1. Десятичные логарифмы и х свойства.
Работу выполнила
ученица 9 б класса
Зиганшина Лия.
Научный руководитель -
Куприна Л. И.
Выборгский район
ГБОУ школа №457
Санкт-Петербург
2014 г.
2. Историческая справка
Учение о логарифмах
возникло в начале 17 века
в связи с назревшей
практической
потребностью в новых
вычислительных
средствах. Сама идея
логарифмов возникла из
сопоставления двух
прогрессий :
арифметической и
геометрической.
Первыми составителями
таблиц логарифмов были
шотландский математик
Непер (1550-1617) и
швейцарский математик
Бюрги (1552-1632).
3. В школьное
преподавание
логарифмы впервые
вошли благодаря
работам Эйлера (1707-
1783), знаменитого
петербургского
академика 18 века,
современника великого
Ломоносова.
Эйлером придуман
термин «мантисса» для
обозначения дробной
части логарифма, он же
дал и теорию
логарифмов почти в том
виде, в каком она
излагается до сих пор в
наших учебниках.
4. Решение уравнений вида:
3x=9 не вызывает затруднения,
Корнем уравнения является x=2.
Но решение уравнения 3x=5 вызывает затруднения, и возникает
необходимость ввода нового понятия - логарифм.
5. Определение логарифма
положительного числа по
данному основанию.
Логарифмом положительного
числа х по основанию а (а>0,
a≠1) называется показатель
степени, в которую нужно
возвести число а, чтобы
получить число х:
alog
a
x=x.
Равенство logax=y означает,
что ay=x.
Например, log381=4, так как
34=81.
В записи logax число а-
основание логарифма, х -
логарифмируемое число.
6. Десятичный логарифм
Если основание логарифма равно 10, то логарифм называется
десятичным. Вместо записи log10x принята запись lg x.
Из определения десятичного логарифма вытекают следующие важные
равенства:
lg1=0,
lg10=1.
Первое следует из того, что а0=1,а второе-из того, что а1=10. Так же
имеет место равенство:
lg10
r=r.
В записи lg x
10-основание логарифма, а x - логарифмируемое число.
7. Свойства логарифмов.
Логарифм положительного числа Десятичный логарифм
Если х1>0 и х2>0, то
logaх1 х2=loga х1+loga х2.
Например,
log315=log3(3∙5)=log33+log35=1+log3
5
lg х1 х2=lg х1+lg х2.
Например, lg
1000=lg(10∙100)=lg10+ lg100=1+2=3
1.Логарифм произведения равен сумме
логарифмов сомножителей.
8. 2.Логарифм частного равен разности логарифмов
делимого и логарифмов делителя.
Если х1>0 и х2>0, то
loga х1/ х2=loga х1-loga х2
Например, log21,25=log25/4=log25-
log24=log25-2
lgx1/x2=lgx1-lgx2
Например, lg 0,1=lg 1/10=lg1-lg10=0-
1=-1
Если х>0, то
logaxr=rlogax
Пример, log581=log534=4log53
lgxr=rlgx
Пример, lg25=lg52=2lg5
3.Логарифм степени равен произведению степени на
логарифм основания степени.
9. 4.Переход к новому основанию логарифма.
Если х>0, то
logax=logbx/logba
Например, log23=log53/log52
lgx=logbx/logb10
Например, lg5=log25/log210
logax=loga
kxk
Например, log25=log2
353=log√2√5
lgx=lgkxk
Например, lg7=lg575=5√lg 5√7
Целая часть числа lg a, то есть порядок числа а, называется характеристикой lg a,
а дробная часть числа lg a – его мантиссой.
Имеет место следующее утверждение:если число а>0 умножить на 10k, где k
целое число, то мантисса логарифма не изменится, иными словами, lg a и lg
(a∙10k) имеют одинаковые мантиссы.
11. Свойства логарифмической функции
1)Область определения логарифмической функции —
множество всех положительных чисел.
2)Множество значений логарифмической функции —
множество R всех действительных чисел.
3)Логарифмическая функция не является ограниченной.
4)Логарифмическая функция y=lg x является
возрастающей на промежутке (0; +∞).
5)Функция y=lg x принимает положительные значения
при x>1, отрицательные при 0<x<1.
12. Применение десятичных логарифмов в жизни.
Десятичные логарифмы до изобретения
калькуляторов широко применялись для
вычислений. Неравномерная шкала
десятичных логарифмов обычно
наносится и на логарифмические
линейки. Подобная шкала широко
используется в различных областях науки,
например:
Физика— интенсивность звука
(децибелы.
Астрономия — шкала яркости звёзд.
Химия — активность водородных ионов
(pH).
Сейсмология— шкала Рихтера.
Теория музыки — нотная шкала, по
отношению к частотам нотных звуков.
13. «Музыка логарифмов»
Рассмотрим строение
человеческого уха.
Рассматривая улитку,
можно наблюдать её
внешнее сходство с
логарифмической
спиралью.
Логарифмическая
спираль является
траекторией точки,
которая движется
вдоль равномерно
вращающейся прямой,
удаляясь от полюса со
скорость,
пропорциональной
пройденному
расстоянию.
14. Первым учёным, открывшим
эту удивительную кривую,
был Р. Декарт. Уже в конце 17
века многие свойства
«изумительной спирали»
были исследованы Якобом
Бернулли.
15. Закон Вебера-Фехнера
В 1846 г. физиолог Вебер установил
зависимость между ощущением и
раздражением, вызывающим это ощущение. В
дальнейшем (в 1860 г.) Фехнер подверг закон
Вебера математической обработке. По
результатам исследования был сформулирован
закон Вебера-Фехнера, согласно которому
ощущение изменяется пропорционально
логарифму раздражения:
S=k lg J/J0, где S - ощущение, J0 –
первоначальное раздражение, J —
последующее раздражение, k – коэффициент
пропорциональности.
Далее рассмотрим формулу, которая
показывает отношение силы двух звуков (в дБ):
nдБ=lg J/J0 , где J - исследуемая сила звука, J0 -
сила звука, от которой мы производим отсчёт.
