11 x1 t08 04 double angles (2012)

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11 x1 t08 04 double angles (2012)

  1. 1. Double Angles
  2. 2. Double Angles   sin 2  sin   
  3. 3. Double Angles   sin 2  sin     sin  cos   cos  sin 
  4. 4. Double Angles   sin 2  sin     sin  cos   cos  sin  sin 2  2sin  cos 
  5. 5. Double Angles   sin 2  sin     sin  cos   cos  sin  sin 2  2sin  cos  cos 2  cos    
  6. 6. Double Angles   sin 2  sin     sin  cos   cos  sin  sin 2  2sin  cos  cos 2  cos      cos  cos   sin  sin 
  7. 7. Double Angles   sin 2  sin     sin  cos   cos  sin  sin 2  2sin  cos  cos 2  cos      cos  cos   sin  sin  cos 2  cos 2   sin 2 
  8. 8. Double Angles   sin 2  sin     sin  cos   cos  sin  sin 2  2sin  cos  cos 2  cos      cos  cos   sin  sin  cos 2  cos 2   sin 2   cos 2   1  cos 2  
  9. 9. Double Angles   sin 2  sin     sin  cos   cos  sin  sin 2  2sin  cos  cos 2  cos      cos  cos   sin  sin  cos 2  cos 2   sin 2   cos 2   1  cos 2   cos 2  2cos 2   1
  10. 10. Double Angles   sin 2  sin     sin  cos   cos  sin  sin 2  2sin  cos  cos 2  cos      cos  cos   sin  sin  cos 2  cos 2   sin 2   cos 2   1  cos 2   cos 2  2cos 2   1  2 1  sin 2    1
  11. 11. Double Angles   sin 2  sin     sin  cos   cos  sin  sin 2  2sin  cos  cos 2  cos      cos  cos   sin  sin  cos 2  cos 2   sin 2   cos 2   1  cos 2   cos 2  2cos 2   1  2 1  sin 2    1 cos 2  1  2sin 2 
  12. 12. Double Angles   sin 2  sin     sin  cos   cos  sin  sin 2  2sin  cos  cos 2  cos      cos  cos   sin  sin  cos 2  cos 2   sin 2   cos 2   1  cos 2   cos 2  2cos 2   1  2 1  sin 2    1 cos 2  1  2sin 2  tan 2  tan    
  13. 13. Double Angles   sin 2  sin     sin  cos   cos  sin  sin 2  2sin  cos  cos 2  cos      cos  cos   sin  sin  cos 2  cos 2   sin 2   cos 2   1  cos 2   cos 2  2cos 2   1  2 1  sin 2    1 cos 2  1  2sin 2  tan 2  tan     tan   tan   1  tan  tan 
  14. 14. Double Angles   sin 2  sin     sin  cos   cos  sin  sin 2  2sin  cos  cos 2  cos      cos  cos   sin  sin  cos 2  cos 2   sin 2   cos 2   1  cos 2   cos 2  2cos 2   1  2 1  sin 2    1 cos 2  1  2sin 2  tan 2  tan     2 tan  tan   tan  tan 2   1  tan 2  1  tan  tan 
  15. 15. Double Angles sin 2  2 sin  cos
  16. 16. Double Angles sin 2  2 sin  cos cos 2  cos 2   sin 2 
  17. 17. Double Angles sin 2  2 sin  cos cos 2  cos 2   sin 2   2 cos 2   1
  18. 18. Double Angles sin 2  2 sin  cos cos 2  cos 2   sin 2  1  2 cos   1 2  cos   1  cos 2  2 2
  19. 19. Double Angles sin 2  2 sin  cos cos 2  cos 2   sin 2  1  2 cos   1 2  cos   1  cos 2  2 2  1 2 sin 2 
  20. 20. Double Angles sin 2  2 sin  cos cos 2  cos 2   sin 2  1  2 cos   1 2  cos   1  cos 2  2 2 1  1 2 sin 2   sin   1  cos 2  2 2
  21. 21. Double Angles sin 2  2 sin  cos cos 2  cos 2   sin 2  1  2 cos   1 2  cos   1  cos 2  2 2 1  1 2 sin 2   sin   1  cos 2  2 2 2 tan  tan 2  1  tan 2 
  22. 22. Double Angles sin 2  2 sin  cos cos 2  cos 2   sin 2  1  2 cos   1 2  cos   1  cos 2  2 2 1  1 2 sin 2   sin   1  cos 2  2 2 2 tan  tan 2  1  tan 2  2e.g.  i  If cos   , find tan 2 3
  23. 23. Double Angles sin 2  2 sin  cos cos 2  cos 2   sin 2  1  2 cos   1 2  cos   1  cos 2  2 2 1  1 2 sin 2   sin   1  cos 2  2 2 2 tan  tan 2  1  tan 2  2e.g.  i  If cos   , find tan 2 3 3 5  2
  24. 24. Double Angles sin 2  2 sin  cos cos 2  cos 2   sin 2  1  2 cos   1 2  cos   1  cos 2  2 2 1  1 2 sin 2   sin   1  cos 2  2 2 2 tan  tan 2  1  tan 2  2e.g.  i  If cos   , find tan 2 3 3 5 2 tan  tan 2   1  tan 2  2
  25. 25. Double Angles sin 2  2 sin  cos cos 2  cos 2   sin 2  1  2 cos   1 2  cos   1  cos 2  2 2 1  1 2 sin 2   sin   1  cos 2  2 2 2 tan  tan 2  1  tan 2  2e.g.  i  If cos   , find tan 2  5 3 2  3 tan 2   2  5 2 tan  tan 2   2  1  tan 2  5 1   2  2 
  26. 26. Double Angles sin 2  2 sin  cos cos 2  cos 2   sin 2  1  2 cos   1 2  cos   1  cos 2  2 2 1  1 2 sin 2   sin   1  cos 2  2 2 2 tan  tan 2  1  tan 2  2e.g.  i  If cos   , find tan 2  5 3 2  3 2 tan  tan 2   2  5 tan 2   5 2  1  tan 2  1   2  2  5  1  4  4 5
  27. 27. 5 5 ii  Find the exact value of sin cos 12 12
  28. 28. 5 5 ii  Find the exact value of sin cos 12 12 5 5 1  5 5  sin cos =  2sin cos  12 12 2  12 12 
  29. 29. 5 5 ii  Find the exact value of sin cos 12 12 5 5 1  5 5  sin cos =  2sin cos  12 12 2  12 12  1  5  = sin  2   2  12 
  30. 30. 5 5 ii  Find the exact value of sin cos 12 12 5 5 1  5 5  sin cos =  2sin cos  12 12 2  12 12  1  5  = sin  2   2  12  1 5 = sin 2 6
  31. 31. 5 5 ii  Find the exact value of sin cos 12 12 5 5 1  5 5  sin cos =  2sin cos  12 12 2  12 12  1  5  = sin  2   2  12  1 5 = sin 2 6 1 1 =  2 2 1 = 4
  32. 32. 2  iii  If cos  , find the exact value of sin 3 2
  33. 33. 2  iii  If cos  , find the exact value of sin 3 2 1 sin 2   1  cos 2  2
  34. 34. 2  iii  If cos  , find the exact value of sin 3 2 1 1  cos 2  sin 2   2 2 1  sin  1  cos   2 2
  35. 35. 2  iii  If cos  , find the exact value of sin 3 2 1 1  cos 2  sin 2   2 2 1  sin  1  cos   2 2 1 2  1   2 3
  36. 36. 2  iii  If cos  , find the exact value of sin 3 2 1 sin 2  1  cos 2  2 2 1  sin  1  cos   2 2 1 2  1   2 3 1  6
  37. 37. 2  iii  If cos  , find the exact value of sin 3 2 1 sin 2   1  cos 2  2 2 1  sin  1  cos   2 2 1 2  1   2 3 1  6  1 sin   2 6
  38. 38. 1  cos 2 x iv  Prove  tan x 1  cos 2 x
  39. 39. 1  cos 2 x iv  Prove  tan x 1  cos 2 x 1  cos 2 x 1  1  2sin 2 x   1  cos 2 x 1   2cos 2 x  1
  40. 40. 1  cos 2 x iv  Prove  tan x 1  cos 2 x 1  cos 2 x 1  1  2sin 2 x   1  cos 2 x 1   2cos 2 x  1 2sin 2 x  2cos 2 x
  41. 41. 1  cos 2 x iv  Prove  tan x 1  cos 2 x 1  cos 2 x 1  1  2sin 2 x   1  cos 2 x 1   2cos 2 x  1 2sin 2 x  2cos 2 x sin 2 x  cos 2 x
  42. 42. 1  cos 2 x iv  Prove  tan x 1  cos 2 x 1  cos 2 x 1  1  2sin 2 x   1  cos 2 x 1   2cos 2 x  1 2sin 2 x  2cos 2 x sin 2 x  cos 2 x  tan 2 x
  43. 43. 1  cos 2 x iv  Prove  tan x 1  cos 2 x 1  cos 2 x 1  1  2sin 2 x   1  cos 2 x 1   2cos 2 x  1 2sin 2 x  2cos 2 x sin 2 x  cos 2 x  tan 2 x  tan x
  44. 44. sin 3 cos3(v) Prove that  2 1996 Extension 1 HSC Q4a) sin cos
  45. 45. sin 3 cos3(v) Prove that  2 1996 Extension 1 HSC Q4a) sin cos sin 3 cos3 sin 3 cos   cos3 sin    sin  cos  sin  cos 
  46. 46. sin 3 cos3(v) Prove that  2 1996 Extension 1 HSC Q4a) sin cos sin 3 cos3 sin 3 cos   cos3 sin    sin  cos  sin  cos  2 sin 3     2 sin  cos
  47. 47. sin 3 cos3(v) Prove that  2 1996 Extension 1 HSC Q4a) sin cos sin 3 cos3 sin 3 cos   cos3 sin    sin  cos  sin  cos  2 sin 3     2 sin  cos 2 sin 2  sin 2
  48. 48. sin 3 cos3(v) Prove that  2 1996 Extension 1 HSC Q4a) sin cos sin 3 cos3 sin 3 cos   cos3 sin    sin  cos  sin  cos  2 sin 3     2 sin  cos 2 sin 2  sin 2 2
  49. 49. (vi) Prove the following identity; 1994 Extension 1 HSC Q2a) 2 tan A  sin 2 A 1  tan A 2
  50. 50. (vi) Prove the following identity; 1994 Extension 1 HSC Q2a) 2 tan A  sin 2 A 1  tan A 2 2sin A 2 tan A  cos A 1  tan 2 A sin 2 A 1 cos 2 A
  51. 51. (vi) Prove the following identity; 1994 Extension 1 HSC Q2a) 2 tan A  sin 2 A 1  tan A 2 2sin A 2 tan A  cos A 1  tan 2 A sin 2 A 1 cos 2 A 2 sin A cos A  cos 2 A  sin 2 A
  52. 52. (vi) Prove the following identity; 1994 Extension 1 HSC Q2a) 2 tan A  sin 2 A 1  tan A 2 2sin A 2 tan A  cos A 1  tan 2 A sin 2 A 1 cos 2 A 2 sin A cos A  cos 2 A  sin 2 A sin 2 A  1
  53. 53. (vi) Prove the following identity; 1994 Extension 1 HSC Q2a) 2 tan A  sin 2 A 1  tan A 2 2sin A 2 tan A  cos A 1  tan 2 A sin 2 A 1 cos 2 A 2 sin A cos A  cos 2 A  sin 2 A sin 2 A  1  sin 2 A
  54. 54. (vi) Prove the following identity; 1994 Extension 1 HSC Q2a) 2 tan A  sin 2 A 1  tan A 2 2sin A 2 tan A  cos A 1  tan 2 A sin 2 A 1 cos 2 A 2 sin A cos A  cos 2 A  sin 2 A sin 2 A  1  sin 2 A Book2 Exercise 2A; 2ade, 3bde, 5adej, 7, 8adg, 10ab, 11, 13ck, 16, 19*

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