обратный операто1

1. Обратный оператор.
Пусть линейный оператор A отображает линейную систему E в линейную систему F. Если
оператор A обладает тем свойством, что Ax=0 только при x=0, то каждому yR(A)
оператора A соответствует только один элемент x для которого y=Ax (решение уравнения
y=Ax единственно) Это соответствие можно рассматривать как оператор B определенный
на R(A) со значениями, заполняющими E. Оператор B – линейный. По определению
BAx=x, поэтому оператор B называется левым обратным к A.
Если R(A)=F, т.е. оператор A устанавливает взаимно однозначное соответствие между E и
F, то оператор B определен на всем F, называется просто обратным оператором к A и
обозначается через A-1
. По определению
A-1
Ax = x (xE) AA’y = y (yF)
Принцип открытости отображения: при непрерывном линейном отображении банахова
пространства E на банахово пространство F образ каждого открытого множества есть
снова открытое множество.
Следствие.
Если линейный ограниченный оператор A, отображающий банахово пространство E на
все банахово пространство F, имеет обратный A-1
, то оператор A-1
ограничен (Банах).
Эти утверждения перестают быть верными, если отказаться от полноты одного из
пространств.
Теорема об обратном операторе, другими словами, означает, что из существования и
единственности решения уравнения Ax = y при всякой первой части из F следует
непрерывная зависимость решения x = A-1
y от правой части y.