Download to read offline
Matrix -definition and basic
- 1. Nizam Uddin Ahmed Instructor(Non-Tech),Mathematics Dhaka Mohila Polytechnic Institute Sher-e-Bangla Nagar, Dhaka- 1207
- 2. Second Semester Mathematics-2 (65921) Topic:Matrix Chapter 2 (part 1)
- 3. Define matrix,null matrix, unit matrix, square matrix, column matrix, row matrix, inverse matrix, transpose matrix, adjoin matrix, rank of a matrix, singular matrix. Explain equality, addition and multiplication of matrix. Find the rank of a matrix. Solve the problems of the following types: (i) Solve the given set of linear equations with the help of matrix. (ii) Find the transpose and adjoin matrix of a given matrix.
- 4. ম্যাট্রিক্সঃ নিনিষ্ট গানিনিকপ্রনিয়া পালি সাপপপে 𝑚𝑛 সংখ্যাক সংখ্যা বা উপাত্তপক যনি ৩য় বা ১ম্ বন্ধিী বা দুই জ াড়া সম্ান্তরাল জরখ্ার ম্ধ্যবিী স্থাপি 𝑚 সংখ্যক সানর ও 𝑛 সংখ্যক কলাপম্ আয়িাকার আকাপর সা াপিা হয়, িপব িাপক 𝑚 × 𝑛 িপম্র ম্যাট্রিক্স বপল। `জযম্িঃ 𝐴 = 2 −1 0 1 2 1 একটি 2 × 3 ম্যাট্রিক্স। ম্যাট্রিক্সপক সাধ্ারিি ইংপরন capital letter এবং এর উপািািগুপলাপক small letter দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
- 5. িাল (Null) ম্যাট্রিক্সঃজকাি একটি ম্যাট্রিক্স এর সকল উপািাি সম্ূহ শূিয হপল, ঐ ম্যাট্রিক্স জক িাল বা শূিয ম্যাট্রিক্স বপল। জযম্িঃ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 একটি 3 × 3 িপম্র িাল ম্যাট্রিক্স।
- 6. ইউনিট বা এককম্যাট্রিক্সঃ যনি জকাি একটি ম্যাট্রিক্স এর প্রধ্াি কপিের উপািািগুপলা 1 (এক) এবং অবনশষ্ট উপািাি সম্ূহ শূিয হয়, িপব িাপক ইউনিট বা একক ম্যাট্রিক্স বপল। জযম্িঃ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 একটি 3 × 3 িপম্র ইউনিট ম্যাট্রিক্স।
- 7. স্কয়ার বা বগেম্যাট্রিক্সঃ যনি জকাি ম্যাট্রিক্স এর সানর এবং কলাম্ সংখ্যা সম্াি থাপক, িাপক স্কয়ার ম্যাট্রিক্স বপল। জযম্িঃ 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 একটি 3 × 3 িপম্র স্কয়ার ম্যাট্রিক্স।
- 8. কলাম্ ম্যাট্রিক্সঃ যনিজকাি ম্যাট্রিপক্সর একটি ম্াত্র কলাম্ থাপক, িাপক কলাম্ ম্যাট্রিক্স বা কলাম্ জেক্টর বপল। এপেপত্র, ম্যাট্রিক্সটির জযপকাি সংখ্যক সানর থাকপি পাপর। জযম্িঃ 𝐴 = 𝑎11 𝑎21 𝑎31 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎 𝑚1 একটি 𝑚 × 1 িপম্র কলাম্ ম্যাট্রিক্স।
- 9. সানর ম্যাট্রিক্সঃ যনিজকাি ম্যাট্রিপক্সর একটি ম্াত্র সানর থাপক, িাপক সানর ম্যাট্রিক্স বা সানর জেক্টর বপল। এপেপত্র, ম্যাট্রিক্সটির জযপকাি সংখ্যক কলাম্ থাকপি পাপর। জযম্িঃ 𝐴 = 𝑎11 𝑎12 𝑎13 … … … 𝑎1𝑛 একটি 1 × 𝑛 িপম্র সানর ম্যাট্রিক্স।
- 10. ইিোসে বা নবপরীিম্যাট্রিক্সঃ ম্পিকনর, 𝐴, 𝐵 জযপকাি দুইটি বগে ম্যাট্রিক্স। যনি 𝐴𝐵 = 𝐼 = 𝐵𝐴 হয়, িাহপল 𝐵 ম্যাট্রিক্সপক 𝐴 ম্যাটিপক্সর ইিোসে বা নবপরীি ম্যাট্রিক্স বপল, জযখ্াপি 𝐼 একটি identity ম্যাট্রিক্স। 𝐴 এর নবপরীি ম্যাট্রিক্সপক 𝐴−1 দ্বার প্রকাশ করা হয়। সুিরাং এখ্াপি, 𝐵= 𝐴−1 হপব।
- 11. পার্শ্েচর (Transpose) ম্যাট্রিক্সঃজকাি একটি ম্যাট্রিক্স এর সানরগুপলাপক কলাপম্ এবং কলাম্গুপলাপক সানরপি স্থািান্তর করপল জয ম্যাটিক্স পাওয়া যায় িাপক আনি ম্যাট্রিপক্সর পার্শ্েচর বা ট্রান্সপপা ম্যাট্রিক্স বপল। 𝐴 = 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 এর Transpose matrix জক 𝐴 𝑇 দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং 𝐴 𝑇 = 𝑎11 𝑎21 𝑎12 𝑎22 𝑎13 𝑎23
- 12. অিুবন্ধী ম্যাট্রিক্সঃ জকািএকটি বগে ম্যাট্রিপক্সর উপািািগুপলার সহগুিক দ্বারা গঠিি ম্যাট্রিক্সপক ঐ ম্যাট্রিপক্সর সহগুিক ম্যাট্রিক্স বপল। প্রাপ্ত সহগুিক ম্যাট্রিপক্সর পার্শ্েচর ম্যাট্রিক্সপক ম্ূল ম্যাট্রিক্স এর অিুবন্ধী ম্যাট্রিক্স বপল। 𝐴 জযপকাি ম্যাট্রিক্স হপল এর অিুবন্ধী ম্যাট্রিক্স, 𝑎𝑑𝑗 𝐴 = 𝑐𝑜𝑓(𝐴) 𝑇 , জযখ্াপি 𝑐𝑜𝑓(𝐴) ম্যাট্রিক্সটি 𝐴 এর সহগুিক ম্যাট্রিক্স।
- 13. ম্যাট্রিক্স এর ম্ািাঙ্কঃএকটি ম্যাট্রিপক্সর বৃহত্তম্ বগোকার সাব-ম্যাট্রিপক্সর িম্পক, যার নিিোয়ক শূিয িয় ঐ ম্যাট্রিপক্সর rank বা ম্ািাঙ্ক বপল। 𝐴 = 1 2 −1 2 4 1 3 6 2 2 1 −2 3 −6 5 1 2 −1 2 4 1 3 6 2 , 1 2 2 2 4 −2 3 6 −6 , 1 2 1 2 4 3 3 6 5 , 1 −1 2 2 1 −2 3 2 −6 , 1 −1 1 2 1 3 3 2 5 1 2 1 2 −2 3 3 −6 5 , 2 −1 2 4 1 −2 6 2 −6 , 2 −1 1 4 1 3 6 2 5 , 2 2 1 4 −2 3 6 −6 5 , −1 2 1 1 −2 3 2 −6 5
- 14. নসঙ্গুলার বা বযনিিম্ম্যাট্রিক্সঃ জকাি বগে ম্যাট্রিক্স এর উপািাি দ্বারা গঠিি নিিোয়পকর ম্াি শূিয হপল বগে ম্যাট্রিক্সপক নসঙ্গুলার বা বযনিিম্ ম্যাট্রিক্স বপল। ম্পিকনর, 𝐴 জযপকাি বগে ম্যাট্রিক্স। যনি det 𝐴 = 0 হয়, িাহপল 𝐴 একটি Singular Matrix হপব। অিযথায় 𝐴 একটি non- singular Matrix হপব।
- 15. 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗এবং B= 𝑏𝑖𝑗 দুটি ম্যাট্রিক্স সম্াি হপব যনি িাপির ম্াত্রা সম্াি হয় এবং একটির উপািাি অপরটির অিুরুপ উপািাপির সম্াি হয়। জযম্িঃ 𝐴 = 1 2 3 4 এবং 𝐵 = 1 2 3 4 ম্যাট্রিক্স দুটি পরস্পর সম্াি।
- 16. দুটি ম্যাট্রিক্স জযাগবা নবপয়াপগর উপপযাগী হপব যনি িাপির ম্াত্রা সম্াি হয় অথোৎ ম্যাট্রিক্স দুটির সম্াি সংখ্যক সানর ও কলাম্ থাপক। দুটি ম্যাট্রিক্স 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑚×𝑛 ও 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗) 𝑚×𝑛 হপল এর জযাগফল C = (𝑐𝑖𝑗) 𝑚×𝑛 হপব, জযখ্াপি 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 । জযম্িঃ 𝐴 = 1 2 3 4 5 6 , 𝐵 = 3 2 1 5 0 1 হয়, িপব 𝐴 + 𝐵 = 1 2 3 4 5 6 + 3 2 1 5 0 1 = 1 + 3 2 + 2 3 + 1 4 + 5 5 + 0 6 + 1 = 4 4 4 9 5 7 হপব। বিয় োয়ের ক্ষেয়েও একই বি ম প্রয় োজ্য।
- 17. দুটি ম্যাট্রিক্স গুপিরউপপযাগী হপব যনি প্রথম্ ম্যাট্রিক্স এর কলাম্ সংখ্যা নদ্বিীয় ম্যাট্রিক্স এর সানরর সংখ্যার সম্াি হয়। দুটি ম্যাট্রিক্স 𝐴 = (𝑎𝑖𝑘) একটি 𝑚 × 𝑝 ম্যাট্রিক্স এবং 𝐵 = (𝑏 𝑘𝑗) একটি p× 𝑛 ম্যাট্রিক্স হপল এর জযাগফল C = (𝑐𝑖𝑗) হপব, জযখ্াপি 𝑐𝑖𝑗 = 𝑖=1 𝑚 𝑗=1 𝑛 𝑎𝑖𝑘 𝑏 𝑘𝑗 , 𝑘 = 1,2,3, … … … , 𝑝. জযম্িঃ 𝐴 = 2 6 4 0 −6 2 , 𝐵 = 2 1 1 3 4 −1 হপল 𝐴𝐵 = 2 6 4 0 −6 2 2 1 1 3 4 −1 = 4 + 18 2 + 24 2 − 6 8 + 0 4 + 0 4 + 0 −12 + 6 −6 + 8 −6 − 2 = 22 26 −4 8 4 4 −6 2 −8 𝐵𝐴 = 2 1 1 3 4 −1 2 6 4 0 −6 2 = 4 + 4 − 6 12 + 0 + 2 6 + 16 + 6 18 + 0 − 2 = 2 14 28 16
- 18. The maximum numberof linearly independent vectors in a matrix is equal to the number of non-zero rows in its row echelon matrix. Therefore, to find the rank of a matrix, we simply transform the matrix to its row echelon form and count the number of non-zero rows. 𝐴 = 1 2 −1 2 4 1 3 6 2 2 1 −2 3 −6 5 ~ 1 2 −1 0 0 −3 0 0 −5 2 1 6 −1 12 −2 ~ 1 2 −1 0 0 −3 0 0 0 2 1 6 −1 2 1/3 𝑟2 = 2𝑟1 − 𝑟2 𝑟3 = 3𝑟1 − 𝑟3 𝑟3 = 5 3 𝑟2 − 𝑟3 As the number of non-zero rows is 3 in echelon matrix, therefore rank of A=3.
- 19.
- 20.
- 21.
- 22.
- 23.
- 24.