Successfully reported this slideshow.
Your SlideShare is downloading. ×

Lection09

Ad
Ad
Ad
Ad
Ad
Ad
Ad
Ad
Ad
Ad
Ad

Check these out next

1 of 11 Ad
Advertisement

More Related Content

Advertisement

Similar to Lection09 (20)

Advertisement

Lection09

  1. 1. Лекция 9 Странные аттракторы. Аттрактор Лоренца Малышев А.И. Физический факультет ННГУ им. Н.И.Лобачевского
  2. 2. Как уже известно, хаос в гамильтоновских системах приводит к беспорядочному и почти однородному заполнению конечных областей на сечениях Пуанкаре отображающими точками (см., примеры в Лекциях 5 и 8). Для диссипативных систем, перешедших в хаотический режим, характерно возникновение в их фазовом пространстве странных аттракторов. Слово «аттрактор» (от английского “to attract” – притягивать) означает центр притяжения – «притягиватель». Обыкновенные аттракторы – асимптотически устойчивые положения равновесия на плоскости (фокусы, узлы), устойчивые предельные циклы. В чем странность странных аттракторов? 2
  3. 3. Рассмотрим модель, предложенную метеорологом Э.Лоренцем в 1963 г. для описания конвекции воздушных потоков в атмосфере:  x   y  x     y  rx  y  xz  z  bz  xy  Здесь σ, r и b – некоторые положительные параметры. Количество положений равновесия зависит от величины параметра r:  при r < 1 существует одно положение равновесия x1 = y1 = z1 = 0  при r > 1 появляются еще два положения равновесия с координатами: x2,3  y 2,3   br  1, z2,3  r  1. Выясним теперь их устойчивость. 3
  4. 4. Линеаризация вблизи первого положения равновесия (0, 0, 0) приводит к характеристическим показателям    1    12  4 r  1 . 1  b, 2,3  2 При 0 < r < 1 все три значения λ чисто действительные и отрицательные. Положение равновесия – устойчивый трехмерный узел. При r > 1 это положение равновесия теряет устойчивость. На рисунке – эволюция для начальных условий (10, 15, 30) и (–10, –15, 35) при σ = 10, b = 8/3 и r = 0.5. 4
  5. 5. Линеаризуем систему вблизи положения равновесия x2  y 2  br  1, z2  r  1, ~ ~ ~ введя новые переменные x  x2  x, y  y 2  y , z  z2  z . В линейном приближении получим  x   y  x   ~ ~ ~ ~ ~ ~  y  x  y  br  1 z  ~ z  bz  b r  1x  y   ~ ~ ~ ~  откуда уравнение на характеристические показатели: 3    b  1 2  b  r    2br  1  0. Решение уравнения в общем случае затруднительно, но нас интересует даже не само решение… 5
  6. 6. Для определения знаков действительных частей корней уравнения воспользуемся матрицей Гурвица:    b 1 1 0     2br  1 b  r    b 1   2br  1  0 0  Ее диагональные миноры: 1    b  1  0,  2  br b  1      b    3,  3   2  2br  1. Очевидно, что если Δ2 > 0, то и Δ3 > 0. Для устойчивости положения равновесия необходимо, чтобы было Δ2 > 0, откуда получаем  b    3 r .   b  1 6
  7. 7. Общий итог анализа:  b    3 Здесь rкр.1  1 , rкр.2  .   b  1 8 Параметры Лоренца: b  ,   10, откуда rкр. 2 ≈ 24.74 3 Каково поведение системы при r > rкр. 2? 7
  8. 8. Пример эволюции системы для начальных условий в точках (10, 15, 30) и (–10, –15, 35) при σ = 10, b = 8/3 и r = 20 < rкр. 2. С течением времени система приходит к одному из устойчивых положений равновесия. 8
  9. 9. Пример эволюции системы для начальных условий в точках (10, 15, 30) и (–10, –15, 35) при σ = 10, b = 8/3 и r = 28 > rкр. 2. Режим странного аттрактора:  область положений равновесия «притягивает» траектории;  траектории не стремятся асимптотически к этим точкам, а вращаются вокруг них, перескакивая с одной спирали на другую. 9
  10. 10. Время, проведенное вблизи того или другого положения равновесия является совершенно случайным. ↓ Система демонстрирует большую чувствительность к начальным условиям. ↓ «Эффект бабочки» 10
  11. 11. Задания по теме 1. Построить с помощью компьютера аттрактор Лоренца. Задать разные значения параметра r и разные начальные условия. Исследовать поведение траекторий. Каково поведение системы в случае, если rкр. 2 < 1? 2. Прочитать рассказ Р. Брэдбери «И грянул гром» 11

×