مارکوف فرآیندهای تصادفی پاشا

2. ‫تصادفی‬ ‫فرآیندهای‬
‫زیبافر‬ ‫سجاد‬
‫نجفی‬ ‫هاله‬
SadjadZibafar@gmail.com
halleNajafy@gmil.com

3. ‫آموزشی‬ ‫اهداف‬(‫اول‬ ‫قسمت‬)
‫انگیزه‬
‫سازی‬ ‫فرمول‬
‫سازی‬ ‫مدل‬ ‫فرآیند‬
‫ارزیابی‬

4. ‫تصادفی‬ ‫فرآیند‬
‫ی‬ ‫مولفه‬ ‫دو‬
‫بودن‬ ‫تصادفی‬
‫است‬ ‫مطرح‬ ‫بودن‬ ‫زمان‬ ‫یا‬ ‫مرحله‬ ‫دارای‬ ‫و‬.

5. ‫تصادفی‬ ‫فرآیند‬ ‫کاربردهای‬
‫ه‬ ‫شاخه‬ ‫در‬ ‫زیادی‬ ‫بسیار‬ ‫کاربردهای‬ ‫تصادفی‬ ‫های‬ ‫فرآیند‬‫ای‬
‫دارد‬ ‫ریاضیات‬ ‫و‬ ‫علوم‬ ‫مختلف‬.
،‫هوا‬ ‫و‬ ‫آب‬ ‫وضعیت‬ ‫بررسی‬
‫یا‬ ‫زمانها‬ ‫مکانها‬ ‫در‬ ‫بازی‬ ‫یک‬ ‫وضعیت‬ ‫و‬ ‫افراد‬ ‫تعداد‬
،‫مختلف‬ ‫مراحل‬
‫بورس‬ ‫بازار‬ ‫در‬ ‫سهام‬ ‫ارزش‬ ‫بررسی‬
‫ارتباطی‬ ‫های‬ ‫شبکه‬ ‫سازی‬ ‫مدل‬ ‫و‬
‫ابزارهای‬ ‫از‬ ‫همه‬
‫در‬ ‫شده‬ ‫مطالعه‬ ‫احتمالی‬
‫می‬ ‫استفاده‬ ‫درس‬ ‫این‬
‫کنند‬.

6. ‫طراحان‬ ‫ارزشمند‬ ‫فاکتور‬ ‫دو‬
‫اطالعات‬ ‫پردازش‬ ‫های‬ ‫سیستم‬ ‫طراحان‬ ‫همیشه‬
‫عملکرد‬(‫کارایی‬)
‫اطمینان‬ ‫قابلیت‬
‫آماری‬ ‫های‬ ‫روش‬ ‫و‬ ‫احتماالت‬

7. Performance
‫جه‬‫ر‬‫د‬‫ز‬‫ا‬ ‫ای‬‫انجام‬‫توابع‬‫شده‬‫داده‬ ‫های‬‫محدودیت‬‫ن‬‫و‬‫در‬،
‫جمله‬ ‫از‬:
،‫سرعت‬
‫دقت‬،
‫و‬‫حافظه‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫یا‬

8. Reliability
‫تحت‬ ‫و‬‫معینی‬ ‫مان‬‫ز‬ ‫در‬ ‫سیستم‬ ‫یک‬‫در‬ ‫ی‬‫ار‬‫ز‬‫اف‬ ‫نرم‬ ‫اینکه‬ ‫احتمال‬
‫نشود‬‫شکست‬ ‫دچار‬ ‫خاص‬ ‫ایط‬‫ر‬‫ش‬.

9. Availability
‫حالت‬ ‫یک‬‫در‬ ‫نیاز‬‫د‬‫ر‬‫مو‬ ‫توابع‬ ‫انجام‬ ‫ای‬‫ر‬‫ب‬ ‫سیستم‬ ‫یک‬ ‫توانایی‬‫یا‬ ‫ثابت‬
‫مان‬‫ز‬ ‫از‬ ‫ای‬‫ه‬‫ر‬‫دو‬ ‫در‬

10. ‫درس‬ ‫کلی‬ ‫هدف‬
‫مدل‬ ‫های‬ ‫تکنیک‬ ‫ارائه‬
‫سازی‬
‫احتماالتی‬
‫به‬
‫جهت‬
‫تحلیل‬ ‫و‬ ‫تجزیه‬‫عملکرد‬
‫پردازش‬ ‫های‬ ‫سیستم‬
‫اطالعات‬

11. ‫عملکرد‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬
‫روش‬ ‫ترین‬ ‫مستقیم‬
‫ارزیابی‬
‫مو‬ ‫سیستم‬ ‫گیری‬ ‫اندازه‬‫رد‬
‫مطالعه‬

12. discrete-event simulation
DES
‫اساس‬ ‫بر‬ ‫مدل‬ ‫ترین‬ ‫محبوب‬
‫گسسته‬ ‫رویداد‬ ‫سازی‬ ‫شبیه‬

13. Analytic Model
‫برای‬ ‫صرفه‬ ‫به‬ ‫مقرون‬ ‫جایگزین‬ ‫یک‬DES
‫به‬ ‫سریع‬ ً‫ا‬‫نسبت‬ ‫پاسخ‬“What If”‫دهند‬ ‫می‬
‫دهد‬ ‫می‬ ‫ما‬ ‫مطالعه‬ ‫مورد‬ ‫موضوع‬ ‫از‬ ‫را‬ ‫بیشتری‬ ‫دید‬

14. ‫امروزه‬ ‫امــا‬ ‫و‬
‫تصادفی‬ ‫مدل‬ ‫در‬ ‫اخیر‬ ‫های‬ ‫پیشرفت‬
‫عددی‬ ‫حل‬ ‫های‬ ‫روش‬
‫افزارها‬ ‫نرم‬ ‫بودن‬ ‫دسترس‬ ‫در‬
‫های‬ ‫قابلیت‬ ‫با‬ ‫کاری‬ ‫های‬ ‫ایستگاه‬ ‫به‬ ‫آسان‬ ‫دسترسی‬
‫محاسباتی‬ ‫پیشرفته‬
‫توانایی‬ ‫افزایش‬ ‫با‬‫اند‬ ‫شده‬ ‫طراحی‬ ‫بهتری‬ ‫های‬ ‫مدل‬

15. ‫تحلیلی‬ ‫های‬ ‫مدل‬ ‫انواع‬
‫دسته‬ ‫دو‬ ‫به‬ ‫توان‬ ‫می‬ ‫را‬ ‫تحلیلی‬ ‫مدل‬:
‫حالت‬ ‫فضای‬ ‫با‬ ‫های‬ ‫مدل‬
‫حالت‬ ‫فضای‬ ‫بدون‬
‫مدل‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫ترین‬ ‫شایع‬‫فضای‬
‫مدل‬ ‫حالت‬‫مارکوف‬ ‫ای‬‫زنجیره‬
‫است‬

16. ‫مارکوف‬ ‫زنجیره‬ ‫تاریخچه‬
‫سال‬ ‫در‬1907‫شد‬ ‫معرفی‬ ‫مارکوف‬ ‫آقای‬ ‫توسط‬.
‫سال‬ ‫از‬1950‫آنالیز‬ ‫در‬ ‫مارکوف‬ ‫زنجیره‬ ‫از‬‫عملکرد‬
‫است‬ ‫شده‬ ‫استفاده‬.
‫ح‬ ‫های‬ ‫تکنیک‬ ‫در‬ ‫توجهی‬ ‫قابل‬ ‫پیشرفت‬ ‫گذشته‬ ‫دهه‬ ‫در‬‫ل‬
‫و‬ ‫حالت‬ ‫فضای‬ ‫و‬ ‫عددی‬....

17. ‫مارکوف‬
‫مقدا‬ ‫طریق‬ ‫از‬ ‫آن‬ ‫آینده‬ ‫احتماالت‬ ‫که‬ ‫تصادفی‬ ‫فرآیندی‬‫ر‬
،‫شود‬‫می‬ ‫محاسبه‬ ‫آن‬ ‫اخیر‬‫مارکوف‬ ‫فرآیند‬‫گویند‬‫می‬.
‫ط‬ ‫به‬ ‫کند‬‫می‬ ‫تغییر‬ ‫تصادفی‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫سیستم‬ ‫چون‬‫کلی‬ ‫ور‬
‫آی‬ ‫در‬ ‫خاص‬ ‫ای‬‫نقطه‬ ‫در‬ ‫مارکف‬ ‫زنجیره‬ ‫حالت‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬‫نده‬
‫است‬ ‫ممکن‬ ‫غیر‬.
‫پی‬ ‫قابل‬ ‫آینده‬ ‫در‬ ‫سیستم‬ ‫آماری‬ ‫های‬‫ویژگی‬ ‫حال‬ ‫این‬ ‫با‬‫ش‬
‫است‬ ‫بینی‬.

18. ‫مارکوف‬
‫سیستمی‬ ‫شامل‬ ‫زمان‬ ‫در‬ ‫گسسته‬ ‫تصافی‬ ‫فرآیند‬ ‫یک‬‫که‬ ‫است‬
‫به‬ ‫و‬ ‫دارد‬ ‫قرار‬ ‫مشخصی‬ ‫و‬ ‫خاص‬ ‫حالت‬ ‫در‬ ‫مرحله‬ ‫هر‬ ‫در‬
‫دهد‬‫می‬ ‫حالت‬ ‫تغییر‬ ‫مرحله‬ ‫هر‬ ‫در‬ ‫تصادفی‬ ‫صورت‬.

19. ‫رسمی‬ ‫تعریف‬
‫مارکوف‬
‫تصادفی‬ ‫متغیرهای‬ ‫از‬ ‫ای‬‫دنباله‬ ‫مارکف‬ ‫زنجیره‬ ‫یک‬۱X،۲X،
۳X،...‫یعنی‬ ‫هستند‬ ‫مارکف‬ ‫خاصیت‬ ‫دارای‬ ‫که‬ ‫است‬:
‫برای‬ ‫ممکن‬ ‫مقادیر‬Xi‫شمارشی‬ ‫قابل‬ ‫مجموعه‬
‫که‬ ‫سازند‬‫می‬ ‫را‬‫حالت‬ ‫فضای‬‫دارد‬ ‫نام‬.

20. ‫تصافی‬ ‫زدن‬ ‫قدم‬
«‫خواره‬ ‫می‬ ‫روی‬ ‫پیاده‬»
‫زمان‬ ‫محوز‬
‫حرکت‬ ‫مسیر‬
‫هستند‬ ‫هم‬ ‫از‬ ‫مستقل‬ ‫ها‬ ‫سکه‬ ‫پرتاب‬

21. ‫سازی‬ ‫مدل‬ ‫فرآیند‬
‫مثال‬:‫تصادفی‬ ‫زدن‬ ‫ر‬ٌ‫ب‬
‫بخورد؟‬ ‫بهم‬ ‫کامال‬ ‫که‬ ‫بزنیم‬ ‫بر‬ ‫را‬ ‫ها‬ ‫کارت‬ ‫باید‬ ‫بار‬ ‫چند‬
‫مسئله؟‬ ‫ریاضی‬ ‫تعریف‬
Conceptualization
(‫مسئله‬ ‫درک‬)
‫مسئله‬ ‫گراف‬ ‫ایجاد‬

22. .
.
‫از‬ ‫بعد‬M‫بر‬ ‫بار‬
‫زدن‬
P(Ki=j)=1/n

23. Conceptualization
‫نمای‬ ‫جهت‬ ‫که‬ ‫واقعی‬ ‫منبع‬ ‫از‬ ‫شده‬ ‫ساده‬ ‫و‬ ‫خالصه‬ ‫دید‬ ‫یک‬‫ش‬
‫مسئله‬ ‫اهداف‬
‫صف‬ ‫شبکه‬ ‫عنوان‬ ‫به‬ ‫سیستم‬ ‫نمایش‬
‫گراف‬ ‫یک‬ ‫نمایش‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫مارکوف‬ ‫زنجیره‬
‫خدمتگزا‬
‫ر‬
‫دیگر‬ ‫حالت‬ ‫به‬ ‫حالتی‬ ‫از‬

24. Formalization of a real-world system

25. ‫قطعی‬‫یتم‬‫ر‬‫الگو‬
‫د‬‫د‬‫ر‬‫دا‬ ‫بینی‬‫پیش‬ ‫قابل‬ ‫ی‬‫فتار‬‫ر‬ ‫غیررسمی‬ ‫ایط‬‫ر‬‫ش‬ ‫ر‬
‫ب‬‫کند‬ ‫ایجاد‬‫ا‬‫ر‬‫ی‬ ‫خاص‬‫جی‬‫و‬‫خر‬ ‫همیشه‬ ،‫خاص‬‫ودی‬‫ر‬‫و‬ ‫یک‬ ‫دادن‬ ‫ا‬
‫و‬ ‫های‬‫دنباله‬ ‫ای‬‫ر‬‫ب‬ ‫یکسان‬ ‫ی‬‫مسیر‬‫از‬‫همیشه‬ ‫آن‬ ‫ی‬ ‫اساس‬ ‫ماشین‬‫ضعیت‬
‫کند‬ ‫ر‬‫عبو‬‫مشابه‬.
‫پیش‬ ‫از‬ ‫آن‬ ‫های‬‫حالت‬ ‫مجموعه‬ ‫بین‬ ‫جریان‬
‫است‬ ‫شده‬ ‫تعیین‬
‫کند‬‫می‬‫محاسبه‬ ‫ا‬‫ر‬ ‫ی‬ ‫یاض‬‫ر‬ ‫تابع‬ ‫یک‬‫قطعی‬ ‫یتم‬‫ر‬‫الگو‬ ‫یک‬

26. ‫قطعی‬‫غیر‬‫یتم‬‫ر‬‫الگو‬
‫استفاده‬‫ودی‬‫ر‬‫و‬ ‫از‬‫غیر‬‫به‬‫جی‬‫ر‬‫خا‬ ‫های‬‫حالت‬ ‫از‬ ‫ماشین‬‫که‬ ‫مانی‬‫ز‬‫ک‬‫ند‬.
‫ز‬‫کند‬‫می‬ ‫عمل‬‫مان‬‫ز‬ ‫به‬‫حساس‬ ‫ماشین‬‫که‬ ‫مانی‬
‫خود‬ ‫حالت‬ ‫ماشین‬ ‫تا‬ ‫شود‬ ‫باعث‬ ‫ی‬‫ار‬‫ز‬‫اف‬‫سخت‬ ‫خطای‬ ‫یک‬ ‫که‬ ‫مانی‬‫ز‬‫ا‬‫ر‬
‫دهد‬ ‫تغییر‬ ‫غیرمنتظره‬‫مسیر‬ ‫یک‬ ‫به‬
‫دی‬‫ی‬‫و‬‫ر‬‫شده‬‫ذخیره‬‫داده‬‫یا‬ ‫و‬ ‫اتفاقی‬‫مقدار‬ ،‫بر‬‫ر‬‫کا‬‫ودی‬‫ر‬‫و‬‫سک‬
‫و‬...
‫حاف‬ ‫از‬‫قسمتی‬ ‫ی‬‫و‬‫ر‬‫نوشتن‬‫عمل‬ ‫چند‬ ‫خواهید‬‫می‬ ‫که‬ ‫مانی‬‫ز‬‫ظه‬
‫دهید‬‫انجام‬‫همزمان‬‫ت‬‫ر‬‫صو‬‫به‬ ‫ا‬‫ر‬

28. ‫اول‬ ‫فصل‬
‫متغییر‬
‫تصادفی‬
‫گسسته‬
‫برنولی‬
‫ای‬ ‫جمله‬ ‫دو‬
‫هندسی‬
‫پواسون‬
‫پیوسته‬
‫نرمال‬
‫استاندارد‬
‫نما‬‫یی‬
‫هایپر‬ ‫نمایی‬
‫ارالنگ‬
‫هایپو‬ ‫نمایی‬
‫گاما‬
‫ارالنگ‬
‫مرکزی‬
Cox
Weibull
PaLognormareto
‫متغییر‬
‫تصادفی‬
‫چندگانه‬
‫مستقل‬
‫احتمال‬
‫شرطی‬
‫مهم‬ ‫روابط‬
‫حد‬ ‫قضیه‬
‫مرکزی‬
‫تبدیل‬
Z
Laplace
‫تخمین‬
‫پارامتر‬
Course map

29. ‫متغییر‬
‫تصادفی‬
‫گسسته‬
‫برنولی‬
‫ای‬ ‫جمله‬ ‫دو‬
‫هندسی‬
‫پواسون‬
‫پیوسته‬
‫نرمال‬ ‫استاندارد‬
‫نمایی‬
‫هایپر‬ ‫نمایی‬
‫ارالنگ‬
‫هایپو‬ ‫نمایی‬
‫گاما‬
‫مرکزی‬ ‫ارالنگ‬
Cox
Weibull
PaLognormareto
‫های‬ ‫متغییر‬
‫تصادفی‬

30. ‫تصادفی‬ ‫متغییر‬
‫تصادفی‬ ‫متغیر‬‫گیری‬ ‫اندازه‬ ‫از‬ ‫آن‬ ‫مقدار‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫متغیری‬
‫آید‬ ‫می‬ ‫بدست‬ ‫تصادفی‬ ‫فرآیندهای‬ ‫انواع‬ ‫از‬ ‫برخی‬.
‫فضای‬
‫نمونه‬
‫عدد‬
‫حقیقی‬
S R
‫نگاشت‬

31. ‫تصادفی‬ ‫متغییر‬
‫تاس‬ ‫دو‬ ‫پرتاب‬ ‫از‬ ‫ممکن‬ ‫برآمدهای‬(4‫و‬3)‫و‬(۱‫و‬۲)‫غیره‬ ‫و‬

32. ‫تصادفی‬ ‫متغییر‬ ‫انواع‬
‫متغییر‬
‫تصادفی‬
‫پیوسته‬ ‫گسسته‬
•‫وضع‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬‫شمارایی‬‫ای‬‫نمونه‬ ‫فضای‬S‫باش‬ ‫پیوسته‬ ‫یا‬ ‫گسسته‬ ‫تواند‬‫می‬ ‫متغیر‬ ،‫د‬.
•‫اگر‬S‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫باشد‬ ‫شمارا‬ ‫نامتناهی‬ ‫یا‬ ‫متناهی‬X‫گسسته‬
•‫و‬‫باشد‬ ‫ناشمارا‬ ‫اگر‬X‫بود‬ ‫خواهد‬ ‫پیوسته‬.

33. ‫گسسته‬ ‫تصادفی‬ ‫متغییر‬ ‫انواع‬
‫متغییر‬
‫تصادفی‬
‫پیوسته‬ ‫گسسته‬
‫برنولی‬ ‫ای‬ ‫دوجمله‬ ‫هندسی‬ ‫پواسون‬

34. ‫برنولی‬ ‫تصادفی‬ ‫متغییر‬
‫باشد‬ ‫داشته‬ ‫را‬ ‫ممکن‬ ‫برآمد‬ ‫دو‬ ‫فقط‬ ‫تصادفی‬ ‫آزمایش‬ ‫اگر‬
‫دارد‬ ‫حالت‬ ‫دو‬ ‫سکه‬ ‫پرتاب‬
‫گسسته‬
‫برنولی‬ ‫ای‬ ‫دوجمله‬ ‫هندسی‬ ‫پواسون‬

35. ‫ای‬ ‫دوجمله‬ ‫تصادفی‬ ‫متغییر‬
‫گسسته‬
‫برنولی‬ ‫ای‬ ‫دوجمله‬ ‫هندسی‬ ‫پواسون‬

36. ‫هندسی‬ ‫تصادفی‬ ‫متغییر‬
‫یک‬ ‫تا‬ ‫دهیم‬ ‫انجام‬ ‫آنقدر‬ ‫را‬ ‫برنولی‬ ‫مستقل‬ ‫های‬ ‫آزمایش‬ ‫اگر‬
‫آید‬ ‫بدست‬ ‫موفقیت‬.
‫گسسته‬
‫برنولی‬ ‫ای‬ ‫دوجمله‬ ‫هندسی‬ ‫پواسون‬
X‫پارامتر‬ ‫با‬ ‫تصادفی‬ ‫متغییر‬p
X‫موفق‬ ‫اولین‬ ‫آوردن‬ ‫بدست‬ ‫برای‬ ‫الزم‬ ‫آزمایشات‬ ‫تعداد‬

37. ‫هندسی‬
‫شبکه‬ ‫در‬ATM‫هر‬ ‫از‬ ‫ای‬10‫اگ‬ ‫باشد‬ ‫می‬ ‫خاصی‬ ‫سرآیند‬ ‫دارای‬ ‫یکی‬ ‫شود‬ ‫می‬ ‫مسیریابی‬ ‫وارد‬ ‫که‬ ‫ای‬ ‫بسته‬‫ر‬
‫متغییر‬x‫از‬ ‫پس‬ ‫که‬ ‫دارد‬ ‫احتمال‬ ‫چقدر‬ ‫باشد‬ ‫نظر‬ ‫مورد‬ ‫بسته‬ ‫به‬ ‫رسیدن‬ ‫در‬ ‫شده‬ ‫باز‬ ‫های‬ ‫بسته‬ ‫تعداد‬4‫به‬ ‫بار‬
‫دستیابیم؟‬ ‫نظر‬ ‫مورد‬ ‫بسته‬
P(x=4)=(0.9)3 (0.1)1= 0.0729

38. ‫پواسون‬ ‫تصادفی‬ ‫متغییر‬
‫در‬ ‫تابع‬ ‫متوسط‬ ‫تعداد‬ ‫چناچه‬ ‫ای‬ ‫جمله‬ ‫دو‬ ‫توزیع‬ ‫شرایط‬ ‫در‬‫یک‬
‫باشد‬ ‫معین‬ ‫خاصی‬ ‫قسمت‬ ‫در‬ ‫یا‬ ‫فاصله‬
‫که‬ ‫وقتی‬ ‫برای‬ ‫بخصوص‬k ∞‫و‬p‫کوچک‬ ‫مقدار‬ ‫سمت‬ ‫به‬
‫کند‬ ‫می‬ ‫میل‬
‫گسسته‬
‫برنولی‬ ‫ای‬ ‫دوجمله‬ ‫هندسی‬ ‫پواسون‬

39. ‫ای‬ ‫جمله‬ ‫دو‬ ‫با‬ ‫پواسون‬ ‫تفاوت‬
‫روز‬ ‫یک‬ ‫در‬ ‫سایتی‬ ‫از‬ ‫بازدید‬ ‫در‬ ‫دسترسی‬ ‫عدم‬ ‫پیغام‬ ‫مقدار‬ ‫اگر‬0.005‫و‬ ‫باشد‬3000‫مراجعه‬ ‫سایت‬ ‫به‬ ‫نفر‬
‫اینکه‬ ‫احتمال‬ ‫محاسبه‬ ‫برای‬ ‫کنند‬18‫باشد؟‬ ‫می‬ ‫چقدر‬ ‫شوند‬ ‫مواجه‬ ‫مذکور‬ ‫پیغام‬ ‫با‬ ‫نفر‬

40. ‫ریاضی‬ ‫امید‬ ‫یا‬ ‫میانگین‬ ‫مقدار‬
‫در‬‫احتماالت‬ ‫نظریه‬
‫ریاضی‬ ‫امید‬،
‫میانگین‬،
‫انتظار‬ ‫مورد‬ ‫مقدار‬‫یا‬
‫انتظار‬ ‫مورد‬ ‫ارزش‬
‫یک‬‫تصادفی‬ ‫متغیر‬‫با‬ ‫است‬ ‫برابر‬ ‫گسسته‬
‫مجموع‬‫ضرب‬‫حاصل‬‫ممکن‬ ‫حاالت‬ ‫از‬ ‫یک‬ ‫هر‬ ‫وقوع‬ ‫احتمال‬
‫حالت‬ ‫آن‬ ‫مقدار‬ ‫در‬.

41. ‫مثال‬
‫ی‬ ‫از‬ ‫متوسط‬ ‫بطور‬ ‫که‬ ‫مقداری‬ ‫با‬ ‫است‬ ‫برابر‬ ‫میانگین‬‫ک‬
‫رود‬‫می‬ ‫انتظار‬ ‫تکرار‬ ‫نهایت‬‫بی‬ ‫با‬ ‫تصادفی‬ ‫فرایند‬.‫ب‬‫طور‬
‫برای‬ ‫مثال‬‫تاس‬‫داریم‬:

42. ‫گشتاور‬(Moments)‫فیزیک‬ ‫در‬
‫باشد‬ ‫می‬ ‫فیزیک‬ ‫علم‬ ‫به‬ ‫مربوط‬ ‫اصطالح‬
‫گشتاور‬=‫دورانی‬ ‫سختی‬
‫حرک‬ ‫تغییر‬ ‫برابر‬ ‫در‬ ‫جسم‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫مقاومتی‬ ‫گشتاور‬‫ت‬
‫م‬ ‫نشان‬ ‫خود‬ ‫از‬ ‫معین‬ ‫نیروی‬ ‫گشتاور‬ ‫یک‬ ‫توسط‬ ‫دورانی‬‫ی‬
‫دهد‬
‫میانگین‬ ‫حول‬ ‫گشتاور‬ ‫ترتیب‬ ‫همین‬ ‫به‬(‫ثقل‬ ‫مرکز‬)‫با‬ ‫را‬µ
‫دهند‬ ‫می‬ ‫نمایش‬

43. ‫ریاضی‬ ‫و‬ ‫احتمال‬ ‫در‬ ‫گشتاور‬
‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬ ‫در‬‫گشتاور‬‫توز‬ ‫یک‬ ‫شکل‬ ‫توصیف‬ ‫برای‬ ‫ی‬ّ‫م‬‫ک‬ ‫معیاری‬‫یع‬
‫است‬ ‫احتماالتی‬.
‫عنوان‬ ‫به‬‫مثال‬
‫بعد‬ ‫یک‬ ‫در‬ ‫نمونه‬ ‫تعدادی‬ ‫عرض‬ ‫بیانگر‬ ‫دوم‬ ‫گشتاور‬
‫و‬‫تخمی‬ ‫را‬ ‫داده‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫گونی‬‫بیضی‬ ‫شکل‬ ‫بیانگر‬ ‫باالتر‬ ‫بعدهای‬ ‫در‬‫زند‬‫می‬ ‫ن‬.
‫می‬ ‫از‬ ‫شدگی‬‫کج‬ ‫مانند‬ ‫احتمال‬ ‫توزیع‬ ‫دیگر‬ ‫های‬‫جنبه‬ ‫دیگر‬ ‫گشتاورهای‬‫انگین‬
‫کنند‬‫می‬ ‫توصیف‬ ‫را‬.
‫است‬ ‫میانگین‬ ‫همان‬ ‫اول‬ ‫گشتاور‬.
‫برای‬‫حس‬ ‫میانگین‬ ‫حول‬ ‫را‬ ‫گشتاور‬ ‫معموال‬ ‫باالتر‬ ‫مراتب‬ ‫گشتاورهای‬‫اب‬
‫را‬ ‫آن‬ ‫و‬ ‫کنند‬‫می‬‫مرکزی‬ ‫گشتاور‬‫نامند‬‫می‬.
k‫امین‬‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫مرکزی‬ ‫گشتاور‬X‫شود‬‫می‬ ‫تعریف‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬:
‫آن‬ ‫در‬ ‫که‬µ‫میانگین‬‫است‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬.

44. n‫امین‬
‫گشتاور‬
n‫گشتاو‬ ‫امین‬‫ر‬
‫مرکزی‬
‫گشتاور‬ ‫دومین‬
‫مرکزی‬
(‫واریانس‬)
‫ضریب‬
‫پراکندگی‬

45. ‫گسسته‬ ‫تصادفی‬ ‫متغییرهای‬ ‫قسمت‬ ‫بندی‬ ‫جمع‬

46. ‫تجمعی‬ ‫توزیع‬ ‫تابع‬
‫کنید‬ ‫فرض‬X‫آن‬ ‫توزیع‬ ‫تابع‬ ،‫باشد‬ ‫تصادفی‬ ‫متغییر‬‫با‬ ‫که‬
‫نماد‬FX‫اعداد‬ ‫ی‬ ‫مجموعه‬ ‫بر‬ ‫است‬ ‫تابعی‬ ‫دهیم‬ ‫می‬ ‫نشان‬
‫است‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫که‬ ‫حقیقی‬.
FX(t)=P{X≤t} , t R
‫اینکه‬ ‫احتمال‬ ‫کند‬ ‫می‬ ‫مشخص‬
X‫مساوی‬ ‫و‬ ‫کوچکتر‬ ‫مقداری‬
t‫بگیرد‬

47. (2,4 , 6,8)
(3,3 , 5,9)
(4,4 , 4,8)
(3,5 , 5,7)
S={ }

48. (2,4 , 7,8)
P{x=2}=p{ (2,4 , 7,8) }
={ ‫جعبه‬ ‫انتخاب‬‫قرمز‬‫آن‬ ‫از‬ ‫سفید‬ ‫مهره‬ ‫یک‬ ‫انتخاب‬ ‫و‬ }
‫ظرف‬ ‫دو‬ ‫از‬ ‫یکی‬ ‫انتخاب‬ ‫از‬ ‫سفید‬ ‫توپ‬ ‫سه‬7‫ظرف‬ ‫در‬ ‫موجود‬ ‫توپ‬‫قرمز‬

49. P{x=3}=p{ (3,3 , 5,9 )‫یا‬ (3,5 , 5,7) {
={ ‫جعبه‬ ‫انتخاب‬‫قرمز‬‫آن‬ ‫از‬ ‫سیاه‬ ‫مهره‬ ‫یک‬ ‫انتخاب‬ ‫و‬ }
‫ظرف‬ ‫دو‬ ‫از‬ ‫یکی‬ ‫انتخاب‬ ‫از‬ ‫سیاه‬ ‫توپ‬ ‫چهار‬7‫قرمز‬ ‫ظرف‬ ‫در‬ ‫موجود‬ ‫توپ‬
(3,3 , 5,9)
‫یا‬ { ‫جعبه‬ ‫انتخاب‬‫آبی‬‫آن‬ ‫از‬ ‫سیاه‬ ‫مهره‬ ‫یک‬ ‫انتخاب‬ ‫و‬ }
(3,5 , 5,7)

50. P{x=4}=p{((4,4 , 4,8) }
={ ‫جعبه‬ ‫انتخاب‬‫آبی‬‫آن‬ ‫از‬ ‫سفید‬ ‫مهره‬ ‫یک‬ ‫انتخاب‬ ‫و‬ }
‫ظرف‬ ‫دو‬ ‫از‬ ‫یکی‬ ‫انتخاب‬ 5‫از‬ ‫سفید‬ ‫توپ‬13‫ظرف‬ ‫در‬ ‫موجود‬ ‫توپ‬‫آبی‬
(4,4 , 4,8)

51. ‫توزیع‬ ‫تابع‬
FX(t)=
0
1
t≤2
2≤t>3
3≤t>4
4≤t
0.6
0.3
FX(t)
1 2 3 4 5
1
0.6
0.3
0

52. ‫چگالی‬ ‫توزیع‬ ‫تابع‬
FX(x)=P{X≤x} , x R
‫تجمعی‬ ‫توزیع‬ ‫تابع‬
‫مشتق‬
‫چگالی‬ ‫توزیع‬ ‫تابع‬

53. ‫تصادفی‬ ‫متغییر‬ ‫انواع‬
‫متغییر‬
‫تصادفی‬
‫پیوسته‬ ‫گسسته‬
•‫وضع‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬‫شمارایی‬‫ای‬‫نمونه‬ ‫فضای‬S‫باش‬ ‫پیوسته‬ ‫یا‬ ‫گسسته‬ ‫تواند‬‫می‬ ‫متغیر‬ ،‫د‬.
•‫اگر‬S‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫باشد‬ ‫شمارا‬ ‫نامتناهی‬ ‫یا‬ ‫متناهی‬X‫گسسته‬
•‫و‬‫باشد‬ ‫ناشمارا‬ ‫اگر‬X‫بود‬ ‫خواهد‬ ‫پیوسته‬.

54. ‫برای‬ ‫ریاضی‬ ‫امید‬
‫پیوسته‬ ‫تصادفی‬ ‫متغییرها‬

55. n‫امین‬
‫گشتاور‬
n‫امین‬
‫گشتاور‬
‫مرکزی‬
‫گشتاور‬‫دومین‬
‫مرکزی‬
(‫واریانس‬)
‫ضریب‬
‫پراکندگی‬

56. ‫تصادفی‬ ‫متغییر‬ ‫پیوسته‬
‫نرمال‬ ‫استاندارد‬
‫نمایی‬
‫هایپر‬ ‫نمایی‬
‫ارالنگ‬
‫هایپو‬ ‫نمایی‬
‫گاما‬
‫مرکزی‬ ‫ارالنگ‬
Cox
Weibull
PaLognormareto
‫پیوسته‬

57. ‫نرمال‬ ‫توزیع‬
‫پیوست‬ ‫تصادفی‬ ‫متغییر‬ ‫ترین‬ ‫شناخته‬ ‫و‬ ‫مهمترین‬‫ه‬
‫خوانی‬‫هم‬ ،‫توزیع‬ ‫این‬ ‫اهمیت‬ ‫همچنین‬ ‫و‬ ‫گذاری‬‫نام‬ ‫علت‬
‫طبیعی‬ ‫های‬‫نوسان‬ ‫هنگام‬ ،‫شده‬ ‫حاصل‬ ‫مقادیر‬ ‫از‬ ‫بسیاری‬‫و‬
‫از‬ ‫حاصل‬ ‫مقادیر‬ ‫با‬ ‫ثابت‬ ‫مقدار‬ ‫یک‬ ‫پیرامون‬ ‫فیزیکی‬‫این‬
‫توزیع‬‫است‬.

58. ‫نرمال‬ ‫توزیع‬
‫تصادفی‬ ‫متغیر‬X‫تابع‬ ‫هرگاه‬ ‫است‬ ‫نرمال‬ ‫توزیع‬ ‫دارای‬
‫باشد‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫آن‬ ‫احتمال‬ ‫چگالی‬ ‫توزیع‬:

59. ‫استاندارد‬ ‫نرمال‬

60. ‫نرمال‬ ‫توزیع‬ ‫خواص‬
‫خط‬ ‫به‬ ‫نسبت‬ ‫منحنی‬ ‫این‬µx=‫است‬ ‫متقارن‬.
‫منطبقند‬ ‫هم‬ ‫بر‬ ‫مد‬ ‫و‬ ‫میانگین‬ ،‫میانه‬.
‫نقاط‬ ‫در‬ ‫عطف‬ ‫نقطه‬ ‫دو‬ ‫دارای‬ ‫منحنی‬µx=

61. ‫نمایی‬ ‫توزیع‬
‫پی‬ ‫ناحیه‬ ‫یک‬ ‫در‬ ‫وقایع‬ ‫تعداد‬ ‫پواسون‬ ‫توزیع‬ ‫گفتیم‬‫با‬ ‫وسته‬
‫است‬ ‫زمانی‬ ‫فاصله‬ ‫یک‬.
‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫اگر‬ ‫حال‬X‫بین‬ ‫زمان‬ ‫یا‬ ‫اتفاق‬ ‫اولین‬ ‫زمان‬
‫باشد‬ ‫پواسون‬ ‫توزیع‬ ‫در‬ ‫متوالی‬ ‫اتفاق‬ ‫دو‬.

62. ‫نمایی‬ ‫حد‬ ‫از‬ ‫بیش‬ ‫توزیع‬
Hypo-exponential Distribution
‫یک‬ ‫از‬ ‫کمتر‬ ‫تغییرات‬ ‫ضریب‬ ‫با‬ ‫است‬ ‫نمایی‬ ‫همان‬

63. ‫کاربرد‬
Hypo-exponential Distribution
‫صف‬ ‫تئوری‬
‫مخابرات‬ ‫ترافیک‬ ‫مهندسی‬
‫تصادفی‬ ‫فرآیندهای‬ ‫در‬ ‫کلی‬ ‫طور‬ ‫به‬ ‫و‬

64. Hyper-exponential Distribution
‫یک‬ ‫از‬ ‫بیشتر‬ ‫تغییرات‬ ‫ضریب‬ ‫با‬ ‫است‬ ‫نمایی‬ ‫همان‬

65. ‫گامــا‬ ‫توزیع‬-α
‫توزیع‬ ‫رخداد‬ ‫اولین‬ ‫برای‬ ‫الزم‬ ‫زمان‬ ‫نمایی‬ ‫توزیع‬ ‫در‬
‫گردید‬ ‫مطرح‬ ‫پواسون‬
‫برای‬ ‫الزم‬ ‫زمان‬ ‫و‬ ‫دهیم‬ ‫می‬ ‫تعمیم‬ ‫را‬ ‫فوق‬ ‫مطلب‬ ‫حال‬
α‫کنیم‬ ‫می‬ ‫بررسی‬ ‫را‬ ‫رخداد‬ ‫امین‬

66. ‫متوسط‬ ‫طور‬ ‫به‬ ‫ساعت‬ ‫هر‬ ‫کنید‬ ‫فرض‬30‫وارد‬ ‫بسته‬
‫محاسبه‬ ‫مطلوبست‬ ‫شود‬ ‫می‬ ‫مسیریابی‬
‫الف‬:‫الاقل‬ ‫مسیریاب‬ ‫اینکه‬ ‫احتمال‬5‫تا‬ ‫بماند‬ ‫منتظر‬ ‫دقیقه‬
‫شود؟‬ ‫وارد‬ ‫بسته‬ ‫دومین‬

67. ‫مستقل‬ ‫تصادفی‬ ‫متغییرهای‬
‫تصادفی‬ ‫متغییر‬ ‫دو‬X‫و‬Y‫به‬ ‫گاه‬ ‫هر‬ ‫گوییم‬ ‫می‬ ‫مستقل‬ ‫را‬
‫هر‬ ‫ازای‬x‫و‬y‫باشیم‬ ‫داشته‬.
F(x,y)=FX(x) FY(y)

68. ‫شرطی‬ ‫احتمال‬
‫کنید‬ ‫فرض‬A‫نمونه‬ ‫فضای‬ ‫از‬ ‫پیشامدی‬S‫باشد‬.
‫مانند‬ ‫دلخواه‬ ‫پیشامد‬ ‫هر‬ ‫برای‬B‫ای‬ ‫نمونه‬ ‫فضای‬ ‫این‬ ‫از‬
‫یعنی‬ ،‫آن‬ ‫شرطی‬ ‫احتمال‬P(B|A)‫کنیم‬ ‫می‬ ‫تعریف‬ ‫در‬ ‫را‬
PA(B)=P(B|A)=

69. ‫درختی‬ ‫نمودار‬
‫سئوال‬ ‫مخزن‬ ‫در‬:
‫سئوال‬ ‫چهار‬‫هندسه‬
‫سئوال‬ ‫سه‬‫جبر‬
‫سئوال‬ ‫پنج‬‫حسابان‬‫دار‬‫یم‬
‫شود‬ ‫می‬ ‫مصاحبه‬ ‫آموز‬ ‫دانش‬ ‫از‬
‫سئوال‬ ‫او‬ ‫از‬ ‫که‬ ‫صورتی‬ ‫در‬
‫هندسه‬‫احتمال‬ ‫شود‬ ‫پرسیده‬0.3‫می‬ ‫قبول‬
‫شود‬
‫از‬ ‫و‬‫جبر‬‫احتمال‬0.4‫قبول‬
‫شود‬ ‫می‬
‫از‬ ‫و‬‫حسابان‬‫احتمال‬0.7‫شود‬ ‫می‬ ‫قبول‬

70. •‫سئوال‬ ‫مخزن‬ ‫در‬:
–‫سئوال‬ ‫چهار‬‫هندسه‬
–‫سئوال‬ ‫سه‬‫جبر‬
–‫سئوال‬ ‫پنج‬‫حسابان‬‫داریم‬
‫در‬ ‫شود‬ ‫می‬ ‫مصاحبه‬ ‫آموز‬ ‫دانش‬ ‫از‬
‫سئوال‬ ‫او‬ ‫از‬ ‫که‬ ‫صورتی‬
‫هندسه‬‫احتمال‬ ‫شود‬ ‫پرسیده‬0.3‫شود‬ ‫می‬ ‫قبول‬
‫از‬ ‫و‬‫جبر‬‫احتمال‬0.4‫شود‬ ‫می‬ ‫قبول‬
‫از‬ ‫و‬‫حسابان‬‫احتمال‬0.7‫می‬ ‫قبول‬
‫شود‬
3/12
‫هندسه‬
‫جبر‬
‫حسابان‬
‫قبول‬
‫رد‬
‫قبول‬
‫رد‬
‫قبول‬
‫رد‬
=P(‫آموز‬ ‫دانش‬ ‫شدن‬ ‫)قبول‬
=4/12*0.3+3/12*0.4+8/12*0.7

71. ‫مهم‬ ‫روابط‬

72. Covariance
‫تصادف‬ ‫متغیر‬ ‫دو‬ ‫بین‬ ‫وابستگی‬ ‫میزان‬ ‫گیری‬ ‫اندازه‬‫ی‬X‫و‬
Y
‫اگر‬x=y

73. correlation coefficient

74. ‫مرکزی‬ ‫حد‬ ‫قضیه‬
‫دنباله‬...,X1,X2,X3‫با‬ ‫مستقل‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیرهای‬ ‫از‬
‫یکسان‬ ‫توزیع‬D‫یک‬ ‫بر‬ ‫که‬‫احتمال‬ ‫فضای‬‫ان‬‫شده‬ ‫تعریف‬‫د‬
‫میانگین‬D‫برابر‬m‫آن‬ ‫معیار‬ ‫از‬ ‫نحراف‬ ‫و‬0
‫سری‬Sn = X1+X2+X3+...+Xn‫بگیرید‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫را‬.
‫که‬ ‫دانیم‬‫می‬‫میانگین‬Sn‫برابر‬nm‫و‬‫معیار‬ ‫از‬ ‫انحراف‬
‫آن‬0‫است‬.‫مرکزی‬ ‫حد‬ ‫قضیه‬ ‫اساس‬ ‫بر‬Sn‫بی‬ ‫در‬
‫سمت‬ ‫به‬ ‫نهایت‬‫نرمال‬ ‫توزیع‬(N(nm, 02n‫کند‬‫می‬ ‫میل‬.

75. ‫احتمال‬ ‫بازی‬ ‫شعبده‬
5, 3 , 3 , 1 , 1 , 6, 2, 1 , 2 , 2 , 4 , 3 , 3 ,4 ,2, 5, 2, 1 ,3 , 4, 1 , 4

76. ‫تبدیل؟‬ ‫چرا‬
‫محاسبه‬
‫ریاضی‬ ‫امید‬
‫واریانس‬
‫گشتاور‬
‫است‬ ‫خارج‬ ‫حوصله‬ ‫از‬

77. ‫تبدیل‬ ‫انواع‬
z
‫الپالس‬

78. ‫تبدیل‬Z
‫ت‬‫بدیل‬Z‫از‬ ‫است‬ ‫تبدیلی‬‫گسسته‬ ‫سیگنال‬‫زما‬ ‫حوزه‬ ‫در‬‫به‬ ‫ن‬
‫مختلط‬ ‫فرکانسی‬ ‫فضای‬