3. Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ
Στα Μαθηματικά, δύο ποσότητες έχουν αναλογία
χρυσής τομής αν ο λόγος του αθροίσματος τους προς τη
μεγαλύτερη ποσότητα είναι ίσος με το λόγο της
μεγαλύτερης ποσότητας προς τη μικρότερη.
Η εικόνα στα δεξιά αναπαριστά
τη γεωμετρική ερμηνεία
των παραπάνω.
Εκφρασμένο αλγεβρικά:
όπου το γράμμα φ αντιπροσωπεύει την χρυσή τομή.
Η τιμή του είναι:
4. Η χρυσή τομή αναφέρεται επίσης και ως
χρυσός λόγος ή χρυσός κανόνας.
Άλλα ονόματα είναι χρυσή μετριότητα και Θεϊκή
αναλογία
ενώ ο Ευκλείδης χρησιμοποιούσε τον όρο
"άκρος και μέσος λόγος".
Η χρυσή τομή συνεπήρε και συνεχίζει να συνεπαίρνει
Δυτικούς διανοούμενους
ποικίλων ενδιαφερόντων για τουλάχιστον 2.400 χρόνια.
Πολλοί καλλιτέχνες και αρχιτέκτονες του 20ου αιώνα
προσάρμοσαν τα έργα τους ώστε να προσεγγίζουν
την χρυσή αναλογία πιστεύοντας ότι αυτή η αναλογία
είναι αισθητικά η πλέον ευχάριστη.
5. Οι Αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί πρώτοι μελέτησαν την
χρυσή τομή γιατί εμφανιζόταν συχνά στη γεωμετρία.
Η διαίρεση ενός τμήματος σε "άκρο και μέσο λόγο"
είναι σημαντική στη γεωμετρία
των πενταγράμμων και πενταγώνων.
Η αντίληψη αυτή αποδίδεται συνήθως
στον Πυθαγόρα και τους ακολούθους του.
Στο μυστικό τους σύμβολο, την πεντάλφα,
ο χρυσός λόγος εμφανίζεται στις πλευρές
του αστεριού καθώς και στο πηλίκο του
εμβαδού του κανονικού πενταγώνου
με κορυφές τις άκρες της πεντάλφα
προς το εμβαδόν του κανονικού
πενταγώνου που σχηματίζεται
εντός του αστεριού.
6. Τα Στοιχεία του Ευκλείδη παρέχουν τον πρώτο γραπτό
ορισμό αυτού που σήμερα ονομάζουμε χρυσή τομή.
Η πρώτη γνωστή προσέγγιση του χρυσού λόγου
από δεκαδικό κλάσμα, ως "περίπου 0,6180340",
γράφτηκε το 1597.
Από τον 20ο αιώνα, η χρυσή τομή παριστάνεται
με τον ελληνικό γράμμα φ
(φ, από το αρχικό γράμμα του γλύπτη Φειδία
ο οποίος λέγεται ότι ήταν από τους πρώτους που
τον χρησιμοποίησε στα έργα του).
8. Γιατί χρησιμοποιούν οι αρχιτέκτονες
την χρυσή τομή;
Βοηθάει στην ισορροπία του κτηρίου.
Βοηθάει στην χρήση πολλών και διαφορετικών
σχημάτων.
Κάνει τα κτίσματα πιο όμορφα.
Βοηθάει στην διαρρύθμιση του εσωτερικού χώρου.
9. Ο Παρθενώνας
Ο Παρθενώνας είναι μάλλον το καλύτερο παράδειγμα
εμπλοκής των μαθηματικών στην Ελληνική τέχνη
και αρχιτεκτονική.
Η χρυσή τομή εμφανίζεται στα εξής σημεία του:
Στο ύψος και το πλάτος των κολώνων,
στην διαχωριστική γραμμή στην δοκό υποστήριξης
της σκεπής.
10. Είναι άξιο να αναφέρουµε ότι η χρυσή τοµή
εφαρμόστηκε και στη διάµετρο του κάθε κίονα,
στη µεταξύ τους απόσταση, στη σχέση ανάµεσα
στο ύψος του κίονα και στο ύψος του θριγκού,
στις αναλογίες των μεταξονίων,
τη λέπτυνση του κίονα,
το περίγραµµα του εχίνου και
τον τρόπο σύνδεσης µε τον κορµό,
τη µορφή και
τον αριθµό των τριγλύφων.
11. Η Παναγία των Παρισίων
Χτίστηκε ανάμεσα
στο 1163 με 1250.
Φαίνεται να έχει
την χρυσή τομή
σε αρκετά από τα
σημαντικά τμήματα της
όπως το ύψος και
το πλάτος της.
14. Χρυσή Τομή στα γλυπτά
Οι γλύπτες με σκοπό την ομοιομορφία και
την καλαισθησία χρησιμοποιούν στα γλυπτά τους
την χρυσή τομή .
Έτσι υπάρχουν αμέτρητα γλυπτά που την παρουσιάζουν.
Μερικά σημαντικά παραδείγματα είναι :
Ποσειδώνας Αποξυόμενος του Λυσσισιπου
18. Γενικότερα η χρυσή αναλογία ή χρυσή τομή
χρησιμοποιήθηκε από πολλούς καλλιτέχνες,
γνωστούς και μη,
για την επίτευξη των ιδανικότερων
αισθητικά αποτελεσμάτων.
Μερικοί από αυτούς είναι ο
Λεονάρντο Ντα Βίντσι,
Σαλβαντόρ Νταλί,
Πικάσο,
Μιχαήλ Άγγελος
και πολλοί άλλοι!
Ενδεικτικά μερικά έργα τους είναι:
23. Μιας
Μιας και η φωτογραφική μηχανή
είναι εφεύρεση του σύγχρονου κόσμου
πολλές φωτογραφίες αποδίδουν
την χρυσή αναλογία σε μια
πιο μοντέρνα έκδοση.
Γι’αυτό άλλωστε και
οι περισσότεροι καλλιτέχνες
είναι αγνώστου ταυτότητας.
26. Ως μουσική, ορίζουμε την τέχνη που
εκφράζεται μέσω των ήχων με σκοπό
την εκτέλεση και ακρόαση ενός
μουσικού έργου.
Η μουσική έχει άρρηκτη σχέση
με τα μαθηματικά,
την οποία και μελέτησε ο φιλόσοφος
και μαθηματικός Πυθαγόρας,
αφού σύμφωνα με μελέτες ασχολήθηκε
με το αρχαίο όργανο μονόχορδο.
Το μονόχορδο είναι όργανο με μια
μόνο χορδή και ένα κινητό καβαλάρη
που διαίρει τη χορδή επιτρέποντας
μόνο ένα τμήμα της να ταλαντώνεται.
27. Χρησιμοποιήθηκε για τον καθορισμό των μαθηματικών
σχέσεων των μουσικών ήχων.
Έτσι, μόνο οι ακριβείς μαθηματικές σχέσεις
δίνουν αρμονικό ήχο στο μονόχορδο.
Χαρακτηριστικά, για να προκύψει αρμονικός ήχος
έπρεπε να χωριστεί η χορδή ακριβώς στη μέση
και όχι κατά προσέγγιση.
Αποτέλεσμα του χωρισμού αυτού είναι,
να παράγεται ήχος μιας οκτάβας υψηλότερος.
28. Mozart
Η μουσική του Μότσαρτ είναι εξαιρετική, ο τρόπος όμως
με τον οποίο έφτιαξε αυτούς τους εκπληκτικούς ήχους
αμφισβητείται. Συγκεκριμένα, στα περιθώρια μερικών
από τις συνθέσεις του σημείωνε μαθηματικές εξισώσεις.
Μάλιστα, στη Fantasia και Fugue σε Ντο Ματζόρε,
υπάρχουν στα περιθώρια οι υπολογισμοί της πιθανότητας
μιας νίκης του σε μια λαχειοφόρο αγορά, γεγονός που
φανερώνει τη στενή σχέση του Μότσαρτ με τα
μαθηματικά.
Αργότερα, ο John F. Putz, λαμβάνοντας υπόψη ότι η
μουσική του Μότσαρτ ήταν περίφημη για τον αρμονικό
της ήχο και για τις κομψές της αναλογίες, σκέφτηκε ότι
θα ήταν ενδιαφέρον να ελέγχει εάν τα τμήματα του στις
σονάτες για πιάνο που χρησιμοποίησε ήταν πολύ κοντά
στη διαίρεση της χρυσής τομής.
Κατέληξε στο ότι ο Μότσαρτ διαίρεσε τη πλειονότητα
των σονατών του σε 2 μέρη, των οποίων η χρονική
αναλογία αντιστοιχεί στη χρυσή τομή.
29. Σύγχρονα παραδείγματα
Το ροκ συγκρότημα Tool, στο τραγούδι του Lateralus,
χρησιμοποιεί την χρυσή τομή. Ειδικότερα:
Στους στίχους γίνεται συχνή αναφορά σε σπείρες,
κύριο χαρακτηριστικό της χρυσής τομής.
Τα φωνητικά του τραγουδιστή ξεκινούν
1 λεπτό και 37 δευτερόλεπτα μετά την έναρξη
του τραγουδιού, που αντιστοιχεί σε 1,617 λεπτά.
Τα μέτρα αλλάζουν από 9/8 σε 8/8 και 7/8,
ενώ αποκαλύφθηκε ότι το αρχικό όνομα
του τραγουδιού ήταν 987,
δηλαδή ο 17ος όρος της ακολουθίας Fibonacci.
Ο αριθμός των συλλαβών των λέξεων ανάμεσα
στις παύσεις είναι οι 6 πρώτοι αριθμοί
της ακολουθίας του Fibonacci.
30. Τέλος, η χρυσή τομή
είναι φανερή ακόμα
και στο κλειδί του Σολ.
32. Οι αρχαίοι Έλληνες και πρώτος ο Πυθαγόρας,
βρήκαν ότι
τα σχέδια των λουλουδιών,
η διάταξη των φύλλων γύρω από το μίσχο,
η διάταξη των πετάλων στις μαργαρίτες και στα
ηλιοτρόπια
δεν γίνονται τυχαία αλλά
σύμφωνα με τη Χρυσή Τομή.
33. Άνθη και φύλλα
Ο αριθμός των πετάλων σε άνθη πολλών φυτικών ειδών
συνήθως είναι ένας αριθμός Fibonacci.
Ο κρίνος με 1 πέταλο.
Τα περισσότερα τριφύλλια έχουν 3 ή 5 φύλλα.
Οι περισσότερες μαργαρίτες έχουν 21, 34, 55 ή 8
πέταλα που είναι αριθμοί Fibonacci.
Το χρυσάνθεμο έχει συνήθως 34 πέταλα
όπως και ο ηλίανθος.
34. Φυλλοταξία
Τα φύλλα βλαστάνουν πάνω στους βλαστούς με τρόπο
που δεν καλύπτει το ένα το άλλο για να μπορούν
όλα να παίρνουν φως και να κάνουν φωτοσύνθεση.
Η καλύτερη διάταξη για να μπορεί κάθε φύλλο
να παίρνει το μέγιστο δυνατό φως βασίζονται σε αριθμούς
που ανήκουν στην ακολουθία Fibonacci.
35. Οι καρποί των φυτών
Η Χρυσή Τομή παρατηρείται &
στους καρπούς των φυτών.
Για παράδειγμα,
στα “λέπια” του κουκουναριού ή
και του ανανά παρατηρείται ότι
έχει 2 σειρές από καμπύλες
όπου η κάθε μία
έχει αντίθετη κατεύθυνση.
Εάν μετρηθούν οι σπείρες τότε
θα παρατηρηθεί ότι
στην μία υπάρχουν 8
ενώ στην άλλη 13,
όπου είναι αριθμοί Fibonacci.
36. Τα λεγόμενα χρυσά σπειροειδή που βασίζονται
στον αριθμό φ απαντώνται στις σπείρες
των οστρακοειδών,
αρκετών σπειροειδών γαλαξιών
και στις σπείρες του DNA ή
στα δακτυλικά μας αποτυπώματα.
37. Αν μετρήσει κανείς τις
μέλισσες σε μια κυψέλη
οπουδήποτε στον κόσμο
θα παρατηρήσει ότι ο λόγος
των θηλυκών μελισσών
προς τις αρσενικές
καταλήγει πάντα
στον αριθμό φ.
39. Μόδα
Ο αριθµός φ γίνεται εύκολα
αντιληπτός σε πολλές
πλευρές της ζωής µας, µια
από αυτές είναι και η µόδα.
Στον χώρο αυτό,
ονοµάζεται
“κώδικας της µόδας” ή
“θεία αναλογία”.
Ο αριθµός φ που αντιστοιχεί
στο 1,618,
στην µόδα απλοποιείται
και γίνεται 1,5.
40. Λογότυπα
Εκτός από τη μόδα η χρυσή τομή
υπάρχει και
σε λογότυπα διάφορων εταιριών. Όπως
Google,
National Geographic,
Mercedes-Benz
41. Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται πώς το λογότυπο
της Google έχει τις τέλειες αναλογίες
με την έννοια του πώς το πρώτο γράμμα
" O" είναι ανάλογο με το δεύτερο «Ο»
και τα γράμματα «G» για να σχηματίσουν
μια τέλεια αναλογία των 1.618.
42. Το κίτρινο
τετράγωνο στο
λογότυπο του
National
Geographic
είναι απλό
αλλά συγχρόνως
ελκυστικό.
Το µήκος και το
πλάτος του
τετραγώνου
έχουν µια
αναλογία 1,61.
43. Το λογότυπο της Mercedes-Benz µπορεί να
χαρακτηριστεί ως το πιο αναγνωρισµένο λογότυπο
στον κόσµο της αυτοκίνησης και είναι εξαιρετικά
δηµοφιλής σε όλο τον κόσµο.
Είναι µια δηµιουργία του Gottlieb Daimler,
η οποία από µετρήσεις έχει αποδειχτεί πως
έχει βασιστεί στην χρυσή τοµή, στον αριθµό φ.
Από την αναλογία του λογοτύπου
βγάζουµε τον αριθµό 1,6.
45. Η χρυσή τομή εμφανίζεται τόσο στην φύση
όσο και στο ανθρώπινο σώμα.
Το ιδανικό ανθρώπινο σώμα παρουσιάζει στις αναλογίες
του τον αριθμό 1,6 , καθώς ακολουθείται ακριβώς η
χρυσή αναλογία και στα χαρακτηριστικά των
προσώπων, ακόμα και στο DNΑ.
46. Η αξιολόγηση του ωραίου είναι πολύ υποκειμενική ,
όμως παρά τις διαφορετικές αντιλήψεις και τις αλλαγές
των προτύπων υπάρχουν τρία βασικά
και αντικειμενικά κριτήρια της ομορφιάς.
Η αρμονία των διαφόρων τμημάτων, των γραμμών και
των σχημάτων του σώματος,
οι εκφράσεις και οι κινήσεις του σώματος,
η υφή και το χρώμα του δέρματος.
47. Ο άνθρωπος του Βιτρούβιου
είναι ένα παράδειγμα του τέλειου
ανθρώπινου σώματος.
Αποτελεί σχέδιο του Leonardo
Da Vinci και απεικονίζει έναν
γυμνό άντρα του οποίου
τα άκρα αγγίζουν
τις πλευρές ενός τέλειου
τετραγώνου και την περιφέρεια
ενός τέλειου κύκλου .
Ο καλλιτέχνης συνοδεύει
το σχέδιό του με σημειώσεις
οι οποίες είναι γραμμένες με
καθρεπτιζόμενη γραφή.
48. Greek Team
Students
Anastasia Lampridou
Anastasia Paschou
Anna Bitolianou
Christina Ntalli
Christina Vlachakou
Eirini Kondili
Elena Boptsi
Eva Kalliou
Lila Neslechanidou
Maria Mylona
Mary Ompaint
Mary Temachiadou
Ntina Mpirli
Pinelopi Pappazachariou
Stella Piperari
Stephanie Tselempi
Tania Karagianni
Tryfon Katsakis
Vaso Tzoga
Zoi Kyriakopoulou
Teachers
Eleni Stogiannou
Apostolos Tintinidis
Ελληνική ομάδα
Μαθητές
Αναστασία Λαμπρίδου
Αναστασία Πάσχου
Άννα Μπιτολιάνου
Χριστίνα Ντάλλη
Χριστίνα Βλαχάκου
Ειρήνη Κονδύλη
Έλενα Μπόπτση
Εύα Κάλλιου
Λίλα Νεσλεχανίδου
Μαρία Μυλωνά
Μαίρη Ομπαίντ
Μαίρη Τεμαχιάδου
Ντίνα Μπίρλη
Πηνελόπη Παππαζαχαρίου
Στέλλα Πιπεράρη
Στεφανία Τσελεμπή
Τάνια Καραγιάννη
Τρύφων Κατσάκης
Βάσω Τζώγα
Ζωή Κυριακοπούλου
Καθηγητές
Ελένη Στογιάννου
Απόστολος Τιντινίδης
