′(x)=7ax6 +3x2 , f ′(x)<0, 7ax6 +3x2 <0 ⇒ x2 (7ax4 +3)<0, x2 >0, 7ax4 -3<0, 7ax4 <–3, ax4 <– 7 3 , если a>0, x4 < a7 3 — не имеет решений при а≥0, если а<0, x4 > a7 3 — решения существуют. 2) f ′(x)=5x4 +3ax2 , f ′(x)<0, x2 (5x2 +3a)<0, x2 ≥0 ⇒ 5x2 +3a<0 ⇒ 5x2 <–3a, x2 < 5 3a − – неравенство не имеет действительных корней при a≥0; 3) f ′(x)= x2 a+x3 x2 a+x x =+ , f ′(x)<0; x>0, x2 a+x3 <0, x2 >0⇒3x+a<0 ⇒ x< > −< 0 3 a x x – система не имеет решения при a≥0; 4) f ′(x)=1– 2 x a , f ′(x)<0, 2 2 x x a− <0, x2 >0 ⇒ x2 –a<0 ⇒ x2 <a – неравенство не имеет решения при a≤0. № 888. 1) Точка пересечений графиков: x−62=x2 ⇒ x=6–x, 2x=6, x= 2 6 =3, y′= x 1 x2 12 = ⋅ , tg α1=f ′(x0)= 3 1 ⇒ α1= 6 π , y= x−62 ; y′= x− − 6 1 ; tg α2=f ′(x0)= 3 1 36 1 −= − − ⇒ α2= 6 5π , β= 3 2 66 5 π = π − π ; 2) Точка пересечения графиков: 1+2x =1 ⇒ 2x+1=1 ⇒ x=0, y= 1+2x , y′= 1+2x 1 , www.5balls.ru
- 43. 41 tg α1=f ′(x0)= 1+02 1 ⋅ =1⇒ α1= 4 π , y=1, y′(x)=0, tg α2=f ′(x0)= 0 ⇒ α2=0, β= 4 0 4 π =− π . № 889. 1) y(x0)=2⋅sin 4 3π =2⋅ 2 2 2 = , y′(x)=cos 2 x , y′(x0)=cos 2 2 4 3 −= π , y= π − 2 3 -x 2 2 2 , y= 4 23 2+x 2 2 ⋅π +− ; 2) y(x0)=2–2 –2–4 = 16 3 16 1 4 1 =− , y′(x)= –2–x ln2+2⋅2 –2x ln2, y′(x0)=ln2⋅(2⋅2–4 –2 –2 )=ln2 8 1 4 1 8 1 −= − ln2, y= 8 1 16 3 − ln2(x–2), y= 8 1 − ln2⋅x+ 4 1 16 3 + ln2; 3) y(x0)= 23 22 − + =4, y′(x)= ( ) ( ) ( ) ( )22 x-3 5 x-3 2+xx-3 = + , y′(x0)= ( )2 2-3 5 =5, y=4+5(x–2), y=5x–6; 4) y(x0)=e+lne=e+1, y′(x)=1+ x 1 , y′(x0)=1+e–1 , y=e+1+(1+ e 1 )(x-e), y=(1+ e 1 )x+1–1+e–e, y= e 1)x+(e . № 890. y′(x)=x2 –5x, y2′=6, x2 –5x=6 ⇒ x2 –5x–6=0, D=25+24=49, x1= 2 75+ =6, x2= 2 75− = –1; 1) x=6, y(6)= 2 365 3 216 ⋅ − =72–90= –18, y′(6)=36–30=6, y= –18+6(x–6), y=6x–54; 2) x= –1, y(–1)= ( ) 6 17 2 5 3 1 1 2 5 1 3 1 −=−−=⋅−−⋅ , y′(–1)=1+5=6, y= 6 17 − +6(x+1), y=6x+ 6 19 . www.5balls.ru
- 44. 42 № 891. y′= 2 x 4 −, y(1)=4, y′(1)= –4, y=4–4(x–1), y= –4x+8. Касательная пересекается с осями в точках А (0,8) и В(2,0). S∆AOB= 2 1 OB⋅OA= 2 1 ⋅8⋅2=8 (кв. ед.). № 892. y′= 2 x k − , y(x0)= 0x k , y′(x0)= 2 0x k − , yкас= 2 00 x k x k − (x–x0), yкас= 0 2 0 x 2k x x k +− ; 1) Точки пересечения с осями координат: А (0, 0x 2k ), В(2х0,0), S∆AOB= 2 1 АО⋅OB= 2 1 ⋅ 0x 2k ⋅2х0=2k – не зависит от х0; 2) Подставим точки (х0, 0x k ) и (2х0, 0) в уравнение касательной 0x k =у=– 2 0x k ⋅х0+ 0x 2k = 0x k – подходит, значит, принадлежит касательной 0=у=– 2 0x k ⋅2х0+ 0x 2k =0 – подходит, значит, эта точка принадлежит каса- тельной. № 893. y(1)=1–p y′(x)=3x2 –p, y′(1)=3–p, y=1–p+(3–p)(x–1), y=(3–p)x+1–p–3+p, y=(3–p)x–2. Координаты точки М должны удовлетворять этому уравнению. 3=(3–p)=2–2 ⇒ 3–p= 2 5 ⇒ p= 2 1 . № 894. y′= = ⋅− = − 4ln 4ln24ln4 4ln 2ln24ln4 2 11+xx1+xx 22x –2 x y′=2, т.е. 22x –2 x =2, 22x –2 x –2=0 — это квадратное уравнение относи- тельно 2х D=1+8=9, 2 х = 2 31+ =21 , х=1; 2х = 2 31− –1<0 – нет корней; www.5balls.ru
- 45. 43 у(1)= 4ln 24 21 − =0. Ответ: искомаяточка (1,0). № 895. y′=ln x +1, x>0, y′=0, ln x +1=0 ⇒ ln x = –1 ⇒ x=e –1 , y(e–1 )= e 1 e 1 e ln e 1 −= − = . Расстояние от касательной до оси абцисс: l=0–y=0+ e 1 = e 1 . № 896. Пусть х0 – точка касания, тогда у(x0)=1+lnx0, y′(x)= x 1 , y′(x0)= 0x 1 , y=1+lnx0+ 0x 1 (x–x0), y= 0x x +1+ln x0–1, y= 0x x +lnx0. Учитывая, что у=ах–2, получаем систему: = ⇒ 2 2- 0 0 0 e=a ex lnx=2- x 1 =a . Ответ: а = е2 . № 897. Пусть х1 – точка касания графика функции f(x), тогда f(x1)=x1 2 –4x1+3, f ′(x)=2x–4, f ′(x1)=2x1–4, y=x1 2 –4x1+3+(2x1–4)(x–x1), y=(2x1–4)(x)+x1 2 –4x1+3–2x1 2 +4x1 y=(2x1–4)x+(3–x1 2 ). Пусть х2 – точка касания графика функции g(x) g(x2)= –x2 2 –+6x2–10, g ′(x)= –2x+6, g ′(x2)= –2x2+6, y= –x2 2 +6x2–10+(6–2x2)(x–x2) y=(6–2x2)x–x2 +6x2–10–6x2+2x2 2 y=(6–2x2)x+(x2 2 –10) Т.к. это одна и та же касательная, то x5x x310x x264x2 x310x 21 2 1 2 2 21 2 1 2 2 ⇒ −= −=−⇒ −=− −=− =+− −= ⇒ −+−=− −= 012x10x x5x xx1025310x x5x 2 2 2 21 2 22 2 2 21 x2 2 –5x2+6=0, D=25–24=1, x2= 2 15 ± =3, x2=2; x2=3, y= –1 и y= –6+2x – две общие касательные. www.5balls.ru
- 46. 44 № 898. Пусть х1– точка касания, тогда y(x1)=x1 3 –6, y′(x)=3x2 , y′(x1)=3x1 2 , y= x1 3 –6+3x1 2 (x–x1), y=3x1 2 ⋅x+(–2x1 3 –6). Точки пересечения с осями координат: А(0, –2x1 3 –6), В ( ( ) 2 1 3 1 x 3x 3 2 + , 0), S∆AOB= 2 1 ⋅(–2x1 3 –6)⋅ ( ) 2 1 3 1 x 3x 3 2 + = – 2 1›3 2 (х1 3 +3)2 . Но те же рассуждения можно провести для х2 – второй точки касания. y=3x2 2 ⋅x+(–2x2 3 –6), SCOD= 2 2›3 2 − (х2 3 +3)2 . Эти касательные параллельны, так что коэффициенты при х должны быть равны, т.е. 3x1 2 =3x2 2 , x1 2 =x2 2 либо x1=x2 – тогда точки совпадают, но у нас две разные прямые либо x1= –x2 4SAOB= SCOD −= +−=+ ⋅− 21 23 22 2 3 12 1 3)(x 3 2 3)(x 3 24 xx xx 4(х1 3 +3)2 =(–х1 3 +3)2 , 4х1 6 +24х1 3 +36=9–6х1 3 +х1 6 3х1 6 +30х1 3 +27=0, х1 6 +10х1 3 +9=0 4 D =25–9=16, х1 3 = –5+4= –1, х1= –1, х1 3 = –5–4= –9, х1= 3 9− , SAOB= ( ) 3 8 3 8 31 13 2 2 =−=+− ⋅ − , SAOB= ( ) 33 2 3 2 3 8 39 362 39 93 2 = ⋅ =+−⋅ ⋅ − . www.5balls.ru
- 47. 45 IX глава. Применениепроизводной и исследованию функций § 49 Возрастание и убывание функции № 899. f ′(x)=2x– 2 x 2 , x≠0, f ′(x)>0, 2(x– 2 x 1 )>0, x2 >0, x3 –1>0, x3 >1, x>1 – возрастает; f ′(x)<0, x<0, 0<x<1 – убывает; 0 x +– 1 – № 900. 1) y′=2x–1, y’>0, 2x–1>0, > 1 2 – возрастает; y′<0, 2x–1<0, x< 2 1 – убыва- ет; 2)y′=10x–3, y′>0, 10x–3>0, x> 10 3 – возрастает; y′<0, 10x–3<0, x< 10 3 – убывает; 3) y′=2x+2, y′>0, 2x+2>0, x>–1 – возрастает; y′<0, 2x+2<0, x<–1 – убывает; 4) y′=2x+12, y′>0, 2x+12>0, x>–6 – возрастает; y′<0, 2x+12<0, x<–6 – убывает; 5) y′=3x2 –3, y′>0, 3x2 –3>0, x2 >1, x<–1, x>1 – возрастает; y′<0, 3x2 –3<0, x2 <1, –1<x<1 – убывает; 6) y′=4x3 –4x, y′>0, 4x(x2 –1)>0 при –1<x<0, x>1 – возрастает; y′<0, 4x(x2 –1)<0 при x<–1, 0<x<1 – убывает; 0 x + – 1 – –1 + 7) y′=6x2 –6x–36, y′>0, x2 –x–6>0. Решим уравнение x2 –x–6=0: D=1+24=25, x1= 1 5 2 + =3, x2= 1 5 2 − = –2. при x<–2, x>3 – возрастает; y′<0 при –2<x<3 – убывает; –2 x + – 3 + 8) y′=3x2 –12x, y′>0 3x(x–4)>0 при x<0, x>4 –возрастает; y′<0 при 0<x<4 – убывает; www.5balls.ru
- 48. 46 0 x + – 4 + №901. а) б) № 902. 1) y′= – 2 2)(x 1 + x≠–2, y′>0: – 2 2)(x 1 + >0 – не выполняется ни при каких x∈R, т.к. (x+2)2 >0, y′<0: – 2 2)(x 1 + <0 выполняется при всех x∈R, исключая х= –2 функция убывает при x<–2, x>–2 2) y′= – 2 x 2 , x≠0, y′>0, – 2 x 2 >0 не выполняется ни при каких x∈R, т.к. x2 >0, y′<0, – 2 x 2 <0 выполняется при всех x∈R, исключая х=0, функция убывает при x<0, x>0 3) y′= 3-x2 1 − , x>3, y′>0: 3-x2 1 − >0 не выполняется ни при каких x∈R, т.к. 3-x >0; y′<0: 3-x2 1 − <0 выполняется при всех x>3, функция убывает при x>3; 4) y′= 5-x2 3 , x>5, y′>0: 5-x2 3 >0 выполняется при всех x>5, y′<0: 52 3 x- <0 не выполняется ни при каких x∈R, т.к. 5-x >0 функция возрастает при x>5. www.5balls.ru
- 49. 47 № 903. 1) y′= () ( )22 24 22 322 3x 9xx 3x 2x3)(x3x + + = + ⋅−+ x , y′>0: ( )22 24 3x 9xx + + >0 верно при всех х∈R; y′<0: ( )22 24 3x 9xx + + <0 не верно ни при каких х∈R. Функция возрастает при всех х∈R. 2) y′= 33222 2 x 10x32 x 32 x 10 x 16 x 10 1 x 1610xx- − =+−= ′ −+−= ′ −+ ; 0 x – + 3,2 – y′>0 при х3 (32–10х)>0, 0<x<3,2 – возрастает; y′>0, x<0, x>3,2 – убывает. 3) y′=e3x +3e3x (x–1)=3e3x ⋅x–2e3x (3x–2), y′>0: e3x (3x–2)>0 ⇒ e3x >0 и 3x–2>0 ⇒ при x> 3 2 функция возрастает; y′<0: e3x (3x–2)<0 ⇒ e3x >0 и 3x–2<0 ⇒ при x< 3 2 функция убывает; 4) y′=e–3x –3xe–3x =e–3x ⋅(1–3x) y′>0: e–3x (1–3x)>0 ⇒ e–3x >0 и 1–3x>0⇒ при x< 3 1 функция возрастает y′<0: e–3x (1+3x)<0⇒e–3x >0 и (1–3x)<0⇒ при x> 3 1 функция убывает. № 904. 1) y′=(2x+3) ex2 3x+ ; y′>0: 2x+3) ex2 3x+ >0 ⇒ ex2 3x+ >0 и 2x+3>0 ⇒ при x> 2 3 − – функция возрастает; y′<0: (2x+3) ex2 3x+ <0 ⇒ ex2 3x+ >0 и 2x+3<0⇒ при x< 2 3 − – функция убывает; 2) y′=(2x–1) 3x2 x− ln3; y′>0: (2x–1) 3x2 x− ⋅ln3>0 ⇒ 3x2 x− ln3>0 и 2x–1>0 ⇒ при x> 2 1 – функ- ция возрастает; y′<0: (2x–1) 3x2 x− ⋅ln3<0 ⇒ 3x2 x− ln3>0 и 2x–1<0 ⇒ при x> 2 1 – функ- ция убывает. www.5balls.ru
- 50. 48 № 905. 1) y′=1–2cos2x, y′>0: 1–2cos 2x>0 ⇒ cos 2x< 2 1 , 3 π +2πn<2x< 3 5π +2πn ⇒ 6 π +πn<x< 6 5π +πn, n∈Z – функция возрастает; y′<0: 1–2cos 2x<0 ⇒ cos 2x> 1 2 , – 3 π +2πn<2x< 3 π +2πn ⇒ – 6 π +πn<x< 6 π +πn, n∈Z – функция убывает; 2) y′=3–6sin3x, y′>0: 3–6sin3x>0 ⇒ sin 3x< 2 1 ; 6 5π +2πn<3x< 6 13π +2πn ⇒ 3 2 18 5 nπ + π <x< 3 2 18 13 nπ + π , n∈Z – функция возрастает; y′<0: 3–6sin3x<0 ⇒ sin 3x> 2 1 ; 6 π +2πn<3x< 6 5π +2πn ⇒ 3 2 18 nπ + π <x< 3 2 18 5 nπ + π – функция убывает № 906. № 907. 1) y′= 3x2 –a возрастает, значит у′>0 при всех x∈R y′>0, 3x2 –a>0, x2 > 3 a , a<0; 2) y′=a–cos x, y′>0, a–cos x>0, cos x <a, a>1. № 908. y′=3x2 –4x+a функция возрастает на R, если y′>0 при всех х 3x2 –4x+a>0 неравенство выполняется при любых х, если 4 D =4–3а<0, a> 3 4 . (Опечатка в ответе задачника). № 909. y′=3ax2 +6x–2 функция убывает на R, если y′<0 при всех х 3ax2 +6x–2<0 неравенство выполняется при любых х, если www.5balls.ru
- 51. 49 −<+= < 2 3 <a 0<a 06a9 4 D 03a отсюда а< 2 3 − . §50 Экстремумы функции № 910. .3,2;5,5 2121 minminmaxmax =−==−= xxxx № 911. x1= –7, x2= –4, x3= –3, x4= –2, x5= –1, x6=1, x7=3, x8=4. № 912. 1) y′= 2 x 8 2 1 x 8 2 x −= ′ + , y′= 2 x 8 2 1 − =0 ⇒ 2 1 x 8 2 = ⇒ x2 =16 ⇒ x1,2=±4; 2) y′=6x2 –30x+36, y′=0 ⇒ 6(x2 –5x+6)=0, D=25–24=1, x1= 2 15 + =3, x2= 2 15 − =2; 3) y′=2e2x –2ex , y′=0, 2ex (ex –1)=0⇒2ex >0 и ex –1=0 ⇒ ex =1 ⇒ ex =e0 ⇒ x=0. 4) y′=cos x +sin x, y′=0 ⇒ cos x +sin x=0, 2 (cos x 2 2 +sin х 2 2 )=0 ⇒ 2 cos (x– 4 π )=0, x– π 4 = π 2 +πn, n∈Z, x= 3 4 π +πn, n∈Z. № 913. 1) y′= 2 22 x x x −= ′ + +1, 2 2 x =1, x2 =2 ⇒ x=± 2 ; 2) y′= 2 2x 3 2 1 2x 3 2 x −= ′ + , y′=0 ⇒ 2 2x 3 2 1 = ⇒ x2 =3 ⇒ x=± 3 ; 3) y′=2x⋅ ех2 1− , y′=0 ⇒ 2x⋅ ех2 1− =0 ⇒ ех2 1− >0 и 2x=0 ⇒ x=0; 4) y′= 2х х2 + ⋅ln 2⋅(2x+1), y′=0 ⇒ 2х х2 + ⋅ln 2⋅(2x+1)=0 ⇒ 2х х2 + ⋅ln 2>0 и 2x+1=0, x= − 1 2 . № 914. 1) y′=4x–20 y′=0 при х=5 – ста- ционарная точка. При переходе через х=5 у′ меняет знак с ‘–’ на ‘+‘. х=5 – точка минимума x – + 5 www.5balls.ru
- 52. 50 2) y′=6x+36 y′=0при х= –6 При переходе через х= –6 у′ меняет знак с ‘–’ на ‘+‘. Следовательно х= –6 – точка минимума 3) y′= 2 x 5 5 1 − , y′=0, 2 x 5 5 1 = , x≠0, x2 =25, x=±5. При переходе через точку х= –5 у′ меняет знак с ‘+’ на’ ‘ , значит х= –5 – точка максимума, а через х=5 - с’–‘ на ‘+’, значит х=5 - точка минимума. –5 0 x – + 5 –+ 4) y′= 16 14 2 +− x , y′=0, 2 4 16 1 x = , x≠0, x2 =64, x=±8. При переходе через точку х= –8 у′ меняет знак с ‘+’ на ’–‘ , значит х= –8 – точка максимума, а через х=8 с’–‘ на ‘+’, значит х=8 - точка минимума. –8 0 x – + 8 –+ № 915. 1) y′=3x2 –6x, y′=0, 3x(x–2)=0 ⇒ x=0, x=2, x=0 – точка максимума; x=2 – точка минимума; у(0)=03 –3⋅02 , у(2)=23 –3⋅22 =8–12= –4; 0 x + – 2 – 2) y′=4x3 –16x, y′=0, 4x(x2 –2)=0 ⇒ x=0, x=2, х= –2, x= –2 – точка минимума; х=0 – точка максимума; x=2 – точка минимума; f(–2)=(–2)4 –8⋅(–2)2 +3=16–32+3= –13, f ′(0)=04 –8⋅02 +3=3 f ′(2)=24 –8⋅22 +3=16–32+3= –13; – –2 0 x + – 2 + 3) y′=1+cos x, y′=0, cos x = –1 ⇒ x=π+2πn, n∈Z. При переходе через х=π у′ не меняет знак, значит, х=π не является точ- кой экстремума. π− π – x + – + π3 4) y′= –2sin x +1, y′=0, sin x = 2 1 ⇒ x1= 6 π +2πn, n∈Z; x – + –6 www.5balls.ru
- 53. 51 6 π x + –+ 6 5 π x2= 6 5π +2πn, n∈Z; x= 6 π +2πn, n∈Z – точка максимума; x= 6 5π +2πn, n∈Z – точка минимума; y( 6 π +2πn)=2cos 6 π + 6 π +2πn= 3 + 6 π +2πn, y( 6 5π +2πn)=2cos ( 6 5π +2πn)+ 6 5π +2πn= – 3 + 6 5π +2πn, n∈Z. № 916. 1) y′=2, 2≠0 ⇒ нет точек экстремума; 2) y′= –5, –5≠0 ⇒ нет точек экстремума; 3) y′=3x2 +2, y′=0 ⇒ 3x2 +2=0 x2 = − 2 3 – нет точек экстремума; 4) y′= 1 2 1 х2 + , y′=0 ⇒ 1 2 1 х2 = − x2 = –2 – не существует точек экстре- мума. (Опечатка в ответе задачника). № 917. 1) № 918. 1) y′= 2 3x22 6x1 − ⋅ , 2–3x2 =0 ⇒ x2 = 2 3 ⇒ x=± 3 2 , y′=0 ⇒ 6x=0 ⇒ x=0; 2) y′= ( ) xx x 32 331 3 2 − − , x3 –3x=0 ⇒ х(х2 -3)=0 ⇒ х=0, x=± 3 , y′=0 ⇒ 3x3 –3x=0 ⇒ 3(x2 –1)=0 ⇒ x=±1; 3) y′= 1 1 1 1 < > − x x , x=1 – точка минимума; 4) y′=0, www.5balls.ru
- 54. 52 y′= − − ⇒=′ + − 2 1 2 1 12 12 0 0 0 12 12 2 1 =x =x x= x= y x< x> x x , x=0 –также являетсякритической точкой. № 919. 1) y′=1– x32 1 − , y′=0, x<3, x32 1 − =1⇒ 3 x− = 2 1 ⇒3–x= 4 1 ⇒x= 4 11 , 4 11 x + – + 3 x= 11 4 – точка максимума; 2) y′= 1x7 16 − ⋅ ,x>1 y′=0 – нет решений 3) y′=1–2cos 2x, y′=0, cos 2x= 2 1 ⇒ 2x=± 3 π +2πn, n∈Z; 6 π− x + – + 6 π x= 6 π +πn, n∈Z; x= 6 π +πn – точки максимума; x= – 6 π +πn – точки минимума; 4) y′= –3sin 3x–3, y′=0 ⇒ –3(sin 3x+1)=0 ⇒ sin 3x= –1 ⇒ 3x= 2 π − +2πn, n∈Z x + + 6 π x= 3 n2 6 π + π − , n∈Z; x= − + π π 6 2 n 3 – стационарная точка. № 920. 1) y′= ( ) ( ) ( )3 )2)(3(2323 4 322 = − −−+−−− x xxxx ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 4 2 3 )5(2 3 )2439(32 = x xx x xxxx − −− = − −++−−− y′=0, ( ) ( )3 2 3 )5(2 x xx − −− =0 ⇒ x=2, x=5 www.5balls.ru
- 55. 53 x=2 – стационарнаяточка; х=5 – точка максимума; 2 x – + – 3 5 – y(5)= ( ) ( ) 4 27 4 27 53 52 3 −= − = − − ; 2) y′= ( ) ( ) ( ) ( ) 1x 1 122)1(43 4 2322 ≠= − −⋅+−−+ x xxxxxx ( ) ( ) ( )3 23 4 2323 1 43 1 )4243(1-x = − −− = − −−−+ x xxx x xxxxx , y′=0 x(x2 –3x–4)=0, x= –1 – точка минимума; х=0 – точка максимума; х=4 – точка минимума; y(–1)= 4 1 )2( 21 2 = − +− , y(0)= = − + 2 )1( 00 0, y(4)= 3 32 9 96 3 3264 2 == + ; –1 0 x + – + 1 4 –+ 3) y′=e3 x +3(x–1)e 3 x =e 3 x (1+3x–3)=e3 x (3x–2), y′=0, e3 x (3x–2)=0 ⇒ e3 x >0 и 3х – 2 = 0 ⇒ x= 2 3 , x= 3 2 – точка минимума, y( 3 2 )= 3 e 3 1 2 2 −=⋅− e ; – 3 2 + x 4) y′=cos x +cos 2x, y′=0, cos x +cos 2x=0, cos x +cos 2 x–sin2 x=0, 2cos2 x+cos x–1=0, D=1+8=9, cos x= 2 1 4 31 = +− ⇒ x= ± π 3 +2πn, n∈Z, cos x= − −1 3 4 = –1 ⇒ x=π+2πn, n∈Z, x= π 3 +2πn, n∈Z – точка максиму- ма, x= 5 3 π +2πn, n∈Z – точка минимума, y( 3 π +2πn)=sin( 3 π +2πn)+ 2 1 sin( 3 2π +4πn)= 4 33 2 3 2 1 2 3 =⋅+ , π x – –+ π 3 5 3 π www.5balls.ru
- 56. 54 y( 3 5π +2πn)=sin ( 3 5π +2πn)+ 2 1 sin( 3 10π +4πn)= 4 33 2 3 2 1 2 3 −=⋅−− 2 ' 32 2 x x y − − = −=−2 3 x e 2 3 2 3 x e x x − − ; 0' =y при 0 3 2 3 2 = − − −x e x x , поскольку 0 2 3 >−x e , ищем 0 3 2 = − − x x , откуда х=0; При переходе через точку 0 производная у’ меняет свой знак на отрица- тельный, значит, х=0 – точка минимума, 303 )0( eey == − ; 6). xe e y x x − − = 2 1 ' ; 0'=y при 0 2 1 = − − xe e x x ; 0;;1;01 0 ====− xeeee xxx при переходе через точку 0 производная у’ меняет свой знак с отрицательного на положительный, значит, х=0 – точ- ка минимума, 10)0( 0 =−= ey . № 921 № 922 y′ = n(x + 1)n-1 ⋅ e-x – (x + 1)n ⋅ e-x = (x + 1)n-1 ⋅ e-x (n – x – 1), y′ = 0, (x + 1)n-1 ⋅ e-x (n – x – 1) = 0, – –+ –1 n-1 х n = 2k, x = -1 – точка минимума, х = n – 1 – точка максимума n = 2k + 1, (x + 1)n-1 = (x + 1)2k+1-1 = (x + 1)2k ≥ 0, x = n – 1 – точка максимума. www.5balls.ru
- 57. 55 § 51 Применениепроизводной к построению графиков функции № 923 1) область определения: -7 ≤ х ≤ 7, множество значений: -2 ≤ f(x) ≤ 2; 2) y(x) = 0 при х1 = -6, х2 = -4, х3 = 0, х4 = 4, х5 = 6; 3) функция возрастает при -5 < x < -2, 2 < x < 5, функция убывает при -7 < x < -5, -2 < x < 2, 5 < x < 7; 4) f(x) > 0 при –7 < x < -6, -4 < x < 0, 4 < x < 6, f(x) < 0 при –6 < x < -4, 0 < x < 4, 6 < x < 7; 5) xmax = -7, xmax = -2, xmax = 5, xmin = -5, xmin = 2. № 924 1) 2) № 925 № 926 1) у = х3 – 3х2 + 4; 1.область определения – множество R; 2. y′ = 3x2 – 6x; 3. y′ = 0, 3x(x – 2) = 0, x = 0, x = 2; 4. y′ > 0, x < 0, x > 2 – возрастает; у′ < 0, 0 < x < 2 – убывает; 5. х = 0 – точка max, т.к. при переходе через нее меняется знак y’ с «+» на «-». у(0) = 4, х = 2 – точка min, т.к. при переходе через нее меняется знак y’ с «-» на «+». у(2) = 8 – 12 + 4 = 0. x x < 0 0 0 < x < 2 2 x < 2 F’(x) + 0 – 0 + www.5balls.ru
- 58. 56 f(x) 4 0 2)у = 2 + 3х – х3 1. область определения – множество R; 2. y′ = 3 – 3x2 3. y′ = 0 3(1 – x2 )=0; x2 – 1=0; x = 1, x = -1 4. y′ > 0; x2 < 1; -1 < x < 1, y′ > 0; x2 > 1; x < -1; x > 1; 5. x = -1 – точка минимума f(-1) = 2 – 3 + 1 = 0, x = 1 – точка максимума f(1) = 2 + 3 – 1 = 4; x x < -1 x = -1 -1 < x < 1 1 x > 1 F’(x) - 0 + 0 - f(x) 4 0 3) у = -х3 + 4х2 – 4х; 1. область определения – R; 2. y′ = -3x2 + 8x – 4; 3. y′ = 0; 3x2 – 8x + 4 = 0 D = 16 – 12 = 4; 2 3 24 1 = + =x , 3 2 3 24 2 = − =x ; 4. y′ > 0; 3x2 – 8x + 4 < 0, 2x 3 2 << , y′ < 0; 3x2 – 8x + 4 > 0, 2x 3 2 << x > 2. x x < 3 2 3 2 3 2 < x < 2 2 x > 2 www.5balls.ru
- 59. 57 F’(x) – 0+ 0 - f(x) 27 32 − 0 5. 3 2 =x - точка min 27 32 3 8 9 16 27 8 3 2 −=−+−= f , x = 2 – точка max f(2) = -8 + 16 – 8 = 0; 4) y = x3 + 6x2 + 9x; 1. область определения – R; 2. y′ = 3x2 + 12x + 9; 3. y′=0; x2 +4x+3=0, D=4–3=1, x1 = -2 – 1 = -3, x2 = -2 + 1 = -1; 4. y′>0; x2 +4x+3>0, x>-3, x>-1, y′ < 0; x2 + 4x + 3 < 0, -3 < x < -1; x x < -3 -3 -3 < x < -1 -1 x > -1 F’(x) + 0 – 0 + f(x) 0 -4 5. x = -3 – точка max; f(-3) = -27 + 54 – 27 = 0, x = -1 – точка min; f(-1) = -1 + 6 – 9 = -4. № 927 1) у = х4 + 8х2 – 16 1. область определения – R; 2. y′ = -4x3 + 16x; 3. y′ = 0; -4x(x2 – 4) = 0, x = 0, x = 2, x = -2; 4. y′ > 0; x(x – 2)(x + 2) < 0, www.5balls.ru
- 60. 58 –+ + -2 02 – x < -2, 0 < x < 2, y’ < 0 x(x – 2)(x + 2) > 0 -2 < x < 0 и x > 2. X x < -2 -2 -2<x<0 0 0<x<2 2 x>2 f’(x) + 0 - 0 + 0 - f(x) 0 -16 0 5. x = -2 – точка max; f(-2) = -16 + 32 – 16 = 0, x = 0 – точка min, f(0) = -16; x = 2 – точка max, f(2) = -16 + 32 – 16 = 0; 2) y = x4 – 2x2 + 2 1. область определения – R; 2. y′ = 4x2 – 4x; 3. y′ = 0; 4x(x2 – 1) = 0, x = 0, x = ±1; 4. y′ > 0; x(x2 – 1) > 0 – + –1 0 1 – + -1 < x < 0, x > 1, y′ < 0; x(x2 – 1) < 0 x < -1 0 < x < 1 X x < -1 -1 -1<x<0 0 0<x<1 1 x>1 f’(x) - 0 + 0 - 0 + f(x) 1 2 1 x = -1 – точка min, f(-1) = 1 – 2 + 2 = 1; x = 0 – точка max, f(0) = 0 + 0 + 2 = 2; x = 1 – точка min, f(1) = 1 – 2 + 2 = 1 3) 64 24 1 4 1 xxy ⋅−⋅= www.5balls.ru
- 61. 59 1. Область определения– R; 2. 53 4 1 ' xxy −= ; 3. y′ = 0; 0 4 1 1 23 = − xx , x = 0, x = ±2; 4. y’ > 0; ( ) 04 4 1 23 >− xx , + – -2 0 2 –+ x < -2, 0 < x < 2, y′ < 0; ( ) 04 4 1 23 <− xx , -2 < x < 0, x > 2; X x < -2 -2 -2<x<0 0 0<x<2 2 x>2 f’(x) + 0 - 0 + 0 - f(x) 3 4 0 3 4 5. х = -2 – точка max; ( ) 3 4 3 8 464 24 1 16 4 1 2 =−=⋅−⋅=−f , x = 0 - точка min; f(0) = 0 + 0 = 0, x = 2 – точка max; ( ) 3 4 2 =f ; 4) y = 6x4 – 4x6 1. Область определения – R www.5balls.ru
- 62. 60 2. y(-x) =6(-x)4 – 4(-x)6 = 6x4 – 4x6 = y(x) – четная, график симметричен относительно 0у. Исследуем на (0; +∞) 3. y′ = 24x3 – 24x5 4. y’ = 0, 24x3 (1 – x2 ) = 0, x = 0, x = ±1 5. x 0 (0, 1) 1 (1; +∞) f’(x) 0 + 0 - f(x) 0 2 x = 0 – точка min f(0) = 0 x = ±1 – точка max f(1) = f(-1) = 6 – 4 = 2 № 928 1) у = х3 – 3х2 + 2 1. Область определения [-1; 3] – по условию 2. y′ = 3x2 – 6x 3. y′ = 0; 3x2 – 6x = 0, 3x(x – 2) = 0, x = 0, x = 2 4. X -1 (-1; 0) 0 (0; 2) 2 (2; 3) 3 y’ + + 0 - 0 + + y -2 2 -2 2 max min 2) y = x4 – 10x + 9 на [-3, 3]; 1. Область определения [-3, 3]; 2. y′ = 4x3 – 20x; 3. y′ = 4x(x2 – 5) = 0, x = 0, x = 5± ; www.5balls.ru
- 63. 61 x -3 (-3;5− ) 5− ( )0;5− 0 ( )5;0 5 ( )3;5 3 y’ - 0 + 0 - 0 + y 0 -16 9 -16 0 min max min № 929 xmax = -3, 4; xmin = -6, 1, 6. № 930 1) у = 2 + 5х3 – 3х5 1. Область определения – R 2. y′ = 15x2 – 15x4 y′ = 0; 15x2 (1 – x2 ) = 0, x = 0, x = ±1 X x<-1 -1 -1<x<0 0 0<x<1 1 x>1 y’ - 0 + 0 + 0 - y 0 2 4 min max www.5balls.ru
- 64. 62 2) у =3х5 – 5х3 1. Область определения – IR 2. y′ = 15x4 – 15x2 y′ = 0; 15x2 (x2 – 1) = 0, x = 0, x = ±1 X x<-1 -1 -1<x<0 0 0<x<1 1 x>1 y’ + 0 - 0 - 0 + y 2 0 -2 max min 3) y = 4x5 – 5x4 1. Область определения – IR; 2. y' = 20x4 – 20x3 y′ = 0; 20x3(x – 1) = 0, x = 0, x = 1 x x < 0 0 0 < x < 8 1 x > 1 y’ + 0 - 0 + y 0 -1 max min www.5balls.ru
- 65. 63 4) xxxy 2 6 5 10 135 +−= ; 1. Область определения – R; 2. 2 2 5 2 ' 24 +−= xx y , y′ = 0; x4 – 5x2 + 4 = 0, D = 25 – 16 = 9, 4 2 352 = + =x , x = ±2, 1 2 352 = − =x , x = ±1, ( ) ( )xyxxxxy −=−+−=− 2 6 5 10 1 35 - нечетная функция, симметричная относительно 0. Продолжим рассуждение на (0; +∞) х 0 (0;1) 1 (1;2) 2 (2;+∞) y’ 0 + 0 - 0 + y 0 15 19 15 8 max min № 931 1) x xy 3 1 3 += ; 1. Область определения – R при х ≠ 0 2. ( ) ( )xy x xxy −=−−=− 3 1 3 - функция нечетная, график симметричен относительно 0. Рассмотрим его на (0; +∞) www.5balls.ru
- 66. 64 3. 2 3 1 3' x y −= ; 4.y′ = 0; 9x2 – 1 = 0, 3 1 ±=x ; x 3 1 ;0 3 1 +∞; 3 1 y’ - 0 + y 2 min 2) x x y −= 4 ; 1. Область определения х ≠ 0; 2. ( ) ( )xyx x xy −=+−=− 4 - функция нечетна и ее график симметричен относительно 0. Рассмотрим его на (0; +∞); 3. 1 4 ' 2 −−= x y ; 4. y′ = 0 4 + x2 = 0 – не существует стационарных точек; 5. пересечение с 0х: x x −= 4 0 ; х2 = 4, х = ±2; 6. если х → ∞, то у → -х, если х → 0, то у → ∞; 7. y > 0, 0 4 0 4 2 > − >− x x x x при 0 < x < 2; www.5balls.ru
- 67. 65 3) x xy 1 −= ; 1. Областьопределения x > 0; 2. xx y 2 1 1' += ; 3. y′ = 0; 0120 2 1 1 =+=+ xx xx , 2 13 −=x — нет стационарных точек; 4. у = 0 при 10 1 3 ==− x x x , х = 1; 5. если х → 0, то у → -∞, если х → ∞, то у → х; 6. y > 0; 10 1 3 >>− x x x , x > 1; № 932 1) у = хе-х 1. Область определения R; 2. y′ = e-x – xe-x = e-x (1 – x); 3. y′ = 0; e-x (1 – x) = 0, e-x > 0, x = 1, y′ > 0; 1 – x > 0, x < 1; X x < 1 1 x > 1 www.5balls.ru
- 68. 66 y’ + 0- Y e 1 2) y = xex 1. Область определения R; 2. y′ = ex + xex = ex (1 + x); 3. y′ = 0; ex (1 + x) = 0, x = -1; X x < -1 -1 x > -1 y’ - 0 + Y - e 1 min x = -1 – точка минимума; 3) 2 x ey = ; 1. Область определения R: 2. 2 2' x xey = ; 3. y′ = 0; 02 2 =x xe , x = 0; X x < 0 0 x > 0 www.5balls.ru
- 69. 67 y’ - 0+ Y 1 4) 2 x ey − = 1. Область определения – R: 2. 2 2' x exy ⋅−= 3. y′ = 0; 02 2 =⋅− x ex , x = 0 X x < 0 0 x > 0 y’ + 0 - Y 1 max № 933 1) 2 2 − = x x y 1. Область определения: х ≠ 2 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 22 2 2 2 4 2 4 2 42 2 22 ' − − = − − = − −− = − −− = x xx x xx x xxx x xxx y 3. y′ = 0 при ( ) ( ) 0 2 4 2 = − − x xx , х = 0, х = 4 www.5balls.ru
- 70. 68 1) X (-∞;0) 0(0;2) 2 (2;4) 4 (4;+∞) y’ + 0 - - 0 + Y 0 8 max min 2) x x x xx y 1 3 132 −+−= −+− = ; 1. Область определения х ≠ 0; 2. x y 1 1' +−= ; 3. y′= 0; 0 1 2 2 = +− x x , x = ±1, y = 0; x2 – 3x + 1 = 0, D = 9 – 4 = 5, 2 53± =x ; X (-∞;-1) -1 (-1;0) 0 (0;1) 1 (1;+∞) y’ - 0 + + 0 - Y 5 1 min max www.5balls.ru
- 71. 69 3) ( ) 44 24 2 24 2 2 2 2 +− −+ = − −+ = xx xx x xx y; 1. Область определения х = 2; 2. ( )( ) ( )( ) ( ) = − −+−−+−− = 4 22 2 24224441 ' x xxxxxx y ( ) ( )33 22 2 107 2 428824 − − = − +−−+−− = x x x xxxxx ; 3. y′ = 0; ( ) 7 10 0 2 107 3 == − − x x x ; 4. y = 0; 4 + x – 2x2 = 0, 2x2 – x – 4 = 0, D = 1 + 32 = 33, 4 331± =x ; X ∞− 7 10 ; 7 10 2; 7 10 2 (2;+∞) y’ + 0 - + Y 8 33 max № 934 1) Рассмотрим график функции у = х4 – 4х3 + 20. Его пересечение с у = 0 даст количество действительных корней исходного уравнения 1 Область определения R: 2. y′ = 4x3 – 12x2 ; 3. y′ = 0; 4x2 (x – 3) = 0, x = 0, x = 3 X (-∞;0) 0 (0;3) 3 (3;+∞) y’ - 0 - 0 + Y 20 -7 min www.5balls.ru
- 72. 70 Ответ: два корня. 2)у = 8х3 – 3х4 – 7 = 0 1. Область определения R: 2. y′ = 24x2 – 12x3 3. y′ = 0; 12x2 (2 – x) = 0, x = 0, x = 2 X (-∞;0) 0 (0;2) 2 (2;+∞) y’ + 0 + 0 - Y -7 9 max Ответ: два корня. № 935 ( )3 3 1 4 − − = x x y ; 1) Область определения х ≠ 1; 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − +−− = − −−−− = 4 323 6 3232 1 12333 1 41313 ' x xxx x xxxx y ( ) ( )4 2 1 43 − − x x 3) y′ = 0, ( ) ( ) 0 1 43 4 2 = − − x x , x = ±2; 4) X (-∞;-2) -2 (-2;1) (3;2) 2 (2;+∞) y’ - 0 + + 0 - Y 9 4 4 min max www.5balls.ru
- 73. 71 5) y =0, x3 = 4, 3 4=x , x = 0, y = 4; 6) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 23 3 3 1 333 1 1 3331 1 4 − −− += − −−+− = − − x xx x xxx x x , x → ∞ y → 1. Т.к. (0,9) > 0 y(1,1) < 0, то слева от х = 0 у → +∞, а справа растет от -∞ 7) Рассмотрим график; 9 4 <c имеем один корень; 9 4 =c два корня; 1 9 4 << c три корня; с = 1 два корня; 41 << c три корня; с = 4 два корня; с > 4 один корень. § 52 Наибольшее и наименьшее значения функции № 936 а) хэкстр = -3; 0 унаиб = 2 унаим = -3 б) хэкстр = 0 унаиб = 3 унаим = -3 в) хэкстр = -2; 2 унаиб = 3 унаим = -3 г) хэкстр = -2; 1 унаиб = 4 унаим = -2 № 937 1) у = 2х3 + 3х2 – 36х на [-4; 3]; 1. у(-4) = 2 ⋅ (-64) + 3 ⋅ 16 – 36 ⋅ (-4) = 64, y(3) = 2 ⋅ 27 + 3 ⋅ 9 – 36 ⋅ 3 = -27; 2. y′ = 6x2 + 6x – 36, y′ = 0; x2 + x – 6 = 0, D = 1 + 24 = 25, 2 2 51 1 = +− =x , 3 2 51 2 −= −− =x ; 3. 2 ∈ [-4; 3], -3 ∈ [-4; 3], y(-3) = 2 ⋅ (-27) + 3 ⋅ 9 – 36(-3) = 81, y(2) = 2 ⋅ 8 + 3 ⋅ 4 – 36 ⋅ 2 = -44, [ ] ( ) ( ) 813max 3;4 =−= − yxy , ( ) ( ) 442min ]3;4[ −== − yxy ; 2) на [-2; 1]; а) f(-2) = 2 ⋅(-8) + 3 ⋅ 4 – 36(-2) = 68, f(1) = 2 + 3 – 36 = -31; www.5balls.ru
- 74. 72 б) 2 ∉[-2; 1], -3 ∉ [-2; 1], значит [ ] ( ) 68max 1;2 = − xf , [ ] ( ) 31min 1;2 −= − xf . № 938 1) f(x) = x4 – 8x2 + 5 на [-3; 2]; 1. f(-3) = 81 – 8 ⋅ 9 + 5 = 14, f(2) = 16 – 8 ⋅ 4 + 5 = -11; 2. f’(x) = 4x3 – 16x, f’(x) = 0; 4x(x2 – 4) = 0, x = 0, x = ±2; 3. D ∈ [-3; 2], -2 ∈ [-3; 2], 2 ∈ [-3; 2], f(0) = 5, f(-2) = -11, f(2) = -11, [ ] ( ) 143max 2;3 =− − f , [ ] ( ) ( ) ( ) 1122min 2;3 −=−== − ffxf ; 2) ( ) x xxf 1 += , −− 2 1 ;2 ; 1. ( ) 2 5 2 1 22 −=−−=−f , 2 5 2 2 1 2 1 −=−−= −f ; 2. ( ) 2 1 1' x xf −= , f’(x) = 0, x2 – 1 = 0, x = ±1; 3. −−∉ −−∈− 2 1 ;21 2 1 ;21 , f(-1) = -1 – 1 = -2, ( ) ( ) 21max 2 1 ;2 −=−= −− fxf , ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2min 2 1 ;2 −= −=−= −− ffxf ; 3) f(x) = sinx + cosx π π 2 3 ; ; 1. f(π) = sinπ + cosπ = 0 – 1 = -1, 101 2 3 cos 2 3 sin 2 3 −=+−= π + π = π f ; 2. f’(x) = cosx – sinx, f’(x) = 0; cosx – sinx = 0, cosx ≠ 0, 1 – tgx = 0, tgx = 1, Znnx ∈π+ π = , 4 ; 3. π π∈ π 2 3 ; 4 5 , 2 2 2 2 2 4 5 cos 4 5 sin 4 5 −=−−= π + π = π f , ( ) ( ) 1 2 3 max 2 3 ; −= π =π= π π ffxf , ( ) 2 4 5 min 2 3 ; −= π = π π fxf . № 939 1) ( ) 2 2 16 x xxf += , х > 0; 1. Область определения: х > 0, ( ) 3 32 2' x xxf −= , www.5balls.ru
- 75. 73 f’(x) = 0;0 322 3 4 = − x x , 2(x4 – 16) = 0, x = ±2; 2 ∈ (0; +∞) -2 ∉ (0;+∞), x = 2 – точка минимума, ( ) 8 4 16 42 =+=f ; – + 2 х 2) ( ) 22 x x xf −= , x < 0. Область определения x < 0; 1. ( ) x x xf 2 2 ' 2 −−= , f’(x) = 0, ( ) 0 x x12 2 3 = +− , x3 = -1, x = -1, -1 ∈ (-∞; 0) + – -1 х ( ) 31 1 2 1 −=−−=−f , x = -1 – точка максимума, ( ) ( ) ( ) 31max 0; −=−= ∞− fxf . № 940 Пусть одно число х, тогда второе (50 – х). Надо найти наименьшее зна- чение суммы их кубов, т.е.: f(x) = x3 + (50 – x)3 , f’(x) = 3x2 – 3(50 – x)2 = 3x2 – 7500 + 300x – 3x2 = 300x – 7500, f’(x) = 0, 300x – 7500 = 0 ⇒ x = 25, – + 25 х x = 25 – точка минимума, х = 25; (50 – х) = 25, 50 = 25 + 25. № 941 Пусть одно число х, тогда второе x 625 , но числа эти такие, что сумма их квадратов наименьшая ( ) 2 2 625 += x xxf , x < 0, ( ) 3 2 6252 2' x xxf ⋅ −= , ( ) ,0 6252 2;0' 3 2 = ⋅ −= x xxf 2х4 – 2 ⋅ 6252 =0, x = ±25, x = 25 ∈ (0; + ∞), x = -25 ∉ (0; +∞), – + 25 х www.5balls.ru
- 76. 74 x = 25– точка минимума, значит х = 25, 25 625 = x . Ответ: 625 = 25 ⋅ 25 № 942 Пусть стороны прямоугольника равны a и b, тогда p = 2(a + b). Положим, а = х, тогда x > 0 x p a p b −=−= 22 . Площадь этого прямоугольника находим как: ( ) −⋅=⋅== x p xbaxfS 2 – найдем max этой функции. ( ) x p xx p xf 2 22 ' −=−−= , f’(x) = 0; 4 0 2 4 p x xp == − , + – 4 p х точка 4 p x = – точка max, значит, прямоугольник имеет стороны 4424 ppp b p a =−== — это квадрат. № 943 Пусть стороны прямоугольника равны a и b. S = 9 = a ⋅ b. Пусть а = х, тогда x b 9 = , ( ) ( ) +=+== x xbaxfp 9 22 x > 0. Найдем минимум этой функции ( ) −= 2 9 12' x xf , f′(x) = 0; ( ) 0 9 2 2 2 = − x x , x = ±3, – + 3 3 ∈ (0; +∞) -3 ∉ (0; +∞) х = 3 – точка min; a = 3, 3 3 9 ==b . Ответ: Это квадрат со стороной 3. № 944 1) f(x) = lnx – x, 3; 2 1 , х > 0; 1. 0 2 1 2 1 ln 2 1 <−= f , f(3) = ln3 – 3 < 0; а b www.5balls.ru
- 77. 75 2. ( )1 1 ' −= x xf , f′(x) = 0; 0 1 = − x x , x = 1; 3. ∈ 3; 2 1 1 , f(1) = ln1 –1=-1. Выясним, что больше. Допустим, ( )3 2 1 ff > 33ln 2 1 2 1 ln −>− , 2 5 3ln 2 1 ln −>− , 2 5 2 5 1 6 1 ln 6 1 ln e e >⇒> − е5/2 > 6 – что верно Допустим f(3) < f(1), т.е. ln3 – 3 > -1, ln3 > 2, ln3 > lne2 , 3 > e2 – не верно, значит f(1) > f(3). Допустим ( )1 2 1 ff > , т.е. 1 2 1 2 1 ln −>− , 2 1 ln 2 1 ln − > e , e 1 2 1 > , 2>e , е > 4 – не верно, значит ( ) > 2 1 1 ff . Итак, ( ) ( ) 11max 3; 2 1 −== fxf , ( ) ( ) 33ln3min 3; 2 1 −== fxf ; 2) f(x) = x + e-x , [-1; 2]; 1. f(-1) = -1 + e = e – 1 < 2, 2 < e < 3, 1 < e – 1 < 2, ( ) 2 1 22 2 >+= e f ; 2. f′(x) = 1 – e-x , f′(x) = 0; 1 – e-x = 0, e-x = 1 = e0 , x = 0, f(0) = 0 + e0 = 1, [ ] ( ) ( ) 22;1 1 22max e fxf +== − , [ ] ( ) ( ) 10min 2;1 == − fxf ; f(0) f(-1) f(2) 1 2 3) f(x) = 2cos x – cos2x, [0; π]; 1. f(0) = 2cos0 – cos0 = 2 – 1 = 1, f(π) = 2cosπ - cos2π = -2 – 1 = -3; 2. f′(x) = -2sin x + 2sin2x, f′(x) = 0; -2sin x(1 – 2cos x) = 0, sinx = 0, x = πn, n ∈ Z, Znnxx ∈π+ π ±=+= ,2 32 1 cos ; 3. 0 ∈ [0; π], π ∈ [0; π], [ ]π∈ π ;0 3 , 2 3 2 1 1 3 2 cos 3 cos2 3 +=++= π − π = π f , [ ] ( ) 2 3 3 max ;0 = π = π fxf , [ ] ( ) ( ) 3min ;0 −=π= π fxf . www.5balls.ru
- 78. 74 № 945 1) () xxxxf −= 3 , x > 0; 1. ( ) x x xf ⋅−= 2 3 2 3 ' , f′(x) = 0; 0 1 0 1 2 3 = − = − x x x x , x = 1 + – 0 1 x = 1 – точка max, f(1) = 3 – 1 = 2; 2. ( ) xxxxf 23 −= , x > 0, ( ) xxf 33' −= , f′(x) = 0; ( ) 013 =− x , 1=x , x = 1, x = 1, точка max. 3. 1 ∈ (0; +∞), f(1) = 3 – 2 = 1. 1 + – № 946 1) f(x) = e3x – 3x на (-1; 1), f′(x) = 3e3x – 3, f′(x) = 0, 3(e3x – 1) = 0, e3x = 1 – e0 , x = 0, x = 0 – точка min, 0 ∈ (-1; 1), f(0) = e3⋅0 – 3 ⋅ 3 = 1; 0 – + 2) ( ) x x xf ln 1 += на (0; 2), ( ) xx xf 11 ' 2 +−= , f′(x) = 0, 0 1 2 = − x x , x = 1, х = 1 – точка min, 1 ∈ (0;2), ( ) 11ln 1 1 1 =+=f . 1 – + № 947 1) ( ) 4 5 xxxf −= на (0; 5), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 34 34 3 4 54 520 54 54 54 1 5' x x x xx x x xxf − − = − −− = − −⋅ +−= , f′(x) = 0, ( ) 0 54 520 4 3 = − − x x , x = 4, x = 4 – точка max, 4 ∈ (0; 5), ( ) 44544 4 =−⋅=f ; www.5balls.ru
- 79. 75 4 + – 2) () 3 4 xxxf −= , (0; 4), ( ) ( ) ( ) ( )3 23 2 3 43 412 43 1 4' x x x x xxf − − = − −⋅ +−= , f′(x) = 0, ( ) 0 43 412 3 2 = − − x x , x = 3, х = 3 – точка max, 3 ∈ (0; 4), ( ) 33433 3 =−⋅=f ; 3 + – x 3) ( ) ( )3 2 1 xxxf −= , (0; 1), ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )3 243 24 2 3 24 2 13 32 13 32 13 1121 ' xx x xx xx xx xxx xf − − = − − = − −⋅+− = f′(x) = 0, ( ) 0 13 32 3 24 = − − xx x , 3 2 =x , 3 2 =x – точка max, ( )1;0 3 2 ∈ , 3 4 3 1 9 4 3 2 3 3 =⋅= f ; 3 + – x 4) ( ) 3 2 54 +−= xxxf , (-1; 5), ( ) ( ) ( )22 543 421 ' +− −⋅ = xx x xf , f′ (x) = 0; ( ) 0 543 42 3 22 = +− − xx x , x = 2, x = 2 – точка min., 2 ∈ (-1; 5), ( ) 15842 3 =+−=f . 2 – + x № 948 Пусть мы вырежем квадраты со стороной х, тогда высота и есть х. За- пишем в таком случае объем f(x) = V = (a – 2x)(a – 2x) ⋅ x = (a – 2x)2 ⋅ x = a2 x – 4a2 x + 4x3 f′(x) = a2 – 8ax + 12x2 ; f′(x) = 0: 12x2 – 8ax + a2 = 0, D = 16a2 – 12a2 = 4a2 , www.5balls.ru
- 80. 76 212 24 1 aaa x = + = , 612 24 2 aaa x= − = , ( )( ) 0 22 =⋅−−= a aaaa a f , 27 2 69 4 6336 3 2 aa a aa a a a a f =⋅=⋅ − −= , ( ) 27 2 6 max 3 aa fxf = = . Ответ: высота коробки должна быть 6 a . № 949 Пусть BK = х, тогда высота треугольника BD=a + x. Найдем основание АС. Треугольники АВС и PQB – по- добны с коэффициентом x ax + , значит x ax PQ AC + = , ( ) ( ) x aax x PQax AC ⋅+ = ⋅+ = . Площадь: ( ) ( ) ( ) x aax xa x aax BDAC 22 1 2 1 2 ⋅+ =+⋅ + =⋅ , ( ) −= ++⋅= 2 22 1 2 '2 2 ' x a ax a ax a xf , f′(x) = 0; 0 2 2 22 = − x ax a , x = ±a, x > 0, x = a, ( ) ( ) 2 2 2 2 a a aaa af = ⋅+ = . Ответ: наименьшая площадь при ВК = a. № 950 у = 3 – х2 – график этой функции симметричен относительно оу, значит, вершины прямоугольника будут иметь координаты В = (-х, у); А = (-х, 0); С = (х, у); D = (x, 0). Основание прямоугольника равно 2х (х>0) и высота у, значит, площадь: f(x) = S = 2x ⋅ y = 2x ⋅ (3 – x2 ), x ∈ (0; 3), f′(x) = 2(3 – x2 ) + 2x ⋅ (-2x) = 6 – 2x2 – 4x2 = 6(1 – x2 ), f′(x) = 0; 6(1 – x2 ) = 0, x = ±1, 1 ∈ (0; 3) -1 ∉ (0; 3), f(1) = 2 ⋅ 1(3 – 12) = 2 ⋅ 2 = 4. Ответ: наибольшая площадь прямоугольника равноа 4. КР Q CA D B www.5balls.ru
- 81. 77 № 951 Пусть этоточка В с координатами (х, х2 ). Тогда расстояние до точки А: ( ) ( ) ρ=−+− 22 BA yyxx или ( ) ( ) =+−++−= −+−==ρ 4 1 44 2 1 2 242 2 22 xxxxxxxf 4 17 44 +−= xx , ( ) ( ) 4 17 42 441 ' 4 3 +− −⋅ = xx x xf , f'(x) = 0; 0 4 17 42 44 4 3 = +− − xx x , 1 – + x x3 = 1, x = 1, х = 1 – точка минимума, у = 12 = 1. Ответ: (1; 1) — ближайшая к точке А. № 952 Пусть а — ширина доски, ϕ – угол, 2 0 π <ϕ≤ . Тогда площадь поперечного сечения желоба: ( ) ( ) ( )ϕ⋅+ ϕϕ⋅=ϕ cossincos 2 1 2 aaaaS , ( ) ϕ+ϕ=ϕ cos2sin 2 12 aS . Найдем максимум этой функции: S′(x) = ϕ−ϕ⋅⋅ cos2sin2 2 12 a , S′ = 0 ⇒ cos2ϕ – sinϕ = 0 ⇒ 1 – 2sin2 ϕ – sinϕ = 0. Обозначим sinϕ = t; 2t2 + t – 1 = 0; t1,2 = ( ) 22 12411 ⋅ −⋅−±− ; t1 = –1; t2 = 2 1 . при t = –1: sinϕ = –1 ⇒ ϕ = π 2 3 — посторонний корень. www.5balls.ru
- 82. 78 при t = 2 1 :sinϕ = 2 1 ⇒ ϕ = 6 π , и угол наклона боковых досок к осно- ванию : π= π + π 3 2 62 . Ответ: π 3 2 . § 53 Выпуклость графика функции, точки перегиба № 953 1) f′′(x) = (x2 cosx)′′ = (2x cosx – x2 sinx)′ = (2x cosx)′ – (x2 sinx)′ = = 2cos x – 2x sin x – 2xsinx – x2 cosx = cosx(2 – x2 ) – 4x sin x; 2) f′′(x) = (x3 sinx)′′ = (3x2 sinx + x3 cosx)′ = 3(x2 sinx)′ + (x3 cosx)′ = = 6x sin x + 3x2 cosx + 3x2 cosx – x3 sinx = sinx(6x – x3 ) + 6x2 cosx; 3) 21220)'265(')'22()('' 324235 −+=−+=+−+= xxxxxxxxxf ; 4) xxxxxxxxf 1812)'594(')'653()('' 22334 −=+−=++−= . № 954 1) f′′(x) = ((x + 1)4 )′′ = (4(x + 1)3 )′ = 12(x + 1)2 , f′′(x) > 0 при всех х ≠ -1, значит, функция при всех х ≠ -1 выпукла вниз 2) f′′(x) = (x4 – 6x2 + 4)′′ = (4x3 – 12x)′ = 12x2 – 12, f′′ > 0, 12(x2 – 1) > 0, (х – 1)(х + 2) > 0, -1 – + x + 1 при x < -1 и x > 1, на этих промежутках функция выпукла вниз. f′′ (x) < 0 при –1 < x < 1, на этом промежутке выпукла вверх; 3) f′′(x) = ((x2 – 3x + 2)ex )′′ = ((2x – 3)ex + (x2 – 3x + 2)ex )′ = = (ex (x2 – x – 1))′ = ex (x2 – x – 1) + ex (2x – 1) = ex (x2 + x – 2) f′′(x) > 0, x2 + x – 2 > 0, -2 – + x + 1 D = 1 + 8 = 9, 1 2 31 1 = +− =x , 2 2 31 2 −= −− =x , при x < -2 x > 1 – функция выпукла вниз, f′′(x) < 0 при -2 < x < 1 – функция выпукла вверх; 4) f′′ (x) = (x3 – 6x ln x)′′ = (3x2 – 6ln x – 6)′ = − x x 6 6 , x > 0, f′′(x) > 0, 0 1 6 > − x x , ( ) 0 1 6 2 > − x x , ( )( ) 0 116 > +− x xx , www.5balls.ru
- 83. 79 при x >1 – функция выпукла вниз, f′′(x) < 0 при 0 < x < 1 – функция выпукла вверх. № 955 1) f′′(x) = (cos x)′′ = (-sin x)′ = -cos x, f′′(x) = 0, -π < x < π, -cos x = 0, cos x = 0, Znnx ∈π+ π = , 2 , 2 ; 2 ππ −=x ; 2) f′′(x) = (x5 – 80x2 )′′ = (5x4 – 160x)′ = 20x3 – 160, f′′(x) = 0, 20(x3 – 8) = 0, x = 2. 2 – + x При переходе через х = 2 f′′(x) меняет знак, значит, х = 2 – точка перегиба; 3) f′′(x) = (12x3 – 24x2 + 12x)′′ = (36x2 – 48x + 12)′ = 72x – 48 f′′(x) = 0, 24(3x – 2) = 0, 3 2 =x , 3 2 – + x при переходе через 3 2 =x знак f′′(x) меняется, значит, это точка перегиба 4) ( ) ( ) =−= −= '2coscos''2sin 2 1 sin'' xxxxxf xxxx sin2sin22sin2sin −=+−= , -π < x < π, f′′(x) = 0, sin x(4cos x – 1) = 0, sin x = 0 x = πn, n ∈ Z, πn ∉ (-π; π), 4 1 cos =x , nx π2 4 1 arccos +±= , 4 1 arccos±=x — являются точками перегиба. Упражнения к главе IX. № 956 1) y′ = (2x3 + 3x2 – 2)′ = 6x2 + 6x, y′ > 0, 6x(x + 1) > 0, + +– -1 0 x при x < -1, x > 0 – возрастает; y' < 0 при -1 < x < 0 – убывает; 2) 422'54 3 2 ' 223 −−= +−−= xxxxxy , y′ > 0, 2x2 – 2x – 4 > 0, x2 – x – 2 > 0, D = 1 + 8 = 9, www.5balls.ru
- 84. 80 2 2 31 1 = + =x , 1 2 31 2 −= − =x, + +– -1 2 x при x < -1 x > 2 функция возрастает; y′ < 0 x2 – x – 2 < 0, при –1 < x < 2 – убывает; 3) 2 3 '1 3 ' xx y −= −= ; х ≠ 0 y′ < 0 при всех х, но х ≠ 0 ⇒ значит, функция убывает при x < 0 и x > 0; 4) ( )2 3 2 ' 3 2 ' − − = − = xx y ; x ≠ 3, y′ < 0 при x < 3 и x > 3 и убывает на этих промежутках. № 957 1) y′ = (x4 – 4x3 – 8x2 + 1)′ = 4x3 – 12x2 – 16x, y′ = 0, 4x(x2 – 3x – 4) = 0; =−− = 043 0 2 xx x , D = 9 + 16 = 25, 4 2 53 1 = + =x , 1 2 53 2 −= − =x , x1 = 4, x2 = -1, x3 = 0; 2) y′(4x4 – 2x2 + 3)′ = 16x3 – 4x, y′ = 0, 4x(4x2 – 1) = 0, 2 1 , 2 1 ,0 014 0 3212 −===⇒ =− = xxx x x . 3) 2 12 3 1 ' 12 3 ' xx x y −= += ; x ≠ 0, y′ = 0, 0 3 36 2 2 = − x x , x2 – 36 = 0, x = ±6; 4) y′ = (cos2x + 2cos x)′ = -2sin2x – 2sin x, y′ = 0, -2sin x (2cos x + 1) = 0, ∈π+ π± = ∈π= ⇒ −= = Znnx Znnx x x ,2 3 2 , 2 1 cos 0sin . № 958 1) y′ = (x3 – 4x2 )′ = 3x2 – 8x, y′ = 0, x(3x – 8) = 0, x1 = 0; x2 = 3 8 , + +– 0 3 8 x x = 0 – точка max., 3 8 =x - точка min.; 2) y′ = (3x4 – 4x3 ) = 12x3 – 12x2 , y′ = 0, 12x2 (x – 1) = 0, x1 = 0; x2 = 1, www.5balls.ru
- 85. 81 x = 0– стационарная точка, х = 1 – точка min. – +– 0 1 x № 959 1) xxxxy 55'3 2 5 ' 425 −= +−= , y′ = 0, 5x(x3 – 1) = 0, x1 = 0; x2 = 1, x = 0 – точка max., f(0) = 0 – 0 + 3 = 3, x = 1 – точка min., ( ) 2 3 3 2 5 11 =+−=f ; + +– 0 1 x 2) xxxxy 8'34 5 1 ' 425 −= −−= , y′ = 0, x(x3 – 8) = 0, x1 = 0, x2 = 2, x = 0 – точка max., f(0) = 0 – 0 – 3 = -3, x = 2 – точка min., ( ) 5 63 316 5 32 2 −=−−=f . + +– 0 2 x № 960 1) 2 3 3 3 x x y += . Область определения – R, y′ = x2 + 6x, y′ = 0, x(x + 6) = 0, x1 = 0; x2 = -6 – стационарные точки x x<-6 -6 -6<x<0 0 x>0 y′ + 0 - 0 + y 0 max min www.5balls.ru
- 86. 82 2) 2 4 4 x x y +−=. Область определения – R, y′ = -x3 + 2x, y′ = 0, x(2 – x2 ) = 0, x1 = 0; x2 = 2± x ( )2;−∞− 2− ( )0;2− 0 ( )2;0 2 2>x y′ + 0 - 0 + 0 - y 1 0 1 max min max № 961 1) у = 3х2 – 6х + 5 на [0; 3]. Область определения [0; 3], y′ = 6x – 6, y′ = 0, 6(x – 1) = 0, x = 1 1 – + x x 0 (0; 1) 1 (1; 3) 3 y′ - 0 + y 5 2 14 www.5balls.ru
- 87. 83 2) 2 2 3 3 2 4 1 234 +−−=xxxy на [-2; 4]. Область определния [-2; 4], y′ = x3 – 2x2 – 3x, y′ = 0, x(x2 – 2x – 3) = 0, =−− = 032 0 2 xx x , D = 1 + 3 = 4, x1 = 3; x2 = -1; x3 = 0. x -2 (-2;-1) -1 (-1;0) 0 (0;3) 3 (3;4) 4 y′ - 0 + 0 - 0 + y 3 16 12 17 2 4 37 − 3 2 − min max min № 962 1) f(x) = x3 – 6x2 + 9 на [-2; 2], f(-2) = -8 – 6 ⋅ 4 + 9 = -23, f(2) = 8 – 6 ⋅ 4 + 9 = -7, f′(x) = 3x2 – 12x, f′(x) = 0, 3x(x – 4) = 0 x1 = 0; x2 = 4, 0 ∈ [-2; 2]; 4 ∉ [-2; 2], f(0) = 9, [ ] ( ) ( ) 90max 2;2 == − fxf , [ ] ( ) ( ) 232min 2;2 −=−= − fxf ; 2) f(x) = x3 + 6x2 + 9x [-4; 0], f(-4) = -64 + 6 ⋅ 16 + 9 ⋅ (-4) = -4, f(0) = 0, f′(x) = 3x2 + 12x + 9 f′(x) = 0, 3(x2 + 4x + 3) = 0, D/4 = 4 – 3 = 1, x1 = -3; x2 = -1, -3 ∈ [-4; 0]; -1 ∈ [-4; 0], f(-1) = -1 + 6 – 9 = -4, f(-3) = -27 + 6 ⋅ 9 – 9 ⋅ 3 = 0, [ ] ( ) ( ) ( ) 414min 0;4 −=−=−= − ffxf , [ ] ( ) ( ) ( ) 003max 0;4 ==−= − ffxf ; 3) f(x) = x4 – 2x2 + 3 [-4; 3], f(-4) = 256 – 2 ⋅ 16 + 3 = 227, f(3) = 81 – 9 + 3 = 75, f′(x) = 4x3 – 4x, f′(x) = 0, 4x(x2 – 1) = 0, www.5balls.ru
- 88. 84 x1 = 0;x2,3 = ±1, -1 ∈ [-4; 3]; 1 ∈ [-4; 3]; 0 ∈ [-4; 3], f(-1) = f(1) = 1 – 2 + 3 = 2, f(0) = 0 + 0 + 3 = 3, [ ] ( ) ( ) ( ) 211min 3;4 ==−= − ffxf , [ ] ( ) ( ) 2274max 3;4 =−= − fxf ; 4) f(x) = x4 – 8x2 + 5 [-3; 2], f(-3) = 81 – 8 ⋅ 9 + 5 = 14, f(2) = 16 – 8 ⋅ 4 + 5 = -11, f′(x) = 4x3 – 16x, f′(x) = 0, 4x(x2 – 4) = 0, x1 = 0; x2,3 = ±2, 0 ∈ [-3; 2]; 2 ∈ [-3; 2]; -2 ∈ [-3; 2], f(0) = 0 + 0 + 5 = 5, f(-2) = f(2) = -11, [ ] ( ) ( ) ( ) 1122min 2;3 −==−= − ffxf , [ ] ( ) ( ) 143max 2;3 =−= − fxf . № 963 Пусть сторона прямоугольника равна х, тогда другая сторона равна − x p 2 . Тогда диагональ вычислим как: ( ) 2 2 2 −+== x p xxfl . Исследуем эту функцию на min = ′ −+= ′ +−+=′ px p xxpx p xxf 4 2 4 )( 2 22 2 2 px p x px −+ −⋅ = 4 22 )4(1 2 2 , f ′(х) = 0, 0 4 22 4 2 2 = −+ − px p x px , 4х – p = 0, x = 4 p , вторая сторона 4422 ppp x p =−=− – значит, это квадрат со сто- роной р/4, ч.т.д. № 964 Пусть х – одна из равных сторон, значит другая тоже х и основание (р–2х), тогда высота равна: 2 4 42 2 2 2 2 2 2 pxp xpx p xx p xh +− =−+−= −−= , тогда площадь вычислим как: 4 4)2( 2 4 )2( 2 1 )( 22 pxpxppxp xpxS +−− = +− ⋅−⋅⋅ , = − ⋅− ++−−=′ 2 2 42 4)2( 42 4 1 )( ppx pxp pxpxS www.5balls.ru
- 89. 85 ( ) 2 2 22 2 44 124 84164 48 1 ppx xpp xpppxp ppx− − =−+−+ − = , S ′(х) = 0, 0 42 )3(4 2 = − − ppx xpp , х = 3 p , х = 3 p – точка max., основание 33 2 2 pp pxp =−=− . Это равносторонний треугольник. № 965 Пусть сторона квадрата равна х и высота h, тогда площадь поверхности равна: р = 2 (х2 + хh + хh) = 600, х2 + 2хh = 300, h = x x 2 300 2 − . Найдем объем: V = f (x) = x ⋅ x ⋅ h = x2 ⋅ x x 2 300 2 − = 150х – 2 3 x . Найдем максимум функции V = f(x): f ′(х) = 150 – 2 2 3 x , f ′(х) = 0, 2 2 3 x = 150, x2 = 100, x = ±10, но x > 0 (по условию), 10 20 100300 = − =h , значит это куб. № 966 7795,127 3 7 5 9 2435 +−= ′ ++−=′ xxxxxy , у′ = 0, 9х4 – 7х2 + 7 = 0; D = 49 – 252 < 0, значит 9х4 – 7х2 + 7 > 0 и у′ > 0 при всех х ∈ R, следовательно функция возрастает на всей области определения, ч.т.д. № 967 у′ = (х + 2х x )′ = 1 + 3 x , 1 + 3 x > 0, т.к. x > 0, следовательно у′ > 0 при любых х ∈ R, и значит, функция возрастает на всей области опре- деления, ч.т.д. № 968 1) у′ = (х lnx) = lnx + 1, у′ = 0, lnx + 1 = 0, lnx = –1, lnx = lnе–1 , х = e 1 – точка min; 2) у′ = (хех )′ = ех + хех = ех (1 + х), у′ = 0, ех (1 + х) = 0, х = –1, х = –1 – точка min. www.5balls.ru
- 90. 86 –1 – + x 3) = ′ +− − = ′ −− +−− = ′ − − − =′ 2110 1612 )3)(7( 9632575 3 9 7 25 2 xx x xx xx xx y () = +− −−−+−− = 22 2 2110 )102)(1612()2110(16 xx xxxx ( ) ( )22 2 22 22 2110 2162416 2110 160321202433616016 +− −− = +− −++−−+ = xx xx xx xxxxx , у′ = 0, 0 2110 )2732( 2 2 = +− −− xx xx ; х2 – 10х + 21 ≠ 0 ⇒ (х – 3) (х – 7) = 0 ⇒ х ≠ 3, х ≠ 7, 2х2 – 3х – 27 = 0, D = 9 + 216 = 225, 2 9 4 153 1 = + =x , 3 4 153 2 −= − =x , 3−=x точка max., 2 9 =x точка min. –3 x + – + 2 9 № 969 рис 148 а) 1) возрастает х ∈ (х3, х5) U (х7, х8); убывает х ∈ (х1, х3) U (х5, х7); 2) хmax = х1, х5; хmin = х3, х7; 3) х2, х4, х6, х8; рис 148 б) 1) возрастает х ∈ (–10, –8) U (–4, –2) U (0, 4) U (6, 7); убывает х ∈ (–8, –4) U (–2, 0) U (4, 6); 2) хmax = –8; –2; 4; хmin = –4; 0; 6; 3) –10; –6; –3; –1; 2; 5; 7. № 970 1) 4 2 2 − = x y а) Область определения х ≠ ± 2 б) у′ = 222 )4( 2 4 2 − −= ′ − x x x , у′ = 0, 22 )4( 2 − − x x = 0; x = 0; x (–∞; –2) –2 (–2; 0) 0 (0; 2) 2 (2; +∞) y′ + ∃ + 0 – ∃ – www.5balls.ru
- 91. 87 у ∃ 2 1 − max ∃ 2) 4 2 2 + = x y а)Область определения R: б) 2222 )4( 4 )4( 22 )( + − = + ⋅− =′ x x x x xy ; в) у′(х) = 0, 0 )4( 4 22 = + − x x , х = 0; x (–∞; –0) 0 (0; +∞) y′ + 0 – у 2 1 max 3) у = (х – 1)2 (х + 2) а) Область определения R: б) у′ = (х) = 2 (х – 1)(х + 2) + (х – 1)2 = (х – 1)(2х + 4 + х – 1) = = (х – 1)(3х + 3) = 3 (х – 1)(х + 1); в) у′ = 0, 3 ⋅ (х – 1)(х + 1) = 0, х1 = 1, х2 = –1. x (–∞; –1) –1 (–1; 1) 1 (1; +∞) y′ + 0 – 0 + у 4 max 0 min www.5balls.ru
- 92. 88 4) у =х(х – 1)3 а) Область определения: R б) у′ = (х – 1)3 + 3х (х – 1)2 = (х – 1)2 (х – 1 + 3х) = (х – 1)2 (4х – 1) в) у′ = 0, (х – 1)2 ⋅ (4х – 1) = 0, х1 = 1 х2 = 4 1 x (–∞; – 4 1 ) 4 1 ( 4 1 ; 1) 1 (1; +∞) y′ – 0 + 0 + у 256 27 − min 0 № 971 1) f(x) = 2sinx + sin2x; х∈[0; 2 3π ]; а) Область определения [0; 2 3π ]; б) f ′(х) = 2cosx + 2cos2x; в) f ′(х)=0, 2cosx+2cos2x=0; 4cos2 x+2cosx–2 = 0, 2cos2 x + cosx – 1 = 0; D = 1 + 8 = 9; cosx 2 1 4 31 = +− , nx π+ π ±= 2 3 , n ∈ Z; cosx 1 4 31 −= −− , х = π + 2nπ, n ∈ Z, f(0) = 2sin0 + sin0 = 0, f π 2 3 = 2sin 2 3π + sin3π = –2 + 0 = –2, 2 33 2 3 3 3 2 sin 3 sin2 3 =+= π + π = π f , f (π) = 2sinπ + sin2π = 0 + 0 = 0, www.5balls.ru
- 93. 89 ( )( )( )( ) 2 33 3 max;2 2 3 min 2 3 ;0 2 3 ;0 = π =−= π = π π fxffxf ; 2) f(x) = 2cosx + sin2x; х∈[0; π]; а) f ′(х) = –2sinx + 2cos2x, f ′(х) = 0, –2sinx + 2(1 – 2sin2 x) = 0, 2sin2 x + sinx –1 = 0, D = 1 + 8 = 9, ( ) [ ] [ ] [ ] π∉ π −∈π+ π −=−= −− = π∈ π π∈ π ∈π+ π −== +− = ;0 2 ;,2 2 1 4 31 sin ;0 6 ,;0 6 5 ;, 6 1 2 1 4 31 sin Znnxx Znnxx n б) f (0) = 2cos0 + sin0 = 2 + 0 = 2, f (π) = 2cosπ + sinπ = –2 + 0 = –2, 2 33 2 3 3 3 sin 6 cos2 6 =+= π + π = π f , 2 33 2 3 3 3 5 sin 6 5 cos2 6 5 −=−−= π + π = π f , [ ] ( )( ) [ ] ( )( ) 2 33 6 max; 2 33 6 5 min ;0;0 = π =−= π = ππ fxffxf . № 972 1) v(t) = s′(t) = (6t2 – t3 )′ = 12t – 3t2 2) найдем наибольшее значение v(t) v′(t) = 12 – 6t ; v′(t) = 0, 12 – 6t = 0, t = 2, t = 2 – точка max., v(2) = 24 – 12 = 12. № 973 Пусть ВС = х, АС = l – x, тогда АВ = =−− 22 )( xxl xll 22 − , xllxSABC 2 2 1 2 −⋅= . Найдем наибольшее значение SABC. xll lxl xll lxxll xll xl xllxS 22 3 22 2 22 )2(1 2 2 1 )( 2 2 2 2 2 2 − − = − −− = − −⋅ +−=′ , S′(х) = 0, 0 22 3 2 2 = − − xll lxl , х = 3 l , х = 3 l – точка max., АС = l – 3 l = 3 2l , АВ = 3 3 99 4 22 lll =− . www.5balls.ru
- 94. 90 № 974 Пусть АС= х, тогда СВ = 40 – х. Тогда площадь найдем по формуле: ( ) ( ) 2 2040 2 1 2 1 2 x xxxCBACxS −=−=⋅= Исследуем S(х) на max. S′(х)=20–x; S′ = 0, 20–x=0, x=20, x=20 – точка max. АС = 20, СВ = 40 – 20 = 20. Это равнобедренный прямоугольный треугольник. № 975 Пусть АВ = х = СD и ВС = у = АD, тогда BD = α−+ cos222 xyyx , и АС = ( )απ−+ -cos222 xyyx = = α++ cos222 xyyx axyyxxyyxBDAC =α+++α−+=+ cos2cos2 2222 −α+++α−+= cos2cos2 22222 xyyxxyyxa ( ) α−+ 22222 cos42 yxyx a4 – 4(x2 + y2 )a2 + 4(x2 + y2 )2 = 4(x2 + y2 )2 – 16x2 y2 cos2 α, a4 – 4(x2 + y2 )a2 + 16x2 y2 cos2 α = 0, 4(x2 + y2 ) = a2 + 16 2 222 cos a yx α . Величина 2(x2 + y2 ) зависит от параметра α. min 4(x2 + y2 ) = a2 при cos2 α = 0 α = 90°. Тогда 2(x2 + y2 ) = 2 2 a . № 976 Пусть АВ = х, тогда АD = 2 22 xR − , 42222 22 xxRxxRxABADS −=−=⋅= . Исследуем S на max при x∈[0; R]. ( ) 422 32 2 422 xxR xxR S − − =′ ; S′ = 0, 0 42 422 32 = − − xxR xxR , 2x(R2 – 2x2 ) = 0; ±= = ⇒ = = 2 0 2 0 2 2 R x x R x x , 2 R − ∉[0; R], x = 0 – точка min., x = 2 R – точка max., R RR RAD 2 2 2 2 2 2 2 =⋅=−= , 2 2 2 RR R S =⋅= . www.5balls.ru
- 95. 91 № 977 Объем пирамидыV = 3 1 h ⋅ S′осн.; h = 12 – постоянная, поэтому объем за- висит только от площади основания. Найдем ее max. Пусть один катет основания х, тогда другой 2 16 x− . Тогда площадь ( ) 422 16 2 1 16 2 1 xxxxxS −=−⋅= ; х ∈ [0; 4] ( ) ( ) 42 3 42 3 16 8 164 4321 xx xx xx xx xS − − = − − =′ ; S′ (х) = 0, 0 16 8 42 3 = − − xx xx , x(8 – x2 ) = 0, x = 0, x = 22± , 22− ∉ [0; 4], x = 0 – точка min., x = 22 – точка max., ( ) 4 2 8 64816 2 1 22 ==−⋅=S , V = 3 1 ⋅ 12 ⋅ 4 = 16. № 978 Пусть радиус окружности в основании цилиндра r = х, тогда высота h = − x R 2 2 . Объем равен V = h ⋅ Sосн. = h ⋅ πr2 . х ∈[0; p], ( ) 2 4 2 2 32 2 xxp xx p xV π−π =⋅π⋅ −= . Исследуем V(х) на max. V′(х) = 2 1 (2рπх – 12πх2 ) = рπх – 6πх2 V′(х) = 0, хπ(р – 6х) = 0, 6 ;0 06 0 21 p xx xp x ==⇒ =− =π x = 0 – точка min., x = 6 p – точка max., ( ) 216 46 21622 216 4 36 6 3 33 32 p pp pp p p V π =− ⋅ π = π⋅−⋅π = . № 979 k ABAD AB AD === 25 ; 2 5 , AD = 5k, AB = 2k, DDAABBAAпов SSABADS 1111 22 ++⋅= = = 10k2 + 2AA1(5k + 2k) = 2S, AA1 = k kS 14 102 2 − , www.5balls.ru
- 96. 92 ( )3 2 2 102 7 5 14 102 10 kSk k kS kV−= − ⋅= . Исследуем V на max., V′ = 7 5 (2S – 30k2 ); V′ = 0, 7 5 (2S – 30k2 ) = 0, k=± 15 S , k= 15 S – точка max, k= 15 S ; S S AD 3 5 15 5 = ⋅ = , AB=2⋅ 15 S . № 980 23 23 2 2 ++ +− = xx xx y а) Область определения: х2 + 3х + 2 ≠ 0; D = 9 – 8 = 1, 1 2 13 −= +− ≠x , 2 2 13 −= −− ≠x ; б) ( )( ) ( )( ) ( ) = ++ ++−−++− =′ 22 22 23 32232332 xx xxxxxx y ( ) = ++ −+−−+−−−−++ = 22 223223 23 693462693462 xx xxxxxxxxxx ( ) ( ) ( )22 2 22 22 23 26 23 12612 ++ − += ++ −− = xx x xx xx , y′ = 0, ( ) ( ) 0 23 26 22 2 = ++ − xx x , х2 – 2 = 0, х = 2± , x (–∞; –2) –2 (–2; – 2 ) – 2 (– 2 ; –1) –1 (–1; 2 ) 2 ( 2 ; +∞) y′ + ∃ + 0 – ∃ – 0 + у ∃ max ∃ min x = – 2 – точка min., x = 2 – точка max. № 981 1) ( ) 112 +−= xxy ; а) Область определения х > 1. б) ( ) 12 145 12 144 12 1 12 2222 + −+ = + −++ = + − ++=′ x xx x xxx x x xxy ; в) y′ = 0, 0 12 145 2 = + −+ x xx , 5х2 + 4х – 1 = 0, www.5balls.ru
- 97. 93 D/4 = 4+ 5 = 9; х1 = 5 1 5 32 = +− , х = 1 5 32 −= −− x –1 (–1; 5 1 ) 5 1 ( 5 1 ; +∞) y′ ∃ – 0 + у 0 125 3024 min 2) 3 31|| xxy +⋅= ; а) D (у) =R; б) у = 0 при х = 0, х = 3 1 − ; в) ( ) ( )3 2 3 313 3|| 31|| x x xxy + ⋅ ++′=′ , х > 0 ( ) ( )3 23 2 3 31 41 31 31 x x x x xy + + = + ++=′ , y′ = 0, ( ) 0 31 41 3 2 = + + x x , x = 4 1 − , но х > 0. Не подходит. х < 0 ( ) ( ) ( )3 23 2 3 31 41 31 31 x x x x xy + + −= + − ++−=′ , y′ = 0, – ( ) 0 31 41 3 2 = + + x x x = 4 1 − – точка max. x (–∞; 4 1 − ) 4 1 − ( 4 1 − ; 0) 0 (0; +∞) y′ + 0 – ∃ + у 44 1 max 0 min www.5balls.ru
- 98. 94 3) y =х2 е–х а) Область определения: R б) у′ = 2хе–х – х2 е–х = е–х (2х – х2 ) в) у′ = 0, е–х (2х – х2 ) = 0, х = 0; х = 2 x (–∞; 0) 0 (0; 2) 2 (2; +∞) y′ – 0 + 0 – у 0 min 2 4 e max 4) y = х3 е–х а) D(y) =R б) у′ = 3х2 е–х – х3 е–х = е–х (3х2 – х3 ) в) у′ = 0, е–х ⋅ х2 (3 – х) = 0, х = 0, х = 3 x (–∞; 0) 0 (0; 3) 3 (3; +∞) y′ + 0 + 0 – у 0 3 27 e max № 982 Запишем II закон Ньютона для груза: ( )α⋅−=α sincos FmgkF ( ) α+α =α sincos k mg F ; www.5balls.ru
- 99. 95 Найдем min F(α):( ) ( ) ( )α+α−⋅ α+α − =α′ cossin sincos 2 k k mg F ( ) arctgkktgkkF =α=αα=α=α+α−=α′ ,,sincos,0cossin,0 Ответ: arctgk=α . www.5balls.ru
- 100. 96 X глава. § 54Первообразная № 983 1) F′(х) = 6 6 5 x = х5 = f(х) ⇒ F(х) является первообр. f(х) на R; 2) F′(х) = 5 5 4 x + 0 = х4 = f(х) ⇒ F(х) является первообр. f(х) на R. № 984 1) F′(х) = ( ) ( )xf xx =−= −⋅ 22 212 ; 2) F′(х) = ( )xf xx ==+ 2 1 2 1 0 ; F(х) является первообр. f(х) при х > 0. № 985 1) 5 5 x - первообр. х4 , т.к. 4 5 5 x x = ′ , значит, все первообразные имеют вид F(х) = 5 5 x + C; 2) F(х) = 4 4 x – первообр., т.к. F′(х) = 4 4 3 x = х3 = f(х). Общий вид: F(х) = 4 4 x + С. 3) F(х) = 2 2− − x – первообр., т.к. F′(х) = 2 2 3 − − − x = х–3 = f(х). Общий вид: F(х) = 2 2− − x + С. 4) F(х) = 2 1 2 x⋅ – первообр., т.к. F′(х) = 2 1 2 1 2 1 2 −− =⋅ xx = f(х). Общий вид: F(х) = 2 1 2 x⋅ + С. № 986 1) Все первообр. функции f(х) = х находятся по формуле: F(х) = 2 2 x + С, т.к. F′(х) = f(х). Найдем число С, подставив точку (–1; 3): www.5balls.ru
- 101. 97 3 = 2 1 + С,С = 2 5 , F(х) = 2 2 x + 2 5 ; 2) Для функции f(х) = x первообр. имеют вид: F(х) = 2 3 3 2 x + С. Чтобы найти С, подставим точку (9, 10): 10 = 27 3 2 ⋅ + С, С = –8, F(х) = 2 3 3 2 x – 8. № 987 1) F′(х) = ( )xfeee xxx ==⋅= ′ 333 3 1 33 – сущ. при х ∈ R; 2) F′(х) = ( ) ( )xfxx ==′ 2cos22sin – сущ. при х ∈ R. № 988 1) f(х) = 2х5 – 3х2 . По таблице интегрирования: F(х) = 3 636 33 3 6 2 x xxx −= ⋅ − ⋅ . 2) f(х) = 5х4 + 2х3 , тогда F(х) = 24 2 5 5 4 5 45 x x xx += ⋅ + ⋅ . 3) f(х) = 2 32 xx + , тогда F(х) = x x x x 3 ln2 1 3 ln2 1 −= − ⋅ + − . 4) f(х) = xx 32 3 − , тогда F(х) = x x x x ln3 1 ln3 2 2 2 2 −−=− − ⋅ − . 5) f(х) = 6х2 – 4х + 3, тогда F(х) = 1 3 2 4 3 6 23 xxx +− = 2х3 – 2х2 + 3х. 6) f(х) = xx 643 − , тогда F(х) = xxxx xx 43 2 3 6 3 4 4 3 2 3 3 4 −= ⋅ − ⋅ . № 989 1) f(х) = 3cos х – 4sin х, тогда F(х) = 3sin х – 4(–cos х) = 3sin х + 4cos х. 2) f(х) = 5sin х + 2cos х, тогда F(х) = 5 ⋅ (–cos х) + 2 ⋅ sin х = 2sin х – 5cos х. 3) f(х) = ех – 2cos x, тогда F(х) = ех – 2sin x. 4) f(х) = 3ех – sin x, тогда F(х) = 3ех – 1 ⋅ (–cos x) = 3ех + cos x. 5) f(х) = 5–е–x +3cos x, тогда F(х) = 5x – (–1) е–x + 3sin x = 5x + е–x + 3sin x 6) f(х) = 1 + 3еx – 4cos x, тогда F(х) = x + 3еx – 4sin x. 7) f(х) = x e x x 3 2 63 +− , тогда www.5balls.ru
- 102. 98 F(х) = 33 3 4 3ln2 2 9 3ln2 3 4 6 exxxex xx +−=+− ⋅ , x > 0. 8) f(х) = x e xx − −+ 2 34 , тогда F(х) = ( ) xx exxex x −− ++=⋅−⋅−+ 2ln3812ln3 2 1 4 2 1 , x > 0. № 990 1) f(х) = (х + 1)4 , тогда F(х) = ( ) 5 1 5 +x . 2) f(х) = (х – 2)3 , тогда F(х) = ( ) 4 2 4 −x . 3) f(х) = 2 2 −x , тогда F(х) = ( ) 24 2 1 22 2 1 −= − x x , х > 2. 4) f(х) = 3 3 3 +x , тогда F(х) = ( ) ( )3 23 2 3 2 9 3 2 33 += +⋅ x x . 5) f(х) = ( )2cos4 1 1 ++ − x x , тогда F(х) = ln (x – 1) + 4sin (x + 2), x > 1. 6) f(х) = ( )1sin2 3 3 −− − x x , тогда F(х) = 3ln (x – 3) – 2(–cos (x – 1)) = 3ln (x – 3) + 2cos (x – 1), x > 3. № 991 1) f(х) = sin (2х + 3), тогда F(х) = ( )( ) ( ) C x Cx + + −=++− 2 32cos 32cos 2 1 . 2) f(х) = cos (3х + 4), тогда F(х) = ( ) Cx +++ 43sin 3 1 . 3) f(х) = cos ( 2 x – 1), тогда F(х) = 2sin ( 2 x – 1) + C. 4) f(х) = sin ( 4 x + 5), тогда F(х) = –4 cos ( 4 x + 5) + C. 5) f(х) = 2 1+x e , тогда F(х) = 2 2 1+x e + C. www.5balls.ru
- 103. 99 6) f(х) =e3x – 5 , тогда F(х) = 3 1 e3x – 5 + C. 7) f(х) = x2 1 , тогда F(х) = 2 1 ln x + C. 8) f(х) = 13 1 −x , тогда F(х) = 3 1 ln (3x – 1) + C. № 992 1) f(х) = 2х + 3, М (1; 2); а) F(х) = 2 2 2 x + 3x + C; б) 2 = 1 + 3 + С, С = –2, значит F(х) = х2 + 3х – 2; 2) f(х) = 4х – 1, М (–1; 3); а) F(х) = 4 ⋅ 2 2 x – x + C = 2х2 – х + С б) 3 = 2 + 1 + С, С = 0, значит F(х) = 2х2 – х 3) f(х) = sin 2x, М ( 2 π ; 5); а) F(х) = – 2 1 cos 2x + C б) 5 = – 2 1 ⋅ cos π + С = 2 1 + С, С = 2 9 , значит F(х) = 2 9 – 2 1 cos 2x 4) f(х) = cos 3x, М (0; 0); а) F(х) = 3 1 sin 3x + C б) 0 = 3 1 sin 0 + С = 0 + С, С = 0, значит F(х) = 3 1 sin 3x. № 993 1) f(x) = e2x – cos 3x, тогда F(х) = 2 1 е2х – 3 1 sin 3x; 2) f(x) = 4 x e + sin 2x, тогда F(х) = 4 4 x e – 2 1 cos 2x; 3) f(x) = 2sin 3 1 2 5 5 + − x e x , тогда F(х) = 3 1 2 2 5 5 cos10 + −− x e x ; 4) f(x) = 2 1 3 2 7 cos3 − + x e x , тогда F(х) = 2 1 3 3 2 7 sin21 − + x e x ; 5) f(x) = ( )24sin4 5 ++ x x , тогда F(х) = ( ) ( )24cos 53 2 24cos 4 4 2 3 5 2 3 +−=+− ⋅ x xx x x ; www.5balls.ru
- 104. 100 6) f(x) = 52 3 13 4 − − +xx , тогда F(х) = ( ) ( ) ( )52ln 2 3 13 3 8 2 52ln3 3 2 1 134 2 1 −−+= −⋅ − ⋅ +⋅ xx xx . № 994 1) f(x) = 3 42 34 xxx +− , тогда F(х) = +−= +− 25 2 3 1 24 4 5 2 3 1 2 45 245 x xx xxx ; 2) f(x) = 5 236 3 +− xx , тогда F(х) = +−= +− xxxx xx 2 2 3 2 3 5 1 2 2 3 4 6 5 1 24 24 ; 3) f(x) = x – 3 + 2x2 – 6x = 2x2 – 5x – 3, тогда F(х) = xxxx xx 3 2 5 3 2 3 2 5 3 2 23 23 −−=−− ; 4) f(x) = 4x + 6x2 – 6 – 9x = 6x2 – 5x – 6, тогда F(х) = xxxx xx 6 2 5 26 2 5 3 6 23 23 −−=−− . № 995 1) f(x) = xxx +2 , тогда F(х) = xxxx xx 3 2 5 4 2 3 2 5 2 2 2 3 2 5 +=+ . 2) f(x) = 33 23 xxx − , тогда F(х) = 332 3 4 3 7 2 3 7 9 3 4 2 3 7 3 xxxx xx −=− . 3) f(x) = 3 3 2 4 x x + , тогда F(х) = 3 23 2 3 2 3 5 6 5 3 3 2 4 3 5 xxx xx +=+ ; 4) f(x) = x x 3 − , тогда F(х) = xxx xx 6 3 2 2 1 3 2 3 2 1 2 3 −=− . www.5balls.ru
- 105. 101 № 996 1) f(x)= 2 1 sin 2x, тогда F(х) = – 4 1 cos 2x; 2) f(x) = sin (x –3x) = –sin 2x, тогда F(х) = 2 1 cos 2x. № 997 у = f(x) = 2sin 5x + 3cos 2 x , 0 3 = π F тогда F(х) = C x x ++− 2 sin65cos 5 2 CCC ++−=+⋅+⋅−=+ π + π −= 3 5 1 2 1 6 2 1 5 2 6 sin6 3 5 cos 5 2 0 , 5 14 −=C , F(х) = 5 14 2 sin65cos 5 2 −+− x x . № 998 1) f(x) = 3 3 1 − + x , тогда F(х) = х + 3 ln (х – 3); 2) f(x) = ( )( ) 2 1 12 1 + = −+ − xxx x , х ≠ 1, х ≠ –2; тогда F(х) = ln (х + 2); 3) f(x) = 2 2cos1 cos2 x x + = , тогда F(х) = 2 1 (х + 2 1 sin 2х) = 4 2sin2 xx + ; 4) f(x) = sin 3x ⋅ cos 5x = 2 1 (sin 8x – sin 2x), тогда F(х) = 16 8cos2cos4 2cos 2 1 8cos 8 1 2 1 xx xx − = +− . § 56 Площадь криволинейной трапеции и интеграл № 999 1) 2) www.5balls.ru
- 106. 102 3) 4) № 1000 1) ABCD –искомая трапеция; ( ) ( ) ( )∫ −== b a ABCD aFbFdxxfS ( ) ( ) 60464 4 2 4 4 4 44 2 44 2 4 3 =−=−=== ∫ x dxxSABCD (кв. ед.) 2) www.5balls.ru
- 107. 103 ( ) ()( ) ( ) 3 37 2764 3 1 34 3 1 3 33 4 3 4 3 3 2 =−=−=== ∫ x dxxS ABCD . 3) ABCD – искомая трапеция ( ) 62 3 8 1 3 1 3 1 1 2 1 2 3 2 =+++=+=+= ∫ − − x x dxxSABCD 4) ABCD – искомая трапеция ( ) 62 4 16 4 1 2 0 2 0 4 3 =+=+=+= ∫ x x dxxSABCD ; 5) ABCD – искомая трапеция 1 2 1 2 1 3 cos 3 2 coscossin 3 2 3 3 2 3 =++= π + π −=−== ∫ π π π πxxdxSABCD 6) ABCD – искомая трапеция 2 1 2 1 6 sin0sincos 0 6 0 6 = −−= π −−=== ∫ π − π − xxdxSABCD . www.5balls.ru
- 108. 104 № 1001 1) у= 4 – х2 ABC – искомая трапеция а) 4 – х2 = 0, х = ± 2, a = –2, b = 2 б) ( ) =−+−=−=−= ∫ − − 3 8 8 3 8 8 3 44 2 2 2 2 3 2 x xdxxSABC 3 2 10 3 32 3 16 16 ==−= ; 2) у = 1 – х2 ABC – искомая трапеция а) 1 – х2 = 0 х = ± 1 a = –1 b = 1 б) ( ) 3 1 1 3 2 2 3 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 1 3 2 =−=−+−=−=−= ∫ − − x xdxxSABC . 3) у = – х2 + 4x – 3 ABC – искомая трапеция а) – х2 + 4x – 3 = 0 х2 – 4x + 3 = 0 D/4 = 4 – 3 = 1 x1 = 3x2 = 1 a = 1 b = 3 www.5balls.ru
- 109. 105 б) ( )∫+−+−=−+−=−+−= 3 1 3 1 23 2 91893 2 4 3 34 x xx dxxxSABC 3 1 132 3 1 =+−+ № 1002 1) f(x) = 3 x , a = 1, b = 8 ABCD – искомая трапеция ( ) 4 1 11 4 45 116 4 3 4 38 1 8 1 3 3 ==−=== ∫ xx dxxS ABCD 2) f(x) = x a = 4 b = 9 ABCD – искомая трапеция ( ) 3 2 12 3 38 827 3 2 3 29 4 9 4 ==−=== ∫ xx dxxS ABCD . № 1003 1) b = 2 f(x) = 5x – x2 , 2 ≤ х ≤ 5 www.5balls.ru
- 110. 106 а) 5x –x2 = 0, x(5 – x) = 0, x = 0, x = 5 б) ABC – искомая трапеция в) ( ) =+−−=−=−= ∫ 3 8 10 3 125 2 125 32 5 5 5 2 5 2 32 2 xx dxxxSABC 2 1 13 2 27 6 60 6 16 6 125 ==−+= 2) b = 3 , f(x) = x2 + 2x а) x2 + 2x = 0, x = 0, x = –2 б) OAB – искомая трапеция в) ( ) 1899 3 2 3 0 3 0 2 3 2 =+=+=+= ∫ x x dxxxSOAB . 3) b = 1, f(x) = ex – 1 а) ex – 1 = 0, ex = e0 , x = 0 б) OAB – искомая трапеция в) ( ) 2111 1 0 1 0 −=−−=−=−= ∫ eexedxeS xx OAB 4) b = 2 f(x) = 1 – x 1 а) 1 – x 1 = 0 x = 0 б) ABC – искомая трапеция в) 2ln1012ln2 ln 1 1 2 1 2 1 −=+−−= =−= −= ∫ xxdx x SABC www.5balls.ru
- 111. 107 § 57 Вычислениеинтегралов № 1004 1) 2 1 0 2 1 2 1 0 1 0 2 =−==∫ x xdx ; 2) 909 3 3 0 3 0 3 2 =−==∫ x dxx ; 3) 9183 2 1 2 1 32 =+==∫ − − xdxx ; 4) 5492 3 2 3 2 2 =−==∫ − − xxdx ; 5) 6 1 2 1 3 1113 2 3 2 2 =+−=−=∫ x dx x ; 6) 8 3 2 1 8 1 2 112 1 2 1 23 =+−=−=∫ x dx x ; 7) ( ) 3 2 4 3 14 18 3 2 3 2 4 1 4 1 ==−==∫ xx dxx ; 8) ( ) 22322 1 9 4 9 4 =−==∫ xdx x . № 1005 1) 11lnlnln 1 1 1 =−==∫ exdx x e e ; 2) 11202ln 2ln 0 2ln 0 =−=−==∫ eeedxe xx ; 3) ( ) 000sin2sinsincos 2 2 =−=π−−π==∫ π π− π π− xxdx ; 4) ( ) 2112coscoscossin 2 2 =+=π−+π−=−=∫ π π− π π− xxdx ; 5) ( ) 111 2 1 2cos 2 1 2sin 2 2 −=+−=−=∫ π π− π π− xxdx ; 6) ( ) 000 3 1 3sin 3 1 3cos 0 3 0 3 =−=+=∫ π− π− xxdx . № 1006 1) ( ) 209964332 2 3 2 3 2 −=−−−=−=−∫ − − xxdxx ; 2) ( ) 11810252545 1 2 1 2 2 =++−−=−=−∫ − − − − xxdxx ; 3) ( ) 6118231 2 1 2 1 32 −=−+−=−=−∫ − − xxdxx ; 4) ( ) 3 2 21 3 1 1 3 1 3 1 1 1 1 1 3 2 =+++=+=+∫ − − x x dxx ; www.5balls.ru
- 112. 108 5) ( )( ) 10108852543 2 0 2 0 232 =+−=+−=+−∫ xxxdxxx . № 1007 1) ( ) 81682 2 2 3 3 2 3 4 0 24 0 4 0 2 −=−= −= −=−∫ xx xxxx dxxx ; 2) 686118816 3 2 9 1 9 1 2 =+−−=−= −∫ xxdx x x ; 3) ( )1 3 1 3 1 6 2 0 3 2 0 3 −==∫ eedxe xx ; 4) 26 3 1 3 1 22 2 eeedxe xx −==∫ . (Опечатка в ответе задачника). № 1008 1) ( )( ) ( )( ) ( )∫∫ ∫ −− − =−+=−+=−+ 1 2 23 1 2 1 2 2 352123123 dxxxxdxxxxdxxxx 121536 3 40 8 2 3 3 5 2 1 2 3 3 5 2 1 1 2 23 4 =+−=++−−+=−+= − xx x ; 2) ( )( ) ( ) =−−+=−−+=−+ − − − ∫ ∫ 0 1 2 340 1 0 1 232 2 34 2221 xx xx dxxxxdxxx 12 11 12 1 121 3 1 4 1 −=+−=−++−= ; 3) =−+= ++= +∫ ∫ 2 1 32 1 2 1 2 2 2 1 2 3 1 2 1 x x x dx x xdx x x 6 5 43 6 11 12 3 1 2 1 4 3 8 =+=+−−−+= ; 4) = +−= −= − ∫∫ − − − − − − 1 2 1 2 232 1 2 2 44842 1 4 xx dx xx dx xx 51244 =−−+ . № 1009 1) = −= −= − ∫∫ 2 1 3 23 22 1 3 3 2 2 1 3 3 2 2 3 5 52 5 25 xxx dx x xdx x x 333 2 1 3 23 2 4333434633 =+−−= −= xxx ; www.5balls.ru
- 113. 109 2) = −= −= − ∫∫ 3 1 3 1 3 1 2 1 2 3 31 3 13xxx dx x xdx x x 342232622 3 1 =+−−=−= xxxx ; 3) 8162428 2 1 24 2 4 7 2 7 2 7 2 =−=+= +⋅ = + ∫ x x dx x . № 1010 1) ( ) 2 3ln3 0 2 3ln3 2 12ln3 12 3 2 1 2 1 =−= − = − ∫ x dx x ; 2) ( ) 2 5 ln 3 4 3 2ln4 3 5ln4 3 23ln4 23 4 1 0 1 0 =−= + = + ∫ x dx x ; 3) = π +−= π + ππ ∫ 2 0 2 0 3 2cos 2 1 3 2sin xdxx 2 1 3 cos 3 cos2 2 1 3 cos 3 cos 2 1 = π = π −−= π − π +π−= . № 1011 1) π=+ π +− π =−= − = π π− π π− π π− ∫∫ 0 2 0 2 2sin 4 1 2 1 2 2cos1 sin2 xxdx x xdx . 2) 2 1 4 1 4 1 2cos 4 1 2sin 2 1 cossin 2 0 2 0 2 0 =+=−== π ππ ∫∫ xxdxxdxx . 3) ( ) 2 1 0 2 1 2sin 2 1 2cossincos 4 0 4 0 4 0 22 =−===− π ππ ∫∫ xxdxdxxx . 4. ( ) ( ) ∫∫∫ πππ =−=−=+ 0 2 0 22 0 44 2sin 2 1 1cossin21cossin xdxxxdxxx =+= += +− = πππ ∫∫ 000 16 4sin 4 3 4 4cos 4 3 4 4cos14 x xdx xx 4 3 000 4 3 π =−−+ π ; www.5balls.ru
- 114. 110 5) ( )( ) 388833 3 2 3 2 1 2 3 453 0 4545 3 0 45 3 0 2 =+=++=+=+ ∫∫ xxxxdxxxdxxx 6) ( ) =−+−= − +−= − +− ∫∫ 4 3 24 3 4 3 4 2ln2 22 1 2 2 54 xx x dx x xdx x xx 2 3 2ln1ln6 2 9 2ln88 +=−+−+−= . № 1012 ( ) =+−−=−=−∫ 2224 22 1 2 1 bbbxbxdxxb bb bbbbb 562;2 22 −≥+−−+−−= b2 – 4b + 4 ≤ 0 (b – 2)2 ≤ 0, это возможно только при b = 2. § 58 Вычисление площадей с помощью интегралов № 1013 а) ( ) 3 2 84 3 1 4 3 1 4 3 4 1 1 31 1 2 =+++=+=+= − − ∫ x x dxxS ; б) ( ) 3 2 11 3 2 3 2 1 1 0 1 0 =+=+=+= ∫ xxxdxxS ; в) 4ln204ln2ln2 2 4 1 4 1 =−=== ∫ xdx x S . № 1014 1) АВС – искомая фигура, ( ) ( ) =−++=+= ∫∫ − 1 0 0 1 2 11 dxxdxxSSS OBCABOABC 6 5 2 1 111 3 1 23 1 0 2 1 02 3 =−++−=−+ ++= − x xxx x ; www.5balls.ru
- 115. 111 2) АВС –искомая фигура ( ) ( ) −++=−++=+= − − ∫∫ xx x dxxdxxSSS DBCABDABC 42 2 42 1 2 22 1 2 1 2 ( ) 6 1 6 6 37 3 11 3 16 2 2 5 3 1 4 3 8 8422 2 1 3 2 1 3 ==−++= −−−+−−+=− x . 3) ОАВ – искомая фигура 4х – х2 = 4 – х, х2 – 5х + 4 = 0, х = 2 16255 −± х1 = 4, х2 = 1 ( ) ( ) =−+−=+= ∫∫ 4 1 1 0 2 44 dxxdxxxSSS CABOACOAB 6 1 6 2 1 4816 3 1 2 2 4 3 2 4 1 2 1 0 3 2 =+−−+−=−+−= x x x x ; 4) 3х2 = 1,5х + 4,5, 2х2 – х – 3 = 0 4 2411 +± =x , 2 3 1 =x , х2 = –1 АВО – искомая фигура ++=+ +=+= − −− − − ∫∫ 1 3 20 1 2 1 3 2 9 4 3 3 2 9 2 3 x x dxxdxxSSS CBOABCABO www.5balls.ru
- 116. 112 41961 4 27 4 27 2 9 4 30 1 3 =++−=++−−=+ − x № 1015 1) ()2 2−= xx , х = 1 ОАВ – искомая фигура ( ) ( ) = − +=−+=+= ∫∫ 2 1 31 0 2 1 2 1 0 3 2 3 2 2 x xxdxxdxxSSS CABOACOAB 1 3 1 0 3 2 =++= ; 2) ОАВ – искомая фигура; х3 = 2 х – х2 х1=0, х2 + х – 2 = 0, х2 = –2; х3 = 1 ( ) =−+=−+=+= ∫∫ 2 1 3 2 1 0 42 1 2 1 0 3 34 2 x x x dxxxdxxSSS CABOACOAB 12 11 12 25 3 3 1 1 3 8 4 4 1 =−=+−−+= www.5balls.ru
- 117. 113 № 1016 1) АВO– искомая фигура; х2 + 3х = 0, х1 = 0; х2 = –3 ( ) 5,4 2 27 9 2 3 3 3 0 3 230 3 2 =+−=−−=−−== −− ∫ xx dxxxSS ACOABO 2) х2 – 4х + 3 = 0; D/4 = 4 – 3 = 1, х = 3, х = 1 ( ) =−+−=−+−== ∫ 3 1 2 33 1 2 32 3 34 xx x dxxxSS CDBCAB 3 1 132 3 1 9189 =+−+−+−= № 1017 1) у = х2 + 1; у = 3 – х х2 + 1 = 3 – х, х2 + х – 2 = 0, 2 811 +±− =x , х1 = 1, х2 = –2 www.5balls.ru
- 118. 114 ВСМ – искомаяфигура ( ) ( ) −−=+−−=−= −−− ∫∫ 1 2 21 2 2 1 2 2 313 x xdxxdxxSSS ABMCDABCDBCM 2 1 42 3 8 1 3 1 26 2 1 3 3 1 2 3 =−−−−++−= +− − x x 2) у = (х + 2)2 ;у = х + 2 АВМ – искомая фигура 1;2 023,244 21 22 −=−= =+++=++ xx xxxxx ( ) ( ) −+=+−+=−= − − − − − − ∫∫ 1 2 21 2 2 1 2 2 2 22 x x dxxdxxSSS AMCABCAMB 6 1 3 7 2 2 1 88 3 8 42 3 1 422 2 1 42 3 1 2 2 3 =−+=−+−+−++−−= ++− − − xx x 3) у = x ; у = х ОМА – искомая фигура www.5balls.ru
- 119. 115 1;0,0 0, 21 2 ===− >= xxxx xxx 6 1 2 1 3 2 23 2 1 0 21 0 1 0 1 0 =−=−=−=−= ∫∫ x xxxdxdxxSSS OACOMACOMA №1018 1) у = 6х2 ; у = (х – 3) (х – 4); у = 0 6х2 = (х – 3) (х – 4), 6х2 = х2 – 7х + 12 5х2 + 7х – 12 = 0; D = 49 + 240 = 172 х1 = 1, х2 = –2,4 DАВ – искомая фигура ( ) +=+−+=+= ∫∫ 1 0 3 3 1 2 1 0 2 21276 xdxxxdxxSSS CABAOCAOB 3 2 6 3 1 283512 2 7 3 1 36 2 63 9212 2 7 3 3 1 23 =−−=−+−+−+= +−+ x xx www.5balls.ru
- 120. 116 2) у =4 – х2 , у = (х – 2)2 , у = 0 а) 2,0,042;444 21 222 ===−+−=− xxxxxxx б) 2,2;04 21 2 =−==− xxx АВMC – искомая фигура ( ) ( ) +−=−+−=+= −− ∫∫ 0 2 32 0 2 0 2 2 3 424 x xdxxdxxSSS OBMCABOABMC 8088 3 8 3 8 8042 3 2 0 2 3 =−+−+−+= +−+ xx x № 1019 1) Найдем уравнение прямой: общий вид: у = kx + b, подставим точки: (0; 0); 0 = k ⋅ 0 + b b = 0, π 1; 2 ; 2 1 π ⋅= k , π = 2 k , xy π = 2 , =− π =+ π =+= π π π π π π ∫∫ 2 2 0 2 2 2 0 cossin 2 x x xdxxdxSSS BADOABOAD 1 4 01 4 + π =++ π = www.5balls.ru
- 121. 117 2) OAB –искомая фигура =+−=+=+= π π π π π π ∫∫ 2 4 4 0 2 4 4 0 sincoscossin xxxdxxdxSSS DABOADOAB 22 2 2 1 2 2 −=−++−= № 1020 1) у = 6х – х2 ; у = х + 4 6х – х2 = х + 4, х5 – 5х + 4 = 0, х1 = 4, х2 = 1 ВMD – искомая площадь ( ) ( ) =+−−=−= ∫∫ 4 1 4 1 2 46 dxxdxxxSSS CBDFCMFBMD ( ) ( ) =−+−=−+−=−−−= ∫∫ 4 1 234 1 2 4 1 2 4 2 5 3 4546 x xx dxxxdxxxx 2 1 4 2 1 2 3 63 284 2 5 3 1 1640 3 64 =−−=+−+−+−= 2) у = 4 – х; у = х + 2 www.5balls.ru
- 122. 118 4 – х2 =х + 2, х2 + х – 2 = 0, х1 = –2, х2 = 1 ( ) ( ) ( )∫∫∫ −−− =+−−=+−−=−= 1 2 2 1 2 1 2 2 224 dxxxdxxdxxSSS ACDABCDABC 2 1 4 2 1 3842 3 8 2 2 1 3 1 2 23 1 2 23 =−−=++−+−−=+−−= − x xx № 1021 1) у = 2 – х2 ; у = –х 2 – х2 = –х, х2 – х – 2 = 0, х = 2, х = –1 BCD – искомая фигура Перенесем ее на вектор (0; 2), тогда функции примут вид: у = 4 – х2 и у = 2 – х ( ) ( ) =−−−=−== ∫∫ −− 2 1 2 1 2 2411111111 dxxdxxSSSS DABDCABBCDDCB ( ) =+−−++−=++−=++−= − − ∫ 2 2 1 3 1 42 3 8 2 23 2 2 1 232 1 2 x xx dxxx 2 1 4 2 1 38 =−−= www.5balls.ru
- 123. 119 2) у =1; х = 0; у = sin х; 2 0 π ≤≤ x ABO – искомая фигура ( ) =+=−=−=−= π πππ ∫∫∫ 2 0 2 0 2 0 2 0 cossin1sin1 xxdxxxdxdxSSS OBCOABCABO 1 2 100 2 − π =−−+ π = № 1022 1) Найдем прямую у = kx + b (0; –3); –3 = k ⋅ 0 + b, b = –3; (1; 0); 0 = k – 3, k =–3, y = 3x – 3 –х2 + 4х – 3 = 3х – 3, х2 – х = 0, х1 = 0, х2 = 1 ABС – искомая фигура Рассмотрим симметричную ей фигуру A1B1С1. ( ) ( ) =+−−+−=−== ∫∫ 1 0 2 1 0 3433111111 dxxxdxxSSSS CBOACOAABCCBA ( ) 6 1 0 2 1 3 1 23 1 0 231 0 2 =++−=+−=+−= ∫ xx dxxx www.5balls.ru
- 124. 120 2) у =–х2 , у = –2, –х2 = –2, х2 = 2, х = 2± AОB – искомая фигура Рассмотрим симметричную ей фигуру A1ОB1. =−=−== ∫∫ −− 2 2 2 2 2 211111 dxxdxSSSS DOBCABDOAOBAAOB ( ) 3 28 3 22 22 3 22 22 3 22 2 2 32 2 2 =−+−=−=−= −− ∫ x xdxx . 3) у = 1 – х2 ; у = х2 – 1, 1 – х2 = х2 – 1, 2х2 = 2, х = ± 1 ABСD – искомая фигура, SABC = SADC ( ) = −=−==+= − − ∫ 1 1 31 1 2 3 2122 x xdxxSSSS ABCADCABCABCD 3 2 2 3 1 1 3 1 12 = −+−= www.5balls.ru
- 125. 121 4) у =х3 ; у = 1; x = –2 ABCO — искомая фигура, SABCО = SDBCO + SADO,; SDBCO = SDBKO + SKOC; SDBKO = 2 ⋅ 1; 4 3 4 1 1 4 111 1 0 41 0 3 =−=−=−⋅=−= ∫ x dxxSSS OCMOKCMKOC Теперь рассмотрим фигуру, симметричную ADO – A1DO: 4 4 16 0 4 0 2 40 2 3 1 =+=−=−== −− ∫ x dxxSS DOAADO SABCО = 2 + 4 3 + 4 = 6 4 3 . № 1023 1) у = х2 + 10; (0; 1). Уравнение касательной у = kx + b (0; 1); 1 = k ⋅ 0 + b, b = 1, у = kх + 1 у = f (х0) + k (x – x0), где х0 – точка касания у = 2 0x + 10 + kx – kх0, значит: kx + 1 = 2 0x + 10 + kx – kх0 2 0x – kх0 + 9 = 0, но k = f ′(х0) = 2х0 www.5balls.ru
- 126. 122 2 0x – 22 0x + 9 = 0 9 – 2 0x = 0 х0 = ± 3 Т.е. k = ± 6 y = 6x + 1 y = –6x + 1 ABCD – искомая фигура. ( ) ( ) ( ) = +−+=−== ∫∫ 3 0 3 0 2 1610222 dxxdxxSSSS OADNOCDNACDABCD ( ) ( ) 1827279293 3 2962 3 0 2 33 0 2 =+−= +−=+−= ∫ xx x dxxx . 2) у = x 1 ; х = 1, и касат. х0 = 2 у(х0) = 2 1 , у′ = 2 1 x − , у′(х0) = 4 1 − , ( )2 4 1 2 1 −−= xy , 1 4 1 +−= xy ; АВС – искомая фигура = −+= +−−=−= ∫∫∫ 2 1 2 1 2 1 1 4 11 1 4 11 dxx x dxxdx x SSS MACDMBCDABC 8 5 2ln 8 3 12ln1 8 1 02 2 1 2ln 8 ln 2 1 2 −=+−=+−−−+=−+= x x x . www.5balls.ru
- 127. 123 № 1024 у =х2 +1; у = 0; х = 0; х = 1 1) Уравнение касательной: у = f (х0) – f ′(х0) (х – х0), у = у0 + 2х0 (х – х0), у = 2х0 ⋅ х + 2 0x – 2 2 0x + 1, у = 2х0 ⋅ х – 2 0x + 1; 2) OMND – искомая трапеция ( ) 0112 2 00 1 0 2 0 2 0 1 0 2 00 −+−=+−=+−= ∫ xxxxxxxdxxxxSOMND Найдем наибольшее значение функции на (0; 1). f (х) = –х2 + х + 1, f ′(х) = –2х + 1, f ′(х) = 0, 2х – 1 = 0, х = 2 1 , х = 2 1 – точка max., х0 = 2 1 , у0 = 4 1 11 2 1 2 =+ . Ответ: 4 5 ; 2 1 . § 59 Применение производной и интеграла к решению практических задач № 1025 v(t) = s′(t), s – первообразная v(t) 1) ( ) ( ) 6846413 4 0 3 4 0 2 =+=+=+= ∫ ttdttts ; 2) ( ) ( ) 3 1 21 3 2 418 2 1 3 2 2 9 18 23 2 2 3 1 233 1 2 =−+=−−+=+=+= ∫ tt dtttts . № 1026 1) v(t) = 0, 4t – t2 = 0, t = 0, t = 4; www.5balls.ru
- 128. 124 2) ( )( ) ( ) 3 2 100 3 64 32 3 24 4 0 3 2 4 0 2 2 1 =−−=−=−== ∫∫ t tdtttdttvts t t . № 1027 1) у = 3х – 2х2 + С; 2) у = 2х3 – 4х2 + х + С; 3) Cey x += 2 2 3 ; 4) CxCxy +=+⋅⋅= 2sin22sin 2 1 4 . 5) у = 3 ⋅ (–cos х) + С = –3cos х + С; 6) у = sin x + cos x + C. № 1028 1) у = –cos x + C; –cos 0 + C = 0, C = 1, y = –cos x + 1 2) у = 2sin x + C; 2sin π + C = 1, C = 1, y = 2sin x + 1 3) у = x3 + 2x2 – x + C; 1 + 2 – 1 + C = –2, C = –4; y = x3 + 2x2 – x – 4 4) у = 2x + x2 – x3 + C; –2 + 1 + 1 + C = 2, C = 2; у = 2x + x2 – x3 + 2 5) у = ex + C; e + C = 1,C = 1 – e,y = ex + 1 – e 6) у = –e–x + C; –1 + C = 2 C = 3 y = –e–x + 3. № 1029 y′ = –С1ωsin ωx + С2ωcos ωx; y′′ = –С1ω2 cos ωx – С2ω2 sin ωx; y′′ + ω2 у = –С1ω2 cos ωx – С2ω2 sin ωx + ω2 С1cos ωx + ω2 С2sin ωx = 0; 0 = 0 – верно при любых С1 и С2. № 1030 Скорость распада m′(t) = л10 г001,0 =0,0001 m′(t) = k m (t) решение m(t) = m0e–kt В нашем случае m′(t)=0,0001 и m0=1, t=10, m(t) = 0,999, 0,999=1⋅ e–10k e–10k = 0,999, –10k = ln 0,999, 10 999,0ln −=k , t e ⋅ ⋅= 10 999,0ln 15,0 , 5,0ln 10 999,0ln =⋅t , 999,0ln 5,0ln10 =t , t ≈ 6928. № 1031 F = kx; 2 01,0 2 === x F k , F = 200x 09,0009,0100200 03,0 0 03,0 0 2 =−=== ∫ xxdxA Дж. № 1032 F = kx, 300 01,0 3 === x F k , F = 300x www.5balls.ru
- 129. 125 96,0150300 08,0 0 2 08,0 0 === ∫ xxdxAДж. Упражнения к главе Х № 1033 1) f (x) = cos x, тогда F(x) = sin x + C (0; –2): –2 = sin 0 + C, C = –2; F(x) = sin x – 2 2) f (x) = sin x, тогда F(x) = –cos x + C (–π; 0): 0 = –cos (–π) + C, C = –1; F(x) = –cos x – 1. 3) f (x) = x 1 , тогда F(x) = x2 + C (4; 5): 5 = 42 + C , C = 1; F(x) = x2 + 1 4) f (x) = ex , тогда F(x) = ex + C (0; 2): 2 = 1 + C, C = 1; F(x) = ex + 1. 5) f (x) = 3x2 + 1, тогда F(x) = x3 + x + C (1; –2): –2 = 1 + 1 + C, C = –4; F(x) = x3 + x – 4 6) f (x) = 2 – 2x, тогда F(x) = 2x – x2 + C (2; 3): 3 = 4 – 4 + C, C = 3; F(x) = 2x – x2 + 3. № 1034 1) 62422 2 1 2 1 =+== − − ∫ xdx ; 2) ( ) 122626 2 33 2 2 22 2 =++−=−=− −− ∫ x xdxx ; 3) ( ) 3 2 1 3 1 99 3 2 3 1 2 33 1 2 =+−−=−=−∫ x x dxxx ; 4) ( ) 2111132 1 1 32 1 1 2 −=−−−=−=− −− ∫ xxdxxx ; 5) ( ) 4 1 11 4 45 116 4 3 4 3 8 1 3 8 1 3 ==−==∫ xxdxx ; 6) 8 3 2 1 8 1 2 1 8 1 2 2 1 3 =+−=−=∫ xx dx ; 7) 2 2 sin 2 sinsincos 2 2 2 2 = π −− π == π π − π π − ∫ xxdx . № 1035 1) у = x ; х = 1; х = 4; у = 0 АВСD – искомая фигура ( ) 3 2 4 3 14 18 3 2 3 2 4 1 4 1 ==−=== ∫ xxdxxS ABCD www.5balls.ru
- 130. 126 2) у =cos x х = 0 х = 3 π у = 0; OАВС – искомая фигура; 2 3 0sin 3 sinsincos 3 0 3 0 =− π === π π ∫ xxdxSOABC ; 3) у = x2 ; у = 2 – х, х2 = 2 – х, х2 + х – 2 = 0, х1 = –2, х2 = 1, ЕОА – искомая фигура ( ) ( ) =+−−=−−=−= ∫∫∫ −−− 1 2 2 1 2 2 1 2 22 dxxxdxxdxxSSS EDOACDEACEOA 2 1 4 2 1 3842 3 8 2 2 1 3 1 2 23 1 2 23 =−−=++−+−−=+−−= − x xx 4) у = 2x2 ; у = 0,5х + 1,5; 2х2 = 0,5х + 1,5, 4х2 – х – 3 = 0; D = 1 + 48 = 49, х1 = 1 х2 = 4 3 − , АОВ – искомая фигура, www.5balls.ru
- 131. 127 =− +=−= ∫∫ −− 1 4 3 2 1 4 3 2 2 3 2 dxxdx x SSS DAOBCDABCAOB −++−=++−= ++−= −− ∫ 2 3 4 1 3 2 2 3 43 2 2 3 2 2 1 4 3 231 4 3 2xxx dx x x 192 151 1 64 45 12 13 42 33 416 9 643 272 =+= ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − . № 1036 1) ( ) 121285 1 0 45 1 0 34 −=−=−=−∫ xxdxxx ; 2) ( ) 15 2 5 2 3 1024 2 5 2 3 56 2 1 24 2 1 3 =+−−=−=− −− ∫ xxdxxx (опечатка в ответе задачника) 3) =−= −= − ∫∫ 4 1 4 1 4 1 142 7 3 7 3 xxxdx x xdx x x 01422816 =+−−= ; 4) =−= −= − ∫∫ 8 1 33 8 1 3 2 3 8 1 3 483 16 4 4 14 xxxdx x xdx x x 34839648 −=+−−= ; 5) ( ) 3 1 5 3 16 8 3 2 11 3 2 1 3 0 3 0 ==⋅=++=+∫ xxdxx ; 6) ( ) ( ) 3 2 8 3 1 9 3 32 2 1 32 3 2 32 6 2 36 2 3 6 2 =−= − =⋅−=−∫ x xdxx . www.5balls.ru
- 132. 128 № 1037 1) = π − π = π += π + ππ ∫ 4 sin 2 sin 2 1 4 sin 2 1 4 cos 2 1 4 0 4 0 xdxx 4 22 2 2 1 2 1 − = −= ; 2) = π −−−= π −−= π − ππ ∫ 3 cos0cos 3 1 3 cos 3 1 3 sin 3 1 3 0 3 0 xdxx 6 1 2 1 1 3 1 −= −−= ; 3) ( ) ( ) ( ) ( )=−++−=−⋅−=−∫ 3cos3cos63cos163sin3 3 1 3 1 xdxx 03cos3cos =+−= ; 4) ( ) ( ) ( )( )=−−=−=−∫ 12sin0sin2124sin2124cos8 3 0 3 0 xdxx ( ) 12sin212sin02 =+= . № 1038 1) у = x 1 ; у = 4х; х = 1; у = 0, x 1 =4х, 4х2 = 1, х = 2 1 ± . ОАВС – искомая фигура =+=+=+= ∫∫ 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 0 ln2 1 4 xxdx x xdxSSS DABCOADOABC 2 1 ln 2 1 2 1 ln1ln 2 1 −=⋅+= ; www.5balls.ru
- 133. 129 2) у = 2 1 x ;у = х; х = 2; у = 0; 2 1 x = х, х3 = 1, х = 1. ОАВС – искомая фигура 11 2 1 2 11 2 1 2 1 1 0 22 1 2 1 0 =+−=−=+=+= ∫∫ x x dx x xdxSSS DABCOADOABC . 3) у = х2 + 1; у = х + 1, х2 + 1 = х + 1, х2 – х = 0, х1 = 0, х2 = 1 АМВ – искомая фигура ( ) ( ) ( )∫∫∫ =−−+=+−+=−= 1 0 2 1 0 2 1 0 1111 dxxxdxxdxxSSS OAMBCOABCAMB ( ) 6 1 3 1 2 1 32 1 0 321 0 2 =−=−=−= ∫ xx dxxx ; 4) у = х2 + 2; у = 2х + 2 х2 + 2 = 2х + 2, х2 – 2х = 0, х1 = 0, х2 = 2 АМВ – искомая фигура ( ) ( ) =+−+=−= ∫∫ 2 0 2 2 0 222 dxxdxxSSS OAMBCOABCAMB ( ) 3 1 1 3 8 4 3 2 2 0 3 2 2 0 2 =−=−=−= ∫ x xdxxx . www.5balls.ru
- 134. 130 № 1039 1) у= х2 – 6х + 9; у = х2 + 4х + 4; у = 0 х2 – 6х + 9 = х2 + 4х + 4, 10х = 5, х = 2 1 АВС – искомая фигура ( ) ( ) +++=−++=+= − − ∫∫ 2 1 2 2 33 2 1 2 2 1 2 2 42 3 32 xx x dxxdxxSSS DBCABDABC =−+−+−++−+++=+−+ 2 9 4 3 24 1 2727988 3 8 2 2 1 24 1 93 3 3 2 1 2 3 xx x 12 5 10 12 41 7 3 8 4 3 411 =+=++−= 2) у = х2 + 1; у = 3 – х2 х2 + 1 = 3 – х2 , 2х2 = 2, х2 = 1, х = ± 1 BCDN – искомая фигура www.5balls.ru
- 135. 131 ( ) () =+−−=−= ∫∫ −− 1 1 2 1 1 2 13 dxxdxxSSS ABNDMABCDMBCDN ( ) 3 2 22 3 2 2 3 2 2 3 2 22 1 1 31 1 2 =+−+−=+−=+−= − − ∫ x x dxx . 3) у = х2 ; у = 2 x2 , х2 = 2 x2 , х4 = 8х, х (х3 – 8) = 0, х1 = 2, х2 = 0, OMAN – искомая фигура ( ) =−=−=−= ∫∫∫ 2 0 2 2 0 2 2 0 2222 dxxxdxxdxxSSS ONABOMABOMAN 3 8 3 8 3 16 32 1 22 3 4 2 0 3 =−=−⋅= x xx . 4) у = x ; у = x34 − ; у = 0 x = x34 − , х = 4 – 3х, 4х = 4, х = 1 ОАВ – искомая фигура ( )×−+=−+=+= ∫∫ xxxdxxdxxSSS CABOACOAB 34 3 2 3 2 34 1 0 3 4 1 1 0 9 8 9 2 0 3 2 3 1 3 4 1 =+−=× . www.5balls.ru
- 136. 132 № 1040 1) у= х2 – 2х + 2; х = 1, точка пересечения параболы с Оу х = 0;у = 0 – 2 ⋅ 0 + 2 = 2; (0; 2) у(0) = 2; у′ = 2х – 2, у′(0) = 2 ⋅ 0 – 2 = –2, у = 2 – 2 (х – 0), у = –2х + 2, АВС – искомая фигура ( ) ( ) ( ) ==+−−+−=−= ∫∫∫ 1 0 2 1 0 1 0 2 2222 dxxdxxdxxxSSS OACOABCABC 3 1 3 1 0 3 == x . 2) у = x 4 ; х0 = 2; у = 0; х = 6, у(2) = 2, у′ = – 2 4 x , у′(2) = – 4 4 = –1, у = 2 – (х – 2) у = –х + 4, DABC – искомая фигура; www.5balls.ru
- 137. 133 ( ) =−+=+−−=−=∫∫ 4 2 2 6 2 4 2 6 2 4 2 ln44 4 x x xdxxdx x SSS KADKABCDABC 23ln4821682ln46ln4 −=+−−+−= № 1041 1) у = х3 – 3х2 – 9х + 1; х = 0; у = 6; х < 0 АВС – искомая фигура ( ) =+−−−=−= ∫∫ −− 0 1 23 0 1 1936 dxxxxdxSSS MACOMABOABC ( ) =+++−=+++−= − − ∫ 0 1 2 3 40 1 23 5 2 9 4 593 x x x x dxxxx 4 3 1 4 7 4 17 65 2 9 1 4 1 ==−=+−+= 2) у = х4 – 2х2 + 5; у = 1; х = 0; х = 1 АВСD – искомая фигура ( ) =−+−=−= ∫∫ 1 0 1 0 24 152 dxdxxxSSS OADKOBCKABCD ( ) 15 8 3 15 7 44 3 2 5 1 4 3 2 5 42 1 0 351 0 24 =−=+−=+−=+−= ∫ x xx dxxx . www.5balls.ru
- 138. 134 № 1042 у =х2 + рх – парабола, ветви направлены вверх. Вершина −− 4 ; 2 2 pp , пересечение с осями: (-р; 0) и (0; 0). Рассмотрим два случая. а) р > 0. у = kx + 1 проходит через (0; 1) х2 + рх = kх + 1, х2 + (р – k)x – 1 = 0, D = (р – k)2 + 4 Точки пересечения: 2 1 Dpk x −− = , 2 2 Dpk x +− = ( ) ( ) =−−+=+−+= ∫∫ 2 1 2 1 2 1 2 1 232 1 232 2 x x x x x x x x x p x x x kdxpxxdxkxS ( ) ( ) ( ) =−+−−+−−=+−−= 2 3 1 2 12 3 2 2 2 32 323232 2 1 x xx pkx xx pkx xx pk x x ( ) ( ) ( )12 2 1 2 2 3 1 3 2 23 1 xxxx pk xx −+− − +−−= , но х2 – х1 = D ( ) ( ) ( ) DpkDpkDpkxx −= −−−+−=− 222 1 2 2 4 1 ( )( ) ( ) ( ) −−++−=++−=− 222 121 2 112 3 1 3 2 4 1 pkDpkDxxxxxxxx ( ) ( ) ( )( )=−−++−= −−+− DpkDpkDDpkD 222 22 4 1 ( )( )DpkD +−= 2 3 4 1 ( )( ) ( ) =+− − ++−⋅−= DDpk pk DpkDS 2 3 4 1 3 1 2 ( ) ( ) ( ) +−−= +−+−−−= 1 12 1 4 1 1 2 1 12 1 4 1 222 DpkDpkDpkD т.к. D = (p – k)2 + 4, то www.5balls.ru
- 139. 135 ( ) () ( ) ( ) ×+−= +−−−−⋅+−= 41 3 1 12 1 4 1 4 2222 kppkpkkpS ( ) ( ) ( )( )44 6 1 3 2 6 1 222 +−⋅+−= +−× pkkppk . Найдем наименьшее S(k) Пусть (p – k)2 + 4 = t, ( ) tttS 6 1 = , t ∈ [4; +∞), S(t) – возрастаю- щая функция, поэтому наше значение достигается при t=4, (p – k)2 = 0, p = k; б) р < 0 – этот случай симметричен а). Все выкладки те же и ответ: k = p. Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал анализа. № 1043 08,0 100 8 10 32 40 1 2,3025,0 ==⋅=⋅ . № 1044 0,42 ⋅ х = 12,6, 30 61 1018 4210 100126 42,0 6,12 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ==x . № 1045 ( )% 3 1 3 3 10 3910 10013 100 39 3,1 == ⋅ ⋅ =⋅=x . № 1046 ( )%400 5 10002 116510 100100466 100 65,11 6,46 = ⋅ = ⋅ ⋅⋅ =⋅=x . № 1047 1,75 ⋅ х = 78,75, 45 175100 1007875 75,1 75,78 = ⋅ ⋅ ==x . № 1048 5,13 2 27 2 15 5 9 5,78,1 ==⋅=⋅=x . № 1049 х – исходная цена 1) понизили на 24%; х1 = (х – 0,24х) = 0,76х 2) снизили на 50%х1 ; х2 = (х1 – 0,5х1) = 0,5х1 = 0,5 ⋅ 0,76х = 0,38х х – х2 = х – 0,38х = 0,62х Цена уменьшилась на 62%. № 1050 цинк х = 18 кг, олово у = 6 кг, медь z = 36 кг % цинка %30%100 36618 18 %100 =⋅ ++ =⋅ ++ = zyx x www.5balls.ru
- 140. 136 % олова %10%100 36618 6 %100=⋅ ++ =⋅ ++ = zyx y % меди %60 60 36 %100 ==⋅ ++ = zyx z . Ответ: цинк – 30%, олово – 10%, медь – 60%. № 1051 Пусть х – стоимость товара, у – стоимость перевозки. Тогда из условий следует, что: = = = = = =+ 292 3650 , 08,0 394208,1 , 08,0 3942 y x xy x yx yx . Ответ: 3650 р. № 1052 Пусть h = 5 см – высота, S = 4 см2 – площадь основания. ShV ⋅= 3 1 1 , 222 3 1 ShV ⋅= , h2 = 1,1h, S2 = 1,1S 12 21,1 3 1 21,11,11,1 3 1 VShShV =⋅⋅⋅=⋅⋅= ( ) ( ) %21%100121,1%100 112 =⋅−=⋅− VVV . Ответ: объем увеличится на 21%. № 1053 Пусть х – искомое число, тогда х = а ⋅ 72 + 68 ( ) 8 12 5612 8 12 125 12 126 12 68 12 72 12 + + =+ ⋅ + ⋅ =+ ⋅ = aaax Ответ: Остаток: 8. № 1054 Пусть эти числа х и у. Тогда: = = = = = =+ = =+ 500 600 6 5 1100 6 11 6 5 1100 05,006,0 1100 x y yx x xy yx yx yx Ответ: Наибольшее – 600. № 1055 За первый год он получит прибыль 0,03 ⋅ 600 = 18 (р.). На счету будет 600 + 18 = 618 р. В конце второго года он получит: 1,03 ⋅ 618 = 636,54 (р.), а за третий – 1,03 ⋅ 636,54 = 655,64 (р.). www.5balls.ru
- 141. 137 № 1056 За годон получил бы 0,02 ⋅ 500 = 10 р., а за месяц он получил 6 5 10 12 1 =⋅ р. Он снял 100 р., на счете осталось 400 6 5 р. Через год он полу- чит 1,02 ⋅ 400 6 5 = 408,85 р. № 1057 1) 23,276 : 2,3 – 3,6 ⋅ (17,2 ⋅ 0,125 + 0,005 : 0,1) + 6,25 ⋅ 3,2 Выполним по действиям. а) 12,10 100 1012 231000 1023276 3,2:276,23 == ⋅ ⋅ = ; б) 2,2 200 440 100 5 20 43 11000 105 810 1172 1,0:005,0125,02,17 ==+= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =+⋅ ; в) 92,7 100 792 10 22 10 36 )26,3 ==⋅=⋅ ; г) 20 100 2000 10 32 100 625 2,325,6 ==⋅=⋅ ; д) 1) – 3) + 4) = 10,12 – 7,92 + 20 = 22,2. 2) 9,25 ⋅ 1,04 – (6,372 : 0,6 + 1,125 ⋅ 0,8) : 1,2 + 0,16 ⋅ 6,25 Выполним по действиям. а) 62,9 1000 9620 100 104 100 925 04,125,9 ==⋅=⋅ ; б) ==+= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =⋅+ 100 1152 10 9 100 1062 108 89 61000 106372 8,0125,16,0:372,6 52,11 ; в) 6,9 10 96 12100 101152 2,1:)2 == ⋅ ⋅ = ; г) 1 1000 1000 100100 62516 25,616,0 == ⋅ ⋅ =⋅ ; д) 1) – 3) + 4) = 9,62 – 9,6 + 1 = 1,02. № 1058 1) 4 3 9 2 1 10 7 1 3 2 1 1:14 4 3 9 3 2 122: 3 1 7 4 3 1:28 − ⋅ +⋅++ . Выполним по действиям. а) + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =+⋅++ 43 395 223 122 7 428 2 1 1:14 4 3 9 3 2 122: 3 1 7 4 3 1:28 =+= + +=++=+++= ⋅ + 12 311 16 12 195116 16 4 65 3 29 16 3 28 4 65 3 1 16 3 214 12 503 12 11 41 == ; б) 42 5533 712 22503 7 1 3)1 = ⋅ ⋅ =⋅ ; в) 4 3 4 39 2 21 4 3 9 2 1 10 =−=− ; www.5balls.ru
- 142. 138 г) 63 11066 342 45533 )3 )2 = ⋅ ⋅ = . 2) ()108,0358,0: 12 7 6 5 125,0:375,0 2 1 − −+ − Выполним по действиям. а) ( ) 1125,0:125,0125,0:375,05,0125,0:375,0 2 1 ==−= − ; б) ( ) 1 14 41 25,0: 12 710 108,0358,0: 12 7 6 5 = ⋅ ⋅ = − =− − ; в) 1) + 2) = 1 + 1 = 2. № 1059 1) 4 1 1: 8 1 :10 x= , 100 4 5810 4 1 1 8 1 :10 = ⋅⋅ =⋅=x ; 2) 2 1 14: 2 1 975,0: =x , 116 57 2924 2193 2 1 14: 2 1 975,0 = ⋅⋅ ⋅⋅ =⋅=x ; (опечатка в ответе задачника) 3) 05,1 456,1 15 = x , 8,20 05,1 456,115 = ⋅ =x . № 1060 518345 81 1 4972 125 515 2 1 4 1 4 1 2 1 3 1 2 1 − + ⋅⋅− ⋅ − − Выполним по действиям. 1) 5755515125515 125 515 3 3 1 2 1 =⋅=⋅⋅= ⋅ − ; 2) 147277249724972 44 1 2 1 =⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ ; 3) 14575)2)1 −=− ; 4) 533598145 81 1 42 1 4 1 +=⋅+=+ − ; 5) ( )( ) =−−+=+−=⋅ 542421125522553314575)4)3 51831083+ 6) 10835183518310835183)5 =−+=− . № 1061 1) 227log729log 2 2727 == . www.5balls.ru
- 143. 139 2) ( )339log27log729log 2 9 2 99 =⋅== . 3) ( ) 6163log63log729log 3 1 6 3 1 3 1 −=−⋅=== . № 1062 1) ( ) 3,0 10 3 2log 4 1 5 6 2log2log64log 2 5 6 2 5 1 6 2 5 16 1 44 −=−= −⋅=== −− 2) 01log4loglog16logloglog 848248 === . № 1063 1) 42222 242 8 8 2 1 ==== . 2) 6422222 63932733 3 27 ====⋅ −−⋅− . № 1064 1) 5 1 2 5 11 5 2 5 9 6log3log36log 3 9 log 5 2 6 5 1 2 3 5 653 ==+=+=+ − . 2) ( ) 160161016416416 10log10log5,02110log5,0 4 4 4 =⋅=⋅=⋅=+ . № 1065 1) 5,07 1 5,25,2 . Основания равны, значит будем сравнивать показатели степеней. f (х) = 2,5х – функция возрастающая, т.к. 2,5 > 1. х2 > х1, f (х2) > f (х1); 2 1 7 1 5,25,2 2 1 7 1 <⇒< ; 2) 4 3 3 2 2,02,0 , f (х) = 0,2х – убывает, т.к. 0,2 < 1, х2 > х1 f (х2) < f (х1) Сравним 12 9 и 12 8 или, 4 3 и 3 2 . 4 3 3 2 2,02,0 4 3 3 2 12 9 12 8 >⇒<⇒< . 3) 3log10log 1,31,3 Функция log3,1x – возрастающая, т.к. 3,1 > 1. 3log10log3910 1,31,3 >⇒=> www.5balls.ru
- 144. 140 4) 4 3 log 5 4 log 3,03,0 ,f (х) = log0,3x – убывает, т.к. 0,3 < 1, 4 3 log 5 4 log 4 3 20 15 20 16 5 4 3,03,0 <⇒=>= . № 1066 1) 115 1 >⇒> aa ; 2) 1 1 1 10 3 3,1 > ⋅ ⇒>− aa a ⇒ а < 1, а ∈ (0; 1); 3) а–3,1 < 1 ⇒ а3,1 > 1 ⇒ а > 1; 4) а2,7 < 1 ⇒ а ∈ (0; 1); 5) loga 0,2 > 0 ⇒ loga 0,2 > loga 1 ⇒ а < 1; 6) loga 1,3 > 0 ⇒ loga 1,3 > loga 1 ⇒ а > 1. № 1067 1) 2318 = , 11 45 11 5 9424 11 5 log 3log211 5 log3log 4 2 42 =⋅=⋅= + ( ) 2 2 11 45 121 2025 121 2178 1823 =>== , 11 5 log3log 42 418 + > ; 2) 3 18 , ( ) 5log2log1 5log 2 1 2log 66 66 6 6 1 −− − = , 2 5 5 2 6 1 5 2 log6 = = −− , ( ) 3 33 2 5 8 125 8 144 1818 =>== , 5log 2 1 2log 3 66 6 1 18 − > . № 1068 1) lg 50 = lg (5 ⋅ 10) = lg 10 + lg 5 = 1 + lg 5 0 = lg 1 < lg 5 < lg 10 = 1, значит 1 < 1 + lg 5 < 2, lg50=1+lg5; 2) log2 10 = log2 (2 ⋅ 5) = log2 2 + log2 5 = 1 + log2 5, 2 = log2 4 < log2 5 < log2 8 = 3, 3 < 1 + log2 5 < 4. № 1069 1) −⋅⋅+ ⋅ − ⋅ =−+−⋅ 5233 2 521 3 53 4 125 4180320 2 1 9 5 3 5851051855 2 554 =−+−= ⋅ − 2) ( )− − − − − + = − − + − − 25 253 56 56 26 4 25 3 56 1 ( ) 0262556 26 264 =−−+−+= − + − . www.5balls.ru
- 145. 141 № 1070 1) () ( ) 1313169 22224 −=−=+− aaaaaaa 2) ( ) ( ) ( )1212144 222242 +=+=++ bbbbbbb . № 1071 1) ( ) ( )235 23 235 23 5 += − + = − ; 2) ( ) ( )563 56 563 56 3 −= − − = + ; 3) ( ) ( )7104 710 71012 710 12 += − + = − ; 4) ( ) 311 311 3118 311 8 −= − − = + . № 1072 1) 52 1 10 5 = ; 2) 6 3 6 63 = ; 3) 57 1 572 57 2 57 + = + − = − . № 1073 1) х = 0,444..., 10х = 4,4..., 10х – х = 4,4... – 0,4..., 9х = 4, х = 9 4 ; 2) х = 2,77... 10х = 27,77..., 9х = 25, 9 7 2 9 25 ==x ; 3) х = 0,2121... 100х = 21,21..., 99х = 21, 33 7 99 21 ==x ; 4) х = 1,36... 100х = 136,36..., 99х = 135, 11 4 1 11 15 99 135 ===x ; 5) х = 0,35..., 10х = 3,5..., 100х = 35,35..., 90х = 32, 90 32 =x ; 6) х = 0,213...,100х = 21,3... 1000х = 213,3..., 900х = 192, 75 16 150 32 900 192 ===x . № 1074 1) _50 6 48 0,833... 6 5 = 0,8 (3) www.5balls.ru
- 146. 142 _20 18 20 2) _1,0 9 2 9 1 90,11... 2 9 1 = 2, (1) 10 3) _1,0 7 7 0,1428571... 7 1 = 0, (142857) _30 28 _20 14 _60 56 _40 35 _50 49 10 4) _20 11 5 11 2 11 0,181... 5 11 2 = 5, (18) _90 80 20 № 1075 1) нет; 2) да, например 222 =⋅ ; 3) abab ba 11 += + – нет. № 1076 a, b ∈N ab – рациональное, значит, ab = k2 , b k a 2 = , 2 22 b k bb k b a = ⋅ = , b k b k b a == 2 2 – рациональное число, ч.т.д. № 1077 a – рац. b – иррац. а = а0, а1 ... аk а0, а1 ... аk – цифры; b = b0, b1 ... bk, bk+1 a ⋅ b = (а0 + а1 ⋅ 10–1 + а2 ⋅ 10–2 + ... + аk ⋅ 10–k ) (b0 + b1 ⋅10–1 +...+ bk ⋅ 10–k + + bk+1 ⋅ 10–k–1 ) = а0b0 + ... + а0bk ⋅ 10–k + а0bk+1 ⋅ 10–k–1 + ... – иррац. www.5balls.ru
- 147. 143 a + b= (а0 + а1 ⋅10–1 +...+ аk ⋅ 10–k )+(b0 + b1 ⋅ 10–1 +...+ bk ⋅ 10–k + bk+1 ⋅ 10–k–1 ) = = (а0 + b0) + (а1 + b1) ⋅ 10–1 + ... + (аk + bk) ⋅ 10–k + bk+1 ⋅ 10–k–1 + ... – иррац. k k k k bbbb aaaa b a −−− −−− ⋅++⋅+⋅+ ⋅++⋅+⋅+ = 10...1010 10...1010 2 2 1 10 2 2 1 10 – очевидно, что оно иррацио- нально, а т.к. ( )baa b / 1 = , то это тоже является иррац., ч.т.д. № 1078 1) [ ]7223;1 + , [ ]15;433 + , 4331 +< , 722315 +> , 7223 + , 433 + . Возведем в квадрат. 14122818 ++ , 3241627 ++ , 14123+ , 324 . Сравним 1412 и 324 . Возведем в квадрат. 2016 > 1728 ⇒ отрезки имеют общую точку. 2) ( )627,0 + , ( )10,148 − , 1480 −< , 10936627 <=+<+ . Сравним 627 + , 148 − . Возведем в квадрат 1622627 ++ , 482148 −+ , 218 , 03816 >− . Еще раз возведем в квадрат 648, 3256192256 −+ , 3256200 −> . Имеют общие точки. 3) [ ]6252;2 + и ( )11;2223 + , 22232 +< , 116252 <+ . Сравним 6252 + и 2223 + . Возведем в квадрат 3082420 ++ , 4462218 ++ , 3084 + , 1112 . Возведем в квадрат 308 и 1112 . 1920 > 1584 ⇒ имеют общие точки. 4) [ ]31;1 + и − 4; 13 2 , 13 2 1 − < , 431 <+ . Сравним 31+ и 13 2 − . Умножим оба на 013 >− . (3 – 1) = 2 – но одно отрезок, другой – интервал. Значит, не имеют. № 1079 a < b 1) Пусть а имеет координаты (a, 0), a b – (b, 0). Тогда середина отрезка [a, b] имеет координаты + 0, 2 ba . Точка 2 ba + имеет координаты ++ 2 00 , 2 ba , или + 0, 2 ba – т.е. она совпадает с серединой. www.5balls.ru
- 148. 144 2) Допустим, этаточка не лежит в этом отрезке, тогда либо b c bca > + + 1 , a + bc > b + bc, a > b – противоречие, либо a c bca < + + 1 , a+bc<a+ac, bc<ac, b<a – противоречие, значит, она лежит внутри этого отрезка. № 1080 1) S∆ = 2 1 а ⋅ а ⋅ sin 60° = р ⋅ r, где р = 2 1 (а + а + а). raa ⋅=⋅ 2 3 2 3 2 1 2 , 3 6 36 6 3 322 232 = ⋅ == ⋅⋅ ⋅⋅ = a a a r , 322 == rd ; 2) − = α⋅ απ 22 sinsin2 9 a , 222 coscossin4 9 ααα = a , 16 9 4 9 2 sin = ⋅ = α a , 128 47 256 94 256 812 1sin2cos 2 == ⋅ −=α−=α , °≈⋅α 46,68 128 47 arccos . № 1081 l 120 54tg =° , 2,87 54tg 120 ≈ ° =l . № 1082 l = x + y, ° = ° 68sin 130 22sin x , °= ° °− π = 68ctg130 68sin 68 2 sin130 x ( ) ° = °−° 46sin 130 4690sin y , °= ° ° = 46ctg130 46sin 46cos130 y l = 130 (ctg 68° + ctg 46°) ≈ 178 (м). № 1083 1) 10 8 cos =α , 10 6 10 8 1sin 2 = −=α 8 6 810 106 cos sin tg = ⋅ ⋅ = α α =α , 6 8 tg 1 ctg = α =α 2) 13 5 sin =α , 13 12 169 25 1sin1cos 2 =−=α−=α 12 5 1213 135 cos sin tg = ⋅ ⋅ = α α =α , 5 12 ctg =α www.5balls.ru
- 149. 145 3) 5 12 4,2tg ==α , α =α+2 2 cos 1 tg1 , 13 5 25 144 1 1 tg1 1 cos 2 = + = α+ =α 13 12 169 25 1sin =−=α , 12 5 ctg =α 4) 24 7 ctg =α , α =α+ 2 2 sin 1 ctg1 , 25 24 576 49 1 1 ctg1 1 sin 2 = + = α+ =α , 25 7 25 24 1cos 2 = −=α ; 7 24 tg =α . № 1084 cos 2α = cos2 α – sin2 α = 1 – sin2 α – sin2 α = 1 – 2sin2 α = 1 – 2 9 7 9 1 =⋅ . № 1085 ( )−°−°+ π −π= π −°+ π 30720cos 3 4sin 3 19 cos690cos 3 11 sin 2 1 2 1 2 3 2 3 3 cos30cos 3 sin 3 6cos −=−+−= π −°+ π −= π +π− . № 1086 1) 223 3 4 2 2 3 arcsin31arctg2 π −=π− π = π ⋅− π ⋅=− ; 2) π=π+π= π ⋅+ π ⋅=+ 422 3 6 4 83arctg6 2 2 arccos8 . № 1087 1) 2 3 3 2sin 2 3 arcsin2sin = π ⋅= 2) tg (2arctg3), arctg3 = x, tg x = 3 4 3 8 6 91 32 tg1 tg2 2tg 2 −=−= − ⋅ = − = x x x . № 1088 1) 4 1 2 1 2 1 2log 2 1 2 2 log 2 1 4 sinlog 2 1 224 −= −⋅=== π − ; www.5balls.ru
- 150. 146 2) 01log 4 tglog 1010== π ; 3) 6 1 2 1 3 1 2 2 log 3 1 4 3 sinlog 28 −= −⋅= = π ; 4) 1 2 1 log 3 coslog 22 −== π ; 5) 01log1log00coslog 4 tglog1log 54543 =−=⋅ π − . № 1089 1) ( ) 3 3 3 ctg3arctgctg = π = ; 2) ( ) 1 4 ctgarctg1ctg = π = ; 3) ( )( ) 2 3 3 sin3arctgsin −= π −=− ; 4) 2 1 6 sin 3 1 arctgsin = π = ; 5) ( ) 2 2 4 cosarctg1cos = π = ; 6) ( )( ) 2 1 3 cos3arctgcos = π −=− . № 1090 1) 2 2 arccos6cos . По определению арккосинус числа 22 - это такое число α, -0 ≤ α ≤ π, косинус которого равен 22 . В нашем случае 42 2 arccos π ==α , далее 0 2 cos 2 cos 2 3 cos 4 6cos 2 2 arccos6cos = π −= π +π= π= π ⋅= 2) sin(5arccos0) По определению арккосинус числа 0 – это такое число α, 0 ≤ d ≤ π, ко- синус которого равен 0. В нашем случае α = arccos0 = 2 π , далее ( ) 1 2 sin 2 2sin 2 5 sin 2 5sin0arccos5sin = π = π +π= π = π ⋅= № 1091 1) α−α αα 22 cossin cossin при 4 3 =αtg , 4 3 =αtg , т.е. |sinα| ≠ |cosα|, знамена- тель данного выражения отличен от 0 и выражение имеет смысл, далее ( ) α−= α α ⋅−= α−α− α = α−α αα 2 2 1 2cos 2sin 2 1 sincos2 2sin cossin cossin 2222 tg , www.5balls.ru
- 151. 147 α− α =α 2 1 2 2 tg tg tg ,тогда 11 2 2 1 2 2 1 22 −α α = α− α ⋅−=α− tg tg tg tg tg , 4 3 =αtg по условию, тогда ( ) 7 12 7 16 4 3 1 16 9 4 3 1 4 3 4 3 1 22 −= −⋅= − = − = −α α tg tg , итак, вы- ражение α−α αα 22 cossin cossin при 4 3 =αtg равняется 7 12 − ; 2) sinαcosα, если 3 1 cossin =α+α . Возведем обе части выражения 3 1 cossin =αα в квадрат, получим ( ) 2 2 3 1 cossin =αα , 9 1 coscossin2sin 22 =α+α⋅α+α , 9 1 cossin21 =α⋅α+ , откуда 9 4 cossin −=α⋅α , таким образом 9 4 cossin −=α⋅α . www.5balls.ru
- 152. 146 № 1092 1) ( )() ( )( ) = − − ⋅ ++ −+ − + = − − ++ −− − + 32 2 32 2312 2 2 2 32 : 65 32 2 2 2 2 a a aa aa a a a a aa aa a a ( )( ) ( )( ) ( ) 3 1 232 2 32 2312 2 2 + + = − − ⋅ ++ −+ ⋅ − + = a a a a aa aa a a 2) ( ) ( ) = + ⋅ + − ⋅ + = + ⋅ − ++ + b b b bb b b b b bb bb b 12 122 41212 4 288 : 1 2 22 2 ( ) b b 2 4− № 1093 1) = − − +++ −− + −+− −+ + − 1 2 1 1 1 1 1 4 3 23 2 23 2 2 a a aaa aa aaa aa a a ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − +++ −− + −+− −+ + +− = 11 1 11 1 11 2 2 2 2 aaa aa aaa aa aa a ( )( )( ) ( )( ) ( )( )+ +− −+ + +− = ++− − 11 1 11111 2 2 2 2 3 aa aa aa a aaa a ( )( ) ( )( )( )= ++− − ++ −− + 111 2 11 1 2 3 2 2 aaa a aa aa ( )( ) ( )( )( )= ++− − ++ −− + 111 2 11 1 2 3 2 2 aaa a aa aa ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )111 211111 2 3222 ++− −−−−++−+++ = aaa aaaaaaaaa Преобразуем числитель полученной дроби а(а2 +1)+(а2 +а–1)(а+1)+(а2 –а–1)(а–1)–2а3 =а3 +а+а3 +а2 +а2 +а–а–1+а3 – – а2 – а2 + а – а + 1 – 2а3 = а3 + а, тогда дробь примет вид ( )( )( ) ( ) ( )( ) 111 1 111 222 2 2 3 − = +− + = ++− + a a aa aa aaa aa 2) ( ) = + − +++ + ++ + ++ 3 2 11 1 34 2 65 1 222 aaaaa a aa ( )( ) ( )( ) ( )( ) = + − ++ + ++ + ++ = 3 2 21 1 31 2 32 1 aaaaa a aa ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) = +++ ++−+⋅++++⋅ = 321 212312211 aaa aaaaaa ( )( )( ) ( )( )( ) 0 321 0 321 4623421 22 = +++ = +++ −−−+++++ = aaaaaa aaaaaa www.5balls.ru
- 153. 147 № 1094 1) ( )() = − − −+ ++− = − + − − + aaa aa aaa 22 1 4444 4444 44 1 22 1 44 1 0 22 1 22 1 22 1 1616 8 = − − − = − − − aaaa 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 1 221 121 1212 112 2222 122 = +− +− = −+− −+− = +−− −−+ a a aa aa aa aa № 1095 1) + − − + − + xa xa xa xa 11 при а = 5, х = 4 Преобразуем данное выражение: xa x xa xaxa xa xa xa xa xa xa + = + +−+ = + − −= + − − + − + 2 111 при а = 5, х = 4 полученное выражение примет вид: 9 8 45 42 = + ⋅ ; 2) 22 22 22 22 xaa xaa xaa xaa −+ −− − −− −+ при а = 3, 5=x Преобразуем данное выражение: = −+ −− −−− −+ = −+ −− − −− −+ 2222 2 22 2 22 22 22 22 22 xaaxaa xaaxaa xaa xaa xaa xaa ( ) ( ) ( ) = −− −−−+−−+−+ = 222 2222222222 22 xaa xaxaaaxaxaaa 2 22 4 x xaa − = ; при а = 3, 5=x полученное выражение примет вид: ( ) ( ) 8,4 5 24 5 5912 5 5334 2 22 == − = −⋅ . № 1096 1) = − − − ⋅ + = − − − ⋅ + 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 11 1 11 xxx x x x xxx x x x www.5balls.ru
- 154. 148 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 −= − − = − − ⋅ + = x x xx x x x 2) = − − − ⋅ ++ 1 4 1 2 2 122 1 2 1 2 1 2 1 2 1 m m m m m mm = − − + ⋅ + 1 412 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 m mmm m m 1 1 22 2 1 1 242 2 1 2 12 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 += − − ⋅ + = − +− ⋅ + = m m mm m m m mmm m m № 1097 1) mn n mnm nmn n m n 18 2 2 3618 2 6 = ⋅ ⋅=⋅⋅ ; 2) =⋅ + + ⋅ + − =⋅ + + ⋅ + − 4 1 2 1 4 1 4 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 2 1 4 3 1 1 1 1 1 1 a a aa aa a a a aa aa a 1 1 1 1 11 2 1 4 1 2 1 4 1 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1 −=⋅ + + ⋅ + − + = aa a aa aa aa . № 1098 1) = − − ⋅ − −+− = − − + − − 1 1 1 1 1 1 : 1 1 a a a aaaa a a a a aa ( ) ( )( ) 1 1 1 1 11 1 1 1 11 += − − ⋅ − +− = − − ⋅ − −+− a a a a aa a a a aaa ; 2) = − + ⋅ + −−+ = − + ⋅ − + + b b b bbbb b b b b bb 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )( ) b b b b bb b b b bbb −= − + ⋅ + −− = − + ⋅ + −−− = 1 1 1 1 11 1 1 1 11 . № 1099 = − +−− =− − − −−−− −−−−−−−− −−− −−−− 23 5 23 5 3 4 3 5 3 5 3 4 1221 3 1 3 1 23 5 23 5 1221 abba babababa ba abba baba www.5balls.ru
- 155. 149 = − +−+ = −−−− −−−−−−−− 23 5 23 5 3 5 3 4 123 4 3 5 21 abba babababa = − +− + = −−−− −−−− 23 5 23 5 3 2 3 2 23 5 3 2 3 2 23 5 abba baabbaba 3 2 3 2 23 5 23 5 23 5 23 5 3 2 3 2 ba abba abbaba += − −⋅ + = −−−− −−−− . № 1100 1) = + − + + − + + − ab abba bab bab aba aba 2 33 2 2 2 () ( ) = + − + + − + + = − ab abba bab bab baa baa 2 33 2 ( ) = + − ++ −−++ = − ab abba baba baabba 2 2 33 2 ( ) ( ) = + − ++ = − ab baab baba ab 2 2 2 ( )( ) = + − +++ = ab abba ab bababa 24 2 33 ( ) ab ba ab abbabababbabababaa 44 2222 222 + = −−+++++ = 2) ( ) ( ) = + + + +⋅+ −− − 3 2 1 2 1 2 2 11 ba ba ba ba ( ) ( ) = + + + + ⋅ + 32 112 1 ba ba ab ba ba ( ) ( ) ( ) ( ) = + ++ = + + + + + = 232 22 baab abba baab ba baab ba ( ) ( ) abbaab ba 1 2 2 = + + www.5balls.ru
- 156. 150 № 1101 = + ++ − − − − − − − 4 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 107 53 259 aa aa aa aa = + ++ − − + − = − − − −− 4 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 107 53 5353 aa aa aa aaaa ( )( ) = + + = + −−−+++ = −− −− 4 2 1 4 2 1 11 2 42 2 10710653 aa a aa aaaa ( ) ( ) 2 4 2 1 4 2 1 162 2 22 aa aa a = = + + = − . № 1102 ( ) =++− − + − − 5,02 2 33 4 3 8118 9 1 9 3 bb b bbb b ( ) ( ) ( ) ( )=+− − + =+− − + − = −− 9 9 3 9 99 3 2 2 2 3 3 b b b b b b bb b ( ) = ++ −−−−−−+− =+− + − = bb bbbbbbbb b b b 69 95481698118 9 3 9 222 ( ) b bb bbb bb bbbb 6 69 696 69 63654 −= ++ ++− = ++ −−− = . № 1103 1) α= αα = α+ α+ 2 222 2 sin 1 : cos 1 1 1 tg ctg tg 2) (1+tgα)(1+ctgα) – 1/(sinαcosα) = αα − α α+α ⋅ α α+α = cossin 1 sin cossin cos sincos 2 cossin 1 sincos cossin21 = αα − αα αα+ = . www.5balls.ru
- 157. 151 № 1104 ( )α= α−αα α+α− 2 2 2 cossin cossin1 tg ctg . Преобразуем левую часть данного тождества: ( ) ( )= −αα αα −= α α −αα α⋅α−− = α−αα α+α− 1sincos cossin 2 sin cos cossin cossin211 cossin cossin1 2 22 ctg α= α α = α− α = 2 2 2 2 2 2 cos sin2 sin1 sin2 tg , таким образом, левая и правая части тождества совпадают, следовательно, тождество доказано. № 1105 1) sin2 (α + 8π) + cos2 (α + 10π) = sin2 α + cos2 α = 1; 2) cos2 (α+6π)+cos2 (α-4π)=cos2 (α+3⋅2π)+cos2 (2⋅2π-α)=cos2 α+cos2 α=2cos2 α. № 1106 ( ) ( ) = α−α αα + α−α α⋅α = α− α−πα + α− α 222222 cossin cossin cossin cossin sin21 cossin cos212 2sin α−= α α −= 2 2cos 2sin tg . № 1107 xx x x x x cossin cos1 sin sin1 cos 22 −−= − − + Преобразуем левую часть данного тождества: ( )( ) ( ) ( )( ) = −+ +−− = −+ −−− xx xxxx xx xxxx cos1sin1 sincossincos cos1sin1 sinsincoscos 33223232 ( )( ) ( )( ) ( )( ) = −+ ⋅−+−+− = xx xxxxxxxx cos1sin1 cossin1sincossincossincos ( )( ) ( )( ) = −+ ⋅+−−+ = xx xxxxxx cos1sin1 cossin1sincossincos ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) = −+ +−++ = xx xxxxx cos1sin1 sin1sin1cossincos ( )( )( ) ( )( ) xx xx xxxx cossin cos1sin1 1cossin1sincos −−= −+ −++ = , таким образом правая и левая части тождества совпадают, ч.т.д. № 1108 1) ( ) = α + α =α+α+=α+α+ 2 sin2 2 cos2sincos1sincos1 22 π + αα = α + αα = 42 sin 2 cos22 2 sin 2 cos 2 cos2 ; www.5balls.ru
- 158. 152 2) ( )= αα − α =α−α=α−α− 2 cos 2 sin2 2 sin2sincos10sincos1 2 = π − α ⋅ α = α − αα = 42 sin2 2 sin2 2 cos 2 sin 2 sin2 π − αα 42 sin 2 sin22 ; 3) 3–4sin2 α=3–4(1–cos2 α)=3–4+4cos2 α=4cos2 α–1=(2cosα - 1)(2cosα + 1); 4) 1 – 4cos2 α = (1 – 2cosα)(1 + 2cosα). № 1109 α +β + γ = π 1) 2 cos 2 sin 2 sin4sinsinsin γβα =γ−β+α Рассмотрим правую часть: ( ) = β+α − πβα = γβα 22 cos 2 sin 2 sin4 2 cos 2 sin 2 sin4 = β + αβα = 22 sin 2 sin 2 sin4 = αβ + βαβα 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin4 = αβα + ββα = 2 cos 2 sin 2 sin4 2 cos 2 sin 2 sin4 22 = βαα + α ⋅ ββ = 2 sin2 2 cos 2 sin2 2 sin2 2 cos 2 sin2 22 ( ) ( )=β−α+α−β= cos1sincos1sin =βα−α+αβ−β cossinsincossinsin ( )=βα+αβ−α+β= cossincossinsinsin ( ) ( ) = β+α− π −α+β=β+α−α+β= 2 cossinsinsinsinsin γ−β+α= sinsinsin 2) Рассмотрим левую часть: sin2α + sin2β + sin2γ = 2sin(α + β)cos(α - β) + sin2γ = = 2sin(π - γ)cos(α - β) + sin2γ = 2sinγcos(α + 2β) + 2sinγcosγ = = 2sinγ(cos(α + β) + cosγ) = = γ−β−αγ+β−α ⋅γ= 2 cos 2 cos2sin2 = γ−β−πβ−π ⋅γ= 2 22 cos 2 2 cos2sin2 =αβγ= γ−β− π β− π γ= sinsinsin4 2 cos 2 cossin4 4sinα sinβ sinγ. № 1110 tgα = 2 1) αα+α αα+α sincos3cos cossinsin 2 2 . Разделим числитель и знаменатель данного выражения на cos2 α ≠ 0 (последнее выполняется вследствие tgα = 2), www.5balls.ru
- 159. 153 α+ α+α = α α⋅α + α α α α⋅α + α α tg tgtg 31 cos sincos3 cos cos cos cossin cos sin 2 22 2 22 2 , при tgα= 2 выражение примет вид: 7 6 231 222 = ⋅+ + ; 2) α+ α− 2 2 cos3 sin2 . Разделим числитель и знаменатель данного выражения на cos2 α ≠ 0, получим: α+ α+ = +α+ α−α+ = + α α − α α 2 2 2 222 2 2 34 2 133 22 1 cos sin cos 2 2cos 3 tg tg tg tgtg ; при tgα = 2 выражение примет вид: 8 3 16 6 234 22 2 2 == ⋅+ + № 1111 tgα + ctgα = 3, tg2 α + ctg2 α = (tgα + ctgα)2 – 2, тогда при tgα + ctgα = 3 выражение примет вид: 32 – 2 = 7. № 1112 1) = απ− α+π − α−α α+α = α+ π − α−α α+α tgtg tgtg tg 4 1 4 sincos sincos 4sincos sincos 0 sincos sincos sincos sincos = α−α α+α − α−α α+α ; 2) = α+ α− − α α = α+ α− −α= α+ α− − α− π 2sin1 2sin1 sin cos 2sin1 2sin1 2sin1 2sin1 2 2 2 22 ctgtg ( ) = α+α αα+α−αα+α = 2sin1sin sin2sinsincos2sincos 2 2222 ( ) ( )α+α α+α = α+α α−α+α = 2sin1sin 2cos2sin 2sin1sin sincos2sin 22 22 . № 1113 1) βα= + β+α = β+α β+α βα tgtg tgtg ctgctg tgtg tgtg 11 2) (sinα + cosα)2 + (sinα - cosα)2 = sin2 α + 2sinαcosα + cos2 α + + sin2 α - 2sinαcosα + cos2 α = 2 www.5balls.ru
- 160. 154 3) ( ) () ( ) ( )= α+π+α+π α+π−α+π 4 cos 4 sin 4 cos 4 sin = απ−απ+απ+απ απ+απ−απ+απ = sin 4 sincos 4 cossin 4 coscos 4 sin sin 4 sincos 4 cossin 4 coscos 4 sin α= α−α+α+α α+α−α+α = tg2 sincossincos sincossincos ; 4) ( ) ( ) = α−α−π α−π+α cos3 6 cos2 3 sin2sin ( ) ( ) = α−απ+α⋅π απ−απ+α cos3sin 6 sincos 6 cos2 sin 3 coscos 3 sin2sin α= α−α+α α−α+α = ctg3 cos3sincos3 sincos3sin . № 1114 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + α−π α−π − = α−π+ α−π− α−π α−π 4 2cos 4 2sin 1 4 cos 4 sin 1 4 1 4 1 2 2 2 2 tg tg ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )=α−π= α−π+α−π α−π−α−π = 4 2cos 4 sin 4 cos 4 sin 4 cos 22 22 ( ) α=α−π 2sin2 2 cos . 2) α= α αα = α+ α tg2 cos2 cossin2 2cos1 2sin . № 1115 1) = α ⋅ α α = α = α+ α = + α = α+ α αα 1 cos cos sin 111 2 4 44 2 42 2 2 2cos 1 2 1 tg tg tgtg ctg tg tg sin2 α tg2 α. 2) α = α α ⋅ α =α α + = α α+ α α 22 2 2 2 2 2 2 cos 1 cos sin sin 1sin cos 1 1 2sin 2cosctg ctg . 3) = + β β − α α = β+α β−α β β α α sin cos sin cos cos sin cos sin ctgctg tgtg = βα+αβ βα ⋅ βα αβ−βα cossincossin sinsin coscos cossincossin ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) = β+α+β−α β+α−β−α ⋅ β+α β−α =β⋅α⋅ β+α β−α = coscos 2 1 coscos 2 1 sin sin sin sin tgtg www.5balls.ru
- 161. 155 ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = β+αβ+α+β−αβ+α β+αβ−α−β−αβ−α = cossincossin cossincossin ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) = β+α+β−α−β+α+α+β− α−β−−β−α+β+α−β−α = 22sinsin2sin2sin 2 1 2sin2sin22sinsin 2 1 ( ) ( ) = α+β−β+α α−β+β−α = 2sin2sin22sin 2sin2sin22sin ( ) ( ) ( ) ( ) = α+β+α α−β−α = α⋅α+β+α⋅α α⋅α−β−α⋅α = cos2cos cos2cos cossin22cossin2 cossin22cossin2 ( ) ( ) ( ) ( ) β⋅β+α= β⋅β+α β−⋅β+α− = tgtg coscos2 sinsin2 4) (tgα+ctgα)2 –(tgα–ctgα)2 =tg2 α+2tgα⋅ctgα+ctg2 α–tg2 α+2tgα⋅ctgα-ctg2 α=2 +2=4 № 1116 1) α= α α = α α+ cos cos2 cos2 cos2 2cos1 2 ; 2) 2cos1 cos1 cossinsin cossinsin sin sin 2 α = α+ α− = αα+α αα−α = α+α α−α tg tg tg ; 3) ( ) ( ) = α+α+α α+α+α = α+α+α α+α+α 5coscos3cos 5sinsin3sin 5cos3coscos 5sin3sinsin ( ) ( ) α= α+α α+α = αα+α αα+α = 3 2cos213cos 2cos213sin 2cos3cos23cos 2cos3sin23sin tg ; 4) = α⋅α−α α⋅α+α = α−α α+α 2cos2sin22sin2 2cos2sin22sin2 4sin2sin2 4sin2sin2 ( ) ( ) α= α α = α−α α+α = 2 2 2 sin2 cos2 2cos12sin2 2cos12sin2 ctg . № 1117 1) ( ) ( ) ( ) = α++π−α− α−+α+α = α+π−α− α+α+α π 2 2sinsin 2cos12cos2sin 5,2sinsin sin22cos2sin 2 ( ) ( ) ( )α+α−= α−α− α+α = α+−α− α+αα+α π cossin cossin cossin sinsin coscossin2sin 222 2 2) ( ) ( ) = α++π−α α−−α−α = α+π−α− α−α−α π 2 2coscos 2cos12sin2cos 5,2coscos cos22sin2cos 2 ( ) ( )α+α−= α+α α+α− = cossin sincos cossin 2 . www.5balls.ru
- 162. 156 № 1118 1) ( ) () 2 cos1 22cos1 2 = π+α− α−π− Преобразуем левую часть данного тождества: ( ) ( ) 2 sin sin2 cos1 2cos1 cos1 22cos1 2 2 22 = α α = α− α− = π+α− α−π− , следовательно, тождество выполняется. 2) ( ) ( ) ( )o o 90cos1 sin1 90sin2 −α+= α−+ +α Преобразуем левую часть: ( ) ( ) α+= α− α− = α− α = α−+ +α sin1 sin1 sin1 sin1 cos sin1 90sin 222 o Преобразуем правую часть тождества: 1+сos(α-90o )=1+cos(90o -α)=1+sinα Правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется. № 1119 ( ) ( ) = − − −+−π − x xx xx xx 2cos sin82sin sin 2 sin sin3cos5 2 ( ) = −− − − − = x xx xx xx 2cos 2cos142sin sincos sin3cos5 ( )( ) = +−+− = x xxxxxxx 2cos sin8cossin2sincossin3cos5 2 = +−−−+ = x xxxxxxxxx 2cos sin8cossin2sin3cossin3sincos5cos5 222 ( ) xx xx 2cos 5 2cos sincos5 22 = + = . № 1120 ( ) ( ) = +π−π+ − π π− xtgxtgxx 2 3 2 3 cos2sin = -sin x sin x + (-tgx)(-ctgx) = 1 – sin2 x = cos2 x. № 1121 1) cos2 (α+2β)+ sin2 (α-2β)–1=cos2 (α+2β)+(-cos2 (α-2β))=cos2 (α+2β) – – cos2 (α - 2β) = (cos(α + 2β) – cos(α - 2β))(cos(α + 2β) + cos(α - 2β)) = = (-2sinα ⋅ sin2β) ⋅ (2cosαcos2β) = -sin2αsin4β 2) sin2 (α+2β)+ sin2 (α-2β)–1= sin2 (α+2β)–cos2 (α–2β)=(sin(α + 2β) – –cos(α-2β))(sin(α+2β)+cos(α–2β))=(sinα⋅cos2β+sin2βcosα-cosα⋅cos2β-sinαsin2β) ⋅ (sinα⋅cos2β+sin2βcosα+cosα⋅cos2β+sinαsin2β)=(sinα(cos2β - sin2β) – –cosα(cos2β - sin2β))⋅(sinα(cos2β + sin2β) + cosα(cos2β + sin2β)) = = (sinα - cosα)(cos2β - sin2β)(cos2β + sin2β)(sinα + cos2β) = = (sin2 α - cos2 α)(cos2 2β - sin2 2β) = -cos2α ⋅ cos4β. www.5balls.ru
- 163. 157 № 1122 1) ( ) 2 2cos4cos 2cos4cos 2 4cos2cos 2cos4cos sin3sin 2cos4cos 2 1 −= α−α α−α −= α−α α−α = αα α−α ; 2)= −α++α αα+α+ = −α+α α+α+α+ 12cos1cos 2coscos22cos1 1cos2cos 3cos2coscos1 2 ( ) α= α+α α+αα cos2 2coscos 2coscoscos2 . № 1123 1) ( ) = α⋅α−α− α⋅α−α = α−α− α−α 222 222 22 22 cossin4sin14 cossin4sin4 2sinsin44 2sinsin4 ( ) ( ) α= α α = α−α α−α = 4 4 4 22 22 cos4 sin4 sin1cos4 cos1sin4 tg ; 2) = α− α −α −α α− α = α−α −αα 2 2 22 2 222 22 1 2 :1 1 2 2 12 tg tg tgtg tg tg tgtg tgtg ( ) ( ) ( ) ( ) = α−α−α α− ⋅ α− α−−α = 2222 22 2 224 41 1 1 114 tgtgtg tg tg tgtg = α−α−α −α+α = α−α+α−α α−α+−α = 246 24 2642 424 32 123 42 214 tgtgtg tgtg tgtgtgtg tgtgtg ( )( ) ( )( ) ( )= −αα −α = −α+αα −α+α = 3 13 31 3 113 22 2 222 22 tgtg tg tgtgtg tgtg = α α−α = − − α α = α α−α α α α α 2cos 2cos32sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2 222 2 sin cossin3 3 1 cos sin3 ( ) ( ) α⋅α= α α ⋅α= α−αα− α−αα− = 3 3sin 3cos sincos3sin sin3coscos 222 222 ctgctgctg . № 1124 1) = −− + − π − = − −− π xx xx xx xx 2 sinsin sin 2 sin2 cossin sincos2 www.5balls.ru
- 164. 158 − − π − = − − π − = ⋅ − − π ⋅ π − ππππ 4444 sin 4 cos1 sin2 4 cos22 cossin2 4 cos 4 sin22 x x x x x x 2) ( ) = + +−++ = + +++ xxx xxxxx xx tgxxx cossincos sincossincoscos cossin sincos1 2 ( ) ( ) ( ) xx x xxx xxxxx cos 1 1 cos cos1 cossincos sincoscossincos += + = + +++ = . № 1125 4 3 =αctg , α− α = − α⋅ α α = α−α αα α α α α 2 2 22 1 cos sin sin cossin cossin 2sin 2cos 2sin 2sin ctg ctg . При ctgα = ¾ выражение примет вид: ( ) 7 5 1 4 16 7 3 16 91 4 3 4 31 4 3 2 =⋅= − = − . № 1126 8 π −=α , = α+α α+α − α α−α− = α+α α+α − α α− cossin cos2sin 2cos sinsin22 cossin cos2sin 2cos sin32 222 = α+α α+α − α−α α−α = cossin cos2sin sincos sincos2 22 22 ( )( ) = α α−αα+α−α−α = 2cos sincoscos2sinsincos2 22 = α α−αα+α+α⋅α−α−α = 2cos cos2sincos2sincossinsincos2 2222 α⋅= α α−α = α αα+α⋅α− = 2 2 1 2cos 2sin 2 1 2sin 2cos sincos2cossin tg . При 8 π −=α выражение примет вид: 2 1 82 1 −= π −tg . № 1127 ( ) ( ) ( ) ( )β−α β+α = β−β+α β+β−α cos cos tgtg tgtg . Преобразуем левую часть: ( ) ( ) = β− βα− β+α β+ βα+ β−α = β−β+α β+β−α tg tgtg tgtg tg tgtg tgtg tgtg tgtg 1 : 1 www.5balls.ru
- 165. 159 = βα− β⋅α+β−β+α βα+ βα+β+β−α = tgtg tgtgtgtgtg tgtg tgtgtgtgtg 1 : 1 22 ( ) ( )= βα+ β⋅α− = β+α βα− ⋅ βα+ β+α = tgtg tgtg tgtg tgtg tgtg tgtg 1 1 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) ⇒ β−α β+α = β⋅α+β⋅α β⋅α−β⋅α = cos cos sinsincoscos sinsincoscos тождество выполняется. № 1128 1) α − π =α+ 24 cos2sin1 2 . Преобразуем правую часть: α+= α− π += α − π += α − π sin1 2 cos1 24 2cos1 24 cos2 2 , правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется. 2) α − π =α− 24 sin2sin1 2 . Преобразуем правую часть: α−= α− π −= α − π −= α − π sin1 2 cos1 24 2cos1 24 sin2 2 , права часть равна левой, следовательно, тождество выполняется. № 1129 1) α= π −α− π +α cos3 3 sin 3 sin Преобразуем левую часть: =α⋅ π = π −α− π +α cos 3 sin2 3 sin 3 sin α=α⋅⋅ cos3cos 2 3 2 , правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется. 2) α= α− π + α+ π cos3 6 cos 6 cos . Преобразуем левую часть: =α⋅ π = α− π + α+ π cos 6 cos2 6 cos 6 cos α=α⋅⋅ cos3cos 2 3 2 , следовательно, тождество выполняется. № 1130 1) α= + αα sin 2 22 ctgtg . Преобразуем левую часть: α= + α = + ααα sin 1 2 2 2 222 2 tg tg ctgtg , следовательно, тождество выполняется. 2) α= α+α α−α 2cos tgctg tgctg . Преобразуем левую часть, получим: www.5balls.ru
- 166. 160 α=α⋅α α−α = + α α − α α α⋅α α+α α α α α 2coscossin sincos cos sin sin cos cossin 2sin2cos cos sin sin cos 22 . № 1131 ( )α= α α+ sin 2 cos1 tg . Преобразуем левую часть выражения: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α=α⋅α= α α ⋅ α = α α+ sin2sin2cos2 2cos 2sin 2 cos2 2 cos1 2 tg , следовательно, тождество выполняется. № 1132 1) α α =α− 2 2 cos 2cos 1 tg . Преобразуем левую часть: α α = α α−α = α α −=α− 22 22 2 2 2 cos 2cos cos sincos cos sin 11 tg , следовательно, тождество выполняется; 2) α α− =α− 2 2 sin 2cos 1 ctg . Преобразуем левую часть: α α −= α α−α =α− 22 22 2 sin 2cos sin cossin 1 ctg , следовательно, тождество выполняется. № 1133 = α − π ⋅ α + π α=α+α+ 26 cos 26 coscos42coscos1 α+α+=α+α= π +αα= 2coscos1coscos2 3 cos 2 1 cos 2 1 cos4 2 , следовательно, тождество выполняется. № 1134 1) α+ α− = α+ α− tg tg 1 1 2sin1 sin21 2 . Преобразуем левую часть: ( ) α+ α− = + α α − = α+α α−α = α+α α−α = α+ α− α α tg tg 1 1 1 cos sin 1 sincos sincos sincos sincos 2sin1 sin21 cos sin2 222 2) ( ) α α− += αα 2 22 22 4 1 1 cossin4 1 tg tg . www.5balls.ru
- 167. 161 Преобразуем левую часть:α+= α = αα 21 2sin 1 cossin4 1 2 222 ctg . Преобразуем правую часть, получим: ( ) ( ) α+= α ⋅ α += α α− ⋅ α α− + 21 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 22 ctg tgtgtg tg tg tg , правая часть равна левой, следовательно, тождество верно. 3) α α+ = α+ π 2cos 2sin1 4 tg . Преобразуем левую часть: ( ) ( ) = α⋅π−α⋅π α⋅π+α⋅π = α+π α+π = α+ π sin 4 sincos 4 cos sin 4 coscos 4 sin 4 cos 4 sin 4 tg α−α α+α sincos sincos . Преобразуем правую часть: ( ) ( )( ) α−α α+α = α+αα−α α+α = α α+ sincos sincos sincossincos cossin 2cos 2sin1 2 . Правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется. 4) α+ π = α+ α− 42sin1 2sin1 2 ctg . Преобразуем левую часть: ( ) ( )2 2 sincos sincos 2sin1 2sin1 α+α α−α = α+ α− . Преобразим правую часть: ( ) ( ) ( ) ( ) = α⋅π+α⋅π π⋅α−α⋅π = α+π α+π = α+ π 2 2 2 2 2 sin 4 coscos 4 sin 4 sinsincos 4 cos 4 sin 4 cos 4 ctg ( ) ( )2 2 sincos sincos α+α α−α Правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется. № 1135 1) xxxx 3sin 3 sin 3 sinsin4 = + π ⋅ − π ⋅ . Преобразуем левую часть: = π −⋅= + π ⋅ − π ⋅ 3 2 cos2cos 2 1 sin4 3 sin 3 sinsin4 xxxxx =+⋅= π −π⋅−⋅= xxxxxx sin 2 2 2cossin2 3 cossin22cossin2 = 2sinх ⋅ cos2х + sinх = sinх(2cos2 + 1) = sinх(3cos2 х - sin2 х) = sin3х, следовательно, тождество выполняется; 2) x x xxx 3sin8 24sin 12cos6cos3cos = Умножим обе части тождества на 8sin3x и докажем равносильное тождество 8cos3x ⋅ sin3x ⋅ cos6x ⋅ cos12x = sin24x (1) Преобразуем левую часть: 8cos3x ⋅ sin3x ⋅ cos6x ⋅ cos12x = = 4sin6x ⋅ cos6x ⋅ cos12x = 2sin12x ⋅ cos12x = sin24x, следовательно, тождество (1), как и исходное, выполняется. www.5balls.ru
- 168. 162 № 1136 1) 6 3 4 6 1 12 163 + − + =+ −xxx , 3х–16+12=3х + 18 – 2х – 6, 2х = 16, х = 8; 2) ( ) ( ) +−= − −−− 3 43 7 86 37 3 5 x x xx , 35(х–7)–63х–18(х–8)=-21х – 301, 35х – 245 – 63х – 18х + 144 = -21х – 301, -25х = -200, х = 8. № 1137 а(х – 3) + 8 = 13(х + 2). Если х = 0, то а(0 – 3) + 8 = 13(0 + 2); -3а + 8 = 0 + 26, -3а = 18, а = -6. № 1138 1 – b(x + 4) = 2(x – 8). Если х = 1, то 1 – b(1 + 4) = 2(1 – 8), 1 – 5b = -14, -5b = -15, b = 3. № 1139 1) х(х + 1) – (х + 2)(х + 3) + 9 = х(х + 4) – (х + 5)(х + 2), х2 + х – х2 – 3х – 2х – 6 + 9 = х2 + 4х – х2 – 2х – 5х – 10, -х = -13, х = 13; 2) 2(х+3)(х+1)+8=(2х+1)(х+5), 2х2 +2х+6х+6+8=2х2 +10х+х+5,-3х=-9, х=3. № 1140 1) 9 4 3 2 3 3 2 − = − − + xxx , ( )( ) 0 33 4 3 2 3 3 = +− − − − + xxxx , ( ) ( ) ( )( ) 0 33 43233 = +− −+−− xx xx , ( )( ) 0 33 13 = +− − xx x . Знаменатель дроби не равен 0, следовательно, х – 13 = 0, т.е. х = 13; 2) 86 11 4 2 2 5 2 ++ = − + − xxxx , х2 – 6х + 8 = 0, 13 1 893 2,1 ±= −± =x , х1 = 2, х2 = 4, следовательно х = 2, х = 4 решениями не являются, т.к. обращают в 0 знаменатели дробей. ( )( ) 0 42 11 4 2 2 5 = −− − − + − xxxx , ( )( ) 0 42 1142205 = −− −−+− xx xx , ( )( ) 0 42 357 = −− − xx x , что равносильно системе, ( )( ) ≠−− =− 042 0357 xx x , х = 5. № 1141 1) (a – b)x = a2 + (a + b)x, ax – bx = a2 + ax + bx, -2bx = a2 , b a x 2 2 −= ; 2) a2 x = a + b + b2 x, x(a2 – b2 ) = a + b, 22 ba ba x − + = , ba x − = 1 . № 1142 1) х2 – 2х – 15 = 0, 41 1 1511 2,1 ±= +± =x , х1 = 5, х2 = -3; www.5balls.ru
- 169. 163 2) 3х2 + 4х– 4 = 0, 3 42 3 1242 2,1 ±− = +±− =x , 3 2 1 =x , х2 = -2. № 1143 1) (х – 3)(х – 2) = 6(х – 3), (х – 3)(х – 2 – 6) = 0, (х – 3)(х – 8) = 0, х = 3, х = 8; 2) 0 2 1 6 112 =+− x x , 6х2 – 11х + 3 = 0, 12 711 12 7212111 2,1 ± = −± =x , 3 1 , 2 3 21 == xx . № 1144 1) 0 11 = − + + x x x x , ( ) ( ) 0 1 11 2 = − ++− x xxxx , что равносильно системе: ≠− =++− 01 0 2 22 x xxxx , х =0; 2) 13 12 2 13 3 2 + + =− − x x x x , ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 1313 131213132133 2 = +− −+−+−−+ xx xxxxxx , ( )( ) 0 1313 132621839 2223 = +− +−+−+−+ xx xxxxxx , ( )( ) 0 1313 3219 23 = +− +−− xx xxx , что равносильно системе: ( )( ) ≠+− =+−− 01313 03219 23 xx xxx ; ( ) ( ) ( )( ) ≠+− =+−− 01313 03733 2 xx xxx Решений нет. № 1145 1) xx x xx x − + − − = + − + − 2 18 4 287 2 7 2 13 2 2 , 2 18 4 287 2 713 2 2 − − − − = + −− xx x x x , ( ) 4 218287 1 83 2 2 − +−− = + − x xx x x , ( )( ) 0 4 283 4 3618287 22 2 = − −− − − −−− x xx x xx , 0 4 1686364187 2 22 = − −++−−− x xxxxx , что равносильно системе: ( )( ) ≠+− =−− 022 08044 2 xx xx ; ( )( ) ≠+− =−− 022 0202 xx xx . Решим первое уравнение системы: х2 – х – 20 = 0, 2 91 2 20411 2,1 ± = ⋅+± =x , х1 = 5, х2 = -4. www.5balls.ru
- 170. 164 2) x x xx x − − = − − + + 3 2 9 12 3 1 2 , ( )( )( )( ) 0 9 321231 2 = − +−+−−+ x xxxx , ( )( ) ≠+− =−−++−−+− 033 03621233 22 xx xxxxxx , ( )( ) ≠+− =−− 033 093 xx x , ( )( ) ≠+− −= 033 3 xx x . Ответ: решений нет № 1146 1 12 1 1 1 2 32 + − = + − +− x x xxx , ( ) ( ) 0 1 12112 3 2 = + +−+−−+ x xxxx , ( )( ) ≠+−+ =++− 011 02 2 2 xxx xx , ( )( ) ≠+−+ =−= 011 2,1 2 xxx xx . Решением системы является х = 2. № 1147 1) 0 1 4 =+− x x . При х ≠ 0 умножим обе части уравнения на х: х2 – 4х + 1 = 0, 32 1 142 2,1 ±= −± =x ; 2) 04 2 10 2 4 2 =+ + − + xx x , 0 2 84104 2 = + ++− x xx , ≠+ =−+ 02 0244 2 x xx −≠ =−+ 2 0122 2 x xx , 2х2 + 2х – 1 = 0, 2 31 2 211 2,1 ±− = +±− =x . № 1148 1) х4 – 11х2 + 30 = 0. Пусть х2 = у, тогда уравнение примет вид: у2 – 11у + 30 = 0, 2 111 2 12012111 2,1 ± = −± =y , у1 = 6, у2 = 5, но у = х2 , т.е. х2 = 6, 6±=x ; х2 = 5, 5±=x . Ответ: 6,5 ±=±= xx . 2) 2х4 – 5х2 + 2 = 0. Пусть х2 = у, тогда уравнение примет вид: 2у2 – 5у + 2 = 0, 4 35 4 16255 2,1 ± = −± =y , 2 1 ,2 4 8 21 === yy , но у = х2 , т.е. х2 = 2, 2±=x и 2 1 , 2 12 ±== xx . Ответ: 2 1 ,2 ±=±= xx . № 1149 1) 2х-2 + 4х-1 + 3 = 0. Пусть х-1 = у, тогда уравнение примет вид: 2у2 + 4у + 3 = 0, www.5balls.ru
- 171. 165 2 642 2,1 −±− =y ; D< 0, корней нет; 2) (х2 – х)2 + 12 = 8(х2 – х) Пусть х2 – х = у, тогда уравнение примет вид: у2 +12=8у, у2 –8у+12 = 0, 24 1 12164 2,1 ±= −± =y , у1 = 6, у2 = 2, но у = х2 – х, т.е. х2 – х – 6 = 0, х1 = 3, х2 = -2 и х2 – х – 2 = 0, х1 = -1, х2 = 2. Ответ: х1 = 3, х2/3 = ±2, х4 = -1. № 1150 1) 0 4 2 22 =+−+ a baxx , 2 2 2 4 4 2 22 2,1 ba a baa x ±− = −+±− = . Ответ: 2 2 2,1 ba x ±− = . 2) 22 2 4 5 22 2 ax a ax x ax x − = + − − , ( ) ( ) 0 4 5222 22 2 = − −−−+ ax aaxxaxx , 0 4 5224 22 222 = − −+−+ ax aaxxaxx , 0 4 532 22 22 = − −+ ax aaxx , что равносильно системе: ( )( ) ≠+− =−+ 022 0532 22 axax aaxx , 2х2 + 3ах – 5а2 = 0, 4 73 4 4093 22 2,1 aaaaa x ±− = +±− = , х1 = а, ax 2 5 2 − = . № 1151 ах2 +bx + c. При а ≠ 0, a > 0, b2 = 4ac трехчлен ax2 + bx + c является квадратом двучлена. № 1152 ax2 + bx + a = 0, a ≠ 0, a acbb x 2 42 2,1 −±− = , 1 4 4 2 4 2 4 2 2222222 21 = +− = −+− ⋅ −−− =⋅ a abb a abb a abb xx , следовательно, х1, х2 – взаимно обратные числа. № 1153 1) |2x – 3| = 7; а) если 2х – 3 ≥ 0, то 2х – 3 = 7, 2х = 10, х = 5; www.5balls.ru
- 172. 166 б) если 2х– 3 < 0, то 2х – 3 = -7, 2х = -4, х = -2. 2) |x + 6| = 2x; а) если х + 6 ≥ 0, то х + 6 = 2х, х = 6; б)если х + 6 < 0, то х + 6 = -2х, х = –2, но тогда х + 6 < 0 не выполняется Ответ: х = 6. 3) 2х – 7 = |x - 4|; а) если х – 4 ≥ 0, то 2х–7=х – 4, х = 3, но тогда х – 4 ≥ 0 не выполняется; б) если х – 4 < 0, то 2х – 7 = -х + 4, 3х = 11, 3 2 3 3 11 ==x . № 1154 1) |6 – 2x| = 3x + 1; а) если 6 – 2х ≥ 0, то 6 – 2х = 3х + 1, х = 1; б) если 6 – 2х < 0, то 2х – 6 = 3х + 1, х = -7, но тогда 6 – 2х < 0 не выполняется. Ответ: х = 1. 2) 2|x – 2| = |x| - 1 Рассмотрим уравнение на промежутках: 0 2 а) x < 0, тогда 2(2 – х) = -х – 1, 4 – 2х = -х – 1, х = 5, но x < 0 ⇒ x = 5 не является решением; б) 0 ≤ х < 2, тогда 2(2 – х) = х – 1, 4 – 2х = х – 1, х = 3 5 ; в) х ≥ 2, 2(х – 2) = х – 1, 2х – 4 = х – 1, х = 3. Ответ: х = 3, х = 3 2 1 . № 1155 |x2 – 3x – 6|=2x. Найдем корни трехчлена: х2 – 3х – 6 = 0, D = 9 – 4 ⋅ 1 ⋅ (–6) = 33, 2 333 2,1 ± =x , 2 333 − 2 333 +– ++ 1) +∞ + − ∞−∈ ; 2 333 2 333 ; Ux , тогда уравнение примет вид: х2 – 3х – 6 = 2х; х2 – 5х – 6 = 0, х1 = 6, х2 = -1 +∞+ − ∞−∈ ; 2 33 3 2 333 ; U ; www.5balls.ru
- 173. 167 2) +− ∈ 2 333 ; 2 333 x ,-х2 +3х+6=2х, -х2 +х+6=0, х2 –х–6=0, х1=3, х2=-2, +− ∈− 2 333 ; 2 333 2 . Наименьший корень х = 3. № 1156 |x2 – 8x + 5| = 2x Найдем корни трехчлена: х2 – 8х + 5 = 0. D = 64 – 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = 44 114 12 448 2,1 ±= ⋅ ± =x . + + – 1 114 − 1 114 + 1) ( ] [ )+∞+−∞−∈ ;114114; Ux , х2 – 8х + 5 = 2х, х2 – 10х + 5 = 0, Qx ∈±= −± = 205 1 5255 2,1 ; 2) ( )114;114 +−∈x , -х2 + 8х – 5 = 2х, -х2 + 6х – 5 = 0, х2 – 6х + 5 = 0, х1 = 5, х2 = 1. Наибольший рациональный корень х = 5. № 1157 1) 272 +=+ xx , ( ) ; 2 4472; 02 272 22 −≥ ++=+ ≥+ +=+ x xxx x xx −≥ −== −≥ =−+ 2 3,1 ; 2 032 21 2 x xx x xx . Ответ: х = 1 2) 522 −−= xx , xx −=− 252 ( ) ; 02 252 2 ≥− −=− x xx ; 2 4452 2 ≤ +−=− x xxx ; 2 0962 ≤ =+− x xx ≤ = ≤ = 2 3 2 3 x x x x . Ответ: корней нет. № 1158 1) 3х-7 = 81, 3х-7 = 34 , х – 7 = 4, х = 11; 2) 22 5,652 =+− xx , 2 1 5,65 22 2 =+− xx , х2 – 5х + 6,5 = 0,5, х2 – 5х + 6 = 0, х1 + х2 = 5, х1 ⋅ х2 = 6, х1 = 2, х2 = 3; 3) 62 24 4 1 + = ⋅ x x x , ( ) 621 244 +− =⋅ xxx , ( ) 31 44 +− = xxx , 3 44 2 +− = xxx , х2 – х = х + 3, х2 – 2х – 3 = 0, х1 = -1, х2 = 3. www.5balls.ru
- 174. 168 № 1159 1) 899155 =− −xx , ( ) 8919 15 =− −x , 8 9 8 95 =⋅x , 95х = 9, 5х = 1, х = 1/5; 2) 2х+4 – 2х = 120, 2х (16 – 1) = 120, 2х = 8, х = 3. № 1160 1) 52х+5 ⋅ 73х+1 = 351/2(5х+6) , 52х+5 ⋅ 73х+1 = 52,5х+3 ⋅ 72,5х+3 , 1 75 75 1352 35,235,2 = ⋅ ⋅ ++ ++ xx xx , 50,5х-2 ⋅ 7-0,5х+2 = 1, 1497 25 5 5,0 5,0 =⋅⋅ − x x , 49 25 7 5 5,0 5,0 =x x , 25,0 7 5 7 5 = x , 0,5х = 2, х = 4; 2) 6 22 5 1 52,0 2 =⋅ +xx , 622 555 2 −+− =⋅ xx , 622 55 2 −++− =xx , -х2 + 2х + 2 = -6, -х2 + 2х + 8 = 0, х2 – 2х – 8 = 0, х1 = 4, х2 = -2. № 1161 1) 2,43-2х = 2,43х-2 , 3 – 2х = 3х – 2, 5 = 5х, х = 1; 2) ( ) ( ) 2 5 3 3 5 − = xx , х = -х + 2, 2х = 2, х = 1; 3) x− = 16 1 8 1 , x4 2 1 2 1 8 1 − = , x4 2 3 2 1 2 1 − = , x4 2 3 −= , 8 3 −=x . № 1162 1) 3 2 8 27 9 4 1 = ⋅ −xx , 3 2 2 3 3 2 1 3 3 2 2 = ⋅ −xx , 3 2 3 2 3 2 332 = − xx , 2х + 3 – 3х = 1, -х = -2, х = 2; 2) 21632 33 =⋅ xx , 2х/3 ⋅ 3х/3 = 63 , (6)х/3 = 63 , х/3 = 3, х = 9. № 1163 1) 5х+1 + 5х + 5х-1 = 155, 5х (5 + 1 + 5-1 ) = 155, 155 5 1525 5 = ++x , 5х = 25, 5х = 52 , х = 2; 2) 32х – 2 ⋅ 32х-1 – 2 ⋅ 32х-2 = 1, 32х (1 – 2 ⋅ 3-1 – 2 ⋅ 3-2 ) = 1, 1 9 2323 3 2 2 = −⋅−x , 32х = 9, 32х = 32 , х = 1. 3) 7х – 7х-1 = 6, 7х (1 – 7-1 ) = 6, 7х = 7, х = 1; 4) 3х+2 + 3х = 10, 3х (32 + 1) = 10, 3х = 1, х = 0. www.5balls.ru
- 175. 169 № 1164 1) 32х –3х = 72, 32х – 3х = 34 – 32 , 3х (3х – 1) = 32 (32 – 1), х = 2; 2) 4х – 2х+1 = 48, 22х – 2х+1 = 48, 2х (2х – 21 ) = 23 (23 – 21 ), х = 3. № 1165 1) (log2x)2 – 3log2x + 2 = 0. Пусть log2x = a, тогда уравнение примет вид: а2 – 3а + 2 = 0, а1 = 1, а2 = 2, т.е. log2x = 1, x = 2, log2x = 2, x = 4. Ответ: х = 2, х = 4 2) (log3x)2 + 5 = 2log3x3 , (log3x)2 + 5 – 6log3x = 0, log3x = a, a2 + 5 – 6a = 0, a2 – 6a + 5 = 0, a1 = 1, a2 = 5, т.е. log3x = 1, x = 3, log3x = 5, log3x = log335 , x = 35 = 243 Ответ: х = 3, х = 243. № 1166 1) ( )2ln 1 2 ln += + x x , ln2 – ln(x + 1) = ln(x + 2), ( ) 02ln 1 2 ln =+− + x x , ( )( ) 1ln 21 2 ln = ++ xx , ( )( ) 1 21 2 = ++ xx , 2 = х2 + 3х + 2, х2 + 3х = 0, х = 0, х = -3, при х = -3 ln(x + 2) не определен. Ответ: х = 0 2) 13log63log 33 =−−− xx , 3log 3 63 log 33 = − + x x , 3 3 63 = − + x x , 3х – 6 = 32 (х – 3), 3х – 6 = 9х – 27, 21 = 6х, х = 3,5. № 1167 1) xx lg 2 1 lg 2 1 lg −= + , x x 2 1 lg 2 1 lg = + , 1lg2 2 1 lg = + xx , 12 2 1 = + xx , х + 2х2 = 1, 2х2 – х – 1 = 0, х1 = -1, 2 1 2 =x , при х = -1 lg x не определен. Ответ: 2 1 =x 2) 2 6 1 lglg2 x x − −= , 0 6 1 lglg 2 2 = − + x x , ( ) >− > = − − 06 0 1lg 6 lg 12 2 2 x x x x ( ) >− > −= − − 06 0 6 6 12 2 2 2 x x x x x ( ) >− > −= − 06 0 6 12 22 x x xx ( ) >− > ±= − 06 0 3 12 x x x 3=x . www.5balls.ru
- 176. 170 № 1168 1) log2(2x– 18) + log2(x – 9) = 5, log2(2x – 18)(x – 9) = log225 , ( )( ) >− =−− 0182 29182 5 x xx , 2х2 – 18х – 18х + 162 – 32 = 0, 2х2 – 36х + 130 = 0, х2 – 18х + 65 = 0, 49 1 65819 2,1 ±= −± =x , > == 9 5,13 21 x xx . Ответ: х = 13 2) lg(x2 + 19) – lg(x + 1) = 1, lg((x2 + 19) : (x + 1)) = lg10, >+ = + + 01 10 1 192 x x x −> +=+ 1 1010192 x xx −> =+− 1 09102 x xx −> == 1 9,1 21 x xx Ответ: х = 1, х = 9. № 1169 1) 05565 3 2 3 loglog =+⋅− xx . Пусть log3x = a, тогда уравнение примет вид: 52а – 6 ⋅ 5a + 5 = 0, (5a )2 – 6 ⋅ 5a + 5 = 0, 5a = 1, a = 0 = log3x, x = 1, 5a = 5, a = 1 = log3x, x = 3. Ответ: х = 1, х = 3. 2) 1255425 1loglog 33 =⋅− +xx , ( ) 1255545 33 log2log =⋅⋅− xx . Пусть ax =3log 5 , тогда уравнение примет вид: а2 – 20а – 125 = 0, 1510 1 12510010 2 1 ±= +± =a , а1 = 25, а = -5; а2 не является решением, т.к. 055 3log <−≠x , 2log 55 3 =x , log3x=2, х=9. Ответ: х = 9. № 1170 1) xlgx = 10. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию х: logxxlgx =logx10, x x lg 1 lg = , lg2 x=1, x=0, но x>0, следовательно, решений нет. 2) xx x 93log = . Прологарифмируем обе части уравнения по х: xx x x x 9loglog 3log = , log3x = logxx + logx9, log3x = 1 + 2logx3, x x 3 3 log 2 1log += , log3 2 x–log3x–2=0, log3x=-1, x=3-1 , log3x = 2, x = 9. Ответ: , 3 1 =x х = 9. 3) xlgx – 1 = 10(1 – x-lgx ), xlgx – 1 = 10 – 10x-lgx , xlgx + 10-lgx – 11 = 0. Пусть lgx = y, тогда х = 10у и уравнение примет вид: (10у )у + 10 ⋅ (10у )-у – 11 = 0, 011 10 10 2 2 =−+ y y . www.5balls.ru
- 177. 171 Пусть zy = 2 10 ,тогда уравнение примет вид: 011 10 =−+ z z , при z ≠ 0, z2 – 11z + 10 = 0, z1 = 10, z2 = 1, тогда 1010 2 =y , у = ± 1 и 110 2 =y , у = 0, тогда х = 10±1 , х = 100 (заметим, что x > 0). Ответ: х = 1, х = 10, х = 0,1. 4) xx xx = . Заметим, что х = 1 – решение, далее xx xx = 2 ; xx xx =2 , пусть yx = , х = у2 , и уравнение примет вид: ( ) ( ) 2 22 2 yy yy = ; 2у = у2 , у2 – 2у = 0, у(у – 2) = 0, у = 0, у = 2, тогда х = 0, х = 4, но 00 не определен. Ответ: х = 1, х = 4. № 1171 1) 049214947 222 =⋅+⋅−⋅ xxx , 07272927 22 2222 = ⋅+⋅⋅− ⋅ xxxx , 02 7 2 9 7 2 7 22 2 2 =+ − xx x x . Пусть a x = 2 7 2 , тогда уравнение примет вид: 7а2 – 9а + 2 = 0 14 59 14 56819 2 1 ± = −± =a , а1 = 1, 7 2 2 =a , тогда а) 1 7 2 2 = x , т.е. х = 0; б) 7 2 7 2 2 = x , т.е. х = ±1. Ответ: х = 0, х = ±1. 2) 5х+4 + 3 ⋅ 4х+3 = 4х+4 + 4 ⋅ 5х+3 , 54 5х + 3 ⋅ 43 ⋅ 4x = 44 ⋅ 4x + 4 ⋅ 53 ⋅ 5x , 625 ⋅ 5x + 192 ⋅ 4x = 256 ⋅ 4x + 5 ⋅ 100 ⋅ 5x , 5100 5 4 256 5 4 192625 ⋅+ = ⋅+ xx , 3 5 4 5 4 ;125 5 4 64 − = = xx . № 1172 1) ( ) 132log4 =++ x , ( ) 4log32log 44 =++ x , ≥+ =++ 03 432 x x −≥ =+ 3 43 x x , х = 1. 2) 2 12log 2 3 1 −=− xx , ( ) 2 1 3 1 2 3 1 3 1log2log − =− xx , ( ) >− =− 02 32 2 22 xx xx ( ) >− =−− 02 0322 xx xx ( ) >− =−= 02 3;1 21 xx xx х = -1, х = 3. www.5balls.ru
- 178. 172 3) ( )2log24log1log 2 1 333 −+=+ xx , ( ) 2log4log1log 332 1 3 −+=+ xx , ( ) 2 4 log1log 32 1 3 + =+ x x , >+ >+ + =+ 04 01 2 4 1 x x x x −> −> +=+ 4 1 1 4 1 x x x x −> =−−+ 1 0444 x xx −> = 1 0 x x х = 0 № 1173 1) х1+lgx = 10x, Прологарифмируем по основанию х: logxx1+lgx = logx10x, 1 + lg x = 1 + logx10, x x lg 1 1lg1 +=+ , lg2 x = 1; lg x = ±1, x = 10, х = 0,1. 2) xlgx = 100x. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию х: logxxlgx = logx100x, lg x = logx100 + 1, lg x = 2lgx10 + 1, 1 lg 2 lg += x x , lg2 x = 2 + lg x, lg2 x – lg x – 2 = 0; 1) lg x = -1, 1,0 10 1 10 1 === − x ; 2) lg x = 2, x = 102 = 100. 3) log2(17 – 2x ) + log2(2x + 15) = 8, ( )( ) >+ >− =+− 0152 0217 2log152217log 8 22 x x xx , (17 – 2x )(2x + 15) = 28 , 17 ⋅ 2x + 17 ⋅ 15 – 22x – 15 ⋅ 2x = 256, 22x - 2⋅ 2x + 1 = 0. Пусть 2х = а, тогда уравнение примет вид: а2 – 2⋅а + 1 = 0, (а – 1)2 = 0, а = 1, т.е. 2х = 1, х = 0, >+ >− = 0152 0217 0 x x x х = 0. 4) log2(3 + 2x ) + log2(5 – 2x ) = 4, ( )( ) >− >+ =−+ 025 023 42523log2 x x xx , (3 + 2x )(5 – 2x ) = 16, 15 – 3 ⋅ 2x + 5 ⋅ 22x = 16, -22x +2⋅2x –1=0, 22x –2⋅2x +1=0; (2x –1)2 , 2x = 1; x = 0; >− >+ = 025 023 0 x x x х = 0. www.5balls.ru
- 179. 173 № 1174 Ответ: немогут m, n, k – действительные числа x2 – (m + n)x + mn – k2 = 0; D=b2 –4ac=(m+n)2 –4(mn–k2 )=m2 +2mn+n2 – – 4mn – 4k2 = m2 + n2 – 2mn + 4k2 = (m – n)2 + 4k2 ≥ 0. № 1175 1) z2 + 4z + 19 = 0, 152 1 1942 2 1 iz ±−= −±− = ; 2) z2 – 2z + 3 = 0, 21 1 311 2 1 iz ±= −± = . № 1176 1) 0,5х = 2х + 1. Построим графики функций у = 0,5х и у = 2х + 1: Очевидно, графики функций пересекаются в точке (0,1), т.е. х = 0 2) 2х = 3 – х2 Построим графики функций у = 2х и у = 3 – х2 : 8,1, 2 3 21 −≈≈ xx 3) log3x = 4 – x Построим графики функций y = log3x и y = 4 – x: х = 3. www.5balls.ru
- 180. 174 4) 2 2 1 4logxx = Построим графики функций у = log½x и у = 4х2 2 1 =x 5) 2х = log0,5x Построим графики функций у = 2х , y = log½x 2 1 ≈x 6) ( ) x x 3log 3 1 = Построим графики функций x y = 3 1 и y = log3x 2 3 ≈x № 1177 1) 2 1 cos −=x [-π; 3π] 2 1 cos −=x , Znnx ∈π+ −±= ,2 2 1 arccos Znnx ∈π+ π −π±= ,2 3 , Znnx ∈π+π±= ,2 3 2 , n = 1, 3 8 , 3 4 π = π = xx , n=0, π−=π= 3 2 , 3 2 xx Ответ: 3 8 , 3 4 , 3 2 π =π=π±= xxx www.5balls.ru
- 181. 175 2) 2 3 sin −=x [-π;3π] ( ) Znnx n ∈π+ −−= , 2 3 arcsin1 ( ) Znnx n ∈π+−= + , 2 3 arcsin1 1 ( ) Znnx n ∈π+ π −= + , 3 1 1 , n = 0, 3 π −=x , n = -1, π=π+ π = 3 4 3 x , n = 2, π=π+ π −= 3 5 2 3 x , Ответ: π=π − =π= π −= 3 5 , 3 2 , 3 4 , 3 xxxx . № 1178 1) 2 1 2sin =x ; ( ) Znnx n ∈π+−= , 2 1 arcsin12 , ( ) Znnx n ∈π+ π −= , 6 12 , ( ) Zn n x n ∈ π + π −= , 212 1 ; 2) 2 2 3cos − =x ; Znnx ∈π+ − ±= ,2 2 2 arccos3 , Znnx ∈π+ π −π±= ,2 4 3 , Znnx ∈π+ π ±= , 3 2 4 ; 3) 2tg x + 5 = 0, 2 5 −=tgx ; Znnarctgx ∈π+ −= , 2 5 , Znnarctgx ∈π+−= , 2 5 № 1179 1) 3cos2 x – 5cos x – 12 = 0. Пусть cos x = a, тогда уравнение примет вид: 3а2 – 5а – 12 = 0, 6 135 6 144255 2 1 ± = +± =a , а1 = 3, 6 8 2 −=a , а1 > 1, а2 < –1 ⇒ исходное уравнение не имеет решений, т.к. |cos x| ≤ 1; 2) 3tg2 x – 4tg x + 5 = 0, tg x = a, 3a2 – 4a + 5 = 0, 3 1542 2 1 −± =a , D < 0 ⇒ действительных корней нет. www.5balls.ru
- 182. 176 № 1180 1) (3– 4sinx)(3 + 4cosx) = 0, =+ =− 0cos43 0sin43 x x ; −= = 4 3 cos 4 3 sin x x ; ( ) ∈π+ −±= ∈π+−= Zlx Znnx n l,2 4 3 arccos , 4 3 arcsin1 ; ( ) ( ∈π+−π±= ∈π+−= Zlx Znnx n l,2 4 3 arcsin , 4 3 arcsin1 . Ответ: ( ) Znnx n ∈π+−= , 4 3 arcsin1 , ( Zlx ∈π+−π±= l,2 4 3 arcsin . 2) (tg x + 3)(tg x + 1) = 0, =+ =+ 01 03 tgx tgx ; −= −= 1 3 tgx tgx ; ∈π+ π −= ∈π+−= Zlx Znnarctgx l, 4 ,3 . Ответ: Zllx ∈π+ π −= , 4 ; х = -arctg3 + nπ, n ∈ Z. № 1181 1) sin2x=3sin x cos2 x, 2sin x⋅cos x–3sin x ⋅ cos2 x, sin x⋅cos x(2-3cos x) = 0, −= = = 3 2 cos 0cos 0sin x x x ; ∈π+ π±= ∈π+ π = ∈π= Zm,2 3 2 arccos-x Zl, 2 x Zn, m l nx . Ответ: x = nπ, n ∈ Z; Zllx ∈π+ π = , 2 ; Zmmx ∈π+ −π±= ,2 3 2 arccos 2) sin4x = sin2x, 2sin2x ⋅ cos2x – sin2x = 0, sin2x(2cos2x – 1) = 0, = = 2 1 2cos 02sin x x ; ∈π+±= ∈π= Zllx Znnx ,2 2 1 arccos2 ,2 ∈π+ π ±= ∈ π = Zllx Zn n x , 6 , 2 Ответ: Zn n x ∈ π = , 2 ; Zllx ∈π+ π ±= , 6 . 3) cos2x + cos2 x = 0, cos2 x – sin2 x + cos2 x = 0, 2cos2 x – 1 + cos2 x = 0, 3cos2 x = 1, www.5balls.ru
- 183. 177 3 1 cos ±=x , ∈π+ −π±= ∈π+±= Zllx Znnx ,2 3 1 arccos ,2 3 1 arccos . Ответ:Znnx ∈π+±= ,2 3 1 arccos , Zllx ∈π+ −π±= ,2 3 1 arccos 4) sin2x = cos2 x, 2sin x ⋅ cos x – cos2 x = 0, cos x(2sin x – cos x) = 0, =− = 0cossin2 0cos xx x ; ( ) ∈π+ π −= ∈π+ π = Zllx Znnx l , 6 12 , 2 ; ( ) ∈ π + π −= ∈ π + π = Zl l x Zn n x l , 212 1 , 24 . Ответ: Znnx ∈π+ π = , 2 , Zllarctgx ∈π+= , 2 1 . № 1182 1) sin2x = 3cos x, 2sin x ⋅ cos x = 3cos x, cos x(2sin x – 3) = 0, = = 2 3 sin 0cos x x ; φ∈ ∈π+ π = x Znnx , 2 . Ответ: Znnx ∈π+ π = , 2 . 2) sin4x = cos4 x – sin4 x, 2sin2x ⋅ cos2x = (cos2 x – sin2 x)(sin2 x + cos2 x), 2sin2x ⋅ cos2x = cos2x, cos2x(2sin2x – 1) = 0, = = 2 1 2sin 02cos x x ; ( ) ∈π+ π −= ∈π+ π = Zllx Znnx l , 6 12 , 2 2 ; ( ) ∈ π + π = ∈ π + π = Zl l n x l , 212 1-x Zn, 24 Ответ: Zn n x ∈ π + π = , 24 , ( ) Zl l x l ∈ π + π −= , 212 1 . 3) 2cos2 x = 1 + 4sin2x, (2cos2 x – 1) = 4sin2x, cos2x = 4sin2x, 4 2sin 2cos = x x ; ctg x = 4; x = arcctg4 + nπ, n ∈ Z. Ответ: x = arcctg4 + nπ, n ∈ Z 4) 2cos x + cos2x = 2sin x, 2(cos x – sin x) + (cos2 x – sin2 x) = 0, 2(cos x – sin x) + (cos x – sin x)(cos x – sin x) = 0, (cos x – sin x)(2 + cos x + sin x) = 0, −=+ =− 2sincos 0sincos xx xx ; Znnx ∈π+ π = , 4 x ∈ φ Ответ: Znnx ∈π+ π = , 4 . www.5balls.ru
- 184. 178 № 1183 1) cosx + cos2x = 0, 0 2 cos 2 3 cos2 =⋅ x x , = = 0 2 cos 0 2 3 cos x x ∈π+ π = ∈π+ π = Zll x Znnx , 22 , 22 3 ∈π+π= ∈π+ π = Zllx Znnx ,2 , 3 2 3 Ответ: Znnx ∈π+ π = , 3 2 3 ; x = π + 2lπ, l ∈ Z. 2) cos x – cos5x = 0, -2sin3x ⋅ sin(-2x) = 0, = = 02sin 03sin x x ; ∈ π = ∈ π = Zl l x Zn n x , 2 , 3 . Ответ: Zl l x n x ∈ π = π = , 2 , 3 . 3) sin3x + sin x = 2sin2x 2sin2x ⋅ cos x = 2sin2x, 2sin2x(cos x – 1) = 0, = = 1cos 02sin x x ∈π= ∈ π = Zmmx Zn n x ,2 , 2 . Ответ: Zn n x ∈ π = , 2 . 4) sin x+sin2x+sin3x = 0, 2sin2x ⋅ cos x + sin2x = 0, sin2x(2cos x + 1 ) = 0, −= = 2 1 cos 02sin x x ; ∈π+ π −π±= ∈ π = Zllx Zn n x ,2 3 , 2 Ответ: Znnx n x ∈π+π±= π = ,2 3 2 ; 2 . № 1184 1) 2cos x + sin x = 0, 2 + tg x = 0, tg x = -2, x = -arctg2 + nπ, n ∈ Z. Ответ: x = -arctg2 + nπ, n ∈ Z. 2) 0cos3sin =+ xx , 3−=tgx , Znnarctgx ∈π+−= ,3 , Znnx ∈π+ π −= , 3 . Ответ: Znnx ∈π+ π −= , 3 . www.5balls.ru
- 185. 179 № 1185 1) 4sin4 x+ sin2 2x = 2, 4sin4 x+ 22 sin2x ⋅ cos2 x=2, 4sin2 x(sin2 x + cos2 x) = 2, 2 2 sin; 2 1 sin2 ±== xx ; ( ) ( ) ∈π+ π −= ∈π+ π −= + Znnx Zllx n l , 4 1 , 4 1 1 . Ответ: ( ) Zllx l ∈π+ π −= , 4 1 . 2) 8 5 3 cos 3 sin 44 =+ xx , 8 5 3 cos 3 sin2 3 cos 3 sin2 3 cos 3 sin 222244 =⋅−⋅++ xxxxxx , 8 5 3 cos 3 sin2 3 cos 3 sin 22 2 22 =⋅− + xxxx , 8 5 3 2 sin 2 1 1 2 =− x , 4 3 3 2 sin2 = x , 2 3 3 2 sin ±= x , Znn x ∈π+ π ±= , 33 2 , Zn n x ∈ π + π ±= , 2 3 2 . № 1186 1) 32cos2sin3 =− xx , ( ) 02cos12sin3 =−− xx , ( ) 02cossincos3 2 =−−− xxx , ( ) ( )( ) 0sincossincossincos3 2 =+−+− xxxxxx , ( ) ( )( ) 0sincossincos3sincos =++−− xxxxxx , =++− =− 0sincossin3cos3 0sincos xxxx xx ( ) ( ) =−−+ ∈π+ π = 013sin13cos , 4 xx Znnx ( ) ( ) =−−+ ∈π+ π = 01313 , 4 tgx Znnx , 13 13 − + =tgx , ∈π+ π = ∈π+ − + = Znnx Znnarctgx , 4 , 13 13 Ответ: Znnarctgx ∈π+ − + = , 13 13 , Zllx ∈π+ π = , 4 . 2) 6sinx+5cos x = 6, 2 sin6 2 cos6 2 sin5 2 cos5 2 cos 2 sin12 2222 xxxxxx +=−+ , 0 2 66 2 55 2 12 22 =−−−+ x tg x tg x tg , 01 2 12 2 11 2 =+− x tg x tg , www.5balls.ru
- 186. 180 251136 4 =−= D , 11 56 2 2,1 ± = x tg, = = 11 1 2 1 2 x tg x tg π+= π+ π = karctg x n x 11 1 2 42 Znk karctgx nx ∈ π+= π+ π = ,; 2 11 1 2 2 2 Ответ: Zkarctgxnx ∈π+=π+ π = nk,;2 11 1 2;2 2 . № 1187 1) tg3 x + tg2 x – 2tg x – 2 = 0, tg2 x(tg x + 1) – 2(tg x + 1) = 0, = =+ 2 01 2 xtg tgx ; ±= ∈π+ π −= 2 , 4 tgx Znnx ; ∈π+±= ∈π+ π −= Zllarctgx Znnx ,2 , 4 . Ответ: Znnx ∈π+ π −= , 4 , Zllarctgx ∈π+±= ,2 . 2) 1 – cos x = tg x – sin x, x x x x sin cos sin cos1 −=− ; cos x ≠ 0, cos x – cos2 x = sin x – cos x ⋅ sin x, cos x(sin x – cos x) = sin x – cos x, (cos x – 1)(sin x – cos x) = 0, =− = 0cossin 1cos xx ; ∈π+ π = ∈π= Zllx Znnx , 4 ,2 Ответ: x = 2nπ, n ∈ Z, Zllx ∈π+ π = , 4 . № 1188 1) sin x + sin2x = cos x + 2cos2 x, sin x(1 + 2cos x) = cos x(1 + 2cos x), (sin x – cos x)(1 + 2cos x) = 0, ∈π+ π −π±= ∈π+ π = Zllx Znnx ,2 3 , 4 Ответ: Znnx ∈π+ π = , 4 , Zllx ∈π+π±= ,2 3 2 . 2) ( )xxx sincos62cos2 −= , ( )( ) ( ) 0sincos6sincossincos2 =−−+− xxxxxx , ( ) ( )( ) 06sincos2sincos =−+− xxxx , ( ) =+ =− 6sincos2 0sincos xx xx =+ =− 2 3 sincos 0sincos xx xx =+ ∈π+ π = 2 3 sincos , 4 xx Znnx www.5balls.ru
- 187. 181 2 3 sincos =+ xx, 2 3 sin 2 sin =+ − π xx , 2 3 2 2 2cos 4 sin2 = − ⋅ xπ π , 2 3 2 2 2cos = − xπ , Zllx ∈π+ π ±=− π ,2 64 . Ответ: ZlllxZnnx ∈π+ π =π+ π =∈π+ π = ,2 12 5 x,2 12 ,, 4 . № 1189 xx x x sincos 2sin1 2cos += − , ( )( ) −+= ≠ xxxx x 2sin1sincos2cos 12sin , ( )( ) −+= ≠ 2 sincossincos2cos 12sin xxxxx x , (cos x – sin x)(cos x + sin x) – (cos x + sin x)(cos x – sin x)2 = 0, (cos x – sin x)(cos x + sin x)(1 – (cos x – sin x)) = 0, =+− = 0sincos1 02cos xx x ; =− ∈ π + π = 1sincos , 24 xx Zn n x ; −= = = = ∈ π + π = 1sin 0cos 0sin 1cos , 24 x x x x Zn n x ; ∈π+ π ≠ ∈π+ π −= ∈π= ∈ π + π = Zkkx Zmmx Zllx Zn n x , 4 ,2 2 ,2 , 24 Ответ: ;,2 2 ;, 4 ZmmxZnnx ∈π+ π −=∈π+ π− = x = 2πk, k ∈ Z. № 1190 1) sin3 x + cos3 x = 0, (sin x + cos x)(sin2 x + sin x ⋅ cos x + cos2 x) = 0 =+⋅+ =+ 0coscossinsin 0cossin 22 xxxx xx =++ −= 01 1 2 tgxxtg tgx φ= ∈π+ π −= x Znnx , 4 Ответ: Znnx ∈π+ π −= , 4 . 2) 2sin2 x + sin2 2x = 2, 2sin2 x + 4sin2 x(1 – sin2 x) = 2, sin2 x + 2sin2 x – 2sin4 x – 1 = 0, 3sin2 x – 2sin4 x – 1 = 0, 2sin4 x – 3sin2 x + 1 = 0, sin2x = a, 2a2 – 3a + 1 = 0, D = 9 – 4 ⋅ 2 ⋅ 1, a1 = 1, 2 1 2 =a ; www.5balls.ru
- 188. 182 1) sin x= ±1, Znnx ∈π+ π ±= ,2 2 ; 2) Zl l xx ∈ π + π =±= , 24 , 2 2 sin . Ответ: Zl l xZnnx ∈ π + π =∈π+ π ±= , 24 ,,2 2 . 3) 3xcosx2cosxsin8 =⋅ , 32cos2sin4 =xx , 34sin2 =x , ; 2 3 4sin =x ( ) Zllx l ∈π+ π −= , 3 14 . Ответ: ( ) Zl l x l ∈ π + π −= , 412 1 . 4) xxxx 4cos2coscossin4 = , xxx 4cos2cos2sin2 = , xx 4cos4sin = , Znnx ∈π+ π = , 4 4 , Zn n x ∈ π + π = , 416 . Ответ: Zn n x ∈ π + π = , 416 . № 1191 1) sin4 x–cos4 x + 2cos2 x = cos2x, (sin2 x–cos2 x)(sin2 x+cos2 x)+cos2 x+sin2 x= 0, -cos2x + 1=0, cos2x = 1, 2х = 2πn, x=πn, n∈Z. Ответ: х = 2nπ, n ∈ Z. 2) 2sin2 x–cos4 x=1–sin4 x, cos4 x–sin4 x=2sin2 x–1, cos2 x–sin2 x = sin2 x – cos2 x, 2cos2 x – 2sin2 x = 0, cos2x = 0, Znnx ∈π+ π = , 2 2 , Zn n x ∈ π + π = , 24 . Ответ: Zn n x ∈ π + π = , 24 . № 1192 1) sin3 x cos x + cos3 x sin x = cos2x, sin x cos x(sin2 x+cos2 x)=cos2 x – sin2 x, sin2 x – cos2 x + sin x ⋅ cos x = 0, 01 xcos xsin xcos xsin 2 2 =−+ , tg2 x + tg x – 1 = 0, tg x = a, a2 + a – 1 = 0, 2 51 2 411 2 1 ±− = +±− =a , 1) 2 51+− =tgx , Znnarctgx ∈π+ +− = , 2 51 ; 2) 2 51−− =tgx , Zllarctgx ∈π+ − −= , 2 51 . Ответ: Znnarctgx ∈π+ +− = , 2 51 , Zllarctgx ∈π+ − −= , 2 51 ; 2) 2 + cos2 x + 3sinx ⋅ cosx = sin2 x, cos2 x – sin2 x + 3sinx ⋅ cosx = -2, 2cos2 x+2sin2 x+cos2 x–sin2 x+3sinx⋅cosx = 0, 3cos2 x+sin2 x+3sinx cosx = 0, 3 + tg2 x+3tgx=0, tgx=a, a2 +3a+3 = 0, D < 0, следовательно, решений нет. Ответ: решений нет. № 1193 1) 4sin2 x – 8sinx ⋅ cosx + 10cos2 x = 3, 4sin2 x – 3sin2 x – 8sinx ⋅ cosx + 10cos2 x – 3cos2 x = 0, sin2 x – 8sinx ⋅ cosx + 7cos2 x = 0, tg2 x – 8tgx + 7 = 0, a2 – 8a + 7 = 0, www.5balls.ru
- 189. 183 a1 = 1,a2 = 7, tgx = 1, Zn,n 4 x ∈π+ π = , tgx = 7, x = arctg7 + lπ, l ∈ Z. Ответ: Znnx ∈π+ π = , 4 , x = arctg7 + lπ, l ∈ Z; 2) 3sin2 x – 2sinx ⋅ cosx = 1, 3sin2 x – 2sinx ⋅ cosx – sin2 x – cos2 x = 0, 2sin2 x – 2sinx ⋅ cosx – cos2 x = 0, 2tg2 x – 2tgx – 1 = 0, tgx = a, 2a2 –2a–1=0, 2 31 2 211 2 1 ± = +± =a , 2 31± =tgx , Znnarctgx ∈π+ ± = , 2 31 . Ответ: Znnarctgx ∈π+ ± = , 2 31 . № 1194 1) sin5x = sin3x, sin5x – sin3x = 0, 2sinx ⋅ cos4x = 0, = = 04cos 0sin x x ; ∈ π + π = ∈π= Zl l x Znnx , 48 , . Ответ: x=nπ, n∈Z, Zl l x ∈ π + π = , 48 ; 2) cos6x + cos2x = 0, 2cos4x ⋅ cos2x = 0 = = 02cos 04cos x x ; ∈ π + π = ∈ π + π = Zl l x Zn n x , 24 , 48 Ответ: Zn n x ∈ π + π = , 48 , Zl l x ∈ π + π = , 24 ; 3) sin3x + cos7x = 0, 07 2 sin3sin = + π + xx , 02 4 cos5 4 sin2 = + π ⋅ + π xx , = + π = + π 02 4 cos 05 4 sin x x ; ∈π+ π =+ π ∈π=+ π Zllx Znnx , 2 2 4 ,5 4 ; ∈ π + π = ∈ π + π −= Zl l x Zn n x , 28 , 520 Ответ: Zn n x ∈ π + π −= , 520 , Zl l x ∈ π + π = , 28 ; 4) sinx = cos5x, sinx – cos5x = 0, 05 2 sinsin = − π − xx , 02 4 cos 4 3sin2 = − π ⋅ π − xx www.5balls.ru
- 190. 184 = − π = π − 02 4 cos 0 4 3sin x x ; ∈π+ π =− π ∈π= π − Zllx Znnx , 2 2 4 , 4 3 ; ∈ π + π −= ∈ π + π = Zl l x Zn n x , 28 , 312 Ответ: Zn n x∈ π + π = , 312 , Zl l x ∈ π + π −= , 28 . № 1195 1) sinx + sin5x = sin3x, 2sin3x ⋅ cos2x – sin5x = 0, sin3x(2cos2x – 1) = 0, = = 2 1 2cos 03sin x x ∈ π + π ±= ∈ π = Zl l x Zn n x , 26 , 3 Ответ: Zn n x ∈ π = , 3 , Zl l x ∈ π + π ±= , 26 ; 2) cos7x – cos3x = 3sin5x, -2sin5x⋅sin2x–3sin5x=0, sin5x(2sin2x + 3) = 0, −= = 2 3 2sin 05sin x x ; Zn n x ∈ π = , 5 . № 1196 1) cosx ⋅ sin9x = cos3x ⋅ sin7x, ( ) ( )xxxx 10sin4sin 2 1 10sin8sin 2 1 +=+ , sin8x – sin4x = 0, 2sin2x ⋅ cos6x = 0, = = 06cos 02sin x x ; ∈ π + π = ∈ π = Zl l x Zn n x , 612 , 2 Ответ: Zn n x ∈ π = , 2 , Zl l x ∈ π + π = , 612 ; 2) sinxcos5x = sin9x ⋅ cos3x, ( ) ( )xxxx 12sin6sin 2 1 6sin4sin 2 1 +=+− , sin12x + sin4x = 0, 2sin8x ⋅ cos4x = 0, = = 04cos 08sin x x ; ∈ π + π = ∈ π = Zl l x Zn n x , 48 , 8 Ответ: Zn n x ∈ π = , 8 , Zl l x ∈ π + π = , 48 . № 1197 1) 5 + sin2x = 5(sinx + cosx), 4 + (sinx + cosx)2 = 5(sinx + cosx), cosx + sinx = t tx = π − 4 cos2 , t2 – 5t + 4 = 0, D = 25 – 16 = 9, 4 2 35 1 = + =t , 122 2 4 24 cos >=== π − t x - нет решений, 1 2 35 t 2 = − = , 2 1 24 cos == π − t x , www.5balls.ru
- 191. 185 π+ π −= π − π+ π = π − nx nx 2 44 2 44 ∈π= ∈π+ π = Znnx Znnx ,2 ,2 2 ; 2) 2+ 2cosx = 3sinx ⋅ cosx + 2sinx, ( ) ( ) 0sincos2sincossin2cos 2 3 2 1 22 =−++−+ xxxxxx , 3(cosx – sinx)2 + 4(cosx – sinx) + 1 = 0, cosx – sinx = 0, tx = π + 4 cos2 , 3t2 + 4t + 1 = 0, D = 4 – 3 = 1, 1 3 12 1 −= −− =t , 2 1 24 cos −== + t x π , π+ π −= π + π+ π = π + nx nx 2 4 3 4 2 4 3 4 ∈+= ∈+= Zπn, n-πx Zπn, n π x 2 2 2 3 1 3 12 2 −= +− =t , 23 1 4 cos − = π +x , Znnx ∈π+ −±= π + ,2 23 1 arccos 4 , Znnx ∈π+ + π −= ,2 33 1 arccos 4 . Ответ: Znnxnx ∈π+π=π+ π = ;2;2 2 , Znnarx ∈π+ + π −= ,2 33 1 cos 4 . № 1198 1) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0, 0 2 3 cos 2 5 sin2 2 cos 2 5 sin2 =⋅+⋅ xx x x , 0 2 3 cos 2 cos 2 5 sin = + x x x , 0 2 coscos2 2 5 sin = ⋅ x xx , = = = 0 2 cos 0cos 0 2 5 sin x x x ; ∈π+π= ∈π+ π = ∈π= Zmmx Zllx Znnx ,2 , 2 , 5 2 Ответ: Znn ∈π, 5 2 , Zllx ∈π+ π = , 2 , x = π + 2mπ, m ∈ Z; 2) cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0, 0x 2 3 cosx 2 5 cos2 2 x cosx 2 5 cos2 =⋅+⋅ , 0 2 3 cos 2 cos 2 5 cos = + x x x , 0 2 coscos 2 5 cos2 =⋅⋅ x xx , www.5balls.ru
- 192. 186 = = = 0 2 cos 0cos 0 2 5 cos x x x ; ∈π+π= ∈π+ π = ∈π+ π = Zmmx Zllx Znnx ,2 , 2 , 5 2 5 Ответ: Znnx ∈π+ π =, 5 2 5 , Zllx ∈π+ π = , 2 . № 1199 1) tg2 3x – 4sin2 3x = 0, 03sin4 3cos 3sin 2 2 2 =− x x x , cos3x ≠ 0, sin2 3x – 4sin2 3x ⋅ cos2 3x = 0, sin2 3x – 4sin2 3x(1 – sin2 3x) = 0, 4sin4 3x – 3sin2 3x = 0, sin2 3x(4sin2 3x – 3) = 0, ±= = 2 3 3sin 03sin x x ; ( ) ∈π+ π ±−= ∈ π = Zllx Zn n x l , 3 13 , 3 Ответ: Zn n x ∈ π = , 3 , ( ) Zl l x l ∈ π + π −= , 39 1 , ( ) Zl l x l ∈ π + π −= + , 39 1 1 2) sinxtgx = cosx + tgx, x x x x x cos sin cos cos sin2 += , 0 cos sincossin 22 = −− x xxx , ≠ =−+− 0cos 0sinsin1sin 22 x xxx ≠ =−− 0cos 01sinsin2 2 x xx ∈π+ π ≠ −= = Znnx x x , 2 2 1 sin 1sin ( ) ∈π+ π ≠ ∈π+ π −= ∈π+ π = + Znnx Zmmx Zllx m , 2 , 6 1 ,2 2 1 Ответ: ( ) Zmmx m ∈π+ π −= + , 6 1 1 . 3) 1 sin 1 = + x ctgxctgx , 1 sin 1cos sin cos = + x x x x , 1 sin coscos 2 2 = + x xx , =−+ ≠ =−+ 01coscos2 0sin 0sincoscos 2 2 22 xx x xxx += −= 2 1 cos 1cos x x ∈+±= ∈+= Zllx Znnx ,2 3 ,2 π π ππ www.5balls.ru
- 193. 187 ∈π≠ ∈π+ π ±= ∈π+π= Zmmx Zllx Znnx , ,2 3 ,2 Ответ: Zllx ∈π+ π ±=,2 3 . 4) x xctg sin 9 54 2 −= , x x x x sin 9sin5 sin cos4 2 2 − = , ≠ =+− 0sin 0sin9sin5cos4 22 x xxx ≠ =+− 0sin 0sin9sin94 2 x xx ≠ =−− 0sin 04sin9sin9 2 x xx , 9sin2 x - 9sinx – 4 = 0, 9a2 –9a–4 = 0, 18 159 18 144819 2 1 ± = +± =a , 3 4 sin =x , x ≠ φ, 3 1 sin −=x , ( ) Znnx n ∈π+−= + , 3 1 arcsin1 1 , ( ) ∈π≠ ∈π+−= + Zmmx Znnx n , , 3 1 arcsin1 1 Ответ: ( ) Znnx n ∈π+−= + , 3 1 arcsin1 1 . № 1200 1) tg2x = 3tgx x x x x cos sin3 2cos 2sin = , ( ) ( ) 0 cossincos sincossin3cossin2 22 222 = − −−⋅ xxx xxxxx , ( ) ≠− =+⋅−⋅ 0sincoscos 0sin3cossin3cossin2 22 322 xxx xxxxx , – sinxcos2 x + 3sin3 x = 0, – sinx (1 – sin2 x) + 3sin3 x = 0, 4sin3 x – sinx = 0, sinx(4sin2 x – 1) = 0 ±= = 2 1 sin 0sin x x ( ) ( ) ∈π+ π = ∈π+ π −= ∈π= + Zll lx Zmmx l l , 6 1-x Zl, 6 1 , 1 ( ) ( ) ∈ π + π ≠ ∈π+ π ≠ ∈π+ π −= ∈π+ π −= ∈π= + Zk k x Znnx Zllx Zllx Zmmx l l , 24 , 2 , 6 1 , 6 1 , 1 Ответ: Zmmx ∈π= , , ( ) Zllx l ∈π+ π −= , 6 1 , ( ) Zllx l ∈π+ π −= + , 6 1 1 ; 2) ctg2x = 2ctgx, x x x x sin cos2 2sin 2cos = , 0 cossin2 cos4 cossin2 2cos 2 = ⋅ − ⋅ xx x xx x www.5balls.ru
- 194. 188 ≠ ≠ =−− 0sin 02sin 0cos4sincos 222 x x xxx , cos2 x– sin2 x – 4cos2 x=0, 3cos2 x+sin2 x = 0, 3cos2 x + 1 – cos2 x = 0, 2cos2 x + 1 = 0, 2 1 xcos2 −= . Ответ: решений нет. 3) 2 44 = π −+ π + xtgxtg , 2 4 1 4 4 1 4 = π ⋅+ π − + π − π + tgtgx tgtgx tgxtg tgtgx , 02 1 1 1 1 =− + − + − + tgx tgx tgx tg , 0 1 22121 2 222 = − +−+−−+++ xtg xtgtgxtgtgxxtgtgx x 0 1 42 2 2 = − + xtg tgxxtg , ≠− =+ 01 042 2 2 xtg tgxxtg , 2tg2 x + 4tgx = 0, −= = 2 0 tgx tgx ≠− ∈π+−= ∈π= 01 ,2 , 2 xtg Zllarctgx Znnx Ответ: x = nπ, n ∈ Z, x = -arctg2 + πl, l ∈ Z. 4) tg(2x + 1)ctg(x + 1) = 1, tg(2x + 1) = tg(x + 1), tg(2x + 1) – tg(x + 1) = 0, ( ) ( ) ( ) 0 1cos12cos 112sin = ++ −−+ xx xx , ( ) ( ) 0 1cos12cos sin = ++ xx x , ( ) ( ) ≠++ ∈π= 01cos12cos , xx Znnx Ответ: х = πn, n ∈ Z. № 1201 1) cosx = 3x – 1 Построим графики функций у = cosx и y = 3x – 1: 2 1 ≈x 2) sinx = 0,5x3 0;1 =±≈ xx www.5balls.ru
- 195. 189 3) xxcos = y= cosx, xy = 2 1 ≈x 4) cosx = x2 y = cosx, y = x2 8,0±≈x № 1202 1) x + 8 > 4 – 3x, 4x > -4, x > -1; 2) 3x + 1 – 2(3 + x) < 4x + 1, 3x + 1 – 6 – 2x – 4x – 1 < 0, -3x < 6, x > -2. № 1203 1) 2 12 25 8 34 < − − − xx , 3(4–3х)–2(5–2х)–2⋅24<0, 12–9x–10+4x–48 < 0, -5x – 46 < 0, x > -46/5; 2) 2 7 2 6 75 ≥ + − − xx б 7(5x – 7) – 6(x + 2) – 42 ⋅ 2 ≥ 0, 35x – 49 – 6x – 12 – 84 ≥ 0, 29x ≥ 145, x ≥ 5. № 1204 1) 0 57 45 > + − x x а) >+ >− 057 045 x x − > > 7 5 5 4 x x x > 4/5 б) <+ <− 057 045 x x −< < 7 5 5 4 x x x < -5/7 −< > 7 5 5 4 x x Ответ: +∞ −∞−∈ ; 5 4 7 5 ; Ux ; www.5balls.ru
- 196. 190 2) 0 40 103 > − + x x а) >− >+ 040 0103 x x < −> 40 3 10 x x −∈ 40; 3 10 x б) <− <+ 040 0103 x x > −< 40 3 10 x x х∈ φ φ∈ −∈ x x 40; 3 10 . Ответ: −∈ 40; 3 10 x . 3) 0 45 2 > − + x x а) >− >+ 045 02 x x < −> 4 5 2 x x 4 5 2 <<− x б) <− <+ 045 02 x x > −< 4 5 2 x x х ∈ φ φ∈ <<− x x 4 5 2 Ответ: 4 5 2 <<− x . 4) 0 36 8 > + − x x а) >+ >− 036 08 x x −> < 2 8 x x -2 < x < 8 б) <+ <− 036 08 x x −< > 2 8 x x х ∈ φ Ответ: -2 < x < 8. № 1205 1) 0 23 23 < − − x x а) <− <− 023 023 x x > > 3 2 2 3 x x ; 2 3 >x ; б) >− >− 023 023 x x < < 3 2 2 3 x x ; 3 2 <x Ответ: +∞ ∞−∈ ; 2 3 3 2 ; Ux . www.5balls.ru
- 197. 191 2) 0 29 410 < + − x x ; а) <+ <− 029 0410 x x −> > 9 2 2 5 x x ; 2 5 >x б) >+ >− 029 0410 x x −< < 9 2 2 5 x x ; 9 2 −<x −< > 9 2 2 5 x x Ответ: +∞ −∞−∈ ; 2 5 9 2 ; Ux . 3) 0 14 718 2 < −− − x x ; 0 14 718 2 > + − x x 18 – 7x > 0; 7 18 <x (4x2 + 1 > 0 при любых значениях х). Ответ: 7 18 <x . www.5balls.ru
- 198. 203 № 1206 1) 4 3 45 < − + x x ; () 0 3 3445 < − −−+ x xx ; 0 3 16 < − + x x ; <− >+ 03 016 x x или >− <+ 03 016 x x ; < −> 3 16 x x или > −< 3 16 x x ; -16 < x < 3; 2) 1 4 2 < −x ; ( ) 0 4 412 < − −− x x ; 0 4 6 < − − x x ; >− <− 04 06 x x или <− >− 04 06 x x ; > > 4 6 x x или < < 4 6 x x x > 6 или x < 4; 3) 4 3 2 ≤ +x , ( ) 0 3 342 ≤ + +− x x , 0 3 104 ≤ + −− x x , >+ ≤−− 03 0104 x x или <+ ≥−− 03 0104 x x ; −> −≥ 3 5,2 x x или −< −≤ 3 5,2 x x x ≥ -2,5 или x < -3. № 1207 1) 8х2 – 2х – 1 < 0, 0 2 1 4 1 < − + xx , 2 1 4 1 <<− x + + – 4 1 − 2 1 2) 5x2 + 7x ≤ 0, 0 5 7 ≤≤− x . № 1208 1) 0 4 9 2 2 < − − x x равносильно ( )( ) ( )( ) ±≠ < +− +− 2 0 22 33 x xx xx , ( )( ) ( )( ) 0 22 33 < +− +− xx xx – – + + + -3 -2 2 3 ( ) ( )3;22;3 U−−∈x ; 2) (2х2 + 3)(х + 4)3 > 0, 2x2 + 3 > 0 при любых х; (x + 4)3 > 0 равносильно x + 4 > 0; x > -4. № 1209 1) 0 145 153 2 ≥ −+ − xx x , ( )( ) ≠−+ ≥−+− 0145 0145153 2 2 xx xxx , (3х – 15)(х – 2)(х + 7) ≥ 0, (х – 5)(х – 2)(х + 7) ≥ 0, + + – 5 7 − 0 www.5balls.ru
- 199. 204 – – + + -72 5 ( ) [ )+∞−∈ ;52;7 Ux ; 2) 0 24 1 2 < ++ − xx x , ( )( ) ≠++ <++− 024 0241 2 2 xx xxx , (х – 1)(х2 + 4х + 2) < 0, ( ) ( )( )( ) 022221 <−++−− xxx , – – + + 22 −− 122 +− ( ) ( )1;2222; +−−−∞−∈ Ux 3) 0 32 82 2 2 > −− −+ xx xx равносильно ( )( ) ≠−− >−−−+ 032 03282 2 22 xx xxxx (x – 2)(x + 4)(x + 1)(x –3) > 0 + + + – – -4 -1 2 3 ( ) ( ) ( )+∞−−−∞∈ ;32;14; UUx . № 1210 lg(x2 + 8x + 15). Выражение не имеет смысла при x2 + 8x + 15 ≤ 0, x2 + 8x + 15 ≤ 0, (x + 3)(x + 5) ≤ 0 + + – -5 -3 x ∈ [-5; -3]. Ответ: -5 ≤ х ≤ -3. № 1211 (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0. Т.к. квадратное уравнение имеет два действительных корня, когда D>0 и а≠0, то ( ) ( )( ) ≠− >−−−+ 01 0311 2 m mmm ≠ >−+−++ 1 03412 22 m mmmm ≠ >− 0 026 m m 3 1 >m , следовательно, m =2 – наименьшее целое число, при кото- ром уравнение имеет 2 действительных корня. № 1212 (m – 7)x2 + 2(m – 7)x + 3 = 0, D < 0, a ≠ 0 ( ) ( ) ≠− <−−− 07 0737 2 m mm ≠ <+−+− 7 021349142 m mmm www.5balls.ru
- 200. 205 ≠ <+− 7 070172 m m ( )() ≠ <−− 7 0107 m mm (m – 7)(m – 10) < 0 + + – 7 10 m ∈ (7; 10). Ответ: при m = 8, m = 9. № 1213 0 149 3 2 1 2 2 < +− + xx x , ( ) 01493 2 1 22 <+− + xxx . Выражение принимает отрицательное значение, когда x2 – 9x + 14 < 0, т.к. 03 2 2 >+ x при любых х х2 – 9х + 14 < 0, (x – 7)(x – 2) < 0 + + – 2 7 x ∈ (2; 7), следовательно, наибольшее целое х = 6. Ответ: х = 6 № 1214 0 7 6 2 2 > −− −− x xx , 0 7 6 2 2 < + −− x xx , x2 + 7 > 0 при любых х, а х2 – х – 6 < 0 при х ∈ (-2; 3), следовательно, наименьшее целое, х = -1. № 1215 1) |2x – 3| < x, 2x – 3 < x или 3 – 2x < x, 2x – x < 3, x < 3 или –2x –x < -3, -3x < -3; x > 1. Ответ: 1 < x < 3 2) |4 – x| > x, 4 – x > x или x – 4> x; x < –2 или x ∈ φ. Ответ: x < –2. 3) |x2 – 7x + 12| ≤ 6, x2 – 7x + 12 ≤ 6 или –x2 + 7x – 12 ≤ 6; а) x2 – 7x + 6 ≤ 0, x1 = 6 и х2 = 1, 1 ≤ x ≤ 6; + + – 1 6 б) х2 – 7х + 18 ≥ 0, х2 – 7х + 18 = 0, D < 0, следовательно, неравенство справедливо при всех х. Ответ: 1 ≤ х ≤ 6. 4) |x2 – 3x – 4| > 6, x2 – 3x – 4 > 6 или –x2 + 3x + 4 > 6; а) х2 – 3х – 10 > 0, x1 = 5 и x2 = -2, x < -2, x > 5; + + – -2 5 б) -x2 + 3x – 2 > 0, x2 – 3x + 2 > 0, x1 = 2 и х2 = 1, 1 < x < 2; www.5balls.ru
- 201. 206 + + – 1 2 Ответ:x < -2, 1 < x < 2, x > 5; 5) |2x2 – x – 1| ≥ 5, 2x2 – x – 1 ≥ 5 или -2х2 + х + 1 ≥ 5 а) 2х2 – х – 6 ≥ 0, 2 3 1 −=x и х2 = 2. + + – 2 3 − 2 Следовательно, 2 3 x −≤ , х ≥ 2. б) -2х2 + х – 4 ≥ 0, 2х2 – х + 4 ≤ 0, D < 0 – корней нет. Ответ: 2 3 −≤x , х ≥ 2 6) |3x2 – x – 4| < 2, 3x2 – x – 4 < 2 или –3x2 + x + 4 < 2, а) 3х2 – х – 6 < 0 , 6 731 x, 6 731 x1 + = − = ; + + – 6 7 31 − 6 7 31 + б) -3х2 + х + 2 < 0, 3x2 – x – 2 > 0, 3 2 1 −=x , x2 = 1, + + – 3 2 − 1 x 3 2 <− , x > 1, но |3x2 – x – 4| = -3x2 + x + 4 при –1 < x < 4/3 Ответ: 3 2 x 6 731 −<< − , 6 731 x1 + << . (Опечатка в ответе задачника) № 1216 1) 2,51-x > 2,5-3x , 1 – x > -3x, 2 1 −>x ; 2) 0,13x-4 ≥ 0,152-x , x – 4 ≤ 2 – x, 2x ≤ 6, x ≤ 3; 3) 12 4 3 3 4 − ≤ xx , 12 4 3 4 3 −− ≤ xx , -2x ≥ x – 1, 3 1 ≤x ; www.5balls.ru
- 202. 207 4) 33 4 >−x , 2 1 4 33 >− x , -4x > ½, 8 1 −<x . № 1217 1) 4 1 2 5 <+−x , 2-х+5 < 2-2 , -x + 5 < -2, x > 7; 2) 27 1 3 1 2 > −x , 32 3 1 3 1 > −x , |x – 2| < 3 −> <− < ≥− ⇔ 1 02 5 02 x x x x x ∈ (-1; 5). № 1218 1) 555 5,132 <++ xx , 2 3 5,13 55 2 <++ xx , x2 + 3x + 1,5 < 3/2, x2 + 3x < 0, x(x + 3) < 0 + + – -3 0 -3 < x < 0. 2) 12,0 762 ≥+− xx , 076 2,02,0 2 ≥+− xx , x2 –6x+7 ≤ 0, [ ]23;23 +−∈x . № 1219 1) 32 1 1 393 ≥ −+ xx , 3 1 121 333 ≥⋅ −+ xx , 3 1 3 33 ≥x , 3х ≥ 1/3, 9 1 ≥x ; 2) 3x+1 + 3x-1 < 10, 3x (3 + 3-1 ) < 10, 10 3 10 3 <⋅x , 3x < 3, x < 1. № 1220 1) 522842 43 2 12 >⋅+− −− x xx , 22x – 22x-2 + 22x-4 > 52, 22x-4 (24 –22 + 1) > 52, 22x-4 ⋅ 13 > 52, 22x-4 > 4, 22x-4 > 22 , 2x – 4 > 2, 2x > 6, x > 3; 2) 2x+2 – 2x+3 + 5x-2 > 5x+1 + 2x+4 , 2x+2 – 2x+3 – 2x+4 > 5x+1 – 5x-2 , 4 ⋅ 2x – 8 ⋅ 2x – 16 ⋅ 2x > 5 ⋅ 5x - 25 1 ⋅ 5x , ( ) −>−− 25 1 5516842 xx , ( ) 25 24 45202 ⋅>− xx , 2025 124 5 2 ⋅ −< x , 248,0 5 2 −< x — решений нет, т.к., 0 5 2 > x для всех х. № 1221 1) 13,3 62 <+ xx , 06 3,33,3 2 <+ xx , т.е. х2 + 6х < 0, x(x + 6) < 0 www.5balls.ru
- 203. 208 + +– –6 0-6 < x < 0; 2) 2 1 4 1 2 > −xx , 2 1 2 1 2 22 > − xx , т.е. 2х – 2х2 < 1, 2x2 – 2x + 1 > 0, x ∈ R, т.к. D < 0; 3) 14,8 116 3 2 <++ − xx x , 0116 3 4,84,8 2 <++ − xx x , 0 116 3 2 < ++ − xx x , x2 + 6x + 11 > 0 при любых х, т.к. D < 0, x – 3 < 0, x < 3. Ответ: x < 3. 4) 02 2 1 212 32 12 ≥+ ⋅− + + x x , 22x ⋅ 2 – 21 ⋅ 2-2x-3 + 2 ≥ 0, 022 8 21 22 22 ≥+⋅−⋅ − xx , 22x = a, a x 1 2 2 =− , a > 0, 02 8 21 2 ≥+− a a , 0 8 211616 2 ≥ −+ a aa равносильно (16a2 + 16a – 21)8a ≥ 0. Найдем корни трехчлена 16a2 + 16a – 21, 16 208 16 336648 2,1 ±− = +±− =a , 4 7 , 4 3 21 −== aa , 0 4 7 4 3 ≥ + − aaa , – – + + 4 7 − 4 3 − 0 +∞ −∈ ; 4 3 0; 4 7 Ua т.к. а > 0, то решением является ∞+∈ ; 4 3 a 4 3 log 2 1 ; 4 3 2 2 2 ≥≥ xx . 5) 06 3 1 353 32 34 ≥+ − − − x x , 34 ⋅ 3-3x – 35 ⋅ 33x-2 + 6 ≥ 0, 33x = a, a > 0, 06 9 3534 ≥+⋅− a a , 06 9 3581 ≥+− a a , 0 9 5435981 2 ≥ +−⋅ a aa , (-35a2 + 54a + 729)a ≥ 0, (35a2 – 54a – 729)a ≤ 0, ( ) 0 7 27 4,5 ≤ +− aaa , www.5balls.ru
- 204. 209 – – + + 7 27 − 05,4 т.к. a > 0, то решением является 0 < a ≤ 5,4, 33x ≤ 5,4, 4,5log3 3 33 ≤x , 3x ≤ log35,4, 5log 3 1 1 3−≤x . № 1222 1) 9 1 3 2 1 log2 <+ − x x , 2 2 1 log2 −< + − x x , 4 1 log 2 1 log 22 < + − x x > + − < + − 0 2 1 4 1 2 1 x x x x ( ) ( ) ( ) > + − < + +−− 0 2 1 0 24 214 x x x xx ( ) > + − < + − 0 2 1 0 24 63 x x x x ( ) ( ) > + − < + − 0 2 1 0 24 23 x x x x –2 21 2) ( ) 5 1 5 5,34log 2 2 >+− xx , ( ) 15,34log 55 2 2 −+− >xx , ( ) 2 1 log5,34log 2 2 2 >+− xx , >+− >+− 05,34 2 1 5,34 2 2 xx xx >+− >+− 05,34 034 2 2 xx xx ( )( ) > −− +− >−− 0 2 1 2 2 1 2 031 xx xx ( ) ( ) +∞+ −∞−∈ +∞∞−∈ ; 2 1 2 2 1 2; ;31; U U x x x ∈ (-∞;1) U (3;+∞). № 1223 1) log6(2 – x) < log6(2x + 5) >+ >− +<− 052 02 522 x x xx ; −> < −> 2 5 2 1 x x x x ∈ (-1; 2); 2) ( ) 12log 2 3 1 −≥−x , ( ) 3log2log 3 1 2 3 1 ≥−x , www.5balls.ru
- 205. 210 >− ≤− 02 32 2 2 x x ; ( )( ) ()( ) >+− ≤+− 022 055 xx xx [ ] ( ) ( ) +∞−∞−∈ −∈ ;22; 5;5 Ux x [ ) ( ]5;22;5 U−−∈x . № 1224 1) 2 1 lg <x , < ≥ 4 1 lg 0lg x x ; < ≥ 4 1 10lglg 1 x x ; < ≥ 4 1 10 1 x x ∈ 4 1 10;1x 2) log1/2x < log1/2(2x + 6) + 2, ( )62 4 1 loglog 2 1 2 1 +< xx , +> >+ > 624 062 0 xx x x > −> > 3 3 0 x x x x ∈ (3; +∞). № 1225 1) log0,5(1 + 2x) > -1, log0,5(1 + 2x) > log0,52 <+ >+ 221 021 x x < −> 2 1 2 1 x x −∈ 2 1 ; 2 1 x ; 2) log3(1 – 2x) < -1, log3(1 – 2x) < log3 3 1 , <− >− 3 1 21 021 x x > < 3 1 2 1 x x ∈ 2 1 ; 3 1 x . № 1226 1) log0,5(x2 – 5x + 6) > -1 <+− >+− 265 065 2 2 xx xx ( )( ) ( )( ) <−− >−− 041 023 xx xx ( ) ( ) ( ) ∈ +∞∞−∈ 4;1 ;32; x x U x ∈ (1; 2) U (3; 4); 2) log8(x2 – 4x + 3) ≤ 1 ≤+− >+− 834 034 2 2 xx xx ( )( ) ( )( ) ≤−+ >−− 051 031 xx xx ( ) ( ) [ ] −∈ +∞∞−∈ 5;1 ;31; x x U [ ) ( ]5;31;1 U−∈x . www.5balls.ru
- 206. 211 № 1227 1) 0 1 13 loglog 2 1 2 1≤ − + x x ≥ − + > − + > − + 0 1 13 log 0 1 13 log 0 1 13 2 1 2 1 x x x x x x ≤ − + < − + > − + 2 1 1 13 1 1 13 0 1 3 1 x x x x x x ( ) ( ) ≤ − +−+ < − +−+ +∞−∞−∈ 0 1 126 0 1 113 ;1 3 1; x xx x xx x U ( ) ≤ − + < − + +∞ −∞−∈ 0 1 5 3 0 1 1 ;1 3 1 ; x x x x x U –1 1–3/5 –1/3 Ответ: −−∈ 3 1 ; 5 3 x 2) ( )( ) 05loglog 2 4 3 1 >−x ( ) ( ) >− >− >− 15log 05log 05 2 4 2 4 2 x x x ( )( ) <− >− >+− 45 15 055 2 2 x x xx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −∈ +∞−∞−∈ +∞−∞−∈ 3;3 ;66; ;55; x x x U U –3 6− 35− 5 6 Ответ: x ( ) ( )3;66;3 U−−∈ . № 1228 1) (x2 – 4)log0,5x > 0, x > 0 по определению логарифма а) ( )( ) > >+− 0log 022 5,0 x xx ; б) ( )( ) < <+− 0log 022 5,0 x xx ; а) ( ) ( ) < +∞−∞−∈ 1 ;22; x x U x ∈ (-∞;-2); б) ( ) > −∈ 1 2;2 x x x ∈ (1; 2) Т.к. х > 0, то х ∈ (1, 2). Ответ: ( )2;1∈x 2) (3х – 1)log2x < 0 www.5balls.ru
- 207. 212 а) > >− 0log 013 2 x x > > 1 3 1 x x ⇒ x> 1 б) < <− 0log 013 2 x x < < 1 3 1 x x ⇒ 3 1 <x . Ответ: ( )+∞ ∈ ;1 3 1 ;0 Ux № 1129 1) x1+lgx < 0,1-2 , x > 0; x1+lgx < 102 . Ясно, что х = 1 решение нашего неравенства а) x > 0, x < 1, logxx1+lgx > logx102 , x x lg 2 lg1 >+ , 0 lg 2lglg 2 > −+ x xx Сделаем замену: lgx = a, а ≠ 0, ( ) 0 22 > −+ a aa , ( )( ) 0 21 > +− a aa – – + + -2 0 1 ( ) ( )+∞−∈ ;10;2 Ua , т.е. -2 < lgx < 0 и lgx > 1, 0,01 < x < 1 и x > 10, но т.к. x > 0 и x < 1, то решением является 1 100 1 << x б) x > 1, logxx1+lgx < 2logx10, 0 lg 2 lg1 <−+ x x . Сделаем замену: lgx = a, 0 2 1 <−+ a a , a ≠ 0 0 22 < −+ a aa , 0 22 < −+ a aa , ( )( ) 0 21 < +− a aa – – + + -2 0 1 ( ) ( )1;02; U−∞−∈a , т.е. lgx < -2 и 0 < lgx < 1 100 1 <x и 1 < x < 10 т.е. x > 1, то решением является 1 < x < 10 Ответ: ( ) ( ) [ ]110;11;001,0 UU∈x . 2) xx x 10lg4 < . Ясно, что x = 1 – решение нашего неравенства www.5balls.ru
- 208. 213 а) x >1, logxx2lgx < logx10x, x x lg 1 1lg2 +< . Сделаем замену: lgx = a, а ≠ 0, 0 12 2 < −− a aa , ( ) 0 2 1 1 < +− a aa – – + + - 2 1 0 1 ( )1;0 2 1 ; U −∞−∈a , т.е. 2 1 lg −<x и 0 < lgx < 1 10 1 <x и 1 < x < 10 т.к. x > 1, то решением является 1 < x < 10; б) 0 < x < 1, logxx2lgx > logx10x, x x lg 1 1lg2 +> . Сделаем замену: lgx = a, а ≠ 0 a a 1 12 +> , 0 12 2 > −− a aa , ( )+∞ ∈ ;10; 2 1 Ua , т.е. 0lg 2 1 <<− x и lgx > 1, 1 10 1 << x и x > 10; т.к. 0 < x < 1, то решением является 1 10 1 << x . Ответ: ∈ 10; 10 1 x . 3) x + 3 > log3(26 + 3x ), 26 + 3x > 0 при любых х, log33x+3 > log3(26 + 3x ), 3x+3 > 26 + 3x , 3x+3 – 26 – 3x > 0, 26 ⋅ 3x – 26 > 0, 3x > 1, x > 0; 4) 3 – x < log5(20 + 5x ), 20 + 5x > 0 при любых х, log553-x < log5(20 + 5x ), 53-x < 20 + 5x , 0520 5 125 <−− x x , 5x = a > 0 0 20125 2 < −− a aa , 0 125202 > −+ a aa , ( )( ) 0 525 > +− a aa , ( ) ( )+∞−∈ ;250;5 Ua , т.е. -5 < 5x < 0 и 5x > 25, x = φ и x>2, т.е. x > 2; № 1230 1) ( ) 2 3 3cos ≥− x , ( ) 2 3 3cos ≥x , 3x = y, 2 3 cos ≥y , Znnyn ∈π+ π ≤≤π+ π − ,2 6 2 6 , Znnxn ∈π+ π ≤≤π+ π − ,2 6 32 6 , Znnn ∈π+ π ≤π+ π − , 3 2 183 2 18 ; www.5balls.ru
- 209. 214 2) 2 1 3 2cos −< π −x, yx = π − 3 2 , 2 1 cos −<y ; Znnyn ∈π+π<<π+π ,2 3 4 2 3 2 , Znnxn ∈π+π< π −<π+π ,2 3 4 3 22 3 2 Znnxn ∈π+π<<π+ π , 6 5 2 № 1231 1) 4 1 sin <x 4 1 arcsin=b , 4 1 arcsin−π−=a 4 1 arcsin2 −π=+π= ac Zn nxn ∈ π+<<π+−π− ,2 4 1 arcsin2 4 1 arcsin 2) 4 1 sin −>x Znn xn ∈π+π+ +<<π+− ,2 4 1 arcsin2 4 1 arcsin 3) tgx – 3 ≤ 0 tgx ≤ 3 Znnarctgxn ∈π+≤<π+ π − ,3 2 4) 3 1 cos >x ; −= 3 1 arccosa 3 1 arccos=b Znnxn ∈π+<<π+− ,2 3 1 arccos2 3 1 arccos www.5balls.ru
- 210. 215 № 1232 1) 03cos2<−x [-3π; π] 2 3 cos <x π − =π−= π−=π−= π = π = 6 13 2 , 6 11 2, 6 - b, 6 bd aca π π π −π− π−π−∈ ; 66 ; 6 11 6 13 ;3 UUx 2) 01sin2 ≥+x [-3π; π] 2 1 sin −≥x π π − π− π − π−π−∈ ; 44 3 ; 4 9 4 11 ;3 UUx 3) 03 ≤+ tgx , [-3π; π] 3−≤tgx , 3 π −=a , π= π −π= 3 2 3 b , π−=π− π− = 3 4 3 c , π−=π−π−=π−= 3 7 3 4 cd , ππ π − π − π−π− π−π−∈ 3 ; 23 ; 2 3 4 ; 2 3 3 7 ; 2 5 UU UUx 4) 3tgx – 2 > 0, [-3π; π] 3 2 >tgx 3 2 arctga = UU π −π− π− π−∈ 2 3 ;2 3 2 2 5 ;3 3 2 arctgarctgx π π −π− 2 ; 3 2 2 ; 3 2 arctgarctg UU www.5balls.ru
- 211. 216 № 1233 1) Рассмотримочевидное неравенство (a – b)2 ≥ 0; преобразуем его: a2 – 2ab + b2 ≥ 0, a2 + b2 ≥ 2ab, ab ba ≥ + 2 22 , что и требовалось доказать 2) Преобразуем неравенство: 8 33 2 322333 babbaaba +++ > + ; 0 8 3344 322333 > −−−−+ babbaaba ; 0 8 3333 2233 > −−+ abbaba ; ( ) ( ) 0 8 33 33 > +−+ baabba ; ( ) ( ) 0 18 3 33 > +−+ ⋅ baabba ; a3 + b3 – ab(a + b) = (a + b)(a2 – 2ab + b2 ) = (a + b)(a – b)2 , при a, b > 0 и a ≠ b (a + b)(a – b)2 > 0, следовательно, исходное неравенство верно. № 1234 1) (a+b)(ab+1)≥4ab. Пусть ab=x, тогда b x a = и неравенство примет вид: b b x b b x b b x ⋅≥ +⋅ + 4 1 ; ( )( ) 0 412 ≥ −++ b bxxbx ; 0 4222 ≥ −+++ b bxbxxbx ; ( ) ( ) 0 212 222 ≥ +−++− b bbxbbxx ; ( ) ( ) 0 1 22 ≥ −+− b bxbx . Сделаем обратную подстановку: ( ) ( ) 0 1 22 ≥ −+− b babbab . Неравенство верно, т.к. (ab – b)2 > 0, ab > 0, b > 0, (1 – b)2 ≥ 0; 2) a4 + 6a2 b2 + b2 > 4ab(a2 + b2 ), (a4 + 2a2 b + b4 ) + 4a2 b2 > 4ab(a2 + b2 ), (a2 +b2 )2 +4a2 b2 >4ab(a2 +b2 ), (a2 +b2 )2 –4ab(a2 +b2 )+4a2 b2 >0, но ((a2 +b2 )–2ab)2 > 0 при всех a, b таких, что a2 + b2 – 2ab ≠ 0, т.е. при (a – b)2 ≠ 0, a ≠ b. № 1235 1) 3≥++ a c c b b a , 1 3 1 ≥ ++ a c c b b a Слева стоит среднее арифметическое чисел c b b a , и a c , а справа их среднее геометрическое. Т.к. среднее геометрическое всегда не превышает среднего арифметического, то неравенство верно для любых a>0, b>0, c>0 2) 2a2 +b2 +c2 ≥2a(b+c), a2 +a2 +b2 +c2 –2ab–2ac≥0, (a–b)2 +(a–c)2 ≥ 0 – верно. www.5balls.ru
- 212. 217 № 1236 1) =+ =− 1756 375 yx yx ( ) =+ + + = 175 5 736 5 73 y y y x 18+ 42у + 25у = 85, 67у = 67, у = 1, 2 5 73 = + = y x . Ответ: (2; 1). 2) =++ =−− 012 0132 yx yx =−−−− −−= 013)12(2 12 yy yx -4у – 2 – у – 13 = 0, -5у = 15, у = -3, х = 5. Ответ: (5; -3). № 1237 1) =+ = + − − 10 25 10 25 yx yxyx =+ =−−− 10052 1005522 yx yxyx − = =−− 2 5100 10073 y x yx − = =− − − 2 5100 1007 2 5100 3 y x y y -300 + 15у – 14у = 200, у = 500, х = -1200. Ответ: (-1200; 500). 2) = − − + = − + + 0 34 6 32 yxyx yxyx =+−+ =−−++ 04433 0362233 yxyx yxyx =− =−+ 07 0365 xy yx = =−+ yx yy 7 03635 у = 1, х = 7. Ответ: (7; 1). № 1238 1) =+ =+ 25 5 22 2 yx xy ( ) =−+ −= 255 5 222 2 xx xy х2 + х4 – 10х2 + 25 = 25, х4 – 9х2 = 0, х2 (х2 – 9) = 0, х2 (х – 3)(х + 3) = 0, х = 0, х = ±3, у = -5, у = 4. Ответ: (0, -5), (3, 4), (-3, 4). 2) = = 4 16 y x xy ; = = yx xy 4 16 ; = = yx y 4 164 2 , у = ±2, х = ±8. Ответ: (±8, ±2). 3) = =+ yx yx 2 962 22 = =+ yx yy 2 9624 22 = = yx y 2 162 , у = ±4, х = ±8. Ответ: (±8, ±4) www.5balls.ru
- 213. 218 № 1239 1) =− =− 1 1322 yx yx () += =−+ 1 131 22 yx yy += =−++ 1 1321 22 yx yyy , у = 6, х = 7. Ответ: (7, 6). 2) =+ −=− 2337 532 yx yx − = −=− 3 723 532 x y yx , х2 – 23 + 7х + 5 = 0, х2 + 7х – 18 = 0, х1 = 2, х2 = -9, у1 = 3, у2 = 3 2 28 . Ответ: (2, 3), (-9, 3 2 28 ). № 1240 1) =+ =− 20 2 3 22 yx x y y x . Пусть t y x = , тогда 2 31 =− t t ; 2 312 = − t t ; 2t2 –3t–2 = 0, t1 = 2, t2 = 2 1 − , отсюда а) 2= y x и б) 2 1 −= y x ; а) х = 2у и (2у)2 + у2 = 20, 5у2 = 20, 24 ±=±=y , х = ±4; б) yx 2 1 −= и 20 2 1 2 2 =+ − yy , у = ±4, х = ±2. Ответ: (±4, ±2), (±2, ±4). 2) =− =+ 8 3 1 3 22 yx y x x y =− =+ 8 3 10 22 yx y x x y . Обозначим: t x y = , тогда 3 101 =+ t t , 3t2 + 3 – 10t = 0, 3t2 – 10t + 3 = 0, t1 = 3, t2 = 3 1 ; а) 3= x y , у = 3х, х2 – 9х2 = 8, -8х2 = 8, х2 = -1, решений нет б) 3 1 = x y ; х = 3у, 9у2 – у2 = 8, у = ±1, х = ±3. Ответ: (±3, ±1). 3) += += yxy yxx 134 413 2 2 , вычтем уравнения: х2 – у2 = 9(х – у), (х – у)(х + у) – 9(х – у) = 0, (х–у)(х+у–9) = 0 – либо х = у, либо х = 9 – у а) х=у, х2 =13х+4х, х2 –17х=0, х(х–17)=0, х1=0, х2=17, у1=0, у2 =17; б) х=9–у, у2 =4(9–у)+13у, у2 –9у–36=0, у1=-3, у2 =12, х1 = 12, х2 = -3. Ответ: (0, 0), (17, 17), (12, -3), (-3, 12). www.5balls.ru
- 214. 219 4) =++ =−+ 5232 4043 22 22 xyx xyx , вычтем уравнения:х2 – 7х = -12, х2 –7х+12=0, х2 –7х+12=0, 2 17 2 48497 2 1 ± = −± =x , х1 = 4, х2 = 3; а) х = 4, 32 + у2 + 12 = 52, у2 = 8, 22±=y ; б) х = 3, 18 + у2 + 9 = 52, у2 = 25, у = ±5. Ответ: (4, 22± ), (3, ±5). № 1241 1) = = − + 273 322 3 xy yx ; = = − + 33 5 33 22 xy yx ; =− =+ 33 5 xy yx ; =+− −= 353 5 yy yx 4у = 8, у = 2, тогда х = 3. Ответ: (3, 2). 2) =− =− 723 7723 2 2 y x yx . Пусть ba y x == 2,32 ; a, b>0, тогда система примет вид: =− =− 7 7722 ba ba += =− 7 7722 ba ba ( ) += =−+ 7 777 22 ba bb += =−+ 7 2814 22 ba bbb = = 9 2 a b , тогда 22 33 = x , х = 4, 2у = 2, у = 1. Ответ: (4, 1) 3) ( ) =− =⋅ 4log 57623 2 xy yx ( ) =− ⋅=⋅ 4 22 62 2loglog 2323 xy yx =− ⋅=⋅ 4 2323 62 xy yx += ⋅=⋅ 4 2323 62 xy yx 3х ⋅ 2х+4 = 32 ⋅ 26 , 3х ⋅ 2х = 32 ⋅ 22 Т.к. функция 3х ⋅ 2х возрастает, то решение единственное. Отсюда х = 2, у = 6. Ответ: (2, 6) 4) = =+ 1000 4lglg lg y x yx = = 1000 10lglg lg 4 y x xy = = 1000loglog 10 lg 4 x y x x xy = = 3 4 10loglg 10 xy xy = = 10log3lg 104 xy x y = = xx x y 10 4 4 log 310 lg 10 xx lg 310 lg 4 = x x lg 3 lg4 =− Пусть lgx = a, 4a – a2 – 3 = 0, a2 – 4a + 3 = 0, a1 = 1, a2 = 3; 1) a = 1, lgx = 1, x = 10, у = 103 ; 2) a = 3, lgx = 3, х = 103 , у = 10. Ответ: (10, 1000), (1000, 10). www.5balls.ru
- 215. 220 № 1242 1) =+− =− 045 0loglog 22 24 yx yx =+− =− 045 0loglog 2 1 22 22 yx yx =+− = 045 0log 22 2 yx yx =+− = 045 1 22 yx yx =+− = 04 5 1 2 x x x y х3 + 4х– 5 = 0, 1x05)x(x1)-(x5-x4x 23 =⇔=++=+ (т.к. х2 + х + 5 > 0 при любом х ∈ R), х = 1 – единственный действительный корень; у = 1. Ответ: (1, 1). 2) =+ =+ 3log2log 16 22 42 yx yx = =+ 32 42 2 16 xy yx = =+ x y yx 8 16 2 42 = =+ x y x x 8 16 8 2 2 2 2 = =+− x y xx 8 06416 2 24 ( ) = =− x y x 8 08 2 22 = ±= 8 8 y x , но х, у > 0 по определению логарифма. Ответ: ( )4 8,8 . № 1243 1) =− =+ 2 16 yx yx . Пусть 0,0,, ≥≥== habyax , тогда система примет вид: =− =+ 2 16 ba ba += = 2 142 ba b = = 9 7 a b , тогда x = a2 = 81, y = b2 = 49. Ответ: (81, 49). 2) =+ =− 19 1 yx yx . Пусть 0,0 ≥=≥= byax =+ =− 19 1 ba ba = += 182 1 b ba ; = = 9 10 b a , где ybxa == , , тогда х=100, у=81. № 1244 1) −=+− =−+ 222 11 yyx yx ( ) +−=+− =−+ 1242 11 2 yyyx yx +−=+−− −= 48422 2 2 yyyy yx =− −= 064 2 2 yy yx ( ) =− −= 0322 2 yy yx www.5balls.ru
- 216. 221 == −= 2 3 ,0 2 yy yx == == 2 3 ,0 2 1 ,2 yy xx , при этомдолжно выполняться: а) х + у – 1 ≥ 0; б) х – у + 2 ≥ 0; в) 2у – 2 ≥ 0. Для у = 0, х = 2 условие в) не выполняется, следовательно, решение — 2 3 , 2 1 . 2) −=+− =++ 6722 213 yyx xy +−=+− =++ 36844922 413 2 yyyx xy ( ) +−=+−− −= 3684492332 33 2 yyyy yx +−=+−− −= 368449266 33 2 yyyy yx 49y2 – 77y + 28 = 0, 98 2177 98 5488592977 2 1 ± = −± =y , у1 = 1, у2 = 7 4 , х1 = 0, х2 = 7 9 7 12 3 =− , при этом должно выполняться: а) 3у + х + 1 ≥ 0; б) 2х – у + 2 ≥ 0; в) 7у – 6 ≥ 0, следовательно, реше- нием является пара (0, 1). Ответ: (0, 1). № 1245 1) =⋅+ =+ 4 3 cossin2sin 1cossin 2 yxx yx ( ) =−+ −= 4 3 sin1sin2sin sin1cos 2 xxx xy =−−+ −= 0 4 3 sin2sin2sin sin1cos 22 xxx xy =−+− −= 0 4 3 sin2sin sin1cos 2 xx xy 4sin2 x – 8sinx + 3 = 0, sinx = a, |a| ≤ 1, 4a2 – 8a + 3 = 0, 4 12164 2 1 −± =a , 4 24 2 1 ± =a , a1 = 1,5 > 1, a2 = 2 1 , т.е. ( ) Znnxx n ∈π+ π −== , 6 1; 2 1 sin , Zllyy ∈π+ π± == ,2 3 ; 2 1 cos . Ответ: ( ) ∈π+ π ±∈π+ π − ZllZnnn ,2 3 ,, 6 1 2) =++ =+ 4cos4sinsin2cos 2 1 sinsin 22 yyxx yx , yx sin 2 1 sin −= , 4cos4sinsin 2 1 2cos 22 =+ −+ yyyx , www.5balls.ru
- 217. 222 4cos4sin2sin1sin 2 1 1 22 2 =+−⋅+ −− yyyy, 04sin44sin2sinsinsin 4 1 1 222 =−−+−+−+− yyyyy , 0 4 3 sin2sin7 2 =++− yy , siny = a; |a| ≤ 1, 28a2 – 8a – 3 = 0, 28 104 28 84164 2 1 ± = +± =a , 14 3 , 2 1 21 −== aa , а) ( ) Znnyy n ∈π+ π −== , 6 1; 2 1 sin , sinx = 0, x = πl, l ∈ Z, б) ( ) Znnyy n ∈π+ −=−= + , 14 3 arcsin1; 14 3 sin 1 , ( ) Zllxx l ∈π+ −== , 7 5 arcsin1, 7 5 sin . Ответ: ( ) ∈π+ π −∈π ZnnZll n , 6 1;, ( ) ( ) ∈π+−∈π+− + ZnnZll nl , 14 3 arcsin1;, 7 5 arcsin1 1 . № 1246 1) = −= 1 2 1 cossin tgxctgy yx =⋅ −= 1 sin cos cos sin 2 1 cossin y y x x yx 1 sin cos cos sin =⋅ y y x x , тогда 2 1 sincos −=⋅ yx , 0 2 1 2 1 sincoscossin =+−=⋅−⋅ yxyx , т.е. sin(x – y) = 0, x – y = πn, n ∈ Z, x = πn + y, n ∈ Z, ( ) 2 1 cossin −=π+ yny , ( ) 2 1 cossincoscossin −=π+π⋅ ynyny , а) n = 2k + 1, тогда 2 1 cossin −=− yy , sin2y = 1, Zlly ∈π+ π = ,2 2 2 ; б) n = 2k, тогда 2 1 cossin −=yy , sin2y = -1, Zlly ∈π+ π −= ,2 2 2 . Ответ: π+ π ± π+ π ±+π lln 4 , 4 , l, n ∈ Z. www.5balls.ru
- 218. 223 2) = = ctgytgx yx 3 4 1 sinsin = ⋅ ⋅ = 3 1 coscos sinsin 4 1 sinsin yx yx yx тогда 4 3 coscos =yx , 2 1 4 1 4 3 sinsincoscos=−=− yxyx , ( ) Znnyxyx ∈π+ π ±=+=+ ,2 3 ; 2 1 cos , Znnyx ∈π+− π ±= ,2 3 , ( ) ( )( )yxyxyx +−−=⋅ coscos 2 1 sinsin , ( ) −−= 2 1 cos 2 1 4 1 yx , cos(x – y) = 1; x – y = 2πl, l ∈ Z, ∈π−= ∈π+− π ±= Zllxy Znnyx ,2 ,2 3 , ( )nlx +π+ π ±= 6 ( ) lnly π−+π+ π ±= 2 6 ; l, n ∈ Z Ответ: ( ) ( ) Znllnnl ∈ −π+ π ±+π+ π ± ,, 6 ; 6 . № 1247 + −< − + − − + −<− + − − 3 2 2 2 34 3 82 1 2 4 3 63 53 2 32 x x xx xxxx ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) <++−−+−− <++⋅−−+−− 022123438226 04363532323 xxxx xxxx ; <++−−++− <++−−−−− 042129121646 01231810696 xxxx xxxx ; <+− <− 03823 0252 x x ; > < 23 38 2 25 x x ; > < 23 15 1 2 1 12 x x . Ответ: наибольшее целое решение – это х = 12, наименьшее – это 2. № 1248 − +> − − + − < + − + 15 5 1 3 2 2 4 3 3 4 2 5 1 xx xxxx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) >−−−− <−−−−+−+ 0531525 0430320215112 xx xxxx >+−−− <+−+−−−+ 015315105 012030602030151212 xx xxxx >− <+− 0102 016253 x x > −> 5 53 162 x x Ответ: x > 5. № 1249 Примем длину эскалатора за 1, а время, за которое эскалатор поднимает неподвижно стоящего человека, за х, тогда x 1 — скорость эскалатора, 180 1 www.5balls.ru
- 219. 224 — скорость пассажира,а 45 1 — скорость пассажира, поднимающегося по движущемуся эскалатору. По условию 180 11 45 1 += x , откуда х = 60. Ответ: 60 с № 1250 Пусть собственная скорость теплохода х, тогда скорость движения по течению (х + 2), а против – (х – 2). Расстояние между пристанями составит (х + 2) ⋅ 7 или (х – 2) ⋅ 9, следовательно (х – 2)9 = (х + 2)⋅7, откуда х = 16, следовательно, расстояние между пристанями 126 км. № 1251 Пусть х км/ч – планируемая скорость парохода, тогда истинная скорость х + 2,5 км/ч. расстояние будет равно х ⋅ 54, или (х + 2,5)⋅48. Следовательно, x ⋅ 54 = (x + 2,5) ⋅ 48; 54x – 48x = 120, 6x = 120, x = 20, следовательно, скорость парохода 20 км/ч, а расстояние 20 ⋅ 54 = 1080 км. № 1252 Примем объем работы за 1, а время выполнения при совместной работе за х дней. Тогда производительность I рабочего 24 1 , а II 48 1 , общая 48 1 24 1 + . Следовательно, получаем уравнение: 1 48 1 24 1 = + x , 1 48 3 =x ; 3х = 48, х = 16. Ответ: за 16 дней. № 1253 Пусть было освоено х га целинных земель, тогда остальная площадь соста- вит 174 – х га. С целинных земель собрано 30х ц, а с остальных (174-х) ⋅ 22 ц. По условию было собрано 4556 ц. Следовательно, составим уравнение: (174 – х) ⋅ 22 + 30х = 4556, откуда х = 91. Ответ: 91 га. № 1254 Пусть I число равно х, a II равно у. Тогда (х – у):ху = 1:24 и х+у=5(х–у). Составим систему уравнений: ( ) ( ) −=+ =− yxyx xyyx 5 24 , получим х = 12, у = 8. № 1255 Пусть первая дробь равна х, а вторая дробь равна у. Тогда третья дробь равна 1 – х – у. По условию х – у = 1 – х – у и х + у = 5(1 – х – у). Составим систему: −−=+ −−=− yxyx yxyx 555 1 , откуда 3 1 , 2 1 == yx , тогда третья дробь 6 1 3 1 2 1 1 =−− Откуда: 6 1 , 3 1 , 2 1 . www.5balls.ru
- 220. 225 № 1256 Пусть дневнаяплановая норма – х деталей, тогда новая норма х + 9 деталей. 360 деталей должны были изготовить за x 360 дней. А 378 деталей за 9 378 +x дней. По условию задачи x 360 больше 9 378 +x на 1. Составим уравнение: 1 9 378360 = + − xx , откуда х = 45. На самом деле бригада делала 54 детали, а за весь срок 378+54=432 де- тали. Ответ: 432 детали. № 1257 Пусть скорость катера х км/ч. По условию, скорость плота 3,6 км/ч. Путь катера 50 км, а плота 10 км. Время, затраченное на путь, будет равно 6,3 20 6,3 30 − + + xx или 6,3 10 . Отсюда 6,3 10 6,3 20 6,3 30 = − + + xx , откуда х = 18. № 1258 Пусть стоимость 1 билета в I организации х копеек, тогда во II органи- зации билет стоил х – 30 копеек. I организация закупила x 3000 , а II 30 1800 −x билетов. По условию x 3000 больше 30 1800 −x на 5. Составим уравнение: 5 30 18003000 = − − xx , откуда х = 150 или х = 120. Следовательно, I организация купила 20 или 25 билетов, а II – 15 или 20. № 1259 Пусть скорость плота х км/ч, тогда скорость лодки х + 48 км/ч. Время лодки 48 17 +x ч, а плота x 17 ч. По условию x 17 больше 48 17 +x на 3 1 5 ч. Составим уравнение: 3 16 48 1717 = + − xx 51х + 51 ⋅ 48 – 51х = 16(х2 + 48х), 16х2 + 16 ⋅ 48х – 51 ⋅ 48 = 0, х2 + 48х – 152 = 0, откуда х = 3. Ответ: 3 км/ч. № 1260 Пусть со II c 1 га собирали х ц, тогда на I участке с 1 га собирали х + 1 ц. Площадь первого 1 210 +x га, а второго x 210 га. По условию x 210 больше 1 210 +x на 0,5. Составим уравнение: 2 1 1 210210 = + − xx , откуда х = 20. Следовательно, на II участке с 1 га собрано 20 ц, а на I участке – 21 ц. www.5balls.ru
- 221. 226 № 1261 Пусть хшагов делает ученик, тогда его брат делает х – 400 шагов. Дли- на шага ученика x 700 м, а длина шага брата 400 700 −x м. По условию 400 700 −x больше x 700 на 0,2 м. Составим уравнение: 2,0 700 400 700 =− − xx . 3500х – 3500х + 1400000 = х2 – 400х, откуда х=1400. № 1262 Пусть I число равно х, тогда II число xq, III – xq2 , IV – xq3 . По условию xq2 больше х на 9, а xq больше xq3 на 18. Составим систему: =− =− 18 9 3 2 xqxq xxq , откуда −= = 2 3 q x Следовательно, I число равно 3, II равно -6, III равно 12, IV равно –24. № 1263 1) По условию а4 = 1, т.е. а1 + 3d = 1, кроме того, ( ) 33 2 22 1 1 3 ⋅+=⋅ ⋅+ = da da S , т.е. (a1 + d) ⋅ 3 = 0 Составим систему уравнений: =+ =+ 0 13 1 1 da da −= = da d 1 12 −= = 2 1 2 1 1a d 2) ( ) n nda Sn ⋅ −+ = 2 12 1 , тогда 27 2 11 2 1 2 1 2 12 = ⋅+ − =S . № 1264 Пусть I число равно х, знаменатель геометрической прогрессии q. Тогда II число равно xq, a III число xq2 . Разность арифметической прогрессии xq2 – xq, тогда IV число xq2 + xq2 – xq = 2xq2 – xq. По условию задачи со- ставим систему уравнений: =+ =−+ 12 162 2 2 xqxq xqxqx , решая, получим: = = 1 3 x q и = = 16 2 1 x q Следовательно, I число равно 1, II равно 3, III равно 9, IV равно 15, или числа равны 16, 8, 4, 0, соответственно. Ответ: 1, 3, 9, 15 или 16, 8, 4, 0. www.5balls.ru
- 222. 227 № 1265 Пусть х– первый член геометрической прогрессии, а у – ее знамена- тель, тогда b5 = x ⋅ y4 ; b8 = x ⋅ y7 , b11 = x ⋅ y10 . По условию a1 = x ⋅ y4 , a2 = x ⋅ y7 , a10 = x ⋅ y10 . Тогда d = xy7 – xy4 и а10 = а1 + 9d = xy4 + 9(xy7 – xy4 ). Составим уравнение: xy10 = xy4 + 9xy7 – 9xy4 ; x ≠ 0, y ≠ 0 Следовательно, у6 = 9у3 – 8, у6 – 9у3 + 8 = 0, 2 328193 −± =y ; у3 = 8, у3 = 1. Следовательно, у = 2 и у = 1. По условию ( ) 1 15 5 − − = y yx S и S5 = 62, т.е. ( ) 12 12 62 5 − −⋅ = x ; х = 2 При у = 1имеем х + х + х + х + х = 62, 5х = 62, 5 2 12=x . Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 2 или 5 2 12 . Ответ: 2 или 5 2 12 . № 1266 1) Пусть а1 – первый член арифметической прогрессии, а d – ее раз- ность. По условию a1 > 0, d > 0. 2) a5 ⋅ a6 больше а1 ⋅ а2 в 33 раза, следовательно, можем составить урав- нение: (a1 + 4d) ⋅ (a1 + 5d) = a1(a1 + d) ⋅ 33; a1 2 + 9da1 + 20d2 = 33a1 2 + 33a1d; 32a1 2 + 24a1d – 20d2 = 0, откуда 2 , 8 10 11 d a d a = − = , но а1 > 0, d > 0, следовательно, 2 1 d a = . 3) a5 ⋅ a2 = (a1 + 4d) : (a1 + d) = 3. № 1267 В результате построений получается множество подобных треугольни- ков с 2 1 =k , площади которых образуют бесконечную геометрическую прогрессию, в ней b1 = 12, 4 1 =q , следовательно 16 4 1 1 12 1 1 = − = − = q b S см2 . www.5balls.ru
- 223. 228 № 1268 bxy+−= 2 5 (-2;3); ( ) 2 2 2 5 3 −= +−⋅−= b b № 1269 3+= kxу (-1;4); 1 314 −= +⋅−= k k № 1270 bkxу += 1) А(-1;-2), В(3;2) += +⋅−=− bk bk 32 12 ; ( ) ++= −= bb bk 232 2 ; 1,1 −== bk ; 2) A(2;1), B(1;2), += += bk bk 2 21 ; −= −+= kb kk 2 221 ; 3,1 =−= bk ; 3) A(4;2), B(-4;-3), +−=− += bk bk 43 42 ; +−= −= kk kb 4243 42 ; 2 1 , 8 5 −== bk ; 4) A(-2;-2), B(3;-2), ; 2232 22 ; 32 22 −+=− −= +=− +−=− kk kb bk bk 2,0 0 22 −== = −= bk k kb ; № 1271 A(-3;2), B(-2;2), C(3;0) Для прямой, проходящей через В и С, справедлива система: kbk bk dk 5 6 , 5 2 ; 30 22 =−= += +−= , таким образом 5 6 5 2 1 +−= xy . У прямой, проходящей через А коэффициент k равен 5 2 − вследствие параллельности ее и первой прямой ВС. Справедливо уравнение: , 5 2 32 b+−−= откуда 5 4 =b , тогда 5 4 5 2 +−= xу . Ответ: 5 4 5 2 , 5 6 5 2 +−=+−= xуxу . № 1272 1 2 =+ у x 1)A(-1;4) 1 2 4 1 =+− принадлежит; 2) А(0;3) 1 2 3 0 ≠+ не принадлежит 3) А(1;0) 1 2 0 1 =+ принадлежит 4) А −1; 2 3 1 2 1 2 3 =− принадлежит. www.5balls.ru
- 224. 229 № 1273 2 4 3 +−= xу; 1) ( )2,0,2,0 Ауx == – точка пересечения с 0у; == 0, 3 8 , 3 8 ,0 Bxу – точка пересечения с 0x; 2) ( ) 3 10 02 3 8 0 2 2 =−+−= AB 3) Из 2 4: xOCAOC −=∆ (1) 4) Из +−−=∆ 2 3 20 9 100 9 64 : xxOCBOC (2) Из (1) и (2): ACx == 5 6 ; 5 8 25 36 4 =−=OC . № 1274 13 −= xу ; 1) 3 1 ,013 <>− xx ; 2) 3 1 ,013 <<− xx . № 1275 122 +− xу ; 1) 2 1 ,012 <>+− xx ; 2) 2 1 ,012 ><+− xx . № 1276 .1;2312,23,12 >−<−−=−= xxxxуxу № 1277 ( ) ( ) ( ) ( ) 3;3231323 3231,323 −<++>−− ++=−−= xxx xуxу № 1278 32 −= xу . Т.к. линейная функция вида bkxу += возрастает при 0>k и данная функция линейная и ,02 >=k то она возрастает. № 1279 33 −−= xу Т.к. функция 33 −−= xу линейная и ,03 <−=k то она убывает. № 1280 1) Графики линейных функций пересекаются, если коэффициенты k у них различны. 23 −= xу и 13 += xу параллельны www.5balls.ru
- 225. 230 2) 23 −=xy и 13 += xy пересекаются. № 1281 1) xy −= 2 а) xy −= 2 б) симметрия относительно Oy в) пересечений нет. 2) xy −= 2 точки пересечения 3,1,32 =−==− yxx и 3,5 == yx 3) 32 −+−= xxy а) −= ≥ −+−= ≥ 52 3 ; 32 3 xy x xxy x ; б) = <≤ −−−= <≤ 1 32 ; 32 32 y x xxy x в) +−= < +−−= < 52 2 ; 32 2 xy x xxy x точки пересечения: 332 =−+−= xxy , x = 4, y = 3 и x = 1, y = 3. № 1282 322 −−= xxy 1) графиком функции служит парабола, ветви которой направлены вверх, вершина в точке (+1;-4). www.5balls.ru
- 226. 231 2) Найдем у’: ()1222' −=−= xxy 0'>y при x > 1, след. на [ )4;1∈x функция возрастает 3) Наименьшее значение в точке x = 1, равное –4 4) 04,1232 22 >−+−>−− xxxx при ( ) ( )+∞−∞−∈ ;22; Ux 5) ( ) ( ) −+= 0 oo ' xxxfxfy ( ) ( ) ( ) 423223 32,22' −+−=−+−= −== xxy ff 72 −= xy — уравнение касательной в точке х0 = 2. № 1283 232 2 ++−= xxy 1) график функции – парабола, ветви на- правлены вниз; вершина с координатами , 8 1 3, 4 3 00 == yx точки пересечения с 0у: (0;2); с 0х: (2;0), (- ½ ; 0) у(х) < 0 при x > 2 и x < - ½ 2) y′ – 4x + 3 < 0 при 4 3 >x , следовательно на [1;2] функция убывает 3) наибольшее значение функция принимает в точке 4 3 =x 4) 23 += xy , 23232 2 +<++− xxx , 02 2 <− x , 02 >x , следовательно при всех 0≠x ; 5) ;23223;3 ++−== xxy ; 2 1 ,1;01322 ===+− xxxx ( ) 4,11' +=−= -xyy - уравнение касательной в х = 1 5,2;1 2 1 ' +== xyy - уравнение касательной в 2 1 =x № 1284 1) y = x2 и y = x + 6, x2 = x + 6, x2 – x – 6 = 0 D = 1 + 24 – решение есть, след. пересекаются. 2) x y 3 = и ( )14 += xy , 034,43;14 3 22 =−++=+= xxxxx x , www.5balls.ru
- 227. 232 D = 1+ 48 – решение есть, след. пересекаются. 3) x yxy 1 и 8 1 2 == , x x 1 8 1 2 = , 83 =x , 2=x , след. пересекаются. 4) x yxy 1 и12 =−= , x x 1 12 =− , 81D012 2 +==−− xx – решение есть, след. пересекаются. № 1285 1) xxy −+= 22 , ( ) ( )xyxxxy =+−=− 22 – функция четная 2) xxy −−= 33 , ( ) ( )xyxxxy −=−−=− 33 – функция нечетная 3) x x y − + = 3 3 ln , ( ) ( )xy x x x x xy −= − + −= + − =− 3 3 ln 3 3 ln – функция не- четная 4) ( ) ( )xyxy x x y =− − + = ; 5 5 ln – функция четная № 1286 1) 12 2 −= xy , ( ) ( ) ( )xyxxy =−−=− 12 2 – функция четная 2) 3 xxy −= , ( ) ( )xyxxxy −+−=− =3 – функция нечетная 3) x xy 15 −= , ( ) ( )xy x xxy =+−=− 15 – функция нечетная 4) ( ) x x y sin = , ( ) ( )xy x x xy = − =− sin – функция четная № 1287 1) xxy sin= , ( ) ( ) ( )xyxxxy =−−=− sin – функция четная 2) xxy cos2 = , ( ) ( ) ( )xyxxxy =−=− cos2 – функция четная 3) xxy sin+= , ( ) ( )xyxxxy −=−−=− sin – функция нечетная 4) xxy cos+= , ( ) xxxy cos+−=− — функция не является четной и не является нечетной. № 1288 1) 2 3 cos x y = 3 42 2 3 π = π =T 2) xy 6,0sin2= π= π = 3 10 6,0 2 T № 1289 1). 3 2 ;23;3cos π =π== TTxy ; 2). π=π== 10;2 5 ; 5 sin T Tx y ; www.5balls.ru
- 228. 233 3). 5 ;5;5 π =π== TTxtgy ; 4).)1(cos cos )1(cossin cos sincossin ;sin += + = + =+= xtgx x xx x xxx ytgxxy ; Наименьший период для sin x 2π, для tgx 2π тоже являются периодом. Следовательно для у = sinx + 69x Т=2π. № 1290 1) 54 24 −+−= xxy , ( ) ( )xyxxxy =−+−=− 54 24 – функция четная 2) xxy 43 −= , ( ) ( )xyxxxy −=+−=− 43 – функция нечетная № 1291 42 −+= bxaxy , ( ) ( ) 04,01 == yy , ; 44160 40 −+= −+= ba ba ; 041616 4 =−+ −= aa ab =+ −= 01212 4 a ab −= = 1 5 a b 452 −+−= bxy . Наибольшее значение функция принимает в точке ; 2 5 =x 25,2 2 5 = y № 1292 1) π −=−=−= 3 2sin22cos 2 3 2sin 2 1 22cos32sin xxxxxy 2) ( ) =+−=+= xxxxxxy 22222 cossin4sincos22sin2cos2 ( ( )( =−⋅+−−= xxxx 2222 sin1sin2sinsin12 ( ) xxxx 2422 sin42sin2sin2sin212 −=−+−= 0sin1 2 ≥≥ x , 2max =y , 2min −=y . (Опечатка в ответе задачника). № 1293 1) 6522 +−= xxy , с осью 0y: х = 0, у = 6 ⇒ (0, 6), с осью 0х пересечений нет, т.к. D < 0; 2) 2522 +−= xxy , c осью 0у: х = 0, у = 2 ⇒ (0, 2) с осью 0х: 4 35 4 16255 2 1 ± = −± =x , (2, 0) и 0, 2 1 . № 1294 www.5balls.ru
- 229. 234 cbxaxy ++= 2 ,( ) ( ) ( ) 30,03,152 −===− yyy = = = += =+ = =− ++= +−= -3c -5b 2a ; 3-2-6a4a15 b13a- -3c ; 3 300 2415 c cba cba 352 2 −−= xxy — график функции — парабола с вершиной в точке − 8 1 6, 4 5 , ветви которой направле- ны вверх. № 1295 2 25 xy −= , 1) ( )( ) ( ) [ ]5;5;055,025 2 −=≥+−≥− yDxxx ; 2) ( ) ( )xyxxy =−=− 2 25 — четная; 3) 22 2525 1 2 2 1 ' x x x xy − −= − ⋅⋅−= , у′ = 0 при х = 0; 4) т.к. функция четная, то график функции симметричен относительно 0у. Функция возрастает на [-5,0] и убывает на [0,5]. № 1296 2 5 − = x y 1) ( ) ( ) ( )+∞−∞= ;22; UyD ; 2) Ни четная, ни нечетная, непериодическая 3) ( )2 2 5 ' − − = x y , 0'≠y , следовательно стационарных точек нет. 4) 0у: х = 0, у = -1,25, 0х: пересечений нет; 5) y′ < 0 при 2≠x , следовательно функция убывает. www.5balls.ru
- 230. 235 № 1297 1) 13+= x y а) ( ) ( )+∞∞−= ;yD б) функция не является четной и нечетной в) 3ln 3 ' x y = г) 0х: у = 0 – пересечений нет, 0у: х = 0, у = 2 д) 0',0' ≠> yy , следовательно функция возрастает. 2) 3 2 1 −= x y а) ( ) ( )+∞∞−= ;yD б) функция не является четной и нечетной в) ( ) ( )5,0ln 5,0 ' x y = г) 0х: у = 0 – пересечений нет 0у: х = 0, у = -3 д) 0',0' ≠> yy , следовательно функция возрастает 3) ( )1log2 += xy а) D(y): x + 1 > 0, т.е. х > - 1 б) функция не является четной и нечетной в) ( ) 2ln1 1 ' + = x y г) 0х: у = 0, х = 0; 0у: х = 0, у = 0 д) y′ > 0 при x > -1 — функция возрас- тает y′ < 0 при х < -1, но на данном промежутке функция не существует. 4) ( )1log 3 1 −= xy а) D(y): x – 1 > 0, x > 1 б) функция не является четной и не является нечетной www.5balls.ru
- 231. 236 в) ( ) 3 1 ln1 1 ' − = x y г)0х: у = 0, х = 2 0у: х = 0 – пересечений нет д) y’ > 0 при x > 1, функция возрастает y’ < 0 при x < 1, но функция на данном промежутке не существует. № 1298 1) 32 1 −= −x y а) D(y): ( )+∞−∞∈ ;x б) функция не является четной и не является нечетной в) 2ln 2 ' 1− = x y г) 0х: у = 0, х = log23+1 0y: x = 0, y = -2,5 д) y’ > 0 при x > -2 y’ < 0 при x < -2, но на данном интервале функция не существует 2). 3)2(log2 ++= xy ; а) Д(у) : х+2>0; х>-2; б) функция не обладает свойствами четности или нечетности; в) 2ln)2( 1 ' + = x y ; г) Ох : у=0 при 8 7 1 8 15 8 1 2 −=−=+−=x ; Оу : х=0 при у=4; д). у′>0 при х>-2; у'<0 при х<-2, но на этом интервале функция не суще- ствует, следовательно, данная функция возрастает на области определения. № 1299 1) ( )xy x 36lg2 −+= , D(y): 6 – 3x > 0, x < 2; 2) ( )42ln23 +−− xx , D(y): 2x + 4 > 0, x > -2; 3) x y 2cos 1 = , ( ) Zn n xxyD ∈ π + π ≠≠ , 24 ,02cos: ; 4) 4 x tgy = , ( ) Znnx x yD ∈π+π≠≠ ,42,0 4 cos: . № 1300 1) 3 3 + − = x x y , 0 3 3 ≥ + − x x D(y): ( ) [ )+∞−−∞∈ ;33; Ux 2) 6 12 log3 − + = x x y + – 3 + –3 www.5balls.ru
- 232. 237 0 6 7 ;0 6 612 ;1 6 12 ≥ − + ≥ − +−+ ≥ − + x x x xx x x D(y): ( ]( )+∞−−∞∈ ;67; Ux . № 1301 1) 1112 166 2 2 +− −− = xx xx y , ( ) ( )( ) ( )( ) ( ] ( ] ( )+∞−∞−∈≥ −− +− ;118;12;;0 111 28 : UUx xx xx yD ; 2) ( ) 13log 2 1 −−= xy , ( ) ∈ > ≤ >− ≤− >− ≥−− 2 1 3;3; 3 2 1 3 ; 03 2 1 3 ; 03 013log :)( 2/1 x x x x x x x yD . № 1302 1) ( )75log 2 8,0 +−= xxy , ( ) ( ) ; 075log 075 2 8,0 2 ≥+− >+− xx xx yD 0750;075 22 >+−⇒<=+− xxDxx ; 2 15 ;065;175 2,1 22 ± =≤+−≤+− xxxxx ; ( ) ( ) ∈ +∞∞−∈ 3;2 ; x x ( )3;2∈x ; 2) ( )9log 2 5,0 −= xy , ( ) ( ) [ ) ( ]10;33;10; 09log 09 : 2 5,0 2 ∪−−∈ ≥− >− x x x yD . № 1303 1) 362 ++= xxy , 6след.,6,3 2 6 00 −≥−=−=−= yyx ; 2) 182 2 −+−= xxy , 7след.,7,2 4 8 00 ≤== − − = yyx ; 3) 1+= x ey , ex > 0, след. y > 1; 4) x y 2 2+= , 20 2 ,0; 2 2 ≠⇒≠≠=− y x x x y . + – 6 + –7 www.5balls.ru
- 233. 238 № 1304 1) π −+= 4 sin5,0 xy , [ ]5.1;5,0след.,1 4 sin1 −∈≤ π −≤− yx ; 2) ( ) ; 25,1 5,0 cos;cos25,1;sincos5,0 arxyxxy =α−α=+= [ ]25,1;25,1след.,1sin1;25,1cos25,125,1 −∈≤≤−≤≤− yxx № 1305 1) ( ) 2 ,cossin 0 π =+= xxxxf , ( ) 1 2 sin 2 cos' −= π − π == xfk ; 2) ( ) 6 ,3cos 0 π == xxxf , ( ) 3 2 sin3' 0 −= π −== xfk . № 1306 1) ( ) 1, 4 1 02 =−= xx x xf , ( ) 2 1 3 2 1 2 1 ' − − −−= xxxf , ( ) 4 ,11' π −=αα=−= tgf ; 2) ( ) 3 1 ,2 0 == xxxxf , ( ) 2 1 2 3 3'2' xxxf == , 3 ,3 3 1 ' π =αα== tgf . № 1307 1) ( ) 4 1 , 4 3 0 == x xx xf , ( ) ( )( )000 ' xxxfxfy −+= , ( ) 2 5 2 3 8 9 ' 4 3 ' −− −== xxxf , 36 4 1 ' −= f , xyxy 3615; 4 1 366 −=−−= 2) ( ) 1,42 0 24 −=+−= xxxxf , ( ) ( )( )000 ' xxxfxfy −+= , ( ) xxxf 28' 3 −= , ( ) 61' −=−f , ( ) xyxy 61;165 −−=+−= . № 1308 )(13 xfxxy =+−= . Точка пересечения (0,1), т.е. х0 = 0, ( ) ( )( )00' xxxfxfg −+= , ( ) 13' 2 −= xxf , ( ) ,10' kf =−= следовательно к=–1. www.5balls.ru
- 234. 239 № 1309 2),(13 3 ==−=yxfxy , 1,132 3 =−= xx , ( ) 91;9)( 2 =′=′ fxxf , ( ) 9191' =⋅== fk . № 1310 34 −= xy , 2 26 xxy +−= . Приравняем 2 26и34 ххх +−− , 2 2634 xxx +−=− , 0962 =+− xx , ( ) 03 2 =−x , 9,3 == yx . Ответ: (3; 9). № 1311 1694 23 ++−= xxxy , 61812' 2 +−= xxy . По условию ( ) 00 == xyk , где х0 – точка касания; 061812 2 =+− xx , 0132 2 =+− xx , 25,2,2;5,0,1 2121 ==== yyxx . Ответ: (1;2), (0,5;2,25). № 1312 , 4 ,1x72x3y π =α++= тогда ( ),xy'1tg 0==α где х0 – точка каса- ния; 3,1,176' −=−==+= yxxy . Ответ: (-1;-3). № 1313 1) ( ) 5,0,2ln 0 == xxxxf , ( ) ( )( )000 ' xxxfxfy −+= , ( ) 1x2ln2 x2 x x2lnx'f +=⋅+= , ( ) 105,0'f += , 2 1 xy; 2 1 x10y −=−+= ; 2) ( ) 1,2 0 == − xxf x , ( ) ( )( )000 ' xxxfxfy −+= , ( ) 2ln2' x xf − −= , ( ) 2ln 2 1 1'f −= , ( ) ( )2lnx2ln1 2 1 1x2ln 2 1 2 1 y −+=−−= . № 1314 ( )4;2,6723 −+−−= Mxxxy , 723' 2 −−= xxy , ( ) 174122' =−−=y , ( ) 12' ==α ytg , 4 π =α . № 1315 1,2 =⋅= − xexy x , ( )1'ytg =α , xx exexy −− −⋅= 2 2' , ( ) eee y 112 1' =−= , e tg 1 =α . www.5balls.ru
- 235. 240 № 1316 3 , 6 3cos 3 2 π = π −= xxy , 4 ,1 3 '; 6 3sin2' π −=α−= ππ −−= yxy . № 1317 ( ) 3 13 + = x xf , ( ) ( )( )11'1;1,0 3 13 +−+−=−== + xffyx x , ( ) ( ) 11';' 2 =−= fxxf , 1+= xy . № 1318 ( ) 4,13 =+= xxxf , ( ) ( )( )44'4 −+= xffy , ( ) ( ) 34'; 2 3 ' 2 1 == fxxf , ( ) 33;439 −=−+= xyxy . № 1319 1) ; 1 1 2 2 − + = x x y ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222 33 22 22 1 4 1 2222 1 1212 ' − − = − −−− = − +−− = x x x xxxx x xxxx y . Функция возрастает при x < 0 2) ( ) 2 2 2 222 112 '; 1 x x x xx y x x y + = −− = − = . Функция возрастает при 0≠x www.5balls.ru
- 236. 228 № 1320 1) () ( )23 21 −−= xxy ; ( ) ( ) ( )( ) =−−+−−= 322 122213' xxxxy ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )8521222321 22 −−−=−+−−−= xxxxxxx + + – + 1 5 8 2 5 8 x = — точка максимума; 2x = — точка минимума; 2) ( )4 64 xy −+= , ( )3 64' xy −−= х = 6 — точка минимума. № 1321 1) 1 443 2 2 ++ ++ = xx xx y ; ( )( ) ( )( ) ( ) = ++ +++−+++ = 22 22 1 44312146 ' xx xxxxxx y ( ) − ++ +++++ = 22 223 1 444666 xx xxxxx ( ) ( ) ( ) ( )2222 2 22 223 1 2 1 2 1 443886 ++ +− = ++ −− = ++ +++++ − xx xx xx xx xx xxxxx – + – -2 0 х = -2 – точка минимума; х = 0 – точка максимума; 2) 43 362 + ++ = x xx y , ( )( ) ( ) = + ++−++ = 2 43 36234362 ' x xxxx y ( ) ( ) ,0 43 1583 43 918324266 2 2 2 22 > + ++ = + −−−++ = x xx x xxxx следовательно, функция возрастает на всей числовой, за исключением точки 3 4 x −= , в ко- торой функция не определена. Следовательно нет точек максимума и минимума. № 1322 1) π += 2 3 ;02sinsin2 xxy , – + 6 www.5balls.ru
- 237. 229 2 cos 2 3 cos222cos2cos2' x xxxy ⋅⋅=+= , () 3 2 3 0 2 3 cos ;0при0 2 3 cos n x x xx π + π == π∈> , ( ) nx x x x π+π== π∈> 20 2 cos ;0при0 2 cos , ( ) 2 3 3 2 2 3 00 = π −= π = yyy , ( ) 0y =π , наиб.: 2 3 3 = π y ; наим.: 2 2 3 −= π y ; 2) π += 2 ;02cossin2 xxy , ( )xxxxy sin21cos22sin2cos2' −=−= , π ∈> 2 ;0при0cos xx , π ∈>− 6 ;0при0sin21 xx , cледовательно у = 1,5 – точка максимума, у = 1 – точка минимума. № 1323 1) [ ]4;15 −+= xy , 0 52 1 ' > + = x y , следовательно, у = 2 – минимум; у = 3 – максимум; 2) π += 2 ;0cos22sin xxy , ( ) 0cos3sin 3 22 cos 3 1 3sin22cos' =+α=−=−= xxxxxy , 3 1 arccos=α , ( ) nxx π+ π =+α=+α 2 0cos , ⇒ 2 , 2 ; 22 0 π −≤α≤π−π≤α−≤ ππ ≤π+ π −α−≤ n , что невозможно ⇒= π = 1 2 ;22)0( yy наим.: у = 1; наиб.: 22=y . № 1324 1) [ )4;5,0ln xxy −= , 01 1 ' =−= x y , ( ) 44ln4; 2 1 2ln 2 1 ;1 −=−−== yyx ( ) ;11 −=y наим. y(4) = ln4 – 4 наиб. y(1) = -1 2) [ ]1;01 2 xxy −= , www.5balls.ru
- 238. 230 2 1 , 2 1 ;0 1 21 12 2 ;1' 2 2 2 2 2 ±=== − − = − ⋅ −= xx x x x xx xy, ( ) ( ) 01;00 == yy , 2 1 2 1 2 1 2 1 =⋅= y , Наим. y = 0; Наиб. 2 1 y = . № 1325 Обозначим радиус основания цилиндра через r, тогда объем цилиндра ( ) 322 233 rrrrV π−π=−π= , ( )rrrrV −π=π⋅−π= 16236 2 . Функция V(r) возрастает, при 0 < r < 1 и убывает при r < 0 и r > 1, сле- довательно максимум функции Vбудет, при r = 1. № 1326 Площадь полной поверхности цилиндра 2 2254 rrhS π+π=π= , где r – радиус основания, а h – высота, тогда объем hrV 2 π= , 2 2254 rrhS π+π=π= , , 27 2 r r h − = тогда ( ) ( )32 22 27 27 rr r rr V −π= −π = , ( ) ( ),93327' 22 rrV −π=−π= тогда максимум V будет в точке r = 3, h = 6, тогда максимальный объем Vmax = 54π № 1327 Обозначим за х сторону основания, а за h – высоту пирамиды, тогда по условию х + h = 9; ( ),9 34 1 2 xxV −= и так как объем максимальный, то −= xxV 4 3 32 9 ' , V’ = 0, тогда х = 6. № 1328 Обозначим за х сторону основания, а за h – высоту призмы, тогда hxV ⋅= 2 , где х2 выражается через h и длину диагонали по формуле: 2 12 2 2 h x − = , тогда 2 2 2 3 6', 2 12 hVh h V −=⋅ − = , откуда находим, что максимум достигается при h = 2. № 1329 ( ) π −π+= − 2 ;5,0;cos2 Mxxxf первообразная: ( ) ,sin1 1 cxxxf ++−= − т.к. π −= π 2 21f запишем: π −=++ π − 2 1 2 c , откуда с = -1, следовательно первообразная имеет вид: 1sin1 1 −+−= − xxy . www.5balls.ru
- 239. 231 № 1330 ( )( ) ( ) 63,2312322 ≤≤−−−−= xxxxxf ( ) ( ) ;3666'243632' 223 −−=+−−= xxxxxxf Функция возрастает при x < -2 и x > 3, и убывает при –2 < x < 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 1326,573,513,682 =−==−=− ffff . Ответ: -57 и 132. № 1331 1) ( ) ( )2ln3ln 61 12 1 ln29 1 ln32' 22 +−=⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅= xx xxx x x xxf ( ) ;02ln32ln 6 при0' =+−= xx x xf ,1lnи2ln, 2 893 ln == −± = xxx т.е. х = е2 и х = е; 2) ∈∈ 34 3 34 3 2 ;,; eeeeee ; 3) ( ) ( ) ( ) 5,4, 32 25 4,9 24 3 3 ==== efefefef . Ответ: 4 и 9. № 1332 = 2 1 ;2,2 Axy ; а) ( ) ( ) ;2 21 2 21 2 yyxxd −+−= , 2 1 ;2 A следовательно ' 2 1 ,2x 11 == y ( ),; 2 xxX следовательно ;, 2 22 xyxx == ( ) 0; 2 1 2 2 222 >−+−= xxxd б) рассмотрим ( ) ( ) 2 2 122 −+−= xxxf и найдем ее наименьшнее значение при x > 0. ( ) ;44'4 4 1 4' 4 1 44' 34422 xxxxxxxxf +−=+−=+−++−= ( ) 0x'f = при -1,1,044 33 =−=+− xxx стационарная точка При переходе через единственную стационарную точку х = 1 производ- ная меняет знак с «-» на «+», след. функция принимает в ней наименьшее значение. Итак, расстояние будет наименьшим от А до точки (1;1). № 1333 AD – основание трапеции, поэтому BC(x) – отрезок, параллельный AD. www.5balls.ru
- 240. 232 ( ) ()( ) ( ) ,1причем, 2 1 =⋅+= ADxhxBCADxS ( ) ( ) ( ) т т.,211,2 22 xxxhxxBC −=−+== ( ) ( )( ) ( ) 10где, 2 1 21 242 2 1 221 2 1 32 322 ≤<−−+= =−−+=−+= xxxx xxxxxxS Рассмотрим S'(x): S’(x) = 2 – x – 3x2 ; S’(x) = 0 при x = -1 или 3 2 x = Из полученных критических точек только 3 2 x = лежит в промежутке (0;1]; при переходе через эту точку S’(x) меняет знак с «+» на «-», т.е. это точка максимума. Найдем значения S(x) на концах рассматриваемого промежутка и в по- лученной критической точке. ( ) 121 2 1 0 =⋅⋅=S , 27 49 3 2 = S , ( ) , 2 3 1 =S таким образом 27 49 max =S . № 1334 1) [ ] ( ) ( )22 4;;4;;1;1 xxAxxBx −−∈ ; 2) ( ) ;6; 3 3,; xx xx yxC c c cc −= + = 2 2 2 412; 4 6 xy yx c c −= + = ; 3) ( )=−−⋅⋅=⋅= 22 44122 2 1 2 1 xxxCDABSABC ( )3 234 xx − 4) Рассмотрим функцию ( ) ( )3 234 xxxf −= на [0;1] и найдем ее наи- большее значение. ( ) ( ),634' 2 xxf −= ( ) ( ) - 2 1 ;0634при0' 2 ±==−⋅= xxxf стационарная точка. При переходе через единственную стационарную точку 2 1 на [-1;1] производная меняет знак с «+» на «-», следовательно в этой точке функция принимает наибольшее значение. 5) 24 2 1 23 2 1 4 2 =⋅−⋅= ABCS . № 1335 1min,5;2 ==++= yxqpxxy www.5balls.ru
- 241. 233 ( ) ; 052 5251 ; 05' 5251 =+⋅ ++= = ++= p qp y qp откудаp = -10, q = 26. № 1336 Обозначим через r радиус основания, а через h – высоту конуса, тогда объем ( ) 322 3 1 3 400 400 3 1 3 1 hhhhhrV π−π=−π=π= , +−π=π−π= 3 20 3 20 3 400 ' 2 hhhV , h > 0, след. 3 20 0 =h – точка максимума (при переходе через h0 V’ меняет знак с «+» на «-», таким обра- зом 3 20 =h . № 1337 Обозначим через r – радиус, через h – высоту цилиндра, тогда 22 22a, rrhShrV π+π=⋅π= , 2 2 2 2 2 222 ; r r V r rVr S r V h π+= π π+⋅π = π = , 2 3 2 24 4 2 ' r Vr r r V S −π =π+−= , точка минимума , 2 3 π = V r а минимальная площадь =π= π π+ π = 3 2 33 23 2 3 3 min 22 2 2 22 VV V V V S 3 233 2 2323 VV π=π . № 1338 Обозначим через r – радиус основания, через 2h – высоту цилиндра, то- гда rh4h2r2S π=⋅π= , где ,22 rRh −= тогда 22 4 rRrS −π= . ( ) ( ) = − π−−π = − −π +−π= 22 222 22 22 4422 4' rR rrR rR rr rRS ( ) 22 22 22 22 2484 rR rR rR rR − −π = − π−π = , 2/0 Rr = – точка максимума, т.к. при переходе через r0 S’ меняет знак с «+» на «-», таким образом 2 R r = . № 1339 Обозначим через r – радиус основания, через 2h – высоту цилиндра, то- гда 2222 rRrhrV −π=π= www.5balls.ru
- 242. 234 ( )( )( ) 22 32 22 322 22 3 22222 322 2'' rR rrR rR rrRr rR r rRrrRrV − −π = − −−π = = − −−π=−π= Rr 3 2 0 = – точка максимума, т.к. при переходе через r0 V’ меняет знак с «+» на «-», тогда 33 2 22 R RRh =−= , соответственно высота 3 2 2 R h = № 1340 Обозначим через h высоту конуса, тогда радиус основания ( )23 RhRr −−= , а ( )( ) ( ) ( )222222 2 3 1 2 3 1 3 1 hhRhhRhRhRhRhRV −π=−+−π=−−π= ( )( ) ( );3 3 1 222 3 1 ' 2 hRhhRhhhRV −π=−+−π= Rh 3 4 0 = – точка максимума. № 1341 α⋅⋅= ⋅=⋅= ⋅π=⋅= sin 2 1 3 1 3 1 задана- 3 1 3 1 2 BCABS hShSS hRhSS ABC ABCоснпир оснкон 22 sin2 α − π =∠=∠α= BCABACRAC 2 cos2 sin 2 cossin2 sin 22 sin α = α α ⋅α = α = α − π R R AB ACAB α α =α⋅ α ⋅= sin 2 2cosисследуемsin 2 2cos24 2 1 fRABCS ( ) 2 1 cos 2 1 cossincoscos 2 1 ' 2 cos1 sin' 222 −α+α=α−α+α= α+ ⋅α= f 98101cos2cos20' =+==−α+α= Df ; 2 1 cos;1cos 21 =α−=α , следовательно сумма всех углов треугольника 3 ,,2 3 ; 2 π =α⇒∈π+ π ±=απ Znn . A C D α www.5balls.ru
- 243. 235 № 1342 Обозначим черезr – радиус основания, тогда высота 22 2 −= p h , а объем − π=π= 2 422 rp rhrV , ( ) ( );62 2 122 2 ' 2 rprrrpV −⋅ π =− π = - 6 0 p r = точка максимума, тогда 2163236max 32 pppp V π =− π = . № 1343 Пусть АО1 = х, тогда ;22 1 rROO −= 0;2;2 642222 >−π=−⋅⋅π= xxxRVrRxV и Rx < Рассмотрим функцию ( ) 642 2 xxRxg −π= при 0 < x < R и найдем ее наибольшее значение, заметим, что g(x) принимает наибольшее значение в той же точке, что и ( ) 642 xxRxf −= . ( ) ;64' 532 xxRxf −= 3 2 2 0 R x = – точка максимума, тогда 3 2 RH = . № 1344 Пусть r – радиус основания, H – высота цилиндра, тогда 2 4 2 2 242 r rVr rrHS π+ =π+π= , где V – объем ( ) 3 02 3 4 ; 42 ' π = −π = V r r Vr S - точка минимума, следовательно расход жести будет наименьшим, когда 2 1 4 244 2 2 2 33 = π⋅ ⋅π = π ⋅π⋅ π ⋅ = V V V VV H r , т.е. при 2D = H. (Опечатка в ответе задачника). № 1345 Пусть ОО1 = х, тогда ;22 1 rRAO −= О2О1 = 2х; ( ); 4 33 22 0 rRS −= ( ) ( )3222 2 33 2 4 33 xxRxrRпрV −=−= , причем x > 0 и x < R. Рассмотрим ( ) ( )32 2 33 xxRxf −= на (0;R) и найдем ее наибольшее значение: ( ) ( )22 3 2 33 ' xRxf −= , 3 R x = – точка максимума, тогда наи- больший объем призма имеет при высоте 3 2R . www.5balls.ru
- 244. 236 № 1346 Пусть АО= x, тогда из подобия треугольников MOS и BO1S получим ( );;; R xRH h H hH R x H b R x − = − == ( ) ( )322 xRx R H R xRH xV − π = −⋅ ⋅⋅π= , причем x > 0 и x < R. Рассмотрим функцию ( ) ( )32 xRx R H xf − π = на (0;R) и найдем ее наи- большее значение. ( ) ( )2 32 xRx R πH xf' −= , 3 2R x = – точка максимума, таким образом наибольший объем у цилиндра будет при 3 3 , 3 2 H R RH h R r = ⋅ == . № 1347 1) ( ) 493 23 +−+= xxxxf ( ) ( ) ( )( )313323963 22 +−=−+=−+= xxxxxxxf' х = -3 – точка максимума; х = 1 – точка минимума. + – + -3 1 2) ( ) 52 54 +−= xxxf , ( ) ( ) −=−=−= xxxxxxxf' 10 4 104104 3343 ; + – – 0 0,4 х = 0 – точка минимума х = 0,4 – точка максимума № 1348 1) D(y) = IR, непрерывная, непериодиче- ская, т.к. задана многочленом 2) y(-x) = -x3 + 3x + 2 – ни четная, ни не- четная 3) y = 0 при x3 – 3x + 2 = 0; x = 1; x = -2 4) y’ = 3x2 – 3; y = 0 при 3x2 – 3 = 0; 3(x – 1)(x + 1) = 0; x = ± 1 – стационарные точки 5) (-∞;-1) – функция возрастает (-1;1) – функция убывает (1;+∞) – функция возрастает 6) k = tgα, α = 0 при k = 0; f’(x) = 0, т.е. х = -1, х = 1, т.е. (1;0), (-1;4). www.5balls.ru
- 245. 237 № 1349 1. D(y)= R 2. y(-x) = -x3 - 5x2 + x + 5 – ни четная, ни нечетная 3. y = 0 при х3 – 5х2 – х + 5 = 0; х = 1, х = 5, х = -1 4. y′ = 3x2 – 10x – 1 y’ = 0 при 3x2 – 10x – 1 = 0; 3 725 x ± = 5. 3 725 x − = — точка максимума 3 725 x + = — точка минимума 6. y = f(x0) + f’(x0)(x – x0); x0 = 4 f(4) = -15, f′(4) = 3x2 – 10x –1, f′ (4) = 7, y = 7x – 43 № 1350 1) f(x) = 4x3 + 6x2 а) D(y) = R б) f(-x)=-4x3 +6x2 – ни четная, ни нечетная в) f(x) = 0 при 4x3 + 6x2 = 0; x2 (4x+6)=0, x = 0, x = -1,5 г) f’(x) = 12x2 + 12x = 12x(x + 1) х = -1 – точка максимума х = 0 – точка минимума 2) f(x) = 3x2 – 2x3 ; а) D(y) = R б) f(-x) = 3x2 + 2x3 – функция ни четная, ни нечетная в) f(x) = 0 при 3x2 – 2x3 = 0, x2 (3 – 2x) = 0, x = 0, 2 3 x = г) f’(x) = 6x – 6x2 = 6x(1 – x) x = 0 – точка минимума х = 1 – точка максимума + + – -1 0 + – – 0 1 www.5balls.ru
- 246. 238 3) ( )xx 3 1 xf 3 −= ; а) D(y) = R; б) ( ) xx 3 1 xf 3 +−=− , следовательно функция нечетная в) ( ) 3,0,01 3 1 ;0 3 1 при0 2 3 ±=== − =−= xxxx xxxf ; x = -1 – точка максимума х = 1 – точка минимума + + – -1 1 – + – + -½ 0 ½ х = -½, x = ½ – точки мини- мума х = 0 – точка максимума 4) ( ) 24 x 2 1 xxf −= а) D(y) = R б) ( ) 24 x 2 1 xxf −=− - функция четная в) ( ) 2 1 ,0,0 2 1 ,0 2 1 при0 22 24 ±=== − =−= xxxx xxxf г) ( ) ( )=−=−= 144' 23 xxxxxf + −= 2 1 2 1 4 xxx № 1351 + + – – 2− 0 2 2,2 =−= xx – точки максимума х = 0 – точка минимума 1) 2 4 4 x x y +−= а) D(y) = IR б) ( ) 2 4 4 x x xf +−=− – функция четная в) ( ) ;0 4 при0 2 4 =+ − = x x xf ( ) 04 4 2 2 =+− x x ; x = 0, x = ±2 г) ( ) ( )=+−=+−= 22' 23 xxxxxf ( )( )22 +−−= xxx www.5balls.ru
- 247. 239 х = ±1 – точка минимума х = 0 – точка максимума 2) y = x4 – 2x2 –3 а) D(y) – R б) f(-x) = x4 – 2х2 – 3 – функция четная в) ( ) ,032при0 24 =−−= xxxf 21±±=x , след. 3±=x г) f’(x) = 4x3 – 4x = 4x(x-1)(x+1) – – + + -1 0 1 № 1352 1) 9x3xx 3 1 y 23 +−−= а) D(y) = R б) ( ) 9x3xx 3 1 xf 23 ++−−=− – функция ни четная, ни нечетная в) ( ) ,09x3xx 3 1 при0xf 23 =+−−= ( ) ( ) ( ) 3,3,01 3 1 3,0333 3 1 22 ±=== −−=−−− xxxxxxx г) ( ) − − + −=−−= 2 31 x 2 131 x3xxx'f 2 2 131 x − = – точка максимума 2 131 x + = – точка минимума 2) y = -x4 + 6x2 – 9 а) D(y) – R б) f(-x) = f(x) – функция четная в) f(x) = 0 при –x4 + 6x2 – 9 = 0, x4 – 6x2 + 9 = 0, (x2 – 3)2 , 3x ±= г) ( ) ( )=−−=+−= 34124' 23 xxxxxf ( )( )334 +−−= xxx + – – 3− 0 3 + 3x ±= – точка максимума; х = 0 – точка минимума. + + – 2 131− 2 131+ www.5balls.ru
- 248. 240 3) x 1x y 2 + = а) D(y): x≠ 0 б) f(-x) = -f(x) – функция нечетная в) ( ) ,0 x 1x при0xf 2 = + = т.е. пересечений с осью 0х нет. г) ( ) ( ) 2 2 2 2 112 ' x x x xxx xf − = +−⋅ = х = -1 – точка максимума х = 1 – точка минимума 4) x2 2x y 2 + = а) D(y): x ≠ 0 б) f(-x) = -f(x) – функция нечетная в) f(x) ≠ 0 г) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 42 4 2222 ' x x x x x xxx xf − = − = +−⋅ = 2x −= – точка максимума 2x = – точка минимума № 1353 1) 0y,x3y,1xy 321 =−=−= , y1=y2, x–1 = 9–6x+x2 , x2 –7x+10=0, x=5, x=2, но х – 1 ≥ 0 и 3 – х ≥ 0, след. х = 2 – точка пересечения y1 и y2, тогда ( ) 6 7 2 11 3 2 1 2 1 1 2 1 2 32 1 =+−=⋅+−= ∫ xdxxS 2) 8 x y,xy, x 1 y 2 3 2 21 ==−= 1x;x x 1 ;yy 2 21 −==−= - точка пересечения y1 и у2 0x, 8 x x;yy 2 2 32 === , ,2x; 8 x x 1 ;yy 2 31 −==−= тогда 2ln 3 1 3 1 ln 24 1 3 1 ln 8 1 2 1 0 2 3 0 1 3 1 2 0 1 0 2 1 1 2 2 =−+= =−+−=−+−= −− − − − − − − ∫ ∫ ∫ x xxxdx x dxxdx x S + + – -1 1 + + – 2− 2 www.5balls.ru
- 249. 241 № 1354 1) y1= 4x – x2 , y2 = 5, x = 0, x = 3 691815 3 1 215435 3 0 3 0 322 =+−= −−=−−⋅= ∫ xxxxS ; 2) y = x2 – 2x + 8, y = 6, x = -1, x = 3, ( ) 3 28 2481 3 1 2499 248 3 1 2482 3 1 3 1 232 =− −−−−+−= =− +−=−+−∫ − − xxxdxxx 3) π= π === x, 3 2 x,0y,xsiny , 2 1 1cossin 3 2 3 2 −=−== ∫ π π π π xdxS = 2 1 4) 6 x, 6 x,0y,xcosy π = π −=== , 1 2 1 2 1 xsinxdxcosS 6 6 6 6 =+=== ∫ π π − π π− . № 1355 1) 9x,2y,xy === , 4,2 == xx , 3 16 10 3 16 18 3 16 8 10 3 2 3 2 82542 9 4 2 34 0 9 4 4 0 2 3 =−−+−= =−+−=⋅−+−⋅= ∫ ∫ xxxdxxS 2) y = x2 + 3, y = x + 5, x2 + 3 = x + 5, x2 – x – 2 = 0, x1 = -1, x2 = 2, ( ) ( ) 5,4935,163 3 1 6 3 8 5,412 x3x 3 1 x5x 2 1 dx3xdx5xS 2 1 3 2 1 2 1 2 1 22 =−−= −−−+−+= = +− +=+−+= − − − −∫ ∫ № 1356 1) y = 9 – x2 , y = (x – 1)2 – 4, y1 = 9 – x2 , y2 = x2 – 2x – 3, 9 – x2 = x2 – 2x – 3, 2x2 – 2x – 12 = 0, x2 – x – 6 = 0, x1 = 3, x2 = -2, ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫∫ − − − − −− =−−−−−−−+−= 3 3 2 3 1 2 22 3 1 22 dx3x2xdxx9dx3x2xdxx9S = −−− −− −−+ −= − − − − −− 1 1 2 3 2 23 1 3 23 3 33 3 33 93 3 1 3 9 xx xx xxxx x x ( ) − −++−− −++−−+−+−= 927 3 8 1831 3 1 999927927 www.5balls.ru
- 250. 242 3 125 3 7 3 8 3 32 3664 3 8 31 3 1 =−−+= −+++−−− . 2) 3 2 2 1xy,xy == , ( ) 01xx,xx,xx,yy 5632 21 =−=== , x = 0, x = 1 – точки пересечения 12 5 3 1 4 3 34 3 1 0 31 0 3 41 0 2 1 0 3 =−=−=−= ∫∫ x xdxxdxxS . № 1357 1) 0y, 4 x,xcosy = π == , 2 12 2 22 1 2 2 xsinxdxcosS 4 2 4 2 + = + =+=== π π − π π − ∫ ; 2) y = 3x , x = -1, x = 1, y = 0, 3ln3 8 3ln 3 13 3ln 3 dx3S 1 1 x1 1 x = − === −− ∫ . № 1358 1) ( ) 3 1 x,x 2 x xxf 0 2 3 =+−= , f’(x) = 3x2 – x + 1, 11 3 1 3 1 3 1 'f =+−= ; 2) ( ) 1x, x xln xf 0 == , ( ) ( ) 11', ln1 ' 2 = − = f x x xf ; 3) ( ) 3x,x3 x 2 xxf 02 3 =+−= − , ( ) 3 x x4 x3x'f 4 4 ++−= − , ( ) 9 1 33 9 1 3 27 4 27 1 3'f =+=++−= ; 4) 4 x, xsin xcos y 0 π == , xsin 1 xsin xcosxsin 'y 22 22 −= −− = , 2 4 'y −= π . № 1359 1) f(x) = sin2x – x, f’(x) = 2cos2x – 1, 2cos2x – 1 = 0, cos2x = 2 1 ; Zn,n2 3 x2 ∈π+ π ±= , Zn,n 6 x ∈π+ π ±= ; 2) f(x) = cos2x + 2x, f’(x) = -2sin2x + 2, 2 sin2x = 2, sin2x = 1, Zn,n 4 x ∈π+ π = ; 3) f(x) = (2x – 1)3 , f’(x) = 3(2x – 1)2 ⋅ 2, 2x – 1 = 0, x = ½; 4) f(x) = (1 – 3x)5, f’(x) = 5(1 – 3x)4 ⋅ (-3), 1 – 3x = 0, x = 1/3. www.5balls.ru
- 251. 243 № 1360 f(x) =(2x – 3)(3x2 + 1), f’(x) = 2(3x2 + 1) + 6x(2x – 3), f’(1) = 8 – 6 = 2 ⇒ f’(1) = f’(0), f’(0) = 2. № 1361 ( ) 3x18x5,1xxf 23 +−−= , ( ) 18x3x3x'f 2 −−= , 018x3x3 2 <−− , 06xx2 <−− , ( )( ) 02x3x <+− , ( )3;2x −∈ . № 1362 h = V0t – 4,9t2 V0 = 360м/с, V = h’ = V0 – 9,8t, V(10) = 360 – 98 = 262 м/с, hmax при V0 – 9,8t = 0 37 8,9 360 t ≈= сек. № 1363 48 2 t kc2t2kt 3 3 π = π = ϕ =⇒=π=ϕ=ϕ , 22 t 4 3 kt3 π ==ω , ( ) π=⋅ π =ω 1216 4 3 4 . № 1364 1) 3 235 x 3xx2x3x y +−+− = , ( ) ( )= +−+−−−+− = 3 2352324 x 3xx2x3xx3x1x4x9x5 'y = −+−+−−+− = 3 34573457 x x9x3x6x9x3xx4x9x5 x 9x2x2x2 x x9x2x2x2 25 3 2347 −−− = −−− = ; 2) 2 1 3 4 3 x x6 y; x xx6 y == , 6 16 5 6 53 4 2 1 2 1 3 1 x5 x x3x8 x 6xx 2 1 xx8 'y − − = − = ⋅⋅−⋅ = . № 1365 1) 1x 1x2x3 y 2 + +− = , ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 1x 1x2x3 1x 3x6x3 1x 1x2x32x2x6x6 1x 1x2x31x2x6 'y + −+ = + −+ = = + −+−−−+ = + +−−+− = www.5balls.ru
- 252. 244 2) 1x2 1x3x2 y 2 + +− = , ( )() ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 1x2 5x4x4 1x2 2x6x43x6x4x8 1x2 1x3x221x23x4 'y + −+ = = + −−−−−+ = + +−−+− = № 1366 1) ( ) 1x1x2y 2 −+= , ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1x2 7x8x16 1x2 11xx2x28 1x2 11x1x242 1x 2 1 1x21x22'y 22 2 1 − −− = − +−+− = = − +−+⋅ =−+−⋅+= − 2) ( ) ( ) 3 223 22 1xxy;1xxy +=+= , ( ) ( ) ( ) ( ) 33 2 3 2 3 223 2 1x3 3x4x2 1x3 x6x8 1x3 x21xx23 1xx 3 2 1xx2'y + + = + + = = + ++⋅ =+++= − 3) y = sin2xcos3x, ( ) x5cos 2 5 xcos 2 1 x5cosxcos 2 3 x5cosxcosx3sinx2sin3x3cosx2cos2'y −−= =−−+=⋅−⋅= 4) y = xcos2x, y’ = cos2x – 2xsin2x. № 1367 f(x) = (x - 1)(x – 2)(x – 3); f(x) = (x2 – 3x + 2)(x – 3) f’(x)=(2x–3)(x–3)+x2 - 3x+2=2x2 – 6x–3x + 9 + x2 – 3x + 2 = 3x2 – 12x + 11 3x2 – 12x + 11 = -1, 3x2 – 12x + 12 = 0, 3(x2 –4x+4)=0; 3(x – 2)2 = 0, x = 2. № 1368 1) ( ) 2x23 xexf ⋅= − , 0e4e44e2)x('f ex2xe2)x('f 111 x232x23 <−=⋅+⋅−= ⋅+⋅−= −−− −− 2) ( ) x1 2 e x xf − = , ( ) ( )x12 x12x1 e exex2 x'f − −− ⋅+⋅ = , ( ) 0 e e4e4 2'f 2 11 > +⋅ = − −− . № 1369 ( ) x2sin1 x2sin1 xf − + = www.5balls.ru
- 253. 245 ( ) () ( ) ( ) ( ) ( )222 2sin1 2cos4 2sin1 2cos22 2sin1 2sin12cos22sin12cos2 ' x x x x x xxxx xf − = − ⋅ = − ++− = ( ) ( )22 32 8 2 32 2 6 ';4 1 4 0' − = − = π == ff № 1370 ( ) ( ) 13xxg 3xxxxf 23 += ++= ; ( ) ( ) 3x'g 3x2x3x'f 2 = ++= ( ) ( )x'gx'f ≤ , 33x2x3 2 ≤++ , 0x2x3 2 ≤+ , ( ) 02x3x ≤+ , −∈ 0; 3 2 x . № 1371 f(x) = cos3x, 1 24 F −= π . Первообразная ,cx4sin 4 1 F += с найдем из условия 1 24 F −= π , 1c 8 1 ;1c 6 sin 4 1 −=+−=+ π ⋅ , , 8 1 1−=c 8 1 1x4sin 4 1 F −= . № 1372 1) 1x 1 1x 1 y − − + = , c1xln1xlnF +−−+= ; 2) − = − = 4 1 x4 3 y; 1x4 3 y , c 4 1 xln 4 3 F +−= . № 1373 1) ( ) ( ) ( ) 4 45 12 4 3 1x 4 3 dx1xdx1x 4 9 2 3 49 2 3 19 2 3 =−=−=−=− ∫∫ ; 2) ( ) 4 32 2 3 1 2 1 x2sin 2 1 xdx2cosdx1xcos2 4 6 4 6 4 6 2 − = −===− π π π π π π ∫∫ ; 3) = −++= − ++= − + ∫∫ 4 3 2 4 3 4 3 2 2xln7x2x 2 1 dx 2x 7 2xdx 2x 3x ( ) 2ln7 2 11 1ln76 2 9 2ln788 += ++−++= . www.5balls.ru
- 254. 246 № 1374 1) 1xcosxdxsin 22 =−= π π π π ∫; 2) 2 13 2 1 2 3 xsinxdxcos 3 6 3 6 − =−== π π π π ∫ ; 3) ( ) = ++=++ −− ∫ 1 2 23 1 2 2 x3xx 3 1 dx3x2x 3 1 3 7 264 3 8 31 3 1 −=−=−+−++= ; 4) ( ) = +−=+−∫ 2 1 23 2 1 2 x8x3x 3 1 dx8x6x 3 1 11 3 7 83 3 1 1612 3 8 =−= +−− +− ; 5) ( ) ( ) 3 2 2113 3 1 x x 1 dx1x 3 1 3 1 2 =+−− +−= +−=+∫ − ; 6) = − −= − −= − ∫∫∫ −−− 1 1 1 1 1 1 dx 4 5 x4 2 dx 5x4 2 dx x45 2 3ln 3 1 ln 9 1 ln 2 1 4 9 ln 4 1 ln 2 1 4 5 xln 2 1 1 1 =−=−= −−=−−= − . № 1375 1) 2 1 4 x3cos = π − , Zn,n2 34 x3 ∈π+ π ±= π − , Zn,n2 43 x3 ∈π+ π + π ±= . Ответ: Zn,n 3 2 912 x ∈π+ π ± π = 2) log2(3 – 2x) < -1, ( ) 2 3 xт т.,0x23, 2 1 logx23log 22 <>−<− , 4 5 x; 2 1 x23 ><− . Ответ: 2 3 x 4 5 << 3) ;22;25,024 2 a 2 2a32 a a3 2 2 ⋅− + ==⋅ ;02a3a;a2a3;22 22a2a3 2 =++−=+= −+ 2a,1a 21 −=−= . Ответ: 2a,1a 21 −=−= 4) y = x(4 – x), x = 0, x = 4 – точки пересечения y = 4x – x2 и y = 0, тогда ( ) 3 2 10 3 64 32x 3 1 x2dxxx4S 4 0 32 4 0 2 =−= −=−= ∫ . Ответ: 3 2 10 www.5balls.ru
- 255. 247 5) 3x 1 1x 9 4y − + + −= ≠ −≠ ≥ − + + − 3x 1x 0 3x 1 1x 9 4 ( )( )( ) ( ) ( )( ) 0 3x1x 1x3x93x1x4 ≥ −+ ++−−−+ , ( ) ( )( ) 0 3x1x 1x27x93x2x4 2 ≥ −+ +++−−− , ( )( ) ( ) ( )( ) 0 3x1x 2x4 ;0 3x1x 16x16x4 22 ≥ −+ − ≥ −+ +− , ( ) ( ) −≠ −≠ +∞−∞−∈ 3x 1x ;31;x U Ответ: ( ) ( )+∞−∞−∈ ;31;x U . 6) y = x3 – 3x + a; [-2;0]; ymax = 5, y’ = 3x2 – 3, y’ = 0; 3(x - 1)(x + 1) = 0, Максимальное значение на [-2;0] функ- ция принимает в точке х = -1, у = 5 = -1 + 3 + a, откуда а = 3. № 1376 1) sin2 x – 4sinx – 5 = 0, sinx = -1, sinx = 5, что невозможно, таким обра- зом х ;Zn,n2 2 ∈π+ π −= Ответ: 0 2 3 x;Zn,n2 2 x >π=∈π+ π −= . 2) f(x) = 3x2 (1 – x) , [0;1] f’(x) = 6x(1 – x) – 3x2 = -9x2 + 6x = = -3x(3x – 2) Точка максимума 3 2 x = , 9 4 3 1 9 4 3 3 2 f =⋅⋅= . 3) lgx = lg3 – lg(3x – 8), x > 0, , 3 8 x > т.е. 3 2 2x > , 8x3 3 x − = ; 3x2 – 8x – 3 = 0, 3 54 3 9164 x 2 1 ± = +± = . Ответ: х = 3 4) y1 = (x – 3)2 , y2 = 9, y1 = y2; (x – 3)2 = 9, x = 0, x = 6, ( ) ( ) 3627279254 x9x3x 3 1 254dx9x6x296S 3 0 23 3 0 2 =+−−= = +−−=+−−⋅= ∫ Ответ: 36. + + – -1 3 + + – -1 1 + – – 0 3 2 www.5balls.ru
- 256. 248 5) ( ) 0 2x 2,0 1x 1 25x ≤ + + − − Данное неравенстворавносильно системе: ≠ ≤ + − 1x 0 2x 5x ( ] ≠ −∈ 1x 5;2x . Ответ: ( ) ( ].5;11;2x U−∈ 6) y = x2 – 4x + 2, y = -2x + a, x2 – 4x + 2 = -2x + a, x2 – 2x + 2 – a =0, D = 4 – 4(2 – a) = -4 + 4a = 4(a – 1), D ≥ 0 при a ≥ 1. № 1377 1) ( ) 42 x21log 7,0 > + , log0,7(1 + 2x) > 2, log0,7(1 + 2x) > log0,70,72 , 100 49 x21 <+ , 100 51 x2 −< , ,021но, 200 51 >+−< xx т.е. 2 1 x −> . Ответ: 200 51 2 1 −<<− x . 2) f(x) = x2 – x3 , x0 = -1, y = f(x0) + f’(x0)(x – x0), f’(x) = 2x – 3x2 , f’(x0) = -2 – 3 = -5, f(x0) = 2, y = 2 – 5(x + 1), т.е. у = -5х – 3. 3) 1x1x3x 24 −=−− , +−=−− ≥− ≥−− 1x2x1x3x 01x 01x3x 244 2 4 02x3x2 2 =−− , 4 53 4 1693 2,1 ± = +± =x ≥− ≥−− −== 01x 01x3x 2 1 x,2x 2 4 21 Ответ: х = 2 4) x 2 1 y,xy 21 == , y1 = y2; 2 x 4 1 x;x 2 1 x == , x2 – 4x = 9; x(x – 4) = 0, x1 = 0, x2 = 4 – точки пересечения y1 и у2, тогда 3 1 1 3 4 4 3 16 4x 3 2 24 2 1 dxxS 4 0 3 24 0 2 1 ==−=−=⋅⋅−= ∫ . 5) y = x3 – 3ax2 + 27x – 5, y’ = 3x2 – 6ax + 27 = 0, 3x2 – 6ax + 27 = 0, x2 – 2ax + 9 = 0, при a = 3, x2 - 2⋅ 3 ⋅ x + 9 = (x – 3)2 , следовательно един- ственная стационарная точка при а = 3. 6) 5x4xx 4 5 sin 2 +−= π , 1x 4 5 sin ≤ π 15x4x2 ≥+− , т.к. (х–2)2 +1≥0, следовательно, равенство возможно только в случае х=2, т.е. когда обе части уравнения принимают значение, равное 1. www.5balls.ru
- 257. 249 № 1378 1) 29259653644 5log24 9log5log 656 =−=−=− . 2) ( ) 3 x exf = т.к. касательная проходит через начало координат, то ее уравнение имеет вид y = kx; пусть х0 – точка касания y = f(x0) + f’(x0)(x – x0), ( ) 3 x e 3 1 x'f = , тогда ( )0 3 x 3 x xxe 3 1 ey 00 −+= ,e 3 x xe 3 1 ey 3 x 03 x 3 x 000 −+= откуда ;0e 3 x e 3 x 03 x 00 =− 0exe3 3 x 0 3 x 00 =− , ( ) 3,03 00 3 0 ==− xxe x . Ответ: (3; е) 3) π −=+ = −π+ + π 2 3 yx 1y 2 3 sinx 2 cos π −−= = π ++π+− 2 3 xy 1 2 3 x 2 3 sinxsin 1sinsin =−− xx , 2 1 sin −=x , ( ) Znnx n ∈π+ π −= + , 6 1 1 , ( ) ., 2 3 6 1 2 Znny n ∈π+ π − π −= + 4) (3 – x)log3(x + 5) ≤ 0; а) х + 5 > 0, т.е. x > -5 б) x + 5 > 0, т.е. x > -5 ( ) 3 ; 4 3 ; 05log 03 3 ≥ −≥ ≥ ≥+ ≤− x x x x x ( ) 45 4 3 ; 05log 03 3 −≤<− −≤ ≤ ≤+ ≥− x x x x x Ответ: ( ] [ )+∞−−∈ ;34;5 Ux 5) ∫ − − 6 6 2 36 dxx , заметим, что данный интеграл – это половина пло- щади круга радиуса 6, тогда π=⋅π=−∫ − 186 2 1 36 2 6 6 2 dxx ; 6) 2 3 2cos 2 =− x , 2,02 2 ≤≥− xx , Zn,n2 6 x2 2 ∈π+ π ±=− , 22 2 2 n4n2 6 2 36 x2 π+π⋅ π ⋅± π =− 222 2 2 n4n 3 2 36 2x π+π± π −= , ,n4n 3 2 36 2x 222 2 π+π± π −±= но т.к. ,2x ≤ то 36 2 2 π −±=x . www.5balls.ru
- 258. 250 № 1379 1) cosxcos3x= -0,5, ( ) 5,0x4cosx2cos 2 1 −=+ , 14cos2cos −=+ xx , 12sin2cos2cos 22 −=−+ xxx , 02cos22cos 2 =+ xx , ( ) 02cos212cos =+ xx , ∈ π + π = −= = Zn n x x x , 24 ; 2 1 2cos 02cos . Ответ: ., 3 ;, 24 ZllxZn n x ∈π+ π ±=∈ π + π = 2) ( ) 6loglog 2 2 2 4 >−+ xx , ( ) 6loglog 2 1 2 2 2 2 >−+ xx , ( ) ( ) 06loglog 2 2 2 >−−+− xx , ( ) tx =−2log 25241;062 =+==−+ Dtt , 3 2 51 ,2 2 51 21 −= −− == +− = tt . + + – -3 2 ( ) ( ) =−<− =>− 8 1 log3log 4log2log 22 22 x x ; 8 1 4 <− >− x x −< <<− < −> −< < 4 0 8 1 ; 0 8 1 4 0 x x x x x x 3) =− =⋅ 1 939 xy yx ; ; 1 22 ; 1 33 22 =− =+ =− =+ xy yx xy yx +=− −= =−− −= xx xy xx xy 122 22 ; 122 22 xxx ++=− 2122 , xx 231 =− , xxx 4961 2 =+− , 01109 2 =+− xx , 9 45 9 9255 2,1 ± = −± =x , 9 1 ,1 21 == xx , 9 16 ,0 21 == yy . Ответ: ( ) . 9 16 ; 9 1 ,0;1 4) y1 = 9x – x3 , x0 = 3, y = f(x0) + f’(x0)(x-x0); f(3) > 0, f’(x) = 9 – 3x2 , f’(3) = -18, y = -18x + 54, 9x – x3 = -18x + 54, -x3 + 27x – 54 = 0, (-x2 + 6x2 – 9x) – 6x2 + 36x – 54 = 0, -x(x – 3)2 – 6(x – 3)2 = 0, www.5balls.ru
- 259. 251 -(x – 3)2 (x+ 6) = 0, x = 3, x = -6, S = S1 + S2 + S3 + S4, ( ) ( ) =+−=+−=+−+−= − − − − − − ∫∫ 3 6 243 6 3 3 6 3 1 54 2 27 4 542795418 x xx dxxxdxxxxS 4 891 4 405 324324486324162 2 243 4 81 =−=++−−−= . ( ) 243162815495418 0 3 0 3 2 2 =+=+−=+−= −− ∫ xxdxxS , ( ) 4 81 2 81 4 81 2 9 4 9 0 3 240 3 3 3 =+−=−=−= −− ∫ xx dxxxS , ( ) ( ) 4 243 4 405 162162 2 243 4 81 54 2 27 4 542795418 3 0 24 3 0 3 3 0 3 4 =−=+−=+−= =+−=+−+−= ∫∫ x xx dxxxdxxxxS 4 3 546 4 243 243 4 891 =++=S . 5) ππ +−= 3 2 ; 3 4 -наcos4sin32 xxy ( )ϕ−−= +−=−−= xxxxxy cos5sin 5 4 cos 5 3 5sin4cos3' , где 5 3 arccos=ϕ ( ) ( ) Zn2 2 0cos5 ∈π+ π =ϕ−=ϕ−− nxx , Znn ∈π+ π += , 25 3 arccosx , ( ) ( )1 5 3 arccosгде,sin52cos 5 4 sin 5 3 52 =ϕϕ−−= −−= xxxy ; 2 33 2 1 4 2 33 2 3 2 cos4 3 2 sin32 3 4 −= −⋅+−= π + π +−= π −y 2 33 3 4 3 2 −= π −= π yy , теперь подставим в (1) (2) ( ) 352 2 sin52sin52 −=−= π −=ϕ−−= xy ( ) 752 2 3 sin52sin52 =+= π −=ϕ−−= xy 3min7max −== yy ; www.5balls.ru
- 260. 252 6) 4 3 2и4log, ,3log22 4 12 3 4 1 4 == сравним, 4log3 и ,3log 4 12 3 что равносильно сравненнию 4 12 3и4 очевидно, 4 12 34 > , следовательно 4 3 24log > . № 1380 1) cos4x + 3sin2 x = 0,25, cos2 2x – sin2 2x + 3sin2 x = 0,25, 1 – sin2 2x – sin2 2x + 3sin2 x = 0,25, 1 – 2sin2 2x + 3sin2 x = 0,25, 1 – 8sin2 x(1 – sin2 x) + 3sin2 x = 0,25, 1 – 8sin2 x + 8sin4 x + 3sin2 x = 0,25, 8sin4 x – 5sin2 x + 1 = 0,25, sin2 x = a, 32a2 – 20a + 3 = 0, 32 210 32 9610010 2,1 ± = −± =a , 8 3 , 4 1 21 == aa ; а) 2 1 sin; 4 1 sin2 ±== xx , ( ) Znnx n ∈π+ π −= , 6 11 , ( ) Znnx n ∈π+ π −= + , 6 1 1 2 ; б) 8 3 sin; 8 3 sin2 ±== xx , ( ) Zllx l ∈π+ ±−= , 8 3 arcsin14,3 . Ответ: ( ) Znnx n ∈π+ π −= , 6 11 , ( ) Znnx n ∈π+ π −= + , 6 1 1 2 , ( ) Zllx l ∈π+ ±−= , 8 3 arcsin14,3 . 2) y = log3x+4(7x – 4), x = 2, ( ) ( )43ln 47ln + − = x x y , ( ) ( ) ( )43ln 47ln 43 3 43ln 47 7 ' 2 + − + −+⋅ −= x x x x xy , ( ) 10ln5 2 10ln10ln 10 3 10ln 10 7 2' 2 = −=y ; 3) y = 2cos3x – 5sin2x + 10, 4 5 , 4 3 π = π −= xx , 035210102sin53cos2 >=−−≥+−= xxy ( ) =++=+−= π π − π π − ∫ 4 5 4 3 4 5 4 3 102cos 2 5 3sin 3 2 102sin53cos2 x xxdxxxS www.5balls.ru
- 261. 253 π= π = π +−⋅+ π ++⋅−= 20 2 40 2 15 0 2 2 3 2 2 25 0 2 2 3 2 . 4) xxy276 −−= , 6 7 ≥x , 0 76 7623 2 762 61 ' = − −− =− − ⋅ = x x x y , 24 37 4 9 76 2 3 76 ==−=− xxx , + – 6 7 24 37 х 24 37 =x - точка максимума ⇒ дальше у убывает в -∞. 12 19 24 37 2 3 24 37 27 24 37 6 24 37 −=−=⋅−−⋅= y . 5) 11369 ≥⋅+ xx , 11363 2 ≥⋅+ xx . Так как необходимо найти наименьшее натуральное число, удовлетво- ряющее решению, то: x ≥ 0, 32x + 6 ⋅ 3x – 11 ≥ 0, 3x = t > 0, t2 + 6t – 11 ≥ 0, D/4 = 9 + 11= 20; 1) ( ) 0352log3523 523523 3 21 >−≥−≥ −−=+−= x tt x № 1381 1) 8102596 22 =++++− xxxx ; |x – 3| + |5 + x| = 8 а) х ≥ 3; б) –5 ≤ х < 3; в) х < –5; х – 3 + 5 + х = 8; 3 – х + 5 + х = 8; 3 – х – 5 – х = 8; х = 3; –5 ≤ х < 3; х = –5; х ∈ ∅ <≤− ∅∈ = 35 3 x x x ; х ∈ [–5; 3]. 2) 69644 22 =+−−++ xxxx ; |x + 2| – |x – 3| = 6 а) х ≥ 3; б) –2 ≤ х < 3; в) х < 2 х + 2 – х + 3 = 6; х + 2 – 3 + х = 6; – х – 2 – 3 + х = 6 х ∈ ∅ х = 3,5 х ∈ ∅ Ответ: х ∈ ∅. (Опечатка в ответе задачника) 3) ( ) ( )( ) ( ) 7272788 3 233 2 =+++−−− xxxx . Пусть 3 8 x− = у, 3 27 x+ = z, тогда исходное уравнение примет вид: 1) у2 – уz + z2 = 7, и 2) у3 + z3 = 35, поделим 2) на 1), получим: у + z = 5; =+ =+ 35 5 33 zy zy ; ( ) =−+ −= 355 5 33 yy yz ; www.5balls.ru
- 262. 254 у3 + 125 –75у + 15у2 – у3 = 35; 15у2 – 75у + 90 = 0; у2 –5у+6=0, у1 = 2, у2 = 3, тогда а) 3 8 x− = 2, х = 0; б) 3 8 x− =3, х=–19. 4. 5898 44 =++− xx ; х≤8, х≥–89; ( )( ) ( ) 258989828 4 =+++−+− xxxx ; ,89,8 44 zxyx =+=− у, z ≥ 0; =+ =++ 97 252 44 22 zy zyzy ; =+ =+ 97 5 44 zy zy ; ( ) =+− −= 975 5 44 zz zy ; (5–z)4 +z4 =97; (25–10z+z2 )2 +z4 =97; (25–10z)2 +2(25–10z) z2 +z4 +z4 =97; 625 – 500z + 100z2 + 50z2 – 20z3 + 2z4 – 97 = 0; 2z4 –20z3 + 150z2 – 500z + 528 = 0; z4 – 10z3 + 75z2 – 250z + 264 = 0; z1 = 3, z2 = 4 162 , т.к. z = 4 89 x+ , то х1 = –8, х2 = 73. № 1382 В учебнике опечатка.Условие задачи следует читать так : 1) 16sin2x + 16cos2 x = 10; 16sin2x + 16cos2 x = 10(sin2 x + cos2 x); 32sinx ⋅ cosx + 6cos2 x – 10sin2 x = 0; cosx = 0 не является решением, тогда 10tg2 x – 32tgx – 6 = 0; 5tg2 x – 16tgx – 3 = 0; 5 15648 tg +± =x ; nx π+ ± = 5 798 arctg , n ∈ Z. Ответ: nx π+ ± = 5 798 arctg , n ∈ Z. 2) 348383 = −+ + xx ; 3412222221 = +−+ ++ xx ; ( ) ( ) 342121 22 = −+ + xx ; ( ) ( ) 341221;342121 =−++=−++ xxxx ; ( ) ( ) ( ) 212172881721;01213421 2 ±=±=+=++−+ xxx ; ( ) ( )42 2183886921217 +=+=++=+ , т.е. х1 = 4; ( ) ( ) 44 212121217 − +=−=− , т.е. х2 = –4. Ответ: х = ± 4. № 1383 1) х3 –3х2 +х=3; х3 –3х2 –3+х=0; х2 (х–3)+(–3+х)=0; (х2 +1) (х–3)=0; х = 3. 2) х3 –3х2 –4х+12=0; х2 (х–3)–4(х–3)=0; (х–2) (х+2) (х–3)=0; х1/2=± 2; х3=3; 3) х5 + х4 – 6х3 – 14х2 – 11х – 3 = 0; www.5balls.ru
- 263. 255 х = –1– корень данного уравнения, тогда можно записать его в следую- щем виде: (х + 1) (х4 – 6х2 – 8х – 3) = 0; (х + 1) (х – 3) (х3 + 3х2 + 3х + 1) = 0; (х + 1) (х – 3) (х + 1) (х2 + 2х + 1) = 0; (х + 1)4 (х – 3) = 0; х1 = –1, х2 = 3. 4) х4 – 3х3 – 2х2 – 6х – 8 = 0; х = –1 – корень данного уравнения, тогда можно записать его в следую- щем виде: (х + 1) (х3 – 4х2 + 2х – 8) = 0; (х + 1) (х2 (х – 4) + 2(х – 4)) = 0; (х + 1) (х – 4) (х2 + 2) = 0; х1 = –1, х2 = 4, х3,4 = ± 2i . № 1384 1) tgx + ctgx = 2ctg4x; tgx+ctgx = x x 2ctg 12ctg2 − ; x x x x x x x x 2sin 2cos 1 2sin 2cos sin cos cos sin 2 2 − =+ ; x x x xx xx 2cos 2sin 2sin 2sin2cos cossin 1 2 22 ⋅ − = ; xx xx xx 2cos2sin 2sin2cos cossin 1 22 ⋅ − = ; 0 cossin 1 2cos2sin 2cos12cos 22 =− ⋅ +− xxxx xx ; ≠⋅ ==−− 02cos2sin 2cos,02cos212cos2 2 xx axxx ; 2a2 –1–2a=0; 2a2 –2a–1=0; a=1– 3 ; 2x = ± arccos(1 – 3 ) + 2nπ, n ∈ Z; ( ) ≠⋅ ∈π+ − ±= 02cos2sin , 2 31arccos xx Znnx ; Ответ: Z, 2 )31arccos( ∈π+ − ±= nnx . 2) ( )xx x x cossin2 4 sin 4sin += π − ; ( ) ( )xx xx x cossin2 cossin 2 2 4sin += − ; ( ) ≠− =−− 0cossin 0cossin4sin 22 xx xxx ; sin4x + cos2x = 0; 2sin2x ⋅ cos2x + cos2x = 0; cos2x(2sin2x + 1) = 0 −= = 2 1 2sin 02cos x x ; ( ) ∈+ π −= ∈ π + π = + Zlx Zn n x l , 2 ln 12 1 , 24 1 ; ( ) ≠− ∈+−= ∈ π + π = + 0cossin 212 1 , 24 1 xx Zl, lππ x Zn n x l . Ответ: nx π+ π = 2 , n ∈ Z. ( ) 424 1 l x l π + π −= , l ∈ Z. www.5balls.ru
- 264. 256 № 1385 1) xx x x x 3sin 2 2sin 3cos 2cos 3sin =+ ; xxx xxxx 3sin 2 2cos2sin 2cos3cos2sin3sin = ⋅ ⋅+⋅ ; 0 3sin 2 2cos2sin cos =− ⋅xxx x ; 0 3sin2cos2sin 4sin3sincos = ⋅⋅ −⋅ xxx xxx ; 0 3sin2cos2sin2 4sin22sin4sin = ⋅⋅ −+ xxx xxx ; 0 3sin4sin 4sin2sin = ⋅ − xx xx ; 0 3sin4sin 3cossin2 = ⋅ ⋅ − xx xx ; ≠ ≠ = = 03sin 04sin 03cos 0sin x x x x ; ≠ ∈ π + π = 04sin , 36 x Zn n x . Ответ: nx π+ π ±= 6 , n ∈ Z. 2) tg2x + ctgx = 8cos2 x; x x x x x 2 cos8 sin cos 2cos 2sin =+ ; x xx xxxx 2 cos8 sin2cos 2coscossin2sin = ⋅ ⋅+⋅ ; x xx x 2 cos8 sin2cos cos = ⋅ ; 0cos8 sin2cos cos 2 =− ⋅ x xx x ; 0cos8 sin2cos 1 cos = − ⋅ x xx x ; 0 sin2cos sincos2cos81 cos = ⋅ ⋅⋅− xx xxx x ; 0 0sin2cos sincos2cos81 0cos = ≠⋅ ⋅⋅− = xx xxx x ≠⋅ =− ∈π+ π = 0sin2cos 04sin21 , 2 xx x Znnx ; ( ) ≠⋅ ∈ π + π −= ∈π+ π = 0sin2cos , 424 1 , 2 xx Zl l x Znnx l . Ответ: π+ π = nx 2 , n ∈ Z. ( ) 424 1 π + π −= l x l , l ∈ Z. № 1386 x x x x x 2cos2 3sin sin sin 3sin =− ; x xx xx 2cos2 3sinsin sin3sin 22 = ⋅ − ; ( )( ) x xx xxxx 2cos2 3sinsin sin3sinsin3sin = ⋅ +− ; x xx xxxx 2cos2 3sinsin cos2sin22cossin2 = ⋅ ⋅⋅⋅ ; 0 3sinsin 3sinsin2cos22cos2sin2 2 = ⋅ ⋅⋅−⋅ xx xxxxx ; www.5balls.ru
- 265. 257 ( ) ≠⋅ =⋅− 03sinsin 03sinsin2sin2cos2 2 xx xxxx; ( ) ≠⋅ =−⋅⋅ 03sinsin 03sincossin4sin2cos2 2 xx xxxxx ; 2cos2x ⋅ sinx(4sinx – 4sin3 x + 4sin3 x – 3sinx) = 0 ≠⋅ =⋅ 03sinsin 0sin2cos2 2 xx xx ; ∈ π ≠π≠ ∈ π + π = Zn n xnx Zn n x , 3 , , 24 . Ответ: 24 π + π = n x , n ∈ Z. № 1387 log2(4cosx+3) log6(4cosx+3)=log2(4cosx+3)+log6(4cosx+3); 4cosx + 3 = a > 0; log2 a log6 a = log2 a + log6 a; log2 a (log6 a–1)=log6 a; log2 a log6 a/6–log6 a = 0; 0log6/log 2log log 66 6 6 =− aa a ; log6 a (log6 a/6 – log6 2) = 0; = = 012/log 0log 6 6 a a ; = = 12 1 a a ; =+ =+ 123cos4 13cos4 x x ; ∅∈ −= x x 2 1 cos ; nx π+ π −π±= 2 3 , n ∈ Z. Ответ: nx π+ π −π±= 2 3 , n ∈ Z. № 1388 у=х3 –6х2 +11х–6; 0=х3 –6х2 +11х–6; х = 1; (х – 1) (х2 – 5х + 6) = 0; (х – 1) (х – 2) (х – 3) = 0; х1=1, х2=2, х3 =3 – точки пересечения с осью Ох. № 1389 2х3 + mx2 + nx + 12 = 0; х1 = 1, х2 = –2; =+−+− =+++ 0122416 0122 nm nm ; =− −=+ 424 14 nm nm ; =− −=+ 22 14 nm nm ; =−− −−= 2328 14 n nm ; −= −= 10 4 n m , тогда исходное уравнение имеет вид: 2х3 – 4х2 – 10х + 12 = 0; х1 = 1, х2 = –2, х3 = 3. № 1390 1) +=+ =+ 2 2/5loglog aayx yx xy ; +=+ =+ 2 2/5 log 1 log aayx x x y y ; +=+ =+− 2 2 02log5log2 aayx xx yy ; +=+ = = 2 2/1log 2log aayx x x y y ; +=+ = = 2 2 aayx yx yx ; −+= = = yaax yx yx 2 2 ; =−+ =−+ yyaa yyaa 2 22 ; ( ) ( ) =+−+ =+−+ 0 0 2 22 aayy aayy ; www.5balls.ru
- 266. 258 ( ) 2 411 2 2,1 aa y ++±− =; х1,2 = –у1,2 + а + а2 ( ) 2 2 4,3 2 411 ++±− = aa y ; х3,4 = –у3,4 + а + а2 Ответ: 1) если а > 0, a ≠ 1, то (а2 ; а), (а; а2 ) 2) если а < –1, a ≠ –2, то (–а – 1; (а + 1)2 ), ((а + 1)2 ; –а – 1) 3) если –1 ≤ а ≤ 0, а = 1, а = –2, то решений нет. 2) ≠=+ >=+ 12loglog 0222 byx bayx bb ; = =+ 2log 222 xy ayx b ; = =+ 2 222 bxy ayx ; = =+ 2 22 2 2 y b x ay y b ; 2 2 y b + у2 = а2 ; b4 + у4 = а2 у2 ; у4 – а2 у2 + b4 = 0; у2 = t; t2 – а2 t + b4 = 0; 2 4 442 2,1 baa t −± = ; а4 – 4b4 ≥ 0; (а2 – 2b2 ) (а2 + 2b2 ) ≥ 0. При а2 – 2b2 ≥ 0 и 04 442 ≥−− baa ; 2 4 442 baa y −± ±= . № 1391 ( ) =+−+−−+ =−−++− 0611cos2 02232 222 222 aaxyyyx yxyxyaa ; х2 + (у – 1)2 + (а – 3)2 + (1 – cos(xy)) = 0. Все слагаемые не отрицательны, следовательно: х=0, у=1, а=3, 1–cos(xy) = 0, т.е. при а ≠ 3 решений нет. При а = 3 проверим, является ли решением системы х = 0, у = 1. 1 – cos(0 ⋅ 1) = 0 – верно; 9 – 2 ⋅ 3 ⋅ 1 + 0 + 0 – 1 – 2 = 0; 3 – 3 = 0 – верно, т.е. х = 0, у = 1 – решение. Ответ: а = 3, х = 0, у = 1. а ≠ 3 решений нет. № 1392 1) = = 23 yx yx xy ; х, у > 0; = = 3/2 yx yx xy ; = = 3/2 3 2 yx yx y y ; www.5balls.ru
- 267. 259 = = 3/2 3 2 yx yx y y у2/3 – 3 2 у = 0;у2/3 − 3/1 3 2 1 y = 0; = = 2 3 0 3/1 y y ; = = 3 2 3 0 y y ; y ≠ 0; х = у2/3 ; х = 9 2 2 3 , а также (1; 1). Ответ: 3 1 9 2 2 3 ; 2 3 , (1; 1). 2) = = 4 xy yx y y ; х, у > 0; = = y y yx yx 4 1 2/1 ; = = y y yx yy 4 1 4 1 ; 4 1 у = 1; у = 4; х = 2, а также (1; 1). Ответ: (1; 1), (2; 4). 3) = = yx yx cos3cos2 sinsin2 . Сложим уравнения системы: 2 sinx + 2 cosx = siny + 3 cosy; += + yyxx cos 2 3 sin 2 1 2cos 2 2 sin 2 2 2 ; π += π + 3 sin 4 sin yx ; 3 2 4 π +=π+ π + ynx , n ∈ Z; nyx π++ π = 2 12 , n ∈ Z. Вычтем уравнения системы, получим: 0 2 12 7 cos 2 12sin2 = π−+ ⋅ π +− yxyx , откуда nx π+π= 2 6 5 , n ∈ Z; ny π+π= 4 3 , n ∈ Z. Ответ: nx π+π= 2 6 5 , n ∈ Z; ny π+π= 4 3 , n ∈ Z. 4) =π−π −=− 2 1 sincos 3 1 22 yx yx ; =π− −π −= 2 1 sin 3 1 cos 3 1 22 yy yx ; www.5balls.ru
- 268. 260 2 1 sin 3 cos 22 =π− π −πyy ; 2 1 sin 2 3 sin 2 1 cos 2 2 =π− ⋅π+⋅π yyy ; 2 1 sinsin 2 3 cos 2 1 2 2 =π− π+π yyy ; 2 1 sinsin 4 3 sincos 2 3 cos 4 1 222 =π−π+π⋅π+π yyyyy ; 2sin4sin3sincos32cos 222 =π−π+π⋅π+π yyyyy ; 2sincos32sincos 22 =π⋅π+π−π yyyy ; 22sin32cos =π+π yy ; 12sin 2 3 2cos 2 1 =π+π yy ; 12sin 6 cos2cos 6 sin =π π +π π yy ; 12 6 sin = π+ π y ; ny π+ π =π+ π 2 2 2 6 , n ∈ Z; 6 1 , 6 1 −=+= xny . Ответ: ++− nn 6 1 , 6 1 , n ∈ Z. 5) =+ = 02sin2sin 2 1 sincos yx xx ; ( ) ( ) =−+ = 0cossin2 2 1 sincos yxyx xx ; ( ) ( ) =− =+ =⋅ 0cos 0sin 2/1sincos yx yx yx ; ∈π=− ∈π=+ =⋅ Zllyx Znnyx yx , , 2/1sincos ; 2 1 (sin(y – x) + sin(y + x)) = 2 1 ; sin(y – x) + sin(y + x) = 1. а) x + y = nπ, n ∈ Z; sin(nπ – 2x) = 1; nπ – 2x = 2 π + 2kπ, n, k ∈ Z; 24 π +π− π −= n kx ; 24 π −π+ π +π= n kny , n, k ∈ Z; 24 π +π+ π = n ky , n, k ∈ Z; π +π+ ππ +π− π − 24 ; 24 n k n k , n, k ∈ Z. б) x – y = nπ, n∈ Z; sin(y + x) = 1; sin(2y + nπ) = 1; kny π+ π =π+ 2 2 2 , k, n ∈ Z; π−π+ π = nky 2 2 2 , k, n ∈ Z; 24 π −π+ π = n ky , n, k ∈ Z; 24 π +π+ π = n kx , n, k ∈ Z; www.5balls.ru
- 269. 261 Ответ: π ±π+ ππ +π± π ± 24 ; 24 n k n k, n, k ∈ Z. № 1393 =⋅−⋅ −=⋅+⋅ 1sincos3cossin5 3sincos2cossin6 yxyx yxyx Обозначим sinx ⋅ cosy за u, cosx ⋅ siny за v, тогда система примет вид: =− −=+ 135 326 vu vu ; =− −− = 135 6 23 vu v u ; 5(–3 – 2v) – 18v = 6; –15 – 10v – 18v = 6; –28v = 21; v = – 4 3 ; u = 4 1 6 2 3 3 −= +− ; −=⋅ −=⋅ 4 3 sincos 4 1 cossin yx yx ; −=⋅ −=⋅ 3sincos4 1cossin4 yx yx ; ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) −=++− −=++− 3sinsin2 1sinsin2 yxyx yxyx ; 4sin(x – y) = 2; sin(x – y) = 2 1 ; x – y = ( ) π+ π − kk 6 1 , k ∈ Z; x = y + ( ) π+ π − kk 6 1 , k ∈ Z; 2(sin(x – y) + sin(x + y)) = –1; 2sin(x – y) + 2sin(x + y) = –1; ( ) 1 6 12sin21 −= π+ π −++ ky k ; ( ) 1 6 12sin −= π+ π −+ ky k ; ( ) nky k π+ π −=π+ π −+ 2 26 12 ; ( ) 212 1 4 1 π −π+ π −+ π −= + k ny k , k, n ∈ Z; ( ) ( ) π+ π −+ π −π+ π −− π −= k k nx kk 6 1 212 1 4 , k, n ∈ Z; ( ) 212 1 4 π +π+ π −+ π −= k nx k , k, n ∈ Z. Ответ: ( ) 212 1 4 π +π+ π −+ π −= k nx k ; ( ) 212 1 4 1 π −π+ π −+ π −= + k ny k , k, n ∈ Z. № 1394 = = x y x y y x 7 5 log3log log2log 2 3 ; = = x y y x x y 7log 2 log 3 log3log log2log 5 ; www.5balls.ru
- 270. 262 ⋅= ⋅= xx y yy x 27 3 35 2 loglog log 1 loglog log 1 ; ⋅= ⋅ = xx y yy x 27 3 53 2 loglog log 1 loglog 1 log ; ⋅= = ⋅ yyyy yy y x 5353 53 loglog 1 2 loglog 1 7 3 loglog 1 2log2log log 1 2 ; ⋅ = = ⋅ yyy xyy 2 5 2 3 7 3 loglog 1 loglog 2log log 1 2 53 ; =⋅ = ⋅ 2logloglog 2 73 2 5 loglog 1 53 yy x yy ; =⋅ = ⋅ 2log 3log log log 2 7 5 52 5 loglog 1 53 y y x yy ; ( ) = = ⋅ 3 1 755 loglog 1 2log3loglog 2 53 y x yy ; ( ) ( ) = = ⋅ 3 1 2log3log 5 2log3log 1 75 3 2 75 5 3log2 y x . № 1395 1) 1lg3lg2 +− xx x > 1000; x > 0, x ≠ 1; 1000lglg 1lg3lg2 x xx x x >+− ; x xx 3 10 2 log 1 1lg3lg >+− ; x xx lg 3 1lg3lg2 >+− . Обозначим lgx через а, тогда неравенство примет вид: а2 – 3а +1 > a 3 ; 0 33 23 > −+− a aaa ; ( ) ( ) ( )( ) 0 13 ;0 33 22 > +− > −+− a aa a aaa ; а ∈ (–∞; 0) U (3; +∞), т.е. > < 3lg 0lg x x ; > < 1000 1 x x Ответ: х ∈ (0; 1) U (1000; +∞). 2) 233 5lg2lg 2 −< ++ xx ; х > 0; 3lgx + 2 – 32 lgx + 5 + 2 < 0 3lgx + 2 – 32 (lgx + 2) ⋅ 3 + 2 < 0; 3lgx + 2 = t t > 0; –3t2 + t + 2 < 0; 3t2 – t – 2 > 0; D = 1 + 24 = 25; t1 = 6 51+ =1; t2 = – 3 2 ; t > 1 3lgx + 2 > 1 + 30 ; lgx + 2 > 0 lgx > –2 = lg 0,01; x > 0,01. www.5balls.ru
- 271. 263 № 1396 log|2x +2| (1 – 9x ) < log|2x + 2| (1 + 3x ) + log|2x + 2| + −1 3 9 5 x ; 1) |2x + 2| > 1, т.е. x < – 2 3 , x > – 2 1 ; ( )( ) +< + +− − ++ 1 |22||22| 3 9 5 log 31 3131 log x xx xx x ; 9 35 31 1+ + <− x x ; 4 < 3 ⋅ 3х + 9 ⋅ 3х ; 9 – 3х + 2 < 5 + 3x + 1 ; 4 < 12 ⋅ 3х ; 3х + 1 > 30 ; x > –1; −> −< −> 2 1 3 2 1 x x x ; x > – 2 1 . 2) |2x + 2| < 1, т.е. – 2 3 < x <– 2 1 ; log|2x + 2| (1 – 9x ) < log|2x + 2| (1 – 3x ) + log|2x + 2| + −1 3 9 5 x ; 1 – 3x > 9 35 1+ + x ; x < –1; −<<− −< 2 1 2 3 1 x x ; – 2 3 < x < –1. Заметим, что по определению логарифма 1–9х >0, 1+3x >0, 9 5 +3x – 1 , т.е. х < 0, тогда решением исходного неравенства являются − −−∈ 0; 2 1 1; 2 3 Ux . № 1397 ( ) ( ) ( )( )( ) 0 431 44 ;0 1256 44 22 23 23 > ++− −+− > −++ −−+ xxx xxx xxx xxx ; ( )( )( ) ( )( )( ) 0 431 221 > ++− −++ xxx xxx . Ответ: х ∈ (–∞; –4) U (–3; –2) U (–1; 1) U (2; +∞). № 1398 1) 72 −x ≤ 136 +x ; +≤− ≥+ ≥− 13672 0136 072 xx x x ; −≥ −≥ ≥ 5 6 13 5,3 x x x . Ответ: х ≥ 3,5. 2) 533 −<− xx ; −<− ≥− ≥− 533 053 03 xx x x ; > ≥ ≤ 2 3 5 3 x x x . Ответ: х ∈ (2; 3]. www.5balls.ru
- 272. 264 № 1399 4 40223 23 − +− x xxx ≥3х – 10; ( ) ( ) ≠− −−≥+− ≥+− 04 410340223 040223 2223 23 x xxxxx xxx ; [ ) ( ) ( ) ≠− −−≥+− ∞+∪ ∈ 04 410340223 ;4 3 10 ;0 2223 x xxxxx x ; [ ) ( )( ) ( ) ( ) ≠− ≥−−−−− ∞+∪ ∈ 04 041031034 ;4 3 10 ;0 22 x xxxxx x ; [ ) ( )( ) ( )( )( ) ≠− ≥−−−−− ∞+∪ ∈ 04 041031034 ;4 3 10 ;0 x xxxxx x ; [ ) ( )( )( ) ≠− ≥−+−−− ∞+∪ ∈ 04 0402231034 ;4 3 10 ;0 2 x xxxxx x ; [ ) ( )( )( ) ≠− ≥−+−−− ∞+∪ ∈ 04 0402331034 ;4 3 10 ;0 2 x xxxx x ; (х –4) (3х – 10) (х – 5) (х – 3 8 ) ≤ 0; [ ) [ ] ∪ ∈ ∞+∪ ∈ 5;4 3 10 ; 3 8 ;4 3 10 ;0 x x ; х ≠ 4. Ответ: х ∈ ]5;4( 3 10 ; 3 8 U . № 1400 |x – 5a| ≤ 4a – 3; а) x – 5a ≥ 0, т.е. x ≥ 5a; x – 5a ≤ 4а – 3; x ≤ 9а – 3, тогда 5а ≤ х ≤ 9а – 3 при а > 4 3 ; x = 4 15 при а = 4 3 ; х ∈ ∅ при а < 4 3 . б) x–5a<0, т.е. x<5a; 5a–x≤4a–3; x≥a+3, тогда а+3≤х<5a при а > 4 3 ; x = 4 15 при а = 4 3 ; х ∈ ∅ при а < 4 3 ; х2 –4х–5<0; (x+1) (x–5)<0; х ∈ (1; 5). Ответ: если а = 4 3 , то x = 4 15 ; если а > 4 3 , то а + 3 < х < 9а – 3; www.5balls.ru
- 273. 265 если а < 4 3 ,то х ∈ ∅; решения первого неравенства являются решения- ми второго при 4 3 ≤ а < 9 8 . №1401 1) 2) 2) 3) www.5balls.ru
- 274.
- 275.
- 276. 268 № 1405 logba ⋅logсb ⋅ logdc = logda Преобразуем левую часть выражения: logba ⋅ logсb⋅logdc = = =⋅=⋅⋅ cacb b a dcdc c c loglogloglog log log ac c a dd d d loglog log log =⋅ , что и требовалось доказать. № 1406 1) 5 4 25 9 1 5 3 arcsinsin1 5 3 arcsincos 2 ±=−±= −±= ; ππ −∈ 2 ; 25 3 arcsin , следовательно 5 4 5 3 arcsincos = . 2) = −−±= − 13 5 arccoscos1 13 5 arccossin 2 13 12 169 25 1 ±=−± . 13 5 arccos ∈ [0; π], на промежутке [0; π] sinx > 0, следовательно 13 12 13 5 arccossin = − . № 1407 arcsinx + arccosx. Пусть arcsinx + arccosx = с, тогда arcsinx = с – arccosx; sin (arcsinx) = sin (с – arccosx); x = sinc ⋅ cos (arccosx) – cosc ⋅ sin (arccosx); x = x ⋅ sinc – cosc 2 1 x− ; x (1 – sinc) = –cosc 2 1 x− ; x (sinc – 1) = cosc 2 1 x− ; x2 (sin2 c – 2sinc + 1) = cos2 c (1 – x2 ); x2 sin2 c – 2x2 sinc + x2 – cos2 c + x2 cos2 c = 0; 2x2 – 2x2 sinc – cos2 c = 0; 2x2 – 2x2 sinc – 1 + sin2 c = 0; 2x2 (1 – sinc) – (1 – sin2 c) = 0; (1 – sinc) (2x2 – (1 + sinc)) = 0, независимо от х уравнение решается при sinc = 1, откуда с = 2 π . www.5balls.ru
- 277. 269 № 1408 f (x)= sin2x – 8 (b + 2) cosx – (4b2 + 16b + 6) x; f ′(x) = 2cosx + 8 (b + 2) sinx – (4b2 + 16b + 6) x; f ′(x) < 0; 2cos2x+8sinx(b+2)–(4b2 +16b+6)x<0; 2b2 –b(4sinx–8)–(cos2x+8sinx – 3) > 0; ( )( ) ( )( ) 032sin32sin >−−−+−− xbxb ; Решение неравенства не зависит от х при b ∈ ( )33; −−∞− U ( )+∞− ;13 . № 1409 y1 = 3cos5x, y2 = 5cos3x + 2; y = f ′(x0) (x – x0) + f (x0); k y1 = –15sin5x0 (x – x0) + 3cos5x0; k y2 = –15sin3x0 (x – x0) + 5cos3x0; k y1 =–15xsin5x0+15x0sin5x0+3cos5x0; k y2 =–15xsin3x0+15x0sin3x0+5cos3x0. Условие параллельности: –15sin5x0 = –15sin3x0; sin5x0 – sin3x0 = 0; 2sinx0 ⋅ cos4x0 = 0; = = 04cos 0sin 0 0 x x ; ∈ π + π = ∈π= Zn n x Znnx , 48 , 0 0 . Ответ: при х = nπ, x = 48 π + π n , n ∈ Z. № 1410 A − 5 12 ;2 , 2 5 3 xy −= , у = f ′(х0) (х – х0) + f (х0), ( ) 5 12 5 12 ; 5 12 22 5 6 +−=−−⋅−= xyxy у = 0, х = 1 (1, 0) – точка В х = 0, у = 5 12 ; 5 12 ,0 – точка С p S r = , где r – радиус вписанной окружности, р – полупериметр, S – площадь. 5 6 2 1 5 12 =⋅=S , 3 10 13125 2 5 12 1 5 12 1 2 = ++ = +++ =p , тогда 5 2 =r . № 1411 А (3; –4), у = – x 12 ; l: y = f ′(х0) (х – х0) + f (х0); ( ) 0 02 0 1212 x xx x y −−= ; y = 3 4 (x – 3) – 4; y = 3 4 x – 8. www.5balls.ru
- 278. 270 Искомая окружность являетсявписанной в треугольник со сторонами 12, 6436 + , 6436 + , тогда p S r = , где S = 48, р = 16, т.е. r = 3 – случай, когда окружность лежит ниже оси Ох, во втором случае (окружность лежит выше оси Ох) получаем r = 12. № 1412 Пусть t – переменная времени, тогда расстояние l между кораблями можно представить как функцию l(t). ( ) ( ) ( ) 2540251640259453 22222 +−=+−+=−+= ttttttttl ; ( ) 254025 4050 2 1 ' 2 +− − ⋅= tt t tl ; t = 5 4 – точка минимума; l 5 4 = 3 мили. Ответ: корабли не будут на расстоянии, достаточном для приема. № 1413 у = –х3 + ах2 + bх + с, х = 2, (0; 2), (0; 6). Пусть точки А и В лежат на расстоянии l от прямой х = 2, тогда имеют координаты А (2 – l, у1), В (2 + l, у1), т.к. А и В лежат на графике функции, то у1=–(2–l)3 +а(2 – l)2 + b(2 – l) + с; у1 = –(2 + l)3 + а(2 + l)2 + b(2 + l) + с Уравнение касательной в точке А: у = у′(2 – l) (х – (2 – l)) + у(2 – l) Уравнение касательной в точке В: у = у′(2 + l) (х – (2 + l)) + у(2 + l) Т.к. касательные проходят через точки (0; 2) и (0; 6), то справедливо 0 = у′(2 – l) (2 – (2 – l)) + у(2 – l) и 0 = у′(2 + l) (6 – (2 + l)) + у(2 + l); условие параллельности касательных: у′(2 – l) = у′(2 + l) у′ = –3х2 + 2ах + b, тогда можно записать систему уравнений: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++++−=+−+−−+++ ++++−+−+−++−= +−+−+−−++−+−−= ++++++−= +−+−+−−= blalblalclb lallblal clblallblal clblaly clblaly 22232223)2 2)2((422230 22222230 222 222 22 232 232 23 1 23 1 решая которую, найдем а = 6, b = –11, с = 6. № 1414 Пусть А = (х1; у0), В = (х2; у0), тогда по условию х1 = –2 – t, х2 =–2+t, t > 0. у′ = 3х2 + 2ах + b, т.к. касательные в А и В параллельны, то у′(х1)=у′(х2), т.е. 3(–2–t)2 +2а(–2–t)+b=3(–2+t)2 +2а(–2+t) + b, откуда а = 6. Уравнение касательных, проходящих через А(0; 1) и В(0; 5): 0=(3(2+t)2 +12(–2 – t) + b) (1 – (–2 – t) + (–2 – t)3 + 6(2 + t)2 +b(–2 – t) + с и 0 = (3(–2 + t)2 + 12(–2 + t) + b) (5 – (–2 + t) + (–2 + t)3 + 6(–2 + t)2 +b(–2 + t) + с Т.к. А и В принадлежат графику функции у = х3 + ах2 + bх + с, то (–2 – t)3 + 6(2 + t)2 + b(–2 – t) + с = (–2 + t)3 + 6(–2 + t)2 + b(–2 + t) + с. Из полученных трех уравнений найдем b = 11, с = 5. www.5balls.ru
- 279. 271 № 1415 у =х3 + ах2 + bх + с Пусть точка А имеет координаты (0; у0), М = (х1; 0), N = (х2; 0), тогда площадь ∆AMN можно записать как 2 1 |х2 – х1| ⋅ |у0| = 1. Уравнение касательной в точке М, проходящей через точку А: ( )( ) cbxaxxxbaxxy ++++−++= 1 2 1 3 111 2 10 023 . Т.к. у = х3 + ах2 + bх + с проходит через М и N и А, то 0,0 2 2 2 3 21 2 1 3 1 =+++=+++ cbxaxxcbxaxx и у0 = с. Запишем систему уравнений: ( ) ( )( ) =+++ =+++ +++−−++= =− <= 0 0 023 0 0, 2 2 2 3 2 1 2 1 3 1 1 2 1 3 111 2 10 012 0 cbxaxx cbxaxx cbxaxxxbaxxy yxx ccy Решая полученную систему, найдем а = –4, b = 5, с = –2. № 1416 у = –х3 + ах2 + bх + с, с > 0 По условию D = (0, у0), А = (х1, 0), В = (х2, 0), тогда площадь ∆АВD за- пишем как 2 1 |(х2 — х1)у0| = 1. Запишем уравнение касательной в точке В, проходящей через точку D ( )( ) cbxaxxxbxaxxy +++−−++−= 2 2 2 3 2222 2 20 023 . Т.к. точки А, В, D принадлежат графику функции у = –х3 + ах2 + + bх + с, то у0 = с 0 = cbxaxx +++− 1 2 1 3 1 ; 0 = cbxaxx +++− 2 2 2 3 2 . Можем записать систему: ( ) ( )( ) +++−= +++−= +++−−++−= =− >= cbxaxx cbxaxx cbxaxxxbxaxxy yxx ccy 2 2 2 3 2 1 2 1 3 1 2 2 2 3 2222 2 20 012 0 0 0 23 2 0, Решая полученную систему, найдем а = 4, b = –5, с = 2. № 1417 у = 0,5х2 – 2х + 2, А 2 1 ;1 , В(4; 2). Уравнение касательной: www.5balls.ru
- 280. 272 у = (х0– 2) (х – х0) + 0,5 2 0x – 2х0 + 2, т.к. касательная проходит через точ- ки А и В, то справедливо ( )( ) 225,012 2 1 1111 0 2 000 +−+−−= xxx и ( )( ) 225,0422 2222 0 2 000 +−+−−= xxx , откуда 10x = 1 20x = 4 ; тогда уравнения касательных: у = –1(х – 1) + 1/2 = –х + 2 3 , у = 2(х – 4) + 2 = 2х – 6 (точка пересечения касательных х = 2 5 ), тогда искомая площадь ( ) ( ) − −−−+ −++−= ∫∫∫ ∫ 2/3 1 3 2/5 4 1 2/5 2/3 2 2 3 62 2 3 225,0 dxxdxxdxxdxxxS ( ) ( ) −−+ −+ +−=−− ∫ 3 2/5 2 2/5 2/3 2 4 1 2 34 3 6 2 1 2 3 2 6 62 xxxxxx x dxx ( ) 8 9 6 2 1 2 3 4 3 2 2/3 1 2 =−− −− xxxx . № 1418 Уравнение касательной к графику функции у = x в точке а имеет вид: a ax a aax a a a x y 22 2 22 + = +− =+−= ; ордината точки пересечения с прямой х = 3: a a 2 3 + ; абсцисса точки пересечения с осью Ох: х = –а. Тогда искомая площадь треугольника ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = +−+ = ⋅+−+ = + = aa aaa a a aaa S a a S 16 3238 16 2 4 3432 '; 4 3 2 2 2 aa aa aa aa aa aaaa 8 963 16 18126 16 21218248 2222 −+ = −+ = −−−+ = ( ) 4 4 4 4 3 22 == + = a a S . Точка минимума а = 1. № 1419 Площадь фигуры ∫ π == 2/ 0 1sin xdxS . www.5balls.ru
- 281. 273 Прямая, проходящая черезначало координат, задается уравнением у = kх, где k = tgα, α – угол наклона к оси Ох. Тогда условие того, что данная прямая делит фигуру площади S на две фигуры равной площади, запишем следующим образом: k⋅ π ⋅ π = 22 1 , откуда 2 4 π =k , а угол 2 4 arctg π =α . № 1420 1) 3 2 4 3 2x x x+ − − = − ( )( ) −=−+−+−+ ≥−−+ ≥− ≥− ≥+ 234242323 0423 023 042 03 xxxxx xx x x x 3x + 3 – 4 – 3x + 2 = ( )( )4232 −+ xx ; 1 = ( )( )4x23x2 −+ ; 1 = 4(2x2 + 2x – 12); 8x2 + 8x – 49 = 0; 4 1022 8 4084 8 392164 2,1 ±− = ±− = +±− =x ; ±− = ≥−−+ ≥− ≥− ≥+ 4 1022 0423 023 042 03 x xx x x x . Ответ: 4 1022 ±− =x . 2) xxx − = −+ + −− 1 22 11 1 11 1 ; x1− = a > 0; aaa 22 1 1 1 1 = + + − ; ( ) ( ) ( )( ) ≠+− =−−−++ 011 021211 2 aaa aaaa ; 2a – 2 2 + 2 2 a2 = 0; a – 2 + 2 a2 = 0; 2 a2 + a – 2 = 0; 22 31 22 811 2,1 ±− = +±− =a ; a > 0, следовательно, 2 1 =a ; 2 1 1 =− x ; 1–x= 2 1 ; x = 2 1 . Ответ: x = 2 1 . www.5balls.ru
- 282. 272 № 1421 | x2+ 1 – x| + |x – x2 + 2| = 7; | x2 –x+1|+|–( x2 –x+1)+3| = 7; | x2 – x + 1 = a; |a| + |3 – a| = 7. а) a > 3; a + a – 3 = 7; a = 5. б) 0 ≤ a ≤ 3; a + 3 – a = 7; a ∈ ∅. в) a<o;–a+3–a=7; a=–2; а) x2 –x+1=5; x2 =x+4; 4x=x2 +8x + 16; x2 + 4 x + 16 = 0 – действ. корней нет. б) x2 – x + 1 = –2; x2 = x – 3; x ≥ 0; 4x = x2 – 6x + 9; x2 – 10x + 9 = 0; 45 1 9255 2,1 ±= −± =x ; x1 = 9, x2 = 1. x = 1 не является решением, т.к. |2 + 1 – 1| + |1 – 2+ 2| ≠ 7. Ответ: x=9. № 1422 1) 9·41/x +5·61/x =4·91/x , 32 ·41/x +5·21/x ·31/x =4·32/x , 32 ·22/x +5·21/x ·31/x =22 ·32/x разделим все на ( ) 03 x 2 ≠ , 04 3 2 3 2 9 x 1 x 2 =− + ; x 1 3 2 = t; t > 0 9t2 + 5t – 4 = 0; D = 25 + 144, 9 4 18 135 t1 = +− = ; 1 18 135 t2 −= −− = 2 x 1 3 2 9 4 3 2 == ; 2 1 x;2 x 1 == . 2) log2(x2 – 3) – log2(6x – 10) + 1 = 0, 2 1 10x6 3x2 = − − ; ( ) 0 10x62 10x66x2 2 = − +−− ; ≠ =+− 6/10x 04x6x2 2 ; ≠ =+− 6/10x 02x3x2 ; x1 = 1, x2 = 2, т.к. x2 – 3 > 0 и 6x – 10 > 0, то x = 1 не является решением. Ответ: x = 2. 3) 2log2x – xlog3 2 1 log2 22 = ; 2log2x + 1 = xlog3 2 , x > 0. xlog2 = a ≥ 0; 2a2 – 3a + 1 = 0; a1 = 1, a2 = 2 1 ; log2x = 1, x = 2; log2x = 4 1 , 2x = . Ответ: 2x = . 4) logx(2x2 – 3x – 4) = 2; 2x2 – 3x – 4 > 0, x > 0, x ≠ 1; logx(2x2 – 3x – 4) = logxx2 ; 2x2 – 3x – 4 = x2 ; x2 – 3x – 4 = 0; x1 = –1, x2 = 4; x1 < 0, следовательно не является решением. Ответ: x = 4. № 1423 1) 1 + logx(5 – x) = log74 · logx7; 1 + logx(5 – x) = 4log x 77log ; www.5balls.ru
- 283. 273 logxx(5 – x)= logx4; 5 – x > 0, x > 0, x ≠ 1; 5x – x2 = 4; x2 – 5x + 4 = 0; x1 = 1, x2 = 4; Ответ: x = 4. 2) (log9(7 – x) + 1) log3-x3 = 1; log99(7 – x) log3-x3 = 1; ( ) 1 x3log 1 x79log 2 1 3 3 = − ⋅− ; log3-x9(7 – x) = 2; log3-x9(7 – x) = log3-x(3 – x)2 ; 9(7 – x) = 9 – 6x + x2 ; x2 + 3x – 54 = 0; 2 153 2 45493 2,1 ±− = ⋅+±− =x ; x1 = 6, x2 = –9; 3 – x > 0, 3 – x ≠ 1 следовательно, 7 – x > 0, x = –9. Ответ: x = –9. № 1424 1) cosx + cos2x + cos3x = 0; 2cos2x + cosx + cos2x = 0; = = 2 1 cos 02cos x x ; ∈π+π±= ∈ π + π = Zllx Zn n x ,2 3 2 , 24 . Ответ: Zn, 2 n 4 x ∈ π + π = ; Zl,l2 3 2 x ∈π+π±= . 2) cos3 x – 3cos2 x + cosx = π −⋅ π + 42 3 sin 42 cos2 xx ; cos3 x–3cos2 x+cosx=sin π − 2 x +sin2x; cos3 x–3cos2 x+cosx = –cosx + sin2x; cos3 x – 3cos2 x + 2cosx – sin2x = 0; cosx(cos2 x – 3cosx + 2 – 2sinx) = 0; =−+−− = 0xsin22xcos3xsin1 0xcos 2 ; =−−− ∈π+ π = 0sin2sincos33 , 2 2 xxx Znnx ; ∈π= ∈π+ π = Zl,l2x Zn,n 2 x . Ответ: Zn,n 2 x ∈π+ π = ; Zl,l2x ∈π= . 3) sin2 x + cos2 3x = 1; cos2 3x – cos2 x = 0; =+ =− 0xcosx3cos 0xcosx3cos ; =⋅ =⋅− 0xcosx2cos2 0xsinx2sin2 ; www.5balls.ru
- 284. 274 ∈ π + π = ∈π+ π = ∈π= ∈ π = Zk, 2 k 4 x Zl,l 2 x Zm,mx Zn, 2 n x . Ответ: Zn, 2 n x∈ π = ; Zk, 2 k 4 x ∈ π + π = . 4) ctgx + sin2x = ctg3x; ctg3x – ctgx – sin2x = 0; 0x2sin xsinx3sin x2sin =− ⋅ − ; ( ) ≠⋅ =⋅+ 0xsinx3sin 0xsinx3sin1x2sin ; Zmmx xx xx x ∈π+ π = ≠⋅ −=− = , 2 ; 0sin3sin 24cos2cos 02sin . № 1425 1) sinx + cosx = xtg1+ ( ) ( ) + =+ ≥+ ≥+ xcos xsinxcos xcosxsin 0tgx1 0xcosxsin 2 ; (sinx + cosx)2 – ( ) xcos xsinxcos + = 0; ( ) ( )( ) ≠ =−++ 0cos 01cossincoscossin x xxxxx ; ≠ =−+⋅ =+ 0xcos 01xcosxsinxcos 0xcosxsin 2 ; ( ) ≠ =− ∈π+π= 0cos 0sincossin , 4 3 x xxx Znnx ; ≠ ∈π+ π = ∈π= ∈π+π= 0cos , 4 , , 4 3 x Zmmx Zmmx Znnx ; ≥+ ≥+ ≠ ∈π= ∈ π + π = 01 0cossin 0cos , , 24 tgx xx x Znnx Zm m x . Ответ: ; 2 m 4 x π + π = Zn,m,nx ∈π= . 2) 2x2sin5 − = sinx – cosx; +−=− ≥− xcosxcosxsin2xsin2x2sin5 0xcosxsin 22 ; 5sin2x – 2 = 1 – sin2x; 6sin2x = 3; sin2x = 2 1 ; ( ) ≥− ∈ π + π −= 0cossin , 212 1 xx Zn n x n ; ( ) ∈ π+ππ+ π ∈ ∈ π + π −= Zlllx Zn n x n ,2 4 5 ;2 4 , 212 1 ; www.5balls.ru
- 285. 275 № 1426 π +=− −4 xsin4 3 1 x3cosxcos xsin2 2 ; 2 2cos1 4 3 1 sin2sin2 sin2 2 +− ⋅=− + π x xx x ; =− 3 1 x2sin 1 2 · (1 + sin2x); ( ) 0 2sin3 2sin2sin223 2sin3 2sin3 = + − − x xx x x ; sin2x ≠ 0; sinx ≠ 0; 3–sin2x–6sin2x–6sin2 2x=0; 6sin2 2x+7sin2x–3=0; sin2x=t; 6t2 +7t–3=0; D=49+72=121; 3 1 12 117 t1 = +− = ; 1 2 3 12 117 t1 −<−= −− = ; sin2x = 3 1 ; 2x = (–1)n arcsin 3 1 + πn; ( ) Znnx n ∈ π+−= , 3 1 arcsin1 2 1 . № 1427 ( ) > =++ 0 0cos1cos 2 tgx xtgxx ; cosx + (1 + cosx) −1 cos 1 2 x – 1 = 0; ( )( ) 01 cos cos1cos1 cos 2 2 =− −+ + x xx x ; cosx ≠ 0; x ≠ Zn,n 2 ∈π+ π ; cos3 x+1–cos2 x+cosx–cos3 x–cos2 x=0; 2cos2 x–cosx–1=0; cosx=t; 2t2 –t – 1 = 0; D = 1 + 8 = 9; 1 4 31 t = + = ; 2 1 4 31 t −= − = ; cosx = 1 ⇒ sinx = x2 cos1−± = 0; tgx = 0 – не подходит. 2 3 sin =x ⇒ tgx < 0 – не подходит. 2 3 sin −=x ; tgx > 0; Znnx ∈π+ π = ,2 3 4 . № 1428 ( ) >+− π = π ++ 024x2xlg 6 25 sin 4 xsinxsin 244 ; lg(x – 24x2 + ) > 0 = lg1 x– 24x2 + >0; x>–12; x–1> 24x2 + ; x>1; x2 – 2x + 1 > 2x + 24; x2 –4x–23>0; D/4=4+23 = 27; x1 = 2 + 33 ; x2 = 2 – 33 ; x > 2 + 33 ; ( ) 6 sinsin 2 2 2 2 2cos1 4 π = + π +− x x ; 4sin4 x + (1 + sin2x)2 = 4 1 4 ; 4sin4 x + 1 + 2sin2x + sin2x = 1; 2 2 2cos1 4 − x + 2sin2x + sin2 2x = 0; www.5balls.ru
- 286. 276 1 – 2cos2x+ cos2 2x + 2sin2x + sin2 2x = 0; 2 + 2sin2x – 2cos2x = 0; 1 + sin2x – cos2x = 0; 0 4 x2sin21 = π −+ ; 2 2 4 x2sin −= π − ; ∈π+ π = π − ∈π+ π −= π − Zn,n2 4 5 4 x2 Zn,n2 44 x2 ; ∈π+ π = ∈π= Zn,n2 2 3 x2 Zn,n2x2 ; ∈π+ π = ∈π= Zn,n 4 3 x Zn,nx ; ≥π+ π = ≥π= 2n,n 4 3 x 3n,nx . № 1429 ππ − 2 ; 6 π + 2 x5cos + 2sinx · cos2x = 0; –sin5x + sin3x – sinx = 0; sin3x–(2sin3x cos2x)=0; sin3x(1–2cos2x)=0; sin3x = 0; 3x = πn; Zn, 3 n x ∈ π = . Самое большое значение x на ππ − 2 ; 6 из этой серии 3 x π = cos2x = 2 1 ; 2x = Zn,n2 3 ∈π+ π ± ; n 6 x π+ π ±= . Самое большое значение x на ππ − 2 ; 6 из этой серии 6 x π = В итоге самое большое 3 x π = . № 1430 sin8 x+cos8 x=a; (sin4 x–cos4 x)2 +2sin4 x cos4 x=a; (cos4 x–sin4 x)2 + 8 1 sin4 2x = a; cos4 2x + 8 1 sin4 2x = a; 1 – sin2 2x+ 8 1 sin4 2x=a; sin4 2x–8sin2 2x + (8 – 8a) = 0; (sin2 2x – 4)2 = 8 + 8a; sin2 2x – 4 = а88 +± ; sin2 2x=4 а88 +± ; 0≤4 а88 +± ≤ 1; 0≤4 а88 ++ ≤ 1 – невыполнимо; 0 ≤ 4 а88 +− ≤ 1; 3 ≤ а88 + ≤ 4; а ∈ 1; 8 1 Итак, при а ∈ 1; 8 1 : sin2 2x = 4 а88 +− ; sin2x= ( )a+−± 1224 ; x=(–1)n (±arcsin ( )a+− 1224 + πn, n ∈ Z; ( ) Zn n ax ∈ π ++−±= , 2 1214arcsin 2 1 . www.5balls.ru
- 287. 277 № 1431 1) −=− ≠≠−=− 6 23 x y2 y3 x 0x;0y;5y3x ; −= − − − −= 6 23 5y3 y2 y3 5y3 5y3x ; ( )()22 y65y36 −− + 23·3y(3y–5) = 0; 6(9y2 –30y+25–6y2 )+207y2 – 345y = 0; 18y2 –180y+150+207y2 –345y=0; 225y2 – 525y + 150 = 0; 9y2 – 21y + 6 = 0; 3y2 – 7y + 2 = 0; 6 24497 y 2/1 −± = ; y1 = 2, y2 = 3 1 , x1 = 1, x2 = –4. Ответ: (1; 2), (–4; 3 1 ). 2) =+ ±≠= + − + − + 5yx yx; 3 10 yx yx yx yx 22 ; ( ) ( ) =+ = − −++ 5yx 3 10 yx yxyx 22 22 22 ; =+ = − + 5yx 3 10 yx y2x2 22 22 22 ; −= = − 22 22 y5x 3 10 yx 10 ; 3 10 y25 10 2 = − ; 30=50–20y2 ; y=±1; x = ±2. № 1432 1) =⋅ =⋅− 1236 12326 yx yx ; =⋅ ⋅+= 1236 3226 yx yx ; (2+2·3y ) 3y =12; 2·3y +2 · 32y = 12; 3y + 32y = 6; 3y = a > 0; a2 + a – 6 = 0, a1 = –3, a2 = 2, тогда 3y = 2, y = log32; 6x = 2 + 2 · 2, т.е. x = 1. Ответ: (1, log32) 2) =−⋅ =+⋅ + 93y523 2y627 1x x ; =−⋅ =+⋅ 93y526 2y627 x x ; ( ) =− − − = 93y5 7 y626 7 y62 2x ; 6(2–6y)–35y=651; 12–36y–35y=651; –71y=639; y=–9; 2x =8, x=3. Ответ: (3; –9). № 1433 ( ) ( ) −−+=− =+⋅ − ylgyx22lg2x4ylg 343327 2 xyx2 . Очевидно, что > >−+ >− 0y 0yx22 0x4y ; y yx22 lg yx22 x4y lg −+ = −+ − ; y yx22 yx22 x4y −+ = −+ − ; ( ) ≠−+ ≠ =−+−− 0yx22 0y 0yx22xy4y y2 ; www.5balls.ru
- 288. 278 y2 –4xy–(4+8x+4x2 –2y(2+2x)+y2 )=0; y2 –4xy–4 –8x – 4x2 – 4y + 4xy – y2 = 0; – 4x2 – 8x + 4y – 4 = 0; x2 + 2x – y + 1 = 0; y = (x + 1)2 , подставим в первое уравнение исходной системы: 27 · 122 2 3 −−− xxx + 2 x 3 = 34 ; 33 · 12 3 −−x + 2 3x = 34 ; 2 2 3 x− + 2 3x = 34 ; 2 x 3 = a > 0; 34 9 =+ a a ; 9 + a2 = 34 a; a2 – 34 a + 9 = 0; 332 1 91232 a 2/1 ±= −± = ; a1 = 33 , a2 = 3 , тогда 1) 2 x 3 = 33/2 ; 2 3 x 2/1 ±= ; 16 2 3 y1 ++= ; 16 2 3 y2 +−= ; 16 2 3 y2 +−= ; 2) 2 x 3 = 31/2 ; 2 1 x ±= ; 12 2 1 y1 ++= ; 12 2 1 y2 +−= ; y – 4x > 0 2 + 2x – y > 0 y > 0 6 2 5 , 2 3 +== yx 6 2 5 , 2 3 −=−= yx 2 2 3 , 2 1 +== yx 2 2 3 , 2 1 −=−= yx Ответ: ±± 2 2 3 ; 2 1 . 2) ( ) ( ) −−−=+ =+⋅ −− xyxyx yyx lg22lg24lg 23228 2 2 ; Очевидно, что > >−− >+ 0 022 04 x yx yx ; lg(x + 4y) = 2lg(2 – x – 2y) – lgx; x yx yx yx 22 22 4 −− = −− + ; x(x+4y)=(2–x–2y)2 ; x2 +4xy–(4–4x+x2 –4y(2–x)+4y2 )=0; www.5balls.ru
- 289. 279 x2 +4xy–4+4x–x2 +8y–4xy–4y2 =0; – 4+4x+8y–4y2 =0;– 1 + x + 2y – y2 = 0; x = (y – 1)2 , подставим в первое уравнение исходной системы: 8 · ( )2 1 2 −− y + 2 2 y = 23 ; 8 · yyy 2123 2 2 −−+− + 2 2 y = 23 ; 22 · 2 2 y− + 2 2 y = 23 ; 2 2 y = a > 0; 23 4 2 =+ a a ; 4 + a2 = 23 a; a2 – 23 a + 4 = 0; 2 223 2 161823 2/1 ± = −± =a . 1) a1 = 22 , тогда 2 y 2 = 23/2 ; 2 3 y ±= ; 16 2 3 x +±= . 2) a2 = 2 , тогда 2 y 2 = 21/2 ; 2 1 y ±= ; 12 2 1 x +±= ; ±± ±+± > >−− >+ 2 1 ;2 2 3 , 2 3 ;16 2 3 0x 0y2x2 0y4x . Ответ: ±± 2 1 ;2 2 3 . № 1434 ( ) ( ) =−−+ =−− 0a5y2ax 0xlog23ylog 2 93 ; y > 3; x > 0; =−−−++ +=⇒=− 0a56x2aax2x 3xyx3y 22 . Хотя бы одно решение D ≥ 0. x2 + (2a – 2)x + a2 – 5a – 6 = 0; D/4=(a–1)2 –a2 +5a+6=a2 –2a+1–a2 +5a+6=3a+7; 3a + 7 ≥ 0; a ≥ 3 7 − ; D = 0, x = 1 – a = 1 + 3 7 > 0; D > 0, x1 = 1 – a + 7a3 + > 0. См. в конце. x2 = 1 – a – 7a3 + > 0; 1 – a = 7a3 + , 1 – a > 0, a < 1 1 – 2a + a2 > 3a + 7, a2 – 5a – 6 > 0; −< < >−< 3 7 1 6и1 a a aa ⇒ 3 7 − < a < –1, x1=1–a + 7a3 + > 0; 7a3 + > 1 – a 1) a – 1 < 0; a < 1, −> < 3 7 a 1a , 3 7 − < a < 1 www.5balls.ru
- 290. 280 2) a –1 ≥ 0; a ≥ 1; 3a + 7 > a2 – 2a + 1; a2 – 5a – 6 < 0; ≥ −< <<− 1a 3 7 a 6a1 ⇒ 1 ≥ a < 6; << ≥<− 6a1 1a 3 7 ; 3 7 − < a < 6, одновременно x1 и x2 > 0, −<<− <<− 1a 3 7 6a 3 7 ⇒ 3 7 − < a < –1. № 1435 1) x 1 x4 3x2 > − − ; ( ) 0 x4x x4x3x2 2 > − +−− ; ( ) 0 x4x 4x2x2 2 > − −− ; ( ) ;0 4xx 2xx2 < − −− ( )( ) ( ) 0 4xx 2x1x < − −+ . Ответ: х ∈ (–1; 0) U (2; 4). 2) 1 1x 5x2 ≥ + + ; 1. х > –1; ( ) 0 1x 4x ;0 1x 1x5x2 ≥ + + ≥ + −−+ ; х ∈ (–1; +∞). 2. х < –1; 1 1x 5x2 ≥ −− + ; 1 1x 5x2 −≤ + + ; 0 1x 1x5x2 ≤ + +++ ; 0 1x 2x ;0 1x 6x3 ≤ + + ≤ + + ; х ∈ [–2; -1). Ответ: х ∈ [–2; -1) U (–1; +∞). № 1436 1) a xx xx ≤ +− +− 124 348 2 2 ; 0 124 24348 2 22 ≤ +− −+−+− xx aaxaxxx ; 0 124 32448 2 32 ≤ +− −++−− xx aaxxaxx ; ( ) ( ) ( ) 0 124 32448 2 2 ≤ +− −+−−− xx aaxax ; 4x2 –2x+1<0 при любых х; найдем значения а, для которых х2 (8–4а)–x(4–2a)+ +(3 – a) ≤ 0 при любых х: 8–4a<0, т.е. а>2 и D = (4 – 2a)2 – 4(3 – a)(8 – 4а) ≤ 0; 16 – 16a + 4a2 – 4(24 – 12a – 8a + 4a2 ) = –12a2 + 64a – 80; 12a2 –64a+80≥0; 6a2 –32a+40≥0; 3a2 –16a+20≥0; a ∈ (–∞; 2] U [10/3; +∞). Таким образом х2 (8 – 4а) – x(4 – 2a) + (3 – a) ≤ 0 при а ≥ 3 10 . 2) a xx xx ≥ +− +− 16129 843 2 2 ; 0 16129 16129843 2 22 ≥ +− −+−+− xx aaxaxxx ; 9x2 – 16x + 16 > 0 при любых х; найдем значения а, для которых 3х2 – 9аx +12ax – 4x + 8 – 16a ≥ 0 независимо от х. х2 (3–9а)+x(12a – 4) + (8 – 16a) ≥ 0: 3 – 9а ≥ 0, т.е. 3 1 ≤a , D = (6a – 2)2 – (8 – 16a)(3 – 9а) ≤ 0; 36a2 – 48a + 4 – (24 – 72a – 48a + 144a2 ) = –108a2 + 72a – 20; www.5balls.ru
- 291. 281 –108a2 + 72a –20 ≤ 0; 27a2 – 18a + 5 ≥ 0 (1); 27 135819 2/1 −± =a ; D < 0 ⇒ неравенство (1) выполнено при любом а, таким образом 3 1 ≤a . № 1437 1) 06565 5 2 5 2 ;1 5 2 22 < < +−+− xxxx x2 – 5x + 6 > 0; (x – 2)(x – 3) > 0; x ∈ (–∞; 2) U (3; +∞). 2) 5x – 3x+1 > 2(5x – 3x+1 ); 5x – 3 · 3x > xx 3 9 2 5 5 2 ⋅−⋅ ; 03 9 7 25 5 3 >⋅−⋅ xx ; 03 9 25 5 5 3 >⋅−⋅ xx ; 27 · 5x – 125 · 3x > 0; 33 ·5x –53 ·3x > 0; 33 · 5x > 53 · 3x ; x > 3. № 1438 1) log1/2(1 + x – 4x2 − ) ≤ 0 >−−+ ≤ −−+ )2(041 )1(1log41log 2 2/1 2 2/1 xx xx (1) 1 + x – 42 −x ≥ 0; ≥−≥ −≥ 04,0 4 2 2 xx xx ; x2 ≥ x2 – 4; ≥ −≥ 2 40 x ; x ≥ 2. (2) 1 + x – 4x2 − > 0; 1 + x > 4x2 − ; −>++ ≥− >+ 421 04 01 22 2 xxx x x ; ( ] [ ) −> ≥∞+∪−∞−∈ −> 5,2 .2;;22; 1 x xx x ≥ ≥ 2 2 x x ; x ≥ 2. 2) ( ) ( ) 0 x23log4 1 x23log 1 55 < −− − − ; ( ) ( ) ≠−− ≠− >− 0x23log4 0x23log 0x23 5 5 – область определения; log5(3 – 2x) = a 0 4 11 < − − aa ; 0 4 2 ;0 4 4 < − − < − −− a a a aa ; 2<log5(3–2x)<4; log552 <log5(3–2x)<log554 ; 25 < 3 – 2x < 44 ; 11 < –x < 311; ( ) ( ) ≠−− ≠− >− −>>− 023log4 023log 023 31111 5 5 x x x xx ; −≠ ≠ < −<<− 311 1 2 3 11311 x x x x ; –311 < x < –11. www.5balls.ru
- 292. 282 № 1439 1) log|2x+ 1|x2 ≥ 2; log|2x + 1|x2 ≥ 1) log|2x + 1||2x + 1|2 1. |2x + 1| > 1, т.е. x ∈ (–∞; –1) U (0; +∞); x2 ≥ (2x + 1)2 x2 ≥ 4x2 + 4x + 1; 3x2 + 4x + 1 ≤ 0; (x + 1)(x + 3 1 ) ≤ 0. x ∈ [–1; – 3 1 ]. 2. |2x + 1| < 1, т.е. x ∈ (–1; 0); x2 ≤ 4x2 + 4x + 1; x ∈ (–∞; –1) U (– 3 1 ; +∞); ( ) ( ) ( ) ( ) ∞+−∪−∞−∈ −∈ −−∈ ∞+∪−∞−∈ ; 3 1 1; 0;1 3 1 ;1 ;01; x x x x . Ответ: x ∈ [– 3 1 ; 0]. 2) 2 1 1x3log 2 x <+ ; xlog1x3log 22 xx <+ 1. x2 > 1, x ∈ (–∞; –1) U (1; +∞); |3x + 1| < |x| a) x ≥ 0, 3x + 1 < x, x < – 2 1 ; x ∈ ∅ б) – 3 1 ≤ x < 0, 3x + 1 < –x, x < – 4 1 ;– 3 1 ≤ x < – 4 1 в) x < – 3 1 , –3x – 1 < –x, x > – 2 1 ;– 2 1 < x < – 3 1 . x ∈ . 4 1 ; 2 1 −− 2. x2 < 1, x ∈ (–1; 1); |3x + 1| > |x| a) x ≥ 0, 3x + 1 > x, x > – 2 1 ; x ≥ 0; б) – 3 1 ≤ x < 0, 3x + 1 > –x, x > – 4 1 ; – 4 1 < x < 0; в) x < – 3 1 , –3x – 1 > –x, x < – 2 1 ; x < – 2 1 ; x ∈ .; 4 1 U 2 1 ; ∞+− −∞− Решением исходного неравенства является система: ( ) ( ) ( ) −∈ ∞+−∪ −∞−∈ ∞+∪−∞−∈ −−∈ 1;1x ; 4 1 2 1 ;x ;11;x 4 1 ; 2 1 x . Кроме того по определению логарифма x ≠ 0, x ≠ – 3 1 , тогда x ∈ ( ).10;U0; 4 1 U 2 1 ;1 − −− Ответ: x ∈ ( ).10;U0; 4 1 U 2 1 ;1 − −− www.5balls.ru
- 293. 283 № 1440 0 3x 4x3xx37 2 < − −++− ; ≠− ≥−+ 03x 04x3x2 –область определения; 0 3x 3x4x3xx37 2 < − −+−++− ; 0 3x 4x3xx24 2 < − −++− ; <− >−++− >− <−++− 03x 04x3xx24 03x 04x3xx24 2 2 1) >− <−++− 03x 04x3xx24 2 ; 03x 04x2 4x24x3x2 >− >− −<−+ ; > > +−<−+ 3x 2x 16x16x44x3x 22 ; 3x2 – 19x + 20 > 0; x ∈ ( )∞+ ∞− 5;U 3 4 ; ; ( ) > ∞+∪ ∞−∈ 3x ;5 3 4 ;x ; x ∈ (5; +∞). 2) <− >−++− 03x 04x3xx24 2 ; < −>−+ 3x 4x24x3x2 ; ( ) < ∞−∈ ∈ 3x 2;x 5; 3 4 x ; x ∈ (–∞; 3); ( ) ( ) ∞−∈ ∞+∈ ≠− ≥−+ 3;x ;5x 03x 04x3x2 ; ( ] [ ) ( ) [ ) ∞+∪∞−∈ ≠− ∞+∪−∞−∈ ;53;x 03x ;14;x . Ответ: (–∞; –4] U [1; 3) U (5; +∞). № 1441 log1/2(x2 + ax + 1) < 1, x < 0; log1/2(x2 + ax + 1) < log1/21/2; x2 + ax + 1 > ½; x2 + ax + 1/2 > 0; 2x2 + 2ax + 1 > 0. Для любых х < 0 неравенство выполняется в двух случаях: 1) D = a2 – 2 < 0, т.е. a ∈ ( )2;2− . 2) > > 0x 0x 2 1 т.е. >−−− >−+− 02aa 02aa 2 2 www.5balls.ru
- 294. 284 a) 2a2 − >a, ; 0a a2a 02a 22 2 < >− ≥− ( ] [ ) < ∅∈ ∞+∪−∞−∈ 0a a ;22;a a ∈ (–∞; 2− ] б) – 2a2 − > a, 2a2 − < –a ( ] [ ) <− >− ∞+∪−∞−∈ 22 a2a 0a ;22;a a ∈ (–∞; 2− ] Таким образом, ответом на вопрос задачи является система ( ) ( ] −∞−∈ −∈ 2;a 2;2a . Ответ: a ∈ (–∞; 2− ]. № 1442 y=(x–1)2 , 0≤x≤1; y=x2 –2x+1; y=f′(x0)(x – x0)+f(x0); y=(2x0–2)(x–x0)+ 2 0x –2x0+1; y = 2xx0 – 2 2 0x – 2х + 2x0 + 2 0x – 2х0 + 1; y = 2xx0 – 2х – 2 2 0x + 1; y = x(2x0 – 2) + (1 – 2 2 0x ). Точки пересечения касательной с осями: x = 0, y = 1 – 2 2 0x y = 0, 2x2 1x2 x 0 2 0 − − = , тогда площадь треугольника, ( ) ( ) ( )0 22 0 2 0 0 2 0 0 x222 1x2 1 x21 2x2 1x2 2 1 xS − − = − ⋅ − − ⋅= ; ( ) ( ) ( )0 22 0 2 0 0 2 0 0 x222 1x2 1 x21 2x2 1x2 2 1 xS − − = − ⋅ − − ⋅= ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − −+⋅− = ′ − − =′ 2 0 22 00 2 0 0 22 0 0 x44 1x24x41x22 x44 1x2 xS ( ) ( ) ( )2 0 2 0 4 00 2 0 x44 1x4x44x42x4 − −−+⋅− = . Минимум данной функции S′(x0) в точке х0= 3 1 , у0 = 9 4 . Ответ: 9 4 ; 3 1 . № 1443 Уравнение касательной в точке х0 выглядит у′(х0)(х – х0) + у(х0). Она прямая. Из этого следует, что для любой касательной, проходящей через центр у(х0) – у′(х0)х0 = 0, (у′(х0)(х – х0) + у(х0) = kx + b) у(х0) = 8x3x2 0 2 0 +− , у′(х0) = 4х0 – 3 ⇒ 2 0x2 – 8 = 0 ⇒ х0 = ±2 Легко проверить, что в этих точках касательная проходит через центр. www.5balls.ru
- 295. 285 № 1444 у =x2 + 2x – 3, y = kx + 1. Ошибка в условии. № 1445 y = x2 + px + q, y = 2x – 3; x = 1. Найдем точки пересечения: у = 1 · 2 – 3 = –1, тогда для p и q справедливо –1 = 1 + p + q, т.е. p + q = –2 (использовали уравнение y = x2 + px + q) Вершины параболы имеют координаты + − − − q 2 p 2 p , 2 p 22 , т.е. расстояние до оси Ох равно p p q pp q pp y −−−=+−=+− − = 2 42422 22222 0 2 2p 1 2 p y0 −− =−−=′ , очевидно р = –2 точка минимума, тогда q = 0, а кратчайшее расстояние равно 1. № 1446 y = 4x – x2 , 6; 2 5 M ; y = f′(x0)(x – x0) + f(x0); y′=4–2x, тогда уравнение касательной имеет вид: y=(4–2x0)(x–x0)+4x0– 2 0x ; y = 4x – 4x0 – 2xx0 + 2 2 0x + 4x0 – 2 0x ; y = 2 0x – 2xx0 + 4x. Известно, что эта касательная проходит через точку М, тогда 6 = 2 0x – 5x0 + 10; 2 0x – 5x0 + 4 = 0; x0 = 1, x0 = 4, т.е. получим уравнения касательных y=1 + 2x и y = 16 – 4x; Касательные пересекаются в точке с абсциссой 6 15 , тогда искомая площадь ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ =−−−++= 4 6/15 4 1 26/15 1 441621 dxxxdxxdxxS ( ) ( ) 25,2 3 1 2216 4 1 32 4 6/15 2 6/15 1 2 = −−−++= xxxxxx № 1447 y = 6cos2 x + 6sinx – 2 Перепишем данную функцию в виде y = 6(1 – sin2 x) + 6sinx – 2, y = – 6sin2 x + 6sinx + 4, положим y′ = –12sinxcosx + 6cosx = 0, 6cosx(1 – 2sinx) = 0 cosx = 0, Znnx ∈π+ π = , 2 ; sinx = 2 1 , ( ) Znnx n ∈π+ π −= , 6 1 ; Znnx ∈π+ π = ,2 6 и Znnx ∈π+ π = ,2 6 5 – точки max ⇒ Ответ: ( ) Znnx n ∈π+ π −= , 6 1 . www.5balls.ru
- 296. 286 № 1448 y =x2 + (a + 4)x + 2a + 3, x ∈ [0; 2]; ymin = –4; y′ = 2x + a + 4; y′ = 0, 2x + a + 4 = 0, 2 4−− = a x . Ветви параболы направлены вверх, т.е. 2 4−− = a x – точка минимума. Рассмотрим три случая. 1) вершина параболы лежит правее x = 2, тогда минимальное на отрезке [0; 2] значение она принимает в точке x = 2, т.е. ( ) ++⋅++=− ≥ −− 322444 2 2 4 aa a – решений нет 2) вершина параболы лежит внутри отрезка [0; 2]: ( )( ) ++ −−+ + −− =− < −− < 32 2 44 2 4 4 2 2 4 0 2 a aaa a – решений нет 3) вершина параболы лежит левее х = 0; +=− ≤ −− 324 0 2 4 a a a = –3,5. № 1449 y = 4x2 – 4ax + a2 – 2a + 2< x ∈ [0; 2]; ymin = 3. Ветви параболы направ- лены вверх. y′ = 8x – 4a; y′ = 0; 8x – 4a = 0, x = 2 a 1) +−+−= ≥ 228163 2 2 2 aaa a a = 5 + 10 2) +−+⋅⋅−⋅= << 22 2 4 4 43 2 2 0 2 2 aa a a a a – решений нет 3) +−= ≤ 223 0 2 2 aa a a = 1 – 2 Рассмотрели три случая: в первом – вершина лежит правее х = 2, т.е. минимальное значение на [0; 2] данная функция принимает в точке х = 2; во втором – вершина лежит внутри [0; 2], т.е. минимальное значение – в точке х = 2 a ; в третьем случае – вершина лежит левее точки х = 0, т.е. минималь- ное значение на отрезке [0; 2] данная функция принимает в точке х = 0. Ответ: a = 5 + 10 ; a = 1 – 2 . www.5balls.ru
- 297. 287 № 1450 y =4x2 + 8ax – 9, y = 4ax2 + 8x + a – 2; y = –5. Найдем ординаты вершин парабол: y1 = 4(–a)2 + 8a(–a) – 9 = –4a2 – 9; 2 4 2 84 2 1 8 1 4 2 2 −+−=−+−=−+ − = a a a aa a aa ay . Возможны два случая: 1) −>−+− −>−− 52a a 4 59a4 2 ; >++− −< 03a a 4 4a4 2 ; >++− −< 03a a 4 1a2 – чего не может быть ни при каких а 2) −<−+− −<−− 52a a 4 59a4 2 ; <++− −> 03a a 4 4a4 2 ; <++− −> 03a a 4 1a2 – это при любых а Рассмотрим два случая 1) a > 0, 3a a 4 ++− < 0; –4 + a2 + 3a < 0; a2 + 3a – 4 < 0 a ∈ (–4; 1) и a > 0, следовательно, 0 < a < 1; a < 0. 2) –4 + a2 + 3a > 0; a2 + 3a – 4 > 0; a < –4 и a > 1, но a < 0; a < –4. Ответ: a < –4, 0 < a < 1. № 1451 xx xx y 24 24 cos3sin2 sincos2 + + = ; ( )( ) ( ) − + + ′ + =′ 224 2424 cos3sin2 cos3sin2sincos2 xx xxxx y ( )( ) ( ) = + ′ ++ − 224 2424 cos3sin2 cos3sin2sincos2 xx xxxx ( )( ) ( ) − + +⋅+⋅− = 224 243 cos3sin2 cos3sin2cossin2sincos8 xx xxxxxx ( )( ) ( )224 324 cos3sin2 sincos6cossin8sincos2 xx xxxxxx + ⋅−+ − Знаменатель дробей не влияет на исследование функции у, т.к. не может обращаться в 0 и не может быть отрицательным. ( )( )xxxxxx 243 cos3sin2cossin2sincos8 +⋅+⋅− – – ( )( )xxxxxx sincos6cossin8sincos2 324 ⋅−⋅+ = = sinx · cosx(2 – 8cos2 x)(2sin4 x + 3cos2 x) – cosx·sinx(8sin2 x–6)(2cos4 x+3sin2 x) = = sin2x(1 – 4cos2 x)(2sin4 x + 3cos2 x) – sin2x(4sin2 x – 3) (2sin4 x + 3cos2 x) = =sin2x(2sin4 x+3cos2 x–8sin4 x·cos2 x–12cos4 x–8sin2 x·cos4 x–4sin4 x+6cos4 x+3sin2 x) = =sin2x(–2sin4 x–6cos4 x+3–8sin2 x·cos4 x–8sin4 x·cos2 x)=sin2x(–2sin4 x–6cos4 x+3 – – 8sin2 x · cos2 x(cos2 x + sin2 x))2 =sin2x(–2sin4 x – 6cos4 x + 3 – 2sin2 x) Отсюда получаем максимальное значение 3 2 и минимальное значение 15 7 . www.5balls.ru
- 298.