1. Integration By Parts

2. Integration By Parts
When an integral is a product of two functions and neither is the
derivative of the other, we integrate by parts.

3. Integration By Parts
When an integral is a product of two functions and neither is the
derivative of the other, we integrate by parts.
 udv  uv   vdu

4. Integration By Parts
When an integral is a product of two functions and neither is the
derivative of the other, we integrate by parts.
 udv  uv   vdu
u should be chosen so that differentiation makes it a
simpler function.

5. Integration By Parts
When an integral is a product of two functions and neither is the
derivative of the other, we integrate by parts.
 udv  uv   vdu
u should be chosen so that differentiation makes it a
simpler function.
dv should be chosen so that it can be integrated

6. e.g. (i)  x cos xdx

7. e.g. (i)  x cos xdx ux

8. e.g. (i)  x cos xdx ux
du  dx

9. e.g. (i)  x cos xdx ux
du  dx dv  cos xdx

10. e.g. (i)  x cos xdx ux v  sin x
du  dx dv  cos xdx

11. e.g. (i)  x cos xdx ux v  sin x
 x sin x   sin xdx du  dx dv  cos xdx

12. e.g. (i)  x cos xdx ux v  sin x
 x sin x   sin xdx du  dx dv  cos xdx
 x sin x  cos x  c

13. e.g. (i)  x cos xdx ux v  sin x
 x sin x   sin xdx du  dx dv  cos xdx
 x sin x  cos x  c
ii  log xdx

14. e.g. (i)  x cos xdx ux v  sin x
 x sin x   sin xdx du  dx dv  cos xdx
 x sin x  cos x  c
ii  log xdx u  log x

15. e.g. (i)  x cos xdx ux v  sin x
 x sin x   sin xdx du  dx dv  cos xdx
 x sin x  cos x  c
ii  log xdx u  log x
dx
du 
x

16. e.g. (i)  x cos xdx ux v  sin x
 x sin x   sin xdx du  dx dv  cos xdx
 x sin x  cos x  c
ii  log xdx u  log x
dx
du  dv  dx
x

17. e.g. (i)  x cos xdx ux v  sin x
 x sin x   sin xdx du  dx dv  cos xdx
 x sin x  cos x  c
ii  log xdx u  log x vx
dx
du  dv  dx
x

18. e.g. (i)  x cos xdx ux v  sin x
 x sin x   sin xdx du  dx dv  cos xdx
 x sin x  cos x  c
ii  log xdx u  log x vx
 x log x   dx du 
dx
dv  dx
x

19. e.g. (i)  x cos xdx ux v  sin x
 x sin x   sin xdx du  dx dv  cos xdx
 x sin x  cos x  c
ii  log xdx u  log x vx
 x log x   dx du 
dx
dv  dx
x
 x log x  x  c

20. 1
iii  xe 7 x dx
0

21. 1
iii  xe 7 x dx ux
0

22. 1
iii  xe 7 x dx ux
0
du  dx

23. 1
iii  xe 7 x dx ux
0
du  dx dv  e 7 x dx

24. 1
1
iii  xe dx
7 x
ux v   e 7 x
0
7
du  dx dv  e 7 x dx

25. 1
1
iii  xe dx
7 x
ux v   e 7 x
0
7
1 1 du  dx dv  e 7 x dx
  xe 7 x    e 7 x dx
1 1
 7
 0 7
 0

26. 1
1
iii  xe dx
7 x
ux v   e 7 x
0
7
1 1 du  dx dv  e 7 x dx
  xe 7 x    e 7 x dx
1 1
 7
 0 7
 0
1
 1 7 x  1 7 x 
  xe e 
 7 49 0

27. 1
1
iii  xe dx
7 x
ux v   e 7 x
0
7
1 1 du  dx dv  e 7 x dx
  xe 7 x    e 7 x dx
 1 1
 7 0 7
 0
1
 1 7 x  1 7 x 
  xe e 
 7 49 0
 1 e 7 1 e 7  0 1 
     
 7 49   49 
8 7 1
 e 
49 49

28. iv  e x cos xdx

29. iv  e x cos xdx u  ex

30. iv  e x cos xdx u  ex
du  e x dx

31. iv  e x cos xdx u  ex
du  e x dx dv  cos xdx

32. iv  e x cos xdx u  ex v  sin x
du  e x dx dv  cos xdx

33. iv  e x cos xdx u  ex v  sin x
du  e x dx dv  cos xdx
 e sin x   e sin xdx
x x

34. iv  e x cos xdx u  ex v  sin x
du  e x dx dv  cos xdx
 e sin x   e sin xdx
x x
u  ex

35. iv  e x cos xdx u  ex v  sin x
du  e x dx dv  cos xdx
 e sin x   e sin xdx
x x
u  ex
du  e x dx

36. iv  e x cos xdx u  ex v  sin x
du  e x dx dv  cos xdx
 e sin x   e sin xdx
x x
u  ex
du  e x dx dv  sin xdx

37. iv  e x cos xdx u  ex v  sin x
du  e x dx dv  cos xdx
 e sin x   e sin xdx
x x
u  ex v   cos x
du  e x dx dv  sin xdx

38. iv  e x cos xdx u  ex v  sin x
du  e x dx dv  cos xdx
 e sin x   e sin xdx
x x
u  ex v   cos x
 e sin x  e cos x   e cos xdx
x x x
du  e x dx dv  sin xdx

39. iv  e x cos xdx u  ex v  sin x
du  e x dx dv  cos xdx
 e sin x   e sin xdx
x x
u  ex v   cos x
 e sin x  e cos x   e cos xdx
x x x
du  e x dx dv  sin xdx
 2  e x cos xdx  e x sin x  e x cos x

40. iv  e x cos xdx u  ex v  sin x
du  e x dx dv  cos xdx
 e sin x   e sin xdx
x x
u  ex v   cos x
 e sin x  e cos x   e cos xdx
x x x
du  e x dx dv  sin xdx
 2  e x cos xdx  e x sin x  e x cos x
1 1
 e x cos xdx  e x sin x  e x cos x  c
2 2

41. Euler’s Formula

42. Euler’s Formula
When the two functions are a mixture of trig and exponentials,
Euler’s Formula can be useful;

43. Euler’s Formula
When the two functions are a mixture of trig and exponentials,
Euler’s Formula can be useful;
ei  cos   i sin 

44. Euler’s Formula
When the two functions are a mixture of trig and exponentials,
Euler’s Formula can be useful;
ei  cos   i sin 
This leads to;
ei  e  i ei  e  i
cos   sin  
2 2i

45.  e x cos xdx

46.  e x cos xdx
 e x  cos x  i sin x  dx

47.  e x cos xdx
 e x  cos x  i sin x  dx   e x eix dx

48.  e x cos xdx
 e x  cos x  i sin x  dx   e x eix dx
  e
1i  x
dx

49.  e x cos xdx
 e x  cos x  i sin x  dx   e x eix dx
  e
1i  x
dx
1 1i  x
 e c
1 i

50.  e x cos xdx
 e x  cos x  i sin x  dx   e x eix dx
  e
1i  x
dx
1 1i  x
 e c
1 i
1 i x
 e  cos x  i sin x   c
2

51.  e x cos xdx
 e x  cos x  i sin x  dx   e x eix dx
  e
1i  x
dx
1 1i  x
 e c
1 i
1 i x
 e  cos x  i sin x   c
2
ex
  cos x  i sin x  i cos x  sin x   c
2

52.  e x cos xdx
 e x  cos x  i sin x  dx   e x eix dx
  e
1i  x
dx
1 1i  x
 e c
1 i
1 i x
 e  cos x  i sin x   c
2
ex
  cos x  i sin x  i cos x  sin x   c
2
Equating real parts;
ex
 e cos xdx  2  cos x  sin x   c
x

53. OR
 e x cos xdx

54. OR
 e cos xdx  2  e  e  e  dx
x 1 x ix  ix

55. OR
 e cos xdx  2  e  e  e  dx
x 1 x ix  ix
1
 
  e   e  dx
2
1i x 1i x

56. OR
 e cos xdx  2  e  e  e  dx
x 1 x ix  ix
1

  e   e  dx
2
1i x

1i x
1  1 1i  x 1 1i  x 
  e  e c
2  1 i 1 i 

57. OR
 e cos xdx  2  e  e  e  dx
x 1 x ix  ix
1

  e   e  dx
2
1i x

1i x
1  1 1i  x 1 1i  x 
  e  e c
2  1 i 1 i 
1  1  i 1i  x 1  i 1i  x 
  e  e c
2 2 2 

58. OR
 e cos xdx  2  e  e  e  dx
x 1 x ix  ix
1

  e   e  dx
2
1i x

1i x
1  1 1i  x 1 1i  x 
  e  e c
2  1 i 1 i 
1  1  i 1i  x 1  i 1i  x 
  e  e c
2 2 2 
e x
 1  i  eix 1  i  e  ix 
   c
2 2 2 

59. OR
 e cos xdx  2  e  e  e  dx
x 1 x ix  ix
1

  e   e  dx
2
1i x

1i x
1  1 1i  x 1 1i  x 
  e  e c
2  1 i 1 i 
1  1  i 1i  x 1  i 1i  x 
  e  e c
2 2 2 
e x
 1  i  eix 1  i  e  ix 
   c
2 2 2 
 eix  e  ix i  eix  e  ix  
e  x

   c
2 2 2 
 

60. OR
 e cos xdx  2  e  e  e  dx
x 1 x ix  ix
1

  e   e  dx
2
1i x 1i x

1  1 1i  x 1 1i  x 
  e  e c
2  1 i 1 i 
1  1  i 1i  x 1  i 1i  x 
  e  e c
2 2 2 
e x
 1  i  eix 1  i  e  ix 
   c
2 2 2 
e x  eix  e  ix i  eix  e  ix  
 
   c
2  2 2 
 
ex  eix  e  ix  eix  e  ix  
 
   c
2  2 2i 
 

61. OR
 e cos xdx  2  e  e  e  dx
x 1 x ix  ix
1

  e   e  dx
2
1i x 1i x

1  1 1i  x 1 1i  x 
  e  e c
2  1 i 1 i 
1  1  i 1i  x 1  i 1i  x 
  e  e c
2 2 2 
e x
 1  i  eix 1  i  e  ix 
   c
2 2 2 
e x  eix  e  ix i  eix  e  ix  
 
   c
2  2 2 
 
ex  eix  e  ix  eix  e  ix  
  ex
     c   cos x  sin x   c
2  2 2i  2
 

62. (ii )  sin 2 xdx

63. 2
 e e
ix  ix

(ii )  sin xdx   
2
 dx
 2i 

64. 2
 e e 
ix  ix
(ii )  sin xdx   
2
 dx
 2i 
    e 2ix  2  e 2ix  dx
1
4

65. 2
 e e 
ix  ix
(ii )  sin xdx   
2
 dx
 2i 
    e 2ix  2  e 2ix  dx
1
4
1  1 2ix 1 2ix 
   e  2x  e   c
4  2i 2i 

66. 2
 e e 
ix  ix
(ii )  sin xdx   
2
 dx
 2i 
    e 2ix  2  e 2ix  dx
1
4
1  1 2ix 1 2ix 
   e  2x  e   c
4  2i 2i 
1  e 2ix  e 2ix 
   2x   c
4 2i 

67. 2
 e e 
ix  ix
(ii )  sin xdx   
2
 dx
 2i 
    e 2ix  2  e 2ix  dx
1
4
1  1 2ix 1 2ix 
   e  2x  e   c
4  2i 2i 
1  e 2ix  e 2ix 
   2x   c
4 2i 
1
   sin 2 x  2 x   c
4

68. 2
 e e 
ix  ix
(ii )  sin xdx   
2
 dx
 2i 
    e 2ix  2  e 2ix  dx
1
4
1  1 2ix 1 2ix 
   e  2x  e   c
4  2i 2i 
1  e 2ix  e 2ix 
   2x   c
4 2i 
1
   sin 2 x  2 x   c
4
1 1
 x  sin 2 x  c
2 4

69. 2
 e e 
ix  ix
(ii )  sin xdx   
2
 dx
 2i 
    e 2ix  2  e 2ix  dx
1
4
1  1 2ix 1 2ix 
   e  2x  e   c
4  2i 2i 
1  e 2ix  e 2ix 
   2x   c
4 2i 
1
   sin 2 x  2 x   c
4
1 1
 x  sin 2 x  c
2 4
Exercise 2B; 1 to 6 ac, 7 to 11, 12 ace etc