cfasf

1. PENGANTAR DASAR
MATEMATIKA
Lambertus
Ld Ahmad Jazuli

2. Pendahuluan
Bila dilihat sejarahnya, definisi tentang
matematika telah berkembang jauh,
seiring perkembangan penggunaan
matematika dalam peradaban manusia.
Diantaranya:
- matematika adalah ”ilmu tentang
bilangan”,
- Matematika adalah ilmu tentang
pengukuran,
- matematika adalah ”ilmu yang
mempelajari tentang tentang bangun-

3.  Bila ditinjau secara filsafat,
matematika memiliki cabang filsafat
tersediri yang berbeda dengan filsafat
ilmu. Oleh karena itu banyak yang
tidak setuju bahwa matematika
dimasukkan dalam kategori ”ilmu”.
Akibatnya, kata ”ilmu matematika”
tidak pernah kita jumpai. Namanya
cukup ”matematika” tanpa didahului
dengan kata ”ilmu”.

4. Pengertian Matematika
 Kurikulum 2006:“Matematika merupakan ilmu
universal yang mendasari perkembangan teknologi
modern, mempunyai peran penting dalam berbagai
disiplin dan memajukan daya pikir manusia.
Perkembangan pesat di bidang teknologi informasi dan
komunikasi dewasa ini dilandasi oleh perkembangan
matematika di bidang teori bilangan, aljabar, analisis,
teori peluang, dan diskrit. Untuk mengusai dan
menciptakan teknologi di masa depan diperlukan
penguasaan matematika yang kuat sejak dini.”
 Johnson dan Rising (1972):“Matematika adalah pola
berpikir, pola mengorganisasikan, pembuktian yang
logik, matematika itu adalah bahasa yang
menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat,
jelas, dan akurat, representasinya dengan simbol dan
padat, lebih berupa bahasa simbol mengenai ide
daripada mengenai bunyi.”

5. Pengertian Matematika
 Suherman (2003):“Matematika adalah
disiplin ilmu tentang tata cara berfikir dan
mengolah logika, baik secara kuantitatif
maupun secara kualitatif.”
 Abdurrahman (2002) :“Matematika adalah
bahasa simbolis yang fungsi praktisnya untuk
mengekspresikan hubungan-hubungan
kuantitatif dan keruangan sedangkan fungsi
teoritisnya adalah untuk memudahkan
berfikir.”
 Andi Hakim Nasution:
“Matematika adalah ilmu struktur, urutan
(order), dan hubungan yang meliputi dasar-
dasar perhitungan, pengukuran, dan

6. Pengertian Matematika
 H.W Fowler (The Liang Gie, 1999),
”Mathematics is the abstract science of space
and number”,
 Marshaal Walker “Mathematics may be
defined as the study of abstract structures
and their interrelations”.
 Dienes (Herman Hudoyo, 1988), matematika
sebagai studi tentang struktur,
pengklasifikasian struktur, dan
pengkategorisasian hubungan-hubungan
diantara struktur
 The Liang Gie berhasil mengumpulkan lebih
dari 127 definisi berbeda tentang
matematika, tetapi tidak ada satu definisipun
yang bisa disepakati oleh semua pihak.

7. Berdasarkan definisi-definisi yang ada,
Soedjadi dan Masriyah (1994) menarik
empat ciri pokok:
1) matematika memiliki objek kajian yang
abstrak,
2) matematika mendasarkan diri pada
kesepakatan-kesepakatan,
3) matematika sepenuhnya menggunakan
pola pikir deduktif, dan
4) matematika dijiwai dengan kebenaran
konsisten yaitu kebenaran yang
didahului oleh kebenaran-kebenaran
sebelumnya.

8. Misalnya “bilangan dua”.
Mata kita dua,
Telinga kita dua,
Roda sepeda kita dua,
Lalu, apakah bilangan dua itu?
Jelas, bilangan dua adalah objek
abstrak dan ”2” disepakati merupakan
lambang atau simbol dari “dua”.

9. Apakah “titik” itu?
Titik tidak bisa didefinisikan, titik juga
objek abstrak dalam
matematika/geometri.
Hall dan Stevens (1919) “A point is a
position. It has no size, length, width, or
thickness, and it is infinitely small.” Jadi
titik tidak bisa digambar (sebab: point is
infinitely small)

10.  Perhatikan lambang atau simbol-
simbol berikut: ”=”, ”2”, “”, atau ”Δ”.
Simbol-simbol tersebut merupakan
kesepakatan-kesepakatan dalam
matematika.
 Jika suatu definisi sudah diterima,
maka definisi tersebut merupakan
kesepakatan yang akan diterima.

11.  Matematika, berpola pikir deduktif.
Artinya, pola pikir matematika berangkat
dari hal yang umum, menuju ke hal-hal
yang khusus.
 Sistem deduktif dalam matematika,
dikenal 2 istilah penting, yaitu istilah
”PENGERTIAN” dan istilah
”PERNYATAAN.
 Pengertian dibedakan atas 2 hal, yaitu
Pengertian Pangkal dan Pengertian
Bukan Pangkal.

12.  Pengertian pangkal adalah unsur atau
elemen dalam matematika yang harus
kita terima sebagai fakta tanpa harus
didefinisikan (undefined terms).
 Contoh pengertian pangkal adalah:
pengertian bilangan DUA, pengertian
TITIK, pengertian GARIS, pengertian
BIDANG, dan sebagainya. Jadi, TITIK
cukup digambar dan tidak perlu
didefinisikan.

13.  Dapatkah kita mendefinisikan TITIK
sebagai: ”Titik adalah sesuatu yang
tidak punya panjang, tidak punya
lebar, tidak punya ketebalan, dan kecil
tak berhingga”?
 Lalu, jika definisi itu kita terima,
pastilah akan muncul pertanyaan baru
lagi. Apakah SESUATU itu?
 Bagaimana menggambar titik jika
tidak memiliki panjang, lebar, maupun

14.  TITIK memang objek abstrak dalam
matematika sehingga seharusnya
memang tidak bisa digambar.
 Jadi, konsep tentang titik, garis, atau
bidang haruslah kita terima sebagai
sebuah fakta dalam matematika.
 Pengertian pangkal amat diperlukan
agar tidak terjadi ”berputar-putar
dalam dalam pendefinisian”.

15. Contoh dari lingkaran definisi misalnya :
1. Titik adalah perpotongan dua garis
Garis adalah penghubung dua titik
2. Sudut siku-siku adalah sudut yang
tidak lancip
Sudut lancip adalah sudut yang tidak
siku-siku

16. Definisi
Pengertian bukan Pangkal dalam
matematika, dikenal sebagai definisi.
 Definisi adalah ungkapan yang
diperlukan untuk membatasi suatu
konsep.
 Contoh definisi: Trapesium adalah
segiempat yang mempunyai tepat
sepasang sisi sejajar.
 Jadi trapesium merupakan salah satu
term/istilah dalam matematika yang perlu
dan dapat didefinisikan (defined terms).
 Definisi dalam matematika amat
dibutuhkan, untuk menghindari dari
peristiwa ”berputar-putar dalam

17. Definisi dibedakan atas 3 jenis:
1) Definisi Analitik, yaitu definisi yang
menyebutkan genus proksimum dan
diferensia spesifika.
Contoh:`
 Persegipanjang adalah jajarjenjang yang
salah satu sudutnya 90°.
 Genus proksimum (keluarga terdekat):
Jajargenjang. Diferensia spesifika
(perbedaan yang spesifik): Salah satu
sudutnya 90°.

18. 2) Definisi Genetik, yaitu definisi yang
menunjukkan/mengungkapkan cara
terjadinya atau terbentuknya konsep yang
didefinisikan.
Contoh:
 layang-layang ialah bangun segiempat yang
terjadi jika dua segitiga samakaki dengan
alas kongruen diimpitkan alasnya
 Jaring-jaring limas adalah bangun yg terjadi
bila suatu limas dipotong menurut rusuk-
rusuk tegaknya dan bidang-bidang sisi
tegaknya direbahkan ke arah luar sampai ke
bidang yang memuat bidang alasnya.

19. 3) Definisi dalam bentuk rumus,
dinyatakan dalam notasi-notasi
matematika.
Contoh:
Definisi n faktorial yang langsung ditulis:
n! = n(n – 1)! dilengkapi dengan 0! = 1!
= 1.

20. Unsur-unsur Definisi
Unsur-unsur definisi adalah
(1) latar belakang, (2) genus, (3) istilah
(konsep yang didefinisikan), dan (4) atribut.
Contoh:
 Segitiga samasisi adalah bangun datar
berbentuk segitiga yang ketiga sisinya
sama panjang.
Latar belakangnya: bangun datar,
genusnya: segitiga, konsep yang
didefinisikan: segitiga samasisi, atributnya:
ketiga sisinya sama panjang.

21. Contoh definisi
Jajargenjang dapat didefinisikan sebagai
berikut:
(1) jajargenjang ialah segiempat yang dua
pasang sisi yang berhadapan sejajar;
(2) jajargenjang ialah segiempat yang dua
pasang sisi yang berhadapan sama
panjang; dan
(3) jajargenjang ialah segiempat yang sepasang
sisi yang berhadapan sejajar dan sama
panjang.
Ketiga definisi jajargenjang di atas adalah
sama, dan menurut Soedjadi (2000) ketiga
definisi itu mempunyai ekstensi (jangkauan)
yang sama, dan dua atau lebih definisi yang
memiliki ekstensi sama disebut definisi yang

22. definisi
Suatu definisi harus dapat dinyatakan dalam bentuk
kalimat yang memuat “bila dan hanya bila” atau
“reversible” (dapat dibalik).
Misalnya : Suatu segitiga samasisi adalah suatu
segitiga yang ketiga sisinya sama panjang.
Ini harus berarti :
Jika suatu segitiga samasisi, maka ketiga sisinya
sama panjang.
Jika suatu segitiga sisinya sama panjang, maka
segitiga itu samasisi.
Sehingga dapat dikatakan :
Suatu segitiga disebut samasisi bila dan hanya bila
ketiga sisinya sama panjang.

23. Pernyataan
 Pernyataan Pangkal disebut juga
dengan AKSIOMA, yakni pernyataan
yang kebenarannya tanpa bukti.
 Kebenarannya, langsung kita terima
saja.
Contoh aksioma adalah:
Melalui 2 buah titik hanya dapat dibuat
tepat sebuah garis.

24. Aksioma dibedakan atas 2 jenis, yaitu:
1. Pernyataan benar yang diterima
sebagai kebenaran tanpa bukti (self
evident truth).
Contoh:
 Melalui dua buah titik dapat dibuat tepat
sebuah garis.
2. Pernyataan yang disepakati
kebenarannya dan dapat menghasilkan
pernyataan-pernyatan lain yang benar
secara logik (non self evident truth).

25. Contoh:
Suatu himpunan tak kosong G dengan
operasi biner “ ” disebut Grup jika dan
hanya jika memenuhi aksioma-aksioma
berikut ini.
1) Tertutup, ( a, b G)( ! c G) a b = c.
2) Asosiatif, ( a, b, c G) (a b) c = a (b c).
3) Ada elemen identitas (ditulis dengan e),
( e G) ( a G) e a = a e = a.
1) Tiap elemen G memiliki invers dalam G,
( a G)( a¯¹ G) a¯¹ a = a a¯¹ = e.

26. Sebagai suatu sistem, kumpulan
aksioma harus:
1) Konsisten,
2) Independen,
3) Lengkap,
4) Ekonomis,

27.  Suatu sistem aksioma dikatakan "konsisten" bila
pernyataan-pernyataan dalam kumpulan aksioma itu
tidak kontradiktif. Non-kontradiktif itu bukan hanya
dalam makna pernyataannya saja, tetapi juga dalam
hal istilah serta simbol yang digunakan.
Contoh: Perhatikan contoh berikut ini.
 Aksioma 1: 2 * 6 = 4
 Aksioma 2: 4 * 1 = 1
 Aksioma 3: Jumlah dua hal yang sama akan
menghasilkan sesuatu yang sama
 Aksioma 4: (2 * 6) * (4 * 1) = 5
Keempat aksioma tersebut tidak konsisten, sebab
berdasarkan aksioma 1, 2, dan 3 didapat: (2 * 6) * (4 * 1)
= 4 * 1 = 1 yang bertentangan dengan aksioma 4.

28.  Suatu sistem aksioma dikatakan “independen”
bila masing-masing pernyataan dalam kumpulan
aksioma itu tidak saling bergantung, artinya
pernyataan atau aksioma yang satu harus tidak
diturunkan atau diperoleh dari aksioma-aksioma
yang lain.
Contoh
Aksioma 1: Jumlah dua bilangan genap adalah
bilangan genap.
Aksioma 2: Jumlah dua bilangan gasal adalah
bilangan genap.
Aksioma 3: 1 + 7 = 8
Sistem aksioma tersebut tidak “independen”, sebab
aksioma 3 dapat diturunkan dari aksioma 2.

29.  Suatu sistem aksioma dikatakan
"lengkap" bila setiap pernyataan yang
diturunkan dari sistem itu dapat
dibuktikan kebenaran atau
kesalahannya.
 Bila aksioma dalam suatu sistem
aksiomatik tidak lengkap, maka tidak
dapat diperoleh teorema-teorema.
Misal salah satu aksioma dalam geometri
Euclides dihilangkan, maka tidak akan
diperoleh teorema-teorema dalam sistem
tersebut.

30.  Suatu sistem aksioma dikatakan “ekonomis" bila
simbol-simbol atau istilah-istilah yang digunakan
tidak berlebihan (tidak redundan). selain itu juga
pernyataan dalam kumpulan aksioma itu tidak ada
yang memiliki makna sama.
Contoh
Aksioma 1: 2 * 6 = 4
Aksioma 2: 4 * 1 = 1
Aksioma 3: Jumlah dua hal yang sama akan
menghasilkan sesuatu yang sama.
Aksioma 4: (2 * 6) * (4 * 1) = 1
Keempat aksioma tersebut bersifat redundan atau
tidak ekonomis sebab (2 * 6) * (4 * 1) = 4 * 1 = 1
Diskusi Perlukah aksioma 4?

31.  Aksioma diperlukan dalam suatu
struktur matematika agar dapat
dihindarkan “berputar-putar dalam
pembuktian" atau “circulus in
probando".
 Sedangkan pengertian pangkal (unsur
primitif) dalam suatu struktur
matematika perlu untuk
menghindarkan “berputar-putar dalam
pendefinisian" atau “circulus in
definiendo".

32. Pernyataan Bukan Pangkal
 Disebut juga teorema, dalil, rumus,
atau sifat.
 Kebenaran sebuah teorema atau
sebuah sifat, haruslah dibuktikan.
 Selain teorema, dalam pernyatan
bukan pangkal ini juga dikenal dengan
istilah Lema (lemma), dan Teorema
Akibat (corollary)

33.  Ciri matematika yang lainnya adalah
matematika dijiwai dengan kebenaran
konsisten yaitu kebenaran yang didahului
oleh kebenaran-kebenaran sebelumnya.
 Dengan ciri ini, maka bukti deduktif dalam
matematika harus urut.
 Teorema 3 harus dibuktikan dengan
menggunakan teorema-teorema atau
aksioma-aksioma, atau definisi sebelumnya.
 Berarti, untuk membuktikan Teorema 3, tidak
boleh menggunakan Teorema 4 atau 5.
 Ketika membuktikan Teorema 3, kebenaran
Teorema 1 dan 2 harus sudah terbukti.

34.  Lema: adalah teorema yang
pemakaiannya amat terbatas.
Biasanya dimunculkan hanya untuk
keperluan terbatas, yakni untuk
membuktikan suatu teorema tertentu.
Contoh: Handshaking Lemma
 In a graph, the sum of the degrees of
the vertices is twice the number of
edges.

35. Corollari: suatu teorema yang muncul
sebagai akibat dari teorema
sebelumnya.
Contoh:
In a graph, the number of vertices of odd
degree is even.

36. Objek Matematika
 Objek matematika ada dua, yaitu
objek langsung dan objek tak
langsung.
 Objek langsung (objek dasar
matematika): fakta, konsep, prinsip,
dan algoritma.

37. Objek Matematika
 Fakta, adalah segala sesuatu yang telah
disepakati, dia dapat berupa simbol atau
lambang dan dapat pula berupa kata-kata.
Misalnya: 2, =, >, +, dan sebagainya.
 Konsep adalah ide abstrak yang dapat
digunakan untuk mengadakan
klasifikasi/penggolongan terhadap objek.
 Prinsip merupakan hubungan fungsional dari
konsep-konsep. Salah satu wujud prinsip,
adalah teorema.
 Algoritma merupakan prosedur yang mesti
dijalankan, guna menyelesaikan suatu
masalah/ persoalan matematika

38.  Suatu konsep dapat dibentuk melalui
suatu abstraksi.
 Sebagai contoh sederhana dalam
kehidupan sehari-hari kita dapat
mengatakan bahwa sepeda, kereta api,
mobil, becak adalah kendaraan. Tetapi
rumah, pohon, batu bukan kendaraan.
Ini berarti “kendaraan" adalah suatu
konsep.
 Konsep kendaraan itu dapat saja
dipandang sebagai suatu abstraksi dari
beberapa kendaraan khusus tertentu.

39. Pembentukan suatu konsep bisa melalui
:
(1) abstraksi, misalnya : pembentukan
bilangan melalui dua kali abstraksi,
(2) Idelisasi, misalnya : “kerataan" suatu
bidang dan "kelurusan" suatu garis,
(3) abstraksi dan idealisasi, misalnya :
“kubus", “kerucut", dan
(4) penambahan syarat pada konsep
terdahulu, misalnya: “belahketupat"
dari “jajargenjang"

40. Objek Matematika
Objek tak langsung matematika
(1) kemampuan membuktikan teorema (theorem
proving),
(2) kemampuan memecahkan masalah (problem
solving),
(3) kemampuan untuk menularkan cara belajar
matematika yang dapat ditranfer ke pelajaran
yang lain (transfer of learning),
(4) kemampuan untuk mengembangkan intelektual
melalui belajar matematika (intellectual
development),
(5) kemampuan bekerja secara individu (working
individually),
(6) kemampuan bekerja dalam kelompok (working
in group),
(7) memiliki sikap positif (positive attitudes).

41. Dalam penyajian objek matematika,
digunakan:
 Relasi merupakan suatu aturan untuk
mengawankan anggota suatu himpunan
dengan anggota himpunan lain, yang
dapat sama dengan himpuan semula.
 Operasi adalah aturan untuk
mendapatkan elemen tunggal dari satu
atau lebih elemen yang diketahui.
Elemen yang diketahui disebut elemen
yang dioperasikan.

42. Operasi
 Jika suatu operasi memerlukan 2
buah elemen untuk pemberlakuannya,
operasi tersebut dinamakan operasi
biner.
 Suatu operasi yang hanya
memerlukan satu elemen untuk
memberlakukannya disebut operasi
uner,

43. POLA PIKIR DALAM
MATEMATIKA
 Matematika disusun berdasarkan pola
berpikir deduktif, tetapi matematika
terbentuk atau berkembang dari pola
pikir induktif atau deduktif.
 Artinya, sifat-sifat dalam matematika
ada yang diketemukan berdasarkan
kenyataan di lapangan, ada pula yang
diketemukan berdasar pola pikir
manusia.

44. Sifat abstrak dalam
Matematika
 "bilangan" adalah abstrak, sedang yang
kita tulis adalah lambangnya atau
simbolnya.
 Lambang-Iambang yang digunakan
termasuk dalam "fakta".
 “Garis lurus" adalah abstrak.
Sebenarnya tidak pernah dijumpai garis
lurus seperti yang dibicarakan dalam
matematika. Yang digambar dengan
penggaris, misalnya, adalah gambaran
garis lurus.
 Karena sifat matematika yang abstrak
itulah, maka diperlukan peragaan-
peragaan untuk mempermudah