Конспект

1. Биографические сведения
АРИСТОТЕЛЬ (348-322 гг до н. э.) -основоположниклогики. Написалкниги «Категории», «Перваяаналитика»,«Втораяаналитика».
(Исследовалразличныеформырассуждений,ввелпонятиесиллогизма.)
Аристотель родился в городе Стагира на фракийском побережье полуострова Хальки-дика.
Его отец был врачом и другом македонского царя Аминта II. Аристотель рос и
учился вместе с сыном Аминта — будущим царем Филиппом II Македонским, и на протяжении
всей жизни его судьба была тесно связана с македонским царским домом. В возрасте 18 лет
Аристотель отправился в Афины к великому мыслителю Платону и провел в его
школе около 20 лет. Он был самым выдающимся из учеников Платона, глубоко ус-
воившим его знания и идеи, но далеко не всегда согласным со своим учителем. В 343 г. до н. э.
царь Филипп приглашает друга своей юности, ставшего тем временем величайшим
ученым, быть наставником своего сына Александра. Когда через несколько лет Александр
сам становится царем, знаменитым Александром Македонским, Аристотель
возвращается в Афины и собирает вокруг себя учащуюся молодежь, которой читает курсы
различных наук. В 323 г. до н. э. умер Александр Македонский, и в Афинах победила
антимакедонская партия.Аристотель,какдругиучитель Александра, должен был покинуть Афины.Годспустя он умер на острове Евбея.
Г.В.ЛЕЙБНИЦ (1646-1716)
Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в г. Лейпциге (Саксония). Его отец был профессором этики, а дед — профессором права
Лейпцигского университета. Обширная до- машняя библиотека позволила способному
юноше параллельно с гимназическим образова- нием получить глубокие познания как в
классической, так и современной науке. В 1661 г. Лейбниц становится студентом и изучает
философию, юриспруденцию и математику в университетах Лейпцига, Иены и
Альтдорфа. В 1666 г. он защищает сразу две диссертации на звание доцента — по
юриспруденции и математике. Затем Лейбниц служит при дворах немецких князей в
качестве юриста, находится на дипломатической работе. С 1676 г. и до
самой смерти Лейбниц состоял советником и библиотекарем при дворе ганноверского
герцога. На протяжении этих 40 лет Лейбниц вел научные исследования, публиковал
научные труды, поддерживал переписку со всеми ведущими учеными эпохи.
Лейбниц был универсальным ученым, внесшим существенный клад вфилософию,
юриспруденцию,
историю, физику и математику. Он является одним из создателей дифференциального и
интегральногоисчислений,комбинаторики, теории определителей. Значительна и научно-организаторская деятельность Лейбница —
он был одним из основателей Прусской академии наук в Берлине. Вклад в логику - предложил использовать в логике
математическую символику и впервые высказал мысль о возможности применения в ней двоичной системы счисления.
ДЖ. БУЛЬ (1815-1864)
Джордж Буль родился в Линкольне (Англия) в семье мелкого торговца. Материальное
положение его родителей было тяжелым, поэтому Джордж смог закончить только начальную
школу для детей бедняков; в других учебных за- ведениях он не учился. Этим, может быть, отчасти и
объясняется, что, не связанный традициями, он пошел в науке своим оригинальным путем.
Мальчиком Буль самостоятельно изучил латынь, древнегреческий, немецкий и французский языки,
прочел основные философские трактаты. С ранних лет начался трудовой путь Буля — он искал
работу, дающую какой-то заработок и в то же время оставляющую возможности для дальнейшего
самообразования. После многих неудачных попыток Булю удалось открыть маленькую
элементарную школу, в которой он преподавал сам. Школьные учебники по математике привели его в
ужас своей нестрогостью и нелогичностью. Буль вынужден был обратиться к сочинениям классиков
науки и самостоятельно проштудировать обширные труды Лапласа и Лагранжа.
В связи с этими занятиями у него появились первые самостоятельные идеи. Результаты своих исследований Буль сообщал в
письмах профессорам математики (Д. Грегори, А. де Моргану) знаменитого Кембриджского университета и вскоре получил
известность как оригинально мыслящий математик. В 1849 г. в г. Корк (Ирландия) открылось новое высшее учебное заведение
— Куинз колледж. По рекомендации коллег-математиков Буль получил здесь профессуру, которую сохранил до своей смерти в 1864 г.
Только здесь он имел возможность не только обеспечить старость родителей, но и спокойно, без мыслей о хлебе насущном, заниматься
наукой. Здесь же он женился на дочери профессора греческого языка Мери Эверест, которая не только много помогала Булю в
работе, но и оставила после его смерти интересные воспоминания о своем муже; она стала матерью четырех дочерей Буля, одна из
которых—ЭтельЛилианБуль, в замужестве Войнич, — автор популярного в нашей стране романа«Овод».
Вклад в логику - 1847 г. – Джордж Буль в работе «Математический анализ логики» изложил основы булевой алгебры.
Разработал алфавит, орфографию и грамматику.
К.ШЕННОН
Клод Эльвуд Шеннон окончил в середине 30-х гг. Мичиганский университет, защитив
там два диплома бакалавра — по электротехнике и по математике. Получив работу в
Массачусетском технологическом институте, он, желая подработать, выполнял обя-
занности оператора «диффе- ренциального анализатора» — механического
вычислительного устройства, решающего сложные дифференциальные уравнения.
Главный недостаток этого механизма состоял в том, что расчеты проводились в десятичной
системе счисления; чтобы поставить машине задачу, оператор, пачкаясь в машинном
масле, несколько дней вручную подбирал положения шестереночных передач.
Шеннон решил усовершенствовать «дифференциальный анализатор», заменив
шестеренки и валики электрическими схемами. В своей докторской диссертации, опубли-
кованной в 1938 г., Шеннон изложил свои идеи о применении алгебры логики в электри-
ческих цепях. Данная работа считается поворотным пунктом в развитии вычислительной техники. 1938 г. – американский
математик и инженер Клод Шеннон связал Булеву алгебру (аппарат математической логики), двоичную
систему кодирования и релейно-контактные переключательные схемы, заложив основы будущих ЭВМ.

2. ТЕМА «АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ»
1. Что такое логика? Формальная логика. Математическая логика.
2. Этапы развития логики.
3. Применение математической логики.
4. Алгебра высказываний. Простые и сложные высказывания.
5. Основные операции алгебры высказываний.
1. Что такое логика? Формальная логика. Математическая логика.
LOGOS (греч.)- слово, понятие, рассуждение, разум. Слово «логика» обозначает совокупность правил, которым
подчиняется процесс мышления. Основными формами абстрактного мышления являются: понятия, суждения,
умозаключения. Понятие - форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или
класса однородных предметов. (трапеция, дом) Суждение - мысль, в которой что-либо утверждается или отрицается о
предметах. (Весна наступила, и грачи прилетели) Умозаключение - прием мышления, посредством которого из исходного
знания получается новое знание. (Все металлы - простые вещества). Логика (формальная) - наука о законах и формах
правильного мышления. Математическая логика - изучает логические связи и отношения, лежащие в основе логического
(дедуктивного) вывода.
2. Этапы развития логики.
I. АРИСТОТЕЛЬ (384-322 гг. до н.э.) - ОСНОВОПОЛОЖНИК ЛОГИКИАРИСТОТЕЛЬ (384-322 гг. до н.э.) - ОСНОВОПОЛОЖНИК ЛОГИКИ
Силлогизм - рассуждение, в котором из заданных двух суждений выводится третье.
1.1. Все млекопитающие имеют скелет. Все киты - млекопитающие. Следовательно, все киты имеют скелет.Все млекопитающие имеют скелет. Все киты - млекопитающие. Следовательно, все киты имеют скелет.
2. Все квадраты - ромбы. Все ромбы - параллелеграммы. Следовательно, все квадраты - параллелограммы.2. Все квадраты - ромбы. Все ромбы - параллелеграммы. Следовательно, все квадраты - параллелограммы.
Аристотель выделил все правильные формы силлогизмов, которые можно составить из рассуждений вида:Аристотель выделил все правильные формы силлогизмов, которые можно составить из рассуждений вида:
«Все А суть В»; «Некоторые А суть В»; «Все А не суть В»; «Некоторые А не суть В»«Все А суть В»; «Некоторые А суть В»; «Все А не суть В»; «Некоторые А не суть В»
Логика, основанная на теории силлогизмов называется классической.
II. Декарт Рене (1596-1650, фр. философ, математик).Декарт Рене (1596-1650, фр. философ, математик). Рекомендовал в логике использовать математические методы.Рекомендовал в логике использовать математические методы.
III. Лейбниц Г.В. (1646-1716, нем. ученый и математик) -Лейбниц Г.В. (1646-1716, нем. ученый и математик) - ggредложил использовать в логике математическую символику иредложил использовать в логике математическую символику и
впервые высказал мысль о возможности применения в ней двоичной системы счисления.впервые высказал мысль о возможности применения в ней двоичной системы счисления.
IV. Джордж Буль (1815-1864, анл.) - основоположник мат. логики.Джордж Буль (1815-1864, анл.) - основоположник мат. логики. 1847 г. – Джордж Буль в работе «Математический анализ
логики» изложил основы булевой алгебры. Разработал алфавит, орфографию и грамматику.Разработал алфавит, орфографию и грамматику.
V. ВКЛАД В СТАНОВЛЕНИЕ И РАЗВИТИЕ МАТ. ЛОГИКИ: АВКЛАД В СТАНОВЛЕНИЕ И РАЗВИТИЕ МАТ. ЛОГИКИ: Аугустус де Морган (1806 - 1871); Уильям Стенлиугустус де Морган (1806 - 1871); Уильям Стенли
Джевонс (1835 - 1882); Платон Сергеевич Порецкий (1846-1907); Чарлз Сандерс Пирс (1839-1914)Джевонс (1835 - 1882); Платон Сергеевич Порецкий (1846-1907); Чарлз Сандерс Пирс (1839-1914)
4. Алгебра высказываний. Простые и сложные высказывания.
Алгебра высказываний - раздел математической логики, изучающий высказывания и логические операции над ними.
Высказывание - это повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно.
Высказываниями не являются: 1) восклицательные и вопросительные предложения. 2) определения.
3) предложения типа: «он сероглаз»; «x2
-4x+3=0».
Высказывание, которое можно разложить на части, будем называть сложным, а неразложимое далее высказывание -
простым.
Логическая операция Обозначения Эквивалент в русском языке
Инверсия (логическое отрицание) НЕ, NOT, ¬, a не; неверно, что ...
Конъюнкция (логическое умножение) И, AND, ∧, &, • , ∩ И А НО
Дизъюнкция (логическое сложение) ИЛИ, OR, ∨, +, , ∪ Или; Либо…, либо … Или…, или…
Импликация (логическое следование) →, ⇒, ⊃ если ..., то ...; из ... следует ...; ... достаточно для ...;
для...,необходимо...
Эквиваленция (логическое равенство) ↔, ⇔, ≡, ∼ ... если и только если ...; ... тогда и только тогда,
когда ...;
… в том и только в том случае, когда ...; необходимои
достаточно
Высказывания. Простые и сложные высказывания.
1. Какие предложения являются высказываниями?
а) 3+2=5; б) Не шуметь! в) y2
≥ 0; г) Окружностью называется множество всех точек на плоскости, расстояние которых до
данной точки этой плоскости имеет заданную величину.
д) Число символов в этом предложении равно 7. е) 3 < 2; ж) Войдите!
2. Установите: какие из следующих предложений являются истинными, а какие - ложными высказываниями: а) “Число 123 меньше числа
-124”. б) “Все треугольники равнобедренные”. в) “Сумма чисел 4 и z равна 15”. г) “(13-2*4)*4=-7”.
3. Даны высказывания: A: “Математическая логика - важная наука”; B: “ВТ построена на законах математической логики”.
Образуйте из данных высказываний сложные и подчеркните слова, при помощи которых они образованы.
4. Среди приведенных ниже высказываний укажите сложные; выделите в них простые, обозначив каждое из них буквой. Запишите с
помощью букв каждое сложное высказывание.

3. а) “На уроке логики учащиеся отвечали на вопросы учителя и писали самостоятельную работу”. б) “Мы пойдем кататься на коньках или
на лыжах”. в) “Если в данном четырехугольнике диагонали имеют равную длину, то этот четырехугольник - ромб”.
г) “-17<=0”. д) “Число 15 делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр этого числа делится на 3”.
Основные операции алгебры логики.
1. Даны простые высказывания: А: “Петя умеет плавать”; В: “Сергей умеет прыгать”; С: “Алеша умеет стрелять”. Даны формулы
сложных высказываний, составленные из этих простых. Прочтите их, используя смысл каждого простого высказывания:
1. А+В C 2. A  В C 3. А В C
4. А  B  С 5. А C  B 6. À B C⋅ ⋅
2. Даны простые высказывания: А: “Данное число не кратное 3”; В: “Данное число больше 50”
Прочтите сложные высказывания: 1). А B 2). ÀB 3). A  B
3. Прочтите формулы: а). (A→D) ∧ B б). С ∨ А ∧ D в). D ∧ (B↔( A  C))
4. В состав истинного логического произведения входят три простых высказывания - A,B,C. известно, что A и B - истинны. Может ли
высказывание C быть одним из следующих:
а) “Дважды два равно семи”. б) “Слоны живут в Африке и Индии”. в) “5x + 3 = 11x”.
5. Дано высказывание: “Иванов является членом сборной команды “Алгоритм”. Какое из следующих высказываний есть логическим
отрицанием данного?
а). Не Иванов является членом сборной команды “Алгоритм”.
б). Иванов является членом сборной команды не “Алгоритм”.
в). Иванов не является членом сборной команды “Алгоритм”.
г). Неверно, что Иванов является членом сборной команды “Алгоритм”.
6. Определите значения истинности высказываний:
а). “Если 16 делится на 4, то 16 делится на 2” ж). “Если телепатия существует, то некоторые
физические законы требуют пересмотра”
б). “Если 17 делится на 4, то 17 делится на 2” з). “16 делится на 4 тогда и только тогда,
когда 16 делится на 2”
в). “Если 18 делится на 4, то 18 делится на 2” и). “17 делится на 4 тогда и только тогда,
когда 17 делится на 2”
г). “Если 18 делится на 2, то 18 делится на 4” к). “18 делится на 4 тогда и только тогда,
когда 18 делится на 2”
д). “Если 2⋅2=5, то 83
≠500” л). “15 делится на 5 тогда и только тогда,
когда 15 делится на 10”
е). “Если 2⋅2=4, то 72
=81”
Домашнее задание.
1. Выучить конспект. Подготовиться к тестированию.
2. Знать ответы на вопросы: основные формы абстрактного мышления, что изучает формальная логика; что изучает
математическая логика; изложите основные этапы развития логики; области применения математической логики; что
такое высказывание; какие высказывания бывают; какие высказывания называются простыми, а какие – сложными; что
не является высказыванием; основные логические операции и их свойства; приоритет логических операций.