5大学交流会での発表用資料

1. 2012年 5大学交流授業
「問題発見とモデル化」
体育の種目選択を最適化する
筑波大学 社会工学類
黒田翔（B3）
2012年3月28日 ／ 於 防衛大学校
Here comes your footer

2. Agenda 導入 方法 結果 Sys
 概要： 必修の体育での種目割り振りを数理的に決定する
 目的： 学生の満足度を向上させる ・ 教職員の手間を省く
 目標： 最適化するプロセスをWebアプリケーションで実装し提案
 導入： 現状の把握 ・ 問題点を示す
 方法： アンケートを基に実際の希望度を推定し，定式化する
 結果： FICO の Xpress でモデルの最適化を行う
 システム： PHPとlpsolveによってWebアプリケーションを構築する
Here comes your footer Page 2

3. 筑波大学では… 導入 方法 結果 Sys
 （原則）所属と学年ごとに履修するコマが決まっている
- 例）社会工学類4年 → 月曜日3限（通年）
 一つのコマ： 履修者 = 400～500人 & 種目 = 12~15
- 例）月曜日3限 → 日本語・日本文化3年，生物資源3年，社会工学3・4年
アスレティックトレーニング，インラインスケート， 器械運動，サッカー
ジョグ&ウォーク， 水泳， 卓球， ダンス， テニス， バスケットボール，ハンドボール
フィットネストレーニング， フラッグフットボール， ボディ・ワーク，陸上競技
 オリエンテーションで種目選択
1. 希望の種目に集まる
2. 定員オーバーの種目で抽選が行われ，落ちた人は別の種目へ移動 → 1. へ
Here comes your footer Page 3

4. 問題意識は? 導入 方法 結果 Sys
従来の種目選択
 希望の種目が偏る
 履修上限者数の存在（履修者は上限総数の80%～90%）
問題点
⇒ 抽選に落ちると，
希望しない種目を履修しなければならない
 既存研究
- 村土奈都弥氏 問題発見と解決：「体育の種目決め最適化」 (2008)
⇒ 線形計画問題でモデル化（志望順位を得点化）
Here comes your footer Page 4

5. 基本のモデル 導入 方法 結果 Sys
𝑛 ∶ 履修者𝑖 の総数 𝑢 𝑖𝑗 ∶ 希望度（学生𝑖が種目𝑗を履修）
𝑚 ∶ 種目𝑗 の数
𝑥 𝑖𝑗 ∶ 1 学生𝑖が種目𝑗を履修
𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑗 ∶ 第𝑗種目の履修上限 0 otherwise
𝑛 𝑚
𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑒 𝑢 𝑖𝑗 𝑥 𝑖𝑗 （履修する種目の希望度の総和）
0-1
𝑖=1 𝑗=1
整
数 𝑚
計
画 𝑠𝑢𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡 𝑡𝑜 𝑥 𝑖𝑗 = 1 （一人1種目を履修する）
問 𝑗=1
𝑛
題
𝑥 𝑖𝑗 ≤ 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑗 （履修上限人数の制約）
𝑖=1
Here comes your footer Page 5

6. アンケート 導入 方法 結果 Sys
 目的： 月曜日3限開設の種目に対する 𝑢 𝑖𝑗 の推定
概  対象： 学群生 （主に社会工学類）
要  方法： メール（ML） → Webアンケート（Googleドキュメント）
 実施期間： 2012年2月7日～13日
 有効回答者数： 123名 （男性94名 + 女性25名 + α）
結  種目同士の相関が存在
果 - 例： 《男性》 テニスとハンドボール r = 0.55 ( p<0.001 )
 希望度に男女差がある
Here comes your footer

7. 希望度の平均値 導入 方法 結果 Sys
人気度 男性 女性
1位 テニス 3.41 インラインスケート 3.32
2位 サッカー 3.28 ダンス 3.28
3位 ハンドボール 3.14 テニス 3.24
4位 フラッグフットボール 3.14 フィットネスTr. 3.00
5位 アスレティックTr. 2.99 ジョグ&ウォーク 2.96
6位 インラインスケート 2.98 フラッグフットボール 2.80
7位 ジョグ&ウォーク 2.81 サッカー 2.68
8位 フィットネスTr. 2.76 陸上競技 2.64
9位 ダンス 2.45 器械運動 2.60
10位 陸上競技 2.44 アスレティックTr. 2.52
11位 器械運動 2.32 ハンドボール 2.40
12位 水泳 2.24 水泳 1.72
Here comes your footer

8. データの生成 導入 方法 結果 Sys
 アンケート結果を基に履修者410名分のデータを生成する
 条件
- 男女で希望度が異なるので，男女別で生成
- 男性293名・女性117名 （推計） に合わせる
- 種目同士の希望度の相関を考慮する
 方法
- 男女別でクラスター分析 （k = 5） し，クラスタごとに平均値を計算
- 平均値に正規乱数を足してランダムなデータを生成
Here comes your footer

9. 基本のモデル 導入 方法 結果 Sys
𝑛 𝑚
結果（従来との比較）
𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑒 𝑢 𝑖𝑗 𝑥 𝑖𝑗
希望度 従来 基本
𝑖=1 𝑗=1
5 200人 227人
𝑚
4 153人 159人
𝑠𝑢𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡 𝑡𝑜 𝑥 𝑖𝑗 = 1 3 51人 20人
𝑗=1 2 6人 4人
𝑛
1 0人 0人
𝑥 𝑖𝑗 ≤ 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑗
平均 4.33 4.49
𝑖=1
use: Xpress
• 0-1 IPによって平均希望度が上昇した
• 低い希望度の種目に振り分けられる学生が減ったことが重要
Here comes your footer Page 9

10. 希望度の変換 導入 方法 結果 Sys
𝑛 𝑚 𝑛 𝑚 𝑛 𝑚
𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑒 𝑢 𝑖𝑗 𝑥 𝑖𝑗 or ln(𝑢 𝑖𝑗 )𝑥 𝑖𝑗 or 𝑢2 𝑥 𝑖𝑗
𝑖𝑗
𝑖=1 𝑗=1 𝑖=1 𝑗=1 𝑖=1 𝑗=1
𝑛
𝑠𝑢𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡 𝑡𝑜 𝑥 𝑖𝑗 ≤ 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑗 希望度 基本 𝑢 𝑖𝑗 ln(𝑢 𝑖𝑗 ) 𝑢2
𝑖𝑗
𝑖=1
𝑚
5 227人 219人 219人 228人
𝑥 𝑖𝑗 = 1 4 159人 172人 172人 157人
𝑗=1 3 20人 18人 18人 21人
2 4人 1人 1人 4人
1 0人 0人 0人 0人
use: Xpress 平均 4.49 4.49 4.49 4.49
• 平均希望度を保ったまま低い希望度の学生を減らすには，
希望度の平方根をとるか 対数変換する
Here comes your footer Page 10

11. 下限人数の制約 導入 方法 結果 Sys
陸上競技（上限43人）の履修者数が11人
LowerLimit ： 履修下限人数
𝑛 𝑚
希望度 基本モデル 陸上≧12
𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑒 𝑢 𝑖𝑗 𝑥 𝑖𝑗 5 227人 226人
𝑖=1 𝑗=1 4 159人 161人
𝑚
3 20人 19人
𝑠𝑢𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡 𝑡𝑜 𝑥 𝑖𝑗 = 1
2 4人 4人
𝑗=1
𝑛 1 0人 0人
𝑥 𝑖𝑗 ≤ 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑗 平均 4.49 4.49
𝑖=1
𝑛 use: Xpress
𝑥 𝑖𝑗 ≥ 𝐿𝑜𝑤𝑒𝑟𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑗（履修下限人数）
𝑖=1
• 条件によっては，平均希望度を下げることなく制約を
追加できる（複数の最適解が存在する，陸上：11人→18人）
Here comes your footer Page 11

12. 男女比1:1 （その1） 導入 方法 結果 Sys
SEX ： 男性の場合1をとるダミー変数 use: Xpress・R
4.48
male >= 0%
α ： 男性割合の下限 mean = 4.485
𝑛 𝑚
male = 50%
4.46
𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑒 𝑢 𝑖𝑗 𝑥 𝑖𝑗 mean = 4.468
𝑖=1 𝑗=1
average
𝑚
4.44
𝑠𝑢𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡 𝑡𝑜 𝑥 𝑖𝑗 = 1
𝑗=1
𝑛
4.42
𝑥 𝑖𝑗 ≤ 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑗
𝑖=1 male = 100%
𝑛 4.40 mean = 4.398
α（ダンスの男性下限割合）
(𝑆𝐸𝑋 𝑖 − 𝛼 𝑗 )𝑥 𝑖𝑗 ≥ 0
𝑖=1 （男性下限割合） 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
lower male ratio
• 男性の割合を上げるほど，平均希望度が逓減する
• 男女比を1:1にすると7人の希望度が1ずつ下がる
Here comes your footer Page 12

13. 男女比1:1 （その2） 導入 方法 結果 Sys
SEX ： 男性の場合1をとるダミー変数
β ： ペナルティの強さ
𝑛 𝑚 𝑚 𝑛 2
𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑒 𝑢 𝑖𝑗 𝑥 𝑖𝑗 − 𝛽𝑖 1 − 2𝑆𝐸𝑋 𝑖 𝑥 𝑖𝑗 （男女差にペナルティ）
𝑖=1 𝑗=1 𝑗=1 𝑖=1
𝑚
4.485
𝑠𝑢𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡 𝑡𝑜 use: Xpress・R
𝑥 𝑖𝑗 = 1
60
𝑗=1
𝑛
55
𝑥 𝑖𝑗 ≤ 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑗
4.480
male ratio (%)
mean degree
𝑖=1
50
45
4.475
• ペナルティを強めていくと，
40
平均希望度が逓減 → 収束
β（ダンスのペナルティ強度）
35
0.00 0.05 0.10 0.15
Here comes your footer parameter Page 13

14. システムの概要 導入 方法 結果 Sys
Webアプリケーションにシステム化する
教職員
• WAMP（LAMP）
• Apache（サーバ） ソルバー
• PHP（Web開発） Webページ
• SQLite（DB管理） DB
• lpsolve（ソルバー）
学生
Here comes your footer Page 14

15. プログラムの構造 導入 方法 結果 Sys
<html> HTML
<body>
<h1>結果</h1>
<?php PHP & SQLite
$db = new PDO(“sqlite:monday3.db”);
$lp = lpsolve(“make_lp”, 0, 5000); lpsolve
lpsolve(“add_constraint”, $lp, Array(1, 0, 0, …), GE, 1);
lpsolve(“solve”, $lp);
echo ( 最適化の結果 );
?>
</body>
</html>
Here comes your footer Page 15

16. デモ 導入 方法 結果 Sys
種目情報入力
（教職員）
希望度入力
（学生）
最適化
（教職員）
Flashによるデモンストレーション
http://infoshako.sk.tsukuba.ac.jp/~kuroda90/works/pis/demo/demo.htm
Here comes your footer Page 16

17. 今後 … 導入 方法 結果 Sys
 SCIP（高性能のフリーMIPソルバー）への乗り換え
 指定した友人と同じ種目を履修させる（QP）ことの検討
 マルチエージェントシステム（MAS）によるシミュレーション
→ 友人と同じ種目を履修しようとする行動の再現
 現在 体育センターに提案しており，
アンケートを実施して実際の適合度を調査する予定
 HPでレポート・システム・進捗状況等 公開しています
「問題発見 kuroda」で Google検索すると ヒットします
Here comes your footer Page 17

18. Reference
田村明久・松村正和 「最適化法」 (2002)
今野浩氏 「数理決定法入門 キャンパスのOR」 (1992)
村土奈都弥 問題発見と解決：「体育の種目決め最適化」 (2008)
Acknowledgment
吉瀬 章子教授（システム情報工学研究科）
松元 剛准教授（人間総合科学研究科）
高野 昭子様（システム情報工学等技術室）
アンケートに協力して頂いた学生各位
Problem Identification & Solution
体育の種目選択最適化 Thank you
http://infoshako.sk.tsukuba.ac.jp/~kuroda90/works/pis/
筑波大学 理工学群 社会工学類
経営工学主専攻
for
黒田翔 200911337
E-Mail: kuroda90@sk.tsukuba.ac.jp your attention!
Here comes your footer Page 18

19. 種目選択： 慶應大学では…
出典：平成23年度履修登録当選結果(体育実技A／B) － 慶應義塾大学体育研究科HP
Here comes your footer Page 19

20. システムのシーケンス図
種目情報入力
希望度入力
最適化による
種目選択
use: SEQUENCE
Here comes your footer Page 20

21. 目的関数にペナルティを課す
 AIC（ Akaike’s Information Criterion ）
AIC = -2ln(最大尤度) + 2(自由パラメータ数)
 ペナルティ関数法（ penalty function method ）
元問題： minimize { f(x) | x∈S }
→ minimize f(x) + μP(x)
履修者の男女差をペナルティとして加えることは，
ペナルティ関数法と類似している
Here comes your footer Page 21

22. 友人と同じ種目を履修するには （QP）
 2次計画問題 友人と同じ種目を選択できると満足度は…
大幅に上がる： 62名
𝑛 𝑚 少し上がる： 61名
𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑒 (𝑢 𝑖𝑗 +𝑥 𝑓𝑟𝑖𝑒𝑛𝑑 𝑖 𝑗 )𝑥 𝑖𝑗
変化なし： 3名
𝑖=1 𝑗=1
- 127名中122名が友人を各1人指定したとすると，
114名 (57ペア) が同じ種目を履修することができる.
 127名の満足度のデータをクラスター分析にかける（k-means法・k=10）
 同じクラスターの学生同士をペアにして友人と定義
 要素が奇数のクラスターでは一人が「友人なし」（計5人）とする
Here comes your footer Page 22

23. アンケート
use: Google Document (Form)
Here comes your footer Page 23

24. アンケート結果 ～ 度数分布表 《男性》
平均値 1 2 3 4 5 性差
フィットネスTr. 2.76 19 20 28 19 8
サッカー 3.28 11 15 25 23 20 人気 性差あり
器械運動 2.32 28 31 18 11 6 不人気
Iスケート 2.98 13 17 30 27 7
ハンドボール 3.14 11 16 31 21 15 人気 性差あり
テニス 3.41 7 16 24 25 22 人気
ダンス 2.45 28 27 16 15 8 不人気 性差あり
アスレティックTr. 2.99 16 19 23 22 14
ジョグ&ウォーク 2.81 20 24 16 22 12
水泳 2.24 38 22 12 17 5 不人気 性差あり
フラッグ 3.14 11 17 28 24 14 人気
陸上競技 2.44 23 28 24 17 2 不人気
平均希望度の差の検定（対応なし，Welchのt検定） use: R
Here comes your footer Page 24

25. アンケート結果 ～ 相関係数行列 《男性》
FT Scr Apr Sk8 Hnd tns dnc AT Jog Swm FF
サッカー -.12
器械運動 .3 .0
スケート .28 .01 .34
ハンドボール -.11 .49 .09 .08
テニス -.02 .3 -.04 .17 .55
ダンス .24 .07 .16 .24 -.06 -.13
アスレティック .49 -.03 .34 .23 -.01 -.14 .18
ジョグ .47 -.26 .12 .15 -.21 -.19 -.1 .52
水泳 .12 -.15 .3 .34 -.02 -.16 .2 .18 .0
フラッグ -.07 .55 .04 .06 .53 .31 .11 .13 -.24 -.03
陸上競技 .07 .04 .22 .19 -.01 .05 .01 .09 .23 .16 .09
赤文字： p < 0.1% use: R
Here comes your footer Page 25

26. 解析環境・ソフトウェア （Version）
OS: Windows 7 オペレーティングシステム
Xpress-IVE: 1.20.12 Xpress-Moselのためのビジュアル開発環境
Xpress Mosel: 3.0.3 モデル作成・プログラミング言語
Xpress Optimizer: 20.00.21 単体法・分枝限定法・（非線形用）
R: 2.11.1 統計解析環境・言語
Apache: 2.2.17 サーバ
PHP: 5.3.5 Webページ作成用のプログラミング言語
SQLite: 3.7.3 データベース管理システム
lpsolve: 5.5.2.0 MILPソルバー
Wink: 2.0 動画キャプチャー
SEQUENCE: 20040120 シーケンス図作成（jar）
Here comes your footer Page 26

27. アンケートを基にした分析用データの生成
 クラスター分析（k-means法 ; k = 5）を男女別で行うことにより，
特定の複数種目の希望度が高い学生と低い学生に分けられる
各クラスタの個体数に応じて，そのクラスタを使用する割合を変える
希望度 ≡ クラスタの平均値 + 標準正規乱数*定数（パラメータ）
パラメータを変化させると，θ = 0.8程度で相関の再現度が高い
 日本語・日本文化（40人）： 男性42%・女性58%
 生物資源（130人）： 54%・ 46%
 社会工学（120人×2学年）： 86%・ 12%
 男性293人・女性117人（合計：410人）
Here comes your footer Page 27

28. 生成したデータ 《男性：293人分》
平均値 1 2 3 4 5
フィットネスTr. 2.77 43 85 78 70 17
サッカー 3.31 13 54 89 102 35
器械運動 2.39 58 97 103 35 0
Iスケート 2.88 29 62 128 63 11
ハンドボール 3.16 19 56 103 90 25
テニス 3.37 15 54 82 91 51
ダンス 2.52 68 94 67 38 26
アスレティックTr. 2.91 48 56 84 85 20
ジョグ&ウォーク 2.66 68 70 74 57 24
水泳 2.33 56 116 90 29 2
フラッグ 3.20 17 60 103 72 41
陸上競技 2.52 40 104 113 30 6
平均値の周りに固まり過ぎている ･･･ 本来であればMCMCでするべき?
Here comes your footer Page 28

29. 最大の希望度 と 選択された希望度の関係
1 2 3 4 5 ← 履修する種目の
希望度
1 0 - - - -
2 0 1 - - -
（
従来の
3 0 3 15 - -
第 種目選択方法
一 4 0 0 5 115 -
希最 5 0 2 31 38 200
望大
のの 合計 0 6 51 153 200
種希
目望 1 2 3 4 5
の度 1 0 - - - -
希
望 2 0 1 - - -
度
3 0 3 15 - -
基本モデル
）
4 0 0 5 115 -
（IP）
5 0 0 0 44 227
合計 0 4 20 159 227
Here comes your footer Page 29

30. 種目選択 改善のアイデア
 数名程度の定員オーバーは認めてほしい／上限フリー
 大学の運動施設を学生が気軽に使える環境整備
 履修に要する費用を少なくする
 体育は選択科目にするべき
 オリエンテーション前に過去の授業アンケートを公開
 通年と単学期を区別／通年は飽きる
 選択肢(種目)を増やす
 種目ごとに授業時間(コマ)を変える
 部活動・就職活動による欠席を認めるか否かを統一する
 1年次に全ての種目を体験して理解する
 学生が望む活動内容を事前アンケートによって伝える
 人気のない種目は削除されるべき ※ 実施アンケートより
Here comes your footer Page 30

31. 数理計画問題の体系
出典 : 後藤順哉氏(元・社会工学類，現・中央大学) 「H18マネジメント実習 講義資料」
Here comes your footer Page 31