happy read! don't forget to follow my twitter ( @ikaoika10 ) https://twitter.com/ikaoika10

1. BAB I
BARISAN DAN DERET
1.1. Barisan dan Limit Barisan
Barisan (sequence) pada himpunan S adalah suatu fungsi dengan domain ℕ dan
mempunyai range dalam S. Pada subbab ini akan dibahas mengenai barisan di ℝ
dan konvergensi dari suatu barisan.
Definisi 1.1.1. Barisan bilangan real adalah suatu
fungsi yang didefinisikan pada
himpunan ℕ dengan range dalam ℝ .
Dengan kata lain, barisan dalam ℝ mengawankan setiap bilangan asli
n 1, 2,3,... kepada suatu bilangan real. Jika X :ℕ ℝ merupakan barisan, maka
biasanya dituliskan dengan nilai dari X pada n dengan notasi xn . Barisan sering
dinotasikan dengan X atau x n atau xn: n ℕ atau x n atau x n n 1
. Apabila
diketahui suatu barisan Y, artinya Y yk .
Contoh 1.1.2.
n n
(a) Barisan x n dengan x n 1 adalah barisan 1,1, 1,1, 1,1,..., 1 ,... .
1

2. 1 1 1 1 1 1
(b) Barisan x n dengan x n n
, n
:n , , ,..., n ,... .
2 2 2 4 8 2
(c) Barisan konstan k n dengan k n 3 adalah 3,3,3,3,.... .
n 1 2 3 n
(d) Barisan , , ,..., ,... .
n 1 2 3 4 n 1
Definisi 1.1.3. Diberikan barisan bilangan real x n dan y n , dan
ℝ. Maka dapat didefinisikan
(i) x n yn xn yn
(ii) xn xn
(iii) x n . y n xn .yn
xn xn
(iv) , asalkan y n 0
yn yn
Definisi 1.1.4. (Limit Barisan) Diketahui x n barisan bilangan real.
Suatu bilangan real x dikatakan limit barisan x n jika untuk setiap
0 terdapat K N sedemikian hingga untuk setiap n
dengan n berlaku x n x .
Jika x adalah limit suatu barisan x n , maka dikatakan x n konvergen ke
x, atau x n mempunyai limit x. Dalam hal ini ditulis lim x n x atau lim x n x
n
atau x n x . Jika x n tidak konvergen, maka x n dikatakan divergen.
2

3. Teorema 1.1.5. Jika barisan x n konvergen, maka x n
mempunyai paling banyak satu limit (limitnya tunggal).
Bukti. Andaikan lim x n x dan lim x n x dengan x x . Maka untuk
n n
sebarang
0 terdapat K sedemikian hingga x n x untuk setiap n K , dan
2
terdapat K sedemikian hingga x n x untuk setiap n K . Dipilih
2
K maks K , K .
Menggunakan Ketaksamaan Segitiga, maka untuk n K diperoleh
x x x xn xn x
x xn xn x
2 2
Karena berlaku untuk setiap 0 , maka x x 0 yang berarti x x .
Kontradiksi dengan pengandaian. Jadi, terbukti bahwa limitnya tunggal.
Teorema 1.1.6. Jika x n barisan bilangan real dan x ℝ, maka empat pernyataan
berikut ekuivalen.
(a) Barisan x n konvergen ke x.
(b) Untuk setiap 0 terdapat K ℕ sedemikian hingga untuk setiap n K
berlaku x n x .
(c) Untuk setiap 0 terdapat K ℕ sedemikian hingga untuk setiap n K
berlaku x xn x .
(d) Untuk setiap persekitaran V x dari x , terdapat K ℕ sedemikian hingga
untuk setiap n K berlaku x n V x .
3

4. Bukti.
(a) (b) Jelas (dari definisi).
(b) (c) x n x xn x x xn x .
(c) (d) x xn x xn x ,x xn V x .
(d) (a) x n V x x xn x xn x .
4

5. BAB II
KESIMPULAN
Definisi 1.1.1. Barisan bilangan real adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada
himpunan ℕ dengan range dalam ℝ .
Definisi 1.1.3. Diberikan barisan bilangan real x n dan y n , dan ℝ. Maka
dapat didefinisikan
(i) x n yn xn yn
(ii) xn xn
(iii) x n . y n xn .yn
xn xn
(iv) , asalkan y n 0
yn yn
Definisi 1.1.4. (Limit Barisan) Diketahui x n barisan bilangan real. Suatu
bilangan real x dikatakan limit barisan x n jika untuk setiap 0 terdapat
K N sedemikian hingga untuk setiap n dengan n berlaku
xn x .
Teorema 1.1.5. Jika barisan x n konvergen, maka x n mempunyai paling
banyak satu limit (limitnya tunggal).
Teorema 1.1.6. Jika x n barisan bilangan real dan x ℝ, maka empat
pernyataan
berikut ekuivalen.
(a) Barisan x n konvergen ke x.
(b) Untuk setiap 0 terdapat K ℕ sedemikian hingga untuk setiap n K
berlaku x n x .
(c) Untuk setiap 0 terdapat K ℕ sedemikian hingga untuk setiap n K
5

6. berlaku x xn x .
(d) Untuk setiap persekitaran V x dari x , terdapat K ℕ sedemikian hingga
untuk setiap n K berlaku x n V x .
6