সকলকে অনুরুধ করছি দেখার জন্য

1. স্বাগতম
য োগোশ্রয়ী যরোগ্রোম িং

2. য াগাশ্রয়ী যরাগ্রামমিং
 য োতোহো যহোসেন খোন
 রভোষক, গমিত-মিভোগ
 পুরোন িোজোর মিমগ্র কসেজ, চোাঁ দপুর
 য োিোইে নম্বরঃ ০১৭২২-২৯০২৯০
 ই-য ইেঃ mutaharhussainkhan@gmail.com

3. য াগাশ্রয়ী যরাগ্রামীিং কাকক বকে ?
সববমিম্ন মবমিকয়াকগর মবমিমকয় সম্ভাবয সকববাচ্চ মুিাফা
অর্ব কির েকে যকাকিা পমরকল্পিাকক (i) উকেশ্য ফািংশ্ি
(ii) মসদ্ধান্ত চেক (iii)শ্তব মসমাবদ্ধতা
এই মতিটি তথ্যকক কযাকটাকরামচকের মিয়কম গামিমতক
মকেকে রুপদাি করকে য গামিমতক সমসযা পাওয়া ায়
তাকক য াগাশ্রয়ী যরাগ্রামমিং বকে।

4. রাপ্ত সম্পকদর মেমিকত পরস্পর মিেব রশ্ীে কার্ বা
শ্তব যথ্কক সবকচকয় অিুকূে ফে অর্ব কির গামিমতক
পদ্ধমত বা যকৌশ্েকক য াগাশ্রয়ী যরাগ্রাম বো হয়।
অথিো

5. ◘ য াগাশ্রয়ী মকেে সববরথ্ম ততমর ককরি রামশ্য়ার গমিতমবদ
L.V.Kantrovich.
◘ পমরবতব িক াগয অর্ািা রামশ্গুকো হকচছ মসদ্ধান্ত চেক।
◘ অেীষ্ট ফািংশ্ি হকো য াগাশ্রয়ী যরাগ্রাকমর যকাকিা মকছুকক সকববাচ্চ
সুমবধার্িক অবস্থায় রূপদাি ।
◘ য াগাশ্রয়ী যরাগ্রাকমর তরমিক অসমতার সমীকরিগুকোকক সীমাবদ্ধতা
(Constraints) বকে।
◘ সম্ভাবয সমাধাি এোকা হকো য াগাশ্রয়ী যরাগ্রাকমর অসমতা দ্বারা সীমাবদ্ধ
এোকা।
য োগোশ্রয়ী যরোগ্রো ীিং এর গুরুত্বপূিণ মকছু তথয

6. ◘ খোদয ে েযো, রমিক্ষি ে েযো, উৎপোদন ও মন ণোন
ে েযো ও ুদ্ধসক্ষসে য োগোশ্রয়ী যরোগ্রো িযিহোর করো হয়।
◘ য োগোশ্রয়ী যরোগ্রোস র ূে েুমিধো হসেো েিণমনম্ন
মিমনসয়োসগ েসিণোচ্চ েুমিধোজনক অিস্থোয় রূপদোন ।
◘ মেদ্ধোন্ত চেসকর োধযস েী োিদ্ধতো মচমিত করো োয়।
◘ অভীষ্ট ফোিংিন িযিহোর কসর েসিণোচ্চ িো েিণমনম্ন োন
পোওয়ো োয়।
◘ েসিণোচ্চ িো েিণমনম্ন োন েী োিদ্ধ অঞ্চে িো েী োিদ্ধ
অঞ্চসের মভতসর পোওয়ো োয়।
◘ েসিণোচ্চ ও েিণমনম্ন োন ে োধোন এেোকোর যকৌমিক
মিন্দুসত পোওয়ো োয়।
◘ েী োিদ্ধ এেোকো েোধোরনত িহুভূ জ হয়।

7. •𝒙 ≥ 𝒂 অে তোর যেখ অঙ্কন :
আমরা র্ামি, 𝑥 = 𝑎, 𝑦 অকের সমান্তরাে
যরিার সমীকরি।
𝑥 ≥ 𝑎 অসমতার যেি হকব 𝑥 = 𝑎 যরিার
উপরমস্থত সকে মবন্দু এবিং তার যচকয় বড় সকে
মবন্দুর যেি অথ্বাৎ 𝑥 = 𝑎 যরিা ও তার
োিপাকশ্র সকে মবন্দুর যেি।

8. তাহকে, 𝑥 > 𝑎 অসমতার যেি হকব 𝑥 = 𝑎 যরিার শুধুমাত্র
োিপাকশ্র সকে মবন্দুর যেি।

9. •𝒙 ≤ 𝒂 অে তোর যেখ অঙ্কন :
অিুরূপোকব , 𝑥 ≤ 𝑎 অসমতার যেি হকব
𝑥 = 𝑎 যরিার উপরমস্থত সকে মবন্দু এবিং তার যচকয় যছাট
সকে মবন্দুর যেি অথ্বাৎ𝑥 = 𝑎 যরিা ও তার বামপাকশ্র সকে
মবন্দুর যেি।

10. তাহকে, 𝑥 < 𝑎 অসমতার যেি হকব 𝑥 = 𝑎 যরিার শুধুমাত্র
বামপাকশ্র সকে মবন্দুর যেি।

11. •𝒚 ≥ 𝒃 অে তোর যেখ অঙ্কন :
আমরা র্ামি, 𝑦 = 𝑏 , 𝑥- অকের সমান্তরাে যরিার
সমীকরি। 𝑦 ≥ 𝑏 অসমতার যেি হকব 𝑦 = 𝑏 যরিার
উপরমস্থত সকে মবন্দু এবিং তার যচকয় বড় সকে মবন্দুর যেি
অথ্বাৎ 𝑦 = 𝑏 যরিা ও তার উপকরর সকে মবন্দুর যেি।

12. তাহকে, 𝑦 > 𝑏 অসমতার যেি হকব 𝑦 = 𝑏 যরিার শুধুমাত্র উপকরর
সকে মবন্দুর যেি।

13. • 𝒚 ≤ 𝒃 অে তোর যেখ অঙ্কন :
অিুরূপোকব , 𝑦 ≤ 𝑏 অসমতার যেি হকব 𝑦 = 𝑏 যরিার
উপরমস্থত সকে মবন্দু এবিং তার যচকয় যছাট সকে মবন্দুর যেি
অথ্বাৎ 𝑦 = 𝑏 যরিা ও তার মিকচর সকে মবন্দুর যেি।

14. তাহকে, 𝑦 < 𝑏অসমতার যেি হকব 𝑦 = 𝑏যরিার শুধুমাত্র মিকচর সকে
মবন্দুর যেি।

15. য াগাশ্রয়ী যরাগ্রাকমর যকাি চেকই ঋিাত্মক হকব িা।
অথ্বাৎ𝑥 ≥ 0 এবিং 𝑦 ≥ 0 হকব।

16. 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 ≥ 𝒄 অে তোর যেখ অঙ্কন :
আমরা র্ামি, 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄 একটি সরেকরিার সমীকরি া অেদ্বয়কক যছদ ককর। অথ্বাৎ,
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄
⇒
𝒂𝒙+𝒃𝒚
𝒄
= 𝟏
⇒
𝒂𝒙
𝒄
+
𝒃𝒚
𝒄
= 𝟏
⇒
𝒙
𝒄
𝒂
+
𝒚
𝒄
𝒃
= 𝟏
সরেকরিা 𝑥 অেকক (𝑐/𝑎, 0) এবিং 𝑦 অেকক (0, 𝑐/𝑏) মবন্দুকত যছদ ককর।
অথ্বা, সরেকরিাটি য মবন্দুকত 𝑥 অেকক যছদ ককর যস মবন্দুকত যকাটি শ্ূিয।

18. •𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 ≤ 𝒄 অে তোর যেখ অঙ্কন :
অিুরূপোকব , 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≤ 𝑐 অসমতার যেি হকব
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 যরিার উপরমস্থত সকে মবন্দু এবিং
তার যচকয় যছাট সকে মবন্দুর যসট অথ্বাৎ
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 যরিা ও তার য মদকক মূেমবন্দু
আকছ যস মদককর সকে মবন্দুর যসট।

20. 𝒙 + 𝟐𝒚 ≤ 𝟏𝟎, 𝒙 + 𝒚 ≤ 𝟔, 𝒙 ≤ 𝟒, 𝒙 ≥ 𝟎, 𝒚 ≥ 𝟎 শ্তব সমূহ
সাকপকে 𝑧 = 2𝑥 + 3𝑦 রামশ্টির সকববাচ্চকরি কর।

21. ধমর 𝑳 𝟏: 𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟎 ⇒
𝒙
𝟏𝟎
+
𝒚
𝟓
= 𝟏 … … . 𝒊
অে তোর যেখ :

22. 𝑳 𝟐: 𝒙 + 𝒚 = 𝟔 => 𝒙
𝟔
+ 𝒚
𝟔
= 𝟏 … … . (𝒊𝒊)
অে তোর যেখ :

23. 𝑳 𝟐: 𝒙 + 𝒚 = 𝟔 => 𝒙
𝟔
+ 𝒚
𝟔
= 𝟏 … … . (𝒊𝒊)
অে তোর যেখ :

24. 𝑳 𝟑: 𝒙 = 𝟒
অে তোর যেখ :

25. ∴ েম্পূিণ যরোগ্রোস র যেখ :
(𝟐, 𝟒)𝑨(𝟎, 𝟓)
(𝒊)
(𝒊𝒊)(𝒊𝒊𝒊)

26. এিাকি, 𝐴, 𝐵, 𝐶 ও 𝐷 রামন্তক মবন্দুসমূহ অথ্বাৎ সম্ভাবয
যস সকে মবন্দু াকদর র্িয রদি রামশ্র সকববাচ্চ মাি
পাওয়া য কত পাকর।
এিাকি,
𝐴 ≡ (0,5)
𝐵 ≡ (2,4) [ 𝑥 + 2𝑦 = 10 ও 𝑥 + 𝑦 = 6 যরিার
যছদমবন্দু। সমীকরিদ্বয় সমাধাি করকে ার
মাি পাওয়া ায় ।]
𝐶 ≡ (4,2) [ 𝑥 + 𝑦 = 6 ও 𝑥 = 4 যরিার যছদমবন্দু
]

27. 𝑶 (𝟎, 𝟎) বিন্দুতে 𝒛 = 𝟐(𝟎) + 𝟑(𝟎) = 𝟎
𝑨 (𝟎, 𝟓) বিন্দুতে 𝒛 = 𝟐(𝟎) + 𝟑(𝟓) = 𝟏𝟓
𝑩 (𝟐, 𝟒) বিন্দুতে 𝒛 = 𝟐(𝟐) + 𝟑(𝟒) = 𝟏𝟔
𝑪 (𝟒, 𝟐) বিন্দুতে 𝒛 = 𝟐(𝟒) + 𝟑(𝟐) = 𝟏𝟒
𝑫 (𝟒, 𝟎) বিন্দুতে 𝒛 = 𝟐(𝟒) + 𝟑(𝟎) = 𝟖
∴ 𝒁 এর সতিবোচ্চ মোন 𝟏𝟔 ।
[Answer]

28. 𝒛 = 𝟐𝒙 − 𝒚; 𝒙 + 𝒚 ≤ 𝟓, 𝒙 + 𝟐𝒚 ≤ 𝟖,
𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 ≥ 𝟏𝟐, 𝒙 ≥ 𝟎, 𝒚 ≥ 𝟎 শ্তব সমূহ সাকপকে
রামশ্টির সববমিম্নকরি কর।
ধমর, 𝐿1: 𝑥 + 𝑦 = 5 ⇒
𝑥
5
+
𝑦
5
= 1 … . (𝑖)
𝐿2: 𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟖
⇒
𝒙
𝟖
+
𝟐𝒚
𝟖
= 𝟏
⇒
𝒙
𝟖
+
𝒚
𝟒
= 𝟏 … … . . (𝒊𝒊)

29. 𝐿3: 𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟐
⇒
𝟒𝒙
𝟏𝟐
+
𝟑𝒚
𝟏𝟐
= 𝟏
⇒
𝒙
𝟑
+
𝒚
𝟒
= 𝟏 … … . (𝒊𝒊𝒊)

30. ∴ েম্পূিণ যরোগ্রোস র যেখ :
(𝒊𝒊𝒊) (𝒊)
(𝒊𝒊)
(𝟐, 𝟑)

31. (𝑖) ও (𝑖𝑖)িিং এর যছদ মবন্দুর স্থািািংক
𝐵 ≡ (2,3)
[ 𝑥 + 𝑦 = 5 ও 𝑥 + 2𝑦 = 8 ররখোর রেদবিন্দু।
সমীকরণদ্বয় সমোধোন করতে যোর মোন পোওয়ো যোয়]

32. এখানে, A,B,C ও D প্রান্তিক ন্তিন্দুসমূহ অর্ থাৎ সম্ভািয সস সকল
ন্তিন্দু যানের জেয প্রেত্ত রান্তির সি থন্তেম্ন মাে পাওাা সযনে পানর।
ন্তকে্েু A এিং D 4x+3y > 12 অসমোর সলনখর ন্তিন্দু ো।
সকেো, 4x+3y = 0 সরখার সয পানি মূলন্তিন্দু আনে োর ন্তিপরীে
পানির সকল ন্তিন্দুই শুধুমাত্র 4x+3y > 12 অসমোর সলনখর
ন্তিন্দু। ∴ A এিং D ন্তিন্দু িেথ িন্তহর্ূ থে।
এখানে, B ≡ (2,3)
[ x+y = 5 ও x+2y = 8 সরখার সেেন্তিন্দু। সমীকরণদ্বা
সমাধাে করনল যার মাে পাওাা যাা ]

33. C ≡ (5.0)
∴ B (2,3) বিন্দুতে , z = 2(2) - 3 =1
∴ C (5,0) বিন্দুতে , z = 2(5) – 0 =10
∴ Z এর সিববনম্ন মোন 1 .
[Answer ]

34. 𝑍 = 3𝑥 + 4𝑦 শ্তব গুকো
𝑥 + 𝑦 ≤ 7; 2𝑥 + 5𝑦 ≤ 20, 𝑥, 𝑦 ≥ 0 ; 𝑍
এর সকববাচ্চ মাি মিিবয় কর।
যদওয়া আকছ,
𝐿1: 𝑥 + 𝑦 = 7
⇒
𝑥
7
+
𝑦
7
= 1 … … … (𝑖)
আবার, 𝐿2: 2𝑥 + 5𝑦 = 20
⇒
𝑥
10
+
𝑦
2
= 1 … … … (𝑖𝑖)

35. 𝑂(0,0) 𝐴(7,0)
𝐵(5,2)𝐶(0,2)
𝑋
𝑌

36. 0 মবন্দুর স্থািািংক (0,0)
𝐴 মবন্দুর স্থািািংক 7,0
𝐵 মবন্দুর স্থািািংক (5,2)
𝐶 মবন্দুর স্থািািংক (0,2)
(0,0) মবন্দুকত 𝑧 এর মাি = 3.0 + 4.0 = 0
(7,0) মবন্দুকত 𝑧 এর মাি = 3.7 + 4.0 = 21
(5,2) মবন্দুকত 𝑧 এর মাি = 3.5 + 4.2 = 23
(0,2) মবন্দুকত 𝑧 এর মাি = 3.0 + 4.2 = 8
েুতরোিং (𝟓, 𝟐) মিন্দুসত 𝒛 এর েসিণোচ্চ োন = 𝟐𝟑

37. x ≥ 0, y ≥ 0, x+y ≥ 6, 2x+y ≥ 8 শেব সমূহ
সোতপতে z = 2x+3y রোবশটির সিববনম্ন মোন-
a.16
b.10
c.12
d.14

38. 5𝑥1 + 10𝑥2 ≤ 50, 𝑥1 + 𝑥2 ≥ 1, 𝑥2 ≤ 4, 𝑥1 ≥
0, 𝑥2 ≥ 0 শেব সমূহ সোতপতে রোবশটির
2𝑥1 + 7𝑥2 েবিষ্ঠমোন-
a.2
b.7
c.20
d.28

39. 5𝑥1 + 10𝑥2 ≤ 50, 𝑥1 + 𝑥2 ≥ 1, 𝑥2 ≤
4, 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0 শেব সমূহ সোতপতে রোবশটির
2𝑥1 + 7𝑥2 েবিষ্ঠমোন-
a.2
b.7
c.20
d.28

40. সবাইকক
ধিযবাদ