ejercicio ecuaciones diferenciales

1. Programa Nacional De Formación En Sistema De Calidad Y Ambiente
Matemática aplicada.
Ejercicios de EDO superior.
Autor:
Johelbys Campos C.I: 24.156.988
Grupo: A
Barquisimeto, 2021

2. Homogéneas:
𝟏) 𝒚´´ − 𝟒𝒚´ − 𝒚 = 𝟎 ; 𝒚 = 𝒆𝒎𝒙
Solución:
Lo primero es escribirla en polinomio auxiliar o ecuación auxiliar sustituyendo cada derivada por la
letra “m” por lo tanto el polinomio asociado es:
m2
− 4m − 1 = 0
Procedemos a resolver la ecuación completando cuadrados
(m2
− 4m + 4) = 1 + 4
Factorizando obtenemos que:
(m − 2)2
= 5
Sacando raíz cuadrada en ambos miembros obtenemos que:
m − 2 = ±√5
De donde:
m = 2 ± √5
Luego obtenemos dos soluciones de la siguiente manera
𝑚1 = 2 + √5 ; 𝑚2 = 2 − √5
Reemplazando en 𝑦 = 𝑒𝑚𝑥
tenemos que:
𝑌1 = 𝑒(2+√5)𝑥 ; 𝑌2 = 𝑒(2−√5)𝑥
La solución general de la ecuación diferencial es una combinación lineal de las soluciones
obtenidas de la siguiente manera:
𝑌 = 𝐶1𝑌1 + 𝐶2𝑌2
Por lo que la solución general es:
𝒀 = 𝑪𝟏𝒆(𝟐+√𝟓)𝒙 + 𝑪𝟐𝒆(𝟐−√𝟓)𝒙

3. 𝟐) 𝒚´´ + 𝟒𝒚´ + 𝟐𝟎𝒚 = 𝟎
Solución:
Primero debemos llevarla a la ecuación auxiliar, con lo cual queda expresada como una ecuación
de segundo grado:
𝑚2
+ 4𝑚 + 20 = 0
Seguidamente procedemos a resolver por la resolvente cuadrática reemplazando los parámetros
a, b Y c.
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
−4 ± √42 − (4)(1)(20)
2(1)
−4 ± √16 − 80
2
Observamos que obtenemos un resultado negativo en la raíz, por lo que se obtiene es un
numero imaginario...
−4 ± √−64
2
−4 ± 8𝑖
2
Como resultado tenemos números complejos conjugados de la siguiente forma:
−
4
2
+
8𝑖
2
= −2 + 4𝑖 ; −
4
2
−
8𝑖
2
= −2 − 4𝑖
Como tenemos raíces complejas y conjugadas la forma de solución es la siguiente:
𝑦(𝑥) = 𝑒∝𝑥
(𝐶1 cos 𝑏𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥)
Donde alfa (∝) es el término real (-2) y beta (b) es el término o número imaginario (4)
reemplazando queda la ecuación diferencial de la siguiente manera:
𝒚(𝒙) = 𝒆−𝟐𝒙
(𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝒙 + 𝑪𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙)

4. Lineales o no homogénea:
𝟏) 𝒚´´ − 𝟓𝒚´ = 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝒙
Solución:
Lo primero que hacemos es considerar la ecuación homogénea relacionada igualando a cero (0) de
la siguiente manera:
𝑦´´ − 5𝑦´ = 0 𝑦 = 𝑒𝑟𝑥
La ecuación característica es:
𝑟2
− 5𝑟 = 0
Factorizando una “r” tenemos que:
𝑟(𝑟 − 5) = 0
Igualamos a cero (0) y obtenemos que:
𝑟 = 0
𝑟 − 5 = 0
Despejando “r” en 𝑟 − 5 = 0 tenemos que:
𝑟 = 5
Los valores son:
𝑟 = 0 y 𝑟 = 5
Obtenemos dos soluciones con la forma 𝑦 = 𝑒𝑟𝑥
quedando que:
𝑦1 = 𝑒0𝑥
= 𝑒0
= 1 ; 𝑦2 = 𝑒5𝑥
Obtenemos la solución general como una constante arbitraria de la siguiente forma:
𝒚𝒉 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐𝒆𝟓𝒙
La solución particular la obtenemos a partir de la forma que tiene la función del lado derecho de la
ecuación “𝑦´´ − 5𝑦´ = 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥” estableciendo la función como:
𝑦𝑃 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐵 cos 𝑥
Procedemos a buscar el valor de A y B derivando una primera vez quedando:
𝑦´𝑃 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝐵 sen 𝑥

5. Derivamos una segunda vez obteniendo que:
𝑦´´𝑃 = −𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝐵 cos𝑥
Seguidamente sustituimos los valores de la primera y segunda derivada en la ecuación
diferencial 𝑦´´ − 5𝑦´ = 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 quedando que:
(−𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝐵 cos 𝑥) − 5(𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝐵 sen 𝑥) = 3 cos 𝑥
Realizamos las operaciones:
−𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝐵 cos 𝑥 − 5𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 5𝐵 sen 𝑥 = 3 cos 𝑥
Luego agrupando los senos y cosenos factorizando y tenemos que:
(−𝐴 + 5𝐵) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + (−𝐵 − 5𝐴) cos𝑥 = 3 cos 𝑥
Comparando los coeficientes de las funciones que tenemos a la izquierda y derecha de las
funciones tenemos que:
−𝐴 + 5𝐵 = 0 Sist-1
−𝐵 − 5𝐴 = 3 Sist-2
Resolviendo el primer sistema −𝐴 + 5𝐵 = 0 tenemos que
5𝐵 = 𝐴
Sustituyendo en el segundo sistema queda que:
−𝐵 − 5(5𝐵) = 3
Resolvemos las operaciones
−26𝐵 = 3
Despejando “B” queda que:
𝐵 = −
3
26
Para obtener “A” sustituimos el valor de “B” en “ 5𝐵 = 𝐴”
𝐴 = 5 (−
3
26
)
𝐴 = −
15
26

6. Entonces los valores de “A” y “B” son:
𝐴 = −
15
26
𝐵 = −
3
26
Ahora para obtener la solución particular simplemente sustituimos los valores de “A” y “B” en la
ecuación 𝑦𝑃 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐵 cos 𝑥 obteniendo que:
𝑦𝑃 = −
15
26
𝑠𝑒𝑛 𝑥 −
3
26
cos 𝑥
Para obtener la solución general de la ecuación diferencial simplemente sumamos la solución de la
ecuación homogénea 𝑦ℎ = 𝐶1 + 𝐶2𝑒5𝑥
con la obtenida anteriormente, siendo la solución:
𝒚 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐𝒆𝟓𝒙
−
𝟏𝟓
𝟐𝟔
𝒔𝒆𝒏 𝒙 −
𝟑
𝟐𝟔
𝐜𝐨𝐬 𝒙

7. 𝟐) 𝒚´´ − 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙
Solución:
Lo primero que hacemos es considerar la ecuación homogénea relacionada igualando a cero (0) de
la siguiente manera:
𝑦´´ − 𝑦 = 0 𝑦 = 𝑒𝑟𝑥
La ecuación característica es:
𝑟2
− 1 = 0
Factorizando tenemos que
(𝑟 − 1)(𝑟 + 1) = 0
Ahora igualamos cada factor a cero (0)
𝑟 − 1 = 0
𝑟 + 1 = 0
Despejando “r” en cada ecuación obtenemos los valores:
𝑟 = 1 ; 𝑟 = −1
Obtenemos dos soluciones con la forma 𝑦 = 𝑒𝑟𝑥
quedando que:
𝑦1 = 𝑒𝑥
; 𝑦2 = 𝑒−𝑥
Obtenemos la solución general como una constante arbitraria de la siguiente forma:
𝒚𝒉 = 𝑪𝟏𝒆𝒙
+ 𝑪𝟐𝒆−𝒙
La solución particular la obtenemos a partir de la forma que tiene la función del lado derecho de la
ecuación “𝑦´´ − 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥” estableciendo la función como:
𝑦𝑃 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐵 cos 𝑥
Procedemos a buscar el valor de A y B derivando una primera vez quedando:
𝑦´𝑃 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝐵 sen 𝑥
Derivamos una segunda vez obteniendo que:
𝑦´´𝑃 = −𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝐵 cos𝑥

8. Seguidamente sustituimos los valores de la primera y segunda derivada en la ecuación diferencial
𝑦´´ − 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 quedando que:
(−𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝐵 cos 𝑥) − (𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐵 cos𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
Resolviendo las operaciones y reduciendo términos semejante tenemos que:
−2𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 2𝐵 cos 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
Comparando los coeficientes de las funciones que tenemos a la izquierda y derecha de las
funciones tenemos que:
−2𝐴 = 1
−2𝐵 = 0
Despejando A y B obtenemos que sus valores son:
𝐴 = −
1
2
𝐵 = 0
Ahora para obtener la solución particular simplemente sustituimos los valores de “A” y “B” en la
ecuación 𝑦𝑃 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐵 cos 𝑥 obteniendo que:
𝑦𝑃 = −
1
2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 “El cos x ya no aparece porque la constante B=0”
Y para obtener la solución general de la ecuación diferencial simplemente sumamos la solución de
la ecuación homogénea 𝑦ℎ = 𝐶1𝑒𝑥
+ 𝐶2𝑒−𝑥
con la obtenida anteriormente, siendo la solución:
𝒚 = 𝑪𝟏𝒆𝒙
+ 𝑪𝟐𝒆−𝒙
−
𝟏
𝟐
𝒔𝒆𝒏 𝒙