Notes and problems

1. UÀtÂvÀ
Yakub koyyur
GHS Nada, Belthangady Taluk,D.K.-574214.Ph:9008983286,
Email:yhokkila@gmail.com
Maths Text book 2017
Class Notes for Kannada medium
9£ÉÃvÀgÀUÀw
CzsÁåAiÀÄ-9
Mathematics for Class IX
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ
ªÀÄvÀÄÛ wæ¨sÀÄdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ

2. Yakub Koyyur, GHS Nada, Belthangady Taluk, D.K.-574214. Ph:9008983286 Email:yhokkila@gmail.com
MATHEMATICS FOR CLASS 1X
MAzÉà ¥ÁzÀ ºÁUÀÆ MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ DPÀÈwUÀ¼ÀÄ
JgÀqÀÄ DPÀÈwUÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀzÀ ªÉÄðzÀÄÝ D ¥ÁzÀPÉÌ C©üªÀÄÄRªÁVgÀĪÀ ±ÀÈAUÀUÀ¼ÀÄ ¥ÁzÀPÉÌ
¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀĪÀ gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄðgÀÄvÀÛzÉ.
C¨sÁå¸À 9.1
1. F PɼÀV£À avÀæUÀ¼À°è MAzÉà ¥ÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁ£ÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ DPÀÈwUÀ¼ÀÄ
AiÀiÁªÀŪÀÅ? CAvÀºÀ ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À°è ¸ÁªÀiÁ£Àå¥ÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ JgÀqÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß ºÉ¸Àj¹.
CzsÁåAiÀÄ 9
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ wæ¨sÀÄdzÀ «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ

3. MATHEMATICS FOR CLASS 1X
Yakub Koyyur, GHS Nada, Belthangady Taluk, D.K.-574214. Ph:9008983286 Email:yhokkila@gmail.com
9.3 MAzÉà ¥ÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ:
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ: 9.1: MAzÉà ¥ÁzÀzÀ ªÉÄÃ¯É ªÀÄvÀÄÛ MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ
JgÀqÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛªÉ.
¸ÁzsÀ£É: ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ABCD ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ
ZÀvÀĨsÀÄðd EFCD UÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀ DC AiÀÄ ªÉÄðzÀÄÝ
MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼ÁzÀ AF ªÀÄvÀÄÛ DC UÀ¼À
£ÀqÀÄªÉ EªÉ.
∆ ADE ªÀÄvÀÄÛ ∆ BCF UÀ¼À°è,
∠DAE = ∠CBF (C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ, AD || BC ªÀÄvÀÄÛ AF bÉÃzÀPÀgÉÃSÉ)
∠AED = ∠BFC (C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ. ED || FC ªÀÄvÀÄÛ AF bÉÃzÀPÀgÉÃSÉ)
∴ ∠ADE = ∠BCF ( wæ¨sÀÄdzÀ ªÀÄÆgÀ£Éà PÉÆãÀ)
AD = BC. (¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ)
∴ ∆ADE ≅ ∆BCF(ASA ¹zÁÞAvÀ)
∴ «(ADE) = «(BCF) (¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ DPÀÈwUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ)
⇒«(ADE) + «(EDCB) = «(BCF) + « (EDCB)
⇒«(ABCD) = «(EFCD)
GzÁºÀgÀuÉ 1 : avÀæ 9.13gÀ°è ABCD MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ªÀÄvÀÄÛ EFCD MAzÀÄ DAiÀÄvÀ.
ºÁUÉAiÉÄÃ, AL ⊥ DC
(i) « (ABCD) = « (EFCD)
(ii) « (ABCD) = DC × AL JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
¥ÀjºÁgÀ:
(i) DAiÀÄvÀªÀÇ PÀÆqÁ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÁVzÉ.
∴« (ABCD) = « (EFCD) (¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 9.1)
(ii) « (ABCD) = DC × FC (DAiÀÄvÀzÀ «¹ÛÃtð = GzÀÝxCUÀ®)............................ (1)
AL ⟘ DC DVzÉ. DzÀÝjAzÀ AFCL PÀÆqÁ DAiÀÄvÀªÁVzÉ. »ÃUÉ AL = FC ............ (2)
∴«(ABCD) = DC × AL (1 ªÀÄvÀÄÛ 2 jAzÀ)
MAzÉà ¥ÁzÀ CxÀªÁ ¸ÀªÀÄ¥ÁzÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ ªÀÄvÀÄÛ MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀĪÉ
EgÀĪÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛªÉ.
GzÁºÀgÀuÉ 2: MAzÀÄ wæPÉÆãÀ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĪÀÄÄðRUÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀzÀ ªÉÄðzÀÄÝ, MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ
gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EzÀÝgÉ wæPÉÆãÀzÀ «¹ÛÃtðªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĪÀÄÄðRzÀ «¹ÛÃtðzÀ CzsÀðzÀµÀÄÖ EgÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

4. MATHEMATICS FOR CLASS 1X
Yakub Koyyur, GHS Nada, Belthangady Taluk, D.K.-574214. Ph:9008983286 Email:yhokkila@gmail.com
¥ÀjºÁgÀ:
∆ ABP ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ABCD UÀ¼ÀÄ
MAzÉà ¥ÁzÀ AB AiÀÄ ªÉÄðzÀÄÝ AB ªÀÄvÀÄÛ PC ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ
gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EªÉ.
¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: «(PAB) = «(ABCD)
BQ II AP gÀa¸À¨ÉÃPÀÄ.
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ABQP ªÀÄvÀÄÛ ABCD UÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀ ABAiÀÄ ªÉÄðzÀÄÝ AB ªÀÄvÀÄÛ PC ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ
gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EªÉ.
∴« (ABQP)= « (ABCD) (¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 9.1À) ............... (1)
DzÀgÉ ∆PAB ≅ ∆ BQP
(PB PÀtðªÀÅ ABQP ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁV «AUÀr¸ÀÄvÀÛzÉ).
⇒« (PAB) = « (BQP) ............... (2)
∴« (PAB) = « (ABQP) [2 jAzÀ] ............... (3)
∴« (PAB) = (ABCD) (1 ªÀÄvÀÄÛ 3 jAzÀ)
C¨sÁå¸À 9.2
1. avÀæ 9.15gÀ°è ABCD MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd AE⊥DC ªÀÄvÀÄÛ CF⊥AD DVzÉ.AB =16cm AE =
8cm, CF = 10cm DzÀgÉ AD AiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
«ABCD = DC x AE
DC = AB = 16cm; AE = 8cm
∴ «ABCD = 16 x 8 = 128cm2
«ABCD = AD x CF (AD ¥ÁzÀ DzÁUÀ)
128 = AD x 10
∴ AD = 12.8cm
2. E,F,G ªÀÄvÀÄÛ H UÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV ABCD ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼ÁzÀgÉ,
« (EFGH) = « (ABCD) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
¥ÀjºÁgÀ:
H ªÀÄvÀÄÛ F ¸ÉÃj¹zÉ.
HFǁABǁDC (HªÀÄvÀÄÛFUÀ¼ÀÄADªÀÄvÀÄÛBC UÀ¼À ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼ÀÄ)
∴ ABFH MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd
∴ « (HEF) = « (ABFH) -------- (1)
( MAzÀÄ eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ MAzÉà ¥ÁzÀzÀ ªÉÄÃ¯É ¤AwgÀĪÀ wæ¨sÀÄd ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ)
EzÉÃ jÃw,
« (HGF) = « (DCFH)-------------(2)
(1) ªÀÄvÀÄÛ (2) jAzÀ
« (HEF) + « (HGF) = « (ABFH) + « (DCFH)
⇒« (EFGH) = « (ABCD)

5. MATHEMATICS FOR CLASS 1X
Yakub Koyyur, GHS Nada, Belthangady Taluk, D.K.-574214. Ph:9008983286 Email:yhokkila@gmail.com
3. P ªÀÄvÀÄÛ Q UÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ABCD ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ DC ªÀÄvÀÄÛ AD ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÉÄð£À
AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ. «(APB) = « (BQC) JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
¥ÀjºÁgÀ:
APB wæ¨sÀÄd ªÀÄvÀÄÛ ABCD ¸À.ZÀ. UÀ¼ÀÄ AB ¥ÁzÀzÀ ªÉÄÃ¯É ABǁDC
UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ ¤AwzÉ.
∴ «(APB) = « ABCD -------- (1)
BQC wæ¨sÀÄd ªÀÄvÀÄÛ ABCD ¸À.ZÀ. UÀ¼ÀÄ BC ¥ÁzÀzÀ ªÉÄÃ¯É BCǁAD
UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ ¤AwzÉ.
∴ «(BQC) = « ABCD -------- (2)
(1) ªÀÄvÀÄÛ (2) jAzÀ
«(APB) = « (BQC)
4. avÀæ 9.16 gÀ°è P AiÀÄÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ M¼ÀV£À AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÉÆAzÀÄ ©AzÀÄ DzÀgÉ,
(i) « (ABP) = « (PCD) = « (ABCD)
(ii) « (APD) + « (PBC) = « (APB) + « (PCD) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
[¸ÀļÀĺÀÄ: PAiÀÄ ªÀÄÄSÁAvÀgÀ AB UÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁV MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß J¼É¬Äj]
¥ÀjºÁgÀ: PAiÀÄ ªÀÄÄSÁAvÀgÀ AB UÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁV EF J¼É¢zÉ.
(i) EFǁABǁDC
∴ ABFE MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd
∴ « (ABP) = « (ABFE) -------- (1)
( MAzÀÄ eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ MAzÉà ¥ÁzÀzÀ
ªÉÄÃ¯É ¤AwgÀĪÀ wæ¨sÀÄd ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ)
EzÉÃ jÃw,
« (PCD) = « (DCFE) ----------- (2)
(1) ªÀÄvÀÄÛ (2) jAzÀ
« (ABP) + « (PCD) = « (ABFE) + « (DCFE)
« (APB) + « (DPC)= « (ABCD) ------(3)
(ii) « (APD) + « (PBC) + « (APB) + « (PCD) = « (ABCD)
« (APD) + « (PBC) + « (APB) + « (PCD) = 2[ « (APB) + « (PCD)] ( 3 gÀ ¥ÀæPÁgÀ)
⇒« (APD) + « (PBC) = (2 – 1) « (APB) + « (PCD)
⇒« (APD) + « (PBC) = « (APB) + « (PCD)
5. avÀæ 9.17 gÀ°è PQRS ªÀÄvÀÄÛ ABRS UÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ. X JA§ÄªÀÅzÀÄ BR ªÉÄð£À AiÀiÁªÀÅzÉÃ
MAzÀÄ ©AzÀÄ DzÀgÉ,
(i) « (PQRS) = « (ABRS) UÀ¼ÀÄ
(ii) « (AXS) = « (PQRS) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
¥ÀjºÁgÀ:
(i) PQRS ªÀÄvÀÄÛ ABRS UÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ
MAzÉà ¥ÁzÀzÀ ªÉÄÃ¯É MAzÀÄ eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À
E F

6. MATHEMATICS FOR CLASS 1X
Yakub Koyyur, GHS Nada, Belthangady Taluk, D.K.-574214. Ph:9008983286 Email:yhokkila@gmail.com
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 9.2 MAzÉà ¥ÁzÀ (¸ÀªÀĪÁzÀ)zÀ ªÉÄðgÀĪÀ ºÁUÀÆ MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀĪÉ
EgÀĪÀ wæPÉÆãÀUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛªÉ.¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 9.3: MAzÉà ¥ÁzÀ (¸ÀªÀÄ£ÁzÀ ¥ÁzÀ) ºÉÆA¢gÀĪÀ JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀgÉ
D JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀÄvÀÛªÉ.
£ÀqÀÄªÉ EzÉ.
∴« (PQRS) = « (ABRS) (¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ)
(ii) AXS ªÀÄvÀÄÛ ABRS UÀ¼ÀÄ AS ¥ÁzÀzÀ ªÉÄÃ¯É ASǁBR UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EzÉ.
« (AXS) = « (ABRS)
⇒« (AXS) = « (PQRS) [« (PQRS) = « (ABRS]
6. PÀȶPÀ¼ÉƧâ¼À ºÉÆ®ªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd PQRS £À DPÀÈwAiÀÄ°èzÉ. DPÉAiÀÄÄ RS ¨ÁºÀÄ«£À ªÉÄÃ¯É A ©AzÀĪÀ£ÀÄß
UÀÄwð¹ CzÀ£ÀÄß P ªÀÄvÀÄÛ Q ±ÀÈAUÀUÀ½UÉ ¸ÉÃj¹zÀ¼ÀÄ. ºÉÆ®ªÀÅ JµÀÄÖ ¨sÁUÀUÀ¼ÁV «AUÀqÀuÉAiÀiÁ¬ÄvÀÄ? F
¨sÁUÀUÀ¼À DPÁgÀ AiÀiÁªÀÅzÀÄ? D PÀȶPÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ ¨sÁUÀUÀ¼À°è UÉÆâü ªÀÄvÀÄÛ PÁ¼ÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀævÉåÃPÀªÁV ©vÀÛ®Ä
EaѹzÀgÉ CzÀ£ÀÄß DPÉAiÀÄÄ ºÉÃUÉ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ?
¥ÀjºÁgÀ:
ºÉÆ®ªÀÅ 3 ¨sÁUÀUÀ¼ÁV «AUÀqÀuÉAiÀiÁ¬ÄvÀÄ.
¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¨sÁUÀªÀÅ wæ¨sÀÄeÁPÁgÀzÀ°ègÀÄvÀÛzÉ.
wæ¨sÀÄd PAQ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd PQRS UÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀzÀ
ªÉÄÃ¯É MAzÀÄ eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EzÉ.
∴ « (PAQ) = « (PQRS)
ªÀÄvÀÄÛ « (PAQ) +« (APS) + « (ARQ) = « (PQRS)
⇒« (APS) + « (ARQ) = « (PQRS)
⇒« (APS) + « (ARQ) = « (PAQ)
∴ CªÀ¼ÀÄ JgÀqÀÄ jÃwAiÀÄ°è ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ ¨sÁUÀUÀ¼À°è UÉÆâü ªÀÄvÀÄÛ PÁ¼ÀÄ ¥ÀævÉåÃPÀªÁV ¨É¼ÉAiÀħºÀÄzÀÄ.
1) PAQ ¨sÁUÀzÀ°è UÉÆâü ªÀÄvÀÄÛ APS , ARQ ¨sÁUÀUÀ¼À°è PÁ¼ÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¨É¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ. CxÀªÁ
2) APS , ARQ ¨sÁUÀUÀ¼À°è UÉÆâü ªÀÄvÀÄÛ PAQ ¨sÁUÀzÀ°è PÁ¼ÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¨É¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ.
9.4 MAzÉà ¥ÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ.
GzÁºÀgÀuÉ 3: wæ¨sÀÄdzÀ ªÀÄzsÀågÉÃSÉAiÀÄÄ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ «¹ÛÃtð«gÀĪÀ JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁV
«AUÀr¸ÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
¥ÀjºÁgÀ: ABC MAzÀÄ wæ¨sÀÄdªÁVgÀ°. AD ªÀÄzsÀågÉÃSÉ.
AN ⊥ BC J¼É¬Äj.
« (ABD) = x ¥ÁzÀ x ∆ ABD AiÀÄ JvÀÛgÀ
« (ABD) = x BD x AN ⇒ « (ABD)

7. MATHEMATICS FOR CLASS 1X
Yakub Koyyur, GHS Nada, Belthangady Taluk, D.K.-574214. Ph:9008983286 Email:yhokkila@gmail.com
« (ABD) = x CD x AN [ BD=CD]
« (ABD) = « (ACD)
GzÁºÀgÀuÉ 4 : avÀæ 9.22 gÀ°è ABCD MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðd BE || AC ªÀÄvÀÄÛ BE AiÀÄÄ DC AiÀÄ ªÀÈ¢Þ¹zÀ
¨sÁUÀªÀ£ÀÄß E £À°è ¸ÀA¢ü¸ÀÄvÀÛzÉ. ∆ ADE AiÀÄ «¹ÛÃtðªÀÅ ABCD ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ «¹ÛÃtðPÉÌ ¸ÀªÀÄ JAzÀÄ ¸Á¢¹.
¥ÀjºÁgÀ :
∆ ABC ªÀÄvÀÄÛ ∆ ACE UÀ¼ÀÄ AC ¥ÁzÀzÀ ªÉÄÃ¯É BE || AC
UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EzÉ.
∴« (ABC) = « (ACE)
∴« (ABC) + « (ADC) = « (ACE) + « (ADC)
∴ « ABCDZÀvÀĨsÀÄðd = « ADE wæ¨sÀÄd
C¨sÁå¸À 9.3
1. avÀæ 9.23 gÀ°è ∆ ABC AiÀÄ AD ªÀÄzsÀågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄð£À MAzÀÄ ©AzÀÄ E DzÀgÉ « (ABE) = « (ACE) JAzÀÄ
¸Á¢ü¹.
¥ÀjºÁgÀ:
∆ ABC AiÀÄ°è AD ªÀÄzsÀågÉÃSÉ.
∴ « (ABD) = « (ACD) ---------------------(1)
( ªÀÄzsÀågÉÃSÉAiÀÄÄ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁV «¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ)
∆ BEC AiÀÄ°è ED ªÀÄzsÀågÉÃSÉ.
∴ « (BDE) = « (CDE) ---------------------(2)
( ªÀÄzsÀågÉÃSÉAiÀÄÄ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁV «¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ)
(1) - (2)
« (ABD) - « (BDE) = « (ACD) - « (CDE)
∴ « (ABE) = « (ACE)
2. ∆ ABC AiÀÄ°è AD ªÀÄzsÀågÉÃSÉAiÀÄ ªÀÄzsÀå ©AzÀÄ E DzÀgÉ
« (BED) = « (ABC) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
¥ÀjºÁgÀ:
∆ ABC AiÀÄ°è AD ªÀÄzsÀågÉÃSÉ
∴ « (ABD) = « (ACD)
( ªÀÄzsÀågÉÃSÉAiÀÄÄ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁV «¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ)
⇒« (ABD) = « (ABC) ------------------ (1)
∆ ABD AiÀÄ°è BE ªÀÄzsÀågÉÃSÉ ( E AiÀÄÄ AD AiÀÄ ªÀÄzsÀå ©AzÀÄ)
∴ « (BDE) = « (ABE)
( ªÀÄzsÀågÉÃSÉAiÀÄÄ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁV «¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ)
⇒« (BDE) = « (ABD) ------------------(2)
(1) ªÀÄvÀÄÛ (2) jAzÀ,
« (BDE) = « (ABC)

8. MATHEMATICS FOR CLASS 1X
Yakub Koyyur, GHS Nada, Belthangady Taluk, D.K.-574214. Ph:9008983286 Email:yhokkila@gmail.com
3. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ CzÀ£ÀÄß ¸ÀªÀiÁ£À «¹ÛÃtðzÀ £Á®ÄÌ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁV «AUÀr¸ÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
¥ÀjºÁgÀ:
ABCD MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd.
∴ ∆ ABD AiÀÄ°è, O PÀtð BD AiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ.
(¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ)
∴ « (OAB) = « (OAD) ----- -(1)
( ªÀÄzsÀågÉÃSÉAiÀÄÄ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁV «¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ)
EzÉà jÃw, O PÀtð AC AiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ.
∴ « (OAD) = « (OCD) ------ -(2)
ºÁUÉAiÉÄÃ,
« (OCD) = « (OBC) -----------(3)
« (OBC) = « (OAB) -----------(4)
(1),(2),(3) ªÀÄvÀÄÛ (4) jAzÀ,
« (OAB) = « (OAD) = « (OCD) = « (OBC)
4. avÀæ 9.24gÀ°è ∆ABC ªÀÄvÀÄÛ ∆ABDUÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀ ABAiÀÄ ªÉÄðªÉ. CD gÉÃSÁRAqÀªÀ£ÀÄß AB AiÀÄÄ O
£À°è C¢üð¹zÀgÉ «(ABC) = « (ABD) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
¥ÀjºÁgÀ:
∆DAC AiÀÄ°è, O, DC AiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ.
∴ « (OAC) = « (OAD)----- - -(1)
( ªÀÄzsÀågÉÃSÉAiÀÄÄ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁV «¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ)
EzÉà jÃw, ∆CBD AiÀÄ°è, O, DC AiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ.
∴ « (OBC) = « (OBD) ------ -(2)
(1) ªÀÄvÀÄÛ (2) £ÀÄß PÀÆrzÁUÀ,
« (OAC) + « (OBC) = « (OAD) + « (OBD)
⇒«(ABC) = « (ABD)
5. D,E ªÀÄvÀÄÛ F UÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV ∆ ABC AiÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÁzÀ BC, CA ªÀÄvÀÄÛ AB UÀ¼À ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼ÁzÀgÉ,
(i) BDEF MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd.
(ii) «(DEF) = « (ABC)
(iii) «(BDEF) = «(ABC) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
¥ÀjºÁgÀ:
(i) ∆ ABC AiÀÄ°è, E ªÀÄvÀÄÛ F UÀ¼ÀÄ AB ªÀÄvÀÄÛ CAUÀ¼À ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼ÀÄ.
∴ FE ǁBC ªÀÄvÀÄÛ FE = BC
⇒FEǁBD ªÀÄvÀÄÛ FE = BD--------(1)
EzÉà jÃw, DEǁBF ªÀÄvÀÄÛ DE = BF ------(2)
(1) ªÀÄvÀÄÛ (2) jAzÀ, BDEF MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd.
EzÉà jÃw FEDC , AEDF UÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÁVªÉ.

9. MATHEMATICS FOR CLASS 1X
Yakub Koyyur, GHS Nada, Belthangady Taluk, D.K.-574214. Ph:9008983286 Email:yhokkila@gmail.com
(ii) BDEF ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß DF PÀtðªÀÅ ¢é¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ.
∴ « (BDF) = « (DEF) --------------------(1)
FEDC ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß DE PÀtðªÀÅ ¢é¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ.
∴ « (DEF) = « (EDC)---------------------(2)
AEDF ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß FE PÀtðªÀÅ ¢é¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ.
∴ « (DEF) = « (AFE)---------------------(3)
(1), (2) ªÀÄvÀÄÛ (3) jAzÀ
« (DEF) = « (BDF) = « (EDC) = « (AFE)
⇒« (DEF) = « (ABC)
(iii) «(BDEF) = « (BDF) + « (DEF)
⇒«(BDEF) = « (ABC) + « (ABC) ⇒ «(ABC)
6. avÀæ 9.25 gÀ°è ABCD ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼ÁzÀ AC ªÀÄvÀÄÛ BD UÀ¼ÀÄ OB = OD DUÀĪÀAvÉ O £À°è ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ
PÀvÀÛj¸ÀÄvÀÛªÉ. AB = CD DzÀgÉ
(i) « (DOC) = « (AOB)
(ii) « (DCB) = « (ACB)
(iii) DA || CB CxÀªÁ ABCD MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
[¸ÀļÀĺÀÄ D ªÀÄvÀÄÛ B UÀ½AzÀ AC UÉ ®A§UÀ¼À£ÀÄß gÀa¹]
¥ÀjºÁgÀ:
(i) ABCD ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è, AB = CD; OB = OD
DP⟘AC ªÀÄvÀÄÛ BQ⟘AC J¼É¢zÉ.
∆ ODP ªÀÄvÀÄÛ ∆ OBQ UÀ¼À°è,
∠DPO = ∠BQO = 900
OD = OB (zÀvÀÛ)
∠DOP = ∠BOQ (±ÀÈAUÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ)
∴ ∆ ODP ≅∆ OBQ-------------(1)
∆ DPC ªÀÄvÀÄÛ ∆ BQA UÀ¼À°è,
∠DPO = ∠BQA = 900
DP = BQ (¸Á¢ü¹zÉ)
DC = AB (zÀvÀÛ)
∴ ∆ DPC ≅∆ BQA--------------(2)
(1) + (2)
∆ ODP + ∆ DPC = ∆ OBQ + ∆ BQA
⇒« (DOC) = « (AOB)
(ii) « (DOC) = « (AOB) (¸Á¢ü¹zÉ)
« (DOC) + «(BOC) = « (AOB) + «(BOC) [«(BOC) AiÀÄ£ÀÄß PÀÆr¹zÁUÀ]
⇒« (DCB) = « (ACB)
(iii) ∠ODP = ∠OBQ [∆ ODP ≅∆ OBQ ¸Á¢ü¹zÉ) -----(3)
∠PDC = ∠QBA [∆ DPC ≅∆ BQA ¸Á¢ü¹zÉ)----------(4)

10. MATHEMATICS FOR CLASS 1X
Yakub Koyyur, GHS Nada, Belthangady Taluk, D.K.-574214. Ph:9008983286 Email:yhokkila@gmail.com
(3) + (4)
∠ODP + ∠PDC = ∠PDC + ∠QBA
⇒∠ODC = ∠OBA
EªÀÅ ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
∴ DCǁAB ªÀÄvÀÄÛ DC=AB (zÀvÀÛ)
∴ ABCD MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd CxÀªÁ DA || CB
7. ∆ ABCAiÀÄ AB ªÀÄvÀÄÛ AC ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV D ªÀÄvÀÄÛ E DVªÉ.
«(DBC) = «(EBC) DzÀgÉ DE || BC JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
¥ÀjºÁgÀ:
∆ ABCAiÀÄ°è D AiÀÄÄ AB ªÀÄvÀÄÛ E AiÀÄÄ AC AiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ
∴ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ ¥ÀæPÁgÀ DE || BC
CxÀªÁ
«(DBC) = «(EBC)
∴ D ¬ÄAzÀ J¼ÉzÀ ®A§ªÀÅ E ¬ÄAzÀ J¼ÉzÀ ®A§PÉÌ ¸ÀªÀÄ
⇒ DE || BC
8. XYAiÀÄÄ ∆ABC AiÀÄ BC ¨ÁºÀÄUÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ªÁVgÀĪÀ MAzÀÄ gÉÃSÉAiÀiÁVzÉ. BE || ACªÀÄvÀÄÛ CF||AB
UÀ¼ÀÄ XY AiÀÄ£ÀÄß PÀæªÀĪÁV E ªÀÄvÀÄÛ F UÀ¼À°è ¸ÀA¢ü¹zÀgÉ « (ABE) = « (ACF) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
¥ÀjºÁgÀ:
∆ ABE ªÀÄvÀÄÛ BCYE ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd
UÀ¼ÀÄ BE ¥ÁzÀzÀ ªÉÄÃ¯É BE || AC £ÀqÀÄªÉ EzÉ.
∴ « (ABE) = « (BCYE)------ (1)
∆ ACF ªÀÄvÀÄÛ BCFX ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd
UÀ¼ÀÄ CF ¥ÁzÀzÀ ªÉÄÃ¯É CF||AB £ÀqÀÄªÉ EzÉ.
∴ « (ABE) = « (BCFX) ------ (2)
BCYE ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ªÀÄvÀÄÛ BCFX ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd UÀ¼ÀÄ BC ¥ÁzÀzÀ ªÉÄÃ¯É BC || EFUÀ¼À
£ÀqÀªÉ EzÉ.
∴ « (BCYE) = « (BCFX) --------(3)
(1) ,(2) ªÀÄvÀÄÛ (3) jAzÀ
« (ABE) = « (ACF)
9. ABCD ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ AB ¨ÁºÀĪÀ£ÀÄß AiÀiÁªÀÅzÉà MAzÀÄ ©AzÀÄ P ªÀgÉUÉ ªÀȢݸÀ¯ÁVzÉ. A
ªÀÄÆ®PÀ CP UÉ J¼ÉzÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁzÀ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄÄ CB ¬ÄAzÀ ªÀȢݹzÀ gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß Q £À°è
¸ÀA¢¹zÉ. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd PBQR £ÀÄß ¥ÀÆtðUÉƽ¹zÉ. « (ABCD ) = « (PBQR)
JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
[¸ÀļÀĺÀÄ : AC ªÀÄvÀÄÛ PQ UÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹. DUÀ « (ACQ)ªÀÄvÀÄÛ « (APQ) UÀ¼À£ÀÄß ºÉÆð¹]
¥ÀjºÁgÀ: AC ªÀÄvÀÄÛ PQ UÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹zÉ.
AC AiÀÄÄ ABCD ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ PÀtð
∴ « (ABC) = « (ABCD) -----------------(1)
PQ AiÀÄÄ PBQR ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ PÀtð

11. MATHEMATICS FOR CLASS 1X
Yakub Koyyur, GHS Nada, Belthangady Taluk, D.K.-574214. Ph:9008983286 Email:yhokkila@gmail.com
∴ « (BPQ) = « (PBQR) -----------------(2)
∆AQC ªÀÄvÀÄÛ ∆APQ UÀ¼ÀÄ AQ ¥ÁzÀzÀ ªÉÄÃ¯É AQǁCP UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EªÉ.
∴ «( AQC) = «( APQ) ----------------(3)
⇒« (ABC) + « (ABQ) = « (BPQ) + « (ABQ)
« (ABC) = « (BPQ)
⇒ « (ABCD) = « (PBQR) [(1) ªÀÄvÀÄÛ (2) jAzÀ]
⇒« (ABCD) = « (PBQR)
10. ABCD vÁæ¦dåzÀ°è AB || DC. AC ªÀÄvÀÄÛ BD PÀtðUÀ¼ÀÄ O ©AzÀÄ«£À°è ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ PÀvÀÛj¸ÀÄvÀÛªÉ.
«(AOD) = «(BOC) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹
¥ÀjºÁgÀ: AB || DC
∆ABD ªÀÄvÀÄÛ ∆ABC UÀ¼ÀÄ AB ¥ÁzÀzÀ ªÉÄïÉ
AB || DC UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EªÉ.
∴ « (ABD) = « (ABC)
∴ « (ABD) – « (AOC) = « (ABC) - « (AOC)
⇒ «(AOD) = «(BOC)
11. avÀæ 9.27 gÀ°è ABCDE MAzÀÄ ¥ÀAZÀ¨sÀÄeÁPÀÈw B ¤AzÀ AC UÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁV J¼ÉzÀ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄÄDC
AiÀÄ ªÀȢݹzÀ ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß F £À°è ¸ÀA¢¹zÉ
(i) « (ACB) = « (ACF)
(ii) « (AEDF) = « (ABCDE) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
¥ÀjºÁgÀ: AC || BF
∆ACB ªÀÄvÀÄÛ ∆ACF UÀ¼ÀÄ AC ¥ÁzÀzÀ ªÉÄÃ¯É AC || BF
UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EªÉ.
∴ « (ACF) = « (ACB)
∴« (ACF) + « (ACDE) = « (ACB) + « (ACDE)
⇒ « (AEDF) = « (ABCDE)
12. ºÀ½îAiÉÆAzÀgÀ°è EvïªÁj JA§ÄªÀjUÉ ¸ÉÃjzÀ d«ÄãÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðeÁPÁgÀzÀ°èzÉ. D Hj£À UÁæªÀÄ ¥ÀAZÁ¬ÄwAiÀÄÄ
MAzÀÄ DgÉÆÃUÀå PÉÃAzÀæªÀ£ÀÄß PÀlÖ®Ä EvïªÁjAiÀĪÀgÀ d«Ää£À ªÀÄƯÉAiÉÆAzÀgÀ ¸Àé®à ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƼÀî®Ä
wêÀiÁð¤¹vÀÄ. EvïªÁjAiÀÄÄ vÀ£Àß d«Ää£À ¨sÁUÀPÉÌ §zÀ¯ÁV CµÉÖà zÉÆqÀØzÁzÀ ¥ÀPÀÌzÀ°ègÀĪÀ ºÁUÀÆ CzÀ£ÀÄß CªÀgÀ
d«ÄäUÉ ¸ÉÃj¹zÁUÀ wæPÉÆãÁPÁgÀ gÀZÀ£ÉAiÀiÁUÀĪÀAwgÀĪÀ eÁUÀªÀ£ÀÄß PÉÆqÀ¨ÉÃPÉA§ ±Àwð£À ªÉÄÃgÉUÉ M¦àPÉÆAqÀgÀÄ.
ºÁUÁzÀgÉ F M¥ÀàAzÀªÀ£ÀÄß ºÉÃUÉ ¸ÁPÁgÀUÉƽ¸À§ºÀÄzÉA§ÄªÀÅzÀ£ÀÄß «ªÀj¹.
«ªÀgÀuÉ: ABCD ZÀvÀĨsÀÄðeÁPÀÈwAiÀÄ°ègÀĪÀ d«ÄãÀÄ.
AC ¸ÉÃj¹, AC UÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁV DP £ÀÄß J¼É¢zÉ. BC AiÀÄ£ÀÄß P ªÀgÉUÉ
ªÀÈ¢Þ¹zÉ.
« (ADP) = « (CDP) [ DP ªÉÄÃ¯É ACǁDP UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ]
∴ « (ADP) - « (DOP) = « (CDP) - « (DOP)
⇒ « (AOD) = « (POC)
∴ AOD ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß ¤Ãr, POC ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉzÀÄ PÉƼÀÄîvÁÛ£É.

12. MATHEMATICS FOR CLASS 1X
Yakub Koyyur, GHS Nada, Belthangady Taluk, D.K.-574214. Ph:9008983286 Email:yhokkila@gmail.com
13. ABCD vÁæ¦dåzÀ°è AB || DC. ACUÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀĪÀ gÉÃSÁRAqÀªÀÅ AB AiÀÄ£ÀÄß X £À°è ºÁUÀÆBC AiÀÄ£ÀÄß
Y £À°è PÀvÀÛj¹zÉ. DzÀgÉ «(ADX) = «(ACY) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
[¸ÀļÀĺÀÄ: CX £ÀÄß ¸ÉÃj¹]
¥ÀjºÁgÀ:
ABCD vÁæ¦dåzÀ°è AB || DC
∴ «(ADX) = «(ACX) ---------(1)
[ AX ªÉÄÃ¯É AXǁDC UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ]
ACXY vÁæ¦dåzÀ°è AC || XY
∴ «(ACX) = «(ACY) ---------(2)
[ AC ªÉÄÃ¯É ACǁXY UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ]
(1) ªÀÄvÀÄÛ (2) jAzÀ
«(ADX) = «(ACY)
14. avÀæ 9.28 gÀ°è AP||BQ||CR CzÀgÉ « (AQC) = « (PBR) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
¥ÀjºÁgÀ:
«(BAQ) = «(BPQ) ---------(1)
[ BQ ªÉÄÃ¯É AP||BQ UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ]
«(BQC) = «(BQR) ---------(2)
[ BQ ªÉÄÃ¯É BQ||CR UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ]
(1) + (2)
«(BAQ) + «(BQC) = «(BPQ) + «(BQR)
⇒ « (AQC) = « (PBR)
15. ∆AOD AiÀÄ «¹ÛÃtðªÀÅ ∆BOC AiÀÄ «¹ÛÃtðPÉÌ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀĪÀAvÉ ABCD ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ
O £À°è PÀvÀÛj¸ÀÄvÀÛªÉ. ABCD MAzÀÄ vÁæ¦då JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
¥ÀjºÁgÀ:
« (AOD) = « (BOC) ( zÀvÀÛ)
∴ « (AOD) + « (AOB) = « (BOC) + « (AOB)
⇒« (ADB) = « (ABC)
∆ ADB ªÀÄvÀÄÛ ∆ ABC UÀ¼ÀÄ AB ¥ÁzÀzÀ ªÉÄÃ¯É AB
ªÀÄvÀÄÛ CD UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EzÉ. ºÁUÀÆ CªÀÅUÀ¼À «¹ÛÃtð
UÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ«gÀĪÀÅzÀjAzÀ ABǁ CD DVzÉ.
∴ ABCD MAzÀÄ vÁæ¦då

13. MATHEMATICS FOR CLASS 1X
Yakub Koyyur, GHS Nada, Belthangady Taluk, D.K.-574214. Ph:9008983286 Email:yhokkila@gmail.com
16. avÀæ 9.29 gÀ°è «(DRC) = «(DPC) ªÀÄvÀÄÛ «(BDP) = «(ARC) DzÀgÉ ABCD ªÀÄvÀÄÛ DCPR
ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ vÁæ¦dåUÀ¼ÀÄ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
¥ÀjºÁgÀ:
«(DRC) = «(DPC) ( zÀvÀÛ)
EªÀÅ DC ¥ÁzÀzÀ ªÉÄÃ¯É RP
ªÀÄvÀÄÛ CD UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EzÉ. ºÁUÀÆ CªÀÅUÀ¼À «¹ÛÃtð
UÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ«gÀĪÀÅzÀjAzÀ RPǁ CD DVzÉ.
∴ DCPR MAzÀÄ vÁæ¦då
«(BDP) = «(ARC) ( zÀvÀÛ)
∴ «(BDP) - «(DRC) = «(ARC) - «(DPC) [«(DRC) = «(DPC)]
⇒«(ADC) = «(BDC)
EªÀÅ DC ¥ÁzÀzÀ ªÉÄÃ¯É AB ªÀÄvÀÄÛ CD UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EzÉ. ºÁUÀÆ CªÀÅUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ«gÀĪÀÅzÀjAzÀ
ABǁ CD DVzÉ.
∴ ABCD MAzÀÄ vÁæ¦då
gÀÆ¥ÀuÁvÀäPÀ ªÀiË®åªÀiÁ¥À£À
I. ZÀlĪÀnPÉ.
1) MAzÀÄ ºÁ¼ÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹. CzÀgÀ°è PÁæ¥ïÖ ºÁ¼É¬ÄAzÀ PÀvÀÛj¹zÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ
ZÀvÀĨsÀÄðd ºÁUÀÆ wæ¨sÀÄdUÀ¼À£ÀÄß CAn¹. CzÀjAzÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À ªÉÄð£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß
¥ÁæAiÉÆÃVPÀªÁV ¸Á¢ü¹.
2)
F ªÉÄð£À avÀæzÀ°è ¸ÀªÀÄ «¹ÛÃtð ºÉÆA¢gÀĪÀ wæ¨sÀÄdUÀ¼À eÉÆÃrUÀ¼À£ÀÄß §gɬÄj. ¸ÀªÀÄ «¹ÛÃtð
ºÉÆA¢gÀĪÀ JµÀÄÖ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ½ªÉ. CªÀÅ AiÀiÁªÀŪÀÅ? UÀÄgÀÄw¹.

14. MATHEMATICS FOR CLASS 1X
Yakub Koyyur, GHS Nada, Belthangady Taluk, D.K.-574214. Ph:9008983286 Email:yhokkila@gmail.com
II.¸Àj/vÀ¥ÀÄà GvÀÛj¹.
1. JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVzÀÝgÉ, CªÀÅUÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÁUÀ®Æ ¸ÀªÀð¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛªÉ.
2. MAzÉà ¥ÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ wæ¨sÀÄdzÀ «¹ÛÃtðªÀÅ, ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ
ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ «¹ÛÃtðzÀ CzsÀðzÀ¶ÖgÀÄvÀÛzÉ.
3. ¥ÁzÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVzÁÝUÀ, MAzÀÄ eÉÆvÉ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ ¤AwgÀĪÀ JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ
¸ÀªÀĪÁVzÀÝgÉ, D gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀvÀÛªÉ.
4. MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ MAzÀÄ eÉÆvÉ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ ºÁUÀÆ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVzÀÝgÉ
CzÀ£ÀÄßö¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÉAzÀÄ ¤zsÀðj¸À®Ä ¸ÁzsÀå«®è.
5. MAzÀÄ eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ ¸ÀªÀÄ ¥ÁzÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ
¸ÀªÀð¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛzÉ.
III. ¸ÀjAiÀiÁzÀ GvÀÛgÀªÀ£ÀÄß Dj¹ §gɬÄj.
1.
ªÉÄð£À avÀæzÀ°è «(ABCD) = 60cm2
DzÀgÉ «(ABE) =
[A] 60cm2
[B] 30cm2
[C] 120cm2
[D] 15cm2
2. F PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À°è ABCD ªÀÄvÀÄÛ ABEF ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃqÀ¯ÁVzÉ. CªÀÅUÀ¼À°è ¸ÀªÀÄ
«¹ÛÃtð ºÉÆA¢gÀĪÀ eÉÆÃr.
3. MAzÉà ¥ÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÀ
«¹ÛÃtðUÀ¼À C£ÀÄ¥ÁvÀ
[A] 1:1 [B] 2: 1 [C] 1 : 2 [D] 1: 4
4. MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ «¹ÛÃtð 120¸ÉA.«ÄÃ2 ªÀÄvÀÄÛ CzÀgÀ JvÀÛgÀ 15¸ÉA.«ÄÃ. EzÀÝgÉ, CzÀgÀ
¥ÁzÀzÀ C¼ÀvÉ
[A] 10cm [B] 12cm [C] 8cm [D] 15cm
5. wææ¨sÀÄd ABC AiÀÄ°è, P, Q ªÀÄvÀÄÛ R UÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV AB, BC ªÀÄvÀÄÛ AC UÀ¼À ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼ÀÄ. wæ¨sÀÄd
ABC AiÀÄ «¹ÛÃtð 180cm2
DzÀgÉ, wæ¨sÀÄd PQR £À «¹ÛÃtð
[ A] 90cm2
[B] 45cm2
[C] 360cm2
[D] 60cm2

15. MATHEMATICS FOR CLASS 1X
Yakub Koyyur, GHS Nada, Belthangady Taluk, D.K.-574214. Ph:9008983286 Email:yhokkila@gmail.com
¸ÀAPÀ®£ÁvÀäPÀ ¥ÀjÃPÉë
¸ÀªÀÄAiÀÄ: 45¤«ÄµÀ CAPÀUÀ¼ÀÄ:10
F PɼÀV£À ¥Àæ±ÉßUÀ¼À£ÀÄß GvÀÛj¹. 2x5 = 10
1. PɼÀUÉ ¤ÃrgÀĪÀ avÀæzÀ°è ABCD MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd. X , AB AiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ. «(ADC)
= 24cm3
DVzÀÝgÉ, «(AXCD)AiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
2. ∆ABC AiÀÄ ªÀÄzsÀågÉÃSÉUÀ¼ÁzÀ BE ªÀÄvÀÄÛ CF UÀ¼ÀÄ G £À°è bÉâ¹zÀgÉ, «(GBC) = «(AEFG)
JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
3. ABC ¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ°è AB = AC. wæ¨sÀÄdzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ 32¸ÉA.«ÄÃ. ªÀÄvÀÄÛ ¥ÁzÀ BC =
12¸ÉA.«ÄÃ. DVzÀÝgÉ, AC PÀtðªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ «¹ÛÃtð PÀAqÀÄ»r¬Äj.
4.
ABCD ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ «¹ÛÃtð 90¸ÀA.«ÄÃ.2 EzÀÝgÉ, «(ABEF) ªÀÄvÀÄÛ «(BEF) UÀ¼À£ÀÄß
PÀAqÀÄ»r¬Äj.
5.
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ABCD AiÀÄ°è E AiÀÄÄ BC ¨ÁºÀÄ«£À ªÉÄð£À MAzÀÄ ©AzÀÄ. AE ªÀÄvÀÄÛ CD
UÀ¼À£ÀÄß F £À°è ¸ÀA¢ü¸ÀĪÀAvÉ ªÀÈ¢Þ¹zÉ. «(ADF) = «(ABFC) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.