從邏輯、數學基礎危機、到計算科學. 2013 版。

1. 從邏輯、數學基礎危
機、到計算科學

2. Computer Science
電腦科學
Computing Science
計算科學

3. 真

4. 三
段
論
已知：⼈人皆難免⼀一死。
已知：蘇格拉底是⼈人。
推論：蘇格拉底難免⼀一死。

5. 三
段
論
已知：呼嚕嚕皆汪汪。
已知：⾦金莎是呼嚕嚕。
推論：⾦金莎會汪汪。

6. • 試證：任兩個偶數的和仍為偶數。
• 已知：m為偶數 存在 a，使得 m=2×a。
• 已知：n為偶數 存在 n，使得 n=2×b。
• m+n = 2×a + 2×b = 2×(a+b).
• 故 m+n 為偶數。

7. • 試證：存在兩個無理數 a 與 b, 使得 ab 為
有理數。
• 已知：√2 為無理數。
• √2√2 要不就是有理數，要不就是無理
數。
• Case 1: 若 √2√2 為有理數，證明成功。
• Case 2: √2√2 為無理數，(√2√2)√2 =
√2(√2√2) = √22 = 2.

8. 亞⾥里斯多德
(384BC - 322BC)
康德：關於邏輯，亞⾥里斯多德已發現了所
有需要知道的。
Prantl: 亞⾥里斯多德後的邏輯學家若還⾃自認
有新發現，必定是愚昧或喪⼼心病狂。
以上觀點⽇日後皆受到挑戰。

9. George Boole
(1815 – 1864)
「布林(Boolean)
邏輯」：邏輯具
有代數性質。

10. • x: 所有褐⾊色的⽜牛, y: 所有胖的⽜牛,
• x+y: 褐⾊色或胖的⽜牛,
• xy: 褐⾊色且胖的⽜牛.
• z: 所有愛爾蘭⽜牛。
• z(x+y) = zx+zy -- 「褐⾊色或胖的愛爾蘭
⽜牛」等於「褐⾊色的愛爾蘭⽜牛，或胖的愛
爾蘭⽜牛」。

11. 符號：
為了幫助思考！

12. 怎麼算 17 × 28 ?

13. 17
× 28
136
34..
476

14. 形式證明
邏輯：符號，和操作符號的規則。
證明：從給定的符號，能否變出想要的符號？

15. A→B
A→BA
B
B
[A]
試證明：
(X→Y→Z)→(X→Y)→ X → Z

16. (X→Y→Z)→(X→Y)→ X → Z
(X→Y)→ X → Z
X → Z
Z
[X→Y→Z] [X→Y][X]
Y→Z Y
[X]

17. 真假 v.s. 可證明

18. ⼀一致：
證明出的都是真的
完備：
真的陳述都可證明

19. 邏輯有很多種！
命題邏輯: 蘇格拉底是⼈人...
⼀一階邏輯: 對所有⼈人... 存在⼀一個...
⾼高階邏輯: 對所有命題...
邏輯有強弱之分！

20. G.W. Leibniz
(1646 – 1716)
• 微積分、⼆二進位數...
• lingua characteristica
universalis: 可表達所
有⼈人類知識的通⽤用
語⾔言？

21. 「改正我們的推論的唯⼀一
⽅方法是使它和數學⼀一樣清
晰，使我們⼀一眼就可看出
錯誤。每當有⼈人起爭執，
我們只需說 “calculemus” ---
那我們算算看吧！」

22. Georg Cantor
(1845 - 1918)
• “Über eine Eigenschaft
des Inbegriffes aller
reellen algebraischen
Zahlen (On a Property of
the Collection of All Real
Algebraic Numbers)”,
Cantor, 1874.
• 集合論的誕⽣生。

23. 無限
• ⾃自然數 {0,1,2...} 有多少個？無限個。
• 偶⾃自然數 {0,2,4...} 有多少個？無限個。
• 整數 {...-2,-1,0,1,2..} 有多少個？無限個。
• 有理數 {... 0, 1, 1/2, 1/3.. 2/3...} 有多少個？
無限個。

24. • Cantor: 「實數的集合」的成員⽐比「整數
的集合」的成員來得多！
• ℵ0: 整數集合的⼤大⼩小。
• ℵ1: 實數集合的⼤大⼩小。
• ℵ2, ℵ3, ℵ4... ℵα...
• 集合論的誕⽣生。

25. ⽭矛盾：「所有集合的集合」
有幾個成員？

26. 直覺主義
Kronecker, Poincaré, Brouwer....

27. 形式主義

28. F. L. Gottlob Frege
(1848 – 1925)
• ⼆二階邏輯。
• Grundgesetze der
Arithmetik (Basic
Laws of Arithmetic)
(vol 1. 1893, vol 2.
1903).
• 試圖從基礎重導出
算數的定理。

29. Bertrand Russell
(1872 – 1970)
• 1902 年六⽉月，羅素給了
Frege ⼀一封信...
• 「（⼀一些誇獎之後）... 只
有⼀一點我還不了解的.. 」

32. 羅素悖論
• 以符號表⽰示：
• 令 R = {X | X ∉ X},
• 可導出 R ∈ R R ∉ R.

33. 說謊者悖論
「這是⼀一句謊話。」

34. 說謊者悖論
「我是⽩白賊義。」

35. Frege 的 Grundgesetze 第⼆二卷附錄：「對科
學家來說最糟的便是在⼯工作將完成時發現
基礎垮了。羅素先⽣生的⼀一封信使我陷⼊入了
這種困境。」

36. 數學基礎危機！

38. 數學原理
羅素：「每天早上我在⼀一張⽩白紙前坐下。
整天，除了短暫的午餐時間，我都瞪著那
張⽩白紙。往往到了晚上，那還是⼀一張⽩白紙。
我覺得我下輩⼦子都將看著那張⽩白紙發呆。」

39. 數學原理
• Principia Mathematica, 羅素、懷海德, 1910
- 1913.
• 費時⼗十年。三冊，兩千⾴頁。
• 從邏輯導出數學定理。
• 傳奇：花了 300 ⾴頁證明 1+1=2.
• 避免了明顯的悖論。(那不明顯的呢?)

40. David Hilbert
(1862 - 1943)
• Hilbert 計畫 (1922-1930): 將數學形式化，
藉以確認數學是
• ⼀一致的，
• 完備的，
• 可決定的。

41. Wir müssen wissen,
wir werden wissen.

42. Königsberg,
Sep 7, 1930.
• Conference on the Epistemology of the
Exact Sciences.
• Gödel: 「可做出⼀一個句⼦子，雖然為真，
卻無法在數學形式系統中證明出來。」

43. 第⼀一不完備定理
• 任何⾜足以描述算數的、⼀一致的形式系統
中都可做出⼀一個雖為真卻無法證明的陳
述。
• 「我沒有證明。」
• 因此，⼀一個夠強的形式系統要不就是不
⼀一致，要不就是不完備。

44. 第⼆二不完備定理
任⼀一個夠描述算數的形式系統將無法證明
⾃自⾝身的⼀一致性。

45. Von Neumann:
“It’s all over.”

46. 真 ≠ 可證明

47. Ludwig Wittgenstein
(1889 – 1951)
• Tractatus Logico-
Philosophicus (Logical-
Philosophical Treatise,
邏輯哲學論):
• “Whereof one cannot
speak, one must pass
over in silence.”

48. 可計算性
• Alonzo Church: λ-calculus, 1930s.
• Alan Turing: 圖寧機器 (Turing Machine).
• Church, Stephen Kleene, J. Barkley Rosser:
遞迴函數。
• 他們的能⼒力都相等。

49. Church-Turing 假說
• 「有效可算」：可在有限時間內由某固
定程序解答問題（⾮非形式定義！）。
• 假說：所有「有效可算」的函數都可由
圖寧機器算出。