Ders hem yüzyüze sınıf ortamında hem de MsTeams üzerinden yapılmıştır..

1. Bir vektör olarak Gravite, Gravite Potansiyeli, Jeoid
1 5 : 5 0 - 1 6 : 3 0
P a z a r t e s i , 2 2 K a s ı m
M s Te a m s K a t ı l ı m L i n k i
h t t p s : / / b i t . l y / 3 D F H 5 5 3
Harita Mühendisliği
GRAVİMETRİ DERSİ

2. Dersin Amaçları – Hafta 7
Bir vektör olarak Gravite
Gravite Potansiyeli
Jeoid
Amaç
Gravite Vektörü
Gravitasyonel
potansiyel
Potansiyelin
Gradyanı
Yerçekiminde ki
değişim
Jeoid
Jeoidin Global
Değişimi
EOMA
Gravimetri 7
Gravimetri 7

3. Vektör olarak Gravite
Amaç
Gravite Vektörü
Gravitasyonel
potansiyel
Potansiyelin
Gradyanı
Yerçekiminde ki
değişim
Jeoid
Jeoidin Global
Değişimi
EOMA
Gravimetri 7
r
r
Gm
g E 

2


g
 yerçekimi ivmesi
ms yerkürenin kütlesi = 5.967 x 1024 kg
kütleninmerkezindenuzaklık(örn.Dünya)
r
r
 kütlemerkezinden olanuzaklıgaişaretedenbirbirimvektör
2
1
3 

s
kg
m
G yerçekimi sabiti
2
r
Gm
g
g E




Sağda, yerçekiminin "z" bileşeni, P noktasındaki bir kütle nedeniyle O noktası için
hesaplanır.
Yerçekimi alanının büyüklüğünü ve yönünü hesaba katmak için Newton'un
yerçekimi yasasını bir vektör biçiminde yazabiliriz:
Örnekler - Examples
Bu vektör biçiminde, kütleye doğru veya kütleden uzaklaşmayan yönlerde yerçekimi
ivmesini düşünebiliriz. 'nin kütle merkezinden uzağa ve artan r yönüne işaret
ettiğine dikkat edin, bu nedenle eksi işareti sadece g'nin büyüklüğü ile ilgilendiğimizde
ihmal edilebilir:
r
 r
r
Gm
g P
r

2
1


1
1
0
r
z
z
r



3
1
0
1 )
(
r
z
z
Gm
g P
z


1
1
0
2
1 r
z
z
r
Gm
g P
z



Gravimetri 7

4. Gravitasyonel potansiyel
Amaç
Gravite Vektörü
Gravitasyonel
potansiyel
Potansiyelin
Gradyanı
Yerçekiminde ki
değişim
Jeoid
Jeoidin Global
Değişimi
EOMA
Gravimetri 7
Gravimetri 4
Gravitebirpotansiyelalandır
Yerçekimi ivmesi vektörü ile skaler yerçekimi potansiyeli arasındaki integral ilişki, yerçekimini bir "potansiyel alan" yapar.
Yerçekimi ivmesi, potansiyelin gradyanıdır:
U
gradU
U
r
r
GM
r
r
r
Gm
g 











 



2
Gravitasyonelpotansiyel,
U,birskaleralandır
R
GM
U
dr
r
GM
U
r
d
g
U
R
R








2
.


İşaretler zor. Yerçekimi potansiyelinin MKS biriminin
Joules/kg olduğunu kendinize kanıtlayın. Yerçekimi
potansiyeli, birim kütle başına potansiyel enerjidir.
dr
r
d
r 



.
zıt işaretlidir
(zıt yönlerde nokta)
Pozitif iş, bir nesneyi yüzeyden uzaklaştırarak yapılır (bir klişeye
düşmek, tırmanmaktan daha kolaydır!). Hem U hem de g, büyük
mesafelerde sıfıra yakınsar.
Yerçekimi ivmesinden
farklı olarak,
yerçekimi potansiyeli
Dünya yüzeyine
yaklaştıkça azalır. Bu,
yüzeye doğru düşen
bir nesne tarafından
negatif iş yapıldığı
anlamına gelir.

5. Gravitasyonel potansiyel VS Yerçekimi İvmesi
Amaç
Gravite Vektörü
Gravitasyonel
potansiyel
Potansiyelin
Gradyanı
Yerçekiminde ki
değişim
Jeoid
Jeoidin Global
Değişimi
EOMA
Gravimetri 7
Gravimetri 7
Pozitif iş, bir nesneyi
yüzeyden
uzaklaştırarak yapılır
(bir klişeye düşmek,
tırmanmaktan daha
kolaydır!). Hem U
hem de g büyük
mesafelerde sıfıra
yakınsar.
Yerçekimi ivmesinden
farklı olarak,
yerçekimi potansiyeli
Dünya yüzeyine
yaklaştıkça azalır. Bu,
yüzeye doğru düşen
bir nesne tarafından
negatif iş yapıldığı
anlamına gelir.

6. Potansiyelin Değişimi
Amaç
Gravite Vektörü
Gravitasyonel
potansiyel
Potansiyelin
Gradyanı
Yerçekiminde ki
değişim
Jeoid
Jeoidin Global
Değişimi
EOMA
Gravimetri 7
Gravimetri 4
Yerçekimieşpotansiyelbiryüzeydedeğişebilir
U'nun sabit olduğu bir yüzey, bir eş potansiyel yüzeydir. Eş-potansiyelli bir yüzey
üzerinde yerçekimi hareketine karşı hiçbir iş yapılmaz, ancak yerçekimi bir eş-
potansiyel yüzey boyunca değişebilir, çünkü burada dikey olarak tanımlanan z'nin
sabit olması gerekmez.
z
r
x
r
Gm
z
r
r
U
z
U p









 1
2
1
1
1
z
U


  )
(
2
)
(
)
(
2
1
0
1
2
1
2
0
1
2
0
1
1
z
z
x
x
z
z
z
r







 
r yönündeki kısmi türevi x ve z yönlerindeki türevle ilişkilendirmek için zincir
kuralını kullanın:
3
1
1
0
1
0
1
2
1 r
z
z
Gm
r
z
z
r
Gm
z
U p
p 





Bunu önceki iki slayttan gelen
cevapla karşılaştırarak:
z
g
z
U




z
g
x
U




Noktasal kütle mP'yi kullanarak P noktasında ki örneğe
dönelim. O noktasındaki skaler yerçekimi potansiyeli, bir
nesneyi sıfırdan O noktasına hareket ettirmek için
gereken iştir. Potansiyel, önceki slaytta gösterilen integral
ile yerçekimi ivmesi ile ilgilidir. Sıradaki soru şudur: U,
bu durumda x - z düzleminde, P çevresindeki alan
boyunca nasıl değişir? Bunu U'nun x veya z yönündeki
değişimi olarak aşağıda ki şekilde düşünebiliriz.
z
U


x
U





1
r
r
)
,
( 0
0 z
x
O
)
,
( 1
1 z
x
P
ve

7. Eş potansiyel yüzeyde yerçekimindeki değişim
Amaç
Gravite Vektörü
Gravitasyonel
potansiyel
Potansiyelin
Gradyanı
Yerçekiminde ki
değişim
Jeoid
Jeoidin Global
Değişimi
EOMA
Gravimetri 7
Gravimetri 7
Bir ‘noktasal’ kütle için veya homojen bir kürenin
dışında, potansiyelin yalnızca radyal mesafeyle
değiştiğini zaten görmüştük: R
GM
U 

Dünya için eş potansiyel bir yüzeydeki varyasyon, yüksekliğinin
değişimi olarak düşünülebilir. Potansiyel enerji, bir eşpotansiyel
yüzey üzerinde U = gh ve tanım olarak U sabit olduğundan,
yerçekimindeki herhangi bir değişiklik, h yüksekliğindeki bir
değişikliğe karşılık gelir.
Eşpotansiyel yüzeyin yüksekliğindeki bu değişiklik bir şeye atıfta
bulunmalıdır. Dünya için, referans elipsoidi, ortalama deniz
seviyesinde Dünya'nın durumuna göre en iyi elipsoiddir. Jeoid, bu
referans elipsoidi etrafında değişen eş potansiyel yüzeydir. Jeoid’in
yüksekliği, herhangi bir konumdaki referans elipsoitten yükseklik
farkı veya jeoid dalgalanmasıdır. Jeoidin yüksekliği ve jeoid
üzerindeki yerçekimi değeri, Dünya içindeki kütle dağılımının
düzgün olmaması nedeniyle değişir. Dikey, jeoide normal olarak
tanımlanır, dolayısıyla düşeyin oryantasyonu da referans elipsoide
göre değişir.
Denizde, okyanusun yüzeyi jeoide karşılık gelir. Dünya içindeki
kütle dağılımındaki değişiklikler, jeoidin yüksekliğinde değişikliklere
neden olur, bu nedenle referans elipsoide göre denizin
yüksekliğinde bir yerden bir yere tam anlamıyla değişiklikler vardır.
Çoğu uydu eş potansiyel bir yüzey üzerinde yörüngede döner, bu
nedenle yükseklikleri (referans elipsoidin yüzeyinden uzaklık
diyelim) aynı zamanda jeoidin şeklini taklit eden bir eş potansiyel
yüzey üzerinde dalgalanır.
Böylece böyle bir eşpotansiyel yüzeyde sabittir
(yerçekimi belirli bir R değerinde sabittir). Gerçek Dünya homojen değildir.
Dünyanın kütle anomalileri vardır, U belirli bir R'de sabit değildir
ve sabit değildir, bu nedenle yerçekimi Dünya için eşpotansiyel
bir yüzey boyunca değişir.
sabit
z
U






z
U

8. Eş potansiyel yüzeyde yerçekimindeki değişim
Amaç
Gravite Vektörü
Gravitasyonel
potansiyel
Potansiyelin
Gradyanı
Yerçekiminde ki
değişim
Jeoid
Jeoidin Global
Değişimi
EOMA
Gravimetri 7
Gravimetri 7

9. Goce uydu
bazlı
üretilmiş
jeoid.
 Johann Benedict Listing (1847), Jeoidi şu
şekilde tanımlamıştır; Durgun her su yüzeyi
yani nivo yüzeyi ağırlık kuvvetine diktir.
Akıntıların, gel git olayının, rüzgarın
etkisinde olmayan deniz yüzeyinin,
karaların altından devam ettirilerek
bulunacak olan yüzey dünyanın
matematiksel şekli olarak alınabilir. Bu
yüzeyede J.B.Listing jeoid adını vermiştir
(Ulusoy 1977).
 Gauss, jeoidi “yeryuvarının matematiksel
şekli” olarak tanımlar. Fakat bu yüzey
üzerinde matematiksel işlemler
yapılamayacak kadar karmaşık ve düzensiz
bir yüzeydir.

10. Goce uydu
bazlı
üretilmiş
jeoid.
Source: ESA

11. Referans
elipsoidi
ve
yeryuvarı
(Aydın2014)
İşte bu karmaşıklık ve düzensizlikten
kurtulmak için jeoide oldukça yakın ve
üzerinde hesaplamalar
yapabileceğimiz yeryuvarını
okunabilen bir model haline
dönüştürebileceğimiz referans
elipsoidini yani dönel elipsoidi ele
almalıyız.
Fiziksel yeryuvarını modellemekte en
uygun referans dönel elipsoit olarak
kabul edilmektedir.

12. Jeoid
Amaç
Gravite Vektörü
Gravitasyonel
potansiyel
Potansiyelin
Gradyanı
Yerçekiminde ki
değişim
Jeoid
Jeoidin Global
Değişimi
EOMA
Gravimetri 7
Gravimetri 7
GRACE verilerinden haritalanmış ve referans elipsoidin üstünde veya altında yükseklik olarak gösterilen
Dünya'nın jeoidi. Zaman geçtikçe, jeoid daha büyük ve daha büyük bir tanımla haritalandı.

13. Dünya'nınjeoidindekideğişimekütledağılımınetkisi
Amaç
Gravite Vektörü
Gravitasyonel
potansiyel
Potansiyelin
Gradyanı
Yerçekiminde ki
değişim
Jeoid
Jeoidin Global
Değişimi
EOMA
Gravimetri 7
Gravimetri 4
Örnekler - Examples
h
r
GM
h
R
GM
R
GM
excess
excess
E
E
E
E






Genişliği 2000 km mertebesinde +50m 'lik bir jeoid anomalisi düşünün. Bu jeoid anomaliye ne tür bir aşırı kütle neden olabilir?
Fazla kütlenin mantoda ve küre şeklinde olduğunu düşünerek sorunu basitleştirelim. Jeoid h = 50 m'yi yükseltmek için, yüzeydeki "bozulmamış
bir Dünya" üzerindeki yerçekimi potansiyeli, fazla kütle eklendiğinde +50m'deki potansiyele eşit olmalıdır:
ME, Dünya'nın kütlesi, RE, Dünya'nın yarıçapı, Mexcess, jeoid anomalisi ile ilişkili fazla kütle, fazla kütlenin merkezine olan derinlik ve h, jeoid
anomalisinin yüksekliğidir. Bir denklem ve iki bilinmeyen vardır (fazla kütle ve fazla kütlenin merkezine olan derinlik). Fazla kütlenin merkezine
olan derinliğin 1000 km olduğunu varsayarsak, kendinize jeoid yükseklik anomalisini oluşturan fazla kütlenin Mexcess = 7 x1018 kg olduğunu
kanıtlayın. Fazla kütle küresel ise, o zaman:
excess
excess a
M 
3
3
4


a, küresel fazla kütlenin yarıçapıdır ve fazlalık, ρexcess aşırı yoğunluğudur (veya çevreleyen manto ile yoğunluk kontrastı). a = 5 x105 m ise, fazlalık
ρexcess = 14 kg m-3. 1000 km derinlikte ortalama manto yoğunluğu 4000 kgm-3 mertebesindedir. On metre yüksekliğinde ve binlerce kilometre
genişliğindeki jeoid anomalileri, bu yoğunluktaki çok küçük bozulmalarla, muhtemelen mantodaki su içeriğindeki değişikliklerle veya diğer
jeokimyasal farklılıklar ve sıcaklıkla ilişkili görünmektedir.

14. EOMA
Amaç
Gravite Vektörü
Gravitasyonel
potansiyel
Potansiyelin
Gradyanı
Yerçekiminde ki
değişim
Jeoid
Jeoidin Global
Değişimi
EOMA
Gravimetri 7
Gravimetri 4



1
r
r
)
,
( 0
0 z
x
O
)
,
( 1
1 z
x
P
Aşağıdaki soruları sağdaki diyagramı kullanarak cevaplayınız. Daha
önce olduğu gibi, bir noktasal kütle, mP, P noktasında bulunur ve
biz, P noktasındaki kütle nedeniyle O noktasındaki yerçekimi ve
yerçekimi potansiyeli ile ilgileniyoruz.
0
2
1
2
2
2
2
2











z
r
y
U
x
U
U
Bu Laplace denklemidir. Bu, kütlenin dışında, yerçekimi alanının korunduğu, dolayısıyla alanın sistematik bir şekilde
değiştiği anlamına gelir. Bu gerçek, beklenen anormallikleri hesaplamak ve gravite haritalarını filtrelemek için oldukça
kullanışlıdır.
1. P noktasındaki kütle nedeniyle z yönünde (gz) yerçekimi ivmesi denklemini yalnızca G ve mP sabitleri ve x ve z
değişkenleri cinsinden yeniden yazın (yani, r1 değişkenini denklemden çıkarın)
2. 1. soruda türettiğiniz denklemi kullanarak, P noktası boyunca bir profil boyunca gz'deki değişimi x ile grafikleyin.
Noktadaki kütle ve derinliği için değerler varsayın.
3. Şimdi aynı problemi üç boyutlu olarak düşünün, yani r1
2 = x2 + y2 + z2. -GM sabit olduğundan U = 1/r1 olduğunu
varsayalım. Şunu göster: