1. The t results

2. 
The t results
Let t  tan
2

3. 
The t results
Let t  tan
2

2 tan
tan   2

1  tan 2
2
2t
tan  
1 t 2

4. 
The t results
Let t  tan
2
 2t
2 tan
tan   2 
 1 t 2
1  tan 2
2
2t
tan  
1 t 2

5. 
The t results
Let t  tan
2 1 t2
 2t
2 tan
tan   2 
 1 t 2
1  tan 2
2 h   2t   1  t 
2 2
2 2
2t
tan  
1 t 2  4t 2  1  2t 2  t 4
 t 4  2t 2  1
  t  1
2 2

6. 
The t results
Let t  tan
2 1 t2
 2t
2 tan
tan   2 
 1 t 2
1  tan 2
2 h   2t   1  t 
2 2
2 2
2t
tan  
1 t 2  4t 2  1  2t 2  t 4
 t 4  2t 2  1
   t  1
2
If t  tan ;
2
2
2t
tan  
1 t 2

7. 
The t results
Let t  tan
2 1 t2
 2t
2 tan
tan   2 
 1 t 2
1  tan 2
2 h   2t   1  t 
2 2
2 2
2t
tan  
1 t 2  4t 2  1  2t 2  t 4
 t 4  2t 2  1
   t  1
2
If t  tan ;
2
2
2t 2t
tan   sin  
1 t 2 1 t 2

8. 
The t results
Let t  tan
2 1 t2
 2t
2 tan
tan   2 
 1 t 2
1  tan 2
2 h   2t   1  t 
2 2
2 2
2t
tan  
1 t 2  4t 2  1  2t 2  t 4
 t 4  2t 2  1
   t  1
2
If t  tan ;
2
2
2t 2t 1 t2
tan   sin   cos 
1 t 2 1 t 2 1 t2

9. 
The t results
Let t  tan
2 1 t2
 2t
2 tan
tan   2 
 1 t 2
1  tan 2
2 h   2t   1  t 
2 2
2 2
2t
tan  
1 t 2  4t 2  1  2t 2  t 4
 t 4  2t 2  1
   t  1
2
If t  tan ;
2
2
2t 2t 1 t2
tan   sin   cos 
1 t 2 1 t 2 1 t2
Note:
2t
If t  tan  ; tan 2 
1 t2

10. 
The t results
Let t  tan
2 1 t2
 2t
2 tan
tan   2 
 1 t 2
1  tan 2
2 h   2t   1  t 
2 2
2 2
2t
tan  
1 t 2  4t 2  1  2t 2  t 4
 t 4  2t 2  1
   t  1
2
If t  tan ;
2
2
2t 2t 1 t2
tan   sin   cos 
1 t 2 1 t 2 1 t2
Note:
2t 2t
If t  tan  ; tan 2  If t  tan 2 ; tan 4 
1 t2 1 t2

11. 1  cos x x
e.g.  i  Show that  t , where t  tan
sin x 2

12. 1  cos x x
e.g.  i  Show that  t , where t  tan
sin x 2
1 t2
1  cos x 1  1  t 2  x
x is double , 
  2 
sin x 2t  
1 t2  so t results can be used for sin x,cos x 

13. 1  cos x x
e.g.  i  Show that  t , where t  tan
sin x 2
1 t2
1  x 
1  cos x 1 t 2
x is double ,
  2 
sin x 2t  
1 t2  so t results can be used for sin x,cos x 
1  t 2  1  t 2 

2t

14. 1  cos x x
e.g.  i  Show that  t , where t  tan
sin x 2
1 t2
1  x 
1  cos x 1 t 2
x is double ,
  2 
sin x 2t  
1 t2  so t results can be used for sin x,cos x 
1  t 2  1  t 2 

2t
2t 2

2t
t

15.  2 tan 75
 ii  Use t  tan to simplify
2 1  tan 2 75

16.  2 tan 75
 ii  Use t  tan to simplify
2 1  tan 2 75
Let t  tan 75 ;

17.  2 tan 75
 ii  Use t  tan to simplify
2 1  tan 2 75
Let t  tan 75 ;

i.e.  75
2
  150

18.  2 tan 75 2 tan 75 2t
 ii  Use t  tan to simplify 
2 1  tan 2 75 1  tan 2 75 1  t 2
Let t  tan 75 ;

i.e.  75
2
  150

19.  2 tan 75 2 tan 75 2t
 ii  Use t  tan to simplify 
2 1  tan 2 75 1  tan 2 75 1  t 2
Let t  tan 75 ;  sin 

i.e.  75
2
  150

20.  2 tan 75 2 tan 75 2t
 ii  Use t  tan to simplify 
2 1  tan 2 75 1  tan 2 75 1  t 2
Let t  tan 75 ;  sin 
  sin150
i.e.  75 1
2 
  150 2

21.  2 tan 75 2 tan 75 2t
 ii  Use t  tan to simplify 
2 1  tan 2 75 1  tan 2 75 1  t 2
Let t  tan 75 ;  sin 
  sin150
i.e.  75 1
2 
  150 2
1  sin   cos  
 iii  Prove  tan
1  sin   cos  2

22.  2 tan 75 2 tan 75 2t
 ii  Use t  tan to simplify 
2 1  tan 2 75 1  tan 2 75 1  t 2
Let t  tan 75 ;  sin 
  sin150
i.e.  75 1
2 
  150 2
1  sin   cos  
 iii  Prove  tan
1  sin   cos  2 2t 1  t 2
 1  sin   cos  1  1  t 2  1  t 2
Let t  tan ; 
2 1  sin   cos  2t 1  t 2
1 
1 t 2
1 t2

23.  2 tan 75 2 tan 75 2t
 ii  Use t  tan to simplify 
2 1  tan 2 75 1  tan 2 75 1  t 2
Let t  tan 75 ;  sin 
  sin150
i.e.  75 1
2 
  150 2
1  sin   cos  
 iii  Prove  tan
1  sin   cos  2 2t 1  t 2
 1  sin   cos  1  1  t 2  1  t 2
Let t  tan ; 
2 1  sin   cos  2t 1  t 2
1 
1 t 1 t2
2
1  t 2  2t  1  t 2 

1  t 2  2t  1  t 2

24.  2 tan 75 2 tan 75 2t
 ii  Use t  tan to simplify 
2 1  tan 2 75 1  tan 2 75 1  t 2
Let t  tan 75 ;  sin 
  sin150
i.e.  75 1
2 
  150 2
1  sin   cos  
 iii  Prove  tan
1  sin   cos  2 2t 1  t 2
 1  sin   cos  1  1  t 2  1  t 2
Let t  tan ; 
2 1  sin   cos  2t 1  t 2
1 
1 t 1 t2
2
1  t 2  2t  1  t 2 

1  t 2  2t  1  t 2
2t 2  2t

2  2t

25.  2 tan 75 2 tan 75 2t
 ii  Use t  tan to simplify 
2 1  tan 2 75 1  tan 2 75 1  t 2
Let t  tan 75 ;  sin 
  sin150
i.e.  75 1
2 
  150 2
1  sin   cos  
 iii  Prove  tan
1  sin   cos  2 2t 1  t 2
 1  sin   cos  1  1  t 2  1  t 2
Let t  tan ; 
2 1  sin   cos  2t 1  t 2
1 
1 t 1 t2
2
1  t 2  2t  1  t 2 

1  t 2  2t  1  t 2
2t 2  2t

2  2t
2t  t  1

2 1  t 

26.  2 tan 75 2 tan 75 2t
 ii  Use t  tan to simplify 
2 1  tan 2 75 1  tan 2 75 1  t 2
Let t  tan 75 ;  sin 
  sin150
i.e.  75 1
2 
  150 2
1  sin   cos  
 iii  Prove  tan
1  sin   cos  2 2t 1  t 2
 1  sin   cos  1  1  t 2  1  t 2
Let t  tan ; 
2 1  sin   cos  2t 1  t 2
1 
1 t 1 t2
2
1  t 2  2t  1  t 2 

1  t 2  2t  1  t 2
2t 2  2t

2  2t
2t  t  1 
  t  tan
2 1  t  2

27. 
(iv) By making the substitution t  tan or otherwise,
2

show that cosec  cot   cot 2005 Extension 1 HSC Q4b)
2

28. 
(iv) By making the substitution t  tan or otherwise,
2

show that cosec  cot   cot 2005 Extension 1 HSC Q4b)
2
1 t2 1 t2
cosec  cot   
2t 2t

29. 
(iv) By making the substitution t  tan or otherwise,
2

show that cosec  cot   cot 2005 Extension 1 HSC Q4b)
2
1 t2 1 t2
cosec  cot   
2t 2t
2

2t
1

t

30. 
(iv) By making the substitution t  tan or otherwise,
2

show that cosec  cot   cot 2005 Extension 1 HSC Q4b)
2
1 t2 1 t2
cosec  cot   
2t 2t
2

2t
1

t 
 cot
2

31. 
(iv) By making the substitution t  tan or otherwise,
2

show that cosec  cot   cot 2005 Extension 1 HSC Q4b)
2
1 t2 1 t2
cosec  cot   
2t 2t
2

2t
1

t 
 cot
2
Exercise 2B; 1def, 3ace, 4bcf, 5aceg, 6, 8bd, 10a