Các biến giải thích ngẫu nhiên và phương pháp biến công cụ - Domadar N. Gujarati_10534912092019

1. 1
Chương 19
Các biến giải thích ngẫu nhiên và phương pháp
biến công cụ
Domadar N. Gujarati
(Econometrics by example, 2011).
Người dịch và diễn giải: Phùng Thanh Bình, MB (24/12/2017)
Một lần tôi đã hỏi sinh viên của mình để xem các phát biểu sau đây là đúng, sai
hoặc không chắc chắn:
A. Số năm đi học càng nhiều thì thu nhập càng cao.
B. Tỷ lệ người già trong dân số càng cao thì tỷ lệ nghèo đói càng cao.
C. Trong một cộng đồng càng có nhiều khu học chánh thì cạnh tranh càng
cao và càng có nhiều trường tốt hơn.
D. Hỗ trợ tài chính càng cao thì sẽ càng có nhiều sinh viên đi học đại học.
E. Trong kỳ thi SAT, điểm phần thi đọc hiểu càng cao thì điểm phần thi toán
càng cao.
F. Là một cựu chiến binh thì thu nhập trọn đời sẽ cao hơn.
G. Trung bình, phụ nữ được trả lương ít hơn đàn ông bởi vì sự phân biệt giới
tính.
H. Điểm của sinh viên trong kỳ thi kinh tế lượng phụ thuộc vào nỗ lực của
sinh viên đó.
I. Tăng cung tiền dẫn đến lạm phát cao hơn.
J. Xem TV dẫn đến tự kỷ.

2. 2
Mặc dù có một vài sinh viên trong lớp của tôi nghĩ rằng một số các phát biểu
này đúng, nhưng phần lớn trong số họ cho rằng: ‘tùy …’.
Hãy xem phát biểu A. Có phải bản thân giáo dục chính thức hoặc giáo dục
chính thức và năng lực bẩm sinh quyết định tiền lương trong tương lai? [Lưu ý:
Earnings ở đây được hiểu là thu nhập từ tiền lương, nên từ đây về sau sẽ gọi là
tiền lương]. Nên nếu chúng ta không tính đến năng lực bẩm sinh của sinh viên,
thì chúng ta có thể phóng đại đóng góp của giáo dục đối với tiền lương. Vì thế
trong một hồi quy tiền lương theo giáo dục (được đo bằng số năm đi học), biến
giáo dục có khả năng tương quan với hạng nhiễu của hồi quy, vì hạng nhiễu có
thể chứa biến về năng lực bẩm sinh. Trong trường hợp này, chúng ta nói rằng
giáo dục là một biến giải thích nội sinh (endogenous regressor), hoặc nói một
cách chính thức hơn, là một biến giải thích ngẫu nhiên (stochastic regressor).
Như chúng ta thấy dưới đây, điều này sẽ làm cho các kết quả hồi quy theo
phương pháp OLS thông thường bị hoài nghi.
Như một trường hợp khác, xem phát biểu D. Đối với nhiều sinh viên, thì hỗ trợ
tài chính có thể là một điều kiện cần của giáo dục đại học, nhưng đó có thể
không phải là điều kiện đủ, vì còn nhiều yếu tố liên quan đến việc quyết định đi
học đại học. Vì thế, một hồi quy về quyết định đi học đại học (thông qua mô
hình logit hoặc probit) theo biến hỗ trợ tài chính có thể cường điệu tác động của
hỗ trợ tài chính bởi vì hồi quy như thế không tính đến các biến bị bỏ sót trong
mô hình, mà các biến bị bỏ sót ấy có thể tương quan chặt chẽ với hỗ trợ tài
chính. Vì thế hỗ trợ tài chính có thể là một biến giải thích ngẫu nhiên.
Ý chính của tất cả các phát biểu vừa kể trên và nhiều phát biểu tương tự như
thế là rằng nếu chúng ta có một biến giải thích ngẫu nhiên có thể tương quan
với hạng nhiễu (của hồi quy), thì điều đó có thể làm cho ước lượng chuẩn theo
OLS không thể áp dụng được, hoặc ít nhất là không thể tin cậy được. Trong

3. 3
phần còn lại của chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu vấn đề này một cách
chính thức hơn và sau đó xem xét một số ứng dụng thực tế.
19.1 Vấn đề nội sinh
Một giả định quan trọng của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển được phát biểu
trong phương trình (1.8) là giá trị kỳ vọng của hạng nhiễu ui, khi cho trước các
giá trị của các biến giải thích, là bằng 0. Về mặt ký hiệu sẽ như sau:
Nói cách khác, giả định này phát biểu rằng các yếu tố không quan sát được, đại
diện bởi hạng nhiễu ui không có tương quan một cách cố hệ thống với các biến
giải thích hoặc các biến giải thích thực sự là các biến ngoại sinh (exogenous).
Lưu ý rằng X có thể bao gồm một hoặc nhiều biến giải thích.
Với giả định này và các giả định khác được đưa ra trong chương 1, chúng ta có
thể khẳng định rằng các ước lượng OLS là các ước lượng tuyến tính không
chệch tốt nhất (BLUE). Với giả định được bổ sung thêm rằng hạng nhiễu theo
phân phối chuẩn, thì chúng ta có thể thấy rằng từng ước lượng OLS theo phân
phối chuẩn với trung bình và phương sai được trình bày trong chương đó.
Nhưng điều gì xảy ra nếu giả định (19.1) không thỏa mãn - nghĩa là, có tương
quan giữa hạng nhiễu và một hoặc nhiều biến giải thích? Nói theo một cách
khác, điều gì xảy ra nếu X là một biến ngẫu nhiên (stochastic or random
variable) và có tương quan với hạng nhiễu? Đây được biết như trường hợp về
một biến giải thích nội sinh (endogenous regressor) – nghĩa là, một trường hợp
trong đó các biến giải thích ngẫu nhiên có tương quan với hạng nhiễu.

4. 4
Cho một ví dụ cụ thể. Hãy xem hồi quy sau đây về tỷ lệ tội phạm theo chi tiêu
cho lực lượng cảnh sát ở 50 bang của Mỹ năm 1992, dữ liệu trong Table 19.1,
có thể được tìm thấy trên trang web đồng hành cùng cuốn sách.
Sử dụng dữ liệu này, chúng ta có được kết quả như trong Bảng 19.2. Được
đánh giá theo các tiêu chí thông thường, hồi quy này trong rất ấn tượng [😉].
Kết quả cho thấy rằng tăng chi tiêu cho lực lượng cảnh sát dẫn đến tỷ lệ tội
phạm cao hơn! Nếu điều này đúng, thì thật là một tin xấu.
Bảng 19.2: Hồi quy tỷ lệ tội phạm1.
Dĩ nhiên, chúng ta nên hoài nghi về các kết quả này bởi vì chúng không mang
ý nghĩa thực tế. Dường như một số biến giải thích thuộc mô hình này đã bị bỏ
sót và biến chi tiêu cho lực lượng cảnh sát có thể có tương quan chặt chẽ với
những biến bị bỏ ra ngoài mô hình (left-out variables).
Trong cuốn sách nổi tiếng hiện nay của họ, cuốn Kinh tế học hài hước
(Freakonomics), Steven Levitt va Stephen Dubner lập luận rằng để thiết lập mối
quan hệ nhân quả giữa tội phạm và cảnh sát …
… chúng ta cần một kịch bản trong đó nhiều cảnh sát được thuê hơn vì nhiều
lý do hoàn toàn không liên quan gì đến việc tội phạm gia tăng. Ví dụ, nếu
1
Các phân loại tội phạm bao gồm: tấn công có vũ khí, sự cố gây hỏa hoạn, ăn trộm, giết người, ăn cướp, bạo
hành tình dục, xe hơi bị mất trộm, và ăn trộm trong xe hơi.

5. 5
cảnh sát được rải ngẫu nhiên ở một số thành phố và ở các thành phố khác
thì không, chúng ta có thể xem liệu tội phạm có giảm ở những thành phố có
cảnh sát tình cờ đổ bộ xuống2.
Levitt và Stephen chỉ ra rằng trong các tháng trước ngày bầu cử, các thị trưởng
đương nhiệm liên tục nhận các thư ủy nhiệm về việc giữ gìn an ninh trật tự (lwa-
and-order credentials) bằng cách thuê thêm nhiều cảnh sát, thậm chí khi tỷ lệ
tội phạm dường như không gia tăng.
Tiêu điểm của tất cả thảo luận này là có phải việc X là nguyên nhân của Y (X
causes Y) có thể phụ thuộc nhiều vào một biến Z nào khác, mà biến này có thể
là nguyên nhân của Y một cách gián tiếp thông qua ảnh hưởng của nó lên X,
mặc dù Z có thể không có bất kỳ mối quan hệ trực tiếp nào với Y. Vì thế, trong
một hồi quy Y theo X, nếu chúng ta không tính đến ảnh hưởng của Z lên X và
chuyển nó vào hạng nhiễu ui của phương trình, nên chắc chắn có sự tương
quan giữa X và hạng nhiễu. Nói cách khác, biến giải thích X là một biến ngẫu
nhiên, điều này vi phạm giả định trong phương trình (19.1). Chúng ta có thể cho
thấy điều này với một sơ đồ đường dẫn (path diagram), trong đó mũi tên chỉ
chiều hướng của mối quan hệ giữa các biến (Hình 19.1)3.
Hình 19.1: Mối quan hệ giữa các biến.
Trong hình 19.1(a), không có mũi tên giữa X và u (tức là không có sự tương
quan), điều này đại diện cho giả định hồi quy OLS cổ điển. Ở đây, hồi quy OLS
2
Steven D. Levitt and Stephen J. Dubner, Freakonomics, William Morrow, New York, 2005, p. 126.
3
Hình này lấy từ A. Colin Cameron and Pravin K. Trivedi, Microeconometrics Using Stata, Stata Press, College
Station, Texas, pp. 172-3.

6. 6
của Y theo X sẽ cho chúng ta các giá trị ước lượng nhất quán của các hệ số hồi
quy. Hình 19.1(b) cho thấy một mối quan hệ giữa biến giải thích và hạng nhiễu,
đó là trường hợp của biến giải thích ngẫu nhiên. Trong trường hợp này, như
chúng ta sẽ thấy dưới đây, hồi quy Y theo X sẽ đưa ra các giá trị không nhất
quán của các hệ số hồi quy, thậm chí trong các mẫu lớn. Trong hình 19.1(c),
những thay đổi trong Z không ảnh hưởng một cách trực tiếp lên Y, nhưng có
ảnh hưởng gián tiếp thông qua X. Như chúng ta sẽ sớm thấy, Z được gọi là biến
công cụ (IV) hoặc đơn giản là một công cụ (instrument) và cho biết làm sao mà
(các) biến như thế có thể giúp chúng ta có được các giá trị ước lượng nhất quán
của các hệ số hồi quy.
Trong các phần tiếp theo, trước tiên chúng ta thảo luận trường hợp biến giải
thích ngẫu nhiên và chỉ ra các hậu quả của nó đối với ước lượng OLS và sau
đó cho thấy phương pháp biến công cụ có thể được sử dụng như thế nào trong
trường hợp chúng ta không thể dựa vào OLS.
19.2 Vấn đề với các biến giải thích ngẫu nhiên
Để giải thích các ý tưởng cơ bản mà không dựa vào đại số ma trận, chúng ta
sẽ xem xét hồi quy tuyến tính hai biến:
Chúng ta giả định rằng biến giải thích Xi là ngẫu nhiên. Bây giờ chúng ta phân
biệt ba trường hợp4:
4
Thảo luận sau đây dựa theo Jan Kmenta, Elements of Econometrics, 2nd
edn, Macmillan Publishing Company,
New York, 1986, pp. 334-41; William H. Greene, Econometric Analysis, 6th
edn, Pearson/Prentice-Hall, 2008; and
Russell Davidson and James G. MacKinnon, Econometric Theory and Methods, 2nd
edn, Oxford University Press,
New York, 2004.

7. 7
1. X và u phân phối độc lập: Trong trường hợp này, đối với tất cả các mục
đích ứng dụng thực tế chúng ta có thể tiếp tục sử dụng OLS. Như Greene
lưu ý như sau:
Vì thế, kết luận rằng các kết quả quan trọng mà chúng ta đã có được cho
đến giờ đối với ước lượng theo bình phương bé nhất, sự không chệch và
định lý Gauss-Markov vẫn đúng cho dù chúng ta xem X ngẫu nhiên hay
không5.
2. X và u tại cùng thời điểm không tương quan với nhau: Đây là một điều
kiện yếu điều kiện thứ nhất. Trong trường hợp này, các kết quả OLS cổ
điển vẫn đúng chỉ mang tính tiệm cận – nghĩa là trong các mẫu lớn (xem
Phụ lục 19A.1).
3. X và u hoặc là không có phân phối độc lập hoặc tương quan tại cùng thời
điểm: Trường hợp này, trường hợp nghiêm trọng hơn, các ước lượng OLS
không những bị chệch mà còn không nhất quán. Bằng trực giác, lý do
của điều này là:
… phương pháp ước lượng theo bình phương bé nhất được thiết kế theo
một cách sao cho tổng biến thiên của Y [TSS] có thể luôn luôn được chia
thành hai phần, một đại diện cho biến thiên do các biến giải thích [ESS]
và một đại diện cho biến biến do các yếu tố khác. Nhưng khi biến giải
thích và hạng nhiễu tương quan, một sự phân chia như thế không còn
hợp lý vì nó không cho phép ảnh hưởng kết hợp của X và  [= u] lên Y6.
Điều này có thể dễ dàng thấy được trong trường hợp hồi quy hai biến.
Ước lượng OLS của B2 trong phương trình (19.2) được cho như sau:
5
Greene, op cit., p.50.
6
Kmenta, op cit, p. 340.

8. 8
Bây giờ thế phương trình (19.2) vô vế phải của phương trình (19.3), chúng
ta có:
Ở đây chúng ta tận dụng sự thật là xi = 0, bởi vì tổng của các độ lệch của một
biến ngẫu nhiên quanh giá trị trung bình của nó luôn bằng 0, và cũng bởi vì
∑ 𝑥𝑖 𝑋𝑖/ ∑ 𝑥𝑖
2
= 1 (xem Bài tập 19.1).
Bây giờ nếu chúng ta thử lấy kỳ vọng hai vế của phương trình trên, chúng ta sẽ
gặp một vấn đề, vì
bởi vì toán tử về kỳ vọng, E, là một toán tử tuyến tính. Hơn nữa, kỳ vọng của
một tích của xi và ui không phải bằng tích của các kỳ vọng, bởi vì chúng không
độc lập7.
Cách tốt nhất mà chúng ta có thể làm là xem b2 sẽ như thế nào khi cỡ mẫu tăng
lên vô cùng. Chúng ta có thể làm điều này bằng cách sử dụng khái niệm giới
hạn xác suất (probability limit), hoặc ngắn gọn là plim, đây là một thủ tục quy
chuẩn để biết xem một ước lượng có nhất quán hay không; nghĩa là, nếu nó có
7
Nhớ rằng E(XY) = E(X)E(Y) chỉ khi X và Y độc lập.

9. 9
tiến đến giá trị thực (của tổng thể) khi cỡ mẫu tang lên vô cùng. Vì thế chúng ta
thực hiện như sau:
Ở đây chúng ta tận dụng các tính chất của plim8, n là cỡ mẫu, và cov là hiệp
phương sai và var là phương sai.
Vì thế, chúng ta có:
Đây có thể được gọi là chệch (tiệm cận).
Bây giờ, nếu hiệp phương sai giữa biến giải thích và hạng nhiễu là dương, b2
sẽ ước lượng trên (overestimate) B2 thực, chệch dương. Trái lại, nếu hiệp
phương sai làm âm, b2 sẽ ước lượng dưới (underestimate) B2 thực, chệch âm.
Và chệch, dương hay âm, sẽ không biến mất cho dù cỡ mẫu lớn như thế nào.
Tóm tắt lại thảo luận vừa rồi là nếu một biến giải thích và hạng nhiễu tương
quan nhau, thì ước lượng OLS bị chệch và cũng không nhất quán. Bây giờ thậm
88
Các tính chất này như sau: plim(X + Y) = plim(X) + plim(Y); plim(XY) = plim(X).plim(Y); plim(X/Y) =
plim(X)/plim(Y), và plim của một hằng số là bằng chính nó.

10. 10
chí nếu một biến giải thích duy nhất trong một hồi quy bội tương quan với hạng
nhiễu, thì các ước lượng OLS của tất cả các hệ số không nhất quán9.
19.3 Các lý do tương quan giữa các biến giải thích và hạng nhiễu
Cơ bản có bốn lý do tại sao các biến giải thích có thể tương quan với hạng
nhiễu:
1. Các sai số do đo lường trong (các) biến giải thích.
2. Chệch do bỏ sót biến.
3. Chệch do phương trình đồng thời.
4. Mô hình hồi quy trạng thái động với tương quan chuỗi trong hạng nhiễu.
Điều quan trọng là chúng ta tìm hiểu các nguồn của tương quan giữa các biến
giải thích và hạng nhiễu để đánh giá một cách đầy đủ về phương pháp các biến
công cụ.
Các sai sót do đo lường trong (các) biến giải thích
Trong chương 7 chúng ta đã lưu ý rằng nếu có các sai sót do đo lường trong
(các) biến giải thích thì các ước lượng OLS bị chệch cũng như không nhất quán.
Để có cái nhìn sơ qua về vấn đề này, chúng ta xem xét giả thuyết thu nhập
thường xuyên (PIH) nổi tiếng của kinh tế gia đạt giải Nobel: Milton Friedman,
giả thuyết này có thể được giải thích như sau:
Trong đó, Y = chi tiêu cho tiêu dùng được quan sát, hoặc hiện tại, X*
i = thu nhập
thường xuyên và ui = hạng nhiễu. B2 ở đây đại diện cho khuynh hướng tiêu dùng
biên (MPC), nghĩa là, tăng trong chi tiêu cho tiêu dùng theo một đôla tăng trong
9
Nhắc lại rằng trong các hồi quy bội, các hạng tích chéo của các biến giải thích có trong công thức tính các hệ số
hồi quy riêng. Vì thế, một sai số trong một biến giải thích có thể ảnh hưởng các hệ số của các biến giải thích khác
trong mô hình.

11. 11
thu nhập thường xuyên, nghĩa là, mức thu nhập trung bình mà bạn kỳ vọng sẽ
có trong tương lai10.
Dĩ nhiên, chúng ta không có sẵn các thước đo về thu nhập thường xuyên. Nên
thay vì sử dụng thu nhập thường xuyên, chúng ta sử dụng thu nhập quan sát
được hoặc thu nhập hiện tại, Xi, thước đo này có thể bao hàm các lỗi đo lường,
chẳng hạng bằng wi. Vì thế, chúng ta có thể viết:
Nghĩa là, thu nhập hiện tại bằng thu nhập thường xuyên cộng sai sót do đo
lường.
Vì thế, thay vì ước lượng phương trình (19.8), chúng ta ước lượng:
Trong đó, vi = ui – B2wi, một kết hợp kép của các sai số của phương trình và sai
số do đo lường.
Bây giờ, ngay cả nếu chúng ta giả định rằng wi có trung bình bằng 0, không có
tương quan chuỗi, và không có tương quan với ui, thì chúng ta có thể không còn
duy trì được hạng nhiễu gộp vi độc lập với biến giải thích Xi bởi vì [giả định E(vi)
= 0] thì chúng ta có thể rằng (xem Bài tập 9.1):
10
Đáng lẽ chúng ta cho chi tiêu thường xuyên (Y*
i) là một hàm của thu nhập thường xuyên (X*
i), nhưng để cho
đơn giản về đại số nên chúng ta sẽ không làm như thế.

12. 12
Kết quả này cho thấy rằng trong hồi quy (19.10), biến giải thích Xi và hạng nhiễu
vi có tương quan, điều này vi phạm giả định quan trọng của mô hình hồi quy
tuyến tính cổ điển khi cho rằng hạng nhiễu và (các) biến giải thích không tương
quan với nhau.
Vì thế, chúng ta có thể thấy rằng giá trị ước lượng OLS của B2 trong phương
trình (19.8) không những bị chệch mà còn không nhất quán. Chúng ta có thể
chứng minh một cách bài bản rằng (xem bài tập 19.3):
Trong đó, plim là giới hạn xác suất, như đã được đề cập ở trên, được chúng ta
sử dụng để kiểm chứng tính chất nhất quán của một ước lượng.
Vì số hạng bên trong ngoặc được kỳ vọng nhỏ hơn 1, nên b2 sẽ không hội tụ về
giá trị MPC thực của nó cho dù cỡ mẫu là bao nhiêu. Nếu B2 được giả định là
dương, điều này có nghĩa trong trường hợp hiện tại, thì b2 nhỏ hơn B2 thực –
nghĩa là, b2 ước lượng dưới B2. Nói chính xác hơn, nó bị chệch hướng tới 0.
Như bài tập này cho thấy, lỗi do đo lường trong (các) biến giải thích có thể gây
ra các vấn nghiêm trọng khi ước lượng hệ số thực11.
Thế thì chúng ta có thể đo lường MPC thực như thế nào? Nếu bằng cách nào
đó mà chúng ta có thể tìm một biến đại diện hoặc một công cụ cho thu nhập
thường xuyên sao cho biến đại diện đó không tương quan với hạng nhiễu nhưng
có tương quan với biến giải thích (giả sử là tương quan cao), chúng ta có thể đo
lường MPC thực, ít nhất là trong các mẫu lớn. Đây là bản chất của phương pháp
11
Nhân tiện lưu ý rằng lỗi do đo lường trong biến phụ thuộc không gây ra vấn đề như thế bởi vì những sai sót
này có thể được hấp thu trong sai số của phương trình và chúng ta vẫn có được các giá trị ước lượng không
chệch của các hệ số hồi quy, mặc dù các phương sai và các sai số chuẩn của các ước lượng lớn hơn so với trường
hợp không có các lỗi do đo lường trong biến phụ thuộc.

13. 13
biến công cụ. Nhưng làm sao chúng ta tìm được một biến đại diện tốt? Chúng
ta sẽ sớm trả lời câu hỏi này.
Chệch do bỏ sót biến
Trong chương 2, chúng ta đã thảo luận một số trường hợp về sai dạng mô hình,
chẳng hạn như bỏ sót các biến quan trọng, sai dạng hàm, và giả định sai về
phân phối xác suất của hạng nhiễu, và vân vân.
Ví dụ, hãy xem mô hình sau đêy về nhân tố xác định tiền lương – chúng ta gọi
đây là hàm tiền lương.
Trong đó, Y là tiền lương (wages) hay thu nhập (earnings), X2 là giáo dục được
đo bằng số năm đi học, và X3 là năng lực bẩm sinh.
Vì giả sử các thước đo trực tiếp về năng lực là rất khó đạt được, nên thay vì ước
lượng phương trình (19.13), chúng ta ước lượng hàm sau đây:
Trong đó, vi là hạng nhiễu.
Nghĩa là, chúng ta bỏ sót biến về năng lực ra khỏi hàm tiền lương. Trong trường
hợp này, vi = ui + B3X3i.
Bây giờ, chúng ta có thể thấy rằng (xem Phụ lục 19A.2) [hoặc Ôn tập #3, Kinh
tế lượng căn bản]

14. 14
Trong đó b32 là hệ số dốc trong hồi quy của X3 (biến bị bỏ sót) theo X2 (biến
được đưa vào mô hình).
Nói cách khác, trong ví dụ hiện tại, giá trị kỳ vọng của hệ số dốc ước lượng trong
phương trình (19.15) bằng giá trị thực của nó (tức B2) cộng với hệ số độ dốc
của biến bị bỏ ra ngoài mô hình (tức B3) nhân với b32. Nghĩa là, nó bị chệch. Và
không có lý do gì để tin rằng sự chệch này sẽ biến mất khi cỡ mẫu tăng lên. Nói
cách khác, ước lượng thậm chí là không nhất quán. Về các hậu quả khác của
việc bỏ sót các biến phù hợp, xem chương 7.
Cũng như trường hợp cái sai sót trong biến giải thích, liệu chúng ta có thể tìm
một công cụ cho ‘khả năng’ sao cho chúng ta có thể ước lượng phương trình
(19.13) và thu được giá trị ước lượng nhất quán của hệ số biến giáo dục B2?
Liệu chúng ta có thể sử dụng giáo dục của cha hoặc mẹ như một biến đại diện
cho năng lực? Chúng ta sẽ sớm trả lời câu hỏi này sau khi chúng ta thảo luận
hai nguồn sai sót còn lại giữa (các) biến giải thích và hạng nhiễu.
Chệch do phương trình đồng thời
Hãy xem xét cặp phương trình sau đây:
Trong đó, Yi = tỷ lệ tội phạm ở thành phố i và Xi = chi tiêu cho lực lượng cảnh
sát ở thành phố i.
Đây là vấn đề loại “con gà hay quả trứng có trước”. Có phải tỷ lệ tội phạm quyết
định số lượng cảnh sát và vì thế mức chi tiêu cho lực lượng cảnh sát hay chi
tiêu cho lực lượng cảnh sát quyết định tỷ lệ tội phạm?

15. 15
Nếu bạn ước lượng từng phương trình (19.16) và (19.17) bằng OLS, bạn sẽ
thấy rằng Xi và u1i trong phương trình (19.16) tương quan với nhau. Tương tự,
nếu bạn chỉ ước lượng phương trình (19.17), bạn sẽ thấy rằng Yi và u2i tương
quan với nhau – một trường hợp cổ điển của một biến giải thích ngẫu nhiên
tương quan với hạng nhiễu (về chứng minh, xem Phụ lục 19A.3).
Trong lý thuyết, tình huống này được gọi là chệch do tính đồng thời (simultaneity
bias).
Chúng ta giải quyết tình huống này như thế nào? Như chúng ta thấy dưới đây,
kỹ thuật biến công cụ có thể được sử dụng để giải quyết vấn đề này trong nhiều
trường hợp.
Hồi quy trạng thái động và tương quan chuỗi trong hạng nhiễu
Trở lại với giả thuyết thu nhập thường xuyên của Friedman đã được phát biểu
trong phương trình (19.8). Vì thu nhập thường xuyên, X*
i, không thể quan sát
một cách trực tiếp, nên chúng ta hãy xem xét cơ chế sau đây được phát triển
bởi Cgan và Friedman, được gọi là kỳ vọng thích nghi (adaptive expectations),
kỳ vọng cấp tiến (progressive expectation), hoặc mô hình học hỏi sai số (error
learning model)12.
Phương trình (19.18) phát biểu rằng “các tác nhân kinh tế sẽ thích nghi các kỳ
vọng của họ theo kinh nghiệm quá khứ và đặc biệt họ sẽ học hỏi từ những sai
lầm”13. Cụ thể hơn, phương trình (19.18) nói rằng các kỳ vọng được xem xét lại
12
P. Cagan, “Monetary Dynamics of Hyperinflation”, in M. Friedman (ed.), Studies in the Quantitative Theory of
Money, University of Chicago Press, Chicago, 1956 and Milton Friedman, A Theory of Consumption Function,
National Bureau of Economic Research, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1957. Mô hình này dựa trên
một công trình tiên phong của Koyck: L. M. Koyck, Distributed Lags and Investment Analysis, North-Holland
Publishing Company, Amsterdam, 1954.
13
G. K. Shaw, Rational Expectations: An Elementary Exposition, St. Martin’s Press, New York, 1984, p. 25.

16. 16
mỗi giai đoạn bằng một tỷ lệ  của chênh lệch giữa giá trị hiện hành của biến
số và giá trị kỳ vọng trước đó của nó, nghĩa là giữa thu nhập được quan sát ở
hiện tại và giá trị kỳ vọng hoặc dự đoán trong giai đoạn trước. Một cách khác
để thể hiện điều này là chúng ta viết lại phương trình (19.18) như sau:
Phương trình này cho thấy rằng giá trị của thu nhập thường xuyên tại thời điểm
t là một bình quân gia quyền của giá trị thu nhập thực tại thời điểm t và giá trị
kỳ vọng của nó ở giai đoạn trước, với các trọng số lần lượt là  và (1 - ).
Thay phương trình (19.19) vào phương trình (19.8), sau một số tính toán thích
hợp, chúng ta có được mô hình sau đây:
Trong lý thuyết, mô hình (19.20) được gọi là mô hình kỳ vọng thích nghi
(adaptive expectations model) và  gọi là hệ số kỳ vọng (coefficient of
expectations).
Mô hình (19.20) cũng được biết như một mô hình trạng thái động (dynamic
model) bởi vì nó thể hiện chi tiêu cho tiêu dùng hiện tại như một hàm của thu
nhập được quan sát hoặc thu nhập hiện tại và giá trị trễ của chi tiêu cho tiêu
dùng hiện tại.
Điều thú vị như thế nào là với sự hỗ trợ của một mô hình trạng tháng động,
chúng ta có thể loại bỏ được biến không thể quan sát được, X*
t. Vì không có có
bữa trưa miễn phí, nên khi “đơn giản hóa” giả thuyết thu nhập thường xuyên,

17. 17
chúng ta tạo ra một số vấn đề về ước lượng. Thứ nhất, Yt là ngẫu nhiên, nên Yt
– 1 cũng ngẫu nhiên. Vì thế, chúng ta có một biến giải thích ngẫu nhiên ở vế phải
của phương trình (19.20). Ngoài ra, hạng nhiễu vt có khả năng tương quan
chuỗi, vì nó là một kết hợp tuyến tính của hạng nhiễu gốc, ui.
Chúng ta có thể thấy rằng:
và chúng ta cũng có
Như chúng ta thấy trước đây, nếu một biến giải thích có tương quan với hạng
nhiễu, thì các ước lượng OLS không những bị chệch mà còn không nhất quán,
bất kể cỡ mẫu là bao nhiêu.
Tóm lại, trong tất cả bốn trường hợp chúng ta đã xem xét, có một khả năng rất
lớn là (các) biến giải thích không những là (các) biến ngẫu nhiên mà còn tương
quan với hạng nhiễu. Vì thế, các ước lượng OLS bị chệch và cũng không nhất
quán. Điều này cho thấy rằng hoặc là chúng ta bỏ OLS hoặc chúng ta tìm (các)
phương pháp khác thích hợp mà nó sẽ cho chúng ta các ước lượng ít nhất là
nhất quán. Một trong số những phương pháp như thế đã được đề xuất phổ biến
trong lý thuyết là phương pháp biến công cụ. Bây giờ chúng ta thảo luận phương
pháp này.
19.4 Phương pháp biến công cụ
Vấn đề chính khi sử dụng OLS trong các mô hình hồi quy có chứa một hoặc
nhiều biến giải thích có tương quan với hạng nhiễu là các ước lượng OLS bị

18. 18
chệch và không nhất quán. Liệu chúng ta có thể tìm ra “thay thế” hoặc các biến
“đại diện” cho các biến giải thích bị nghi ngờ sao cho các biến đại diện cho
chúng ta các ước lượng nhất quán của các hệ số hồi quy thực (của tổng thể)?
Nếu chúng ta có thể làm điều đó một cách thành công, thì các biến như thế
được gọi là các biến công cụ (instrumental variables) hoặc gọi đơn giản là các
công cụ (instruments). Làm sao chúng ta tìm được các công cụ như thế? Làm
sao chúng ta biết chúng là các công cụ tốt? Có những cách chính thức nào để
biết liệu rằng công cụ được chọn thực sự là một công cụ tốt?
Để trả lời những câu hỏi này, chúng ta hãy bắt đầu với hồi quy tuyến tính đơn
giản được cho trong phương trình (19.2). Giả sử rằng trong hồi quy này biến
giải thích X là ngẫu nhiên và có tương quan với hạng nhiễu u. Giả sử rằng một
biến Z là một công cụ ứng cử cho X. Để là một công cụ hợp lý, Z phải thỏa mãn
các tiêu chí sau đây:
1. Sự phù hợp của công cụ (instrument relevance): Nghĩa là, Z phải tương
quan, dương hoặc âm, với biến ngẫu nhiên mà nó đóng vai trò như một
công cụ, tứ biến X trong trường hợp hiện tại. Mức độ tương quan càng
mạnh giữa hai biến, thì công cụ càng tốt. Ký hiệu như sau:
2. Tính ngoại sinh của công cụ (instrument exogeneity): Z phải không được
tương quan với hạng nhiễu u. Nghĩa là,
3. Không phải là một biến giải thích nào trong mô hình: Nghĩa là nó không
thuộc mô hình gốc. Nếu nó thuộc mô hình gốc, thì mô hình gốc phải bị
xác định sai.

19. 19
Trước khi chúng ta đi tiếp, có lẽ nên lưu ý rằng nếu chúng ta có một hồi quy bội
với nhiều biến giải thích và một số trong các biến giải thích đó có tương quan
với hạng nhiễu, thì chúng ta phải tìm một công cụ cho mỗi biến giải thích ngẫu
nhiên. Nói cách khác, phải có ít nhất số công cụ bằng với số biến giải thích ngẫu
nhiên trong mô hình. Nhưng chúng ta sẽ phải nói nhiều hơn về vấn đề này sau.
Như bạn có thể thấy, tất cả các điều kiện này có thể khó mà thỏa mãn cùng lúc.
Vì thế, không dễ tìm các công cụ tốt trong mỗi ứng dụng. Đó là lý do tại sao đôi
khi ý tưởng về các biến công cụ nghe hơi hão huyền, mặc dù có nhiều ví dụ về
các công cụ thành công14.
Như một ví dụ về một ví dụ thú vị nhưng hơi đáng ngờ về áp dụng biến công
cụ, Caroline Hoxby muốn tìm hiểu mối quan hệ giữa thành tích của sinh viên
và sự cạnh tranh của trường học. Cô đã ước lượng hồi quy sau đây:
Nghi ngờ rằng biến giải thích là ngẫu nhiên, nên cô đã sử dụng số các dòng
suối (number of streams) trong khu học chánh như một công cụ cho số khu học
chánh (number of school districts), vì cô quan sát thấy rằng các vùng có nhiều
khu học chánh cũng có nhiều con suối; có lẽ các con suối tạo nên các ranh giới
tự nhiên cho các khu học chánh15.
Ước lượng bằng phương pháp công cụ thực hiện như thế nào? Câu trả lời như
sau đây.
14
Ví dụ, xem Jonathan Klick and Alexander Tabarrok, Using terror alert levels to estimate the effect of police on
crime, Journal of Law and Economics, University of Chicago, vol. 48, 2005, pp. 267 – 79.
15
Caroline M. Hocby, Does competition among public schools benefit students and taxpayers?, American
Economic Review, 2000, vol. 90, pp. 1209 – 38.

20. 20
Ước lượng bằng phương pháp biến công cụ
Để thấy IV thực hiện như thế nào, chúng ta sẽ tiếp tục với hồi quy hai biến. Như
chúng ta biết ước lượng OLS của B2 trong phương trình (19.2) như sau:
Bây giờ chúng ta sử dụng Z như một công cụ cho X trong phương trình (19.2)
và có được:
Cảnh báo: Không phải chỉ thay zi cho xi trong công thức về b2 được cho ở trên
và lưu ý cẩn thận rằng mẫu số bây giờ có cả các số hạn z và x.
Bây giờ lưu ý rằng Yi = B1 + B2Xi + ui, và vì thế
Bạn có thể thấy sự tương tự giữa các ước lượng OLS và IV. Dĩ nhiên, nếu Z =
X, thì ước lượng IV trùng với ước lượng OLS.
Ước lượng của hệ số cắt B1, theo công thức thông thường như sau:

21. 21
Trong công thức này, khác biệt duy nhất so với ước lượng OLS thông thường
của B1 là chúng ta sử dụng hệ số dốc được ước lượng từ ước lượng IV.
Vì chúng ta đang giả định rằng trong tổng thể cov(Z, u) = 0, nên lấy giới hạn
xác suất của phương trình (19.27) chúng ta có thể thấy rằng16:
Nghĩa là, ước lượng IV của B2 là ước lượng nhất quán (xem Bài tập 19.4). Nhưng
cũng nên nói thêm rằng trong các mẫu xác định hoặc mẫu nhỏ thì ước lượng
này bị chệch.
Mặc dù bIV
2 là một ước lượng nhất quán của B2, nhưng trong các mẫu nhỏ thì
nó bị chệch. Hơn nữa, chúng ta có thể thấy rằng trong các mẫu lớn thì ước
lượng IV có phân phối như sau:
Lưu ý rằng phương sai của ước lượng IV có liên quan với hệ số tương quan
(tổng thể) bình phương giữa X và công cụ Z của nó. Nói bằng lời, trong các mẫu
lớn thì ước lượng theo phương pháp biến công cụ bIV
2 theo phân phối chuẩn với
trung bình bằng với giá trị tổng thể của nó và phương sai được cho như công
thức ở trên. Trái lại, ước lượng OLS thông thường có phương sai như sau:
16
Chúng ta sẽ lấy giới hạn xác suất bởi vì số hạng thứ hai trong phương trình (19.27) liên quan đến các đại lượng
của mẫu và không phải các đại lượng của tổng thể.

22. 22
Vì 0 < 2
XZ < 1, nên phương sai của ước lượng IV sẽ lớn hơn phương sai của
ước lượng OLS, đặc biệt nếu 2
XZ nhỏ. [Diễn giải: Nghĩa là Z là một biến công
cụ ít phù hợp, ít tương quan với biến giải thích ngẫu nhiên X]. Nói cách khác,
ước lượng IV ít hiệu quả hơn ước lượng OLS. Nếu 2
XZ nhỏ thì điều đó cho biết
rằng Z là một công cụ yếu (weak instrument) của X. Trái lại, nếu 2
XZ lớn thì
điều đó cho biết rằng Z là một công cụ mạnh (strong instrument) của X.
Để có ý tưởng về mức độ chênh lệch bao xa giữa phương sai của ước lượng IV
và ước lượng OLS, giả sử rằng zx = 0.2. Trong trường hợp này, phương sai của
ước lượng IV lớn gấp 25 lần phương sai của ước lượng OLS. Nếu zx = 0.1, thì
nó lớn gấp 100 lần. Trong trường hợp đặc biệt nhất, nếu zx = 0, thì phương sai
của ước lượng IV lớn vô cùng. Dĩ nhiên, nếu zx = 1, thì hai phương sai bằng
nhau, điều này là một cách khác để nói rằng biến X là công cụ của chính nó.
Lưu ý rằng, trong thực tế chúng ta ước lượng zx bằng bản sao mẫu (sample
counterpart) của nó, rzx.
Chúng ta có thể sử dụng phương sai của ước lượng IV được cho trong phương
trình (19.30) để thiết lập các khoảng tin cậy và kiểm định các giả thuyết, giả
định rằng cỡ mẫu của chúng ta là lớn một cách hợp lý. Nhưng lưu ý rằng phương
sai của ước lượng IV là phương sai thay đổi17. Vì thế, chúng ta sẽ phải sử dụng
các sai số chuẩn hiệu chỉnh phương sai thay đổi của White. Nhưng các phần
mềm hiện đại có thể dễ dàng cho chúng ta các sai số chuẩn cải thiện bằng chỉ
dẫn lệnh thích hợp.
17
Điều này là đúng đối với mô hình đơn giản được xem xét ở đây. Đối với các mô hình có nhiều biến giải thích,
thì công thức của phương sai và hiệp phương sai thì phức tạp, bạn đọc có thể tìm hiểu trong các tài liệu tham
khảo.

23. 23
Một điểm thú vị cần lưu ý về thảo luận ở trên là khi có được các giá trị ước lượng
nhất quán thông qua phương pháp IV, chúng ta phải trả giá cho các khoảng tin
cậy lớn hơn bởi vì phương sai của các ước lượng IV lớn hơn, đặc biệt là nếu
công cụ được chọn là một đại diện yếu cho biến giải thích gốc. Một lần nữa,
không có một bữa trưa miễn phí!
19.5 Mô phỏng Monte Carlo của IV
Để thấy OLS có thể bóp méo các kết quả như thế nào trong các trường hợp
(các) biến giải thích có tương quan với hạng nhiễu, Cameron và Trivedi đã thực
hiện một thí nghiệm phân tích mô phỏng Monte Carlo18. Họ giả định như sau:
[
Nói bằng lời, hệ số dốc thực trong hồi quy của Yi theo Xi được giả định là đã
biết và bằng 0.5. Hơn nữa, biến giải thích Xi bằng biến công cụ Zi và hạng nhiễu
vi. Các tác giả giả định rằng Zi theo phân phối chuẩn với trung bình bằng 2 và
phương sai bằng 1. Các hạng nhiễu cũng theo phân phối chuẩn, mỗi hạng nhiễu
có trung bình bằng 0 và phương sai bằng 1, và hệ số tương quan giữa các hạng
nhiễu được giả định bằng 0.8.
Với cấu trúc này, họ tạo ra một cỡ mẫu 10.000 quan sát và thu được kết quả
sau đây:
18
A. Colin Cameron and Pravin K. Trivedi, Microeconometrics, op cit., pp. 102-3.

24. 24
Lưu ý: Các con số trong ngoặc là các sai số chuẩn cải thiện, nghĩa là, các sai
số chuẩn đã điều chỉnh phương sai thay đổi.
Các kết quả này cho thấy như sau. Thứ nhất, mô hình đúng được cho trong
phương trình (19.32) không có hệ số cắt, nhưng kết quả OLS cho thấy rằng giá
trị của nó là -0.804 và có ý nghĩa thống kê (t = -0.804/0.014 = -57.43). Thứ hai,
giá trị ước lượng OLS của hệ số dốc là 0.902, trong khi đó giá trị thực của độ
dốc là 0.5.
Trái lại, các giá trị ước lượng IV rất gần với các giá trị thực; hệ số cắt không khác
0 một cách có ý nghĩa thống kê và hệ số độ dốc là 0.51 gần giống với hệ số
thực của độ dốc là 0.5. Tuy nhiên, lưu ý rằng các sai số chuẩn của các giá trị
IV lớn hơn các sai số chuẩn của OLS, một điểm đã được đề cập ở trên.
Thí nghiệm Monte Carlo của Cameron và Trivedi cho thấy ước lượng OLS có
thể bóp méo các kết quả thực đáng kể như thế nào.
Một lưu ý về các thí nghiệm Monte carlo: Trong các thí nghiệm như thế,
chúng ta giả định rằng một mô hình đúng và tạo ra nhiều tập dữ liệu giả để
từ đó cho ra nhiều tập hợp các giá trị ước lượng của tham số; từ các giá trị
ước lượng này chúng ta thu được phân phối mẫu để biết được chúng phù
hợp như thế nào với các phương pháp cạnh tranh để ước lượng các quan số
mà chúng ta quan tâm19.
19
Về một cách trình bằng đồ thị và các chi tiết khác của thủ tục này, xem Peter Hennedy, A Guide to Econometrics,
6th
edn, Blackwell Publishing, 2008, pp. 23-5.

25. 25
Hướng dẫn Stata:
clear
set obs 10000
gen obs = _n
set seed 12345
drawnorm u, n(10000) means(0) sds(1)
gen v = 0.8*u
drawnorm z, n(10000) means(2) sds(1)
gen x = z + v
gen y = 0.5*x + u
reg y x, robust
ivregress 2sls y (x = z), robust

26. http://bit.ly/KhoTaiLieuAZ