1. 1.Conducţia termică
Conducţia termică reprezintă modul de transmitere a căldurii din aproape în aproape prin
contactul direct dintre microparticulele corpului; se bazează pe proprietatea diverselor corpuri de
a conduce căldura.
Pentru o anumită substanţă, conductivitatea termică λ variază cu starea de agregare,
presiunea, temperatura, axele de cristalizare, umiditatea, porozitatea etc.
t)b(1λλ 0 ⋅+= [ ]W/mK
unde 0λ este valoarea lui λ la C0t 0
= , iar b o constantă, care depinde de material. În funcţie
de natura substanţei apar urmatoarele valori limită:
a) Gaze: 0,6)(0,006λ −∈ valori care cresc cu creşterea temperaturii.
b) Lichide: 0,7)(0,09λ −∈ valori care scad cu creşterea temperaturii.
c) Materiale de construcţie şi termoizolante: 3)(0,02λ −∈ valori care cresc cu
creşterea temperaturii, a densităţii şi umidităţii. Materialele cu 0,2λ < se numesc termoizolante.
d) Metale: 414)(2λ −∈ valori care scad cu creşterea temperaturii şi scad brusc în
prezenţa unor impurităţi. La aliaje are valori mai mici decât ale metalelor
componente.
Distribuţia de temperaturi t = t(x,y,z, ‫)ح‬ se numeşte câmp de temperaturi. Dacă
variază în timp, câmpul de temperatură este nestaţionar; iar dacă nu variază în timp este
staţionar. Două suprafeţe izoterme de temperaturi diferite NU se intersectează.
Distanţa cea mai mică între cele două suprafeţe n∆ este după normala la suprafaţa t; deci
cea mai mare variaţie de temperatură pe unitatea de lungime între cele două suprafeţe izoterme
∆t/∆n se produce după direcţia normală. Se defineşte gradientul de temperatură drept un vector
normal la suprafaţa izotermă, care numeric este egal cu limita raportului ∆t/∆n când 0∆n → ,
deci cu derivata temperaturii după direcţia normală.
z
t
k
y
t
j
x
t
i
n
t
n
∆n
∆t
limntgrad 0
0∆n
0
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=⋅=
→
[ ]K/m
0n - vector unitar normal, pozitiv în sensul de creştere al temperaturii, iar scalarul nt ∆∆ /
reprezentând valoarea gradientului de temperatură.
Legea Fourier
Studiind conducţia termică, Fourier a ajuns la concluzia că se poate calcula căldura
transmisă prin conducţie, prin elementul de suprafaţă dA de pe suprafaţa izotermă, în intervalul
de timp τ∆ cu relaţia:

2. dτdA
n
t
λQd2
⋅
∂
∂
−= [ ]J
Factorul de conductivitate [ ]KW/mλ - numit conductivitate termică este o proprietate
fizică a materialului. Semnul minus apare deoarece căldura se transmite în sensul negativ al
gradientului.
Căldura transmisă prin unitatea de arie de pe suprafaţa izotermă, în unitatea de timp,
•
q ,
este numită densitatea fluxului de căldură . Se calculează cu relaţia :
[ ]2
W/m
n
t
λq
∂
∂
−=
•
Este un vector normal la suprafaţa izotermă
ale cărui componente după cele trei axe sunt :
x
t
λqx
∂
∂
−=
•
;
y
t
λqy
∂
∂
−=
•
;
z
t
λqz
∂
∂
−=
•
Cu acestea :
[ ]2
zyx W/mqkqjqiq
••••
⋅+⋅+⋅=
−−−
Căldura transmisă
•
Q prin întreaga suprafaţă izotermă A, în unitatea de timp, se numeşte
flux de căldură. Valoarea fluxului de căldura este :
[ ]WdA
n
t
λdAqQ
AA
⋅
∂
∂
−=⋅= ∫∫
••
Ecuaţia diferenţială a conducţiei termice
Se pune problema de a stabili o ecuaţie general valabilă pentru conducţie termică, într-un corp în
care câmpul de temperaturi este nestaţionar şi în care se găsesc şi surse interne de caldură.
Sursele interne sunt caracterizate prin densitatea volumică de flux [ ]3
v W/mq
•
, care reprezintă
n
t
λnq 0
∂
∂
−=
−−−
•

3. fluxul de căldură degajat în volumul unitar. Exemple de surse interne: efectul Joule-Lenz,
reacţiile nucleare, reacţii chimice etc.
Să considerăm un element de volum cu volumul dzdydxdV ⋅⋅= , în care la momentul
iniţial, câmpul de temperaturi are o anumita configuraţie (figura de mai sus).
Admitem următoarele ipoteze :
a) corpul este omogen si izotropic ;
b) proprietăţile fizice sunt constante ;
c) deformaţia volumului cauzată de variaţia temperaturii este neglijabilă (proces izocor)
d) sursele interne de căldură sunt uniform distribuite.
Căldurile elementate xdQ , ydQ şi zdQ care intră în elementul de volum dupa axele Ox, Oy, Oz
sunt:
( ) dτdzdy
x
t
λdτdAqQd xxx
2
⋅⋅
∂
∂
−=⋅⋅=
•
( ) dτdzdx
y
t
λdτdAqQd yyy
2
⋅⋅
∂
∂
−=⋅⋅=
•
( ) dτdydx
z
t
λdτdAqQd zzz
2
⋅⋅
∂
∂
−=⋅⋅=
•
În acelaşi interval de timp părăsesc elementul de volum prin conducţie căldurile dxx
2
Qd + ,
dyy
2
Qd + şi dzz
2
Qd + .
( ) dτdzdyqdτdAqQd dxxxdxxdxx
2
⋅⋅⋅=⋅⋅= +
•
+
•
+
( ) dτdzdxqdτdAqQd dyyydyydyy
2
⋅⋅⋅=⋅⋅= +
•
+
•
+
( ) dτdydxqdτdAqQd dzzzdzzdzz
2
⋅⋅⋅=⋅⋅= +
•
+
•
+
Funcţia dxxq +
•
este continuă pe intervalul dx. Prin dezvoltare în serie Taylor, se obţine :
....
z
dx
x
q
dx
x
q
qq
2
2
x
2
x
xdxx +⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+=
••
•
+
•
Reţinând numai primii doi termeni, se obţine :
dx
x
q
qq x
xdxx ⋅
∂
∂
+=
•
•
+
•
şi similar după celelalte axe. Deci avem :
( ) dτdzdydx
x
q
qQd x
xdxx
2
⋅⋅⋅








⋅
∂
∂
+=
•
•
+
( ) dτdzdxdy
y
q
qQd
y
ydyy
2
⋅⋅⋅










⋅
∂
∂
+=
•
•
+
( ) dτdydxdz
z
q
qQd z
zdzz
2
⋅⋅⋅








⋅
∂
∂
+=
•
•
+
Căldura acumulată în elementul de volum, în timpul τd , va fi :
)QdQ(d)QdQ(d)QdQ(dQd dzz
2
z
2
dyy
2
y
2
dxx
2
x
2
1
2
+++ −+−+−=
Deci :

4. dτdV
z
q
y
q
x
q
Qd zyx
1
2
⋅⋅










∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
•••
(1)
În intervalul de timp τd , în elementul de volum dV, sursele interne de caldură cu
densitatea vq
•
degajă căldura :
dτdVqQd v2
2
⋅⋅=
•
(2)
Adunând relaţiile (1) şi (2), se obţine căldura totală Qd 2
acumulată în elementul de
volum :
dτdVq
z
q
y
q
x
q
QdQdQd v
zyx
2
2
1
22
⋅⋅










+










∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=+=
•
•••
(3)
Dacă substanţa din elementul de volum are capacitatea termică masică [ ]KJ/kgc şi
densitatea [ ]3
kg/mρ , Qd2
va fi :
dVdτ
τ
t
cρQ2d ⋅⋅
∂
∂
⋅⋅= (4)
Egalând relaţiile (3) şi (4) se obţine :
cρ
q
z
q
y
q
x
q
cρ
1
τ
t vzyx
⋅
+










∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
⋅
⋅
−=
∂
∂
••••
sau
cρ
q
qdiv
cρ
1
τ
t v
⋅
+⋅
⋅
−=
∂
∂
•
•
−−−
Înlocuim xq
•
, yq
•
, zq
•
şi rezultă:
c
q
z
t
zy
t
yx
t
xc
t v
⋅
+











∂
∂
⋅
∂
∂
+





∂
∂
⋅
∂
∂
+





∂
∂
⋅
∂
∂
⋅
⋅
=
∂
∂
•
ρ
λλλ
ρτ
1 (5)
sau
( ) 



+⋅
⋅
=
∂
∂ •
vqtgradλdiv
cρ
1
τ
t
Aceasta reprezintă ecuaţia diferenţială a conducţiei termice. Dacă c,ρ şi λ sunt
constante, din relaţia (5) se obţine :
cρ
q
)
z
t
y
t
x
t
(
cρ
λ
τ
t v
2
2
2
2
2
2
⋅
+





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
⋅
⋅
=
∂
∂
•
Cu [ ]/sm
cρ
λ
a 2
⋅
= , care este difuzivitatea termică şi cu operatorul lui Laplace 2
V se
obţine :
)
λ
q
tV(a
cρ
q
tVa
τ
t v2v2
••
+⋅=
⋅
+⋅=
∂
∂
(6)
Pentru 0=
•
vq , ecuaţia (6) se reduce la forma :
tVa
τ
t 2
⋅=
∂
∂

5. care este ecuaţia lui Fourier. Din ecuaţie se vede că viteza de variaţie a temperaturii într-un punct
este direct proporţională cu curbura câmpului de temperaturi în punctul respectiv, coeficientul de
proporţionalitate fiind a. Cu cât a este mai mare, uniformizarea câmpului de temperaturi se face
mai repede. Valori mari ale lui a apar la metale.
La câmpuri staţionare cu surse, se obţine ecuaţia lui Poisson :
0
λ
q
z
t
y
t
x
t v
2
2
2
2
2
2
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
•
La câmpurile staţionare fără surse, se obţine ecuaţia lui Laplace:
0
z
t
y
t
x
t
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
Pentru câmpuri unidimensionale ecuaţia devine :
0
x
t
2
2
=
∂
∂
(7)
Conducţia termică în regim staţionar unidimensional fără surse interne
a) Peretele plan. Se consideră un perete plan omogen cu grosimea δ de extindere infinită
după direcţiile y si z, cu conductivitate λ . Fluxul de caldură transmis prin perete este
unidimensional dacă peretele este de extindere infinită şi dacă temperaturile 1t şi 2t sunt întreaga
suprafaţă.
În acest caz, relaţia (7) devine :
0
dx
td
2
2
=
Prin integrare se obţine :
C
dx
td
2
2
= şi BCxt += (8)
dx
dt
λ
x
t
λq(x) −=
∂
∂
−=
•
sau C
λ
q
dx
dt
=−=
•
Pentru 0=x , Btt == 1 . Înlocuind C şi B în (8) se obţine :

6. x
λ
q
tt 1 ⋅−=
•
sau
x
tt
λq 1 −
⋅=
•
Pentru δ=x se obţine:
( )21 tt
δ
λ
q −=
•
(9)
Fluxul de căldură este:
( )
c
21
21
R
tt
Att
δ
λ
AAqQ
−
⋅=−⋅=⋅=
••
[ ]K/Wm
λ
δ
R 2
= este rezistenţa la conducţie termică. În orice punct, densitatea fluxului de
căldură e aceeaşi la orice x.
δ
tt
x
tt 211 −
=
−
sau x
δ
tt
tt 21
1 ⋅
−
−=
care este ecuaţia curbei de temperatură în placă. Într-un perete plan omogen, pentru =λ constant,
temperatura variază liniar.
Pentru un perete plan neomogen
În regim staţionar =
•
q constant în fiecare strat. Din relaţia (9) se obţine:
)t(t
δ
λ
)t(t
δ
λ
)t(t
δ
λ
q 43
3
3
32
2
2
21
1
1
−⋅=−⋅=−⋅=
•
de unde:
1
1
21
λ
δ
qtt ⋅=−
•
2
2
32
λ
δ
qtt ⋅=−
•
3
3
43
λ
δ
qtt ⋅=−
•

7. Din adunările celor trei relaţii rezultă:
)
λ
δ
λ
δ
λ
δ
(qtt
3
3
2
2
1
1
41 ++⋅=−
•
sau
3
3
2
2
1
1
41
λ
δ
λ
δ
λ
δ
tt
q
++
−
=
•
Pentru un perete cu n straturi:
ech
1n1
n
1i i
i
1n1
R
tt
λ
δ
tt
q +
=
+
• −
=
−
=
∑
(10)
unde:
∑∑
=
=
=
=
==
ni
1i
ci
ni
1i i
i
ech R
λ
δ
R reprezintă rezistenţa termică echivalentă a peretelui neomogen.
Temperaturile intermediare sunt :
1
1
12
λ
δ
qtt ⋅−=
•
şi
2
2
23
λ
δ
qtt ⋅−=
•
În cazul peretelui neomogen se defineşte conductivitatea echivalentă echλ din relaţia :
echech
ni
1i
i
ech
R
δ
R
δ
λ ==
∑
=
=
b) Perete cilindric. Transmiterea căldurii prin conducţie, prin pereţi cilindrici omogeni sau
neomogeni este un caz foarte frecvent întâlnit în legătură cu transportul fluidelor calde sau reci
prin conducte. Se consideră un perete cilindric omogen de lungime l >>d, r1= rază interioară, r2=
rază exterioară, t1= temperatură interioară, t2= temperatură exterioară. Temperatura variază doar
radial, prin urmare câmpul de temperatură, în coordonate cilindrice, este unidimensional.
dr
dt
λq ⋅−=
•
iar fluxul de căldură:
dr
dt
AλQ ⋅−=
•
Suprafaţa lr2πA ⋅⋅= este variabilă cu raza. Cu aceasta
dr
dt
lr2πλQ ⋅⋅⋅⋅−=
•
Separând variabilele se obţine:
r
dr
λl2π
Q
dt ⋅
⋅⋅
−=
•
Prin integrare se obţine:
( ) ( )21
1
2
21
1
2
tt
d
d
ln
lλ2π
tt
r
r
ln
lλ2π
Q −⋅
⋅⋅
=−⋅
⋅⋅
=
•
(11)
Cum suprafeţele interioare şi exterioare sunt diferite, densitatea fluxului de căldură va fi diferită
la cele două raze (
•
1q pentru r1, respectiv
•
2q pentru r2):
1
21
21
1
1
r
r
ln
λ
r
tt
lr2π
Q
q
⋅
−
=
⋅⋅
=
•
•
(12)

8. 1
22
21
2
2
r
r
ln
λ
r
tt
lr2π
Q
q
⋅
−
=
⋅⋅
=
•
•
(13)
Evident
••
> 21 qq . La conducte se introduce noţiunea de densitate liniară de flux [ ]W/mql
•
definită prin relaţia:
( ) ( )
1
2
21
21
1
2
l
d
d
ln
λ2
1
ttπ
tt
d
d
ln
λ2π
l
Q
q
⋅
⋅
−
=−⋅
⋅
==
•
•
(14)
Din (10), (13) şi (14) rezultă:
2211l qdπqdπq
•••
⋅⋅=⋅⋅=
Scriind relaţia (11) pentru o rază curentă r, rezultă:
( )tt
d
d
ln
lλ2π
Q 1
1
−⋅
⋅⋅
=
•
(15)
Din relaţiile (11) şi (15) se obţine:
( )
1
2
1
211
d
d
ln
d
d
ln
tttt ⋅−−=
Deci vom avea o variaţie logaritmică a temperaturii pe secţiune.
perete cilindric omogen

9. perete cilindric neomogen
În regim staţionar, densitatea liniară de flux lq
•
este egală în cele două straturi.
( ) ( )
2
3
2
32
1
2
1
21
l
d
d
ln
λ2
1
ttπ
d
d
ln
λ2
1
ttπ
q
⋅
⋅
−⋅
=
⋅
⋅
−⋅
=
•
de unde, diferenţele de temperatură sunt:
1
2
1
l
21
d
d
ln
λ
1
2π
q
tt ⋅⋅=−
•
2
3
2
l
32
d
d
ln
λ
1
2π
q
tt ⋅⋅=−
•
Din adunarea acestor diferenţe de temperatură rezultă:
( )
2
3
21
2
1
31
l
d
d
ln
λ2
1
d
d
ln
λ2
1
ttπ
q
⋅
⋅
+⋅
⋅
−⋅
=
•
Pentru n straturi se poate scrie:
( )
∑=
+
+
•
⋅
⋅
−⋅
= n
1i i
1i
i
1n1
l
d
d
ln
λ2
1
ttπ
q
Se poate calcula temperatura intermediară t2 pentru două straturi :
1
2
1
l
12
d
d
ln
λ
1
2π
q
tt ⋅⋅−=
•
c) Perete sferic. Se consideră o sferă cu razele: interioară r1 si exterioară r2; cu temperaturile t1 şi
t2. Aria sferei este 2
4 rAsf ⋅= π şi se obţine:
dr
dt
r4πλQ 2
⋅⋅−=
•
12 dd2δ −=
Separând variabilele şi integrând de la r1 la r2 se obţine:

10. ( ) ( ) ( )
δ
dd
ttλπ
d
1
d
1
ttλ2π
r
1
r
1
ttλ4π
Q 21
21
21
21
21
21 ⋅
⋅−⋅⋅=
−
−⋅⋅
=
−
−⋅⋅
=
•
(16)
Pentru o rază curentă 21 rrr << , din (16) rezultă:
( )
r
1
r
1
ttλ4π
Q
1
1
−
−⋅⋅
=
•
(17)
Împârţind relaţiile (16) şi (17) se obţine:
( )
21
1
211
r
1
r
1
r
1
r
1
tttt
−
−
⋅−−=
deci o variaţie hiperbolică a temperaturii.
perete sferic omogen
perete sferic neomogen

11. La peretele neomogen, cu două straturi, fluxul de căldură este egal,prin ambele straturi; din (16)
se obţine:
( ) ( )
32
322
21
211
d
1
d
1
ttλ2π
d
1
d
1
ttλ2π
Q
−
−⋅⋅
=
−
−⋅⋅
=
•
Diferenţele de temperaturi vor fi:






−⋅
⋅
=−
•
211
21
d
1
d
1
λ2π
Q
tt






−⋅
⋅
=−
•
322
32
d
1
d
1
λ2π
Q
tt
Adunând cele două relaţii se obţine:






⋅
⋅+
⋅
⋅⋅=





⋅
−
⋅+
⋅
−
⋅⋅=−
••
322
2
211
1
32
23
221
12
1
31
dd
1
λ
δ
dd
1
λ
δ
π
Q
dd
dd
λ
1
dd
dd
λ
1
2π
Q
tt
Fluxul de căldură transmis va fi:
( )
322
2
211
1
31
dd
1
λ
δ
dd
1
λ
δ
ttπ
Q
⋅
⋅+
⋅
⋅
−⋅
=
•
Pentru n straturi, relaţia poate fi generalizată:
( )
∑= +
+
•
⋅
⋅
−⋅
= n
1i 1iii
i
1n1
dd
1
λ
δ
ttπ
Q
TRECEREA CĂLDURII
Un perete omogen sau neomogen, de orice formă, separă de obicei două fluide cu
temperaturi diferite tf1 şi tf2. Căldura se transmite de la un fluid la altul prin intremediul peretelui.
În perete căldura se transmite prin conductivitate, iar de la primul fluid la perete şi de la perete la
al doilea fluid prin convecţie şi eventual şi prin radiaţie, pentru temperaturi mari. Acest fenomen
complex de transmitere a căldurii se numeşte trecerea căldurii.
Trecerea căldurii prin pereţi plani

12. În regim staţionar densitatea fluxului de căldură este identică de la fluidul cald la perete
– prin perete – şi de la perete la fluidul rece.
( ) ( ) ( ) ( )f23232
2
2
21
1
1
1f11 ttαtt
δ
λ
tt
δ
λ
ttαq −⋅=−⋅=−⋅=−⋅=
•
(1)
Din relaţia (1) rezultă diferenţele de temperatură:
2
f23
2
2
32
1
1
21
1
1f1
α
1
qtt
λ
δ
qtt
λ
δ
qtt
α
1
qtt
⋅=−
⋅=−
⋅=−
⋅=−
•
•
•
•
(2)
Prin adunarea acestor diferenţe rezultă:
22
2
1
1
1
f2f1
α
1
λ
δ
λ
δ
α
1
tt
q
+++
−
=
•
Ecuaţia generală:
2i
i
1
2f1f
α
1
λ
δ
α
1
tt
q
++
−
=
∑
•
Utilizând un coeficient de transfer termic total K [W/m2
K], densitatea fluxului se poate scrie sub
forma:
( )2f1f ttKq −⋅=
•
Din compararea celor două relaţii rezultă:
22
2
1
1
1 α
1
λ
δ
λ
δ
α
1
1
K
+++
=
Din relaţiile (2) se pot calcula temperaturile t1,t2 si t3.
Trecerea căldurii prin pereţi cilindrici

13. În regim staţionar, densitatea liniară de flux, de la fluidul cu temperatura tf1 la perete
este identică cu cea transmisă prin perete şi cu cea transmisă de la perete la fluidul cu
temperatura tf2.
( ) ( ) ( ) ( )f2323
2
3
2
32
1
2
1
21
1f111l ttαdπ
d
d
ln
λ2
1
ttπ
d
d
ln
λ2
1
ttπ
ttαdπq −⋅⋅⋅=
⋅
⋅
−⋅
=
⋅
⋅
−⋅
=−⋅⋅⋅=
•
Diferenţele de temperatură sunt:
11
l
1f1
dαπ
q
tt
⋅⋅
=−
•
1
2
1
l
21
d
d
ln
λπ2
q
tt ⋅
⋅⋅
=−
•
2
3
2
l
32
d
d
ln
λπ2
q
tt ⋅
⋅⋅
=−
•
32
l
f23
dαπ
q
tt
⋅⋅
=−
•
Prin adunarea acestor relaţii se obţine:






⋅
+⋅
⋅
+⋅
⋅
+
⋅
⋅⋅=−
•
322
3
21
2
111
lf2f1
dα
1
d
d
ln
λ2
1
d
d
ln
λ2
1
dα
1
π
1
qtt
Deci obţinem ecuaţia generală:
( )
∑= +
+
•
⋅
+⋅
⋅
+
⋅
−⋅
= n
1i 1n2i
1i
i11
f2f1
l
dα
1
d
d
ln
λ2
1
dα
1
ttπ
q
Notăm Kl coeficientul de transfer termic total liniar.
[ ]W/mK
dα
1
d
d
ln
λ2
1
dα
1
1
K n
1i 1n2i
1i
i11
l
∑= +
+
⋅
+⋅
⋅
+
⋅
=

14. •
lq poate fi scris sub forma:
( )f2f1ll ttπKq −⋅⋅=
•
Trecerea căldurii prin pereţi sferici
În regim staţionar fluxul de căldură transmis de la primul fluid la perete este identic cu cel
transmis prin perete şi cu cel transmis de la perete la al doilea fluid.
( ) ( ) ( )
( )f232
2
3
322
2
32
211
1
21
1f11
2
1 ttαdπ
dd
1
λ
δ
ttπ
dd
1
λ
δ
ttπ
ttαdπQ −⋅⋅⋅=
⋅
⋅
−⋅
=
⋅
⋅
−⋅
=−⋅⋅⋅=
•
Diferenţele de temperatură sunt:
1
2
1
1f1
αdπ
Q
tt
⋅⋅
=−
•
211
1
21
dd
1
λ
δ
π
Q
tt
⋅
⋅⋅
=−
•
322
2
32
dd
1
λ
δ
π
Q
tt
⋅
⋅⋅
=−
•
2
2
3
f23
αdπ
Q
tt
⋅⋅
=−
•
Prin adunarea acestor diferenţe se obţine:
( )
∑= ++
•
⋅
+
⋅
⋅+
⋅
−⋅
= n
1i
2
1n21iii
i
2
11
f2f1
dα
1
dd
1
λ
δ
dα
1
ttπ
Q
Notăm cu Ksf coeficientul de transfer termic total prin peretele sferic.

15. [ ]W/K
dα
1
dd
1
λ
δ
dα
1
1
K n
1i
2
1n21iii
i
2
11
sf
∑= ++ ⋅
+
⋅
⋅+
⋅
=
•
Q mai poate fi scris:
( )f2f1sf ttπKQ −⋅⋅=
•
Caldura transmisă prin convecţie
Prin convecţie termică se înţelege transmiterea căldurii între un fluid în mişcare şi un perete care
îi delimitează mişcarea.
Pentru calculul căldurii, transmisă prin convecţie, între un fluid cu temperatura tf şi un perete cu
temperatura tp, având suprafaţa A în timpul τ, se poate utiliza formula lui Newton:
( ) [ ]JτttAαQ pf ⋅−⋅⋅=
α este coeficientul de convecţie [W/m2
K]
Toată problema transmiterii căldurii prin convecţie se reduce, de fapt, la determinarea
coeficientului de convecţie.
Singura posibilitate de determinare a coeficientului de convecţie constă în
determinarea lui experimentală. A cerceta experimental un fenomen, care depinde de mărimi
fizice, înseamnă a modifica pe rând câte una din aceste marimi, iar celelalte n-1 mărimi să fie
menţinute constante. O asemenea cercetare experimentală este foarte dificil de făcut, iar
rezultatele obţinute sunt foarte greu de interpretat. Din această cauză, efectuarea cercetărilor
experimentale şi interpretarea rezultatelor se face pe baza teoriei similitudinii.
În cazul cercetarilor experimentale ale unor fenomene pot intervene două dificultăţi
majore. Prima, constă în faptul că unele fenomene nu pot fi studiate în mărime naturală, din
cauza dimensiunilor prea mari şi a doua, că numărul de mărimi fizice, de care depinde
fenomenul este prea mare.
În primul caz, cercetările experimentale se fac pe modele la scară redusă, iar în al doilea
caz, nu se vor modifica pe rând toate mărimile fizice, ci numai anumite mărimi
adimensionale determinate din mărimile care caracterizează fenomenele, mărimi numite
invariaţii sau criterii de similitudine.
Pentru a putea transpune rezultatele experimentale astfel obţinute la fenomenul real sau
pentru a determina care sunt mărimile adimensionale, care caracterizeaza fenomenul, trebuie
să se facă apel la teoria similitudinii. Similitudinea sau asemanarea a doua fenomene, implică
o condiţie primordială: asemănarea geometrică. Asemănarea geometrică presupune egalitatea
unghiurilor omoloage şi rapoarte egale între toate dimensiunile liniare de la original şi model.
Se defineşte factorul de scară geometric cl din relaţia:
'
n
''
n
l
l
l
c =
Pentru o mărime oarecare ϕ , factorul de scară ϕc este:
'
''
c
ϕ
ϕ
ϕ =
Trebuie observat că mărimile care caracterizează un fenomen pot fi mărimi fundamentale şi
mărimi derivate. Mărimile fundamentale sunt cele care definesc sistemul de unităţi de măsură
folosit. În cadrul sistemului SI mărimile fundamentale, care interesează în fenomenele de
transmitere a căldurii sunt: [ ]mLlungimea , [ ]kgmmasa , [ ]sτtimpul , temperatura T
[K]. Factorii de scară pentru mărimile fundamentale pot fi aleşi arbitrar. Pentru mărimile
derivate, factorii de scară nu pot fi aleşi arbitrar; ei rezultă din factorii de scară ai mărimilor

16. fundamentale pe baza relaţiilor de definiţie ale mărimilor respective. Pentru exemplificare se
consideră cazul curgerii unui fluid cu viteză constantă w printr-o conductă. Drumul parcurs
de fluid fiind l în timpul τ viteza w este:
τ
1
w =
Aplicând această relaţie pentru calculul vitezei la doi curenţi de fluid asemenea, care
parcurg drumuri asemenea, în timpi asemenea, vitezele celor două fluide se pot scrie:
'
'
'
τ
l
w = şi ''
''
''
τ
l
w =
sau
''
'
'
''
'
''
τ
τ
l
l
w
w
⋅= (a)
Factorii de scară pentru cele trei mărimi sunt:
'
''
w
w
w
c = ; '
''
l
l
l
c = ; '
''
τ
τ
cτ =
Înlocuind factorii de scară în relaţia (a) se obţine:
τc
c
c l
w = (b)
Rezultă că pentru a avea similitudine între cei doi curenţi, factorul de scară pentru viteză
trebuie să aibă o valoare bine definită, conform relaţiei (b). Relaţia (a) poate fi scrisă şi sub
forma:
'
''
''
''''
l
τw
l
τw ⋅
=
⋅
= const
Expresiile de forma
l
w τ⋅
sunt adimensionale şi au aceeaşi valoare la model şi original,
dacă fenomenele sunt asemenea. Asemenea mărimi se numesc invarianţi sau criterii de
similitudine. Se pot obţine invarianţi pentru orice fenomen fizic. Pentru aceasta este suficient
să se cunoască ecuaţia fenomenului, chiar sub forma diferenţială. Pe baza celor prezentate
mai sus, se pot enunţa teoremele similitudinii:
.1) Pentru două sisteme fzice asemenea se pot deduce invarianţi sau criterii de similitudine,
care au aceeaşi valoare la ambele sisteme.
Se poate demonstra că numărul de invarianţi independenţi, care pot fi stabiliţi în cazul
unei funcţii între m variabile din care n sunt independente, este (m-n). Se pot obţine
invarianţi dependenţi prin combinarea celor independenţi.
.2) Soluţia integrală a oricarei ecuaţii diferenţiale poate fi reprezentată ca o funcţie între
invarianţii care caracterizează fenomenul.
Cum numărul invarianţilor independenţi este (m-n), din teorema .2) rezultă unul din
avantajele esenţiale ale folosirii metodei similitudinii I cercetările experimentale şi anume,
reducerea numărului de argumente ale funcţiei necunoscute; în loc de a modifica m mărimi
fizice, trebuie modificati (m-n) invarianţi prin modificarea unor mărimi fizice, care intră în
expresiile acestora.
Pe baza acestei teoreme, orice dependenţă între variabilele care caracterizează un
fenomen oarecare, poate fi prezentată sub forma unei relaţii între invarianţii independenţi
K1, K2,…, Km-n care se pot stabili pentru fenomenul respectiv.
f(K1, K2,…, Km-n) = 0
Rolul cercetării experimentale este de a stabili funcţia f, sau cum se mai numeşte ecuaţia
crierială.

17. .3) Condiţia necesară şi suficientă pentru ca două fenomene fizice să fie asemenea constă în
asemănarea condiţiilor de unicitate, în care se desfăşoară fenomenul şi în identitatea
invarianţilor deduşi din condiţiile de unicitate la cele două fenomene.
Ecuaţiile convecţiei termice
A) Ecuaţia de continuitate, care pentru fluidele compresibile are forma:
wdivρ
dτ
Dρ
⋅−=
z
ρ
w
y
ρ
w
x
ρ
w
τ
ρ
dτ
Dρ
zyx
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅+
∂
∂
=
fiind substanţială densităţii fluidului.
Pentru fluide incompresibile ecuaţia devine:
0wdiv =
B) Ecuaţia de mişcare a fluidelor vâscoase (ecuaţiile Navier-Stockes) care este de forma:
∆Tγgwνρgrad
ρ
1
dτ
Dw 2
⋅⋅+⋅∇⋅+⋅−=
C) Ecuaţia conducţiei termice pentru fluide în mişcare. Fără surse interne este de forma:
ta
dτ
Dt 2
⋅∇⋅=
D) Ecuaţia de contur.
( )
p(erete)
fp
n
t
λttαq 





∂
∂
⋅−=−⋅=
•
La acest sistem de ecuaţii cu derivate parţiale, trebuie introduse încă condiţiile de
unicitate de spaţiu şi timp pentru: câmpul de temperatură, câmpul de viteze si densitatea
fluxului şi trebuie cunoscut cum variază cu temperatura toate mărimile fizice care intervin.
Rezolvarea analitică a acestrui sistem cu condiţiile impuse, nu este posibilă decât pentru
cazuri simple cu totul particulare.
Radiaţia termică
Radiaţia termică este fenomenul de transmitere a căldurii între două corpuri aflate la distanţă,
prin radiaţii electromagnetice din spectrul luminos ( 0,80µ,0,40λ ÷= ) şi din spectrul
infrarosu ( 800µ00,80λ ÷= ). Orice corp radiază energie termică, în mod continuu, la orice
temperatură. Când energia termică radiată ajunge pe alte corpuri, ea produce efecte termice.
Legile radiaţiei termice
Legea I-a a lui Kirchoff:
Fie
•
0Q fluxul de energie radiată, care întâlneşte un corp oarecare. Din acest flux
•
AQ este
absorbit de corp,
•
RQ este reflectat, iar
•
TQ trece prin corp.
••••
++= TRA0 QQQQ sau 1
Q
Q
Q
Q
Q
Q
0
T
0
R
0
A
=++ •
•
•
•
•
•
Notand: A= •
•
0
A
Q
Q
- factor de absorbţie;

18. R= •
•
0
R
Q
Q
- factor de reflexie;
T= •
•
0
T
Q
Q
- factor de transparenţă;
A + R + T = 1
Dacă A = 1 – corp negru, întreaga energie e absorbită.
Dacă R = 1 – corp alb, întreaga energie e reflectată. Dacă i = r (unghiul de incidenţă =
unghiul de reflexive) corpul este lucios.
Dacă T = 1 – corp transparent, întreaga energie trece prin corp fără a produce efecte
termice.
Valorile lui A, R, T depind de natura corpului, de temperatura lui şi de lungimea de undă.
Majoritatea corpurilor se comportă selectiv, adică radiaţiile cu o anumită lungime de undă
sunt absorbite total sau parţial, iar pentru alte lungimi de undă corpul este reflectant sau
transparent.
Pentru corpuri netransparente: A + R = 1
Prin corpuri cenuşii se înţeleg corpurile care pe întreg intervalul de lungime de undă
absorb aceeaşi parte din radiaţia incidentă.
Legea lui Planck
Exprimă legătura dintre intensitatea de radiaţie a corpului negru
NλI [W/m3
],
temperatura corpului T si lungimea de undă a emisiei λ .
1
5
1λ 1eλCI Tλ
2C
N
−
−








−⋅⋅= ⋅ în care -16
1 103,74C ⋅= [Wm2
]
2
2 10438,1C −
⋅= [mK]
Legea lui Wien
Exprimă legătura dintre temperatura T si lungimea de undă mλ .
3
m 102.896constTλ −
⋅==⋅ [mK]
Legea lui Stefan Bolzmann
Pentru o anumită izotermă, pe un interval de lungimi de undă dλ unitatea de suprafaţă din
corpul negru emite fluxul de energie specific.

19. dλλIdE NN ⋅⋅= [W/m2
]
Integrând pe întreg intervalul de lungimi de undă, se obţine fluxul specific total,numit şi
puterea emisivă a corpului negru.
4
N
λ
constt
0λ NN TσdλλIE ⋅=⋅⋅= ∫
∞=
=
= [W/m2
]
Pentru calcule numerice este mai comod să se scrie:
44
N
4
N
8
N
100
T
5,67
100
T
C
100
T
σ10E 





⋅=





⋅=





⋅⋅=
CN – constanta de radiaţie a corpului negru [W/m2
]
Pentru corpurile cenuşii, la aceeaşi temperatură, puterea emisivş E este mai mică decât
puterea emisivă a corpului negru EN. Se defineşte factorul de emisie ε ca raportul dintre E şi
EN.
N
4
N
4
4
N
4
N C
C
TC
TC
Tσ
Tσ
E
E
ε =
⋅
=
⋅
⋅
==
Legea a-II-a a lui Kirchoff
Se pune problema de a stabili legatura dintre factorul de emisie ε şi factorul de
absorbţie A pentru un corp aflat în echilibru termodinamic la temperatura T. Se consideră
două suprafeţe paralele de extindere infinită cu temperaturile T1>T2, închise într-o incintă
adiabatică, cu factorii de emisie 1ε , 2ε şi factorii de absorbţie A1, A2 . În absenţa suprafeţei 2,
respective a suprafeţei 1, puterile emisive ale suprafeţei 1, respectiv 2,sunt:
4
1
N11
100
T
CεE 





⋅⋅= ;
4
2
N22
100
T
CεE 





⋅⋅=
În prezenţa ambelor suprafeţe între care se produc reflexii multiple, fiecare din ele emite
pe lângă radiaţia proprie şi o radiaţie suplimentară şi anume, partea reflectată din radiaţia
totală, venită de la cealaltă suprafaţă. Se introduce noţiunea de luminozitate L, a suprafeţei
care este radiaţia totală a suprafeţei respective. Pentru cele două suprafeţe se poate scrie:
( ) 2111 LA1EL ⋅−+= şi ( ) 1222 LA1EL ⋅−+= [W/m2
]
de unde :
( )
2121
121
1
AAAA
A1EE
L
⋅−+
−⋅+
=
( )
2121
212
2
AAAA
A1EE
L
⋅−+
−⋅+
=
Densitatea fluxului de căldură transmisă prin radiaţie este:
2121
1221
2121
AAAA
AEAE
LLq
⋅−+
⋅−⋅
=−=
•
− [W/m2
]
După un anumit timp temperaturile T1 si T2 se vor egala iar 0q 21 =
•
− , rezultă:
1221 AEAE ⋅=⋅ sau
2
2
1
1
A
E
A
E
=
Dacă una dintre suprafeţe este neagră AN = 1, atunci se poate scrie:
constant
A
E
E
A
E
A
E
A
E
N
N
N
2
2
1
1
=====
de unde rezultă că la T = constant, A = ε
E
E
N
=
Pentru corpuri cenuşii selective: λλ Aε =
Transmiterea căldurii prin radiaţie între diverse corpuri

20. Dacă două corpuri au temperaturi diferite între ele, se va transmite căldura prin radiaţie
termică. Fluxul de căldură transmis depinde de natura corpurilor, de diferenţa de temperatură,
de forma corpurilor, precum şi de poziţia lor relativă.
A) Suprafeţe plane paralele de extindere infinită
Pe baza legii a-II-a a lui Kirchoff relaţia densitatii fluxului de căldură transmisă prin radiaţie
devine:
2121
1221
2121
1221
21
εεεε
εEεE
AAAA
AEAE
q
⋅−+
⋅−⋅
=
⋅−+
⋅−⋅
=
•
−
Din legea lui Stefan Bolzmann rezultă:
=
⋅−+
⋅





⋅⋅−⋅





⋅⋅
=
⋅−+
⋅





⋅−⋅





⋅
=
•
−
2121
1
4
2
2N2
4
1
1N
2121
1
4
2
22
4
1
1
21
εεεε
ε
100
T
εCε
100
T
εC
εεεε
ε
100
T
Cε
100
T
C
q
=














−





⋅=














−





⋅
−+
4
2
4
1
12
4
2
4
1
12
N
100
T
100
T
C
100
T
100
T
1
ε
1
ε
1
C
C12 – constanta de radiaţie
( )21R12 TTαq −⋅=
•
unde Rα - este coeficient de radiaţie [W/m2
K]
21
4
2
4
1
12
R
TT
100
T
100
T
C
α
−














−





⋅
=
Cunoscând Rα , se poate cumula efectul convecţiei şi radiaţiei la suprafaţa corpului, rezultând
coeficientul total RC ααα +=
B) Suprafeţe care formează un sistem închis
••
=⋅ 12112 QSq
⇒














−





⋅⋅
⋅





−+
=














−





⋅⋅=
•
4
2
4
1
1
2
1
21
N
4
2
4
1
11212
100
T
100
T
S
S
S
1
ε
1
ε
1
C
100
T
100
T
SCQ

21. Deoarece S2>>S1 rezultă n112 CεC ⋅= , deci contează doar factorul energetic de emisie al
suprafeţei mari.
Efectul paravanelor în radiaţia termică:
Se consideră doi pereţi plani, paraleli, de extindere infinită cu temperaturile T1>T2 şi cu
factorii de emisie 1ε si 2ε între care se intercalează un paravan subţire, cu factorul de emisie pε .
Neglijând căderea de temperatură în paravan şi neluând în considerare convecţia, se pune
problema de a determina influenţa paravanului asupra schimbului de căldura dintre cei doi pereţi.
In prezenţa paravanului, fluxul transmis de la peretele 1 la paravan
•
12q este egal cu cel transmis
de la paravan la peretele 2,
•
p2q , deci cu fluxul transmis între cei doi pereţi, în prezenţa
paravanului
•
p(12)q .
••
=














+





⋅
−+
= (12)p
4
p
4
1
p1
N
1p q
100
T
100
T
1
ε
1
ε
1
C
q
••
=














+





⋅
−+
= (12)p
4
2
4
p
2p
N
p2 q
100
T
100
T
1
ε
1
ε
1
C
q
Din egalarea celor două relaţii de mai sus se obţine :
1
ε
1
ε
1
1
1
ε
1
ε
1
1
1
ε
1
ε
1
100
T
1
ε
1
ε
1
100
T
100
T
2pp1
2p
4
2
p1
4
1
4
p
−+
+
−+
−+






+
−+






=





cu care :














−





⋅








−⋅++
=
•
4
2
4
1
p21
N
p(12)
100
T
100
T
1
ε
1
2
ε
1
ε
1
C
q
Făcând raportul
•
p(12)q /
•
12q se obţine :








−⋅++
−+
=•
•
1
ε
1
2
ε
1
ε
1
1
ε
1
ε
1
q
q
p21
21
12
p(12)
Pentru 0εp → , 0q p(12) →
•
, deci s-ar obţine o izolare perfectă faţa de radiaţia termică. In
realitate valorile lui pε sunt limitate, aşa încât pentru a se obţine o izolare cât mai buna este

22. necesară utilizarea mai multor paravane şi vidarea spaţiului dintre plăci, pentru anihilarea
convecţiei.
Schimbatoare de căldură
Prin schimbator de căldură se înţelege un utilaj în care se produce transferul căldurii între
două sau mai multe fluide. După modul de realizare a transmiterii căldurii, se deosebesc
schimbătoare de căldură recuperative, regenerative şi de amestec. La schimbătoarele recuperative
fluidele circulă concomitent prin schimbător şi schimbă căldură printr-un perete separator. La
schimbătoarele regenerative circulatia fluidelor prin schimbatăr se face alternativ. In prima fază,
prin schimbător circulă fluid cald, care cedează căldură unei umpluturi cu capacitate termică
ridicată, de obicei ceramică, pentru ca în faza a doua să circule fluid rece, care preia căldură de la
umplutură. La schimbătoarele de amestec, transmiterea căldurii în fluide cu diverse temperaturi,
se realizează prin amestecarea acestora.
Calculul schimbătoarelor de căldură recuperative
A calcula un schimbător de căldură, prin care trebuie transmis un flux de căldură
•
Q de la
un fluid cald cu debitul masic 1m
•
, având capacitatea termică masică c1 şi temperatura iniţiala '
1t ,
la un fluid rece cu debitul masic 2m
•
, capacitatea termică masică c2 şi temperatura iniţiala '
2t ,
înseamnă a determina suprafaţa necesară a peretelui separator A. In urma schimbului de căldură,
temperatura fluidului cald scade la ''
1t , iar a celui rece creşte la ''
2t . Dacă pierderile de căldură
spre exterior sunt nule se poate scrie:
( ) ( ) m
'
2
''
222
''
1
'
111 ∆tAKttcmttcmQ ⋅⋅=−⋅⋅=−⋅⋅=
•••
(1)
K [W/m2
K ] fiind coeficientul de transfer termic între cele două fluide, coeficient care în prima
aproximaţie se poate considerea de-a lungul întregii suprafeţe, iar [ ]C∆t 0
m fiind diferenţa de
temperatură medie între cele două fluide. Notând fluxurile capacitaţii termice 111 Ccm
••
=⋅ şi
222 Ccm
••
=⋅ , relaţia (1) devine :
( ) ( ) m
'
2
''
22
''
1
'
111 ∆tAKttCttCQ ⋅⋅=−⋅=−⋅=
•••
Diferenţele de temperatură medie, între cele două fluide, depinde în principal de modul în
care curg cele două fluide prin schimbator. Se deosebesc schimbătoare cu curgere paralela,
incrucişată şi mixtă.

23. (a) – cu curgere paralelă în echicurent
(b) – cu curgere paralelă în contracurent
(c) – cu curgere încrucişată
(d) – cu curgere mixtă
A) Curgerea paralelă în contracurent



−=
−=
''
2
'
1
'
2
''
1
tt∆
ttδ
δt
∆t
ln
δt∆t
∆t ccm
−
=
Caracteristica de exloatare (performanţă) a schimbătorului
( )
( )'
2
'
11
''
1
'
11
ttC
ttC
posibilmaximcalduradefluxul
transmisefectivcalduradefluxul
φ
−⋅
−⋅
== •
•
Notăm : '
2
'
1
'
2
''
2
2
1
tt
tt
µ
1
φ1
C
C
µ
−
−
⋅=⇒<= •
•
Mai notăm :
1C
A
kχ •
⋅=
şi rezultă :
( )
( )



−⋅
−⋅
=⋅⋅= •
•
•
'
2
''
22
'
2
'
11
ccm
ttC
ttC
∆tAkQ
Deci vom avea :
( )
( )1µχ
1µχ
cc
eµ1
e1
φ −⋅−
−⋅−
⋅−
−
= (2)
Deoarece φ este o marime adimensională, ecuaţia (2) reprezintă ecuaţia criterială a
schimbătoarelor de căldură cu curgerea paralelă a fluidelor în contracurent. Se vede că φ nu
depinde de temperaturile iniţiale ale fluidelor, ci numai de invarianţii µsiγ :

24. Temperaturile de ieşire ale celor două fluide vor fi :
( )'
2
'
1
'
1
''
1 tttt −⋅−= φ
( )'
2
'
1
'
2
''
2 ttµtt −⋅⋅−= φ
B) Curgerea paralelă în echicurent
δt
∆t
ln
δt∆t
∆t ecm
−
=
'
2
'
1 tt∆ −=
''
2
''
1 ttδ −=
Procedând analog
( )
µ1
e1
φ
1µχ
ec
+
−
=⇒
+⋅−
C) Comparaţie între schimbătoare cu curgere paralelă în contracurent
A compara schimbătoarele cu cele două tipuri de curgere paralelă (în contra curent şi
echicurent), înseamnă a compara fluxurile efective care se pot transmite în cele două cazuri.
( )''
1
'
11 ttCφQ ccccef −⋅⋅=
•
( )''
1
'
11 ttCφQ ececef −⋅⋅=
•
( ) [ ]
[ ] [ ]µ)(1χµ)(1χ
µ)(1χ
e1e1
e1µ1
Q
Q
ψ
ecef
ccef
−⋅−+⋅−
−⋅
−⋅−
−⋅+
==

25. Se constată că intotdeauna ψ este supraunitar şi cu atât este mai mare cu cât χ este mai mare.
Rezultă de aici că este preferabil ca schimbătoarele cu curgere paralelă să se realizeze în
contracurent. Schimbătoarele în contracurent au totuşi dezavantajul ca temperatura peretelui
separator este mai mare şi variază mai mult de-a lungul schimbătorului, decât curgerea în
echicurent, ceea ce face ca în special la temperaturi mari de intrare ale fludului cald să fie
preferate schimbătoarele în echicurent.
Cel mai des în practică se utilizează schgimbătoarele de caldură cu curgere mixta a
fluidelor, curgere care reprezintă o combinaţie între curgerea paralelă în echicurent sau în
contracurent cu curgerea încrucisată. In majoritatea cazurilor suprafeţele de schimb de căldură
sunt realizate sub forma unor fascicule de ţevi, prin ţevi circulând unul dintre fluide, iar în
exterior celălalt.