1. Laipsniai su
sveikaisiais
rodikliais

2. Laipsnis su natūraliuoju rodikliu
Sandauga n dauginamųjų, kurių kiekvienas
lygus a, žymima an ir vadinama skaičiaus a
n-tuoju laipsniu.
a ⋅ ⋅ = a
a ⋅ a ... ⋅ a
n
n
an – laipsnis
a – laipsnio pagrindas
n – laipsnio rodiklis

3. Pavyzdžiai
43=4·4·4=64
-43=-4·4·4=-64
(-4)3=(-4)·(-4)·(-4)=-64
(-4)2=(-4)·(-4)=16
41=4

4. Laipsnių su vienodais pagrindais
daugyba ir dalyba
Dauginant laipsnius su vienodais pagrindais,
pagrindas paliekamas tas pats, o laipsnių
rodikliai sudedami.
a m ⋅ a n = (a ⋅ ⋅ ) ⋅ (a ⋅ ⋅ ) = a ⋅ ⋅ = a m + n
a ⋅ a ... ⋅ a a ⋅ a ... ⋅ a a ⋅ a ... ⋅ a
m
a ⋅a = a
m
n
n
m+ n
m+ n
(m, n ∈ N )

5. Pavyzdžiai
32·35=32+5=37
a6·a2=a6+2=a8
(-5)3·(-5)4=(-5)3+4=(-5)7
7·72·76=71+2+6=79
Taisyklę galima taikyti ir atbulai:
54=5·53=52·52
26=2·25=22·24=23·23

6. Dalijant laipsnius su vienodais (nelygiais nuliui)
pagrindais, pagrindas paliekamas tas pats, o iš
dalinio rodiklio atimamas daliklio rodiklis.
m

a m a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a
am : an = n =
= a ⋅ ⋅ = a m − n
a ⋅ a ... ⋅ a
a
a ⋅ ⋅
m−n
a ⋅ a ... ⋅ a
n
a :a = a
m
n
m−n
(a ≠ 0; m, n ∈ N ; m > n)

7. Pavyzdžiai
a8:a5=a8-5=a3
0,56:0,52=0,56-2=0,54
8
9
6
8−5
3
=6 =6
5
6
b
9 −1
8
=b =b
b
Taisyklę galima taikyti ir atbulai:
9 =9
4
7 −3
=9
5−1
= ...
12 − 9
b =b
3
b4
=
b

8. Kiekvieno skaičiaus, nelygaus nuliui,
nulinis laipsnis lygus vienetui.
a =1
(a ≠ 0)
0
Pvz. :
0
5 =1
0
(−2,7) = 1
0
1
  =1
8

9. Sandaugos, trupmenos ir laipsnio kėlimas
natūraliuoju laipsniu
Keliant sandaugą natūraliuoju laipsniu,
kiekvienas dauginamasis keliamas tuo
laipsniu, o gauti rezultatai sudauginami
( a ⋅ b) = a ⋅ b
n
n
n
(n ∈ N )

10. Pavyzdžiai:
( 2 ⋅10)
( 3 ⋅ 8)
5
4
( − 3xy )
( 2ab )
= 2 ⋅10 ;
5
5
= 3 ⋅8 ;
4
3
5
4
= ( − 3) ⋅ x ⋅ y = −27 x y ;
3
3
3
3
= 2 ⋅ a ⋅ b = 64a b ;
5
5
5
5 5
3

11. Taisyklė taikoma ir atbulai:
4
4
1  1
4
9 ⋅   =  9 ⋅  = 3 = 81;
 3  3
4
4 ⋅ 25 = ( 4 ⋅ 25) = 100 = 10000;
2
2
2
3
3
2
1  1
3
8 ⋅   =  8 ⋅  = 4 = 64;
2  2
3

12. Keliant trupmeną natūraliuoju
laipsniu, tiek skaitiklis, tiek vardiklis
keliami tuo laipsniu.
n
n
a
a
a :b =   = n
b
b
n
n
(b ≠ 0, n ∈ N )

13. Pavyzdžiai:
3
3
3
7
343
 7
7
;
 −  = −  = − 3 = −
9
729
 9
9
4
4
4
2
2
2
4
a
a
a
 a
= 4 4 =
;
  =
4
4
3b
81b
 3b  (3b)
5
5
25
 5 
= 2 2 =
;
  =
2
2
(8 x)
8 x
64 x
 8x 

14. Taisyklė taikoma ir atbulai:
4
4
4
3  3 1
1
=  =  = ;
4
9  9   3  81
3
3
3
2 2 1
1
=  =  = ;
3
8  8   4  64

15. Laipsnis su sveikuoju neigiamuoju
rodikliu
a
4
−2
−n
1
= n
a
1
1
= 2 = ;
4 16
( a ≠ 0)
( − 3)
−2
1
1
=
= ;
2
( − 3) 9

16. −1
1
  =a
a
−1
1
  = 4;
4
( a ≠ 0)
−1
 1
 −  = −3;
 3

17. a
 
b
−n
−3
b
= 
a
3
2
5
  =  ;
5
2
n
( a ≠ 0)
−2
2
 3
 4
−  = −  ;
 4
 3

18. −1
−1
1
 2
5
2 2
1  =   =   =  ;
 3
2
5 5
−2
1,4
−2
−2
−2
2
25
 4
 14 
7
5
= 1  =   =   =   = ;
49
 10 
 10 
5
7

19. Laipsnių su natūraliaisiais
rodikliais savybės tinka ir
laipsniams su sveikaisiais
rodikliais

20. a ⋅a = a
m
n
m+n
Imkime du laipsnius, kurių pagrindai vienodi, o
rodikliai yra sveikieji skaičiai, pavyzdžiui, 3-4 ir 37.
Šių laipsnių sandaugą užrašykite laipsniu:
3 · 3=
-4
7
3-4 · 37=3-4+7=33

21. a :a = a
m
n
m−n
Imkime du laipsnius, kurių pagrindai
vienodi, o rodikliai yra sveikieji skaičiai,
pavyzdžiui, 3-4 ir 37.
Šių laipsnių dalmenį užrašykite laipsniu:
3 : 3=
-4
7
3-4 : 37= 3-4-7= 3-11

22. (a ) = a
m n
m⋅ n
Užrašykite laipsnį, kurį gausite, 5-2 pakėlę
kvadratu:
(5 ) =
-2 2
(5-2)2=5-2·2=5-4

23. ( a ⋅ b) = a ⋅ b
n
n
n
Imkime du laipsnius, kurių rodikliai vienodi,
pavyzdžiui, 10-4 ir 2-4.
Šių laipsnių sandaugą užrašykite laipsniu:
10 ·2 =
-4
-4
10-4 ·2-4= (10·2)-4= 20-4

24. n
n
a
a
  = n
b
b
Imkime du laipsnius, kurių rodikliai vienodi,
pavyzdžiui, 10-4 ir 2-4.
Šių laipsnių dalmenį užrašykite laipsniu:
−4
−4
10
 10 
−4
=  =5
−4
2
2

25. m+n
a ⋅a = a
m
n
m−n
a :a = a
m
n
(a ) = a
m
n
m⋅n
( a ⋅ b) = a ⋅ b
n
n
n
n
a
a
a :b =   = n
b
b
n
n
n

26. Standartinė
skaičiaus
išraiška

27. Skaičiaus užrašas pavidalu a·10n,
kur 1 ≤ a < 10, o n – sveikasis
skaičius, vadinamas standartine
išraiška.
Rodiklis n vadinamas skaičiaus eile.

28. Pvz.:
37 000 = 3,7·104;
41 200 000 = 4,12·107;
-5
0,00004 = 4·10 ;
0,00000073 = 7,3·10-7;