συλλογή ασκήσεων στα πολυώνυμα μιχαήλογλου

1
1.             2 3 2
P x 5 9 x 3 x 1
 .
2.
             2 4 2
P x 6 8 x 2 x 3 10  .
3.     3 2
P x 4x 6x 4x 8       3 2
Q x x x x
   P x Q x
3
4.
      
          2 3 2
P x 2 x 5 6 x 1
2
5.  ,
      2 2
P x x 2x 6         2 2
Q x x 1 x 4 1
6.             2
P x 2 x 2 6 x 3
7.        3 2 2
P x 5x x 9 8
       3 2
Q x 4 x x 1
8.    , , ,       4 3 2
P x x x x x 16
   2
Q x x x .
9.

2
3x 3
x 9
10.  P x
    P 2x 1 P 2x x .
11.  P x      P x P x 1 x
x .
12.    3 2
P x x 3x 2x     P x 1 P x .
13.  P x       2 2
P x P x x 5x 6 x .
14.  P x     2 2
P P x 27x 36x 14
x .

2
15.    2
P x 2x 3x 1   2
Q x x 3 .
  P Q x .
    , , , ,         8 6 4 2
x x x x P Q x
x .
16.  P x  Q x        P x 2 Q x 1 2 .
 P x  Q x
         P x Q x 4 2Q x P x
17.    2
P x 2x 3x 1   2
Q x x 3 .
  P Q x .
    , , , ,         8 6 4 2
x x x x P Q x
x .
18.  P x     2 2
P P x 27x 36x 14
x .
19.  P x  P x x
  P P x x .
20.  P x  P x 2x
   P P x 2 2.
21.  P x       
2 2
P x 1 P x 3 x
 P 0 0  P 25 .
22.  P x      P 2x 1 3P x 2 x
 P 0 0   P 15 80 .
23.    10 8 6
x x x 1 0     2.
    3 2
5x 2 x 3 0    2 3 5 .
24.       5 4 3 2
P x x x x x x 1   2.
   
     1 2
P x x x ... x x 1   2.
25.     3 2
P x x 3x 3x 3
  4 .
26.           3 2
P x x x x , , , ,   0

  

2

3
27.   0        4 3
P x x x x , 0 .
 P x

1
.
 ,
28.        2
P x x 1 x 2 -
        3 2 2
x x 4x 1 x .
29.  ,
            2 2
P x 3x x 2 x 5x 1 1 1.
30.
31.
     4 3 2
P x x x x 3x 4  2
x 2x 5 11x 36 .
32.
       4 2 2
x x 3x 3 : x 3x 2      2
5x 12x 32 : x 4
      4 2
3x x 4x 3 : x 3     4 4
x k : x k
33.        3 2 2
2x 7x 11x 4 : x 3x 4
34.     3 2
P x 4x 5x 6x 8
   P x : x 1    P x : x 2
35.              3 2 2 4 3 2
P x x 3x 1 x 3x 4 x x 6x 2x 3.
 P x
 3 2
x 3x 1  2
x 3x 4
36. Horner     3 2
P x 2x 5x 6x 9,
   x 1 x 3
37. Horner
     4 3 2
P x x 9x 30x 44x 24  
2
x 2 .
38. 
        3 2
P x 2 x 2 x 5 6 x 1
39.  ,       3 2
P x x 2 x x 6
   x 1 x 2 .

4
40.  ,        4 2
P x x 1 x x 1
 2
x 3x 2.
41.  ,   
  1
P x x x
 
2
x 1 .
42.             
1821 25 25
P x x 1 x 3 x 1
x 1.  P x 0 1.
43.        
200
2 2
P x 3x 3x 1 x 1
44.  P x  2
x x 2 3x 1
   P x : x 1    P x : x 2 .
45.    P x : x 
    P x : x  ,   
       P x : x x  .
46.    P x : x 2
    2
P x : x 4x 3 3x 5        
 
2
P x : x 2 x 4x 3 .
47.  P x x 
x   x 
      Q x P P P x x .
48.  P x x  x 
     Q x P P x x   .
49.  P x      P x 1 P x x x .
 P x x 1.
 P x x 1821.
 P x
50.  P x x 1 x 2 7
     P x : x 1 x 2 .
51.  P x x x ,   
   x x .

5
52.
       3 2
P x x x 1 x 5    x 1 x 2 .
53.
       3 2
P x x x 3 x 10  
2
x 2 .
54.  P x   2  ,   
 P x    x x  
             
  
   
P P P P
x x
55.         2
P x 3 x x 3 ,         Q x P 2 x 2xP x 1 .
 Q x x 2
56.  P x x 3 x 5  1 x
 2 x      1 25 3 .
57.  P x       2
Q x x x , ,   2 2
4 ,
 P x
58.  P x x 1
     P x 1 P x x x .
59.    3 2
x 2x x 4 0
60.  P x x 2 x 3
 P x    x 2 x 3 .
61.  P x x 2
 2
x 4x 3 2x 7
      2
P x : x 2 x 4x 3 .
62.       3 2
P x x 2x x , ,  P x x 1
x 2
  5   6 .  P x 0.
63.        4 3 2
P x x x x 5x 4, ,  P x
 
2
x 1
 1   1.  P x 0.
64.       3 2
P x x x x 6, ,  P x
 2
x 4x 3
  6   9 .  P x 0.

6
65.           4 3 2
P x x 8x 5 1 x 8x 3 6 .
 P x x2
1
  3  P x 0
 P x x x.
66.  ,     
 8 2 8
.
67.     3 2
P x 4x 8x 5x 1    3
Q x 4x 3x 1
68.     3 2
P x x 3x 2x 1    3
Q x x 5x 8
69.          3 2
P x x x 5 x 4, .
 P x 
 1        
2
3 3
P x x 6P x 6x 5.
70.  P x             2
x 2 P x x 1 P x 2 x
x  P x x 2 2
 P x x 4.
 P x  2
x 6x 8 .
 P x x 1.
 P x
71.      4 3 2
P x x x x 6x 4 2
x 2.
  3   4 .  P x 0.
72.          
1821 1453
P x x x 2 x 1 2
 P x    3 2
Q x x 3x 2x.
  1821 1453
10 8 9 89
73.          
20 15
P x x 4 2x 5 2 .
x 3  P x .
 40 15
2 11 2
 20 15
9 21 1
74.    2
P x x x 1
     
     3 2 3 1 3
Q x x x x , , , .

7
75.     3 2
P x x x x 1
      
       4 3 4 2 4 1 4
Q x x x x x , , , , .
  P x   2.
 P x
i.    Q x P x ii.  Q x .
76.          
20 30
P x x 10 x 20 x 30 .
 P x 0.
   P x x 10.  P x 0.
77. x) 2
x 1
  3
P x x x .
             
3 2
x 2 x 2 x 2
78.        4 3 2
P x x x x 5x 4, ,  P x
 
2
x 1
 1   1.  P x 0.
79.
  3
x 7x 6 0    3 2
x x 10x 8 0     4 3 2
x 3x x 3x 2 0
80.
  3
x 8x 7 0     4 3 2
x 5x 6x x 2 0
    3
x 2x x x 2 0     4 3 2
x 2x 7x 8x 12 0
81.
    3 2
f x 4x 8x x 3 x x.
82. 
   2
5x 9 x 1 0
83.  
    2
8 x 2 1 x 1 0
84.
    4 3 2
x 3x x 3x 2 0       3
x x 1 2 x x 1
   3 2
x 2x x 2 0   3 3 2
x 3x 5x 9
    4 3 2
3x x 9x 9x 2 0   4 3
x 3x 6x 4
85.
     4 3 2
f x x 2x 3x 8x 4
86.      4 3 2
P x x x 11x x 18
2.

8
 1   9 .
 P x 0 .
87.
          
6 3
2 2
x 3x 2 9 x 3x 2 8 0        
8 4
x 3 3 x 3 4 0
           
4 2
3 3
x 11x 12 3 x 11x 12 4 0          
4 2
2 x 1 6 2 x 1 7 0
      3 2
2 x 5 x 5 x 2 0       4 3
2 x 5 x 5 x 2 0
88.
 x 1 2   x 3 4   2x 7 x 2  x 2x
89.
  5x 10 8 x    2x 6 x 1 2
  x 32 x 16
 


4x 20 4 x
24 x
  

2
x 1 1
x 1
  
   
4
2 x 2
3 2 x
           2 2
2x 7 x 4 x 3x 5
90.
  3x 7 x 3 x - 1    x 1 x 5    2 1
x x 3 x
2
91.
    4 3 2
x 4x 6x 4x 1 0     4 3 2
6x 25x 12x 25x 6 0
92.       4 3 2
f x x x x x 2, x
x 1  f x   x
 f x   x
x 2   x
  x x 2 .
f
x x.
93.     k       3 2
x kx k x x 1
 
   
 
1
7
2
   1 23  k 6   5.
 P x  k 6   5 2x 1
 P x
 P x 7  k 6   5.
94.      3 2
x x 6x 11x 6
x)  x 1.

9
 P x x 1.
 P x 0.
95.  P x x2
  3
P x x x .
           
3 2
P x 2 P x 2 P x 2 .
96.           4 3 2
P x x 8x 5 1 x 8x 3 6
 P x x2
1
  3  P x 0
 P x x x.

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