1. permutasi
Definisi:
permutasi dari sekumpulan objek
adalah banyaknya susunan objek-
objek berbeda dalam urutan tertentu
tanpa ada objek yang diulang dari
objek-objek tersebut
2. permutasi
Misalkan H adalah himpunan dengan n objek
Misalkan k ≤ n, permutasi k objek dari
himpunan H adalah susunan objek-objek
berbeda dalam urutan tertentu yang terdiri
dari k objek anggota himpunan H
Lambang permutasi adalah huruf P
3. permutasi n objek dari
n objek yang berbeda
situasi: ada n objek yang satu sama
lain berbeda
masalah: menentukan banyaknya
susunan terurut terdiri dari
n objek yang ada
notasi: n Pn P ( n, n ) Pnn
4. Masalah tersebut dapat dipandang sebagai
masalah menempatkan n objek dalam n kotak
yang berbeda
Kotak ke- 1 2 ……………… n–1 n
Tahap pertama adalah mengisi kotak ke-1, tahap kedua adalah mengisi
kotak ke-2, dan seterusnya sampai tahap ke-n
Tahap Pengisian kotak ke- Banyak cara
1 1 n
2 2 n–1
… … …
n–1 n–1 2
n n 1
5. Menurut kaidah perkalian
Banyak cara mengisi kotak tersebut adalah:
n(n-1)(n-2)(n-3) …2 • 1 = n!
n P = n!
n
Contoh:
Dari empat calon pengurus kelas, berapa banyak susunan yang
dapat terjadi untuk menentukan ketua, wakil ketua, sekretaris dan
bendahara?
Solusi:
Masalah tersebut merupakan masalah permutasi 4 objek dari 4 objek
4 P4 = 4!= 4.3.2.1 = 24 Jadi ada 24 susunan calon pengurus kelas
6. Permutasi k objek dari n
objek yang berbeda, k ≤ n
situasi: ada n objek yang satu sama
lain berbeda
masalah: menentukan banyaknya
susunan terurut terdiri dari k
objek dari n objek yang ada, k ≤ n
nP
n
notasi: k P(n, k ) P
k
7. Masalah tersebut dapat dipandang sebagai
masalah memilih k objek dalam n objek yang ada,
k≤n
Kotak ke- 1 2 ……………… k–1 k
Tahap pertama adalah mengisi kotak ke-1, tahap kedua adalah mengisi
kotak ke-2, dan seterusnya sampai tahap ke-k
Tahap Pengisian kotak ke- Banyak cara
1 1 n
2 2 n–1
… … …
k–1 k–1 n - (k - 2) = n – k +2
k k n - (k -1) =n – k +1
8. Menurut kaidah perkalian
Banyak cara mengisi kotak tersebut adalah:
n(n-1)(n-2)(n-3) …(n – k + 1) = n!
(n − k )!
n!
nP =
k
(n − k )!
Contoh:
Tentukan banyak susunan presiden dan wakil presiden jika ada
enam calon.
Solusi:
Masalah tersebut merupakan masalah permutasi 2 objek dari 6 objek
sehingga ada:
6! 6!
6P =
2 = = 6 × 5 = 30 susunan presiden dan wakil presiden
(6 − 2)! 4!
9. Permutasi n objek dari n objek
dengan beberapa objek sama
situasi:
ada n objek yang beberapa diantaranya sama.
Misal ada sejumlah n1 objek q1, sejumlah n2 objek
q2, … nk objek qk, dengan n1+n2+…+nk = n
masalah:
menentukan banyak susunan terurut terdiri dari n
objek
notasi: n P n1 , n 2 ,...........n k )
(
10. Permutasi n objek dari n objek yang terdiri dari
sejumlah n1 objek q1, sejumlah n2 objek q2, … nk
objek qk, dengan n1+n2+…+nk = n
adalah: n!
P
n ( n1 , n 2 ,...........n k ) =
n1!n2!...nk !
Contoh: Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari
kata MATEMATIKAWAN?
Solusi: Terdapat 13 huruf pada kata MATEMATIKAWAN, terdiri dari 2 huruf M, 4
huruf A, 2 huruf T, 1 huruf I, 1 huruf E, 1 huruf K, 1 huruf W, 1 huruf N
Banyak susunan huruf yang dapat dibuat adalah:
13! 13.12.11.10.9.8.7.6.5.4!
13 P( 2, 4, 2,1,1,1,1,1) = = = 64864800
2!4!2! ! ! ! ! !
11111 1.2.1.2.4!
11. PERMUTASI SIKLIS
Pada permutasi siklis yang akan dihitung adalah
banyak susunan terurut yang mungkin dari sejumlah n
objek yang berbeda ditempatkan secara melingkar.
Perhatikan contoh berikut !
Dengan berapa cara 3 orang duduk mengelilingi meja
bundar?
Jawab :
Jika 3 orang tsb duduk berderet dalam satu baris maka
ada 3! = 6 cara
Untuk menentukan susunan duduk mengelilingi meja
bundar. Satu orang kita tentukan dahulu letaknya misal
A, kemudian 2 orang yang lain.
A A
Jadi banyaknya permutasi
siklis dari 3 orang tsb adalah
C B B C
!(2! = (3 – 1
12. RUMUS PERMUTASI SIKLIS
Kesimpulan :
1. Permutasi siklis adalah susunan unsur-unsur
yang membentuk lingkaran dengan
memperhatikan urutannya.
2. Banyaknya permutasi siklis dari n unsur
adalah (n – 1)!
13. SOAL:
Tentukan susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata
”JUMBO”, jika susunan huruf tersebut terdiri atas lima
huruf berbeda dan (tidak ada huruf yang digunakan
berulang dalam susunan)
Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat
dibentuk dari kata “MAHASISWA”?
Petugas perpustakaan akan menyusun tiga buku
matematika yang sama, dua buku fisika yang sama, tiga
buku biologi yang sama, dan empat buku kimia yang
sama secara berderet pada sebuah rak buku. Berapa
banyak susunan berbeda yang dapat dibuat?
14. Discuss
There are 5 non collinear points. How many
lines can be formed?
If from 10 finalist shall be chosen 3 winners
(first, second, third), then how many
possibilities for winners are there?
A password that contains two different
vowels shall be made. How many possible
passwords can be made?
15. Discuss
How many phone numbers are there that
contains 6 different digits?
There are seven executives, where three
executives shall be chosen as marketing
manager, after sales manager, and human
resources manager. Find the number of
possibilities.
Prove that: n+1 Pr − n Pr = r n Pr −1
