Numeros Imaginarios, forma binomica

1. NNúúmmeerrooss ccoommpplleejjooss
AAnnáálliissiiss MMaatteemmááttiiccoo
PPrrooffeessoorr:: MMiigguueell DDííaazz

2. HHiissttoorriiaa
LLooss nnúúmmeerrooss ccoommpplleejjooss ssee ccrreeaarroonn eenn IIttaalliiaa,,
dduurraannttee eell ppeerriiooddoo ddeell rreennaacciimmiieennttoo,,
ccuuaannddoo ppoorr vveezz pprriimmeerraa llooss aallggeebbrriissttaass ssee
ddeeddiiccaann aa iinnvveessttiiggaarr sseerriiaammeennttee eessttooss
nnúúmmeerrooss yy ppeenneettrraann eell llaaddoo mmiisstteerriioossoo eenn
qquuee ssee hhaallllaabbaann eennvvuueellttooss ddeessddee llaa
aannttiiggüüeeddaadd,, llooss mmaatteemmááttiiccooss ssee
eennccoonnttrraarroonn ccoonn eell pprroobblleemmaa ddee rreessoollvveerr
llaa rraaíízz ccuuaaddrraaddaa ddee uunn nnuummeerroo nneeggaattiivvoo..

3. EExxpplliiccaacciióónn::
CCoommoo nnoo ttooddooss llooss pprroobblleemmaass ppuueeddeenn rreessoollvveerrssee
ccoonn nnúúmmeerrooss rreeaalleess,, ssee aapprreennddiióó qquuee eerraa
ppoossiibbllee ccaallccuullaarr llaa rraaíízz ccúúbbiiccaa ddee --11 oo ddee --88..
SSaabbeemmooss ppoorr eejjeemmpplloo,, qquuee llaa rraaíízz ccúúbbiiccaa ddee --11
eess iigguuaall aa --11..
SSiimmpplleemmeennttee ppoorrqquuee ((aahhoorraa aall rreevvééss)) ((--11))^^33 == --11..

4. Pero cuando ssee qquuiieerree oobbtteenneerr llaa rraaíízz ddee --44
ppoorr eejjeemmpplloo
ssii pprroobbaammooss ccoonn 22 nnoo ppuueeddee sseerr
ppoorrqquuee 22^^22 == 44,, yy ssii pprroobbaammooss ccoonn --22,,
ttaammppooccoo eess ppoorrqquuee((--22))^^22==44,, ttaammbbiiéénn ddaa
44..
PPoorr eessttee iinnccoonnvveenniieennttee ssee iinnvveennttaarroonn llooss
nnúúmmeerrooss ccoommpplleejjooss

5. El símbolo que se uuttiilliizzaa ppaarraa ssiimmbboolliizzaarrllooss eess llaa
lleettrraa ((ii)),, ddee iimmaaggiinnaarriiooss,, ppoorrqquuee ssoonn nnúúmmeerrooss qquuee
nnoo ssee ppuueeddeenn rreepprreesseennttaarr eenn llaa ccoooorrddeennaaddaass rreeaalleess
ccoommoo hhaacceemmooss hhaabbiittuuaallmmeennttee..
i^2=-1
EEnnttoonncceess ppaarraa eell eejjeemmpplloo aanntteerriioorr,, eenn ddoonnddee ssee
ddeesseeaa oobbtteenneerr,, llaa rraaíízz ccuuaaddrraaddaa ddee --44,, llaa
rreessppuueessttaa eess:: i2 de tal manera que si hacemos al
revés, es decir, 2i . 2i = 4. i^2 = 4. (-1)= -4

6. Por otro lado, si vamos a tener un
producto asociativo, conmutativo y
distributivo
respecto de la suma, se deberá tener
(a + bi)(c + di) = ac + bdi^2 + adi + bci = ac -
bd + (ad + bc)i.
Con esto ya sabríamos sumar y
multiplicar complejos.

7. Operación ddee nnúúmmeerrooss ccoommpplleejjooss
SSuummaa yy ddiiffeerreenncciiaa:: SSee rreeaalliizzaa ssuummaannddoo yy
rreessttaannddoo ppaarrtteess rreeaalleess eennttrree ssíí yy ppaarrtteess
iimmaaggiinnaarriiaass eennttrree ssíí
((55++22 ii)) ++ ((--88++33 ii))--((44--22 ii))==
==((55--88--44)) ++ ((22++33++22)) ii == --77++77ii
MMuullttiipplliiccaacciióónn:: eell pprroodduuccttoo ddee llooss nnúúmmeerrooss
ccoommpplleejjooss ssee rreeaalliizzaa aapplliiccaannddoo llaa pprrooppiieeddaadd
ddiissttrriibbuuttiivvaa ddeell pprroodduuccttoo rreessppeeccttoo ddee llaa ssuummaa yy
tteenniieennddoo eenn ccuueennttaa qquuee ii ^^22 == −−11
((55++22 ii)) .. ((22--33 ii))==
==1100--1155 ii ++44 ii--66 ii ^^22==1100--1111 ii ++66== 1166--1111 ii

8. EEjjeemmpplloo ggeeoommééttrriiccoo
LLooss nnúúmmeerrooss rreeaalleess ssee eennccuueennttrraann eenn eell eejjee
ddee ccoooorrddeennaaddaass hhoorriizzoonnttaall yy llooss
iimmaaggiinnaarriiooss eenn eell eejjee vveerrttiiccaall..

9. Aplicación ddee llooss nnúúmmeerrooss
ccoommpplleejjooss eenn llaa eelleeccttrriicciiddaadd
UUnnaa aapplliiccaacciióónn ddee llooss nnúúmmeerrooss ccoommpplleejjooss eess eell ccáállccuulloo
ddee iimmppeeddaanncciiaass eeqquuiivvaalleenntteess eenn rreeddeess eellééccttrriiccaass aa
ccoorrrriieennttee aalltteerrnnaa.. LLaa ““iimmppeeddaanncciiaa”” eellééccttrriiccaa eess llaa
ooppoossiicciióónn aall fflluujjoo ddee llaa ccoorrrriieennttee eellééccttrriiccaa ddee ccuuaallqquuiieerr
cciirrccuuiittoo.. PPoorr lloo ggeenneerraall,, eenn llooss tteexxttooss,, llaa mmaaggnniittuudd ddee llaa
iimmppeeddaanncciiaa ZZ ssee ddeennoottaa ccoommoo //ZZ//

10. La principal uuttiilliizzaacciióónn ppaarraa llooss
nnúúmmeerrooss ccoommpplleejjooss eess eenn llooss
ccáállccuullooss eellééccttrriiccooss ddee cciirrccuuiittooss..
TTaammbbiiéénn ttiieenneenn mmuucchhaass aapplliiccaacciióónn
eenn llaass rraammaass ddee llaa iinnggeenniieerrííaa..

11. Otros uussooss ddee llooss nnúúmmeerrooss
ccoommpplleejjooss
LLooss nnúúmmeerrooss ccoommpplleejjooss ssoonn uussaaddooss eenn::
• OOppeerraacciioonneess vveeccttoorriiaalleess
• RReepprreesseennttaacciióónn ddee mmaaggnniittuudd
• FFaacciilliittaann eell mmaanneejjoo ddee ffuunncciioonneess ddee
oonnddaass
• PPaarraa ssiimmpplliiffiiccaarr ccuueennttaass
• RReessoolluucciióónn ddee eeccuuaacciioonneess ddiiffeerreenncciiaalleess
• PPaarraa eell pprroocceessaammiieennttoo ddiiggiittaall ddee sseeññaalleess

12. AAlluummnnooss::
MMaarrttíínn PPeerreezz,, NNaahhuueell MMuuññoozz yy
MMaauurriicciioo NNoovvaassaadd