Công thức tính nhanh khoảng cách trọn bộ 1- 2

TT LUYỆN THI CỬU PHÚ – 63/1 CẦU KINH – TÂN TẠO A – BÌNH TÂN
1Biên soạn: Thầy Lê Viết Nhơn – Hồ Hà Đặng
CÔNG THỨC TÍNH NHANH KHOẢNG CÁCH
(tập 1)
1. Bài toán mở đầu: Cho hình chóp O.ABC có OA,
OB, OC đôi một vuông góc, cho
, ,OA a OB b OC c . Tính khoảng cách từ O
đến mặt phẳng (ABC).
Gọi d là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC),
ta có: 2 2 2 2
1 1 1 1
d a b c
Áp dụng:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam
giác vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy,
. 2BC a , SA a . Tính khoảng cách từ A đến
mặt (SBC)
Giải.
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 3
3
3
A
A
d AB AC SA a a a a
a
d
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả
các cạnh có độ dài a. Tính khoảng cách từ A đến
mặt (SBC).
Giải. Xét hình chóp S.OBC ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 6
2 2 2
2 2 2
6
6
O
O
d OA OB SO a
a a a
a
d
www.facebook.com/thaydangtoan

TT LUYỆN THI CỬU PHÚ – 63/1 CẦU KINH – TÂN TẠO A – BÌNH TÂN
Từ đó suy ra
6
2
3A O
a
d d
Bài 3: Cho hình nón có đường sinh 5 cm, đường tròn
đáy có chu vi bằng 8 cm, mặt phẳng (P) qua đỉnh S
cắt đường tròn đáy tại 2 điểm A, B thỏa 4 2AB .
Tính khoảng cách từ tâm O của đường tròn đáy đến
mặt phẳng (P).
Giải. Vì tam giác OAB có 2AB OA OAB
vuông cân tại O; 2 2
3SO SA AO
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 17 6 34
27 174 4 3
O
O
d
d OA OB SO
Bài 4: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Biết
, 2 , ' 3AB a AC a AA a . Gọi M, N lần lượt là
trung điểm BB’, CC’.
a. Tính khoảng cách từ A đến ( ' )A MN .
b. Tính khoảng cách từ B’ đến ( ' )A MN .
Giải. a. Kéo dài A’N và A’M cắt AC, AB lần lượt tại
E và D (như hình vẽ). Khi đó:
[ ,( ' )] [ ,( ' )]d d A A MN d A A DE
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 61 12 61
61' (2 ) (4 ) (3 ) 144
d a
d AD AE AA a a a a
b. Gọi ' 'F AB A D , suy ra
1
'
2
B F AF suy ra
1
[ ,( ' ) [ ,( ' )
2
6 61
61
d B A MN d A aA MN .
(còn nữa…)

TT LUYỆN THI CỬU PHÚ – 63/1 CẦU KINH – TÂN TẠO A – BÌNH TÂN - 08 66815118
CÔNG THỨC TÍNH NHANH KHOẢNG CÁCH
(tập 2)
2. Bài toán mở rộng: Cho hình chóp S.ABC có SA
vuông góc mặt phẳng ( )ABC , cho , ABCSA a S S
và đường cao của tam giác ABC từ A là
2S
h
AB
.
Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Giải.
Gọi [ ,( )]d A SBC d . Khi đó:
2 2 2
1 1 1
d a h
Như vậy, việc tính khoảng cách đưa về tính đường cao của tam giác ABC và diện tích tam
giác ABC được tính bằng công thức Herong. Chú ý là trong trường hợp này, tam giác ABC
chỉ là tam giác thường.
Áp dụng:
Bài toán 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình chữ nhật, ( )SM ABCD với M là trung
điểm AB. Cho 2, 2 ,SA a AB a BC a . Tính
khoảng cách từ A đến ( )SBD .
Giải. Ta tính [ ,( )]d d M SBD .
Xét khối S.MBD. Đường cao
2 2 2 2
2SM SA AM a a a .
Tính diện tích MBD bằng công thức Herong. Ta có: , 5, 2BM a BD a MD a . Suy ra
21
2
MBDS a . Khi đó:
2
2
5 5
MBDS a a
ME
BD a
. Sau cùng,
2 2 2 2 2 2
1 1 1 5 1 6
6
a
d
d ME SM a a a
. Từ đó,
2
[ ,( )] 2
6
a
d A SBD d .
Nhận xét. Qua ví dụ trên có thể thấy, việc tính khoảng cách từ một điểm bất kỳ sẽ được
đưa về khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp cần xét. Mặt khác, bước dựng hình
chiếu sẽ được bỏ qua trong thực hành tính toán trắc nghiệm về sau. Ở ví dụ trên, việc tính
ME sẽ đơn giản hơn với nhận xét ME bằng một nửa đường cao hạ từ A của tam giác
Thầy Đặng Toán chia sẻ - follow thầy để nhận tài liệu miễn phí:

vuông ABD. Tuy nhiên, để bạn đọc làm quen phương pháp cũng như có thuật toán giải
quyết bài toán tổng quát, chúng tôi vẫn làm theo cách
lấy hai lần diện tích chia cạnh đáy.
Bài toán 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình thoi tâm O cạnh a góc 0
60ABC , hình chiếu của
S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm M nằm trên AC sao
cho AC = 4AM, góc tạo bởi SC với mặt đáy bằng 600
,
tính khoảng cách từ A đến mặt (SBC).
Giải. Ta tính d là khoảng cách từ M đến (SBC). Xét khối
chóp S.MBC. Tam giác ABC đều nên dễ tính được
3 13 3 3
, ,
4 4 4
a a a
MC BM SM . Gọi h là đường cao
từ M của MBC , khi đó, . .h BC BO MC suy ra
3 3
.
. 3 32 4
8
a a
BO MC a
h
BC a
.
Từ đó, 2 2 2 2 2
1 1 1 16 64
27 27d SM h a a
. Suy ra:
3 15
20
a
d .
Và có được:
4 15
[ ,( )]
3 5
a
d A SBD d .
Trắc nghiệm.
Câu 1: Khối tứ diện ABCD có AD vuông góc với
mặt phẳng (ABC). AC = 4, AD = 3cm, AB = 6cm,
BC = 5cm. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng
(ACD) là:
A.
15 7
4
cm B.
15 7
8
cm
C. 3cm D.
3 17
2
cm
Đáp án. Tính được
15 7
.
4
ABCS Khoảng cách từ B
đến (ACD) sẽ là đường cao hạ từ B của tam giác ABC. Ta có:
2 15 7
.
8
ABC
B
S
h
AC
Câu 2: Khối tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). AC = 4, AD = 3cm,
AB = 6cm, BC = 5cm. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) là:

A.
3 77
11
cm B.
77
11
cm C.
2 77
11
cm D. 3 cm
Đáp án (Hình Câu 1). Tính được
15 7
.
4
ABCS Đường cao hạ từ A của tam giác ABC là:
3
.
2
2 7ABC
A
S
h
BC
Khi đó gọi d là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD), ta có 2 2 2
1 1 1 11
63Ad h AD
. Suy ra
3 77
11
d .
Áp dụng vào tính khoảng cách 2 đường chéo nhau:
Bài toán 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là
tam giác vuông tại A, cạnh AB = 2a, AC = a.
Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung
điểm M của AB. Góc giữa SC và đáy (ABC) bằng
60o
. Tính khoảng cách giữa AB và SC.
Giải. Dựng hình bình hành ABCD như hình vẽ.
Khoảng cách AB và SC đưa về được khoảng
cách từ M đến (SCD). Ta xét khối chóp S.MCD.
Tính được, 2, tan60 6o
MC a SM MC a ; gọi
Mh là đường cao từ M của tam giác MCD,
Mh AC a. Gọi tiếp [ ,( )]d d M SCD , ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 7
6 6Md h SM a a a
hay
42
7
a
d .
Nhận xét. Do tính đặc biệt của hình trên, ta không cần tính diện tích tam giác MCD. Tuy
nhiên trong trường hợp tổng quát, việc tính diện tích MCD và suy ra đường cao Mh sẽ là
cần thiết để tính nhanh khoảng cách. Bạn đọc vui lòng thực hành lại phương pháp Herong
tính diện tích tam giác MCD để kiểm tra lại đáp án.
(còn tiếp…)

CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH
KHỐI TRÒN XOAY (tập 3)
1. Thể tích khối cầu
Bài toán gốc. Cho khối cầu có bán kính R, cắt một
chỏm cầu theo mặt phẳng cách tâm khối cầu một
đoạn bằng a. Tính thể tích khối còn lại và thể tích
phần cắt đi.
Công thức giải.
Phần bị cắt đi (tính dựa vào thể tích vật thể tròn
xoay tạo bởi phần đường tròn 2 2
y R x quay
xung quanh Ox từ a đến R):
2 2
R
cut out
a
V R x dx
Phần còn lại:
3 23 24 4
3 3a
R
rem cut out
a
in
V R V R R x dx
Bài toán 1. Một khối cầu bằng thủy tinh có bán kính 4dm, người ta muốn cắt bỏ một
chỏm cầu có diện tích mặt cắt là 2
15 ( )dm để lấy phần còn lại làm chậu nuôi cá. Hỏi thể
tích nước tối đa mà chậu cá này có thể chứa là bao nhiêu? (giả sử bề dày chậu không
đáng kể)
Giải.
Diện tích mặt cắt là 2 2
15 15 ( )S r r r OC . Khi đó, tính được
2 2
16 15 1a R r .
Khi đó:
4
2 2 2 3
1
16 27 ( )
R
cut out
a
V R x dx x dx dm
3 3 34 4 175
4
3 3 3
27a
( )in cut outrem
V VR dm . Đáp số: 3175
3
( )dm .
Website chia sẻ đề thi miễn phí: www.dethithptquocgia.com
Truy cập www.dethithptquocgia.com để tải đề thi trắc nghiệm mới nhất tất cả các môn

Bài toán 2. Nhà sản xuất muốn tạo một cái lu đựng nước bằng cách cắt bỏ hai chỏm cầu
của một khối cầu để tạo phần đáy và miệng lu như hình vẽ. Biết bán kính khối cầu là 50
cm, phần mặt cắt ở đáy là hình tròn có bán kính 30cm và mặt phẳng ở miệng lu cách tâm
khối cầu 30cm. Tính thể tích nước tối đa mà cái lu có thể chứa. (giả sử độ dày của lu
không đáng kể)
Giải.
Xét phần đáy lu. Ta có,
2 2 2 2
30 50 30 40r a R r
4
50
2 2 3
1 0
14000
(50 ) ( )
3
cut outV x dx cm
Xét phần miệng lu. Ta có:
3
50
2 3
2
0
2 52000
50
3
( ) ( )cut out
V x dx cm .
Suy ra phần thể tích còn lại 3 34 14000 52000 434000
50
3 3 3 3
. ( )remain
V cm .
2. Thể tích khối trụ
Bài toán gốc. Cho một khối trụ có bán kính đáy bằng R và
chiều cao h. Cắt khối trụ theo một mặt phẳng song song với
trục và cách trục (tâm) một khoảng r. Tính thể tích phần còn
lại và phần bị cắt đi.
Diện tích phần bị cắt đi (bằng 2 lần diện tích hình tạo bởi
phần đường tròn 2 2
y R x và trục Ox tính từ r đến R):
2 2
2 .cu
r
t out
R
S R x dx
Thể tích phần bị cắt đi:
. .cut out cut out
V S h
Thể tích phần còn lại:
2
. .remain tru cut out cut out
V V V R h V
Bài toán 3. Một bồn trụ đang chứa dầu được đặt nằm ngang

có chiều dài bồn là 5m, bán kính đáy 1m. Người ta rút dầu ra trong bồn tương ứng với
0,5m của đường kính đáy. Tính thể tích gần đúng nhất của thể tích dầu trong bồn (theo
đơn vị m3)
A. 3
11 781, m B. 3
12 637, m C. 3
14 923, m D. 3
8 703, m
Giải. Ta có:
1
2
0,5
. 2. 1 .5 3,071cut out cut outV S h x dx
Thể tích dầu: 2 3
1 5 3 071 12 637. . . . , , ( )dau cut out cut out
V V V R h V m . Đáp án B.
3. Thể tích khối nón
Bài toán gốc. Cho một khối nón có bán kính đáy bằng R và chiều cao h. Cắt khối nón
theo một mặt phẳng đi qua đỉnh và cắt đường tròn đáy theo một dây cung cách tâm một
khoảng r. Tính thể tích phần còn lại và phần bị cắt đi.
Diện tích phần bị cắt đi (bằng 2 lần diện tích hình tạo
bởi phần đường tròn 2 2
y R x và trục Ox tính từ r
đến R):
2 2
2 .
R
cut out
r
S R x dx
Thể tích phần bị cắt đi:
2 21 2
3 3
. . .
R
cut out cut out
r
V S h h R x dx
21
3
. .remain cut oun t u uon c t o t
V V V R h V
Bài toán 4. Một khối nón bán kính bằng 5cm, đường cao
bằng 4cm. Cắt khối nón theo một mặt phẳng từ đỉnh xuống
đáy và cắt đáy theo dây cung có độ dài bằng 6cm. Thể tích
phần còn lại của khối nón là:
A. 3
99 27, cm B. 3
5 45, cm C. 3
297 81, cm D. 3
88 37, cm
Giải. Thể tích phần bị cắt đi ( 2 2
5 3 4r ):

5
2 2 2
4
1 1 8
2 25 5 45
3 3 3
. . . ,
R
cut cut
r
V S h R x dx h x dx (cm3
)
32 1
25 4 5 45 99 27
3
1
3
. . . , , ( ).remain cut cn uo tn
V V V R cmh V . Chọn A.
Nhận xét. Trong các bài toán trên, việc tính tích phân giải nhanh bằng Casio. Ta hoàn
toàn có thể giải tay tích phân 2 2
2
R
cut out
r
S R x dx bằng đổi biến sin .x R t
BÀI TOÁN MỞ RỘNG
Bài toán về: 2 khối cầu giao nhau, 2 khối trụ giao nhau, khối cầu giao khối trụ, khối cầu
giao khối nón, khối nón giao khối trụ…
(còn tiếp…)
Follow facebook thầy Đặng: www.facebook.com/thaydangtoan
Follow facebook thầy Nhơn: www.facebook.com/viet.nhon
Fanpage: www.facebook.com/thithuthptquocgia
Group hỏi đáp: www.facebook.com/groups/giaidaponthidaihoc
Website: www.dethithptquocgia.com

Công thức tính nhanh khoảng cách trọn bộ 1- 2

Recommended

Recommended

More Related Content

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Featured

Featured (20)

Công thức tính nhanh khoảng cách trọn bộ 1- 2